View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
M - Příprava na 11. zápočtovýtest
Určeno pro studenty dálkového studia.
Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
VARIACE
1
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Geometrické útvary a jejich vlastnosti±
Planimetrie
Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie).
Základní geometrické prvky a útvary:
Bod - nejmenší geometrický útvarZnázorňujeme:
Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB)Znázorňujeme:
Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme:
Zapisujeme: ®AB Úsečka: Znázorňujeme:
Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cmPozn.: Platí, že ®AB ¹ ®BA
Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme:
nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pC
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 1 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ®ABC nebo ®pC
Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme:
Zapisujeme: |úhel ABC| = aÚhel může být:• nulový (velikost 0°)• ostrý (velikost 0° < a < 90°)• pravý (velikost 90°)• tupý (velikost 90° < a < 180°)• přímý (velikost 180°)• plný (velikost 360°)Jiné dělění:• úhel konvexní (velikost 0° < a < 180°)• úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° < a < 360°)
Dvojice úhlů v rovině:1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)
2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)
3. Dvojice úhlů souhlasných (mají stejnou velikost)
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 2 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost)
Rovinné útvary
I. Trojúhelník
Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly.• Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°.• Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°.• Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech.• Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší
než strana třetí).• Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů.• Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá
orthocentrum.• Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se
nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu.• Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy
rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost.• Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy
trojúhelníka.• Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká
všech tří stran.• obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c• obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va
• obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing• pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:
2
)).().(.(
cbas
csbsassS
++=
---=
Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků:
A. Obecný trojúhelník• nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedenéB. Ostroúhlý trojúhelník
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 3 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
• trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostréC. Pravoúhlý trojúhelník• trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré• zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a
zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°.• u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany
odvěsny• u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z
Thaletovy věty• pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S =
(1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami• v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c
2 = a
2 + b
2 (při označení přepony písmenem c)
• v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce:
c
a
přepona
protilehlá==asin
c
b
přepona
přilehlá==acos
b
a
přilehlá
protilehlátg ==a
a
b==
protilehlá
přilehlácotga
D. Tupoúhlý trojúhelník• má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré• dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrumE. Rovnoramenný trojúhelník• má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna• vnitřní úhly při základně jsou shodné• trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu• výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně• střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti• výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí• na ose souměrnosti leží i těžiště• rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý• obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + cF. Rovnostranný trojúhelník• má všechny strany stejně dlouhé• má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60°• má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120°• je osově souměrný - má tři osy souměrnosti• střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm• výšky jsou zároveň i těžnice• obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a• výška se vypočte podle vzorce v = a.Ö3/2
II. Čtyřúhelník
A. Obecný čtyřúhelník• má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti• čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f• součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360°B. Rovnoběžník• čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b)• obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a . va
• každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné• součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180°• úhlopříčky se navzájem půlí• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček
a) čtverec• má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90°
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 4 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
• úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé• průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček• je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky)• obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a• obsah se vypočte podle vzorce S = a
2 nebo také S = u
2/2
• úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.Ö2b) obdélník• má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• má všechny vnitřní úhly pravé• úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí• průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané• je středově souměrný podle středu úhlopříček• je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran• obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b)• obsah se vypočte podle vzorce S = a.b• pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova větac) kosočtverec• má všechny strany stejně dlouhé• každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné• každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°• úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček• je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami• obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a• obsah se vypočte podle vzorce S = a.va nebo také S = u1.u2/2• lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříčekd) kosodélník• má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• má každé dva protější vnitřní úhly shodné• každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°• úhlopříčky se navzájem půlí• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček
C. Lichoběžník• čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné;
rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena• obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d• obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce
( )2
.caS
v+=
a) rovnoramenný lichoběžník• má obě ramena shodná• má oba vnitřní úhly při každé základně shodné• úhlopříčky jsou shodné• je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základenb) pravoúhlý lichoběžník• má právě dva vniřní úhly pravé• jedno rameno je kolmé k oběma základnám
III. Pravidelný pětiúhelník• má všechny strany shodné• má všechny vnitřní úhly shodné• postup konstrukce:
• sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD• najdeme střed K úsečky SB
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 5 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
• sestrojíme úsečku KC• obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L• úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na
původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka
IV. Pravidelný šestiúhelník• má všechny stany shodné• je středově souměrný• je osově souměrný- má 6 os souměrnosti• sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných
rovnostranných trojúhelníků• každý vnitřní úhel má velikost 120°• lze opsat i vepsat kružnici• postup konstrukce:
• sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r• na kružnici zvolíme libovolný bod A• z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného
šestiúhelníka
V. Pravidelný osmiúhelník• má všechny strany shodné• je středově souměrný• je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti• lze opsat i vepsat kružnici
VI. Kruh, kružnice a jejich části
Základní pojmy:
Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r.
Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice.
Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí.
Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d.
Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr.
Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh:1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 6 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou.3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto
případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou.
Tečna je vždy kolmá na poloměr.
Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.
Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového.
KružnicePro výpočet délky kružnice platí vzorce:l = 2.p.r nebo l = p.d
KruhPro výpočet obvodu kruhu platí vzorce:o = 2.p.r nebo o = p.d
Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce:S = p.r
2 nebo S = p.d
2/4
Kruhový oblouk
Pro délku kruhového oblouku a platí:
ap
.180
.ra =
nebo a
p.
360
.da =
Soustředné kružnice
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 7 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr.
Kruhová výsečJedná se o rovinný útvar.
Pro obsah kruhové výseče S platí:
ap
.360
.rS
2
= nebo
ap
.1440
.dS
2
=
Kruhová úsečJedná se opět o rovinný útvar.
MezikružíRovinný útvar.
Obsah mezikruží:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 8 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
S = p . (R2 - r
2)
Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady±
1.
Výsledek:
1563
2.
4 100 krátVýsledek:
1547
3.
2 řešení:Výsledek:
1574
4.
0,08 m2, 800 cm
2Výsledek:
1531
5.
3,14 cm2Výsledek:
1545
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 9 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
6.
Není zavlažováno 61,81 m2, třetí strana pole je 33,94 m.Výsledek:
1537
7.
414 m2Výsledek:
1567
8.
Výsledek:
1613
9.
10Výsledek:
1584
10.
