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Leseprobe
zu
Maschinenelemente
Formeln
von Decker
ISBN (Buch): 978-3-446-45031-8
ISBN (E-Book): 978-3-446-45306-7
Weitere Informationen und Bestellungen unter
www.hanser-fachbuch.de
sowie im Buchhandel
© Carl Hanser Verlag, München
Inhaltsverzeichnis
1 Konstruktionstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Maße, Abmaße und Toleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9ISO-Toleranzsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Rauheit der Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Festigkeitsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Allgemeine Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Hertz’sche Pressung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Beanspruchbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Kerbwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Betriebsfestigkeit nach der FKM-Richtlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Schmelzschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Berechnung der Spannungen in Schweißnahten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Schweißverbindungen im Maschinen- und Geratebau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Pressschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Punktschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Buckelschweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Lotverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Berechnung von Lotverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Klebverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Berechnung von Klebverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8 Nietverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Berechnung von Nietverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9 Reibschlussige Welle-Nabe-Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Grundlagen der Berechnung zylindrischer Pressverbande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Berechnung bei rein elastischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Berechnung bei elastisch-plastischer Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Einpresskraft und Fugetemperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Spannelementverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Klemmverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10 Befestigungsschrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Berechnung: Vordimensionierung und �berschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Schraubenanziehmoment, Anziehfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Berechnung: Nachgiebigkeit von Schraube und Bauteilen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Berechnung: Bleibende Verformung durch Setzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Berechnung: Betriebskrafte Zug, Druck und Schwingungen auf vorgespannte Schraubenverbindungen 66Haltbarkeit der Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Standardisierte Vorgehensweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Berechnung querbeanspruchter Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
11 Bewegungsschrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Gewinde, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Berechnung der Haltbarkeit und der Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12 Formschlussige Welle-Nabe-Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Langskeilverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Passfederverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Keilwellenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Zahnwellenverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Polygonwellenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kegelverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Stirnzahnverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13 Stift- und Bolzenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Gelenkstifte oder Bolzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Steckstifte unter Biegekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Querstifte unter Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Langsstifte unter Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
14 Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Federsteifigkeit, Federarbeit, Schwingverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Zusammenwirken mehrerer Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drahten oder Staben . . . . . . . . . . . . . . . 80Tellerfedern als Druckfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Spannungen in den Punkten OM, I bis IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Gewundene Schenkelfedern als Drehfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Stabfedern als Drehfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Spiralfedern als Drehfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Blattfedern als Biegefedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Ringfedern als Druckfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Luftfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Gummifedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
15 Achsen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Biegemomente, Langskrafte und Torsionsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98�berschlagsrechnung auf Torsion und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Achsen und Wellen gleicher Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Berechnung auf Gestaltfestigkeit (Dauerhaltbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Durchbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Verdrehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Kritische Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Tragfahigkeitsberechnung von Wellen und Achsen nach DIN 743 . . . . . . . . . . . . . . 108
16 Tribologie: Reibung, Schmierung und Verschleiß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Schmierole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
17 Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Berechnung der Radiallager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Berechnung der Axiallager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
18 Walzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Tragfahigkeit und Lebensdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Berechnung von Kegelrollen- und Schragkugellagern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Besondere Belastungsfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Grenzdrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Schmierung der Walzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
19 Lager- und Wellendichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
