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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
Guía didáctica: Trigonometría
Curso de Extensión
PARTE E SESIONES 17 - 20
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.
MATERIAL EN REVISIÓN
Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
CURSO DE EXTENSIÓN
TRIGONOMETRÍA
MODALIDAD: NO PRESENCIAL
DURACIÓN: 5 SEMANAS
FACILITADORES
MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.
2:00 P.M. – 5:00 P.M.
CONSULTAS
SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4
SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007
SESIONES 5 - 8
SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007 SESIONES 9 - 13
SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007
SESIONES 14 - 16
SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007 SESIONES 17 - 20
1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Curso Básico de Nivelación en el área de
Trigonometría
Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache
Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos”
Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77
Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:
Datos de Identificación Profesores del área:
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache
Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
2 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo”
Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88
Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”
Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158
Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios”
Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205
Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221
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Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
3 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15………………………
Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas”
Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18…………………………
Tema 7 “Resolución de triángulos”
Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19…………………………
Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20…………………………
Respuestas a las Autoevaluaciones.
Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14
Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46
Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80
Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15……………………………………
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4 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20……………………………………
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5 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Introducción
Este curso está orientado hacia la capacitación del
estudiante para el uso de herramientas básicas de
trigonometría. Esta área, como parte de las
matemáticas trata del cálculo de los elementos de los
triángulos planos y esféricos, siendo las funciones
trigonométricas parte fundamental del análisis y del
cálculo desempeñando un importante papel tanto en las
matemáticas puras, como en las aplicadas.
Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los
estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de
trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones
prácticas en su quehacer profesional.
El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones
Trigonométricas, Suma y Diferencia de Ángulos, Identidades
Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes
de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de
Los Andes.
Objetivos
Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas
básicas de trigonometría.
Objetivos específicos
* Tema 1: Preliminares geométricos
Formular los conceptos básicos de la trigonometría.
* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo
rectángulo.
* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo
Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.
* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos
suplementarios
Resolver problemas aplicados.
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Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
6 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos
Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de
problemas.
* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.
* Tema 7: Resolución de triángulos
Resolver problemas de triángulos.
Estrategias
Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,
voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes
satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta
modalidad le permitirá:
1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la
comodidad de su domicilio.
2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,
M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.
están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL
CURSO:
Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada
tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.
Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser
analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse
en un tiempo determinado.
Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se
lograrán durante la interacción con cada sesión.
Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los
diferentes temas que comprende cada sesión.
Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben
seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje
de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los
contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes
(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos
y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te
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7 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada
sesión.
Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el
autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario
empleado.
Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de
finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te
sientas preparado para presentar la evaluación final.
Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se
encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.
Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:
• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión
• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el
transcurso de 10 semanas.
• Leer pausadamente cada sesión de clase
• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y
verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran
al final de cada unidad
• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con
la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en
cada sesión de clases
• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran
al final de la unidad, antes de realizar las mismas.
• Es importante consultar a través del correo electrónico
xxxxx@ula.ve cualquier duda de los temas expuestos.
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238 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 17
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Sesión 17
Objetivos específicos
* Formular y aplicar ecuaciones trigonométricas.
Actividades
* Leer apuntes sesión 17. * Realizarlos ejercicios de la sesión 17. * Realizar la autoevaluación de la sesión 17.
Recursos
* Apuntes sesión 17. * Ejercicios sesión 17.
Ecuaciones Trigonométricas
Una ecuación trigonométrica contiene expresiones trigonométricas;
por ejemplo la igualdad,
2 cos2x – sen2x -1 = 0
es un ejemplo de una ecuación trigonométrica. Podemos observar
que esta ecuación no es una identidad ya que no es verdadera
para todos los valores de x. Por ejemplo, no es verdadera cuando
x=0. En efecto, como sen (0)=0 y cos (0)=1 entonces vemos que el
lado izquierdo de la ecuación es igual a 1 y no a 0.
Por lo tanto, una ecuación trigonométrica difiere de una identidad
en que nos es verdadera para todos los valores del ángulo
desconocido que se tratan.
Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los
valores del ángulo desconocido que satisfacen a la ecuación
dada; recordemos que estos valores también pueden ser números
reales.
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239 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 17
1. ¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica?
No hay ningún método general para resolver dichas ecuaciones
que se pueda seguir en todos los casos; pero se pueden seguir los
pasos presentados a continuación para tratar de encontrar una
solución.
1.1. Primer paso: expresar todas las funciones trigonométricas que
entran en la ecuación, en términos de funciones de un mismo
ángulo, aprovechando las identidades conocidas.
1.2. Segundo paso: expresar todas las funciones en términos de la
misma función.
1.3. Tercer paso: resolver algebraicamente considerando como
incógnita la única función que entra ahora en la ecuación.
Los números ó valores de los ángulos obtenidos en tales casos, que
no satisfacen la ecuación dada, deben ser descartados. También
hay que ser cuidadoso para no perder ninguna raíz al extraer raíz
cuadrada a ambos miembros de la ecuación, o al dividirlos por un
factor.
