View
298
Download
2
Category
Preview:
Citation preview
6
C F(X) dx f(x)
: Rumusnya
diketahui (x)F' turunannya
jika F(X) semula fungsi mencari Proses
adalah tak tentuIntegral
: Konklusi / Kesimpulan
7
alanPengintegr Constanta c 3.
Integran Fungsi f(x) 2.
f(x)(x)F' (bersifat)
UmumIntegral Fungsi F(x) 1.
8
f(x) x(x)F' x1n
1 F(x) 3.
f(x) x(x)F' C4
1 F(x) 2.
f(x) x (x)F' 3
1 F(x) 1.
contoh-Contoh
n1n
34
23
C
x
x
9
C 5x
.....-.
C ) 5...
.....(-.
......
...... dx x .4
... ....
.... dx x .3
......
... dx
...
...
3
dx .2
C...... dx 5 1.
5
5
56-
1110
C
C
C
10
C 5x
1-
C )x
1(
5
1-
x5
1- dxx .4
x 11
1 dxx .3
x3
1 dx
3
1
3
dx .2
C5x dx 5 1.
5
5
5-6
1110
C
C
C
11
11F(2)dan x(x)F' jika F(x),Tentukan 5
3
1 x
6
1 F(x)
3
1
6
2 c
c6
410 11
11 c(2)6
1 F(2)
cx6
1 F(x)
dxx F(x)
: Jawab
6
6
6
5
12
logxln xdengan c,xln a dxx
a 6.
1- n dengan c,x1n
a dxax 5.
1- n dengan c,x1n
1 dxx 4.
caxdx a .3
constantaadalah a dx, f(x) a af(x)dx .2
cxdx 1.
e
1nn
1nn
13
dx x
1 d).
dx x c).
dx x
1 b).
dx5x a).
:iniberikut tak tentuintegral-IntegralTentukan
3 2
4 3
3
4
32
xc
c
c
logln xdengan ,xln a dxx
a 6.
1- n dengan ,x1n
a dxax 5.
1- n dengan ,x1n
1 dxx .4
caxdx a .3
constantaadalah a dx, f(x) a af(x)dx .2
cxdx 1.
e
1nn
1nn
34
c5
2
7
2
c5
2
7
2
c11
dx )(
dx x)(xx dx x)(xx 1.
23
2
5
2
7
12
31
2
5
2
3
2
5
22
1
2
12
31
2
5
xxxx
xx
xx
xx
35
c3
2
5
2
c3
2
5
2
c1
1
dx )(x
dx )x(x dx )1
xx( 2.
2
2
3
2
5
12
11
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
12
11
2
3
xxxx
xx
xx
x
xx
36
c121
dx )x2x(x
dx xx)x21(
dx )x2(1
dx )x(1
3.
13
2
13
2
16
1
16
1
13
1
13
1
3
2
6
1
3
1
3
1
3
13
2
xxx
x
x
x
38
ydan x antarahubungan carilah 3 y dan 1, dan x
0 y 0, x Bila .24dx
yddan f(x) y Diberikan 2.
11F(2)dan x(x)F' jika F(x),Tentukan 1.
2
2
5
x
40 x- 4x y Jadi
1- c
0 c 4 3
c1.c4.1 3 3 y dan 1x
0 c c0 0 0 0ydan 0
cc4x y
dx )c(12x dxdx
dy y
c12x dx 24 dx dx
yd
dx
dy 24
dx
yd
3
1
1
21
3
22
21
3
1
2
1
2
2
2
2
2
x
x
xx
41
tersebutkurva
persamaancarilah ,3dx
dyitu kurva singgung
garisgradien dan (0,4) titik melalui kurvaSebuah
2x
42
4 xy adalah kurvapersamaan Jadi
4 c
c0 4
(0,4) melalui Kurva c, xy
dx3x y
dxdx
dy y 3x
dx
dy
3
3
3
2
2
43
! x(t)posisi fungsiuntuk formulaTentukan
12ta(t) percepatan fungsidengan sumbu x sepanjang
bergerakdan 10 titik x pada 0) awal (kecepatan
diamkeadaan daribergerak mulai partikelSebuah
44 102t x(t)posisi fungsi formula Jadi
10 c c2.0 10
yaitu c nilaidiperoleh 10, Untuk x(0)
c2t dt 6t dt v(t) x(t) dt
dx v(t)
6t v(t) 0 c c 6.0 0
:yaitu ,c nilaidiperoleh 0,Untuk v(0)
c 6t dt 12t a(t)dtv(t)
0)dengan v(012t a(t)dt
xd
3
22
3
2
2
32
2
11
2
1
1
2
2
2
45
Tan x sec xSec x5
-Cosec xCot x4
Sec xTan x3
-Cot x cosec xCosec x6
-Sin xCos x2
Cos xSin x1
F’(x)F(x)No.
