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Il TUTTO e le sue PARTI
Le Pierangiolate n.7Le Pierangiolate n.7
Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche
Luca Chiantini presenta
Il TUTTO e le sue PARTI
Giochi di Archimede ---- 27 novembre 2013
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.
METODO 1
Area cercata = Area del quadrato - Aree dei trapezi
4 ?
Area di un trapezio = ½ (base maggiore + base minore ) x altezza
1 ½ 1
= 3 / 4
Area cercata = 4 – 4 x (3 / 4) = 1 mq
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.
METODO 2
Decomponiamo la figura in quattro parti
Area cercata = ¼ (area del quadrato) = 1 mq
In ciascun quadratino la figura occupa ¼ dell’area totale
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.
Il METODO 2 è migliore del METODO 1
Area cercata = ¼ (area del quadrato)
Non richiede alcuna conoscenza di calcolo delle aree
Può essere facilmente generalizzato
La figura assegnata somiglia molto ad una girandola
Il METODO 2 può essere facilmente generalizzato
PROBLEMA: calcolare l’area di una girandola
....
PROBLEMA : area del cerchio non coperta dal triangolo
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.
che figura è?
Santa Brigida di Kildare Croce di S. Brigida
METODO 2
Decomponiamo la figura in quattro parti
PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
Due figure che possono essere decomposte in parti congruentihanno la stessa area
«se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali»
EUCLIDE – Elementi, libro IEQUI-DECOMPONIBILI
PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
«se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali»
EUCLIDE – Elementi, libro I
Due figure che possono essere decomposte in parti congruentihanno la stessa area
congruenti =possono essere trasformate l’una nell’altra mediante un movimento rigido del piano
sono congruenti?
PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
«se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali»
EUCLIDE – Elementi, libro I
Due figure che possono essere decomposte in parti congruentihanno la stessa area
congruenti =possono essere trasformate l’una nell’altra mediante un movimento rigido del piano
stessa areaalle figure piane è associato un numero (area) che non cambia se si opera un movimento rigido del piano
uguali brutto termine perché ambiguo
stessa areaalle figure piane è associato un numero (area) che non cambia se si opera un movimento rigido del piano
L’area di una figura geometrica è INVARIANTE per congruenze
GEOMETRIA studio delle proprietà delle figure che sono invarianti,
rispetto ad un prefissato insieme di trasformazioni,
ad esempio rispetto alle congruenze.
Felix KLEIN
Programma di Erlangen (1872)
Geometria metrica
affinità
similitudini
proiettività
congruenze
Geometria descrittiva
Geometria affine
Geometria proiettiva
se invece dei movimenti rigidi si considerano le similitudini, l’area non è più un’invariante
ma la misura degli angoli sì.
Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e Scienze Matematiche
altre invarianti per congruenze
volume dei solidi
Due figure che possono essere decomposte in parti congruenti hanno lo stesso volume
Principio di equi-decomponibilità per volumi
ESEMPIO: volume di una piramide
V = B x h
3
versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà
PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI
Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli in figure della stessa area, hanno uguale volume. 1598 - 1647
equi-decomponibiltà
versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà
PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI
Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli in figure della stessa area, hanno uguale volume. 1598 - 1647
equi-decomponibiltà
} dx
Matematica infinitesimale dx
dx + dx + dx + dx + ..... < 1 (dx)2 = 0
ARCHIMEDE diSIRACUSA
Area ABC = 8 x Area ADB
Area del segmento parabolico
serie numerica
+ .... =+ .... =
ARCHIMEDE diSIRACUSA
Area ABC = 8 x Area ADB + equi-decomponibilità
Area del segmento parabolico
Area segmento =
serie numerica
equi-decomponibiltà
= ?
ARCHIMEDE diSIRACUSA
versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà
?
le serie infinite hanno proprietà ASSOLUTAMENTE non banali
se maneggiate SENZA CURA conducono a paradossi
Galileo Newton Leibniz
le serie infinite hanno proprietà ASSOLUTAMENTE non banali
se maneggiate SENZA CURA conducono a paradossi
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + ....