Ejemplo 17.1
Resolver la ecuación cos2x cosecx + cosecx + cotagx = 0 con
x [ ]π2,0∈
Solución:
Primer paso: como cos2x = cos2x – sen2x, obtenemos sustituyendo
en la ecuación dada,
(cos2x – sen2x) cosecx + cosecx + cotagx = 0 (6.2.1)
Segundo paso: como cosecx = senx
1 y cotagx =
senxcosx
,
sustituyendo en la ecuación anterior 6.2.1 resulta,
0senxcosx
senx1
senxxsenxcos 22
=++−
Y por lo tanto, efectuando la suma, y con la igualdad acero se
obtiene:
cos2x – sen2x +1 + cosx = 0
Como sen2x = 1 – cos2x, sustituyendo tenemos que:
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240 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 17
cos2x - 1 + cos2x +1 + cosx = 0
2cos2x + cosx = 0 (6.2.2)
Hasta aquí se ha logrado llevar la ecuación en términos de una
misma función (cosx).
Tercer paso: para resolver la ecuación 6.2.2 se puede observar que
factorizando la expresión (extrayendo como factor común la
función cosx), se llega a,
cosx (2cosx +1) = 0
de donde se obtiene que:
cosx =0 o bien 2cosx + 1 = 0
cosx = 21
−
En el intervalo [ ]π2,0 se tiene que:
a) Las soluciones de la ecuación
cosx = 0 son x=2π
(ó 90º) y x=2
3π (ó 270º).
b) Las soluciones de la ecuación
cosx = 21
− son x=3
2π (ó 120º) y x=
34π
(ó 240º)
En conclusión, las soluciones de la ecuación dada son:
x1=2π
x2=2
3π
x3=3
2π
x4=3
4π
Ejemplo 17.2
Resolver la ecuación senθ tagθ = senθ
Solución:
Para resolver el problema no indican el cuadrante en el cual hay
que encontrar las soluciones de θ, luego hay que encontrarlas
todas.
Las siguientes ecuaciones son equivalentes a la que se quiere
resolver:
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241 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 17
senθ tagθ – senθ = 0
senθ (tagθ – 1) = 0 (6.2.3)
La ecuación 6.2.3 es igual a cero si cada factor del lado izquierdo se
anula, de la siguiente manera:
senθ = 0 (6.2.4)
tagθ – 1 = 0 o bien, tagθ = 1 (6.2.5)
a) Las soluciones de la ecuación 6.2.4, senθ = 0, son:
θ = .....,3,2,,0 πππ ±±±
Es decir, θ = nπ, en donde n es cualquier número entero.
b) Las soluciones de la ecuación 6.2.5, tagθ = 1, se encuentran de la
siguiente forma:
La función tagθ es π periódica, basta encontrar las soluciones en el
intervalo (0, π), y una vez que estas son conocidas, se determinan las
otras soluciones de θ sumándole múltiplos de π.
En el intervalo (0, π), la única solución de la ecuación 6.2.5 es: θ =
π/4; por tanto, cada valor de θ que satisface la ecuación tiene la
forma:
θ = ππ n+4
donde n es un número entero.
En conclusión, las soluciones de la ecuación dada son todos los
valores de θ que tienen la forma:
nπ ó ππ n+4
en donde n es cualquier número entero.
Algunas soluciones particulares son:
0, π± , π2± , π3± , 4π
, 4
5π,
43π
− y 4
7π
Note que es incorrecto dividir la ecuación 6.2.3 entre senθ, ya que
no se encontrarían las soluciones de senθ=0.
Ejemplo 17.3
Al resolver la ecuación 2sen2t – cost -1 = 0, con π2t0 ≤≤ , las
soluciones son:
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242 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 17
a) 3
5,,3
πππ c) πππ 2,
4,
6
b) 3
2,2
,4
πππ d) ππ 2,,0
Solución:
En este ejemplo se indica el intervalo de solución para t (que debe
estar en los 4 cuadrantes). Luego, con el objeto de obtener una
ecuación que contenga sólo funciones cost, factorizamos la
ecuación dada de la siguiente manera:
2(1-cos2t) – cost -1 = 0
2 – 2cos2t – cost -1 = 0
-2cos2t – cost +1 = 0 (Ecuación de 2do. grado en cost)
2cos2t + cost +1 = 0 (cambio de signo)
(2cost – 1)(cost + 1) = 0 (factorización) (6.2.6)
Luego, las soluciones de la ecuación 6.2.6 se obtienen cuando:
2cost – 1 = 0 y cost + 1 = 0
o equivalentemente, cost = ½ (6.2.7)
y cost = -1 (6.2.8)
a) Las soluciones de cost = ½ se encuentran en el 1er y IV
cuadrante, donde la función coseno es positiva; luego, los
ángulos cuyo coseno tienen valor de ½ son:
t = 3π
(ó 60º) y t = 3
5π (ó 300º)
b) La solución para la ecuación 6.2.8, cost = -1 es:
t = π (ó 180º)
Luego, la respuesta es la selección a) donde las soluciones de la
ecuación dada son: 3π
, π y 3
5π
Ejemplo 17.4
Resolver la ecuación 2sen2y + 3 cosy + 1 = 0, con y en el II
cuadrante
Solución:
Colocamos la ecuación dada en función del cos y utilizando la
identidad sen2y = 1 – cos2y, obteniéndose que:
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243 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 17
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Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
2(1 – cos2y) + 3 cosy + 1 = 0
2cos2y - 3 cosy - 3 = 0 (6.2.9)
La ecuación 6.2.9 es de 2do grado en cosy; en efecto, si hacemos el
cambio u=cos y obtenemos:
u2 - 3 u + 1 = 0
La cual al resolverla produce los valores siguientes:
2a
4acbbu2 −±−
= , con u=1, b=- 3 y c=1
u = 3 y u = -23
o bien,
cos y = 3 y cos y = -23
a) Ningún valor de y satisface la igualdad cos y = 3 , ya que el
valor del coseno no puede exceder a 1.
