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5/11/2018 H. Seifert- Uber das Geschlecht von Knoten - slidepdf.com
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TIber das Geschlecht von Knoten.
Von
H. Seifert in Dresden.
Im dreidimensionalen euklidisehen Raum liege ein Knoten f, das ist
ein aus endlieh vielen geradlinigen Streeken bestehender doppelpunktfreier
geschlossener Streckenzug. Beksnntlioh kann man in f eine singularitaten-
£reie orientierbare FHiehe 0 : einspannen, d. h. es gibt eine Flache 0 : , die
der Kugel mit h Henkeln und einem Loch homoomorph ist, so daI3 der
Lochrand gerade vom Knoten f gebildet wird. Unter allen Elachen, die
sich in f einspannen lassen, betrachten wir die mit einer moglichst kleinen
Henkelzahl. Diese minimale Henkelzahl heiI3t das Ges eh le ch t d es Knot en e,
das ubrigens nichts zu tun hat mit dem Geschlecht der unverknoteten
geschlossenen Flachen, auf die aich f doppelpunktfrei legen liiI3t und
wonach man die Knoten in Torusknoten, Brezelknoten usw. einteilt
(vgl. Satz 4). Dann und nur dann, wenn das Geschlecht 0 ist, ist f
in eine Kreislinie deformierbar. Es ist ein ungelostes Problem der
Knotentheorie, das Geschlecht eines beliebig vorgegebenen Knotens zu
bestimmen, '
Im £olgenden sollen nun einige Beziehungen zwischen den Homologie-
gruppen der Uberlagerungen des KnotenauJ3enraumes und dem Geschlecht
des Knotens angegeben werden, die wenigstens untere Schranken fUr das
Geschleoht des Knotens lie£ern (§ 1), und die in vielen Fallen, z. B. beiden 'I'orusknoten sowie bei allen Knoten der Alexander- Briggsschen
Knotentabelle eine genaue Bestimmung des Gesohlechtes ermogliohen (§ 2).
Die Methoden des § 1 werden in § 3 zur Untersuchung der Struktnr del"
Alexanderschen Polynominvariante benutzb, Es wird die notwendige und
hinreichende Bedingung daftlr angegeben, daB ein ganzzahliges Polynom
die Polynominvariante eines Knotens ist, und die Au£gabe gelost, zu vor-
gegebener Polynominvariante alle moglichen Knoten zu konstruieren. Ins-
besondere wird in § 4 ein Knoten angegeben, der in der Polynominvariante
und in den Homologiegruppen der samtlichen zyldischen 'Oberlagerungs-
mannig£altigkeiten mit der Kreislinie iibereinstimmt und doch nicht in
die Kreislinie deformierbar ist,
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5 7 2 H. Seifert.
§ l .
Untere Schranken liir das Geschlecht eines Knotens.
Zuerst sei eine Methode angegeben, naeh der man in jeden durch seine
ebene Projektion gegebenen K noten eine orientierbare Fliiche einspannen kann t).
Wir markieren auf f die Punkte, die den Doppelpunkten (Uberkreuaungs-
punkten) der Projektion entspreehen. f zerfallt hierdureh in 2 d "Teil-
strecken", wenn d die Anzahl der Doppelpunkte der Projektion ist. Die
Teilstrecken werden alle mit einer festen Orientierung versehen, die einer
bestimmten Durchlaufung von f entspricht. Ferner werden je zwei zu-
geordnete Teilpunkte auf f, das sind solche Punkte, die iiber demselben
Doppelpunkt der Projektion liegen, durch eine geradlinige "Verbindungs-
strecke" verbunden. Der aus den Teilstreeken und Verbindungsstreeken
bestehende Streekenkomplex wird nun auf folgende Weise in "Kreise"
eingeteilt. Man durehlauft eine Teilstrecke, wie es die festgesetzte Orien-
tierung angibt, danach die an den Endpunkt der Teilstrecke angrenzende
Verbindungsstrecke, darauf die von dem neuen Knotenpunkt ausgehendeTeilstrecke, dann wiedereine Verbindungsstreeke und so fort. ScblieLHich
kommt man einmal zum Ausgangspunkt zuriick. Gibt es danach eine
noch nicht durchlaufene Teilstreeke, so gibt sie zu einem neuen Kreise
Anla.l3. So mogen sich im ganzen t Kreise bilden lassen. Jede 'I'eilstrecke
Fig. 1. Fig. 2.
kommt in genau einem Kreise vor, jede Verbindungsstrecke dagegen in
zweien, von denen sie in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen wird.
Diese Kreise projizieren sich in die Ebene in doppelpunktfreie Polygone,
die einander offenbar nicht durchsetzen. Es wird nun in jeden Kreis ein
Elementarfliichenstiick eingespannt. wobei man annehmen kann, da.l3 sich
jedes Elementarflachenstttck, abgesehen von den Verbindungsstrecken, ein-
eindeutig in die Ebene projiziert und da.l3 zwei verschiedene Elementar-
flii.chenstiicke keinen mittleren Punkt gemeinsam haben. (Im Falle des
Knotens der Fig. 1 ist t =3, und die Elementariliichenstiieke sind in
der Fig. 2 in der Projektion angedeutet.)
1) Eine andere Methode findet sich bei F. Frankl und L. Pontrjagin, Ein Knoten-
satz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie. Mat.h. Annalen 102 (1930), S.785.
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Geschlecht von Knoten. 573
Die f Elementarflachenstticke bilden zusammen eine in den Knoten
eingespannte Flache. Sie ist orientierbar, da jede Verbindungsstrecke
von den beiden zugehorigen Kreisen in entgegengesetzten Richtungen
durchlaufen wird. Die Eulersche Charakteristik der Flache ist o££enbar
N = - - = -2d+3d-f = d-f,
ihr Geschlecht (Henkelzahl) also, da es sich um eine Flache mit emem
Loch handelt,
h =N+l =d--f+l22'
So hat man in dem in der Fig. 1 gezeichneten Knoten d =4, f =3,
also h =1; die eingespannte Flaohe ist somit eine gelochte Ringflache,
und das Geschlecht des Knotens ist, da es nicht = 0 ist, =1.
Wir wenden uns nun der Untersuchung der Knoteniiberlagerungen
zu. Wir schliellen den euklidisohen Raum, in dem f liegt, durch einen
unendlich £ernen Punkt zur 3-Sphare 6 und bilden die g-bIattrige zykIische
Uberlagerung m g von 6, die den Knoten f zur einzigen Verzweigungsliniehat. Uber jedem Punkte von 6 liegen dann g Punkte von m i l, aus-
genommen die Punkte von f, iiber denen je ein Punkt von f f i 1 g liegt. Einem
gesohlossenen, f nicht treffenden Wege w von 6 entspricht dann und nur
dann ein geschlossener Weg in m g, wenn die Verschlingungszahl von w
mit f durch g teilbar ist. Durch diese Eigenschaften ist f f i 1 g eindeutig
bestimmt t]. Offenbar gestattet m g eine zyklische Deckbewegungsgruppe
der Ordnung g , bei der sich die iiber einem Punkt von 6 liegenden
Punkte zyklisch vertauschen. Wir zeichnen eine bestimmte Umsehlingung
des Knotens als die positive aus und bezeichnen die erzeugende Deck- .
bewegung, die einen Punkt in den naohsten iiberflihrt, mit x und dem-
entsprechend die iiber einem Punkte von 6 liegenden Punkte mit
P, x P, ... , xU-l P.
