le triangle de Pascal - le binôme de Newton - une...

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

le triangle de Pascal - le binôme de Newtonune introduction

J-P SPRIET

2015

1 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

Plan

Voici un exposé présentant le triangle de Pascal et uneapplication au binôme de Newton.

1 Le triangle de Pascal

2 Le binôme de Newton

2 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Plan

1 Le triangle de Pascaldéfinitionpropriétéscalcul des un,k

2 Le binôme de Newton

3 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut rangerdans un tableau

4 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut rangerdans un tableau dont les lignes et les colonnes sontnumérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

4 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut rangerdans un tableau dont les lignes et les colonnes sontnumérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

u0,0

u1,0 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

u5,0 u5,5

4 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut rangerdans un tableau dont les lignes et les colonnes sontnumérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

u0,0

u1,0 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

u5,0 u5,5

un,k est le terme situé dans la case du tableau situé à la ligne net à la colonne k . 4 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On va définir une suite double d’entiers que l’on peut rangerdans un tableau dont les lignes et les colonnes sontnumérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

u0,0

u1,0 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

u5,0 u5,5

un,k est le terme situé dans la case du tableau situé à la ligne net à la colonne k . un,k n’est défini que si 0 ≤ k ≤ n. 4 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

La suite u des termes un,k est construite de la façon suivante :

5 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

La suite u des termes un,k est construite de la façon suivante :un,0 = 1 pour tout n ≥ 0 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

1 u5,5

5 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

La suite u des termes un,k est construite de la façon suivante :un,0 = 1 pour tout n ≥ 0 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

1 u5,5

Autrement dit, la première colonne correspondant à k = 0 n’estcomposée que de 1.

5 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes un,k de la façonsuivante :

6 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes un,k de la façonsuivante : un,n = 1 pour tout n ≥ 0 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

1 1

6 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes un,k de la façonsuivante : un,n = 1 pour tout n ≥ 0 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

1 1

Autrement dit, la première diagonale n’est composée que de 1.6 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes situés à l’intérieurdu triangle :

7 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes situés à l’intérieurdu triangle : un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que0 ≤ k < n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

.... . .

...u3,1 u3,2 . . .

...u4,2 . . .

1 1

7 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Puis on poursuit la construction des termes situés à l’intérieurdu triangle : un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que0 ≤ k < n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

.... . .

...u3,1 u3,2 . . .

...u4,2 . . .

1 1

Autrement dit, la somme des deux termes des cases bleuesdonne le terme de la case rouge. 7 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne aprèsligne le tableau :

8 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne aprèsligne le tableau :les deux premières règles :un,0 = 1 pour tout n ≥ 0un,n = 1 pour tout n ≥ 0

8 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne aprèsligne le tableau :les deux premières règles :un,0 = 1 pour tout n ≥ 0un,n = 1 pour tout n ≥ 0

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 18 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne letableau :

9 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne letableau :la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < n

9 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne letableau :la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 1

1 1

1 1

permet de remplir la ligne correspondant à n = 2 9 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < npermet de remplir la ligne correspondant à n = 3 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 1

1 1

1 1

10 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < npermet de remplir la ligne correspondant à n = 3 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 1

1 1

11 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < npermet de remplir la ligne correspondant à n = 4 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 1

1 1

12 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < npermet de remplir la ligne correspondant à n = 4 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 1

13 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < npermet de remplir la ligne correspondant à n = 5 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 1

14 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

la troisième règle :un,k + un,k+1 = un+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 ≤ k < npermet de remplir la ligne correspondant à n = 5 :

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

et ainsi de suite...15 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Quelles propriétés semble avoir ce triangle ?

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

16 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Quelles propriétés semble avoir ce triangle ?

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

il n’est composé que d’entiers naturels : ∀(k ,n) ∈ N on aun,k ∈ N.

16 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Chaque ligne est un palindrome : elle se lit aussi bien degauche à droite que de droite à gauche.

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

17 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Chaque ligne est un palindrome : elle se lit aussi bien degauche à droite que de droite à gauche.