2
2
46
cx cosec-dx x ccot x.cose6.
cx secdxx tan x.sec5.
ccot x -dx x cosec4.
ctan x dx xsec.3
cx cos-dx sin x .2
csin x dx x cos1.
2
2
47
-acot(ax+b).cosec(ax+b)Cosec(ax+b)6
atan(ax+b).sec(ax+b)Sec(ax+b)5
-acosec (ax+b)Cot(ax+b)4
asec (ax+b)tan(ax+b)3
-asin(ax+b)Cos(ax+b)2
acos(ax+b)Sin(ax+b)1
F’(x)F(x)No
2
2
48
cb)cosec(ax1
dx b)xb).cosec(acot(ax 6.
cb)axsec(a
1 dx b)b).sec(axtan(ax 5.
cb)(axcot1
dx b)(axcosec 4.
cb)(axtana
1 dx b)(axsec 3.
cb)axcos(a
1-dx b)sin(ax 2.
cb)axsin(a
1 dx b)cos(ax 1.
2
2
a
a
49
βαCosβαCos2
1- βSin αSin 4.
βαCosβαSin2
1β Cos α Cos .3
βαSinβαSin2
1 Sinβ α Cos .2
βαSinβαSin2
1 β Cos αSin .1
50dx3x cos 6.
dxx sin .5
dx 4x) cos4x (sin 4.
dx x)sec (tan x 3.
dx x)cos-(sin x .2
dx)4(tan 1.
:berikut tak tentuintegral-integralTentukan
2
2
2
2
2
x
53
c x - x sec 2 tan x 2
dx-dx x tan x.sec2 dx x sec 2
dx )1sec.tan2sec (2
: menjadiakan disederhandx x)sec (tan x 3.
2
2
2
xxx
54
ccos8x16
1-
c 8x) cos 8
1(-
2
1
dx 8x sin2
1
dx 2
1 dx 4x) cos 4x (sin
rangkap sudut 1 rumus ke diubah dx 4x) cos 4x (sin 4.
)8(sin x
55
csin2x4
1 - x
2
1
csin2x)2
1(
2
1-x
2
1
dx cos2x2
1 - dx
2
1
dx)2cos2
1
2
1( dx 2x) cos -(1
2
1
menjadidiubah dx sin .5 2
x
x
56
c 6x sin12
1x
2
1
c 6x) sin 6
1(
2
1 x
2
1
dx 6x) (cos2
1 dx
2
1 dx 6x) cos(1
2
1
menjadi diubah dx 3xcos 6. 2
57 :oleh ditentukan tentu integral maka
f(x) dari turunan antisuatu adalah F(x)dan
bxa interval padakontinu f(x) jika Jadi
alan).Pengintegrintegrasi( dari atas batasdan
bawah batasdisebut masing-masing bdan a 2.
integrandisebut f(x) Fungsi 1.
b. x sampai a x dari
f(x), fungsi tentu Integraldisebut dx f(x) Simbol
b
a
59
f(u)F(u)du
d maka dx, f(x)F(u) Bila .6
bcauntuk dx, f(x)dx f(x) dx f(x) 5.
dx g(x)dx f(x)g(x) f(x) 4.
real konstantaadalah cdengan ,f(x)dx c dx f(x) c .3
dx f(x)- dx f(x) .2
0 dx f(x) 1.
u
a
b
a
c
a
b
c
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
60
0
1-
2
4
1
2
1-
3
3
1
dx 2)-x(6x d. dx 3)(4x b.
dx)1(2x c. dx2x a.
inidibawah tentu integral setiap nilaiHitunglah
69
4 p
0)16p)(16(p
0 256 p32p
064p8p
36)324(p8p
362.8.2p8p
36 - 8
36dx 16x)x( b.
22
4
24
41
24
41
24
4124
41
p
2
24
41
p
2
3
xx
71
xc
c
c
logln xdengan ,xln a dxx
a 6.
