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1. (Unb 2012) Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística: a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e
30% mudaram para a marca 2; b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e
20% mudaram para a marca 1.
Esses resultados podem ser expressos pela matriz ij
0,7 0,2P (p ) ,
0,3 0,8
em que pij, 1 i, j
2, representa a probabilidade do consumidor da marca j consumir a marca i após um mês, supondo-se que tais probabilidades sejam mantidas constantes de um mês para o outro. Dessa
forma, obtém-se a fórmula de recorrência k + 1 kX PX , k 0, em que kk
k
aX
b
representa a
distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada detergente pesquisados; ak e bk representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido período. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes. a) A sequência b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2 representa uma progressão geométrica decrescente de
razão 0,5.
b) Se kXα
β
é tal que Xk + 1 = Xk, para algum k 0, então α = 0,4 e β = 0,6.
c) A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do 2.º mês é superior a 50%.
2. (Unb 2012) Produtos de limpeza, como sabão, detergente, desentupidor de pia e alvejante, geralmente utilizados em residências, apresentam, na sua composição, compostos como
hidróxido de sódio (NaOH) e hipoclorito de sódio (NaC O).l A esse respeito, julgue o item a
seguir. O número de maneiras distintas de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 opções disponíveis na prateleira de um supermercado é igual a 2
3 3
2 11.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O Google, mecanismo de buscas na Internet, indexa trilhões de páginas web, de modo que os usuários podem pesquisar as informações de que necessitarem usando palavras-chave e operadores. O funcionamento do Google é embasado em algoritmos matemáticos, que analisam a relevância de um sítio pelo número de páginas e pela importância dessas páginas. O nome Google é derivado de googol, número definido por 10
100, ou seja, o número 1 seguido
de 100 zeros. A partir do googol, define-se o googolplex, correspondente a 10googol
, ou seja, o número 1 seguido de 10
100 zeros.
De acordo com dados do Google, o sítio mais acessado atualmente é o Facebook, a maior rede social da Internet. De agosto de 2010 a agosto de 2011, o número de usuários dessa rede social passou de 598 milhões para 753 milhões. A previsão de receita do Facebook para 2011 é de 4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 115% em relação a 2010. 3. (Unb 2012) A partir dessas informações, julgue os itens subsequentes.
a) A soma dos divisores naturais de 100
90 100
10
2 5 é um número primo.
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b) A quantidade de anagramas da palavra googolplex que começam por consoante é superior a 10
5.
c) De agosto de 2010 a agosto de 2011, a taxa de crescimento da quantidade de usuários do Facebook foi inferior a 25%.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
O circuito elétrico ilustrado acima permite modelar a descarga elétrica produzida por um peixe elétrico. Esse circuito é formado por uma fem ,ε um capacitor de capacitância C e uma
resistência interna r. A parte externa é representada pelo capacitor ligado a um resistor de resistência R, o qual representa um objeto que eventualmente sofre uma descarga do peixe elétrico. Quando a chave A é fechada, o capacitor carrega-se, se estiver descarregado. Nesse caso, a carga q armazenada no capacitor em função do tempo é dada por
1
t
rCq(t ) C e .ε
O capacitor, quando está completamente carregado, com a chave A aberta e a chave B fechada, descarrega-se. Nesse caso, a carga q armazenada no capacitor, em função do tempo, é expressa por
t
rCq( t ) C e .ε
4. (Unb 2012)
Considere que a fem do circuito em questão seja dada pela função V = V(t) =
sen t , 0 t 8,α β γ cujo gráfico é ilustrado acima. Nesse caso, o valor de α β γ é igual a
a) /2.π b) .π c) 3 /2.π d) 2 .π TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
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Toda vez que uma pessoa usa o caixa eletrônico do banco ou efetua uma transação comercial pela Internet, a segurança da transação depende da teoria matemática dos números primos. A partir do momento em que as pessoas começaram a mandar mensagens umas para as outras, surgiu o seguinte problema: como evitar que alguém não autorizado, que venha a se apoderar da mensagem, compreenda o que ela diz? A resposta é um processo sofisticado em que se criptografa a mensagem, usando uma “chave” para codificá-la — multiplicação de dois números primos grandes, por exemplo de 100 dígitos cada, escolhidos com o auxílio de um computador — e outra para decodificá-la — decomposição de um número em fatores primos.
Keith J. Devlin. Os problemas do milênio. Rio de Janeiro: Record, 2004, p. 69-73 (com adaptações).