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Comment écrire cette relation ?17 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Chaque ligne est un palindrome : elle se lit aussi bien degauche à droite que de droite à gauche.

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Pour tout n ≥ 0 on a :

pour tout k tel que 0 ≤ k ≤ n, un,k = un,n−k . 18 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Il y a bien d’autres propriétés : la somme des termes formant laligne n est égale à 2n :

n∑

k=0

un,k = 2n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 119 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On voudrait maintenant trouver l’expression générale de cestermes

(nk

)sans avoir besoin de les construire ligne après ligne.

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IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On voudrait maintenant trouver l’expression générale de cestermes

(nk

)sans avoir besoin de les construire ligne après ligne.

pour cela on va faire une digression sur les factorielles...

20 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

par exemple : 1! =

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

par exemple : 1! = 1

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

par exemple : 1! = 1

par exemple : 3! =

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

par exemple : 1! = 1

par exemple : 3! = 6

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

par exemple : 1! = 1

par exemple : 3! = 6

par exemple : 4! =

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

par exemple : 1! = 1

par exemple : 3! = 6

par exemple : 4! = 24

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

par exemple : 1! = 1

par exemple : 3! = 6

par exemple : 4! = 24

on remarque que 4! = 4 × 3!

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Rappel : pour n ≥ 1, on note n! le produit de tous les entiersnaturels compris entre 1 et n :

n! = 1 × 2 × · · · × n

On lit ce nombre "factorielle n"

par exemple : 1! = 1

par exemple : 3! = 6

par exemple : 4! = 24

on remarque que 4! = 4 × 3! et de façon généralen! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 2

21 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Par nécessité on impose que 0! = 1.

Ainsi, n! peut se définir par récurrence :{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

22 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Par nécessité on impose que 0! = 1.

Ainsi, n! peut se définir par récurrence :{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

Ainsi puisque 1! = 1 on a bien pour n = 1 la relationn! = n × (n − 1)!.

22 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

23 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

On définit alors les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

23 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

On définit alors les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

par exemple(3

2

)=

3!2! (3 − 2)!

=3!

2!× 1!=

62 × 1

= 3

23 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

{

0! = 1

n! = n × (n − 1)! pour tout n ≥ 1

On définit alors les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

par exemple(3

2

)=

3!2! (3 − 2)!

=3!

2!× 1!=

62 × 1

= 3

par exemple(5

3

)=

5!3! (5 − 3)!

=5!

3!× 2!=

1206 × 2

= 10

23 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On peut alors calculer les(

nk

)

=n!

k! (n − k)!pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

kn

(00

)

(10

) (11

)

.... . .

.... . .

(40

) (42

) (44

)

24 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On peut alors calculer les(

nk

)

=n!

k! (n − k)!pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

kn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

25 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Il y a une forte ressemblance avec les termes de la suite(un,k )...on va montrer que ce sont en fait deux suites qui prennent lesmêmes valeurs... et on aura donc trouvé la formule généraleque l’on cherchait...

26 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a défini les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

27 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a défini les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

par exemple(n

0

)=

27 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a défini les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=

27 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a défini les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

27 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a défini les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

par exemple(n

n

)=

27 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a défini les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

par exemple(n

n

)=

n!n! (n − n)!

=

27 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a défini les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

par exemple(n

n

)=

n!n! (n − n)!

=n!

n!× 0!=

27 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a défini les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

par exemple(n

0

)=

n!0! (n − 0)!

=n!

1 × n!= 1

par exemple(n

n

)=

n!n! (n − n)!

=n!

n!× 0!=

n!n!× 1

= 1

27 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On définit les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1

28 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On définit les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1

On montre alors que l’on a la relation :(n

k

)+( n

k+1

)=(n+1

k+1

)pour tout n et k tels que 0 ≤ k < n

28 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On définit les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1

On montre alors que l’on a la relation :(n

k

)+( n

k+1

)=(n+1

k+1

)pour tout n et k tels que 0 ≤ k < n

démontrer cette relation !