30 mVýsledek:
1521
11.
o = 24 cm; S = 41,6 cm2Výsledek:
1602
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 10 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
12.
b)
Výsledek:
1595
13.
280 KčVýsledek:
1513
14.
Výsledek:
1626
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 11 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
15.
204 cm2Výsledek:
1614
16.
4 cmVýsledek:
1600
17.
54 cm2Výsledek:
1586
18.
58°Výsledek:
1590
19.
249 cm2Výsledek:
1627
20.
4 krátVýsledek:
1585
21.
|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cmVýsledek:
1522
22.
0,35 mVýsledek:
1530
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 12 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
23.
3350 m2Výsledek:
1596
24.
9,18 cmVýsledek:
1609
25.
5 cmVýsledek:
1628
26.
700 m2; 160 mVýsledek:
1593
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 13 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
27.
, Výsledek:
1517
28.
13,9 cmVýsledek:
1588
29.
3 200 m2Výsledek:
1555
30.
77,8 %Výsledek:
1587
31.
4,8 cmVýsledek:
1543
32.
Výsledek:
1578
33.
Poloměr kružnice opsané: 4,62 cmPoloměr kružnice vepsané: 2,31 cm60,5 %
Výsledek:
1607
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 14 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
34.
4 cm2Výsledek:
1617
35.
7,5 haVýsledek:
1520
36.
Výsledek:
1599
37.
11Výsledek:
1581
38.
30 cmVýsledek:
1536
39.
NemohouVýsledek:
1566
40.
Výsledek:
1559
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 15 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
41.
Výsledek:
1523
42.
88 cmVýsledek:
1528
43.
Výsledek:
1562
44.
Výsledek:
1604
45.
90°Výsledek:
1541
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 16 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
46.
46 cmVýsledek:
1616
47.
4/5Výsledek:
1564
48.
5,7 mVýsledek:
1548
49.
Výsledek:
1623
50.
480 cm2
26 cm
Výsledek:
1601
51.
2 400 cm2Výsledek:
1525
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 17 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
52.
16 trojúhelníkůVýsledek:
1618
53.
0,8 mVýsledek:
1508
54.
27 obdélníkůVýsledek:
1561
55.
53,7 cm2Výsledek:
1518
56.
75°Výsledek:
1597
57.
Výsledek:
1515
58.
17,32 cmVýsledek:
1610
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 18 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
59.
a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 60°, h = 110°Výsledek:
1509
60.
50°Výsledek:
1511
61.
40,2 m2Výsledek:
1570
62.
Výsledek:
1549
63.
Výsledek:
1591
64.
Výsledek:
1514
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 19 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
65.
Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABC´na obrázku.
Oba obsahy jsou shodnéVýsledek:
1580
66.
Čtverec má větší obsah než obdélník.Výsledek:
1565
67.
140 mVýsledek:
1611
68.
6,075 cm2Výsledek:
1540
69.
75°Výsledek:
1594
70.
20°Výsledek:
1589
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 20 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
71.
Výsledek:
1519
72.
10 cmVýsledek:
1603
73.
155°, resp. 205°Výsledek:
1615
74.
60 cm2Výsledek:
1553
75.
34,9 %Výsledek:
1533
76.
70°Výsledek:
1512
77.
977 m2Výsledek:
1569
78.
Výsledek:
1620
79.
2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cmVýsledek:
1550
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 21 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
80.
v = 6,06 cmABD
Výsledek:
1556
81.
1/2Výsledek:
1575
82.
Zmenšení obsahu o 20 %Zmenšení obvodu o 11,11 %
Výsledek:
1576
83.
57,74 cm2Výsledek:
1554
84.
Výsledek:
1535
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 22 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
85.
6,6 dm2Výsledek:
1572
86.
TupoúhlýVýsledek:
1577
87.
5 cmVýsledek:
1507
88.
ABDVýsledek:
1557
89.
112 dlaždicVýsledek:
1534
90.
50 cm2Výsledek:
1529
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 23 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
91.
56,25 cm2Výsledek:
1592
92.
65,1 %Výsledek:
1606
93.
0,4 mVýsledek:
1532
94.
15Výsledek:
1598
95.
94°Výsledek:
1546
96.
Výsledek:
1516
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 24 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
97.
Výsledek:
1542
98.
, , Výsledek:
1526
99.
Výsledek:
1621
100.
25 mmVýsledek:
1622
101.
795, 2 m2Výsledek:
1624
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 25 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
102.
120°Výsledek:
1510
103.
193 mVýsledek:
1625
104.
Výsledek:
1558
105.
Výsledek:
1551
106.
Výsledek:
1527
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 26 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
107.
52 cmVýsledek:
1560
108.
24,3 cm2Výsledek:
1539
109.
40 mVýsledek:
1524
110.
, , Výsledek:
1544
111.
|BC| = 10 cm, obsah je 54 cm2Výsledek:
1579
112.
19 cm2Výsledek:
1608
113.
6Výsledek:
1582
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 27 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
114.
, , Výsledek:
1583
115.
13,5 cmVýsledek:
1612
116.
NeVýsledek:
1538
117.
v = 4,33 cm
Výsledek:
1552
118.
5 cmVýsledek:
1568
119.
Výsledek:
1605
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 28 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Pythagorova věta±
Pythagorova věta
Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.
Důkaz:
Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí:a
2 = c . ca
b2 = c . cb
----------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme:a
2 + b
2 = c . ca + c . cb = c . (ca + cb) = c . c = c
2
CBDPlatí také věta obrácená:
Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c2 = a
2 + b
2, pak jde o pravoúhlý
trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C.
Důkaz:
Zvolme pravoúhlý trojúhelník A´B´C´takový, aby při vrcholu C´ byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy:a´ = ab´ = bPro přeponu trojúhelníka A´B´C´platí Pythagorova věta:c´
2 = a´
2 + b´
2 = a
2 + b
2 = c
2
Z toho vyplývá, žec´ = cTrojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A´B´C´(sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C´(který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat.
Ukázkové příklady:
Příklad 1:
Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý.
Řešení:
a = 4 cmb = 5 cmc = 6 cmc´= ? [cm]-----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c´. Pokud bude platit c´ = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý.
64154´ 2222 ¹=+=+= bac
Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 29 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Pythagorova věta - procvičovací příklady±
1.
Výsledek:
1347
2.
Výsledek:
1345
3.
12 cmVýsledek:
1344
4.
1 092 cm2Výsledek:
1343
5.