b) De la igualdad cosy = -23
, se tienen las soluciones:
y = 6
(ó 150º) y y = 5π
6 (ó 21
7π0º),
que están en los cuadrantes donde la función coseno es negativa.
Luego, la solución única en el segundo cuadrante es:
y = 6
5π ó y = 150º
luciones de la ecuación cosec42u – 4 = 0, con <u<π/2
Solución:
Podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación, con lo cual
(cosec22u – 2)(cosec22u + 2) = 0
e donde,
cosec22u – 2 = 0 ec22u = 2 (6.2.10)
cosec22u + 2 = 0 22u = -2 (6.2.11)
Ejemplo 17.5
Obtener las so
obtenemos:
(cosec22u)2 – 22 = 0
d
⇒ cos
y ⇒ cosec
244 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 17
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.
Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
a) La ec n 6.2.11, cosec22u = , no tiene solucion eales. uació -2 es r
es:
b) La ecuación 6.2.10, cosec22u = 2, tiene las siguientes solucion
cosec2u = 2 y cosec2u = - 2
b Cuando osec2u = 1) c 2 , las soluciones son:
2u = 4π
2u = y 4
3π
vidi o en m la uaciones, se tiene que: Di end tre 2 a bos lados de s ec
u = 8π
y u = 8
3π (6.2.12)
b2) Cuando cosec2u = - 2 , las soluciones son:
2 =u 4
5π y 2u =
47π
Dividiendo entre 2 ambos lados de las ecuaciones se tiene que:
u =
8
5π y u =
87π
(6.2.13)
De las soluci se ncluye e en el 1er
uadrante tenemos:
ones 6.2.12 y 6.2.13 co qu
c
u = 8π
(ó 22,5º) y u = 8
3π (ó 67,5º)
245 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 18
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Sesión 18
Objetivos específicos
* Formular y aplicar las funciones trigonométricas inversas.
Actividades
* Leer apuntes sesión 18. * Realizarlos ejercicios de la sesión 18. * Realizar la autoevaluación de la sesión 18.
Recursos
* Apuntes sesión 18. * Ejercicios sesión 18.
Funciones trigonométricas inversas
El valor de una función trigonométrica de un ángulo depende del
valor del ángulo, y recíprocamente, el valor del ángulo depende
del valor de la función. Si se da un ángulo se puede hallar el seno
de ese ángulo; si se da el valor del seno de un ángulo, se puede
hallar el valor del ángulo al cual corresponde. Sin embargo, en el
segundo caso cuando estamos haciendo la operación “inversa”, el
ángulo que se puede hallar no es único, por ejemplo, si sen π=1/2
entonces π puede ser igual a π/6, 5π/6, -7 π/6, etc. Esto se debe a
que las funciones trigonométricas, como funciones, no son
inyectivas ó 1-1 (revisar el breve repaso de funciones en el
Apéndice A), y en consecuencia no tienen funciones inversas que
puedan determinar estos ángulos de forma única. Sin embargo, al
restringir los dominios, por ejemplo limitándose solo a un cuadrante
en especial, es factible obtener funciones (definidas sobre dominios
más reducidos) con el mismo comportamiento de las funciones
trigonométricas que sean inyectivas y por tanto tengan funciones
trigonométricas inversas o arco funciones.
1. Inversa de la función seno ó arcoseno
Si restringimos el dominio de la función seno al intervalo [-π/2, π/2],
entonces como se ilustra en la figura 18.1.(a), se obtiene una
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Tema 6/ Sesión 18
función creciente que toma todas las imágenes de la función seno
una única vez (es inyectiva).
De esta forma ya podemos definir la función inversa del seno o
arcoseno cuyo dominio es el intervalo [-1,1] y el rango ó
contradominio, el intervalo [-π/2, π/2].
Figura 18.1. Gráfica de la función y=sen(x) restringida al dominio [-π/2, π/2] y su inversa y=arcsenx
Definición 6.3.1. La función inversa del seno, denotada por sen-1 ó arcoseno (arcsen), se define como:
y = sen-1x si y solo si seny = x
ó,
y = arcsenx si y solo si seny = x
La gráfica de esta función se aprecia en la figura 18.1 (b) la cual se
obtiene reflejando sobre la recta y=x la gráfica de la función seno
de la figura 6.3.1 (a).
Observación: en la notación sen-1x, el -1 significa “inversa”, no
recíproca, es decir,
sen-1x 1(senx)−≠
Aquí la recíproca de la función seno = cosecx, que es
diferente a la inversa.