28 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On définit les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1

On montre alors que l’on a la relation :(n

k

)+( n

k+1

)=(n+1

k+1

)pour tout n et k tels que 0 ≤ k < n

démontrer cette relation !Ce qui justifie que la suite des

(nk

)suit exactement le même

procédé de construction que la suite (un,k ).

28 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On définit les termes(n

k

)comme

(nk

)

=n!

k! (n − k)!pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n

On a montré que(n

0

)= 1 et

(nn

)= 1

On montre alors que l’on a la relation :(n

k

)+( n

k+1

)=(n+1

k+1

)pour tout n et k tels que 0 ≤ k < n

démontrer cette relation !Ce qui justifie que la suite des

(nk

)suit exactement le même

procédé de construction que la suite (un,k ).Et donc pour tout n ≥ 0 et k vérifiant 0 ≤ k ≤ n, on a

un,k =

(nk

)

=n!

k! (n − k)!

28 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Ainsi, plutôt que de noter un,k on préfère noter les termes(n

k

)

29 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Ainsi, plutôt que de noter un,k on préfère noter les termes(n

k

)

que l’on "lit" : k parmi n

29 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Ainsi, plutôt que de noter un,k on préfère noter les termes(n

k

)

que l’on "lit" : k parmi n

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

u0,0

u1,0 u1,1

.... . .

.... . .

...u4,2 . . .

u5,0 u5,5

devient avec ces nouvelles notations :29 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

Plutôt que de noter un,k on préfère noter les termes(n

k

)

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

kn

(00

)

(10

) (11

)

.... . .

.... . .

...

(42

)

. . .(

50

) (55

)

30 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a les trois règles de construction par récurrence du triangle :

•

(n0

)

= 1 pour tout n ≥ 0

31 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a les trois règles de construction par récurrence du triangle :

•

(n0

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la première

colonne

31 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a les trois règles de construction par récurrence du triangle :

•

(n0

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la première

colonne

•

(nn

)

= 1 pour tout n ≥ 0

31 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a les trois règles de construction par récurrence du triangle :

•

(n0

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la première

colonne

•

(nn

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la diagonale

31 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a les trois règles de construction par récurrence du triangle :

•

(n0

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la première

colonne

•

(nn

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la diagonale

•

(nk

)

+

(n

k + 1

)

=

(n + 1k + 1

)

pour tout n et k tels que

0 ≤ k < nrelation appelée formule de Pascal

31 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitionpropriétéscalcul des un,k

On a les trois règles de construction par récurrence du triangle :

•

(n0

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la première

colonne

•

(nn

)

= 1 pour tout n ≥ 0 pour remplir la diagonale

•

(nk

)

+

(n

k + 1

)

=

(n + 1k + 1

)

pour tout n et k tels que

0 ≤ k < nrelation appelée formule de Pascal

pour remplir l’intérieur

31 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Plan

1 Le triangle de Pascal

2 Le binôme de Newtondéfinitiondémonstrations

32 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimantle développement de l’identité remarquable (a + b)n lorsque aet b sont deux nombres réels

33 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimantle développement de l’identité remarquable (a + b)n lorsque aet b sont deux nombres réels (ou plus généralement deuxnombres complexes).

33 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimantle développement de l’identité remarquable (a + b)n lorsque aet b sont deux nombres réels (ou plus généralement deuxnombres complexes).

Par exemple

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

33 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimantle développement de l’identité remarquable (a + b)n lorsque aet b sont deux nombres réels (ou plus généralement deuxnombres complexes).

Par exemple

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 =

33 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimantle développement de l’identité remarquable (a + b)n lorsque aet b sont deux nombres réels (ou plus généralement deuxnombres complexes).

Par exemple

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

33 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

34 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 =

34 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

34 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 =

34 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Quelles sont les propriétés remarquables de cesdéveloppements ?

34 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Dans le développement de (a + b)n :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 =

35 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Dans le développement de (a + b)n :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 =

35 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Dans le développement de (a + b)n :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

35 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Dans le développement de (a + b)n :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

• Il y a une somme de termes en akbℓ avec k + ℓ =

35 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Dans le développement de (a + b)n :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

• Il y a une somme de termes en akbℓ avec k + ℓ = n.

