View
494
Download
26
Category
Preview:
Citation preview
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
1/26
MAKALAH
ALJABAR LINIER & MATRIK
“TRANSFORMASI LINIER”
DOSEN : SAMSURIADI, M.Pd.
Oleh Kelompok 5 !B " :
#. HENDRA KURNIA$AN % #.'(.55.)(
*. MUHAMMAD +AUAN % #.'(.55.)-'
. SETIAH M BUDI % #.'(.55.#)
'. SULAIMAN ALKONUNI % #.'(.55.#'#
5. AHID HABIBURRAHMAN % #.'(.55.#5
PRORAM STUDI TEKNIK IN+ORMATIKA
SEKOLAH TINI MANAJEMEN IN+ORMATIKA DAN KOMPUTER
STMIK " S/AIKH AINUDDIN N$ ANJANI LOTIM
*)#5
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
2/26
KATA PENANTAR
Puji syukur kami ucapkan kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat dan
ridho-Nya kami masih diberikan kesempatan untuk bekerja sama dalam menyelesaikan
makalah ini. Dimana makalah ini merupakan salah satu tugas
mata kuliah Aljabar Linier & Matrik , yaitu “Transformasi Linier” . Tidak lupa kami
ucapkan terimakasih kepada Dosen Pembimbing dan teman-teman yang telah
memberikan dukungan dalam menyelesaikan makalah ini.
ami menyadari bah!a dalam penulisan makalah ini masih banyak kekurangan.
"leh karena itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Dan
semoga makalah ini dapat berman#aat bagi pembaca dan teman-teman. Amin-amin
yarobbal alamin...
Penulis
2
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
3/26
DA+TAR ISI
$A%A&AN '(D(%........................................................................................ i
ATA P)N*ANTA+....................................................................................... ii
DATA+ S..................................................................................................... iii
A P)NDA$(%(AN............................................................................ /
A. %atar elakang............................................................................. /
. +umusan &asalah....................................................................... /
0. Tujuan.......................................................................................... /
A P)&A$ASAN.............................................................................. 1
A. Pengantar Trans#ormasi %inier................................................... 1
. Si#at Trans#ormasi %inier 2 ernel dan 'angkauan..................... 3
0. Trans#ormasi %inier dari +n ke +m *eometri
Trans#ormasi %inier dari +1 ke +1............................................. /4
D. &atriks Trans#ormasi %inier...................................................... /5
). eserupaan................................................................................. /6
A P)N(T(P........................................................................................ 17
A. esimpulan................................................................................ 17
. Saran........................................................................................... 1/
DATA+ P(STAA
3
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
4/26
BAB I
PENDAHULUAN
A. L0102 Bel0k034
&atematika merupakan ilmu dasar yang menjadi tolak ukur bagi perkembangan
ilmu pengetahuan serta teknologi. &atematika dapat memberikan kemampuan
berpikir logis dalam memecahkan masalah yang rumit. omputer merupakan
serangkaian intruksi-intruksi yang berjalan dengan metode matematika. &aka dari
itu, harus mampu menguasai seluruh materi. arena, hal itu adalah modal utama
dalam penguasan ilmu pengetahuan dan teknologi untuk menghadapi persaingan
global.
Salah satu materi yang harus benar-benar anak didik kuasai adalah materi
aljabar, materi ini banyak diterapkan pada kehidupan sehari-hari.
B. Rm603 M060l0h
/. &enjabarkan tentang apa itu trans#ormasi linier8
7. T803 M060l0h
Diharapkan pembaca khususnya minimal mengetahui tentang apa itu
trans#ormasi linier atau lebih bagus lagi jika memahami tentang trans#ormasi linier
itu sendiri
1
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
5/26
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pe3403102 T20369o2m06 L3e2
Di dalam bagian ini kita mulai mempelajari #ungsi bernilai 9ector dari sebuah
9ariable 9ector. :akni, #ungsi yang berbentuk ! ; F(v), dimana 9ariable bebas ; dan
9ariable tak bebas ; => @ =;> untuk semua 9ektor dan ; di dalam ; k => untuk semua 9ektor di dalam < dan semua skalar k.
(ntuk melukiskannya, misalkan 2 + 1→ + adalah #ungsi yang dide#inisikan
olehB
2
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
6/26
'ika ; = ?/ , y/ > dan ; ; = ?1 , y1 >, maka @ ; ; = ?/ @ ?1 , y/ @ y1 >,
sehingga 2
= @ ;> ; =?/ @?1 , C?/ @ ?1 @ Cy/ @ y1, C?/ @ ?1 - Cy/ @ y1>
; = ?/ , ?/ @ y/ , ?/ - y/ > @ = ?1 , ?1 @ y1 ,?1 - y1>
=u @ ;> ; => @ =;>
'uga , jika k adalah sebuah skalar , k ; =k?/ , ky/ >, sehingga
=k > ; =k?/ , k?/ @ky/ , k?/ - ky/>
; k =?/ , ?/ @y/ ,?/ - y/>
; k =>
'adi adalah sebuah trans#ormasi linear.
'ika 2 < → W adalah sebuah trans#ormasi linear, maka untuk sebarang 9 / dan
;1 di dalam < dan sebarang k / dan k 1 , kita memperoleh 2
=k / ;/ @ k 1 ;1> ; =k / ;/> @ =k 1 ;1> ; k / =;/> @ k 1 =;1>
Demikian juga, jika ;/ , ;1 , E , ;n adalah 9ektor-9ektor di dalam < dan k / , k 1 ,
E , k n adalah skalar, maka 2
=k / ;/ @ k 1 ;1 @ E @ k n ;n> ; k / =;/> @ k 1 =;1> @ E @ k n =;n>
Contoh !