1(senx)−
Cuando se tratan funciones de la forma y=f(x) y su inversa , las siguientes relaciones de composición entre ellas son válidas:
(x)f 1−
y)(ff (y)1 =− y (6.3.1) x)f(f (x)
-1 =
y al aplicarlas a la función seno nos lleva a las siguientes
identidades:
sen-1(seny) = y si 22ππ
≤≤− y
sen(sen-1x) = x si 11 ≤≤− x
-π/2 π/2
1
-1
x
y
Función y = sen(x) restringida
(a)
y
-π/2
Función y = arcsen(x) Inversa de la función seno
π/2
x1-1
(b)
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Tema 6/ Sesión 18
Estas ecuaciones también pueden escribirse de la siguiente forma:
arcsen(seny) = y y sen(arcsenx) = x
siempre que y y x se restrinjan adecuadamente.
Ejemplo 18.1 Despajar x de la ecuación y = sen2x
Solución:
Como sen2x = y, se tiene por la definición de inversa del seno que
2x = arcseny, lo cual implica que:
x = 21
arcseny
Ejemplo 18.2
Calcular sen-1(22
)
Solución:
Por la definición 6.3.1 tenemos que:
y = sen-1(22
) si y solo si sen y = 22
para 22ππ
≤≤− y
El único valor de y en el intervalo [-π/2, π/2] que satisface la
ecuación sen y = 22
es y = 4π
(ángulo cuyo seno es 22
). Por lo
tanto:
sen-1(22
) = 4π
Observación: es esencial elegir el valor de y en el intervalo [-π/2,
π/2]. Un valor como 3π/4 no es correcto, aún cuando sen(3π/4) =
22
Ejemplo 18.3 Determinar arcsen(tag3π/4)
Solución:
Como tag(3π/4) = -1 se tiene que;
y = arcsen(tag3π/4) = arcsen(-1)
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Tema 6/ Sesión 18
y por la definición de inversa:
seny = -1
Luego, como las soluciones de y deben estar en el intervalo [-π /2,
π /2], se deduce que:
y = 2π
−
También se pueden determinar las funciones inversas o
arcofunciones de las demás funciones trigonométricas. El
procedimiento para su obtención consiste en elegir un subconjunto
adecuado del dominio, de tal forma que la función sea inyectiva
para poder definir su inversa.
2. Inversa de la función coseno ó arcocoseno
Definición 6.3.2. La función inversa del coseno o arcocoseno,
denotada por cos-1 ó arccos, se define como:
Y = cos-1x = arccosx si y solo si cosy = x
donde, y 11 ≤≤− x π≤≤ y0
Usando las propiedades generales de las funciones inversas
(ecuaciones 6.3.1) se obtiene:
cos(cos-1x) = cos(arccosx) = x
cos-1(cosy) = arccos(cosy) = y
para 11 ≤≤− x y π≤≤ y0
La gráfica de la función coseno restringida y su inversa cos-1 ó
arcocoseno se muestran en la figura 18.2., por reflexión de la
función coseno a través de la recta y=x.
Figura 18.2. Gráfica de la función y=cos(x) restringida al dominio [0,π], y su inversa y=arccos(x) obtenida por reflexión sobre la recta y=x
π/2 π
1
-1
x
y
Función y = cos(x) restringida
(a)
y=x
0
y
π
π/2
1-1
y = arccos(x)
(b)
y=x
x 0
y = cos(x)
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Tema 6/ Sesión 18
3. Inversa de la función tangente ó arcotangente
Definición 6.3.3. La función inversa de la tangente ó arcotangente,
denotada por tag-1 ó arctag, se define como:
y = tag-1x = arctagx si y solo si tagy = x
donde x es cualquier número real y:
2
y2
ππ<<−
La gráfica de la función tangente y su inversa se puede apreciar en
la figura 18.3.
Figura 18.3. Gráfica de la función tangente restringida al dominio (-π/2, π/2) y su inversa y = arctag(x) obtenida por reflexión sobre la recta
y=x
Note que el dominio de la función arco tangente es toda la recta
real y el rango ó contradominio es el intervalo (-π/2, π/2).
Se puede llevar a cabo un procedimiento análogo para la inversa
de las otras funciones trigonométricas. No hay una aceptación
general acerca de los dominios de las funciones secante,
cosecante y cotangente.
y
y=x
π/2 y = arctag(x)
x π/2 -π/2
-π/2
y = tag(x)
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Tema 6/ Sesión 18
4. Inversa de las funciones secante cosecante y cotangente
Definición 6.3.4. Las funciones inversas de la secante o arco secante,
la inversa de la cosecante o arco cosecante, y la inversa de la
cotangente o arco cotangente; denotadas respectivamente por
sec-1 o arcsec, cosec-1 o arccosec y cotag-1 o arctag, se definen
como:
a. y = sec-1x = arcsecx si y solo si secy = x
donde, ),1[]1,(x ∞+∪−−∞∈ y ],2
()2
,0[y πππ∪∈
b. y = cosec-1x = arccosecx si y solo si cosecy = x
donde, y ),1[]1,( ∞+∪−−∞∈x ]2
,0()0,2
[ ππ∪−∈y
c. y = cotag-1x = arccotagx si y solo si cotagy = x
donde x toma el valor de cualquier número real y ),0(y π∈
Las gráficas de estas funciones se aprecian en las figuras 18.4., 18.5.
y 18.6.