20 Wellenkupplungen und -bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Kupplungsmomente bei Ausgleichskupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Reibungskupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
21 Grundlagen fur Zahnrader und Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141�bersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Evolventenverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Planetengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Inhaltsverzeichnis 7
22 Abmessungen und Geometrie der Stirn- und Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Null-Außenverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Null-Innenverzahnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Null-Schragverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Profilverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Geometrische Grenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Profiluberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Geradverzahnte Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Schrag- und bogenverzahnte Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
23 Gestaltung und Tragfahigkeit der Stirn- und Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Zahnkrafte an Stirnradern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Zahnkrafte an Kegelradern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Wirkungsgrad und Gesamtubersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Gestaltung der Rader aus Stahl und aus Gusseisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Gestaltung der Rader aus Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Schmierung, Schmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Allgemeine Einflussfaktoren fur die Tragfahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Zahnfußtragfahigkeit der Stirnrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Grubchentragfahigkeit der Stirnrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Zahnfußtragfahigkeit der Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Grubchentragfahigkeit der Kegelrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Berechnung der Rader aus thermoplastischen Kunstoffen auf Tragfahigkeit und Verformung. . . 175
24 Zahnradpaare mit sich kreuzenden Achsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Eingriffsverhaltnisse von Schraub-Stirnradpaaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Wirkungsgrad und Zahnkrafte an Schraub-Stirnradpaaren . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Tragfahigkeit von Schraub-Stirnradpaaren, Schmierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Geometrie der Schneckenradsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Wirkungsgrad und Zahnradkrafte an Schneckenradsatzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Gestaltung der Schnecken und Schneckenrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Schmierung von Schneckenradsatzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Tragfahigkeit von Schneckenradsatzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
25 Kettentriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Kettenrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Schmierung der Kettentriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
26 Flachriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Theoretische Grundlagen fur Riementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Riemenscheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Geometrie der Flachriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189�bersetzung, Riemengeschwindigkeit, Biegefrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Berechnung der Antriebe mit Leder- und Geweberiemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Berechnung von Antrieben mit Mehrschichtriemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Spannrollentrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
27 Keilriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Berechnung der Antriebe mit Keilriemen und Keilrippenriemen . . . . . . . . . . . . . . . 194
28 Synchron- oder Zahnriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196�bersetzung und Geometrie der Synchronriementriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Berechnung von Antrieben mit Synchron- oder Zahnriemen . . . . . . . . . . . . . . . . 198
29 Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Temperaturbedingte Langenanderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Berechnung von Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Inhaltsverzeichnis8
Vorwort
Diese Formelsammlung ist eine Erganzung zu der im gleichen Verlag erschienenen 20. Auf-lage des tausendfach bewahrten Lehrbuches „Decker, Maschinenelemente“. Sie enthalt ineiner ubersichtlichen Anordnung alle wichtigen Gleichungen zur Berechnung von Maschinen-elementen. Bei der Vielzahl an Formeln fur die Bemessung und den Festigkeitsnachweis vonMaschinenelementen ist es zweckmaßig, eine Zusammenfassung in kompakter Form zur Ver-fugung zu haben, was auch von vielen Benutzern des Lehrbuches gewunscht wurde. Mit derFormelsammlung kann ohne das Lehrbuch gearbeitet werden.Die Systematik und die Gleichungsnummern stimmen vollstandig mit dem Lehrbuch uberein,ebenso die Bezeichnungen der zu berechnenden Großen. Ihre Bedeutung ist erlautert, dievorzugsweise anzuwendenden Einheiten sind angegeben. Zum besseren Verstandnis der Zu-sammenhange wurden Bilder eingefugt. Die Angabe von Normen und andere wichtige Hin-weise, die beim Berechnen von Maschinenelementen zu beachten sind, erganzen das Ange-bot der Berechnungsunterlagen.Auf die Tabellen und Diagramme fur erforderliche Werte von Festigkeiten, Sicherheiten, zu-lassigen Spannungen, Berechnungsfaktoren, Reibzahlen, Normteil- und Profilabmessungen,Toleranzen und dergleichen wird hingewiesen. Alle fur die Berechnungen benotigten Wertebefinden sich ausnahmslos im Tabellenband, der dem oben genannten Lehrbuch beigefugtist.Mit dieser Formelsammlung liegt eine Arbeitshilfe vor, die eine rationelle Losung von Auf-gabenstellungen zur Berechnung von Maschinenelementen wahrend des Studiums und in derPraxis ermoglicht. Sie ist deshalb besonders geeignet fur Klausuren und Prufungsarbeiten.Auch fur das Durchrechnen von �bungsaufgaben bietet sie Vorteile, da ein aufwendigesBlattern im Lehrbuch entfallt.Hierzu wird auf die im gleichen Verlag erschienene Aufgabensammlung „Decker/Kabus,Maschinenelemente – Aufgaben“ hingewiesen. Dieses bewahrte Buch mit �bungsaufgabenzur Berechnung von Maschinenelementen ist vollstandig auf das Lehrbuch abgestimmt. ZurAbrundung kann eine Vielzahl von Informationen und kostenlosen Zusatzmaterialien zumDecker Gesamtwerk unter www.hanser-fachbuch.de/decker nachgeschlagen werden.Verfasser und Bearbeiter hoffen, dass die Formelsammlung allen Benutzern eine wertvolleHilfe sein wird. Allen Kolleginnen und Kollegen sagen wir hiermit herzlichen Dank fur ihreRatschlage, auch Frau Ute Eckardt vom Carl Hanser Verlag fur die gute Zusammenarbeit.