Spannt man nun in den Knoten f eine orientierbare Flache vom G e-
schlecht h (das grBBer als das Geschlecht des Knotens sein kann) ein, so
entsprechen ihr in m il 9 homoomorphe Elachen
lj, x~, ... , xg-10:,
2) Vergl. H. Seifert u. W. Threlfall. Topologie (Leipzig 1934), § 77. Dort
wird die 'Unverzueigte Vbel'lagerung dE'S "KnotenauJ3enraumes" betraohtet , hier
handelt es sioh urn die verzweigte Uberlagenmg •.bei del' del' Knoten Verzweigungs-
linie ist. Die Homologiegruppen del' beiden Raume unterscheiden sich duroh eine
freie Erzeugende. - Die g-blattrige unverzweigte zyklische Uberlagerung, und daher
auch die hier benutzte verzweigte, litBt sich ebenso gut wie mit Hilfe der Ve:r-sohlingungszahlen daduroh eharakterisieren, daB die Deckbewegungsgruppe zyklisch
von del' Ordnung gist. Vgl. das angefuhrte Buch S. 281.
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574 H. Seifert.
die als gemeinsamen Rand die iiber f liegende Kurve haben, die wiederum
mit f bezeichnet sei, ID lg zerfallt durch diese Fldchen in g Teile, sog. Blatter,
IDl, x I D l, . . . , a _ : g - l I D l,
das sind berandete Mannigfaltigkeiten, die der Reihe nach von ~ und x~,
z ~ und Xl~, ••• , xg-1 ~ und ~ berandet werden. Ein einzelnes Blatt
wird offenbar auch dadurch erhalten, daf man 6 langs der in f ein-
gespannten Flsche "aufschneidet".
Wir berechnen jetzt die Homologiegruppe von ID lg und wahlen zu
dem Zwecke auf ~ 2 h geschlossene Kurven
die auf ~ homolog unabhangig seien, also etwa h Riickkehrschnittpaare.
x/ al, Xi a2, ••• , Xi a2 h
seien die entsprechenden Kurven auf Xi~. Wir ermitteln nun zuerst die
Homologiegruppe des ersten Blattes ID l. ID l wird von den FBi-chen ~
und X ~ berandet, auf denen die 4 h Kurven
l iegen. Die Fig. 3 zeigt die Oberflache von ! .m fiir h =1. (IDl selbst
ist nicht mit dargestellt; ID l ist also nicht etwa das Innere oder AuI3ere
Fig. 3.
der Doppelringflache). Es ist leicht zu sehen, daB diese 4 h Kurven die
Homologiegruppe S j von ID l erzeugen. Is t namlich 0 eine beliebige ge-
schlossene Kurve in IDl, so ist sie in der 3-Sphare 6, die durch Identi-
fizieren von .~ mit z ~ entsteht, nullhomolog, also Rand einer Fliiche q.
In ID f erscheint q als eine Fliiche, deren Rand aus 0 und einer (unter
Umstiinden aus mehreren oder null Teilen bestehenden) Kurve 0' des
Ra.ndes von IDl sich zusammensetzt. Also ist 0 '" - 0' und somit homolog
einer linearen Kombination der ak und x ak' Da iibrigens 0' beim Identi-
fizieren von ~ und x ~ verschwindet, so besteht genauer eine Relation
der Form2h
o '" 1: C X k (ak - x ak)'1.:=1 .
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Geschleoht von Knoten,
Wendet man diese Uberlegung insbesondere auf die Kurven al' a2, ••• , ~h
an, so ergeben sieh die Relationen
(I )2h
at - J; ? 'ik(ak - xak) "" 0 (i =1, 2, ... , 2h).k=l
Dafur kann man aueh schreiben
(1 )2h 2h
}; I'.t. ikak + LPikxak ,,-,0 (i =1,2, ... , 2h),k=l k=l
wobei die Summe der quadratischen Matrizen (OCi le)=A und (Pik) =B
die Einheitsmatrix
A+B=Eist.
Wir behaupten, daB die Relationen (1) bereits ein vollstandiges Re-
lationensystem fur die Homologiegruppe i) des Blattes W l bilden. Es sei
namlichih 2h
} ; I'.t.fk ak + }; P ;kxak "" 0k=l k=l
(2 ) (i =1, 2, ... , m)
ein vollstandiges System unabhlingiger Relationen, unsbhangig in dem
Sinne, daB keine lineare Beziehung mit nicht samtlich verschwindenden
Koeffizienten zwischen diesen Relationen besteht, oder was dasselbe ist,
daB die m-zeilige und 4 h-spaltige Koeffizientenmatrix (A', B') den Rang 'In
hat. Dann muf zunaohst 'In<2 h sein, denn dia Homologiegruppe 5 hat
mindestens so viele freie Erzeugende wie die Randflache von Wl Henkel
hat, also 2 h 8). Da anderseits die 2 h Relationen (I) wegen A + B =E
linear unabhsngig sind, so ist m>2 h, also m= h. Wegen der Voll-
standigkeit des Relationensystems (2) ist (I) eine Folge von (2); es gibt
also erne quadratisehe Matrix :::, ftir die gilt
:::A' =A, s B' =B,also
:::(A' + B') =A + B=E.
Geht man zu den Determinanten tiber, so ergibt sich hieraus
1 : : : 1 =± 1.
und deshalb ist auch umgekehrt (2) eine Folge von ( 1 ) und damit von (1).
Um hieraus die Homologiegruppe ~g der g-blattrigen 'trberlagerung
ro tg zu erhalten, benutzen wir den Satz von der Homologiegruppe eines
zusammengesetzten Komplexes. Er sagt aus, daB die Homologiegruppe
eines Komplezes ~, der aus zwei Teilkomplexen ~1 und ~s mit zusammen-
hiingendem Durchschnitt :l) besteht, die direkte Summa der Homologie-
gruppen von ~l und ~2 ist, in der man noch je zwei Elemente, die der-
8 ) Vergl. das S. 578 angefiihrte 'I'opologiebuoh, S. 223, Satz IV.
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5 76 H. Seifert.
selben Kurve in l)entsprechen, zu identifizieren hat. Wendet man diesen
Satz (g - I)-mal auf die Teilkomplexe ID1,x I D 1 , . . . , XU -1 ID1an, aus denen
I D 1 g besteht, so ergeben sich als Erzeugende von i> g die 2 h g Knrven
wahrend die Relationen durch formale Multiplikation der Relationen (1)
mit z, X2, ... , XU-I erhalten werden. Dabei ist xs a, =av zu setzen.
Bezeichnet man in (1) die Matrix (Yik) mit r, so ist hiemach die Ko-
effizientenmatrix des Relationensystems die folgende g-reihige Matrix, deren
Elemente selbst 2h-reihige Matrizen sind (Nullen stehen fur 2h-reihige
Matrizen aus lauter Nullen):
E-r rOO
o E-r I 0
(3) 0 0 E - r 0
r o E-r
Wir werden nun durch Umformungen der Matrix (3) ein aquivalentes
Relationensystem zwischen denselben 2 g h Erzeugenden Xi ak ableiten, aus
dem hervorgehen wird, daB bereits die 2 h Kurven ai' ... , a!j h die Homo-
logiegrnppe i> u erzengen. Dazu betrachten wir zunachst die (g - n + 1)-
reihige Matrix- (y - I)" y" 0 0
0 I-y Y 0
( 4 " ) 0 0 1-- Y 0
y 0 0 I-y
in der y eine Unbestimmte bedentet.