1- n dengan ,x1n
a dxax 5.
1- n dengan ,x1n
1 dxx .4
caxdx a .3
constantaadalah a dx, f(x) a af(x)dx .2
cxdx 1.
e
1nn
1nn
72
Tan x sec xSec x5
-Cosec xCot x4
Sec xTan x3
-Cot x cosec xCosec x6
-Sin xCos x2
Cos xSin x1
F’(x)F(x)No.
2
2
73
cx cosec-dx x ccot x.cose6.
cx secdxx tan x.sec5.
ccot x -dx x cosec4.
ctan x dx xsec.3
cx cos-dx sin x .2
csin x dx x cos1.
2
2
74
-acot(ax+b).cosec(ax+b)Cosec(ax+b)6
atan(ax+b).sec(ax+b)Sec(ax+b)5
-acosec (ax+b)Cot(ax+b)4
asec (ax+b)tan(ax+b)3
-asin(ax+b)Cos(ax+b)2
acos(ax+b)Sin(ax+b)1
F’(x)F(x)No
2
2
75
cb)cosec(ax1
dx b)xb).cosec(acot(ax 6.
cb)axsec(a
1 dx b)b).sec(axtan(ax 5.
cb)(axcot1
dx b)(axcosec 4.
cb)(axtana
1 dx b)(axsec 3.
cb)axcos(a
1-dx b)sin(ax 2.
cb)axsin(a
1 dx b)cos(ax 1.
2
2
a
a
76
βαCosβαCos2
1- βSin αSin 4.
βαCosβαSin2
1β Cos α Cos .3
βαSinβαSin2
1 Sinβ α Cos .2
βαSinβαSin2
1 β Cos αSin .1
78
riTrigonomet dan Aljabarsubstitusi
dengan Integralbentuk soal contoh-Contoh
dx 12xx 3.
dx )9(x 2.
dx )5t(t 1.
Aljabar substitusi soalbentuk Contoh .A
2
1
32
32
3
x
79
riTrigonomet substitusi soalbentuk Contoh B.
dx 2xSin -42x Cos 3.
dxSin x x Cos .2
dx )x(3Sin x 1.
10
2
80
du9u
menjadi dx )32()539(x Maka
dx 3)(2x du
32xdx
du
53x xu Misalkan : Jawab
dx )32()539(x :Carilah
8
82
2
82
xx
xx
87
dx5)-x(4xCarilah 3
)du5u(u16
1
4
du.5).u(u
4
1 dx 5)x(4x
4
du dx
4
1
du
dx maka
5)(u4
1 x 5-4x u Misalkan
: Jawab
34
33
89
1x
dxx :Carilah
2
c1x
cu1
2.
2
1
duu2
1
2x
du.
u
2x
du dx atau dx 2x du maka
1 xu Misalkan
: Jawab
2
2
1
2
1
2
x
90cθ) 2Cos-4(
8
1
cu 8
1 cu
4
1.
2
1
duu2
1
θsin2
duθ.sinu
dθ θsin )θ 2Cos-(4
θsin2
du dθ
θsin2dθ
du maka
θ 2Cos-4 u Misalkan : Jawab
dθ θsin )θ 2Cos-(4 :Carilah
4
44
33
3
3
91
3
1-
4
2
1
3
1-
33
2
1
3
u4
1
4
1
4
duu dx 5)-(4x
-15-4.1u 1 x Bila
35-4.2 u 2 xBila
4
dudxdan dx 4 du maka 5,-4x u Misalkan
: Jawab
dx5)-(4x :Hitunglah
93 9
4
9
8.
2
1
1
1
9
1
2
1
)32(
1
2
1
)32(12
1.
2
1
2
3)d(2x3)(2x
3)(2x
dx
:Jawab
3)(2x
dx :Hitunglah
3
1
3
1
12
3
1-
2-
3
1-
2
3
1-
2
x
x
95
menjadidirubah seterusnyadan
xCos x,Cos ,Cos x,Sinx,Sinx,Sin
seperti genapPangkat Cosinusdan Sinus
642642x
2x) Cos1(2
1Cos 2.
dan 2x) Cos1(2
1 x Sin 1.
2
2
x
96
menjadidirubah seterusnyadan
xCos x,Cos ,Cos x,Sinx,Sinx,Sin
seperti ganjilPangkat Cosinusdan Sinus
753753x
xx).CosSin(1 xx.CosCosxCos 2.