Frank RiegFrank WeidermannGerhard Engelken
Reinhard HackenschmidtBettina Alber-Laukant
1 Konstruktionstechnik
Maße, Abmaße und Toleranzen
Oberes Abmaß ES ðbzw: esÞ ¼ Go �N , Unteres Abmaß EI ðbzw: eiÞ ¼ Gu �N ,
Istabmaß Ai ¼ I �N ,
Maßtoleranz T ¼ Go �Gu oder T ¼ ES � EI ðbzw: es� eiÞN Nennmaß, I Istmaß, Go Hochstmaß, Gu Mindestmaß
Allgemeintoleranzen nach DIN ISO 2768-1 (siehe Tab. 1.7).
ISO-Toleranzsystem
Fur die Grundtoleranzgrade IT 5 bis IT 18 und Nennmaße bis 500 mm:
Toleranzfaktor i ¼ 0,45ffiffiffiffi
D3pþ 0,001 D in mm ð1:1Þ
und fur Nennmaße uber 500 mm bis 3150 mm:
Toleranzfaktor I ¼ 0,004 Dþ 2,1 in mm ð1:2Þ
D ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
D1 �D2p
geometrisches Mittel aus den Zahlenwerten der Grenzwerte D1 und D2 des Nenn-maßbereichs.
Eine ISO-Grundtoleranz T ist ein Vielfaches des Toleranzfaktors i bzw. I (siehe Tab. 1.2).Die errechneten Werte sind nach vorgegebenen Regeln zu runden, und zwar die nachGl. (1.1) bis 100 mm auf 1 mm, bis 200 mm auf 5 mm und bis 500 mm auf 10 mm genau.Verbindliche Werte der Grundtoleranzen bis 3150 mm sind in DIN EN ISO 286-1 angegeben(Auszug siehe Tab. 1.2). Fur Nennmaße uber 3150 mm gilt weiterhin DIN 7172.
Passungen
Spielpassung
Hochstspiel Sg ¼ ES � ei ¼ GoB �GuW ð1:3Þ
Mindestspiel Sk ¼ EI � es ¼ GuB �GoW ð1:4Þ
Bild 1.1 Maße und Abmaßea) an einer Welle,b) an einer Bohrung
1
�bermaßpassung
Hochstubermaß Ug ¼ es� EI ¼ GoW �GuB ð1:5Þ
Mindestubermaß Uk ¼ ei � ES ¼ GuW �GoB ð1:6Þ
�bergangspassung
Hochstspiel Sg nach Gl. (1.3) und Hochstubermaß Ug nach Gl. (1.5)
ES, EI, es, ei oberes und unteres Abmaß der Bohrung bzw. der Welle,GoB, GuB, GoW, GuW Hochstmaß und Mindestmaß der Bohrung bzw. der Welle.
Toleranz der Passung
Passtoleranz Tp ¼ Sg � Sk bei Spielpassung ð1:7Þ
Tp ¼ Sg þUg bei Ubergangspassung ð1:8Þ
Tp ¼ Ug �Uk bei Ubermaßpassung ð1:9Þ
Tp ¼ TB þ TW allgemein ð1:10Þ
Auswahl von Passungen siehe Tab. 1.9.
Rauheit der Oberflachen
Rauheitsmessgroßen
Arithmetischer Mittenrauwert Ra (kurz Mittenrauwert) ¼ arithmetisches Mittel derabsoluten Betrage der Profilabweichungen y von der Mittellinie innerhalb derGesamtmessstrecke ln (Bild 1.2a).
Gemittelte Rautiefe Rz ¼ ðZ1 þ Z2 þ Z3 þ Z4 þ Z5Þ=5 als arithmetisches Mittel ausden Einzelrautiefen Zi funf aneinander grenzender Einzelmessstrecken le (Bild 1.2b).