35 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Dans le développement de (a + b)n :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

• Il y a une somme de termes en akbℓ avec k + ℓ = n. doncen akbn−k .

35 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Dans le développement de (a + b)n :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

• Il y a une somme de termes en akbℓ avec k + ℓ = n. doncen akbn−k .

• Cette somme commence toujours par an et se finit par bn .

35 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Dans le développement de (a + b)n :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

on remarque que :

• Il y a une somme de termes en akbℓ avec k + ℓ = n. doncen akbn−k .

• Cette somme commence toujours par an et se finit par bn .

• Il y a un nombre entier devant chaque terme akbn−k :pour n = 2 ces entiers sont 1 / 2 / 1pour n = 3 ces entiers sont 1 / 3 / 3 / 1pour n = 4 ces entiers sont 1 / 4 / 6 / 4 / 1Ces entiers ressemblent étrangement à ceux du triangle dePascal.

35 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

On va donc démontrer la formule dite du binôme de Newton :

(a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

ak bn−k

36 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

On va donc démontrer la formule dite du binôme de Newton :

(a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

ak bn−k

cette formule semble vraie pour n = 2, n = 3 et n = 4. On peutobserver qu’elle est aussi vraie avant : pour n = 1 et n = 0.

36 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

La relation

(a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

ak bn−k

peut se démontrer :

- par un raisonnement prouvant une relation de récurrence

- par récurrence

- par un raisonnement ensembliste et de dénombrement

37 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrencePasser de (a + b)2 à (a + b)3 c’est d’abord développer a

38 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrencePasser de (a + b)2 à (a + b)3 c’est d’abord développer a, puis b

39 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

40 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en a3 avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour b3.

40 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en a3 avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour b3.les autres termes sont de la forme ak b3−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.

40 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en a3 avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour b3.les autres termes sont de la forme ak b3−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal,

40 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en a3 avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour b3.les autres termes sont de la forme ak b3−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal, etdonc ils sont égaux à u3,k =

(3k

)

40 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

On peut généraliser aisément :On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en an avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour bn.

41 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

On peut généraliser aisément :On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en an avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour bn.les autres termes sont de la forme ak bn−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.

41 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

On peut généraliser aisément :On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en an avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour bn.les autres termes sont de la forme ak bn−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal,

41 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement prouvant une relation derécurrence

On peut généraliser aisément :On voit donc qu’il n’y a qu’un seul terme en an avec commecoefficient entier 1 devant. Idem pour bn.les autres termes sont de la forme ak bn−k avec commecoefficient entier la somme de deux coefficients de la ligneprécédente.Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal, etdonc ils sont égaux à un,k =

(nk

)

41 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par récurrenceSoient a et b deux réels (ou deux complexes) fixés. Montronspar récurrence la formule du binôme de Newton :

pour tout n ∈ N, (a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

Notons Pn la propriété : (a + b)n =n∑

k=0

(nk

)

akbn−k .

• Initialisation : la propriété Pn est vraie au rang n = 0 car

(a + b)0 = 1 et que0∑

k=0

(0k

)

akb0−k =

(00

)

a0b0 = 1.

42 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

• HéréditéSupposons la propriété Pn vraie pour un entier n et montronsalors qu’elle est vraie au rang n + 1. C’est à dire supposons

que (a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

akbn−k et montrons alors que

(a + b)n+1 =

n+1∑

k=0

(n + 1

k

)

akbn+1−k

On a (a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n = (a + b)

(n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

)

d’après l’hypothèse de récurrence.