1,4 mVýsledek:
1339
6.
4,9 cmVýsledek:
1350
7.
0,6 cmVýsledek:
1340
8.
110 mVýsledek:
1342
9.
1,78 cmVýsledek:
1349
10.
6,06 cmVýsledek:
1341
11.
Výsledek:
1348
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 30 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
12.
12Výsledek:
1346
Shodná zobrazení±
Shodná zobrazení
Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné.
Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné.
Mezi shodná zobrazení patří:
I. Identita (totožnost)
Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů.
Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B
II. Posunutí (translace)
Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body.
Zapisujeme: T[AB]: Útvar A ---> Útvar B
III. Osová souměrnost
Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé.
Zapisujeme: O[<-->p]: Útvar A ---> Útvar B
IV. Středová souměrnost
Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti.
Zapisujeme: S[S]: Útvar A ---> Útvar B
V. Otočení (rotace)
Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace.
Zapisujeme: R[S; +30°]: Útvar A ---> Útvar B
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 31 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace.
Shodná zobrazení - procvičovací příklady±
1.
Výsledek:
1685
2.
Výsledek:
1693
3.
Výsledek:
1687
4.
Výsledek:
1694
5.
Výsledek:
1692
6.
Výsledek:
1697
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 32 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
7.
Výsledek:
1684
8.
Výsledek:
1698
9.
Výsledek:
1683
10.
Výsledek:
1688
11.
Výsledek:
1695
12.
Výsledek:
1691
13.
Výsledek:
1681
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 33 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
14.
Výsledek:
1686
15.
Výsledek:
1696
16.
Výsledek:
1689
17.
Výsledek:
1682
18.
Výsledek:
1690
19.
Výsledek:
1699
Jehlan komolý±
Komolý jehlan
Komolý jehlan je těleso, které vznikne z jehlanu klasického odříznutím jeho špičky.
Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovými komolými jehlany, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou dolní podstavy jehlanu.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 34 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Objem komolého jehlanu se vypočte tak, že sečteme obsahy obou podstav, k součtu připočteme druhou odmocninu součinu obsahů obou podstav a vzniklý výsledek vynásobíme jednou třetinou výšky jehlanu.
( )2121 .3
1SSSSvV ++=
Povrch komolého jehlanu se vypočte jako součet obsahů obou podstav a obsahu pláště tělesa.
S = S1 + S2 + SQ
Příklad 1:
Řešení:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 35 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Kužel komolý±
Komolý kužel
Komolý kužel je těleso, které vznikne z klasického rotačního kužele odříznutím jeho špičky.
Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovým kuželem, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou spodní podstavy kužele.
Objem komolého kužele se vypočte jako jedna třetina součinu výšky kužele a Ludolfova čísla, násobená součtem druhé mocniny poloměru spodní podstavy, druhé mocniny poloměru horní podstavy a součinu obou poloměrů.
Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou kruhových podstav a obsahu pláště komolého kužele.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 36 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
QSSSS ++= 21
Příklad 1:
Řešení:
Příklad 2:
Řešení:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 37 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Posloupnosti±
Posloupnosti
Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel.
Funkční hodnota této funkce přiřazená každému kladnému číslu se nazývá n-tý člen posloupnosti. Nejčastěji se značí an, bn, apod.
a1 ... 1. člen posloupnostia2 ... 2. člen posloupnostia3 ... 3. člen posloupnosti...a7 ... 7. člen posloupnostia8 ... 8. člen posloupnosti...an ... n-tý člen posloupnosti
Posloupnost {an} se zapisuje:
Ohraničená posloupnost
Nechť je dána posloupnost {an} a číslo C > 0.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 38 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Platí-li
obecně pak
,
pak je posloupnost {an} ohraničená.
Rostoucí posloupnost
Nechť je dána posloupnost {an} = a1, a2, a3, ... , an, an+1, ... . Platí-li:
pak je posloupnost rostoucí. Každý následující člen je tedy vždy větší než člen předcházející.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 39 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Klesající posloupnost
Nechť je dána posloupnost {an} = a1, a2, a3, ... , an, an+1, ... . Platí-li:
pak je posloupnost klesající. Každý následující člen je tedy vždy menší než člen předcházející.
Konečná posloupnost
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 40 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Posloupnost se nazývá konečná (tj. má konečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je konečná množina D Ì N, tzn., že její definiční obor je množina prvních k přirozených čísel.
Například předpis pro n-tý člen bude {2n - 1}, číslo k = 6.
Nekonečná posloupnost
Posloupnost se nazývá nekonečná (tj. má nekonečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je celá množina N.
Zadání posloupnosti rekurentně
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 41 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Je-li u posloupnosti zadán její první člen a dále (n+1). člen vyjádřený pomocí n-tého členu, říkáme, že je posloupnost zadána rekurentně.
Posloupnosti - procvičovací příklady±
1. Napište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně
1; 2; 1; 1; 0; -1Výsledek:
2150
2. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost je omezená.Výsledek:
2131
3. Stanovte n-tý člen posloupnosti:
Výsledek:
2120
4. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost je rostoucí.Výsledek:
2136
5. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost je klesající.Výsledek:
2124
6. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem
přičemž hodnoty členů a1, a2 udávají kořeny níže napsané kvadratické rovnice a platí a1 < a2. Určete prvních pět členů této posloupnosti.
-14; 10; 34; 82; 222Výsledek:
2148
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 42 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
7. Stanovte n-tý člen posloupnosti:
Výsledek:
2119
8. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost je rostoucí.Výsledek:
2123
9. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem.an = 1 kde n je přirozené číslo.Výsledek:
2142
10. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem an+1 = 2 - an, přičemž a1 = 0. Sledujte jednotlivé členy posloupnosti a určete její n-tý člen jako funkci indexu n.Výsledek:
2128
11. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem.
Výsledek:
2145
12. Stanovte n-tý člen posloupnosti:
Výsledek:
2116
13. Napište prvních pět členů posloupnosti dané rekurentně
0; 1; 2; 1; -4Výsledek:
2149
14. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem.
Výsledek:
2143
15. Stanovte n-tý člen posloupnosti:
Výsledek:
2117
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 43 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
16. Stanovte n-tý člen posloupnosti:
Výsledek:
2115
17. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem
přičemž hodnotu členu a1 udává přirozené číslo, které je řešením nerovnice
Napište první čtyři členy této posloupnosti.