Maximale Rautiefe Rmax ¼ großte der auf der Gesamtmessstrecke ln vorkommendenEinzelrautiefen Zi, z. B. Rmax ¼ Z5 im Bild 1.2b.
Naherungsweise gilt Ra � 0,1 Rz und Rz � Rmax.
1 Konstruktionstechnik10
1
Bild 1.2 Rauheitskenngroßena) Arithmetischer Mittelrauwert Ra, b) Einzelrautiefen als Grundlage fur die Bestimmung der ge-mittelten Rautiefe Rz und von Rmax
3 Festigkeitsberechnungen
Krafte
allg: Kraft F ¼ m � a ð3:1Þ
F in N Kraftm in kg Massea in m
s2 Beschleunigung
Mehrere Einzelkrafte konnen im Spezialfall unter Anwendung des Satzes des Pythagoras zueiner Resultierenden zusammengefasst werden
F2R ¼ F2
1 þ F22 ! FR ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
F21 þ F2
2
q
ð3:2Þ
F in N Kraft
Momente
allg: Moment M ¼ F � l ð3:3Þ
M in Nm MomentF in N Kraftl in m Hebelarm
In der Statik konnen damit sechs Gleichgewichtsbedingungen fur den Raum aufgestellt wer-den.
X
FX ¼ 0X
FY ¼ 0X
FZ ¼ 0 ð3:4Þ
X
MX ¼ 0X
MY ¼ 0X
MZ ¼ 0 ð3:5Þ
FX in N Kraft in x-RichtungFY in N Kraft in y-RichtungFZ in N Kraft in z-RichtungMX in Nm Moment um x-AchseMY in Nm Moment um y-AchseMZ in Nm Moment um z-Achse
3
Allgemeine Festigkeitsberechnung
Die Spannung s ist ein Maß fur die Beanspruchung.
Spannung s ¼ FA
ð3:6Þ
s in Nmm2 Spannung
F in N KraftA in mm2 beanspruchte Querschnittslange
Die Verformung (z. B. Verlangerung eines Stabes infolge einer Zugkraft) bezogen auf denAusgangszustand (Ausgangslange des Stabes) liefert ein dimensionsloses Maß fur die auftre-tende Verformung, die sog. Dehnung e:
Dehnung e ¼ �ll0¼ l1 � l0
l0ð3:7Þ
e in - Dehnung�l in m Verlangerung/Verkurzungl0 in m Ausgangslangel1 in m Lange im belasteten Zustand
Der Zusammenhang zwischen der Beanspruchung, also der inneren Spannung s, und derDehnung e wird durch ein Stoffgesetz beschrieben. Im Falle eines isotropen, linear-elasti-schen Materials gilt beispielsweise:
s ¼ E � e ð3:8Þ
s in Nmm2 Spannung
E in Nmm2 E-Modul
e in - Dehnung
Beanspruchungen
Grundbeanspruchungsarten
Zugbeanspruchung sz ¼Fz
A
Druckbeanspruchung sD ¼FD
A
Flachenpressung p ¼ FA
bzw: ð3:9Þ
p ¼ FAproj
ðbspw: Zapfen in einer LagerschaleÞ ð3:10Þ
Biegebeanspruchung sb zð Þ ¼Mb
Iy� z ð3:11Þ
maximalen Biegespannung sb;max ¼Mb
Wb;yð3:12Þ
3 Festigkeitsberechnungen12
3
Schubbeanspruchung tm ¼QA
ð3:13Þ
Torsionsbeanspruchung tt zð Þ ¼Mt
It� z ð3:14Þ
maximalen Torsionsspannung tt;max z ¼ D2
� �
¼Mt
It�D
2¼Mt
Wtð3:15Þ
F in N KraftA in mm2 beanspruchte QuerschnittsflacheAproj in mm2 beanspruchte projizierte Querschnittsflache (siehe ME Bild 3.23)s in N
mm2 Spannung
t in Nmm2 Spannung
Mb in Nmm BiegemomentI in mm4 Flachentragheitsmomentz in mm RandfaserabstandWb in mm3 BiegewiderstandsmomentQ in N QuerkraftMt in Nmm TorsionsmomentIt in mm4 TorsionsflachentragheitsmomentWt in mm3 Torsionswiderstandsmoment
Zusammengesetzte Beanspruchungen
Die Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand berechnen sich wie folgt:
s1 ¼sx þ sy
2þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sx � sy
2
� �2þ t2
xy
r
ð3:16Þ
s2 ¼sx þ sy
2�
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sx � sy
2
� �2þ t2
xy
r
ð3:17Þ
Bild 3.1 erlautert die Spannungskomponenten.
