Institut für Erziehungswissenschaft

Institut für Erziehungswissenschaft

Mathematics meets SnowsportsSchruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008

Übersicht

• Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte

• Steigung

• Parabeln und Kurven

• Kräftewirkung

• Geschwindigkeit

• Impressum

Mathematics meets Mathematics meets SnowsportsSnowsports

Funktionen, Extremstellen, Funktionen, Extremstellen, WendepunkteWendepunkte

GliederungGliederung

Lineare FunktionLineare Funktion Quadratische FunktionQuadratische Funktion Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades RechenbeispielRechenbeispiel BetragsfunktionBetragsfunktion

Lineare FunktionLineare Funktion

Konstante Steigung, Proportionalität Konstante Steigung, Proportionalität der Funktionswerteder Funktionswerte

f(x)=-1/2x+3

Quadratische FunktionQuadratische Funktion

Parabelförmig Parabelförmig

f(x)=-1/3*x^2+2*x+1

Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades

Wendepunkte, ExtrempunkteWendepunkte, Extrempunkte

RechenbeispielRechenbeispiel

f(x)= x³+2x²-4x+6f(x)= x³+2x²-4x+6 f´(x)= 3x²+4x-4f´(x)= 3x²+4x-4 f´´(x)=12x+4f´´(x)=12x+4

Extremstellen:Extremstellen:

f´(x)=0f´(x)=0 1.Fall: x=-21.Fall: x=-2

2.Fall: x= 0,662.Fall: x= 0,66

Wendepunkte:Wendepunkte:

f´´(x)=0f´´(x)=0 x=-0,33 x=-0,33

BetragsfunktionBetragsfunktion

Funktion aus mehreren EinzelfunktionenFunktion aus mehreren Einzelfunktionen

f(x)=-|x+1|

Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit

SteigungSteigung

Mathematics meets SnowsportsMathematics meets Snowsports

Inhalt

I. Die StraßeI. Umrechnung von % in GradII. Mathematische Herleitung

II. Der BergI. Mathematische HerleitungII. Wann rutscht man vom Berg?

III. Die SeilbahnI. Mathematische HerleitungII. Momentane Steigung (Ableitung)

IV. Die BuckelpisteI. Mathematische Herleitung

Die Straße

• Umrechnung von % in Grad:

• α=arctan(33%)• α=18,26°

• arctan (tan-1) = Umkehrfunktion von tan = Gegenkathete dividiert durch Ankathete

Mathematische Herleitung

• Die Steigung einer Straße entspricht der Steigung der Strecke b (in diesem Beispiel) eines rechtwinkligen Dreiecks

α

ab

c

Der Berg

Mathematische Herleitung

f(x)=mx+b m=Δy/Δx

f(x)

Wann rutscht man vom Berg?

Wann rutscht man vom Berg?

• Aufgabe:

Ein Bergsteiger trägt Schuhe mit Gummisohle und steigt auf einen mit Schnee bedeckten Berg. Ab welcher Steigung des Berges rutscht er vom Berg, wenn er keine weitere Ausrüstung besitzt?

(fR=0,3 Reibungszahl von Gummi auf Schnee)

Wann rutscht man vom Berg?

FH>FR (Ansatz)

FH=FG·sin(α)

FN=FG·cos(α)

FR=FN·fR

FG=m·g

g≈9,81m/s²

Wann rutscht man vom Berg?

• Lösung:

FH>FR

m·g·sin(α) > m·g·cos(α)·fR

sin(α)/cos(α) > fR

tan(α) > fR

α > arctan(0,3)

α > 16,7° = 30%

Die Seilbahn

Mathematische Herleitung

f(x)=ax²+bx+c

Ø Steigung

f‘(x)=2ax+b

Die Buckelpiste

Mathematische Herleitung

f(x)=sin(x)

f‘(x)=cos(x)

Fazit

• Mathematik stellt die Grundlage für viele technische Errungenschaften dar, welche nicht nur in heutigen Trendsportarten zum Tragen kommen.

• Die allgegenwärtige Mathematik erscheint uns jedoch nicht von bemerkenswerter Bedeutung.

Ende

Vielen Dank für Vielen Dank für Ihre Ihre

AufmerksamkeitAufmerksamkeit

Parabeln & Kurven

Inhaltsangabe

Kurven Ebene Kurven Raumkurven

Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens

Parabeln

Kurven

Ebene Kurven Raumkurven

Ebene Kurven Ebene Kurven:

eindimensionales Objekt besitzt im allgemeinen eine Krümmung kann sich nur in eine Richtung bewegen kann durch eine Gleichung in Koordinaten beschrieben

werden man kann sie ohne abzusetzen durchlaufen Beispiele für ebene Kurven:

Gerade Kreis Parabel

haben nur Krümmungen

Raumkurve

haben Krümmungen und Windungen sind dreidimensional

Trigonometrische Funktionen

Sinus Kosinus Tangens

Sinuskurve

eHypothenus

teGegenkathe)sin(

Kosinuskurve

eHypothenus

Ankathete)cos(

-Komplementärwinkel von Sinus

-Steht im 90° Winkel zu Sinus

Tangenskurve

Ankathete

teGegenkathe)tan(

Parabel

Ist ein Kegelschnitt, der entsteht wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet

Beispiel für eine Parabel: Quadratische Funktionen

Kann als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden

Ende

Wir bedanken uns für

Ihre Aufmerksamkeit

Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff

Mathematics meet Mathematics meet SnowsportsSnowsports

KräftewirkungKräftewirkung

InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis

Zentrifugal- & ZentripetalkraftZentrifugal- & Zentripetalkraft

GewichtskraftGewichtskraft

HangabtriebskraftHangabtriebskraft

Potentielle EnergiePotentielle Energie

1.1.DefinitioDefinitionn

2.2.BeispielBeispiel

3.3.FormelnFormeln

Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und Zentripetalkraft DefinitionDefinition

Zentrifugalkraft (Fliehkraft)Zentrifugalkraft (Fliehkraft) Tritt in Drehbewegungen aufTritt in Drehbewegungen auf Wirkt nach außenWirkt nach außen

Zentripetalkraft Zentripetalkraft Wirkt nach innenWirkt nach innen Hält das Objekt in der KreisbahnHält das Objekt in der Kreisbahn

|Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft| |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft|

Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftBeispielBeispiel

rM

FZP

FZ

F

Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftFormelnFormeln

FFZ Z = (m * v²)/ r= (m * v²)/ r

GewichtskraftGewichtskraft DefinitionDefinition

Wirkt in Richtung des ErdkernsWirkt in Richtung des Erdkerns Ist dafür verantwortlich, dass Ist dafür verantwortlich, dass

Objekte auf der Erde bleiben und Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegennicht wegfliegen

Die Durchschnittliche Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s²9,81m/s²

44

GewichtskraftGewichtskraftBeispielBeispiel

G

FAuftrieb

Gewichtskraft Gewichtskraft FormelnFormeln

FFGG = m * g = m * g

g = 9,81 m/s²

HangabtriebskraftHangabtriebskraft DefinitionDefinition

Eine Komponente der Gewichtskraft Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft)Gewichtskraft)

Ist auf einer schiefen Ebene Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtethangabwärts gerichtet

HangabtriebskraftHangabtriebskraftBeispielBeispiel

Hangabtriebskraft FH

Gewichtskraft FG

Normalkraft FN

Hangabtriebskraft Hangabtriebskraft FormelnFormeln

FFHH = F = FGG * sin( * sin(αα))

FFNN = F = FGG * cos( * cos(αα))

FG = m * g

Potenzielle EnergiePotenzielle Energie DefinitionDefinition

Energie, die ein Objekt durch seine Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält.Gravitationsfeld erhält.

Bezugspunkt: ErdoberflächeBezugspunkt: Erdoberfläche

50

Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieBeispielBeispiel

Höhendifferenz

Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieFormelnFormeln

V = m * g * hV = m * g * h

V = Potenzielle Energie

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Geschwindigkeit

M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich

Formelzeichen:

[] = Geschwindigkeit

[s] = Strecke

[t] = Zeit

t

sv

Formel:

Inhaltsangabe

• Momentangeschwindigkeit

• Durchschnittsgeschwindigkeit

• Beschleunigung

• Lawinen

t

sv

lim0t

Momentangeschwindigkeit

Beschreibung: Die Momentangeschwindigkeit beschreibt den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit für t gegen 0.

Momentangeschwindigkeit

Formelzeichen

[v] = Geschwindigkeit

[s] = Weg

[t] = Zeit

t

sv

lim0t

Formel:

Durchschnittsgeschwindigkeit

Formelzeichen:

[v] = Geschwindigkeit

[s] = Weg

[t] = Zeit

Beschreibung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beschreibt die Mittelgeschwindigkeit aus allen auf einer Strecke gemessenen Geschwindigkeiten.

21

21

tt

ssv

Formel:

Beschreibung: Bei der Beschleunigung in einer Bewegung verändert sich vom Punkt v1 auf v2. Diese Änderung geschieht in der Zeit zwischen t1 und t2.

Formelzeichen:[a] = Beschleunigung[v] = Geschwindigkeit[t] = Zeit

)(

)(

12

12

tt

vva

Beschleunigung

Beschleunigung

Formel:

t

sa

Formelzeichen:

[a] = Beschleunigung

[s] = Weg

[t] = Zeit

Beschreibung: Wenn wir vom Stillstand des Objektes ausgehen, ist die Zeit t=0.

So müssen wir den zurückgelegten Wegdurch die benötigte Zeit berechnen.

Lawinen

Auslaufzone

- Hangneigung von ca. 30 – 50°

- Punktförmiger Anriss->Lockerschneelawine

-Linienförmiger Anriss->Schneebrettlawine

Ausgangspunkt

Bewegungsgebiet

-Flächige o. in Runsen konzentriert

- Stillstandzone- Unter 20° - Länge d. Auslauf- zone hängt von d. Lawine ab

Faktoren f. Lawinen allg. :

- Neuschnee- Viel Schneefall in kurzer Zeit- Hangneigung- Bodenbedeckung- Hanglage

Lawinenarten

Schneebrettlawine

Lockerschneelawine

Ende

Danke für Ihre Aufmerksamkeit

Institut für Erziehungswissenschaft

Impressum

Die Projektwoche „Mathematics meets Snowsports“ wurde entwickelt von Verena Scharmacher (scharmacher@uni-muenster.de) und Daniel Gersmeier (gersmeier@uni-muenster.de).

Die wissenschaftliche Begleitung dieses Projekts erfolgt durch Prof. Dr. F. Stuber von der Fachhochschule Münster und Dr. C. Keller von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.