5. (Unb 2011) Suponha que a “chave” de codificação de uma mensagem seja o produto de dois números primos distintos, maiores que 10 e menores que 30. Nesse caso, a quantidade de “chaves” diferentes que o receptor da mensagem, conhecedor apenas dessa regra de formação, deve testar é igual a a) 15. b) 21. c) 30. d) 42. 6. (Unb 2000) Uma empresa realiza um processo seletivo de entrevistas para selecionar um
único candidato para nela ocupar uma certa posição estratégica. Apresentam-se para a
seleção n concorrentes, sendo n ≥ 3. Três entrevistadores deverão classificar os candidatos de
acordo com a sua adequação para a função. Cada entrevistador deverá listar os n candidatos
em ordem decrescente de adequação, sendo o primeiro listado aquele que possuir o melhor
perfil para exercer a função. As três listas elaboradas pelos entrevistadores, nelas devidamente
identificados, constituirão o relatório a ser encaminhado à direção da empresa, que adota o
seguinte critério: um candidato será contratado se for classificado em primeiro lugar por pelo
menos dois dos entrevistadores. Com base nessas informações, julgue os itens que se
seguem.
(1) A probabilidade de se ter dois candidatos distintos selecionados para possível contratação é
igual a 0,5.
(2) A quantidade total de possíveis relatórios diferentes que poderão ser encaminhados à
direção da empresa é igual a n!.
(3) A quantidade total de possíveis relatórios diferentes em que seriam listados em primeiro
lugar candidatos distintos pelos entrevistadores é igual a n(n - 1) . (n - 2) . [(n - 1)!]3.
(4) A quantidade total de possíveis relatórios diferentes que conduziriam à contratação de um
dos candidatos é igual a (n!)3 - n(n - 1) . (n - 2) . [(n - 1)!]
3.
7. (Unb 2000) No sistema de coordenadas xOy, considere a circunferência de centro na
origem e de raio igual a 1. A cada ângulo central á no intervalo [0,ð], represente por A(á) a área
delimitada pelo arco da circunferência e o segmento de reta que liga os pontos P e Q, como
ilustrado na figura a seguir.
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Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
( ) A área A é uma função crescente do ângulo central á.
( ) 1
4< A
2
π
< 1
2
( ) A(á) = 1
2(á - sená)
( ) TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Volume de ar em um ciclo respiratório
O volume total de ar, em litros, contido nos dois pulmões de um adulto em condições
físicas normais e em repouso pode ser descrito como função do tempo t, em segundos, por
V(t) = 3.(1 - cos(0,4πt))/2 π
O fluxo de ar nos pulmões, em litros por segundo, é dado por
v(t) = 0,6 sen(0,4πt).
Os gráficos dessas funções estão representados na figura adiante.
8. (Unb 2000)
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Com base nas informações do texto, julgue os itens a seguir, com respeito ao fluxo de ar nos
pulmões.
( ) O fluxo é negativo quando o volume decresce.
( ) O fluxo é máximo quando o volume é máximo.
( ) O fluxo é zero quando o volume é máximo ou mínimo.
( ) 9. (Unb 2000)
Com base nas informações do texto, julgue os itens a seguir.
( ) O gráfico I representa V(t) e o gráfico II, v(t).
( ) O volume máximo de ar nos dois pulmões é maior que um litro. ( ) O período de um ciclo respiratório completo (inspiração e expiração) é de 6 segundos.
( ) A frequência de v(t) é igual à metade da frequência de V(t).
10. (Unb 1999) Um jogo para ser disputado entre duas pessoas utiliza dois tabuleiros, uma
caixa - C1 - de pinos em forma de triângulo, losango, círculo, pentágono, hexágono e estrela, e
uma segunda caixa - C2 - de pinos nas cores branca e preta. O tabuleiro I possui 11 fileiras
(colunas) com 4 posições cada uma. À exceção da primeira, a cada fileira do tabuleiro I
corresponde um conjunto de quatro posições no tabuleiro II.