Wir addieren die mit dem Polynom Q = 1+ y + ... + r::multiplizierte zweite Zeile zur ersten und erhalten:
_ (y _ I)"
oo
1
I-y
o
Qy
Y
I-y
l o o I-y
ooo
Addition der mit y - 1 multiplizierten ersten Zeile zur zweiten und Ver-
tauschung der ersten beiden Spalten liefert
1 - (y - 1)" Q y 0
o - (y - I)n+l yn+l 0
o 0 I-y 0
o o l-y
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Geschlecht von Knoten.
Streicht man darin die erste Zeile und die erste Spalte, so ergibt sich
gerade die Matrix (4n+I), auf die man dieselben Umformungen anwenden
kann. So gelangt man, von der Matrix (41) ausgehend, schlielilich zu der
Matrix
I * *o I *o 0 I
***5)
000
Darin bedeuten die Sterne nicht naher zu bezeichnende Polynome. Jeder
elementaren Umformung der Polynommatrix (41) entspricht nun in der
ganzzahligen Matrix (3) eine Umformung, die zwar keine elementare Um-
formung ist, sich aber aus elementaren Umformungen zusammensetzt.
Dem Ubergang von W ) zu (5) entspricht so der Ubergang von (3) zu
der Matrix
**E
* *o E *o 0 E6) *
o0
Sie lii,Et sich ebenso wie die Matrix (3) als das Koeffizientenschema eines
Relationensystems fUr die Homologiegruppe ~q au££assen. Da bei dem
Ubergang von (3) zu (6) neben den Zeilenumformungen nur Spalten-
vertauschungen angewendet wurden, so stehen im oberen Eingang der
Matrix (6 ) bis auf die Reihenfolge dieselben Kurven wie in der Matrix (3).
Genauer sind es der Reihe naeh die Kurven
(i =I, ... , g - 1, 0).
Aug der Matrix (6) geht hervor, daE die Erzeugenden xi at, "', x i a 2 h
(i =, ... , g - 1) sich alle durch aI' ... , a2h ausdriicken lassen und
daE die Relationen zwischen den letzteren durch die Koeffizientenmatrix
rg - (r- E ) g
gegeben sind.
Wir fassen dss bisherige Ergebnis zusammen in den
Sat z 1: La{3t sich in einen Knoten f eine Elaoh» vom Geschlecht h
einspannen und ist ~ eine von den g dariiberliegendenFlachen des g-blttttrigen
zyklischen Uberlagerungsraumes 9)1g, so ist eine Homologiebasis aI, ... , a2h
von ~ zugleich ein System von Erzeugenden der Homologiegruppe~q von 9)10 '
Bezeichne: also mg die minimale Erzeugendenanzahl von ~g und ist h das
Gesckleckt des K notens f, so gilt die Ungleichung(7 )
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57 8 H. Seifert.
Die Rel at i on en der Homologiegruppe $ )g sind dUTCh eme 2h-reihige
quadratische Matrix der Form
( 8 )
gegeben. Die von 9 unabhangige Matrix r wird dabei aus dem Relationen-system (1) der Homologiegruppe eines einzelnen Blattes erhalten und E be-
zeichnet die 2 h-reihiqe Einheitsmalrix. .
Da die Minimalzahl m1 7
der Erzeugenden gleich der Summe aus der
Bettischen Zahl und der Anzahl der Torsionskoeffizienten der Dimension 1
der g-blattrigen Uberlagerungsmannigfaltigkeit ist, so ist die Ungleichung (7)
gleichbedeutend mit dem
Sat z 2: Die Summe aus der Bettischen Zahl und der Anzahl der
Torsionskoeffizienten der Dimension 1einer beliebigen zyklischm tJberlagerungs-
mannigfaltigkeit f f i ' l g eines K nolens ist hbchsten« gleich dem doppelten Ge-
schlecht des K nolens.
Wiirde man an Stelle der g-blattrigen Uberlagerung die unendlich-
blattrige betrachten, so wiirden sich als Relationen del' Homologiegruppe
diejenigen ergeben, die aus (1) durch Multiplikation mit einer beJiebigen
positiven oder negativen Potenz 'von x hervorgehen. FaJ3t man die Homo-
logiegruppe als eine Gruppe mit Operatoren auf, wobei der Operatoren-
bereich der Integritatsbereich der Polynome in x und X-I mit ganzzahligen
Koeffizienten ist, so sind ai, ••. , a2h die Erzeugenden und (1) die Re-
lationen. Die Determinante del' "Koeffizientenmatrix" E - r+ x r isf
dann (his auf einen unwesentlicben Faktor ± Xll, eine Einbeit des Inte-
gritatsbereiches] eine Invariante der Gruppe mit Operatoren und daher
eine Knoteninvariante. Den Faktor ±Xll kann man so wshlen, daB keine
negativen Potenzen von z auftreten und das konstante Glied positiv aus-HUt. Die so normierte Determinante ist die von Alexander in die Knoten-
tbeorie eingeflihrte "Polynominvariante" L 1 (x). D a die Determinante
2 h-reihig ist, so ist der Grad des Poly noms L 1 (x ) hochstens gleich 2 k,
und man hat den
Sat z 3: DeT Grad der Alezanderschen Polynominvariante L 1 ( e ) ist'
hiichstens gleich dem doppelten Geschlechi des Knotens.
Die indiesem Paragraphen angegebene Ableitung der Homologiegruppe
einer g-blattrigen Uberlagerungsrnannigfaltigkeit kann auch zur praktischep,'
Ermittlung ~er Homologiegruppe benutzt werden, was besonders bei Knotejl:
mit hoher Uberschneidungszahl, aber niedrigem Geschlecht Vorteile biete~
(vgl. § 4). .\-, ,. "
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Geschlecht von Known. 579
§ 2.
Die Geschlechter spezieller Knoten.
Die Polynominvarianten LI(x ) sind fiir die Knoten mit bis zu neun
Uberkreuzungen ermittelt worden 4 ). Spannt man in diese Knoten naohdem in § 1 angegebenen Verfahren Elachen ein, so zeigt es sieh, daE das
Geschlecht der eingespannten Flacho bei 77 Knoten gleich dem halben
Grad des Polynoms .1 (x ) ist, Bei den Knoten
820, 8il, 942, 945, 946, 9'7' 9'8
ist dagegen das Geschlecht der eingespannten Flache bzw.
3, 3, 3 , 3, 2 , 3 , 2 ,
wahrend der halbe Grad des Polynoms .1 (x )
2 , 2 , 2, 2 , 1, 2, 3
betrsgt.
Bei dem Knoten 9;18 ist also der halbe Grad von zl (e) groBer als
das Geschlecht der eingespannten Flache, im Widerspruch zu Satz 3. Inder Tat erweist sich der in der Alexanderschen Tabelle verzeichnete
Wert von .1 (x ) als unrichtig fur die Knoten 9 4 , 7 und 9 ' 8 ' Die richtigen
Werte lauten
947: .1 (x)=1-4x+ 6x2-5x8+6x'-4x5+X6,
948: .1 (x) =1 - 7 x + 11 x~ - 7 XS + x'.