1; 1; 1/2; 1/6Výsledek:
2134
18. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem.
Výsledek:
2147
19. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem.
Výsledek:
2146
20. Stanovte n-tý člen posloupnosti:
Výsledek:
2122
21. Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen.
Výsledek:
2139
22. Stanovte n- tý člen posloupnosti:
Výsledek:
2114
23. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost je omezená.Výsledek:
2125
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 44 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
24. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem.
Výsledek:
2144
25. Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen.
Výsledek:
2140
26. Stanovte n-tý člen posloupnosti:
n2 - 1Výsledek:
2118
27. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost není rostoucí ani klesající.Výsledek:
2138
28. Stanovte n-tý člen posloupnosti:
Výsledek:
2121
29. Zjistěte, které z čísel 10, 35, 50 je členem posloupnosti
35Výsledek:
2133
30. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost je rostoucí.Výsledek:
2135
31. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost je nerostoucí.Výsledek:
2137
32. Určete níže uvedenou posloupnost rekurentním vzorce
Výsledek:
2126
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 45 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
33. Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen.
Výsledek:
2141
34. Jsou dány posloupnosti. Rozhodněte, které z nich jsou omezené.
Pouze poslední posloupnost je omezená.Výsledek:
2132
35. Určete níže zadanou posloupnost rekurentním vzorcem
Výsledek:
2127
36. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost je omezená.Výsledek:
2129
37. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.
Posloupnost je omezená.Výsledek:
2130
Aritmetická posloupnost±
Aritmetická posloupnost
1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , an-1, an, an+1
V tomto případě platí, že (an - an-1) = 1
2, 4, 6, 8, 10, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 2
1, 3, 5, 7, 9, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 2
1, 3/2, 2, 5/2, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 1/2
Ve všech uvedených případech platí, že an+1 = an + d
Jde o aritmetické posloupnosti. Číslu d říkáme diference aritmetické posloupnosti.
Definice:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 46 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Jestliže v posloupnosti {an} platí rekurentní vzorec an+1 = an + d, kde d je dané číslo (tedy konstantní) a nezávislé na n , nazývá se taková posloupnost aritmetickou posloupností. Číslo d nazýváme difernecí.
Mějme obecně aritmetickou posloupnosta1
a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2da4 = a3 + d = a1 + 3d...an = a1 + (n - 1)d
Věta 1:Pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti pomocí prvního členu a diference platí vzorecan = a1 + (n - 1)d, kde n je přirozené číslo.
Věta 2:Pro dva libovolné členy ar, as aritmetické posloupnosti platí rovnost:as = ar + (s - r)d
Příklad 1:
První dva členy aritmetické posloupnosti jsou 40 a 37. Určete dvanáctý člen.
Řešení:
40, 37, 34, 31, 28, 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, ...
an = a1 + (n - 1)da12 = 40 + 11.dProtože d = -3, pak a12 = 40 + 11.(-3) = 7
Příklad 2:
V aritmetické posloupnosti známe 10. a 20. člen. Jsou 25, -15 (po sobě). Určete d, a1, a50.
Řešení:
a10 = a1 + 9d = 25a20 = a1 + 19d = -15 -------------------Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pokud ji vyřešíme, dostaneme a1 = 61, d = -4Pak stačí dopočítat a50 = 61 + 49 . (-4) = -135
Příklad 3:
Mezi čísla 3,7 a 6,8 máme vložit 9 čísel tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost.Pozn.: Říkáme, že provádíme tzv. interpolaci devíti členů mezi daná dvě čísla.
Řešení:
a1 = 3,7a11 = 6,8 = 3,7 + 10d---------------------------d = 0,31
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 47 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
3,7; 4,01; 4,32; 4,63; 4,94; 5,25; 5,56; 5,87; 6,18; 6,49; 6,80
Věta 3:
V aritmetické posloupnosti {an} platí pro součet sn jejích prvních n členů následující vzorec:
( )nn aan
s += 12
Příklad 4:
Vypočtěte součet prvních n lichých čísel.
Řešení:
a1 = 1an = 1 + (n - 1) . 2 = 2n - 1
( ) ( ) 21 121
22nn
naa
ns nn =-+=+=
Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady±
1.
1. řešení je 3, druhé řešení je 4.Výsledek:
2205
2.
Výsledek:
2201
3.
d = 0,5, an+1 = an + 0,5, a1 = (a + 1)/2Výsledek:
2198
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 48 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
4.
Výsledek:
2191
5. Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jak jsou velké, měří-li jejich součet 24 cm a objem kvádru je 312 cm3?Výsledek:
2193
6.
Výsledek:
2207
7.
9Výsledek:
2195
8.
Výsledek:
2192
9.
10Výsledek:
2190
10.
Výsledek:
2203
11.
1. řešení:
2. řešení:
3. řešení:
Výsledek:
2209
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 49 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
12.
Výsledek:
2196
13.
Výsledek:
2194
14.
Výsledek:
2202
15.
1. řešení je 42, 2. řešení je (-33)Výsledek:
2204
16.
Výsledek:
2199
17.
Výsledek:
2200
18.
190Výsledek:
2206
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 50 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
19.
Výsledek:
2208
20.
Výsledek:
2197
21.
Výsledek:
2210
Geometrická posloupnost±
Geometrická posloupnost
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...Zde platí: a2 = 2a1 a3 = 2a2 atd.
1, 1/3, 1/9, 1/27, ...Zde platí: a2 = (1/3)a1 a3 = (1/3)a2 atd. obecně an = (1/3)an-1
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 51 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Následující člen je vždy nějakým násobkem členu předcházejícího.
Definice:Jestliže v posloupnosti {an} platí rekurentní vzorec an+1 = an . q, kde q je dané číslo nezávislé na n (= konstanta), nazýváme takovou posloupnost geometrickou posloupností. Číslo q nazýváme kvocientem geometrické posloupnosti.
a2 = a1 . qa3 = a2 . q = a1 . q
2
a4 = a3 . q = a1 . q3
.
.
.an = a1 . q
n-1
Věta 1:Pro výpočet n-tého členu geometrické posloupnosti z prvního členu a z kvocientu platí vzorec an = a1 . q
n-1, kde
n je přirozené číslo.