O jogador A escolhe 4 pinos de formatos distintos da caixa C1 e os coloca na primeira fileira do
tabuleiro I. A escolha do jogador A não é revelada ao jogador B, ou seja, a primeira fileira do
tabuleiro I é mantida escondida. O objetivo do jogador B é reproduzir a fileira escondida:
formatos e respectivas posições dos pinos na fileira. Para isso, o jogado B retira 4 pinos de
formatos distintos da caixa C1 e os coloca na segunda fileira do tabuleiro I. No tabuleiro II, em
resposta a essa tentativa, o jogador A indica, fielmente, cada acerto de formato do pino que
não esteja em posição correta, atribuindo um pino branco, retirado da caixa C2; cada acerto
simultâneo de formato e posição na fileira, atribuindo um pino preto, retirado da caixa C2; e,
para cada pino cujo formato não corresponda a nenhum dos quatro da fileira escondida, o
jogador A deixa uma posição sem pino no tabuleiro II.
Essa sistemática repete-se a cada palpite de B, o qual tem até 10 chances para reproduzir a
fileira de pinos escondida. Caso consiga, B terá vencido a partida.
O exemplo abaixo ilustra as duas primeiras jogadas de um jogador B.
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A respeito dessa situação, julgue os seguintes itens.
( ) O número total de maneiras como o jogador A pode compor a fileira escondida é superior
a 480.
( ) A função que a cada palpite do jogador B associa a resposta do jogador A é uma função
injetora.
( ) Em sua primeira jogada, o jogador B tem mais de 50% de chance de acertar pelo menos
três formatos dos pinos.
( ) Se, como resposta à 5
a jogada do jogador B, o jogador A lhe atribuir somente 3 pinos
pretos, então o jogador B terá informações suficientes para vencer o jogo.
11. (Unb 1999) Uma das maneiras de se representar a Terra em uma região plana para o
traçado de mapas geográficos é a "projeção estereográfica", que consiste em projetar os
pontos de uma esfera sobre um plano perpendicular ao eixo norte-sul da esfera e que passa
por seu polo Sul. Mais precisamente, a projeção de um ponto P da esfera é um ponto P' de á,
obtido pela interseção com o plano á da reta determinada por P e pelo polo Norte. Essa
construção está representada na figura a seguir, em que O é o centro da esfera, M e Q são
pontos sobre um mesmo paralelo, A é o ponto médio do segmento M' Q', sendo M' e Q' as
projeções dos pontos M e Q, respectivamente.
Considere que a Terra seja uma esfera de raio igual a 6.400km e que um barco percorra, ao
longo de um meridiano, um caminho correspondente a uma diferença de latitude de 60°, a partir
da latitude 60° sul, no sentido sul-norte. Considerando um mapa da superfície terrestre feito a
partir da projeção estereográfica da Terra e com escala 1:108, calcule, em centímetros, o
comprimento da projeção do percurso desse barco no mapa. Para isso, considere, ainda, tg15°
=0,27 e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
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12. (Unb 1998) O radar é um aparelho que usa o princípio da reflexão de ondas para
determinar a posição de um objeto que se encontra distante ou encoberto por nevoeiro ou
nuvem. A posição do objeto é indicada sob a forma de um ponto luminoso que aparece na tela
do radar, que apresenta ângulos e círculos concêntricos, cujo centro representa a posição do
radar, conforme ilustra a figura abaixo.
Considere que os pontos A e B da figura sejam navios detectados pelo radar, o navio A está a
40 km do radar e o navio B, a 30 km. Com base nessas informações e desconsiderando as
dimensões dos navios, julgue os itens que se seguem.
( ) A distância entre os navios A e B é maior que 69 km.
( ) Se, a partir das posições detectadas pelo radar, os navios A e B começarem a se
movimentar no mesmo instante, em linha reta, com velocidades constantes e iguais, o navio A
para o leste e o navio B para o norte, então eles se chocarão.
( ) A partir da posição detectada pelo radar, caso B se movimente sobre um círculo de raio
igual a 30 km, no sentido anti-horário, com velocidade constante de 40 km/h então, em 10 min,
o navio B percorrerá um arco correspondente a40
π
o
.
13. (Unb 1998) Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T(em
°C)
e a quantidade de energia solar média semanal Q que atinge a região (em kcal/cm2) possam
ser expressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções
julgue os itens a seguir.
( ) A maior temperatura média semanal é de 22°C.
( ) Na 50.
a semana, a quantidade de energia solar média semanal é mínima.
( ) Quando a quantidade de energia solar média é máxima, a temperatura média semanal
também é máxima.
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14. (Unb 1998) Em um modelo para descrever o processo respiratório, considera-se que o
fluxo de ar F na traqueia, em ambos os sentidos - inspiração e expiração -, e a pressão
interpleural P - pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafragma e por músculos
intercostais - são funções periódicas do tempo t, havendo entre elas uma diferença de fase.