Es bleiben damit nur die ftinf Knoten 820>821> 942, 945>946, bei
denen das Geschlecht der eingespannten Flache um 1 groBer ist als die
halbe Gradzahl von z l (x). In diesen Fallen kann man die Knotenprojektion
so abandern, daf sich das Geschlecht der eingespannten Flache um eine
Einheit emiedrigt "). Bei allen Knoten der Alexander~ Briggsschen Tabelle
ist somit auf Grund von Satz 3 das Knotengeschlecht durch die halbe Grad-zahl der Alexondersche« PolyrlOminvariante L1(x) gegeben. .
4 ) Man findet sie bei J. W.Alexander, Topological invariants of knots and
links. Trans. Amer. Math. Soc. 30 (1928), S. 305. und (mit einer VerbesAerung
versehen) bei K. Reidemeister, Knotentheorie (Berlin 1932), S.41.
5) Hierauf machte mich Herr C.Weberaufmerksam. Die umgeformten Knoten-
projektionen sind:
c@®~~@io 4 1 , o f ! l ~! ~,
Fig. 4.
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580 H. Seifert.
Bei den bisher angegebenen Knoten ist das Geschlecht in keinem
Falle gro13er als 4. Knoten beliebigen Geschlechts finden sich dagegen
unter den Torusknoten, die WIr jetzt untersuchen wollen. Der Torus-
knoten p, q ist eine auf einer Rotationsring£liiche gelegene, doppelpunkt-
freie geschlossene Kurve, die einen Meridiankreis
der Ringflache p mal und einen Breitenkreis
q mal gleichsinnig durchsetzt. p und q sind also
teilerfremd. In der iiblichen Projektion bat der
Knoten (p - I) q Uberkreuzungen. (Die Fig. 5
zeigt den Fall p =3, q =4). Die oben be-
schriebene Konstruktion emer eingespannten
Elache fiihrt zu emer Zerlegung der Knoten-
projektion in P Kreise und damit zu emer Fliiche vom Geschlecht
(p -I)·q - P +1_p -I) (q -I) Wir behaupten, da13 sich keine Flaohe2 - 2
niedrigeren Geschlechts einspannen liil3t, daf also der Satz gilt:Satz 4: Der Torusknoten p, q hat das Geschlecht (P-I)2(q-l).
Die Richtigkeit der Behauptung folgt unmittelbar aus Satz 2 und der
folgenden Tatsache:
Die pq-blattrige zyklische tlberlagerung des Torusknotens p, q hat ZU1'
Homologiegruppe die freie Abelsche Gruppe von (p - 1) (q - I) Erzeugenden.
Um die pq-bliittrige UberIagerung des Knotens zu ermitteln, bedenken
wir, daB die dreidimensionale Sphiire 6, in der der Knoten f liegt, eine
Faserung durch Torusknoten gestattet, m der f als gewohnliche Faser
auftritt 6) . Daher ist auoh die -p q-blattrige UberlagerungsmannigfaJ tigkeit
ein gefaserter Raum 6 =m " Q In 6 gibt es zwei Ausnahmefasern H 1 >
und Hq mit den Vielfachheiten p und q. H bezeichne eine beliebige ge-wohnliche, vom Knotcn f verschiedene Faser in 6. Die Verschlingungs-
zahlen von H, H" und s, mit f sind pq, q, p (1 . c. S. 211). Somit muls
man H einmal, H" p mal, H q q mal durchlaufen, um im Uberlagerungs-
raum 6 einen geschlossenen Weg zu beschreiben. Es liegen daher iiber
H, H", n, bzw. pq, q, p Fasern von 6, wiihrend iiber dem Knoten f,
der ja Verzweigungslinie ist, eine einzige Faser liegt. Da nun die Fasern
von 6 und 6 eineindeutig den Punkten der Zerlegungsflachen f und fentsprechen, so ist hiermit f als ·eine pq-bliittrige Uberlagerungsfliiche von
f erkannt. Die den Fasern f, H'" H a entsprechenden Punkte von f sind
die drei Verzweigungspunkte. Wir berechnen die Eulersche Charakteristik
von f und wahlen zu dem Zweck cine simpliziale Zerlegung von f, in
Fig. 5.
6) VgI. H. Seifert, Topologie dreldimensionaler gefaserter Riume, Acta math. 60
(1933), S.159.
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Geschlecht von Knoten.
der die drei Verzweigungspunkte als Ecken auftreten. Es seien 1 % 0 Ecken,
a1
Kanten und a2 Dreiecke vorhanden. Sehen wir zunachsb von den drei
Verzweigungspunkten ab, so liegen iiber jedem Stuck von f p q Stucke
von f . Dber den Verzweigungspunkten aber liegen bzw. 1, q, 'P Punkte
von f . f hat dahera o = q (0 :0 - 3) + 1+ p + q Ecken,
a 1 = q O C I Kanten,
a 2 = p q O C 2 Dreiecke.
Die Eulersche Charakteristik von fist also
N =- a o + a l - a 2 = p q ( - C X o + O C I - oc2 ) + 3 p q - 1 - P - q.
That als Kugelflache (1 . c. S. 161) die Charakteristik - O C o -+ - 1 % ] - oc~=- 2,
so dal3 man erhalt
N =q - p - q - 1,
und Iolglich fur das Geschlecht von f
#+2 (p-I)(q-I)-2- - 2Die Homologiegruppe von (5 besitzt nun die Homologiegruppe von
f zur Faktorgruppe ( 1 . c. S. 201). Letstere ist eine freie Abelsche Oruppe,
und die Zahl der Erzeugenden ist duroh das doppelte Geschlecht von f,d. h. durch (p -1) (q -'1) gegeben. Die Homologiegruppe von (5 he-
sitzt also mindestens (p - 1) (q - 1) freie Erzeugende. Weitere Er-
zeugende kann es nicht geben, da dutch Satz 2 die Zahl der Erzeugenden
hOchstens gleich dem doppelten Geschlecht des Knotens ist, letzteres ist
aber hochstens gleich (p -1)2(q - I), da wir eine Flsche von diesem Ge-
schlecht in den Knoten eingespannt haben, Damit ist alIes bewiesen.
Bei der P q-blattrigen Dberlagerung des Torusknotens p , q nimmt dieBeuisehe ZahZ den durch das Knotengeschlecht gegebenen maximalen Wert
an. Es gibt aber auch Knoten beliebig hohen Geschlechts, bei denen die
Anzahl der Torsionskoe//izienten einer passenden Uberlagerung das Maxi-
mum erreicht und dementspreehend die Bettische Zahl gleich Null ist.
Dies gilt fiir alle Torusknoten 2, 2 h + 1. Es ist nlim Zich das Geschlecht
d ieses Knotens , wie bereits bewiesen wurde, gleich It , w ahrend die (2h + " J ) -
b li it tr ig e t Jbe rl age rung , wie wir zeigen werden, 2 h Tors ion skoe/ fi zi en ten
vom W erte 2 besitzt.
Man kann dies beweisen, indem man die Fundamentalgruppe der
Uberlagerungsmannigfaltigkeit nach dem Verfahren von Reidemeister be-
rechnet 7). Einen besseren Einblick in die Struktur der Uberlagerungs-
7 ) K. Reidemeister, Knoten und Gruppen,Abh.math. Sem.Hamburg. Univ.5
(1926), S. 7-23.
581
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5 8 2 H. Seifert.
mannigfaltigkeit gewinnt man aber, wenn man sie als gefaserten Raum
konstruiert.
