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8/19/2019 La Elipse e Hiperbola Version Final
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LA ELIPSE
Es el lugargeométrico de los
puntos del planocuya suma de
distancias a dospuntos fjos
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LA ELIPSE
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ELEMENTS !E LA
ELIPSE• "ocos Son los puntos fjos " y "#.• Eje ocal
Es la recta que pasa por los ocos.• Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'.
• $entro
Es el punto de intersección de los ejes.• %adios &ectores
Son los segmentos que van desde unpunto de la elipse a los ocos: P" y P"#.
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ELEMENTS !E LAELIPSE
• !istancia ocal
Es el segmento de longitud 'c, c es el valor de lasemidistancia ocal.• (értices
Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes:, ', ! y !'.
•
Eje mayor Es el segmento de longitud 'a, a es el valor del semiejemayor.
• Eje menor Es el segmento de longitud '), ) es el valor del semiejemenor.
• Ejes de simetr*a Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
• $entro de simetr*a "oincide con el centro de la elipse, que es el punto deintersección de los ejes de simetr#a
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%elaci+n entre la distanciaocal y los semiejes
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E,centricidad de laelipse
Es un n-mero ue mide el mayor o
menor ac/atamiento de la elipse. 0 es
igual al cociente entre susemidistancia ocal y su semiejemayor.
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E,centricidad de la elipse
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E,centricidad de la elipse
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Ecuaci+n reducida de la
elipse •
%omamos como centro de la elipse elcentro de coordenadas y los ejes de laelipse como ejes de coordenadas. &ascoordenadas de los ocos son:F'(-c,0)y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
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Ecuaci+n reducida de laelipse
• Esta epresión da lugar a:
• (ealizando las operaciones llegamosa:
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E)E*+& -E +&""/0 -E &E&+SE
•
1allar los elementos caracter#sticos y laecuación reducida de la elipse de ocos:F'234,56 y F24, 56, y su eje mayor mide 75.
Semieje mayor :
Semidistancia focal :
Semieje menor :
Ecuaci+nreducida :
Excentricidad :
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Ecuaci+n reducida de la elipsecon los ocos en el eje 0
Si el eje principal est1 en el deordenadas se o8tendr9 la siguienteecuación:
Las coordenadas de los focosson:
F'(0, -c) y F(o, c)
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E)E*+& -E +&""/0 -E & E&+SE"0 &S F"S E0 E& E)E ;<
-ada la ecuación reducida de la elipse, =allar las coordenadas de los v>rtices
de los ocos y la ecentricidad.
-e la ecuación :
E i+ d l li
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Ecuaci+n de la elipsecuando el eje principal es
paralelo a o, Si el centro de la elipse $2,34y35 y el eje principales paralelo a ?, los ocos tienen de coordenadas"2637c4 y35 y "#2638c4 y35. ; la ecuación de laelipse ser9:
Al quitar denominadores yDesarrollar se obtiene, en
general, una ecuación de la
forma
Donde A y B tienen el mismo signo
+
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Ejemplo de aplicaci+n de la elipsecuando el eje principal es
paralelo a o,• 1allar la ecuación de la elipse de ocoF2@, A6, de v>rtice 2B, A6 y de centro "2C,A6.
(esolución:
&a ecuación ser9:
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Ejemplo de aplicaci+n de laelipse cuando el eje principal es
paralelo a o,-ada la elipse de ecuación=allar su centro, semiejes, v>rtices y
ocos.
E i+ d l li d j
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Ecuaci+n de la elipse de eje&ertical
Si el centro de la elipse $2,34y35 y el eje principales paralelo a ;, los ocos tienen de coordenadas"2634 y7c5 y "#2634 y38c5. ; la ecuación de laelipse ser9:
Al quitar denominadores y desarrollarlas
ecuaciones se obtiene, en general,una
ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo.
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+(!&E*S S!(E &E&+SE
9. 1alle la ecuación de la elipse que tiene sucentro en 25, 56 y cuyos ocos son los puntosF24, 56 y FD234, 56, adem9s el intercepto de lagr9fca con el eje es el punto 2, 56.
'. %razar la elipse cuya ecuación viene dada por:25x 2 + 4y 2 = 100
:. -etermine el centro, los v>rtices, losocos y di8ujar la elipse que tiene porecuación:4x 2 + y 2 –16x + 2y + 13 = 0
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& 1+E(!&
Es el lugar geom>trico de los puntosdel plano cuya dierencia de distanciasa los puntos fjos llamados ocos esconstante.
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Elementos de la/ipér)ola• "ocos
Son los puntos fjos F y F'.• Eje ocal
Es la recta que pasa por los ocos.• Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento .•
$entroEs el punto de intersección de los ejes.