Věta 2:Pro libovolné dva členy ar, as geometrické posloupnosti platí rovnost:as = ar . q
s-r
Věta 3:Součet prvních n členů geometrické posloupnosti {an} je určen vzorcem:
1
1.1
-
-=
q
qas
n
n
kde q ¹ 1
Pozn.: Je-li q < 1, pak je vhodné použít vztahu q
qas
n
n-
-=
1
1.1
Je-li q = 1, pak dostáváme posloupnost a1, a1, a1, ... a pro součet prvních n členů pak platí: sn = n.a1
Příklad 1:
Je dáno a8 = -40, a9 = -80. Určete příslušnou geometrickou posloupnost.Pozn.: Určit geometrickou posloupnost znamená zapsat její 1. člen a kvocient.
Řešení:
a8 = a1 . q7 = -40
a9 = a1 . q8 = -80
------------------Získali jsme soustavu rovnic. Při jejím řešení je vhodné použít postup, že druhou rovnici vydělíme rovnicí první. Dostaneme tak q = 2 a dosazením do jedné z rovnic pak vypočteme, že a1 = -5/16
Příklad 2:
Najděte 4 čísla, která tvoří část geometrické posloupnosti o součtu 360, víte-li, že poslední číslo je 9krát větší než druhé číslo. Určete danou posloupnost.
Řešení:
n = 4sn = 360
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 52 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
a4 = 9 . a1 . q-----------------
1
1.360
4
1-
-=
q
qa
9.a1.q = a1 . q3
----------------------Z druhé rovnice q1 = +3 q2 = -3Po dosazení do rovnice první dostáváme(a1)1 = 9(a1)2 = -18
Hledané posloupnosti tedy mohou být dvě, a to:9, 27, 81, 243-18, 54, -162, 486
Geometrická posloupnost - procvičovací příklady±
1.
a1 = 6, q = 2Výsledek:
2228
2.
Výsledek:
2223
3.
425Výsledek:
2213
4.
Výsledek:
2225
5.
Výsledek:
2224
6.
Úloha má tři řešení:Výsledek:
2216
7.
a1 = 5, q = 2Výsledek:
2227
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 53 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
8.
Vložená čísla: 10, 20, 40, 80, 160, 320 Výsledek:
2212
9.
280Výsledek:
2217
10.
595Výsledek:
2218
11.
s10 = a2/1024Výsledek:
2214
12.
1. řešení: 1622. řešení: 2/3
Výsledek:
2226
13.
n = 4sn = 120
Výsledek:
2220
14.
27 cm3Výsledek:
2215
15.
Výsledek:
2222
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 54 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
16. Doplňte zbývající čísla v tabulce:
Výsledek:
2229
17.
Výsledek:
2219
18. Doplňte zbývající čísla v tabulce:
Výsledek:
2230
19.
6Výsledek:
2221
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 55 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
20.
1. řešení: 1, 2, 4, 82. řešení: 8, 4, 2, 1
Výsledek:
2211
Analytická geometrie±
Analytická geometrie
Analytická geometrie je odvětví matematiky - vznikla už v 17. století. Za její zakladatele jsou považováni francouzští matematici René Descartes a Pierre Fermat. Podstatou analytické geometrie je převedení geometrické úlohy pomocí souřadnic na úlohu algebraickou, zpravidla na řešení soustavy rovnic. Výsledné řešení se pak interpretuje zpět geometricky.
Základní pojmy
Narýsujeme-li dvě na sebe kolmé přímky v rovině, dostáváme souřadný systém. Přímky nazýváme souřadné osy a tu, která je vodorovně, nazveme osou x a tu, která je svisle, nazveme osou y. Průsečík obou os označujeme zpravidla O a nazýváme ho počátek souřadného systému.Kladné poloosy označujeme šipkou a na obou osách vyznačíme měřítko - pravidelné dílky - zpravidla po 1 cm.Chceme-li zobrazit bod v souřadném systému, zobrazujeme jeho první souřadnici vždy na ose x a druhou souřadnici vždy na ose y. Bod vždy zapisujeme např. A[2; 3].
Vzdálenost dvou bodů v rovině
Nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[xA ; yA ] a B[xB ; yB]. Chceme-li určit jejich vzdálenost, postupujeme následovně:
Pro vzniklý trojúhelník pak použijeme Pythagorovu větu a dostaneme vzorec:
Příklad 1:
Vypočtěte vzdálenost bodů K[5; 7] a L[2; 11].
Řešení:
( ) ( ) 57115222
=-+-=KL
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 56 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Příklad 2:
Jsou dány body A[1; 3], B[-1; x]. Určete číslo x tak, aby |AB| = Ö5.
Řešení: Má platit:
( ) ( ) 53222
=-+- x
4 + (x - 3)2 = 5
Dostaneme dvě řešení x1 = 4, x2 = 2
Střed úsečky v rovině
Opět nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[xA ; yA ] a B[xB ; yB]. Chceme-li určit střed úsečky, kterou tyto body určují, postupujeme následovně:
Souřadnice středu S[xS; yS] pak zapíšeme:
Příklad 3:
Jsou dány body A[2; -3], B[-5; 4]. Určete střed úsečky AB.
Řešení:
( )2
3
2
52-=
-+=Sx
( )2
1
2
43=
+-=Sy
Závěr: S[-3/2; 1/2]
Vektory±
Vektory
Orientovanou úsečkou nazýváme nenulovou úsečku, u níž je označen jeden z jejích krajních bodů za počáteční a druhý za koncový.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 57 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Leží-li orientované úsečky AB, CD na téže přímce, pak je nazýváme souhlasně orientované, je-li jedna z polopřímek AB, CD částí druhé, případně jestliže obě polopřímky splývají. Rovnoběžně orientované úsečky se jmenují nesouhlasně orientované, jestliže nejsou orientovány souhlasně.
Množina všech souhlasně orientovaných úseček AB, CD, ... téže velikosti se nazývá vektorem (nenulovým) a označuje se buď tučně tištěným písmem (při psaní je někdy podtrhujeme) nebo znakem
Každá z daných orientovaných úseček se nazývá umístěním vektoru u.Vektor u je určen kterýmkoliv svým umístěním AB, proto ho také nazýváme vektorem AB a píšeme u = AB. Jsou-li orientované úsečky AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou si rovny a píšeme AB = CD.
Množina všech nulových úseček se nazývá nulovým vektorem a označuje se o. Při jeho každém umístění splývá bod počáteční s bodem koncovým; je-li A = B, pak AB = o.