Wir geben gleich das Ergebnis an und verifizieren nachtraglich, daIl
es sieh urn den (2h + 1)-fachen Uberlagerungaraum handelt. Man nehme
eine Kugelflache.ft und schneide aus ihr am Aquator in gleichen Abstanden2 h + 1 gleich groIle kreisformige Locher heraus. Ebenso soIl ein kleines
Loch um den Nordpol ausgeschnitten werden. Die Randkreise der Locher
mogen der Reihe nach
Q l o . . . , Q 2 h + 1 , Q lh + 2
heiIlen und mit gleichartigen Orientierungen verseheu sein. Wir betrachten
dann das topologische Produkt i aus dieser (2h + 2) -fach gelochten
Kugelflache und einer Kreislinie ii. Es ist eine dreidimensionale, von
2 h + 2 Ringfliichen berandete l\fannigfaltigkeit. Auf die.2 h + 1 Ring-
flachen am Aquator wird je ein Vollring mit seiner Oberflache aufgesetzt,
und zwar so, daIl der Meridiankreis des Vollringes
Mi'-'2Qi +ii (i = 1,2, ... , 2h + 1)wird. Ebenso wird die Ringflache am Nordpol mit einem Vollring ver-
schlossen, dessen Meridiankreis
M 2h+2""" Q 2 h +2 - hii
sei. Die Homologiegruppe der entstehenden Mannigfaltigkeit 6' hat offenbar
die Erzeugenden
Q 1 ' . . . , Q 21 1 + 2 , ii,
zwischen denen in i die Homologie
( 9 ) Q 1 +...+ Q 2 h + 2 ,-,0
besteht. Hierzu treten durch die SchlieIlung mit den Vollringen die
weiteren Homologien
( 1 0 ) 2Q;+ii,....,0 (i=I,2, ... ,2h+l)
(11) Q2h+2-hH,_,0 .
Wir behaupten, daB 6 die (2 h + 1)-blattrige Uberlagerungsmannigfaltigkeit
des l'orusknotens 2, 2 h + 1 ist. 6 ist nsmlich, wie aus seiner Kon-
struktion hervorgeht, ein gefaserter Raum mit 2 h + 1 zweifachen Aus-
nahmefasern und mit der Kugel 5 i als Zerlegungsflache. 6 gestattet
eine zyklische Gruppe der Ordnung 2h + 1 von fasertreuen Selbstabbil-
dungen, bei der sich die 2h + 1 zweifachen Ausnahmefasern zyklisch ver-
tauschen, wii.l1rend die dem Nordpol und Siidpol entsprechenden gewohn-
lichen Fasern in sieh iibergehen, und zwar bleibt die letztere punktweise
fest. Um den gefaserten Raum ID l zu erhalten, der durch Identifizieren
aquivalenter· Punkte aus e hervorgeht, identifizieren wir zunii.chst dieii.quiv&l~nten Punkte in X . Es ergibt sich das topologische Produkt X
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Geschlecht von Knoten. 583
aus einem Kreis H und einer Kugel mit zwei Lochern, Der eine Loch-
rand ist das gemeinsame Bild der Kreise Q L ' . . . , Q 2 h + l und sei mit Ql
bezeichnet. Der Rand Q2 h + 2 des anderen Loches dagegen wird von dem
Kreis Q2 h +2 (2 h - + - 1) mal tiber lagert. Die in 6 bestehenden Homologien
. (1 0) und (fi) gehen daher auf m tiber in die Homologien(10) 2Q1 + H ,.. .. .,0,
(11) (2h + I)Q2h+ 2 - h H ,.. . . ,0 .
AuBerdem hat man of£enbar
(9 ) Ql + Q2 h+ 2"'_'0.
Die Homologie (11) besagt, daB die dem Nordpol entsprechende gewohn-
liche Faser von @ in eine (2 h + I)-fache Ausnahmefaser von @ tibergeht.
W I: hat also zwei Ausnahmefasern der Vielfachheiten 2 und 2 h + 1, und
da die Determinante des Relationensystems (9), (10), (11) gleich 1 ist, so
liegt die durch Torusknoten 2, 2 h + 1 gefaserte 3-Sphare vor (1 . c. § 11). Da
iiberdies die Deckbewegungsgruppe die dem Siidpol von s t entsprechende
Faser punktweise festliWt, so ist 6' (2 h + I)-fache verzweigte zyklischeUberlagerung von 9)1 mit einer gewohnlichen Faser von m als Verzweigungs-
linie, was zu beweisen war. (Vgl, FuJ3note 2 ) auf S.573.)
Um nun zum Zwecke der Berechnung der Torsionskoeffizienten die
Relationen (9), (10), (11) der Homologiegruppe von 6 auf die Normal£orm
zu bringen, eliminiert man H aus der letzten Homologie ( iO)
2 Q i h + 1+ jj ,....,.
Fiihrt man dann an Stelle von Q i die Erzeugende
Q~, . . _ .Q i - Q2h+I
ein, so ergeben sich gerade die Relationen
2Q~""'" 0, "., 2Q~h"'_' O.Es sind also, wie behauptet wurde, 2 h Torsionskoeffizienten vom Werte 2
vorhanden.
(i - 1, 2, . '" 2h)
§ 3.
Charakterisiernng der Alexandersehen Polynominvariante.
Die Homologiegruppen der 'Oberlagerungsmannigfaltigkeiten eines
Knotens f sind, wie wir in § 1 sahen, durch die Matrix r=Y i k ) von
S.576 bestimmt. Wir wollen jetzt die notwendige und hinreichende
Bedingung dafiir aufstellen, daB eine ganzzahlige Matrix die Matrix reines Knotens sein kann. Daraus wird sieh dann eine Charakterisierung
der Alexanderschen Polynominvariante ergeben.
Wir bedenken zunachst, daB man eine berandete FHi.chevom Ge-sehlecht h auffassen kann als ein ElementarfJiichenstiick E, an das 2ft
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5 84 H. Seifert.
"Bander" angesetzt sind. Diese Darstellung ergibt sich sofort, wenn man
im Fundamentalpolygon der geschlossenen Flache vom Geschlecht h, das
in der "Henkelform" B ) vorgelegt sei, die Ecken abschneidet, was gleich-
bedeutend mit einer Lochung der geschlossenen Flsche ist. Die Fig. 6
zeigt die gelochte Flache vom Geschlecht 2. Man erhalt also den all-gemeinsten Knoten vom Geschlecht h oder kleineren GeschIechtes, wenn
man ein solches gebandertes Flachenstuck auf alle mogliehen Weisen in
den Raum hineinlegt. Wir werden das gebanderte Ftachenstuck in der
ebenen Projektion betrachten und durfen annehmen, daB das Elementar-
fliichenstlick E sich als eine Kreisscheibe projiziert und daB die an-
gesetzten Bander in der Projektion mit E nur die Ansatzstellen gemein
Fig. 6. Fig. 7.
haben. Schlie13lich ist es keine Einschrankung, anzunehmen, daB die
Bander in der Projektion unverdrillt erscheinen, da eine Verdrillung
immer durch eine Selbsttiberschneidung des Bandes ersetzt werden kann
{s o Fig. 7). Es ist somit nur die eine Seite der Flache, die "Oberseite"
sichtbar, (Beispiele sind die Fig. 6 und 9; in ersterer ist f in die Kreislinie
deformierbar.) Schneidet man den Raum lsngs der Flache auf, so spaltet
sich die Flache in zwei Exemplare, die Iangs f aneinanderstoBen. Hebt
man sie voneinander ab (wie man etwa ein zusammengefaItetes Luftkissen
aufblast) so entsteht aus dem Elementarfllichenstlick E mit den 2 h an-
gesetzten Bandem eine Kugel mit 2h angesetzten Henkeln. Der Knoten f
ist dann der scheinbare Umri.l3dieser Flache vom Geschlecht 2 h, und die
FIliche selbst wird durch f zerlegt in zwei Teile, die in § 1 mit ~ und x ~
bezeichnet wurden, wahrend der AuBenraum m hie.l3. Die aus ~ und x ~
bestehende Flache vom Geschlecht 2 h bezeichnen wir auch mit ~ + x ' l Y ,und wir verstehen unter ~ immer den sichtbaren (oben liegenden) Tell
der Filiche. In der Projektion sind ~ + x ~ und ~ nicht zu unte.r~
scheiden und konnen daher durch dieselbe Figur dargestellt werde;n
(s. Fig. 6 und 9).