Figura 18.4. Gráfica de la función secante restringida al dominio
],2
()2
,0[ πππ∪ y su inversa y = arcsecx
0 π π/2
1
-1
x
y y=x
y = secx restringida
0
π
π/2
1-1
y
x
y=x
y = arcsecx
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Tema 6/ Sesión 18
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Figura 18.5. Gráfica de la función cosecante restringida al dominio
]2
,0()0,2
[ ππ∪− , y su inversa la función y = arccosecx
Figura 18.6. Gráfica de la función cotangente restringida al dominio ),0( π y su inversa la función y = arccotagx
Ejemplo 18.4
Hallar las funciones cos α, tag α, sec α, cosec α y cotag α si
α=arcsen32
Solución:
Por la definición 6.3.1 se tiene que α = arcsen32
si y solo si
sen α = 32
. Pero,
Sen α = hipotenusaladeLongitud
opuestocatetodelLongitud
Utilizando esta información construimos un triángulo rectángulo
donde se refleja a α como un ángulo agudo; siendo el cateto
opuesto de longitud 2 unidades y la hipotenusa de longitud 3 (ver
figura 18.7.). La longitud del tercer lado (cateto adyacente al
ángulo) la podemos hallar por el Teorema de Pitágoras, para
completar la información de las funciones trigonométricas que
queremos extraer de la figura.
Longitud del cateto adyacente que falta
0 π/2 −π/2
1
-1
x
y y=x
y = cosecx restringida
0
−π/2
π/2
1-1 x
y y=x
y = arccosecx
0 π π/2 x
y y=x
y = cotagx restringida
0
π
π/2
x
y y=x
y = arccotagx
252 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 18
AB = 523 2222 =−=− BCAC
Figura 18.7. Triángulo rectángulo
De los datos de la figura obtenemos que:
a) cosα = 35
hipotenusaadyacentecateto
=
b) tagα = 5
2adyacente cateto
opuestocateto=
c) secα = 5
3cos
1=
α
d) cosecα = 23
sen1
=α
e) cotagα = 25
tag1
=α
Ejemplo 18.5
C
Al calcular el valor de la expresión sen (arctag125
), el resultado es: 3 2
a) 125
c) 135
α
A B 5
b) 1312
d) 1213
Solución:
En este ejemplo se esta pidiendo el seno del ángulo cuya tangente
es 5/12. Sea x el ángulo buscado, luego por definición se tiene:
Arctag (125
) = x si y solo si tag(x) = 125
Tomando en cuenta esta información construimos el triángulo de la
figura 18.8., recordando que tag(x) = Longitud del cateto
opuesto/cateto adyacente; y la longitud de la hipotenusa por
Teorema de Pitágoras.
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253 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 18
Figura 18.8.(a) Triángulo
Longitud e la hipotenusa AC = 13512BCAB 2222 =+=+
y en consecuencia,
sen(arctag125
) = sen(x) = 135
ACHipotenusaBCopuestocatetodelLong.
=
Luego la selección correcta es la c) 5/13
Ejemplo 18.6 Evaluar sen[arctag(1/2) – arccos(4/5)]
Solución:
Si definimos, α = arctag(1/2) y β = arccos(4/5)
Entonces, tagα = 1/2 y cosβ = 4/5
Por tanto lo que se quiere encontrar es sen(α – β).
Como en los ejemplos anteriores, podemos considerar a α y β como
los ángulos agudos interiores de dos triángulos rectángulos
respectivamente, como se muestra en las figuras 18.8.(a) y 18.8.(b).
Figura 18.8.(b) Triángulos construidos con la información de las funciones tagα= 1/2 y cosβ = 4/5
C
13 5
x A B 12
A B
C C
5 5 1 3
α β A B 4
2
(a) (b)
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Tema 6/ Sesión 18
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De la figura 6.3.8 (a) y (b) obtenemos que:
senα = 51
, cosα = 5
2, senβ =
53
, cosβ = 54
Finalmente,
sen(α – β) = senα cosβ – cosα senβ
= 53
52
54
51
−
= 25
52552
5564
−=−
=−
Ejemplo 18.7
Calcular x de la ecuación sec[tag-1(x/3)] = 5/3
Solución:
Calcularemos primeramente el lado izquierdo de la ecuación dada.
Si definimos θ = tag-1(x/3) entonces tagθ = x/3 ; y la ecuación dada
cambia a secθ = 5/3.
Nuevamente, visualizamos a θ en un triángulo rectángulo
construido con esta información como se muestra en la figura 18.9.,
aplicando el teorema de Pitágoras para la hipotenusa AC.
Figura 18.9. Triángulo rectángulo
De la figura obtenemos que:
Sec θ =
3=
ABadyacenteCatetoACHipotenusa 92 +x
Luego, Sec θ = 5/3
33
=592 +x
A B
C
θ
x
3
9+2x
tagθ=3x
255 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 18
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592 =+x
2592 =+x
4162 ±=⇒= xx
Las soluciones son: x1 = 4 y x2 = -4
256 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 19
Tema 7: Resolución de Triángulos
Sesión 19
Objetivos específicos
* Resolver problemas con triángulos rectángulos.