Jsou-li orientované úsečky AB, CD rovnoběžné, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou rovnoběžné; také říkáme, že vektor AB je rovnoběžný s přímkou AB nebo s přímkou CD.
Nulový vektor pokládáme za rovnoběžný s každou přímkou.
Jsou-li orientované úsečky AB, CD souhlasně (nesouhlasně) orientovány, pak říkáme, že také vektory AB, CD jsou souhlasně (nesouhlasně) orientovány nebo že jsou souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžné.
Je-li vektor AB roven vektoru CD, pak úsečky AD, BC mají týž střed. (1)
Mají-li úsečky AD, BC týž střed, pak je vektor AB roven vektoru CD. (2)
Mějme nyní dvě umístění AB, CD téhož vektoru u; to znamená, že je AB = CD. Podle věty (1) mají pak úsečky AD, BC týž střed. Zvolme nyní soustavu souřadnic, ve které je A[a1; a2], B[b1; b2], C[c1; c2], D[d1; d2]. Potom platí pro souřadnice společného středu úseček AD, BC jednak vzorec
2
DAS
+=
a jednak vzorec
2
CBS
+=
Je tedy
22
CBDA +=
+
(3)
A + D = B + C, čili D - C = B - A (4)Tato symbolická rovnice zastupuje tyto dvě rovnice:d1 - c1 = b1 - a1 d2 - c2 = b2 - a2 (5)Obráceně - platí-li při stejném označení souřadnic všech bodů obě rovnice (5), tj. platí-li rovnice (4), pak platí též rovnice (3). To však znamená, že střed úsečky AD je týž jako střed úsečky BC. Podle věty (2) je tedy vektor AB roven vektoru CD, čili úsečky AB, CD jsou umístěním téhož vektoru.
Závěr:Jsou-li AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak pro souřadnice bodů A, B, C, D platí rovnice vyjádřené jedinou symbolickou rovnicí D - C = B - A.
Mějme dvě umístění téhož vektoru u. Souřadnice příslušných bodů nechť jsou A[a1; a2], B[b1; b2], C[c1; c2], D[d1; d2]. Pak platí u1 = b1 - a1 = d1 - c1 u2 = b2 - a2 = d2 - c2 (vyplývá z předešlého závěru). Čísla u1, u2 nejsou závislá na umístění vektorů u. Tato čísla budeme nazývat souřadnice vektoru u. Jsou to souřadnice koncového
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 58 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
bodu takového umístění vektoru, jehož počáteční bod leží v počátku souřadného systému. Je-li jedno z umístění daného vektoru u, pak budeme opět používat symbolického zápisu u = B - A.
Závěr:Je-li orientovaná nebo nulová úsečka AB umístěním vektoru u, pak pro souřadnice bodů A[a1; a2], B[b1; b2] a vektoru u = (u1; u2) platí rovniceu1 = b1 - a1
u2 = b2 - a2
které symbolicky vyjadřujeme jedinou rovnicí u = B - A.
Příklad 1:
Zjistěte souřadnice vektoru u = AB, je-li A[-3; 4], B[-4; 2].
Řešení:
u1 = -4 - (-3) = -4 + 3 = -1u2 = 2 - 4 = -2u = (-1; -2)
Příklad 2:
Umístěte vektor u = (2; -7) do bodu A[-4; 1].
Řešení:
Hledáme bod B[x2; y2] takový, aby bylo u = AB.x2 = -4 + 2 = -2y2 = 1 + (-7) = -6Bod B má souřadnice [-2; -6].
Velikost vektoru
Definice:Velikostí vektoru u = (u1; u2) rozumíme velikost kteréhokoliv jeho umístění.
Věta:Velikost vektoru u = (u1; u2) vypočteme podle vzorce
2
2
2
1 uuu +=®
Vektor, jehož velikost je rovna jedné, budeme nazývat jednotkovým vektorem.
Příklad 1:
Určete velikost vektoru u = (3; 2).
Řešení:
|u| = Ö(32 + 2
2) = Ö13
Vektor u má velikost Ö13.
Příklad 2:
Určete velikost vektoru u, je-li dáno jeho umístění AB, kde A[-2; 3], B[-2; -1].
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 59 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Řešení:
u1 = -2 + 2 = 0u2 = -1 - 3 = -4|u| =Ö(0
2 + (-4)
2) = Ö16 = 4
Vektor u má velikost 4.
Příklad 3:
Vektor a = (a1; a2) je jednotkový. Zjistěte a2, je-li a1 = 0,5.
Řešení:
15,02
22 =+ a
a22 = 3/4(a2)1 = Ö3/2 (a2)2 = -Ö3/2Dostali jsme tedy dva jednotkové vektory a1 = (0,5; Ö3/2) a a2 = (0,5; -Ö3/2).
Součin čísla a vektoru
Součinem reálného čísla a vektoru bude opět vektor. Má shodný směr a orientaci s původním vektorem za předpokladu, že k je kladné číslo. Je-li číslo k záporné, pak je příslušný vektor opačně orientovaný. Velikost výsledného vektoru je rovna |k| násobku velikosti vektoru původního.
Věta 1:Mějme k libovolné reálné číslo a u libovolný vektor, který má souřadnice (u1; u2). Vektor k.u má souřadnice (k.u1; k.u2).
Věta 2:Jsou-li dány nenulové rovnoběžné vektory u, v, pak existuje jediné reálné číslo k ¹ 0 takové, že v = k . u.
Příklad 1:
Je dán vektor a = (-2; 3). Vypočtěte souřadnice vektoru b = k.a pro k = 3/2.
Řešení:
b1 = (3/2) . (-2) = -3b2 = (3/2) . 3 = 9/2Vektor b má souřadnice (-3; 9/2).
Příklad 2:
Vypočtěte souřadnice středu S úsečky OA, kde je O počátek soustavy souřadnic a A[3; 4].
Řešení:
Vektor OS = (1/2) . OA, protos1 = (1/2) . 3 = 3/2s2 = (1/2) . (-4) = -2Střed úsečky OA má souřadnice [3/2; -2].
Sčítání vektorů
Věta 1:Má-li vektor u souřadnice (u1; u2) a vektor v souřadnice (v1; v2), pak vektor u + v má souřadnice (u1 + v1; u2 +
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 60 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
v2).
Věta 2:Pro sčítání vektorů platí zákon komutativní.
Věta 3:Pro sčítání vektorů platí zákon asociativní i zákon distributivní.