8 ) Vgl. dR S S. 573 angefuhrte Buch.
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Geschlecht von Knoten.
Zur Ableitung der Relationen (1) von S. 575 wahlen WIr auf (j
h Paare von konjugierten Rlickkehrschnitten, at, a2; as, a~: ... ; a2 h-1,
a2h, von denen jeder ein angesetztes Band durchlauft (s. Fig. 6). Diese
orientieren wir so, daf a2r+2 von a2r+t in dem gemeinsamen Punkt von
links nach rechts iiberkreuzt wird. Man hat also bei richtiger Orientierungder Flache ~ die Schnittzahlen
(1 2)
und daher
(13)
Die ai bilden zusammen mit den entsprechenden Kurven z a, auf der
Flache x ~ eine Homologiebasis von ~ + x~. Mit Ai sei der tiber a; er-
richtete unendliche Halbzylinder bezeichnct, der senkrecht auf der Zeichen-
ebene steht, Er stellt nach Hinzufugung des unendlich fernen Punktes
ein in ai eingespanntes Elementarflachensttick dar. Wir betrachten nun
den im AuBenraum 9R liegenden Teil Ai von Ai' Der Rand von A i besteht
aus at und eimgen "Schnittkreisen", nsmlich denjenigen, lD denen .A i
von den Henkeln der Flsche (j + x ~ durchsetzt wird. Die Summe
dieser richtig orientierten Schnittkr~ise heiI.le a i , so daB gilt
(14) fR d A. = a. - a~ (in 9R).
Die erwahnten Schnittkreise entsprechen den einzelnen Uberkreusungen
von ai durch die Kurven ak (k =1, 2, "', 2 h) . Betrachten wir z. B.
den Fall, daf at von ak an einer bestimmten Stelle
von links nach reohts iiberkreuzt wird (Fig. 8).
Der Schnittkreis ° von Ai mit der uberkreuzenden
Stelle des zu ak gehorenden Henkels durchsetzt
dann ak von links nach rechie. Also ist ~1I-----:::t:F~~~a.t~j
(15) s (0, ak) =1, rS (C, aj) =0 (j i = k)
I~und auf x(j analog § :
(18) rS(O, xak) =1, rs(O, xaj) = (j = i= k). '- ~
Die Vorzeiohen der 8chnittzahlen kehren sich urn,
wenn ak von rechts nach links tiber at hinweggeht.
Es bezeichne nun Vii, die "Uberkreuzungszahl" von a. und o.k, d. h.
die Anzabl der Uberkreuzungen, bei denen ai, von links nsch rechts tiber
a, geht, vermindert um die Anzahl der Uberkreuzungen, bei denen ak von
rechts nach links tiber a , geht. Man findet dann dutch Addition der
samtlichen Schnittkreise des Halbzylinders .A i mit dem zu ak gehorigen
Henkel aus den Formeln (15) und (18)
Fig. 8.
r s (a;, IZk) =i)"
r S (a ;, x ak) = ik .
(17)
(18)Ma.thematisebe Annalen, 110. 3S
585
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586 H. Seifert.
Die Relationen (1) von S. 575 ergeben sich nun sofort, wenn man
die auf (j+ x (j liegenden Kurven (1- Ketten) a; durch die Basisketten
aI' ... , a2h, xal, ••• , xa2h ausdriickt:
2 h 2 h
a~ ,_ 1:Yik ak - 1:Yik xak (auf (j+ x (j).
1 1
Aus (12), (13) und (17) folgt:
Yi,2,+1 = rS (a;, a2T+ 2) = Vt,2T+2,
Yi,2T+2 =rS(a;, a2T+l) =Vi,2T+l'
Das gibt zusammen mit der aus (14) folgenden Homologie at'_ a; (in 9 J l ) :
at""'_' VUal - Vila'2 + ... + Vi, ih2h-l - Vi,2h-la2h
- (Vi2 xal - ViI X a'2+ '" + Vi,2t XU2 h -1 - Vi,2h-l X a2 It )
(in W L ) .
Die Uberkreuzungszahlen Vik sind nicht unabhsngig voneinander. Sind
erstens a, und ak nicht konjugierte Riickkehrschnitte, also punktfremd,
so istV.k
die Verschlingungszahl von a, undak. Vik =
V(ai, ak),
und dafUr die Verschlingungszahlen die Symmetriebeziehung
'V (ai, ak) =V (ak' ail
(19)
besteht, so gilt
(i 2r+l
(20) V.k =Vk' k = j= 2r + 2 und
a. und ak seien zweitens konjugierte Riickkehrschnitte, etwa i=1, k = 2.
Dann hat es keinen Sinn, von einer Verschlingungszahl von al und a2
zu reden, da sich beide Kurven in einem Punkt P treffen, und zwar
wird gemaJ3 unserer Festsetzung all von al von links nach rechts durch-
setzt. Wir denken uns dann al in der Umgebung des Punktes P etwas
von der Flache (j losgelost und in den Au13enraum 9Jl hinein de£ormiert.
Die so deformierte Kurve sei at . Es wird dann die algebraische Summeder 'Uberkreuzungen von a2 durch ai - wobei eine Uberkreuzung von
links nach rechts mit dem Zeichen +, eine von rechts nach links mit
demZeichen - in die Summe eingeht - gleich 'V (a2, ail = Vu + 1, die
algebraische Summe der Uberkreuzungen von ai durch all dagegen
'V (ai, all) =VII ' so daf3 man wegen der Symmetrie der Verschlingungs-
zahlen erhiilt:
Allgemein ist
(21) VII r + I. II r + 2 =J T + 2, 2 , + 1 + 1.
Wegen (20) und (21) kann man hochstens d i e Zahlen V'k fiir i<k
willkiirlich vorgeben. Tatsa.chlich sind diese Zahlen voneinander un-abhangig, Umeinen Knoten zu vorgegebenen Zahlen V.k (i S k) zu
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Geschleoht von Knoten.
konstruieren, hefte man der Reihe nach die Bander an das Elementar-
flachenstiick E an, so dal3 der Reihe nach die Zahlen Vl2; V13, V
n;
VH V~~, Vs,; ... ; Vl,2hl V2,2/11 .•. , V2h-l,2h die vorgeschriebenen Werte
annehmen. Zuletzt bringe man noch in jedem Band so viele Selbst-
iiberschneidungen (Fig. 7) an, daf auch die Zahlen Vii (i =1, ... , 2 h)
stimmen. Wir fassen das Ergebnis zusammen in dem
Sat z 5. Ist die in den Knoten f eingespannte Elache als Elementar-
/liichenstiick mit 2 h angesetzten Bandern dargestellt (S. 584) und bezeichnet
V,k die Uberkreuzungszahl des i-ten Bandes durch das k-te, so bestehen
zwischen den Vii. die Beziehungen (20) 'Und (21), und die in dem Relationen-
system (1 ) auftretende Matrix r=Yik) lautet:
VI~ - VII VI, ~ h -Vl,2h-l
V22 - V91 VII,2h - V2, IIh-I
r .VSh-l,2 - V2h-I, 1 V2r.-l,2h - V211-1, 2h-l
lV2 71,2 - V2 h, 1 V2h, 2 h - VSh, 2k-l
Umgekehrt tritt jede ganzzahlige Matrix, deren Elemente die Bedingungen (20)
und (21) e-r/ullen, ole Matrix r eines Knotens auf.