Actividades
* Leer apuntes sesión 19. * Realizarlos ejercicios de la sesión 19. * Realizar la autoevaluación de la sesión 19.
Recursos
* Apuntes sesión 19. * Ejercicios sesión 19.
Preliminares
En el capítulo I se señalaron las partes y clasificación de los
triángulos. Luego, “conocer” un triángulo implica conocer la
longitud de sus tres lados, así como la medida angular de cada uno
de sus tres ángulos interiores.
Ahora bien, para conocer los seis elementos del triángulo (3 lados y
3 ángulos) basta con conocer tres de dichos elementos, siempre y
cuando entre los elementos conocidos se incluya al menos uno de
los lados del triángulo; los otros elementos se calcularán utilizando
las técnicas vistas en capítulos anteriores (para triángulos
rectángulos) y otras que se señalarán en este capítulo como la Ley
de los senos y de los cosenos.
En el Capítulo I y II se han calculado los lados y ángulos de
triángulos rectángulos, en este capítulo revisaremos la resolución de
éstos, y de otros triángulos de características mas complicadas.
Definición 7.1.1. El proceso de calcular los elementos restantes de
un triángulo conociendo tres de ellos recibe el nombre de
resolución de un triángulo.
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257 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 19
Resolución de triángulos rectángulos
En los triángulos rectángulos uno de sus ángulos es conocido de
antemano (el ángulo recto = 90º), luego, para su resolución es
suficiente conocer dos de sus elementos, a saber:
a. Los catetos.
b. Un cateto y la hipotenusa.
c. Un cateto y un ángulo agudo.
d. La hipotenusa y un ángulo agudo.
Se debe recordar el Teorema de Pitágoras para triángulos
rectángulos y el teorema 1.3 del capítulo I referente a la suma de los
ángulos interiores de un triángulo igual a 180º (π radianes).
Ejemplo 19.1 En el triángulo rectángulo de la figura 19.1., la longitud de los catetos son AB=5 cm. y BC= 62 cm. Determine los demás elementos del triángulo
C
β
62 cm.
α A B 5 cm.
Figura 19.1. Triángulo rectángulo
Solución:
Por el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa AB será:
AC = 2425)62(5 2222 +=+=+ BCAB
AC = 49 =7 cm
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258 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 19
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Ya se tienen todos los lados del triángulo. Para calcular los ángulos
recordamos la definición de las funciones trigonométricas en un
triángulo rectángulo, donde:
cos α = 75
=ACHipotenusa
ABadyacenteCateto
Luego, por la definición de inversa de la función coseno se tiene:
α = arccos75
Y de tablas trigonométricas, α 44.4º ≈
Además, α + β + 90º = 180º
De donde, β = 180º - 90º - α
β = 180º -90º - 44.4º = 180º - 134.4
β = 45.6º
Ejemplo 19.2
En el triángulo rectángulo de la figura 19.2., la longitud BC = 10 y el
ángulo α = 75º. Determine el área de dicho triángulo.
Figura 19.2. Triángulo rectángulo
Solución:
El área de un triángulo definida en el capítulo I, se presenta como:
A = 2
)()( triángulodelAturabaseladeLongitud ∗
A = 2. ACAB (7.2.1)
Luego, necesitamos determinar la base (cateto AB) y la altura
(cateto AC) del triángulo rectángulo; para ello disponemos de la
longitud de la hipotenusa BC = 10 y el ángulo adyacente al lado
AB, α = 75º. Ver figura 19.3.
A B
C
α
β
259 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 19
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Figura 19.3. Triángulo rectángulo
a) Cálculo de la base
Por las definiciones trigonométricas,
cos α = BCAB
hipotenusaadyacenteCateto
=
cos 75º =10AB
de donde, AB = 10 cos75º (7.2.2)
Para calcular cos75º podemos utilizar las identidades y propiedades
trigonométricas definidas en el capítulo V, donde:
cos(α+β) = cosα cosβ – senα senβ
Luego,
cos 75º = cos(30º + 45º)
cos 75º = cos30º cos45º - sen30º sen45º
= 22
21
22
23
−
= 4
)13(24
26 −=
−
Y la base del triángulo en la ecuación 7.2.2 será:
AB = 2
)13(254
)13(2.10 −=
−
b) Cálculo de la altura del triángulo
A B
C
75º
β
10
260 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 19
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Por el teorema de Pitágoras, AC = 22 ABBC − , luego,
AC =
2
2
2)13(25)10( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
4)13(50100
2
= 2
)1323(25100 +−−
= )32(251002
)324(25100 −−=−
−
= 32532550 +=+
c) Finalmente el área de dicho triángulo en la ecuación 7.2.1 es:
A =2
325.2
)13(25
2. +
−
=ACAB
A =4
.32)13(225 +− unidades2
261 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
Tema 7: Resolución de Triángulos
Sesión 20
Objetivos específicos
* Resolver problemas con triángulos rectángulos.
Actividades
* Leer apuntes sesión 20. * Realizarlos ejercicios de la sesión 20. * Realizar la autoevaluación de la sesión 20.