Věta 4:Má-li vektor u souřadnice (u1; u2) a vektor v souřadnice (v1; v2), pak vektor u - v má souřadnice (u1 - v1; u2 - v2).
Příklad 1:
Zjistěte souřadnice vektoru c = a + b, jestliže a = (-2; 1), b = (-2; -2).
Řešení:c1 = -2 + (-2) = -2 - 2 = -4c2 = 1 + (-2) = 1 - 2 = -1Vektor c má souřadnice (-4; -1).
Příklad 2:
Zjistěte souřadnice vektoru d = a + b + c, je-li a = (1; 2), b = (0; 1), c = (2; 1).
Řešení:
d1 = 1 + 0 + 2 = 3d2 = 2 + 1 + 1 = 4Vektor d má souřadnice (3; 4).
Příklad 3:
Je dán vektor a = (-4; 3). Napište souřadnice vektoru -a.
Řešení:
Vektor -a má souřadnice (4; -3).
Příklad 4:
Vypočtěte souřadnice vektoru z = u - v, jestliže u = (-3; 5), v = (-2; -4).
Řešení:
z1 = -3 - (-2) = -1z2 = 5 - (-4) = 9Vektor z má souřadnice (-1; 9).
Pozn.: Pokud uvažujeme vektory v prostoru, jsou všechny výpočty naprosto analogické, vektory mají ale 3 souřadnice.
Lineární kombinace vektorů
Věta 1:Má-li vektor u souřadnice (u1; u2) a vektor v souřadnice (v1; v2), a jsou-li k, l reálná čísla, pak výraz k.u + l.v nazýváme lineární kombinací vektorů u, v.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 61 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Umístíme-li vektory u, v do roviny např. r, pak výsledný vektor w = k.u + l.v leží také v rovině r.
Lineární závislost a nezávislost vektorů
Věta 1:Dva vektory u, v nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru, např. u = k.v, kde k je libovolné reálné číslo.
Tento případ nastane, právě když je lze umístit na jednu přímku.
Věta 2:Jsou-li dva vektory rovnoběžné, jsou též lineárně závislé.
Věta 3:Jsou-li dva vektory lineárně závislé, pak jsou buď rovnoběžné, nebo aspoň jeden z nich je nulový.
Věta 4:Dva vektory nazýváme lineárně nezávislé, nelze-li žádný z nich vyjádřit jako násobek druhého vektoru, tj. nelze-li je umístit na jednu přímku.
Věta 5:Tři vektory u, v, w nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou; např. ve tvaru w = k.u + l.v, kde k, l jsou reálná čísla.
Pozn.: Tento případ nastane právě tehdy, když lze vektory u, v, w umístit do jedné roviny.
Věta 6:Nejsou-li vektory u, v, w lineárně závislé, nazýváme je lineárně nezávislé. Takové vektory nelze umístit do jedné roviny.
Příklad 1:
Zjistěte, zda jsou vektory u = (2; -12), v = (-1; 6) lineárně závislé, či lineárně nezávislé.
Řešení:
Kdyby byly vektory u, v lineárně závislé, pak by existovalo reálné číslo k takové, že by platilo u = k.v.2 = -1k -12 = 6kk1 = -2 k2 = -2Vzhledem k tomu, že k1 = k2, pak platí, že u = k.v. Proto vektory u, v jsou lineárně závislé (jsou rovnoběžné).
Příklad 2:
Zjistěte, zda jsou vektory u = (12; 1; 14), v = (1; 3; 0), w = (2; 1; 2) lineárně závislé, či lineárně nezávislé.
Řešení:
Kdyby byly vektory u, v, w lineárně závislé, pak by bylo možno jeden z nich napsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů - např. u = k.v + l.w, kde k, l jsou reálná čísla.12 = k + 2l1 = 3k + l14 = 2l-------------------Ze třetí rovnice je l = 7; po dosazení do první i druhé rovnice vyjde k = -2. Platí u = -2v + 7w.Vektory u, v, w jsou tedy lineárně závislé.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 62 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Příklad 3:
Určete a2 tak, aby vektory a = (2; a2; 5), b = (1; 2; 1), c = (5; 2; 2) byly lineárně závislé.
Řešení:
Pokusme se najít reálná čísla k, l taková, aby platilo a = k.b + l.c2 = k + 5la2 = 2k + 2l5 = k + 2l------------------Odečteme-li první rovnici od třetí, dostaneme l = -1. Dosadíme-li l = -1 do první rovnice, dostaneme k = 7. Dosadíme-li l = -1, k = 7 do druhé rovnice, dostaneme a2 = 12.Aby vektory a, b, c byly lineárně závislé, musí být a2 = 12; potom je a = 7b - c.
Příklad 4:
Zjistěte, zda vektory u = (1; 3; 5), v = (1; 3; -2), w = (-3; -9; 6) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé.
Řešení:
Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w.1 = k - 3l3 = 3k - 9l5 = -2k + 6l-----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. O lineární závislosti či nezávislosti vektorů u, v, w však zatím nemůžeme udělat žádný závěr. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w.1 = m - 3n3 = 3m - 9n-2 = 5m + 6n-----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla m, n existují; m = 0, n = -1/3. Platí tedy v = 0.u - (1/3).w, tj. v = (-1/3).w.Vektory u, v, w jsou lineárně závislé.
Příklad 5:
Zjistěte, zda vektory u = (0; 0; 1), v = (2; 1; 1), w = (1; 1; 1) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé.
Řešení:
Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w.0 = 2k + l0 = k + l1 = k + l-----------------Řešením zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w.2 = n1 = n1 = m + n-----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková m, n neexistují. Ani nyní ještě nemůžeme udělat závěr o lineární závislosti či nezávislostivektorů. Zbývá zjistit, zda existují taková reálná čísla p, q, aby platilo w = p.v + q.u.1 = 2q
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 63 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
1 = q1 = p + q------------------Řešením dané soustavy zjistíme, že taková čísla p, q neexistují. Protože ani jeden z vektorů u, v, w nelze zapsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů, nejsou vektory u, v, w lineárně závislé. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé.
Úhel dvou vektorů
Každé dva vektory můžeme vždy umístit tak, aby měly společný počáteční bod. Při umístění vektorů u, v do bodu A označme jejich koncové body B a C. Může pak nastat několik různých situací:1. Vektory jsou rovnoběžné
• souhlasně rovnoběžné• nesouhlasně rovnoběžné
2. Vektory svírají nějaký dutý úhel (polopřímky AB, AC svírají tento úhel)
Úhel vektorů je v případě souhlasně rovnoběžných vektorů roven nule, v případě nesouhlasně rovnoběžných vektorů roven 180°.