Sin x x)Cos1( Sin x .x Sin x Sin 1.
223
223
97
dxCosx Sin :h Tentukanla 32
cSin5
1 -x Sin
3
1
dx d(sin x) Sin-d(sin x) Sin
dx x Cos Sin -dx x Cos Sin
dx x Cos x)Sinx(Sin
dx x Cos)Sin1(xSin
dx Cosx).Cos(Sin dx Cos Sin
53
42
42
42
22
2232
x
xx
xx
x
xxxx
98
c5xCos15
15x Cos
5
1-
dx 5x.Sin5xCos -dx 5x Sin
dx5x Sin ).5xCos-(1
dx 5x.Sin xSin dx 5xSin
:lah Selesaikan
3
2
2
23
99
dx Cos :h Tentukanla 4x
Cos4x)}dx2
1
2
12Cos2x{(1
4
1
Cos4x)}dx1(2
12Cos2x{(1
4
1
2x)dxCos2Cos2x(14
1
dxCos2x)1(2
1
dx)(Cos dx Cos
2
2
224
xx
100
cSin4x32
1Sin2x
4
1x
8
3
d(4x) Cos4x8
1.
4
1d(2x) Cos2x
4
1dx
8
3
dx4x Cos2
1
4
1dx2x 2Cos
4
1dx
2
3
4
1
Cos4x)dx2
12Cos2x
2
3(
4
1
102
dx cosec .5
dx 2 cot 4.
dxx tan 3.
dx cosec.cot .2
dx sec.tan 1.
:h Tentukanla
4
4
3
43
23
x
x
xx
xx
103
RITRIGONOMET FUNGSI INVERS
0 adengan c,a
u tanarc
a
1du
ua
1 .3
1a
u1-dan 0adengan c,
a
ucos arc- du
ua
1 .2
1a
u1-dan 0adengan c,
a
usin arc du
u-a
1 .1
22
22
22
104
Substitusi TrigonometriFungsi Integral
Dengan a > 0
ua 22 θsin a u
ua 22 θ tan a u
au 22 θ sec a u
105
c3
x tanarc
3
1 dx
x9
dx dx
9x
dx c.
7
xcos arc - dx
x-49
1 b.
c4
xsin arc dx
x-16
1 .a
: iniberikut tak tentuIntegralTentukan
22
2
2
c
106
θ)sin 1(4θsin 4
dθ 2cosθ
θsin 44θsin 4
dθ 2cosθ
4x
dx
dθ 2cosθdxdudan θsin 2 u kan substitusi
xu makaxu 2, a maka 4a ; 4x
dx
: iniberikut IntegralHitunglah
22
2222
222
22
x
x
107
c4x
x-4-
c θ cot4
1- dθ θcosec
4
1
θsin4
dθ
θ cos θ.2sin4
dθ θ cos 2
2
2
22
x 2
24 x
2
x θsin 2sinθx
x
x-4 θ cot
2
108
fungsi dua
kali hasil alkanMengintegruntuk Digunakan
du v - uv dvu
vdu dvu uv
vdu dvu d(uv)
kan)diintegral ruas Kedua ( vdu dvu d(uv)
Parsial IntegralDasar RumusPenurunan
110
dxsin x x 1.
:sbb Tabulasi caradengan Selesaikan
Turunkan Integralkan
X
1
0
Sin x dx
-Cos x
- Sin x+
-
c sin x x cosx - dx Sin x x Jadi
111
dxsin x x .2 2
Sin x dx
-Cos x
- Sin x
Cos x
X
2x
2
0
IntegralkanTurunkan
2
c xcos 2 sin x 2x x cosx dx x sinx Jadi 22
+
-
+
112
dx 1-4xx 3.
Tabulasi CaraDengan
IntegralkanTurunkan
dx 1-4x
14)14(3
2.
4
1 xx
x
1
0 14)14(5
2.
4
1.
6
1 2 xx
c14x1)(4x60
114x1)x(4x
6
1 dx 1-4xx 2
+
-
113
cx4
1lnxx
2
1
dx x2
1lnxx
2
1
dxx
1.x
2
1lnxx
2
1 dxln x x
x2
1 dx x vdx x dv
dxx
1 du ln x u Misalkan
dxln x x 4.
22
2
22
2
Recommended