Recursos
* Apuntes sesión 20. * Ejercicios sesión 20.
Ley de los senos y ley de los cosenos
Los siguientes resultados dados como teoremas son válidos, se
aceptarán y se utilizarán como resultados preliminares. Estos
resultados están relacionados con el tema de vectores que no se
tratará en este texto; pero cuando se dice “proyección del lado de
un triángulo sobre el otro” se esta señalando un producto escalar
de dos vectores donde estos vectores son dos lados consecutivos
de un triángulo, y este producto involucra el coseno del ángulo
entre ellos.
Definición 7.3.1. Longitud de proyección de un segmento sobre
otro.
De la definición de funciones trigonométricas en un triángulo
rectángulo la longitud de proyección de un segmento AB sobre
otro segmento AC, y que forman un ángulo de α grados o radianes,
viene dada como:
AC = AB cos α
Análogamente, la longitud de proyección del segmento AB sobre
BC se define como:
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262 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
BC = AB cosβ
En la figura 20.1. se señala la proyección trigonométrica del lado AC
sobre el lado AB y la proyección del lado AB sobre AC, en un
triángulo rectángulo.
Si las longitudes de la hipotenusa y los catetos son: AB = a, BC = b y
AC = c, entonces,
c = a cos α Proyección de AB sobre AC
b = a cos β Proyección de AB sobre BC
Figura 20.1. Los catetos de un triángulo rectángulo definidos como longitudes de proyección de la hipotenusa
Teorema 7.3.1. En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la
longitud del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, más el doble de
la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección
del otro.
Teorema 7.3.2. En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la
longitud del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el
doble del producto de la longitud de uno de estos lados por la
longitud de la proyección del otro.
En la figura 20.2. se muestra un triángulo oblicuángulo (no tiene
ningún ángulo interior recto), con un ángulo obtuso y dos agudos y
las ecuaciones resultado de los teoremas 7.3.1 y 7.3.2.
B
A C
a
c = a cosα
β
b = a cosβ
α
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263 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
Figura 20.2. Triángulo oblicuángulo
En la figura 20.2., α y γ son ángulos agudos (menores de 90º) y β es
obtuso (mayor de 90º); luego, si las longitudes de los lados del
triángulo son:
Longitud del lado AB AB→ = a
Longitud del lado BC BC→ = b
Longitud del lado AC AC→ = c
Los teoremas 7.3.1 y 7.3.2 señalan que:
c2 = a2 + b2 - 2a.(proyección de BC sobre AB) (7.3.1)
b2 = a2 + c2 + 2a.(proyección de AC sobre AB) (7.3.2) A β a2 = b2 + c2 – 2b.(proyección de AC sobre BC) (7.3.3) a
c
Observación: si el ángulo α es obtuso, la proyección trigonométrica
será negativa por lo que el signo – del doble producto cambiaría a
+ como lo señala el teorema 7.3.1. En el siguiente teorema se
considera este caso.
α γ B C b
Teorema 7.3.3. Ley de los cosenos
Cualquiera sea el triángulo ABC de longitudes AB, AC y BC, se tiene
que:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 (AB) (BC) cos α
o,
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
donde α puede ser un ángulo agudo u obtuso.
Demostración:
Para comprobar la afirmación del teorema 7.3.3 vamos a
considerar los dos tipos de ángulos que puede ser α.
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264 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
Caso i: α es un ángulo agudo (0<α<90º)
Considere el triángulo ABC de la figura 20.3. donde se tiene a α
como ángulo agudo y se quiere determinar la longitud del lado AB;
para ello trazamos la altura AD para lograr la proyección CD en el
triángulo rectángulo ADC.
De acuerdo al teorema 7.3.2 y la ecuación 7.3.3, se tiene que:
a2 = b2 + c2 – 2b. (proyección de AC sobre BC) (7.3.4)
Pero la longitud de proyección del lado AC sobre BC es el segmente
CD, y de la definición 7.3.1
CD = c cos α
Luego, sustituyendo en la ecuación 7.3.4,
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
A
a c
α B C D b
Figura 20.3. Triángulo ABC
Caso ii: α es un ángulo obtuso (90º<α<180º)
Considere el triángulo ABC de la figura 20.4. donde α es obtuso y se
quiere determinar el lado opuesto AB. Trazamos la altura AD, de
manera de construir el triángulo rectángulo ABD.
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265 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
A
Figura 20.4. Triángulo ABC
Nuevamente, por el teorema 7.3.1, y la ecuación 7.3.2:
a2 = b2 + c2 + 2b (proyección de AC sobre BC)
Pero la proyección del lado AC sobre BC es el segmento DC, y por la definición de funciones trigonométricas (ecuación 7.3.1) se tiene que:
DC = AC cos θ
DC = c cos θ
Como el ángulo θ es suplementario al ángulo α se sigue que,
cos α = -cos θ porque α está en el II cuadrante
Luego,
DC = -c cos α
Es decir,
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
Note que si α es 90º (ángulo recto), el triángulo es rectángulo y
como cos90º=0 lo que resulta es el Teorema de Pitágoras a2 = b2 +
c2.