(-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + ....
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + ....
][
[[[
[[ [
]
]]]
] 0
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + .... 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + .... 1(-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + .... -1
x1 = y1 x2 = y2 ....
quindi AB e CD sonoequi-decomponibili?
ma NON hanno la stessa lunghezza
Ma anche la NORMALE equi-decomponibilità PUO’ portare a CONCLUSIONI ERRATE
CRITICA alla EQUI-DECOMPONIBILITA’
PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
Due figure che possono essere decomposte in parti congruentihanno la stessa area
NON PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’Due figure che possono essere decomposte in parti congruentisono uguali
«se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali»
EUCLIDE – Elementi, libro I
PRINCIPIO SBAGLIATO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
Due figure che possono essere decomposte in parti
congruenti sono UGUALI.
MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti
Aristotele Marx
vediamo alcuni esempi in cui proprietà geometriche non dipendonoSOLO dalle parti che compongono un oggetto
MA ANCHE dal modo in cui le parti sono collegate insieme
MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti
la somma è un concetto chiaro sui numeri, ma NON su insiemi o figure geometriche (insiemi di punti)
somma = unione?
PROBLEMA: in una classe ci sono 12 bambini biondi e 15 bambini con gli occhi azzurri. Quanti bambini formano (come minimo) la classe?
RISPOSTA: 15 non 27!
NO
biondi
occhiazzurri
biondi biondi biondi
occhiazzurri
occhiazzurri
occhiazzurri
RISPOSTA: 15
TANGRAM
NON si possono sovrapporre i pezzi
queste figure non sono uguali
anche se hanno la stessa area
MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti
somma = unione? NO
PROBLEMA: in un anno normale (= senza squalifiche) una contrada che non corre d’obbligo né a Luglio né a Agosto, quante PROBABILITA’ ha di correre ALMENO UN Palio?
probabilità di uscire a Luglio
probabilità di uscire ad Agosto
+ 60%=
probabilità di uscire sia a Luglio che ad Agosto + -
51%formula di Grassmann# (A u B) = # (A) + # (B) - # (A n B)
anche senza sovrapposizioni, le cose non filano lisce
nastro di Moebius
il nastro di Moebius e il cilindro sono equi-decomponibili
ma ben diversi!
ACGGTCACTAC
MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti
L’equi-decomponibilità però funziona per le aree e i volumi
invarianti numerichele operazioni sui numeri sonoCOMMUTATIVE
Le operazioni su parti di un tutto NON sono commutative
metto una piramide
metto un cubo
non è uguale a
metto un cubo
metto una piramide
anche se il volume è lo stesso
Molte delle principali operazioni su numeri sono commutative
ma ci sono anche operazioni non su numeri che spesso non sono commutative
l’operazione più potente del mondo
quella che tutti facciamo dalla mattina alla sera
fare una cosa dietro l’altracomposizione
non è commutativa!
prima guardare se viene nessuno e poi attraversare la strada
non e la stessa cosa che prima attraversare la strada e poi guardare se viene nessuno
mettere prima un cubo e poi una piramide
non è uguale a
mettere prima una piramide e poi un cubo
fare prima una simmetria e poi una rotazione.
fare prima una rotazione e poi una simmetria
non è la stessa cosa che
Il mondo è pieno di operazioni non commutative
specchio specchio
Geometria Differenziale
Studia oggetti geometrici che localmente (cioè nelle vicinanze di ogni punto) sono banali e tutti uguali, ma le cui proprietà globali differiscono.
concludendo: anche per la Matematicail tutto NON è uguale alla somma delle sue parti
ma:alcune invarianti del tutto sono uguali alla somma delle invarianti delle sue parti
e quest’ultimo fatto non è mai scontato
(aree, volumi, ecc.)
« o studianti, studiate le matematiche,e non edificate sanza fondamento »
S A T O RA R E P OT E N E TO P E R AR O T A S
i metodi
ha in pugno
e ne conosce anche i limiti
Grazie per l’attenzione
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