Aus der Matrix r ergibt sioh die Alexandersche Polynominvariante
(S. 578) bis auf einen Faktor ± x" als die Determinante
(22) I E - r+ x r I =o+ 01 X + ...+ 0u x~ h.
Beispielsweise lautet diese Determinante fiit b =1 und 2, wenn
man die Uberkreuzungszahlen Vik (i> k) vermoge (20) und (21) durch
die Vrs (r <s) ausdriickt, folgendermallen:
(23) 1 1 +Vu (x - 1) - VlI (x -1)
I ('~=1),I V22 (x - 1) x-v12(x-I)
1+vu (x-I) -VI (x-I) vH(x-I) -VS(x-I)
Vu (x-I) X-'l.'12 (x-I) Vu (x-I) -Vi3 (x-I)(h = 2).
vss(x-I) -VS(x-I) I+v" (x-I) -VS3 (x-I)
Vu (x-I) --vl4 (x-I) v" (x-I) x-VH (x-I) I(24)
Aus dieser Gestalt der Determinante erkennt man leicht, da.Bdas
Polynom (22) immer die folgenden heiden Eigenschaften hat:
I. Es ist Co + C1+ ... + CH =1.
II. Es ist c,=C2h-i (i =, 1, ... , h - I).
Die (bereits bekannte) Eigenschaft I der Polynominvariante ergibtsich, wenn man in (22) x =1 setzt. Um die "Symmetriebedingung" II
zu beweisen, miisasn wir zeigen, da.B 00 + 01 X + ... + On x2" ungeandert
38*
587
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588 H. Seifert.
bleibt bei Ersetzung von x durch X-I und nachtragliche Multiplikation
des Ausdruckes mit x2h; d. h. es muf
(25)
sein. Die Mat.rix z (E - r)+ r geht nun durch die folgenden Trans-formationen in die Matrix E - r+ x r tiber:
1. Vertauschung der (2 r + I)-ten mit der (2 r + 2)-ten Zeile und
ebenso der (2 r + I)-ten mit der (2 r + 2)-ten Spaite (r =, 1, ... , h-I).
2. Vertauschung von Zeilen und Spalten (Umklappung urn. die Haupt-
diagonale).
3. Multiplikation aller geraden Zeilen und Spalten mit - 1.
Da sich bei diesen Operationen die Determinante nicht andert, so
ist damit die Beziehung (25) bewiesen.
Aus den beiden Eigenschaften I und II folgt, daB man hOchstens
die ersten h Koeffizienten co, ... , Ch-l willktirlich vorgeben kann. Die
Koeffizienten Ch+ 1, ••• , C2h sind dann durch II bestimmt, wahrend sich
der "mittJere" Koeffizient ell aus Iergibt.
Wir zeigen nun, daf co' ... , Ch-l voneinander unabhangig sind, d. h.
daB man die Uberkreusungszahlen Vik (i S k) so wahlen kann, daB die
Koeffizienten c o ' • . . , Ch-l willktirlich vorgegebene ganzzahlige Werte er-
halten. Man wahle namlich aIle Vik =0 bis auf
v14' t'S6' V58' ••• , Vih-S,ih und V22'
die man =1 setzt, wahrend
VlS, VS5' V67' ••• , ViA-a,2h-l und Vll
unbestimmt bleiben. Der Wert der so spezialisierten Determinante
I E - r + x r I sei All' Aus (23) und (24) erhslt man z. B.
Al = : _ 1 - : 1 1 (x - 1) I ;1
x-IAJ =·0
o
- vll (x - 1) x -- 1
x 0
- v 1 8 (x - 1) 1
- (x - 1) 0 x
- V13 (x - 1)
oo
Mit A h bezeichnen wir die (2h - 1)-reihige Unterdeterminante, die
aus All durch Streichen der letzten Spaite und vorletzten Zeile entsteht.
Wir entwickeln A'; nach der letzten Zeile, in der nur - (x - 1) als
einziges von 0 verschiedenes Element steht, und finden:
A;' =- (x - I )2A'_1>
also wegen A{ =-I
(26) A;' =_1)"-1 (X - Ira-I.
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Geschleoht von Knoten.
A" berechnen wir durch Entwicklung nach der letzten Spalte, in
der - '1)2h-8, 2h-l (x - 1) und x als die einzigen von 0 verschiedenen
Elemente stehen:
Ah =V2h-8, 2h-dx - 1)[(x -1)A~-I]
+ X [Ah-1 + (x - 1) {- V2h-3, ill-I (x - 1)IAh - 1 ],
oder mit Benutzung von (26)
(27) A" =xAh-1 + (-1)h-1V2h_5, 2h-dx - 1)2h.
Unsere Behauptung, daB jedes beliebige Polynom Co + c1 X + ... + C2 h x2 h
mit den Eigenscha£ten I und II in der Form einer Determinante A I> (in der
die unbestimmt gebliebenen Koeffizienten noch geeignet zu spezialisieren sind)
geschrieben werden kann, ist o££enbar richtig fUr h =1. Sie sei fUr
den Index h - 1 bereits bewiesen. Insbesondere konnen wir also durch
passende Wahl der in Ah-1 auftretenden unbestimmten Koeffisienten
V11, V13, V35, ••• , V2h-5, 2h-3 es erreichen, daB Ah-1 gleich dem Polynom
vom formalen Grade 2 h - 2.00 + 01 X + ... + 02h x
2h - 00 (x - 1211
X
wird, dem offenbar die (fiir den Index h - 1 zu formulierenden) Eigen-
schaften I und II zukommen. Ferner setzen wir v~h - S, 2 h-1, iiber das
noch nieht verfiigt wurde, gleioh (_1)h-1CO ' Dann £olgt aus (27) so£ort:
A I> =o+ C1X + ..,+ < "2 h X2 h.
Damit ist der Induktionsbeweis beendet.
Den willkiirlichen Faktor ± xn, mit dem die Alexandersche Polynom-
invariante behaftet ist, pflegt man so £estzulegen, daB das Absolutglied
der Polynominvariante LI(x ) positiv ausfallt, (S.578). Dementsprechend
tritt bei LI(x ) an Stelle der Eigenschaft I die Eigenschaft I': Co >0,
ri =± 1. Wir haben damit die folgende Charakterisierung der
Alexanderschen Polynominvariante:
Sat z 6: Ein ganzzahliges Polynom 00 + 01 X + ...+ O ll h X2 h ist
dann und nur dann die Polynominvariante eines Knotens, wenn die Be-
dingungen 00> 0, Co +01 + ... + C2" = ± 1, o. = C2h-t(i =0,1, ... ,
h - 1) erfullt sind.