Teorema 7.3.4. Ley de los senos
Cualquiera sea el triángulo ABC se tiene que:
AB
senAC
senBC
sen γβα==
ó,
c
senb
sena
sen γβα==
También de la forma:
γβα sen
csen
bsen
a==
C
α
c
a
b D
θ
B
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266 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
Siendo α, β y γ, ángulos agudos u obtusos.
Demostración:
Para comprobar el teorema 7.3.4 vamos a construir un triángulo
cualquiera ABC, asumiendo que todos los ángulos internos α, β y γ
son agudos (la demostración es análoga para ángulos obtusos); y
trazamos dos de sus alturas CD y BE. Ver figura 20.5.
Figura 20.5. Triángulo ABC
a. Con la altura CD, los triángulos ACD y BCD son rectángulos
cuyas hipotenusas son AC y BC respectivamente; por tanto,
por la definición de la función seno en un triángulo rectángulo,
se tiene:
sen α = c
CDACCD
= (7.3.5)
sen γ = a
CDBCCD
= (7.3.6)
Despejando CD de las ecuaciones 7.3.5 y 7.3.6 resulta:
CD = c sen α C
CD = a sen γ
Igualando nos queda, c sen α = a sen γ
es decir, c
sena
sen γα= (7.3.7)
b. Con la altura BE los triángulos BCE y ABE son rectángulos;
realizando un razonamiento análogo al anterior se obtiene
que:
sen α = bBE
ABBE
= y sen β = aBE
BCBE
=
A B α
c a
b D
γ
β
E
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267 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
Despejando BE de ambas ecuaciones e igualando se llaga a:
b sen α = a sen β
de donde,
b
sena
sen βα= (7.3.8)
Comparando las ecuaciones 7.3.7 y 7.3.8 observamos que:
c
senb
sena
sen γβα==
Análogamente se obtiene la misma ecuación si el triángulo ABC
tiene un ángulo interno obtuso.
1. Resolución de triángulos oblicuángulos
Las leyes de los senos y de los cosenos son de gran utilidad en la
resolución de triángulos oblicuángulos. A continuación se resolverán
ejemplos que muestran la aplicación de estas leyes.
Ejemplo 20.1
Resolver el triángulo ABC de la figura 20.6. si las longitudes de sus
lados son AB = 6, AC = 4 y BC = 3
A
Figura 20.6. Triángulo ABC
Solución:
Resolver el triángulo dado significa hallar la medida de sus ángulos
interiores, pues se conocen las longitudes de sus lados; luego, por la
ley de los cosenos se tiene:
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α
Sustituyendo las medidas dadas se llega a:
C
α
c = 4
a = 6
b = 3 B
β
γ
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268 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
62 = 32 + 42 – 2.3.4 cosα
36 = 9 + 16 – 24 cosα
Cos α = -2411
luego, α = arccos(-2411
)
α 117.28º ≈
α 117º 17’ ≈
Análogamente, con el ángulo γ:
c2 = a2 + b2 – 2 a b cosγ
42 = 62 + 32 – 2.6.3 cosγ
16 = 36 + 9 – 36 cosγ
cosγ = 3629
361645
=−
Luego,
γ = arccos3629
γ = 36.34º
γ = 36º 20’
Finalmente, como la suma de los ángulos internos de un triángulo
rectángulo es igual a 180º, podemos determinar la medida del
ángulo faltante β como sigue:
α + β + γ = 180º
β = 180º – α – γ
β = 180º – 117.28 º – 36.34 º
β = 26.38º = 26º 23’
Ejemplo 20.2 En el triángulo ABC de la figura 20.7. la longitud de los lados AC y
BC son AC = 3 cm. y BC = 5 cm., y forman un ángulo de 120º.
Determine la longitud del lado AB
Figura 20.7. Triángulo ABC
A
Solución:
Por la ley del coseno,
AB2 = AC2 + BC2 – 2 AC.BC cos120º
C
120º
c = 3
a = ?
b = 5 B
β
γ
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269 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
AB2 = 32 + 52 – 2(3)(5) (-21
)
AB2 = 9 + 25 + 15 = 49
AB = ⇒ 49 = 7 cm.
Ejemplo 20.3
En el triángulo de la figura 20.8., determine el ángulo βy la longitud
de los lados AC y AB
Figura 20.8. Triángulo
Solución:
Por la suma de los ángulos interiores de un triángulo se tiene que:
β = 180º - 60º - 45º = 75º
Por la ley de los senos se tiene que:
º45sen
ACº75sen
8º60sen
AB== (7.4.1)
De tablas se encuentra que,
sen60º = 23
y sen45º = 22
y
sen75º = sen(30º+45º) = sen30º cos45º + cos30º sen45º A
= 21
22
+ 23
22
= 4
)31(2 +
De la ecuación 7.4.1 obtenemos que:
AB = º75sen
sen60º8 =
)31(2316
4)31(2
238
+=
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
racionalizando el denominador, se llega a,
C B 60º
8 cm.
β
45º
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270 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 7: Resolución de Triángulos
Tema 7/ Sesión 20
AB = )33(24)13(324 −=− cm
y,
AC = º75sen
sen45º8 =
)31(16
4)31(2
228
+=
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= )13(8 − cm
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