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El discente
Identificará en clase y vinculara los conceptos del cálculo
diferencial integral y de ecuaciones diferenciales con
problemas biológicos.
Se planteará series de ejercicios que refuercen lo visto en
clase, así como prácticas de campo que enseñen al
discente el uso de la herramienta matemática.
I
El discente será capaz de :
Conocer y utilizar los conceptos del cálculo diferencial e
integral y de las ecuaciones diferenciales para utilizarlos
en problemas biológicos.
Disposición del discente en realizar actividades en equipo
y el reconocimiento de liderazgo.
II
1. LA INTEGRAL
1.1 El área bajo la curva.
1.2 La integral definida.
1.3 Métodos de integración: por
sustitución, por partes y fracciones
parciales.
1.4 Aplicar el tema en problemas
biológicos.
III
Batschelet, E. 1979. Introductions to Mathematics for Life
Scientics. Third edition. Springer-Verlag.New York. 643 pp.
Braun. 1990. Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones. Ed.
Interamericana.
Causton, D.R.A. 1977. Biologist is Mathematics. Edward
Arnold. Ingland. 326pp.
Dubley, B. A.C. 1977. Mathematical and Biological
interrelations. John Wiley & Sons
Leithold, L. (1998). El Cálculo. 7ma. Edición. Oxford UniversityPress.
1
2Imagen consultada:
https://www.google.com.mx/search?q=batschelet+e+1979+introductio
n+to
3Imagen consultada:
https://www.google.com.mx/search?tbm=isch&sxsrf=ACYBGNTC9KW
51le74vgPGn_4wuwF2UUalg%3A1569283220259&sa
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Imagen consultada:https://www.google.com.mx/search?q=jose+luis+cuevas&sxsrf=ACYBGNRQwl3b5CjKx6PzTnK3r8s7C
dx= se llama diferencial de la variable
independiente de la variable x y simplemente
es un incremento de x.
dy es denominada diferencial de la variable
dependiente “y” si la función de x y dx se
determina.
dy= f´(x)dx
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1. La operación de encontrar la
derivada de una función es llamada
diferenciación
PT= tangente (línea de color guinda).f´(x) es la pendiente de la
línea tangente PT.PR= trayectoria del valor de x a Δx (línea azul horizontal).TR/PR= pendiente de la recta o línea tangente PT = f´(x)
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Actividad 1: la diferencial
Imagen consultada:https://www.google.com.mx/search?q=jose+luis+cuevas&sxsrf=ACYBGNRQwl3b5CjKx6PzTnK3r8s7C
Se conoce que dy=f´(x)dx
Donde f(x)= x3 + 5x +7
Su derivada f´(x)= 3x2 +5
Por lo tanto dy es:
dy=(3x2 +5)dx
8
9
Imagen consultada:
https://www.google.com.mx/search?tbm=isch&sxsrf=ACYBGNR4ftWj3
Cx61pmzAR-HjM-NgldT6A%3A1569022117137&sa=1&ei=pWCFX
Si la diferencial es:
dy=(3x2 +5)dx
Sustituyendo los valores de x=2 y ∆x=0.01
El valor de “dy” es:
dy= (3.22 +5)(0.01)=0.17
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11Imagen consultada:
https://www.google.com.mx/search?tbm=isch&sxsrf=ACYBGNTrJUtbX
jxaY8Bz51kX-87VU2OdWg%3A1569022580730&sa=1&ei=dGKF
Figura 3. Se denomina sístole a la
contracción del corazón (ya sea de una
aurícula o de un ventrículo) para
expulsar la sangre hacia los tejidos.
Figura2. Se denomina diástole a la
relajación del corazón para recibir la
sangre procedente de los tejidos.
