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Introduccion a la Matematica DiscretaTeorıa de Conjuntos
Luisa Marıa Camacho
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 1 / 20
Introduccion a la Matematica DiscretaTemario
Tema 1. Teorıa de Conjuntos.
Tema 2. Logica proposicional y algebras de Boole.
Tema 3. Tecnicas de contar.
Tema 4. Recursion.
Tema 5. Aritmetica entera.
Tema 6. Aritmetica modular.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 2 / 20
Teorıa de Conjuntos
Nocion intuitiva de conjunto.
Definiciones.
Operaciones. Propiedades.
Producto cartesiano.
Aplicaciones entre conjuntos.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 3 / 20
Teorıa de Conjuntos. Nocion intuitiva de conjunto.
¿Que es un conjunto? Una coleccion bien definida de objetos.
Bien definida cualquier objeto que consideremos, podemos determinar siesta en el conjunto observado.
es un conjunto: tienen una mismapropiedad “prenda que llevas puesta”
A los objetos del conjunto se les llama elementos.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 4 / 20
Teorıa de conjuntos. Definiciones
Un conjunto lo podemos definir por:
Extension, encerrando todos sus elementos entre llaves.Comprension, caracterizando los elementos que forman dicho conjunto.
Ejemplo
A = {2, 4, 6, 8}A = {numeros pares y positivos menores que 9}
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 5 / 20
Teorıa de conjuntos. Definiciones
Ejemplos
∅, el conjunto vacıo, que carece de elementos.
N, el conjunto de los numeros naturales.
Z, el conjunto de los numeros enteros.
Q, el conjunto de los numeros racionales.
R, el conjunto de los numeros reales.
C, el conjunto de los numeros complejos.
Si a es un elemento del conjunto A a ∈ A (relacion de pertenencia ).
Si a no es un elemento de A a /∈ A.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 6 / 20
Teorıa de conjuntos. Definiciones
El cardinal del conjunto A (|A|) −→ numero de elementos del conjunto. |∅| = 0.
A y B son iguales (A = B) −→ tienen exactamente los mismos elementos.
Ejemplos
A = {2, 4, 6, 8}, B = {2, 8, 4, 6} y C = {2, 2, 4, 4, 6, 8}. A = B = C.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 7 / 20
Teorıa de conjuntos. Definiciones
A es subconjunto de B si y solo si cada elemento de A esta en B (A ⊆ B,)relacion de inclusion.
A ⊆ B y B ⊆ A si y solo si A = B.
Ejemplos
¿Es A subconjunto de B, si A = {1, 3, 4} y B = {1, 4, 3, 2}?
Sean A todos los multiplos de 4 y B todos los multiplos de 2. ¿Es A unsubconjunto de B? ¿Es B un subconjunto de A?
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 8 / 20
Teorıa de conjuntos. Definiciones
A es un subconjunto propio de B si y solo si cada elemento de A esta en B, yexiste por lo menos un elemento de B que no esta en A. (A ⊂ B).
Ejemplos
{1, 2, 3} es un subconjunto de {1, 2, 3}, pero no es subconjunto propio.
{1, 2, 3} es un subconjunto propio de {1, 2, 3, 4}, 4 /∈ {1, 2, 3}.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 9 / 20
Teorıa de conjuntos. Definiciones
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes deA, y se denota P(A). B ⊆ A es equivalente a decir B ∈ P(A).
Ejemplo
Si A = {a, b}, P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.Si a ∈ A entonces {a} ∈ P(A).
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 10 / 20
Teorıa de conjuntos. Operaciones
UnionA∪B, al conjunto de todos los elementosque estan en A o en B.
Diagrama de Venn
Interseccion.A∩B, al conjunto de todos los elementosque estan en A y en B.