• (értices
&os puntos y ' son los puntos de intersección de la =ip>r8ola con eleje ocal.
&os puntos ! y !' se o8tienen como intersección del eje imaginariocon la circunerencia que tiene por centro uno de los v>rtices y deradio c.
• %adios &ectores
Son los segmentos que van desde un punto de la =ip>r8ola a losocos: +F y +F'.
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Elementos de la/ipér)ola
•
!istancia ocal Es el segmento de longitud Ac.• Eje mayor
Es el segmento de longitud Aa.•
Eje menor Es el segmento de longitud A8.• Ejes de simetr*a
Son las rectas que contienen al eje real o al ejeimaginario.
• As*ntotas Son las rectas de ecuaciones:
•
%elaci+n entre los semiejes ;
E i id d d l
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E,centricidad de la/ipér)ola
• &a ecentricidad mide la a8erturamayor o menor de las ramas de la=ip>r8ola.
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Ecuaci+n reducida de la
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Ecuaci+n reducida de la/ipér)ola
Cualquier punto de la hipérbola cumple:
Esta expresin da lugar a:
!eali"ando las operaciones llegamos a:
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Ejemplo de la ecuaci+nreducida de la /ipér)ola
1allar la ecuación de la =ip>r8ola de ocoF2C, 56, de v>rtice 2A, 56 y de centro "25,56.
(esolución:
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Ejemplo de la ecuaci+nreducida de la /ipér)ola
1allar la ecuación y la ecentricidad de la=ip>r8ola que tiene como ocos los puntosF'23, 56 y F2, 56, y como dierencia de
los radios vectores.(esolución:
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Ejemplo de la ecuaci+nreducida de la /ipér)ola
1allar las coordenadas de losv>rtices y de los ocos, lasecuaciones de las as#ntotas y la
ecentricidad de la =ip>r8ola BA 37yA G 7CC.%esoluci+n;
Ecuaci+n reducida de la
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Ecuaci+n reducida de la/ipér)ola con los ocos en
el eje 0
F'(0, -c) y F(0, c)
La ecuaciónser9:
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Ejemplos de la /ipér)olacon los ocos en el eje 0
• 1allar la ecuación de la =ip>r8ola deoco F25, 6, de v>rtice 25, 46 y decentro "25, 56.
Ecuaci+n de la /ipér)ola con
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Ecuaci+n de la /ipér)ola coneje paralelo a 64 y centro
distinto al origen
#i el centro de la hip>rbola es !(x0, y
0)
y el e$e principal es paralelo a %&, los focos tienen de coordenadas F("0#c, y0) y F'("0-
c, y0). ' la ecuación de la hip>rbola ser9:
Al quitar denominadores
y desarrollar las ecuacionesse obtiene, en general,
una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen signos o$uestos.
Ejemplo de la /ipér)ola con
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Ejemplo de la /ipér)ola coneje paralelo a 64 y centro
distinto al origen• 1allar la ecuación de la =ip>r8ola de
oco F2@, A6, de v>rtice 2,A6 y decentro "24, A6.
Ecuaci+n de la /ipér)ola con
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Ecuaci+n de la /ipér)ola coneje paralelo a 04 y centro
distinto al origen
#i el centro de la hipérbola !(x0, y
0) y el e$e
principal es paralelo a %', los focos tienen decoordenadas F("
0, y
0#c) y F'("
0, y
0-c). ' la ecuacin
de la hipérbola ser(:
Al quitar denominadores y desarrollarlas ecuaciones se obtiene, en general, unaecuacin de la forma:
Donde A y B tienen signos
o$uestos.
Ej l d l /i é ) l
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Ejemplo de la /ipér)ola coneje paralelo a 04 y centro
distinto al origen1allar la ecuación de la =ip>r8ola deoco F23A, 6, de v>rtice 23A, 46 y decentro "23A, 36.
(esolución:
E i+ d l /i é ) l
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Ecuaci+n de la /ipér)olaeuil1tera
%as &i$rolas en las uelos semiejes son iguales sellaman euil*teras, $or tantoa + . ' su ecuacin es:
Las asntotas tienenpor ecuacin:
Es decir, las isectrices delos cuadrantes.
&a e,centricidad es:
Ecuaci+n de la /ipér)ola
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Ecuaci+n de la /ipér)olaeuil1tera reerida a sus
as*ntotas
+ara pasar de los ejes ?, ; a los determinados por las as#ntotas,8astar9 dar un giro de 8 alrededor del origen de coordenadas. )uedando la ecuacin como:
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