12
Imagen consultada:
https://www.google.com.mx/search?tbm=isch&sxsrf=ACYBGNQrcVmv
H4tI9vaoFrZXTVl660P04w%3A1569023094292&sa=1&ei=dmSFXfSy
EYyGtQWE6afY
Modelo del ritmo cardiaco
f= cantidad en cm3 por min. de CO2 que es eliminado.
x= la concentración de CO2 en la mezcla de la sangre
venosa que sale del pulmón.
z= la concentración de CO2 de la sangre arterial que
sale del pulmón.13
x=0.55 cm3 de CO2
x= 0.48 cm3 de CO2
f=400 cm3 min-1
Valor del error igual al 2%
14Imagen consultada:
https://www.google.com.mx/search?tbm=isch&sxsrf=ACYBGNTrJUtbX
jxaY8Bz51kX-87VU2OdWg%3A1569022580730&sa=1&ei=dGKF
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Imagen consultada:
google.com.mx/search?q=animales+de+sabana+africana&sxsrf=ACY
BGNQIcw1Bv7QbFGE6mgGDu
La expresión que denota la razón de cambio de una
población es:
Despejamos al tiempo para dejar solo la población y
obtenemos:
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Figura 4. La Suma de Riemann se apoya de manera gráfica con el cálculo del área bajo la curva de una función. (Batschelet, 1979).
18
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Imagen consultada:
google.com.mx/search?q=animales+de+sabana+african
a&sxsrf=ACYBGNQIcw1Bv7QbFGE6mgGDu
(Batschelet, 1979)
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Ejercicio consultado del (Leithold, 1999)
1. N=3t3 con [0,3] con 4 subintervalos
2. N=t2 + 2t +3 con [0,5] con 4 subintervalos.
3. N=t +2 con [0,4] con 3 subintervalos.
4. N=t½ con [0,5] con 4 subintervalos
5. N=t2 +t +1 con [0,3] con 3 subintervalos
21
(Leithold, 1999)
22Figura 5: Determinación aditiva de áreas debajo
de la curva (Batschelet, 1979).
23Imagen consultada:
https://www.google.com.mx/search?tbm=isch&sxsrf=ACYBGNRlSUij0
E3CX-
8Vq84pjm7xD0KHNw%3A1569023158759&sa=1&ei=tmSFXd3wL
24Imagen consultada:https://www.google.com.mx/search?q=jose+luis+cuevas&sxsrf=ACYBGNRQwl3b5CjKx6PzTnK3r8s7C
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Figura 6: Representación del área debajo la
curva (Batschelet, 1979).
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Figura 7: Representación de áreas debajo la
curva(Batschelet, 1979).
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(Batschelet, 1979)
28Imagen consultada:
https://www.google.com.mx/search?tbm=isch&sxsrf=ACYBG
NTqh_m-
PAis6WgxqW4DdHm2tEzZmg%3A1569024327885&sa=1&ei
=R2mFXYnKNZGYsA
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(Batschelet, 1979)
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Branda negra (sp de ganso), migradel ártico a BC México.
Pato golondrino migra de Alaska aGuatemala.
Aves terrestres tienen una Una autonomía de vuelo de2500 km.Aves linícolas de 4000 km.
33Imagen consultada:https://www.google.com.mx/search?q=el+planeta+tierra&sxsrf=ACYBGNTGCP_Tc-IML8f9g_yuEsqqOuXuRQ:1569115940311&sourc
Sea p(t) denota a la población madura
La velocidad de la población es una función del tiempo
34
(Causton,1977)
35Figura 8. Migración del ave con respecto al tiempo (Causton, 1977).
36
Por sustitución.
Por partes.
Por fracciones parciales.
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Se tiene una función f(x)= xn donde n es un número real excepto n=-1 Aplicando la formula de la integral [1] tenemos:
38
(Leithold, 1999)
39
(Leithold, 1999)
40
(Leithold, 1999)
41(Leithold, 1999)
42(Leithold, 1999)
43
(Causton, 1977)
44Ejercicio consultado del (Leithold, 1999)
45Ejercicio consultado del (Leithold, 1999)
1.3 Método de fracciones
parciales
46Ejercicio consultado del (Leithold, 1999)
47
Ejercicio consultado del (Leithold, 1999)
48
Ejercicio consultado del (Leithold, 1999)
49
Ejercicio consultado de Leithold, (1999)
50
(Leithold, 1999)
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