Odvození vzorce pro určení úhlu dvou vektorů:Nechť vektory u = (u1; u2), v = (v1; v2) spolu svírají dutý úhel. Nechť dále platí, že u = AB, v = CD. K výpočtu úhlu vektorů potřebujeme znát ještě velikost vektoru BC. K jeho určení provedeme následující konstrukci. Do bodu B umístíme vektor -v; jeho koncový bod označíme D. AD je umístění vektoru u - v. Protože obrazec ADBC je rovnoběžník, je zřejmé, že i CB je umístění vektoru u - v.
Trojúhelník ABC má tedy tyto délky stran:|AB| = |u|, |AC| = |v|, |BC| = |u - v|
Podle kosinové věty pak platí:|u - v|
2 = |u|
2 + |v|
2 - 2 . |u| . |v| . cos j
Po dosazení dostaneme:(u1 - v1)
2 + (u2 - v2)
2 = u12 + u22 + v12 + v22 - 2 . |u| . |v| . cos j
Po odstranění závorek a sloučení dostaneme-2u1v1 - 2u2v2 = -2 . |u| . |v| . cos j Protože oba vektory u, v jsou nenulové, můžeme psát:
vu .cos 2211 vuvu +
=f
Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy vypočítat úhel dvou vektorů.Pozn.: Pokud by byly vektory zadány třemi souřadnicemi, pak by v čitateli zlomku bylo u1v1 + u2v2 + u3v3
Příklad 1:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 64 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Vypočtěte úhel vektorů u = (-1; 2) a v = (1; 3)
Řešení:
1091
541
=+=
=+=
v
u
( )2
2
10.5
3.21.1cos =
+-=f
f = 45°
Oba vektory spolu svírají úhel 45°.
Příklad 2:Vypočtěte úhel vektorů a = (-2; 1; 2), b = (-2; -2; 1)
Řešení:
( )
( ) ( ) 3122
3212
222
222
=+-+-=
=++-=
b
a
( )( ) ( )4444,0
9
4
3.3
1.22.12.2cos ==
+-+--=f
f = 63°40´
Úhel obou vektorů je 63°40´.
Skalární součin dvou vektorů
Skalární součin dvou vektorů je reálné číslo, nikoliv tedy vektor!Platí:|u| . |v| . cos f = u1v1 + u2v2
Neboliu . v = |u| . |v| . cos f
Závěr: u . v = u1v1 + u2v2
Pozn.: V prostoru by platilo: u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Příklad 1:
Vypočtěte skalární součin a . b, je-li |a| = 2, |b| = 1 a svírají-li vektory a, b úhel o velikosti 120°.
Řešení:
a . b = 2 . 1 . cos 120°= 2 . (-0,5) . = -1
Skalární součin obou vektorů je tedy roven -1.
Příklad 2:
Vypočtěte skalární součin vektorů a = (2; -3), b = (3; 2) a úhel vektorů a, b.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 65 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Řešení:
a . b = 2 . 3 + (-3) . 2 = 6 - 6 = 0
Skalární součin obou vektorů je tedy roven nule.
Podle vzorce
ba
ba
.
.cos =f
Protože ale a . b je rovno nule, pak musí být rovno nule i cos f. Odtud pak dostaneme, že f = 90°.
Oba vektory jsou tedy na sebe kolmé.
Příklad 3:
Je dán vektor a. Vypočtěte skalární součin a . a.
Řešení:
a . a = |a| . |a| . cos 0°a . a = |a|
2
Kolmost vektorů
Skalární součin dvou nenulových vektorů a, ba . b = |a| . |b| . cos f je roven nule, jestliže vektory svírají pravý úhel, tj. je-li f = 90°.
Věta platí i obráceně - tedy je-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory k sobě kolmé.
Příklad 1:
Ověřte, že vektory a = (3; 2; 1), b = (2; -3; 0) jsou navzájem kolmé.
Řešení:
Platí, že vektory jsou na sebe kolmé , jestliže platí:u1v1 + u2v2 + u3v3 = 0Pokud do rovnice dosadíme, dostaneme3 . 2 + 2 . (-3) + 1 . 0 = 0Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b je roven nule, vektory a, b jsou tedy kolmé.
Příklad 2:
Určete souřadnici n2 vektoru n tak, aby vektory n = (3; n2; 2) a v = (1; -2; 4) byly navzájem kolmé.
Řešení:
Podle podmínky pro kolmost vektorů v závislosti na jejich skalárním součinu musí platit:3 . 1 + n2 . (-2) + 2 . 4 = 0Odtud dostaneme:n2 = 5,5
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 66 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Vektory n, v jsou k sobě kolmé pro n2 = 5,5.
Vektory - procvičovací úlohy±
1.
Výsledek:
2299
2.
2,5Výsledek:
2303
3.
1. řešení:
, 2. řešení:
,
Výsledek:
2287
4.
Výsledek:
2297
5.
Výsledek:
2291
6.
, ,
Výsledek:
2300
7.
-2Výsledek:
2304
8.
Výsledek:
2296
9.
Výsledek:
2285
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 67 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
10.
1. řešení:
2. řešení:
Výsledek:
2288
11.
Výsledek:
2289
12.
Výsledek:
2294
13.
Výsledek:
2301
14.
Výsledek:
2302
15.
Výsledek:
2298
16.
Výsledek:
2286
17.
Výsledek:
2295
18.
Výsledek:
2293
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 68 z 69
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
19.
Výsledek:
2292
20.
AnoVýsledek:
2290
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 69 z 69
Obsah
M - Příprava na 11. zápočtový test 1
Geometrické útvary a jejich vlastnosti 1
Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 9
Pythagorova věta 29
Pythagorova věta - procvičovací příklady 30
Shodná zobrazení 31
Shodná zobrazení - procvičovací příklady 32
Jehlan komolý 34
Kužel komolý 36
Posloupnosti 38
Posloupnosti - procvičovací příklady 42
Aritmetická posloupnost 46
Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady 48
Geometrická posloupnost 51
Geometrická posloupnost - procvičovací příklady 53
Analytická geometrie 56
Vektory 57
Vektory - procvičovací úlohy 67
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11
Recommended