Lista 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBA

CCEN-Departamento de Matematica

3a Lista

Disciplina: Analise Funcional, Data: 21/05/2015 Prof: Everaldo

1. Sejam E, F espacos de Banach e T : E F linear com a seguintepropriedade: (xn) tal que xn 0 Txn 0. Mostre que T econtnuo.

2. Seja E um espaco de Banach. Prove que todo conjunto K E compactona topologia fraca (E,E ) e limitado.

3. Seja E um espaco de Banach separavel. Mostre que para cada x Eexiste uma sequencia (xn) nao constante em E tal que xn x.

4. Mostre que um espaco metrico e compacto se, e so se, e sequencialmentecompacto. Verifique que o conjunto B = {x l2 : x2 = 1} e fechado,limitado, mas nao e compacto.

5. Seja (X, ) um espaco topologico compacto e metrizavel. Mostre quetoda sequencia (xn) em X possui uma subsequencia que converge natopologia .

6. Seja E um espaco de Banach tal que E seja separavel. Mostre quetoda sequencia limitada em E possui uma subsequencia que converge natopologia (E , E).

7. De exemplo de uma sequencia (xn) tal que xn x mas, x