43 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Alors en développant, on obtient que

S = (a + b)

(n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

)

=

a

(n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

)

+ b

(n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

)

par développement du produit

Donc S =

(n∑

k=0

(nk

)

ak+1bn−k

)

+

(n∑

k=0

(nk

)

akbn+1−k

)

par

développement de a dans la première somme et de b dans lasecondeOn pose alors, dans la première somme, le changement devariable i = k + 1, soit encore k = i − 1 et on a :

44 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

S =

(n∑

k=0

(nk

)

ak+1bn−k

)

+

(n∑

k=0

(nk

)

akbn+1−k

)

On pose alors, dans la première somme, le changement devariable i = k + 1, soit encore k = i − 1 et on a :

n∑

k=0

(nk

)

ak+1bn−k =

n+1∑

i=1

(n

i − 1

)

aibn−(i−1) =

n+1∑

i=1

(n

i − 1

)

aibn+1−i

45 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Ainsi, on a donc d’après le calcul précédent :

S =n+1∑

i=1

(n

i − 1

)

aibn+1−i +

(n∑

k=0

(nk

)

akbn+1−k

)

Puis S =

((n∑

i=1

(n

i − 1

)

aibn+1−i

)

+

(nn

)

an+1b0

)

+

((n∑

k=1

(nk

)

akbn+1−k

)

+

(n0

)

a0bn+1

)

on isole les termes qui ne sont pas commun

S =

(n∑

k=1

( nk−1

)akbn+1−k +

(nk

)akbn+1−k

)

+

(nn

)

an+1b0 +(

n0

)

a0bn+1

par regroupement des deux sommes

S =

(n∑

k=1

(( nk−1

)+(n

k

))

akbn+1−k)

+ an+1 + bn+1

par factorisation dans la somme46 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

S =

(n∑

k=1

(( nk−1

)+(n

k

))

akbn+1−k

)

+ an+1 + bn+1

Mais alors on reconnaît la formule de Pascal :(n

k − 1

)

+

(nk

)

=

(n + 1

k

)

de sorte que S =

(n∑

k=1

(n + 1

k

)

akbn+1−k

)

+ an+1 + bn+1

47 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

S =

(n∑

k=1

(n + 1

k

)

akbn+1−k

)

+ an+1 + bn+1

Il ne reste plus qu’à voir que an+1 =(n+1

n+1

)an+1bn+1−(n+1) et

bn+1 =(n+1

0

)a0bn+1−(0)

pour voir que les termes isolés an+1 et bn+1 peuvent êtreintégrés dans la somme pour les indices k = n + 1 et k = 0respectivement :

D’où S = (a+ b)n+1 =

n+1∑

k=0

(n + 1

k

)

akbn+1−k . Et Pn+1 est vraie.

La propriété Pn est donc héréditaire.

48 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

• Conclusion : la propriété Pn est vraie au rang 0 et esthéréditaire. Elle est donc vraie pour tout n ∈ N :

pour tout n ∈ N, (a + b)n =n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

49 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Démonstration par un raisonnement ensembliste et dedénombrement

(a + b)n =

n fois︷ ︸︸ ︷

(a + b)× (a + b)× · · · × (a + b)× (a + b)il s’agit donc de prendre dans chacune des n parenthèses unterme a ou b et de les multiplier entre eux.

On a donc une somme de 2n termes, chacun est formé par desproduits de n facteurs égaux à a ou à b.

On doit alors regrouper les termes ayant autant de a et de b ;on a donc des "anagrammes" de "mots" de la forme

k fois︷ ︸︸ ︷

a × a × · · · × a×

n − k fois︷ ︸︸ ︷

b × b × · · · × b

50 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Or les "anagrammes" de "mots" de la formek fois

︷ ︸︸ ︷

a × a × · · · × a×

n − k fois︷ ︸︸ ︷

b × b × · · · × b

sont au nombre den!

k! (n − k)!. C’est à dire le coefficient du

triangle de Pascal(n

k

).

51 / 51

IntroductionLe triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définitiondémonstrations

Or les "anagrammes" de "mots" de la formek fois

︷ ︸︸ ︷

a × a × · · · × a×

n − k fois︷ ︸︸ ︷

b × b × · · · × b

sont au nombre den!

k! (n − k)!. C’est à dire le coefficient du

triangle de Pascal(n

k

).

Ainsi,

pour tout n ∈ N, (a + b)n =

n∑

k=0

(nk

)

akbn−k

51 / 51