Essas funções são descritas, para t > 0, por
F(t) A sen t
kP(t) C B F t
ω
ω
,
em que k, A, B, C são constantes reais positivas e ù é a frequência respiratória.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
(1) O fluxo máximo de ar na traqueia é igual a A.
(2) P (t) = C - BA sen (ùt + k).
(3) As funções P e F têm o mesmo período.
(4) Sempre que o fluxo de ar na traqueia for nulo, a pressão interpleural será máxima.
15. (Unb 1997) Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na figura I, deseja-se ir do
quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). Somente são permitidos os
movimentos horizontal (H), vertical (V) e diagonal (D), conforme ilustrado na figura II.
Com base nessa situação e com o auxílio dos princípios de análise combinatória, julgue os
itens que se seguem.
( ) (0) Se forem utilizados somente movimentos horizontais e verticais, então o número de
percursos possíveis será igual a 70.
( ) (1) Se forem utilizados movimentos horizontais e verticais e apenas um movimento
diagonal, o número de percursos possíveis será igual a 140.
( ) (2) Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movimentos diagonais, o número
de percursos possíveis é igual a 10.
( ) 16. (Unb 1997) A função U, definida por U(t) = r cos (ùt - è), descreve o deslocamento, no
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tempo t, de um bloco de massa m, preso na extremidade de uma mola, em relação à posição
de equilíbrio, conforme a figura adiante. A posição de equilíbrio, nesse caso, é aquela em que
U(t) = 0. A constante ù depende apenas da mola e da massa m. As constantes r e è dependem
da maneira como o sistema é colocado em movimento.
Com base na situação apresentada, julgue os itens que se seguem.
( ) (1) A função U tem período igual a (2ð - è).
( ) (2) No instante t= 2π
ω, o bloco está novamente na posição inicial.
( ) (3) O maior deslocamento do bloco, em relação à posição de equilíbrio, é igual a r.
( ) (4) Em qualquer intervalo de tempo que tenha duração igual a 4
3
π
ω, o bloco passa pela
posição de equilíbrio.
17. (Unb 1997) Julguem os itens que se seguem.
(1) Se um ângulo mede 1,5 rad, então ele é menor que um ângulo reto.
(2) A partir do valor de senè, encontra-se um único valor de è, tal que 0 ≤ è < 360°.
(3) Se tgè é racional, então senè e cosè são ambos racionais.
(4) Para todo número real è fixado, o polinômio p(x)=x2-xsen
2ècos
2è possui duas raízes reais
pertencentes ao intervalo
[0, 1].
18. (Unb 1996) Uma sala tem 5 lâmpadas, ℓ1, ℓ2, ℓ3, ℓ4 e ℓ5, que podem estar acesas ou
apagadas, independentemente uma das outras. Existem, assim, várias combinações possíveis
de lâmpadas acesas. Cada uma dessas combinações é identificada com um conjunto S
diferente. Por exemplo, S = {ℓ3, ℓ5} corresponde ao caso em que apenas ℓ3 e ℓ5 estão acesas e
S=∅, quando nenhuma lâmpada está acesa.
Considere P o conjunto formado por todos os possíveis conjuntos de lâmpadas acesas. Define-
se, então, no conjunto P, a seguinte função:
f(S) = n1n2n3n4n5,
em que ni = 1, se ℓi ∈ S, e ni = 0, se ℓi ∉ S.
Com relação à situação apresentada, julgue os itens adiante.
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(0) Se S = {ℓ3, ℓ5}, então f(S) = 00101.
(1) f (∅) = 00001
(2) Se f (S) = 10011, então S = {ℓ1, ℓ4, ℓ5}.
(3) A função f estabelece uma correspondência biunívoca entre P e um conjunto com 32
elementos.
( ) 3 ( ) 6
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Gabarito: Resposta da questão 1:
a) Correto. Temos que 0120
a 0,6200
e 080
b 0,4.200
Então, como 0
0,6X ,
0,4
vem
1
0,7 0,2 0,6 0,5X ,
0,3 0,8 0,4 0,5
2
0,7 0,2 0,5 0,45X
0,3 0,8 0,5 0,55
e
3
0,7 0,2 0,45 0,425X .
0,3 0,8 0,55 0,575
Segue que 1 2b 0,5, b 0,55 e 3b 0,575.
Portanto, a sequência 1 0 2 1 3 2(b b , b b , b b ) (0,1; 0,05; 0,025) é uma progressão
geométrica de razão 0,05
0,5.0,1
b) Correto. Sabendo que 1, vem
k 1 k
0,7 0,2X X
0,3 0,8
0,7 0,2
0,3 0,8
1,5 .