Ist ein solches Polynom LI(x ) vorgelegt, so laBt sioh die Aufgabe,
aIle moglichen Knoten mit der Polynominvariante LI(x ) zu konstruieren,
folgendermaBen losen: Man ermittelt ein System von Ilberkreueunge-
zahlen Vii" so daB I E - r+ x r I =± x n LI(x ) wird, und konstruiert
naeh dem Verfahren von S. 587 eine gelochte Flache vom Geschlecht 2 h,deren Rand ein Knoten von der gewiinschten Beschaf£enheit sein wird.
589
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590 H. Seifert.
§ 4.
Beispiel elnes Knotens, der sieh von der Kreislinie nieht durch die
Homologiegruppen der zyklischen Vberlagerungen und dureh die
Alexanderschc Polynominvariante unterscheiden lallt.Wir fragen jetzt insbesondere nach den Knoten, deren Polynom-
invariante L 1 (x ) =1 ist. Sieher gehort die Kreislinie zu ihnen. Wir
werden sehen, daB es auDer der Kreislinie noeh andere Knoten mit
dieser Eigenschaft gibt.
Wir mtlssen dafiir sorgen, da.13 in dem Polynom I E - r+ x r I,dessen formaler Grad 2 h ist, alIe Koef£izienten versehwinden bis auf
den mittleren, der dann nach I, S. 587 gleich 1 sein muB. Die defi-
nierenden Relationen (1) S.575 der Homologiegruppe der unendlich-
blattrigen Ubedagerungsmannigfaltigkeit lassen sich nun als ein homogenes
lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten aI, •••,a2 h und der
Koeffizientenmatrix E - r+ x r auf£assen. Da die Determinants des
Systems gleich Xh, also eine Einheit des Integritatsbereiches ist, so folgt(Cramersche Regel), daB ap"" a2h samtlich in der unendlichblattrigen
Uberlagerungsmannigfaltigkeit, also erst recht in jeder endlichblattrigen
nullhomolog sind. Sobald sieh also I E - r + x r I auf die Potenz xl i .
reduziert, reduzieren sich die Homologiegruppen der samtlichen zyklischen
Uberlagerungsmannigfaltigkeiten des Knotens auf das Nullelement, d. h.
die 1Jberlagerungsmannig£altJgkeiten sind entweder die 3-Sphare oder
Poinoaresche Raume,
Betrachten wir den einfachsten Fall h =1. Es ist zu verlangen,
daB in dem Polynom I E - r+ x r I vom formalen Grad 2 der Hdchst-
koeffizient
I r I= vl2
- vll
IV22 - Vu+ 1
verschwindet. Das ist z. B. der Fall fur v12 =-1, vlI=1, V22=.
Ein Elementarflachenetuck mit zwei angesetzten Bsndem, die sich diesen
Uberkreuzungszahlen gemaB ubersohneiden, ist in Fig. 9 gezeichnet.
Urn zu zeigen, da.6 der Knoten nicht in die KreisIinie deformierbar
ist, berechnen wir seine Fundamentalgruppe und bringen zu dem Zwecke
den Knoten zunachst in eine iibersichtlichere Gestalt. Wir verwandeln
die Selbstubersohneidungen der Bander gemii.13der Fig. 7 in Verdrillungen.
So entsteht der Knoten der Fig. 10. SchlieBlich werden die gegenseitigen
Uberschneidungen der Bander durch eine Verdrillung des Elementar-
flachenstuckes E urn 3 1t beseitigt. Dabei wird jedes der heiden Bander
noch urn 3 n verdrillt, so daB dann das linke Band im ganzen um 7 n,
das rechte urn 5.n tordiert ist (Fig. 11). Nunmehr bezeichnen wir die
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Geschlecht von Knoten.
Gebiete, in die die Ebene durch die Knotenprojektion zerlegt wird, mit
A, E, C, b., b2, •• " bw so wie es die Fig. 11 zeigt. Mit den gleichen
Buchstaben wird ein von einem festen Ausgangspunkt ausgehender ge-
schlossener raumlicher Weg bezeichnet, der das betreffende Gebiet einmal
von oben nach unten und das Au.f3engebiet einmal von unten nach obendurchsetzt. Die geschlossenen Wege A, B, 0, b., ... , bl S erzeugen dann
Fig. 9. Fig. 10. Fig 11.
die Fundamentalgruppe, und die Relationen, die den einzelnen "Ober-
schneidungen entsprechen, lauten:
A a-I =b1 A O:' =7 B-1
A b i! =; Ab" i1 = = b e B-1
Ab il =b s Ab;1 =18B-l
Aba l =t
Ab41 =b5
A b r . -I=o
Ab"61 =ls
Aus jeder dieser drei Reihen lii.J3t sich bls durch Elimination der
iibrigen bk berecbnen. Es ist z, B.
b ls =A b " 6 1 =A b5 A-I = ~b;:l A-I = A 2i,A-2 =A 8 b"21A-2
=A 8 blA-3 =A 4 0-1 A-a.
Analog wird
b iB=A B-1 A 0-1 B A-I B und b13= -'J 0-1 B3,
also schlie.f31ich
(28) A' 0-1 A-8 a =A B-1 A 0-1 B A-I B a =B-S 0-1 BB O.
a =Bb;1
b u =Bb1 0 l
b L O =Bb1 11
s;=Bbi}
b 1 2 =B bil.
Ware unser Knoten in die Kreislinie deformierbar, so ware (28) die
freie zyklische Gruppe. Das kann nicht sein, da die Relationen (28) voneiner nichtzyklischen Gruppe starrer Bewegungen der hyperbolischen Ebene
591
5/11/2018 H. Seifert- Uber das Geschlecht von Knoten - slidepdf.com
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592 H. Seifert, Geschlecht von Knoten.
erfiillt werden. Man konstruiere namlich in der hyperbolischen Ebene
ein Dreieck A Br mit den Winkeln ' J I; /7 , ' J I; /5 , ' J I ; / 3 und verstehe unter A
eine Drehung um die Ecke A durch den Winkel - 2 ' J I ; j 7 , unter B die
Drehung um B durch den Winkel + 2 ' J I ; j 5 , unter 0 dieSpiegelung an der Seite A B~(Fig. 12). Dann bedeuten
A' 0-1 A-3 0 = A' (0-1 A-I 0)3
r
B-2 0-1 Ba0=Br» (0-1 B 0)3und
offenbar die identische Transformation 9) . Den mittleren
Ausdruck in (28) schreiben W IT so:
[AB-1] [A (0-1 BO)][(O-lA-l 0)(0-1 B0)].
AIle drei eckigen Klammern bedeuten dieselbe hyper.
bolisehe Bewegung, namlioh die Drehung um r durch den
Winkel 2 ' J I ; / 3 , so da.13der gauze Ausdruck wiederum die
identische Transformation ist. Die Gruppe, die von den hyperboliachen
Bewegungen A, B, 0 erzeugt wird, erfiillt also die Relationen (28). Somit gilt
Sat z 7: Es gibt K noten, bei denen swh die , H omologiegruppen de r
s{),mtlichen zyklischen tJberlagerungen aut das Nullelement reduzieren uM
die sich demgema{J weder durch die Alexandersche Polynominvariante n o o k
durch die Torsionskoettizienten und Bettischen Zahlen der zyklischen t J b e r .
lagerungsmannigfaltigkeiten von der Kreislinie unterscheiden lassen.
BB
Fig. 12.
9 ) Das Produkt U V zweier Abbildungen wird erhalten, wenn man erst T ' und
dann U ausiibt.
(Elngegangen am 27. 6. 1934.)
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