Diagrama de Venn
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 11 / 20
Teorıa de conjuntos. Propiedades de la union y de la interseccion
Propiedad asociativa:
{(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Propiedad conmutativa:
{A ∪B = B ∪AA ∩B = B ∩A
Propiedad idempotente:
{A ∪A = AA ∩A = A
Elemento ınfimo y elemento universal:
{A ∪ ∅ = A A ∪X = XA ∩ ∅ = ∅ A ∩X = A
Ley de simplificacion:
{(A ∪B) ∩A = A(A ∩B) ∪A = A
Propiedad distributiva:
{A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 12 / 20
Teorıa de Conjuntos. Tablas de pertenencia
Tablas de pertenencia
Sean A y B conjuntos de X. Sea x ∈ X. Si x es un elemento de un conjunto dadoescribimos un 1 y si x no es elemento del conjunto escribimos un 0. Probar queA ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C). (Propiedad distributiva).
A B C B ∩ C A ∪ (B ∩ C) A ∪ B A ∪ C (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 13 / 20
Teorıa de conjuntos. Notas
Conjuntos disjuntos. A ∩B = ∅
Extension de la union a una coleccion finita de elementos.n⋃
i=1
Ai = A1 ∪ · · · ∪An.
Extension de la interseccion a una coleccion finita de elementos.n⋂
i=1
Ai = A1 ∩ · · · ∩An.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 14 / 20
Teorıa de conjuntos. Notas.
A−B es el conjunto de los elementos que estan en A y no en B.
A ⊂ X, complementario de A con respecto a X, A, al conjunto X −A.
El complementario verifica las siguientes propiedades:
∅ = X y X = ∅.
A = A.
A ∪B = A ∩B.
A ∩B = A ∪B.
Si A ⊂ B, entonces B ⊂ A.
A ∪A = X y A ∩A = ∅.
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Teorıa de Conjuntos. Producto Cartesiano. Aplicaciones
Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde aesta en A y b esta en B, se denomina producto cartesiano de A por B, A×B. Setiene que |A×B| = |A| · |B|.
Una correspondencia entre los conjuntos A y B es cualquier subconjunto delproducto cartesiano A×B. Si un par (a, b) pertenece a un tal subconjunto diremosque al elemento origen a le corresponde el elemento destino b.
Una aplicacion entre los conjuntos A y B es una correspondencia tal que a cadaelemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo un elemento del conjuntode llegada, a tal elemento lo llamaremos imagen.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 16 / 20
Inyectiva
cada elemento del conjunto de llegada esimagen, a lo mas, de un elemento delconjunto de partida.
Ejemplo
Sobreyectiva
cada elemento del conjunto de llegada esimagen, al menos, de un elemento delconjunto de partida.
Ejemplo
Biyectiva
si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Ejemplo
Teorıa de Conjuntos. Propiedades.
Sea f : A −→ B una aplicacion y A y B conjuntos:
f es inyectiva si y solo si “f(x) = f(y) =⇒ x = y”.
Si f inyectiva =⇒ |A| ≤ |B|.
Si f sobreyectiva =⇒ |A| ≥ |B|.
Si f biyectiva =⇒ |A| = |B|.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 18 / 20
Teorıa de Conjuntos. Ejercicios.
Ejercicio.
Dados dos conjuntos A,B, se define su diferencia simetrica A∆B como
A∆B = {x ∈ A ∪B tales quex /∈ A ∩B}.
1 ¿Es cierto que A∆B ⊆ A?
2 Demostrar que A∆B = (A ∩ B) ∪ (A ∩B).
3 Demostrar que A∆B = (A ∪B) ∩ (A ∪ B).
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 19 / 20
Teorıa de Conjuntos. Bibliografıa.
1 F. Garcıa Merayo, Matematica Discreta.Editorial Thomson, 2a Edicion, 2005.
2 R. P. Grimaldi, Matematicas discreta y combinatoria.Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997.
3 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications.Editorial McGraw-Hill, 2003.
Camacho Introd. a la Matematica Discreta 20 / 20
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