Desse modo, 1,5 1 0,4 e, portanto, 0,6.
c) Incorreto. A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca
2 ao final do 2º mês, corresponde ao elemento 21p da matriz 2P . Então, como
2 0,7 0,2 0,7 0,2 0,55 0,30P ,
0,3 0,8 0,3 0,8 0,45 0,70
segue que 21p 0,45 0,50 50%.
Resposta da questão 2: Incorreto. Supondo que os 8 tipos são distintos, segue que existem
3 3 28 8!2 7 2 3 11
5 5! 3!
maneiras diferentes de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 disponíveis. Resposta da questão 3:
a) Incorreto. Temos que
100 100 100
10
90 100 90 100
10 2 52 .
2 5 2 5
Então, como os divisores naturais de 102 são 2 3 101, 2, 2 , 2 , , 2 ,K segue que
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2 3 10 2 11 2 2 2 2 1 2047.
2 1K
Mas 2047 23 89, logo, 2047 não é primo.
b) Incorreto. O número de anagramas que começam pelas consoantes g ou l é dado por
(2,3)9
9!2 P 2 2 9 8 7 6 5 2.
2! 3!
O número de anagramas que começam pelas consoantes p ou x é dado por
(2, 2, 3)9
9!2 P 2 2 9 8 7 6 5.
2! 2! 3!
Portanto, a quantidade de anagramas da palavra googolplex que começam por consoante é
5
2 9 8 7 6 5 2 2 9 8 7 6 5 2 9 8 7 6 5 3
90.720 100.000 10 .
c) Incorreto. A taxa de crescimento da quantidade de usuários do Facebook, de agosto de 2010
a agosto de 2011, foi de 6
6
(753 598) 10100% 25,92% 25%.
598 10
Resposta da questão 4: [D]
Do gráfico, temos que a imagem da função V é o intervalo [ 3, 5]. Logo,
[ , ] [ 3, 5] 4 e 1.
Além disso, como o período é 4 e V é crescente no 1º quadrante, segue que
24 .
| | 2
Portanto, 4 1 2 .2
Resposta da questão 5: [A] Os primos maiores do que 10 e menores do que 30 são 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Portanto, como a multiplicação de números inteiros é comutativa, segue que a quantidade de chaves que o
receptor da mensagem deve testar é 6 6!
15.2 2! 4!
Resposta da questão 6: F F V V Resposta da questão 7: V V V Resposta da questão 8: V F V Resposta da questão 9: V F F F
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Resposta da questão 10: F F V V Resposta da questão 11: 09 Resposta da questão 12: F F V Resposta da questão 13: V V F Resposta da questão 14: V V V F Resposta da questão 15: V V F Resposta da questão 16: F V V V Resposta da questão 17: V F F V Resposta da questão 18: V F V V
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 18/02/2018 às 12:15 Nome do arquivo: unb1
Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............. 114903 ..... Elevada ......... Matemática ... Unb/2012 ............................. Analítica 2 ............. 114902 ..... Baixa ............. Matemática ... Unb/2012 ............................. Analítica 3 ............. 114913 ..... Média ............ Matemática ... Unb/2012 ............................. Analítica 4 ............. 114910 ..... Média ............ Matemática ... Unb/2012 ............................. Múltipla escolha 5 ............. 109754 ..... Média ............ Matemática ... Unb/2011 ............................. Múltipla escolha 6 ............. 34774 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/2000 ............................. Verdadeiro/Falso 7 ............. 34775 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/2000 ............................. Verdadeiro/Falso 8 ............. 34773 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/2000 ............................. Verdadeiro/Falso 9 ............. 34772 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/2000 ............................. Verdadeiro/Falso 10 ........... 29156 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1999 ............................. Verdadeiro/Falso 11 ........... 29153 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1999 ............................. Analítica 12 ........... 27684 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1998 ............................. Verdadeiro/Falso 13 ........... 27858 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1998 ............................. Verdadeiro/Falso 14 ........... 27680 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1998 ............................. Verdadeiro/Falso 15 ........... 23788 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1997 ............................. Verdadeiro/Falso 16 ........... 23776 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1997 ............................. Verdadeiro/Falso 17 ........... 23772 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1997 ............................. Verdadeiro/Falso 18 ........... 27712 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1996 ............................. Verdadeiro/Falso
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