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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCASUBDIRECCIÓN ACADÉMICA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ELECTRÓNICA DIGITALÁLGEBRA DE BOOLE
Ing. Marco Antonio Reyes González
La mayoría de las veces es factible reducir una ecuación booleana que describe el comportamiento de un circuito; esto es porque es mas económico producir una ecuación reducida que la ecuación original.
El algebra de conjuntos nos permitirá entender los teoremas y propiedades de los circuitos lógicos.
Postulados del Algebra de Boole.
Definición: El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto X el cual contiene dos o mas elementos y entre los cuales se definen dos operaciones básicas denominadas suma “OR” (+) y multiplicación “AND” (●), la cuales cumplen las siguientes propiedades:
Existencias de Neutros
Existen en X , el elemento neutro de la suma (0) y el elemento neutro de la multiplicación (1), tales que para cualquier elemento de x tenemos que:
x + 0 = x
x ● 1 = x
Conmutativa
Postulados del Algebra de Boole.
Para cada x, z en X :
x + z = z + x
x ● z = z ● x Asociativa
Para cada w, x, z en X :
w + (x + z) = (z + x) + w
w ● (x + z) = (wx) +(wz)
Postulados del Algebra de Boole.
Distributiva
Para cada w, x, z en X :
w + (x ● z) = (w+x) ●(w+z) w ● (x + z) = (w●x)+(w●z)
Existencias de complementos
Para cada x en X existe un elemento único denominado x, tal que:
x + x = 1 x ● x = 0
Haciendo memoria
Un conjunto esta conformado por una serie especifica de elementos.
A B+ = C
Donde C = todos los elementos de A o Todos los elementos de B
Es equivalente a la operación “O” lógica (OR)
C esta conformado por elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo
Operación “Y” lógica ( AND)
Utilicemos los diagramad de Venn para comprender la relación entre los diversos conjuntos.
CONJUNTO UNIVERSAL, agrupa a todos los puntos del círculo cartesiano.Corresponde a el 1 (todo) en algebra Booleana.
Supongamos por un momento que el universo en el que vamos a trabajar es un plano y que los elementos que lo integran son los cuatro cuadrantes del círculo cartesiano. Bajo esta consideración podemos hablar de los siguientes conjuntos:
CONJUNTO “Y”, agrupa a todos los puntos del primero y segundo cuadrantes.
CONJUNTO NO Y, agrupa a todos los puntos del tercero y cuarto cuadrantes.
CONJUNTO X, agrupa a todos los puntos del primero y cuarto cuadrantes.
CONJUNTO NO X, agrupa a todos los puntos del segundo y tercero cuadrantes.
X + X
Y + Y
Operaciones de unión
X + YX + Y
X + Y X + Y
Veamos como expresar esto con circuitos de conmutación
Utilicemos switches o interruptores para ejemplificar el algebra de boole.
Los switches solo pueden tener 2 posiciones encendido (1) o Apagado (0).
La operación suma es una conexión en paralelo.
La operación multiplicación es una conexión en serie.
A
B
(A+B)
A B (A B)
=A
B
C
A
A
B
C
A ( B + C ) = A B + A C
A
B C =
A
B
A
C
A + B C (A + B) (A + C)=
Teoremas del Algebra Booleana.
Estos teoremas están basados en los postulados del algebra de Boole. Que vimos con anterioridad
1) Neutros
A (0) = 0 A + 1 = 1
2) Absorción
A + AB = A A ( A + B ) = A
3) Cancelación
A + A B = A + B A ( A + B ) = A B
A B + A B = B ( A + B ) ( A + B ) = B
Teoremas del Algebra Booleana.
4) Idempotencia
A A = A A + A = A
5) Consenso
AB + AC + BC = AB + AC (A+B)(A+C) (B+C) = (A+B)(A+C)
6) Teorema de Morgan
AB = A + B A + B = A B
Por su atención gracias.
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