Y
X
YX
Y
YX
*
X
1
2
Bild 3.1 Ebener Spannungszustand (links) und Hauptnormalspannungen mit Hauptachsensystem (rechts)
Die Art und Weise der �berfuhrung des mehrachsigen Spannungszustands in den einachs-igen ist abhangig von der Richtung der Spannungskomponenten.
Beanspruchungen 13
3
Sind die Komponenten gleich gerichtet, wie es der Fall bei auftretender Zug-/Druck- zusam-men mit Biegebeanspruchung ist, konnen die Spannungskomponenten mit dem aus der Me-chanik bekannten Superpositionsprinzip zusammengefasst werden.
smax ¼ sZ þ sb;max
smin ¼ sZ � sb;max
Zur �berfuhrung in den einachsigen Spannungszustand gibt es grundsatzlich eine Reihe vonFestigkeitshypothesen, in der Praxis haben sich jedoch folgende Hypothesen bewahrt:Normalspannungshypothese:
Die Hauptspannungen werden nachfolgend mit s1, s2 und s3 bezeichnet und sind absteigendsortiert, sodass s1 die großte Hauptspannung darstellt.
Vergleichsspannung sV ¼ s1j j < K ð3:18Þ
Vergleichsspannung im mehrachsigen Spannungszustand sV ¼ smax ¼ 2 � tmax ð3:19Þ
sV in Nmm2 Spannung
s1 in Nmm2 Spannung
smax in Nmm2 Spannung
tmax in Nmm2 Schubspannung
K in Nmm2 Werkstoffkennwert
Gestaltanderungsenergiehypothese:
Fur den raumlichen Spannungszustand ergibt sich die Vergleichsspannung wie folgt:
sV ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s2x þ s2
y þ s2z � sx � sy þ sy � sz þ sx � sz
� �
þ 3 � t2xy þ t2
yz þ t2zx
� �
r
ð3:20Þ
Die Vergleichsspannung fur den zwei- und einachsigen Spannungszustand vereinfacht sich zufolgenden Gleichungen:
sV ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s2x þ s2
y � sx � sy þ 3 � t2xy
q
ð3:21Þ
sV ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s2x þ 3 � t2
xy
q
ð3:22Þ
3 Festigkeitsberechnungen14
3
Knickung
Knickung kann bei schlanken (wesentlich kleinere Querschnittsflache im Vergleich zur Stab-lange) druck und/oder torsionsbelasteten Staben auftreten.
Maßgeblich beeinflusst wird die Knickung von der Querschnittsflache und vom Flachentrag-heitsmoment I, woraus sich der Tragheitsradius i ergibt:
Knickung i ¼ffiffiffiffi
IA
r
ð3:23Þ
i in mm TragheitsradiusI in mm4 FlachentragheitsmomentA in mm2 Querschnittsflache
Schlankheitsgrad l ¼ lK
ið3:24Þ
lK in mm freie Knicklange nach Bild 3.2l in - Schlankheitsgrad
F F F F
l
l K = 2 l l K = 1/2 ll K = l
I II III IV
l K = 1/2√2 l
Bild 3.2 Die vier Knickfalle nach Euler
Im Anschluss an die Berechnung des Schlankheitsgrads ist zum Vergleich der Grenzschlank-heitsgrad lGrenz zu ermitteln:
Grenzschlankheitsgrad lGrenz ¼ p
ffiffiffiffiffiffi
Esp
s
ð3:25Þ
E in Nmm2 E-Modul
sp in Nmm2 Proportionalitatsgrenze
Unter Verwendung des Schlankheitsgrads l und des Grenzschlankheitsgrads lGrenz erfolgt dieDifferenzierung zwischen der elastischen Knickung nach Euler und der unelastischen Kni-ckung nach Tetmajer:
l < lGrenz : Knickung nach Tetmajer ð3:26Þ
Knickung 15
3
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