&isalkan A adalah sebuah matriks m ? n yang tetap. 'ika kita
menggunakan notasi matriks untuk 9ektor di dalam + m dan + n , maka kita dapat
mende#inisikan sebuah #ungsi T2 + n→ + m dengan 2
T==> ; A =
3
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
7/26
Perhatikan jika bah!a = adalah sebuah matriks n ? / , maka hasil kali A
= adalah matriks m ? / B jadi T memetakan +n ke dakam +m . %agi pula , T
linear, untuk melihat ini , misalnya dan ; adalah matriks n ? / dan misalkan k
adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan si#at-si#at perkalaian matriks,
maka kita mendapatkan 2
A = @ ;> ; A @ A ; dan A =k > ; k =A >
Atau
T= @ ;> ; T=> @ T=;> dan T=k > ; k T=>
ita akan menamakan trans#ormasi linear di dalam contoh ini perkalian
oleh A. Trans#ormasi linear semacam ini dinamakan 120369o2m06 m012k6.
Contoh " !
Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalkan θ adalah sebuah
sudut tetap, dan misalkan T 2 +1 → +1 adalah perkalian oleh matriks 2
A ; [cosθ sinθsinθ cosθ]
'ika 9 adalah 9ektor ; ;
[ x
y
]
&aka T=;> ; A ; ; [cosθ sinθsinθ cos θ][ x y ] ; [ x cosθ y sinθ x sinθ ycos θ]
Secara geometrik, maka T=;> adalah 9ektor yang dihasilkan jika ;
dirotasikan melalui sudut θ . (ntuk melihat ini, maka misalkan φ adalah sudut
di antara ; dan sumbu ? positi#.
4
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
8/26
Dan misalkan ;> ; [ x ' y ' ] adalah 9ektor yang dihasilkan bila ;dirotasikan melalui sudut. ita akan memperlihatkan bah!a ;> ; T=9>. 'ika r
menyatakan panjangnya ; , maka 2
? ; r cos φ y ; r sin φ
Demikian juga, karena ;> mempunyai panjang yang sama seperti ; maka
kita memperoleh 2
?F ; r cos=θ @ φ> yF ; r sin=θ @ φ>
&aka ;> ; [ x ' y ' ] ;θ+∅¿¿θ¿
r cos¿¿
; [rcos θ+∅−r sin θ sin ∅r sinθ+∅+r cosθ sin ∅ ]
; [ x cosθ− y sinθ xsinθ+ y cosθ ]
;
[cosθ−sinθsin θ cosθ
]; A; ; T=;>
Trans#ormasi linear di dalam contoh ini dinamakan rotasi dari +1 melalui sudut
θ.
5
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
9/26
Contoh #!
&isalkan < dan W adalah sebarang dua 9ektor. Pemetaan
T 2 < → W sehingga T=9> ; 7 untuk tiap-tiap ; di dalam < adalah sebuah
trans#ormasi linear yang dinamakan trans#ormasi nol. (ntuk melihat bah!a T
linear, perhatikanlah bah!a 2
T= @ ;> ; 7 , T=> ; 7 , T=;> ; 7 dan T=k > ; 7
&aka
T= @ ;> ; T=> @ T=;> dan T=k > ; k T=>
Contoh $!
&isalkan < adalah sebarang ruang 9ektor. Pemetaan T 2 < → < yang
dide#inisikan oleh T=;> ; ; dinamakan 120369o2m06 de31106 p0d0 !.
'ika seperti di dalam contoh 1 dan 4 , T 2 < → < adalah trans#ormasi
linear dari sebuah ruang 9ektor < ke dalam dirinya sendiri, maka T dinamakan
operator linear pada ; k ;
6
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
10/26
adalah sebuah operator linear pada
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
11/26
Pemetaan T dinamakan proyeksi ortogonal dari < pada W B linearitasnya
didapatkan dari si#atsi#at dasar perkalian dalam. &isalnya 2
T= @ ;> ; < @ ;, adalah sebarang 9ektor di dalam + , maka proyeksi
ortogonal dari + pada bidang ?y diberikan oleh 2
T=;> ; < ;,
; =?, y , 7>
8
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
12/26
B. S901 T20369o2m06 L3e2 : Ke23el d03 J034k003
Di dalam bagian ini kita memperlihatkan bah!a sekali bayangan 9ektor basis
diba!ah trans#ormasi linier telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan
9ektor yang selebihnya di dalam ruang tersebut.
Teoremanya 2
'ika T2 ; 7
1. T=-9> ; -T=9> untuk semua 9 di dalam <
. T=9-!> ; T=9> - T=!> untuk semua 9 dan ! di dalam <
ukti misalkan 9 adalah sebarang 9ektor di dalam ; T =79> ; 7T =9> ; 7 yang membuktikan /. 'uga, T=-9> ; T=-/=9>>
; =-/>T=9>, yang membuktikan 1. Akhirnya, 9 - ! ; 9 @ =-/>!. 'adi T=9 -!> ; T=9 @
=-/> !> ; T=9>@=-/>T=!> ; T=9>-T=!>
'ika T2< W adalah trans#ormasi linier, maka himpunan 9ektor di dalam < yang
dipetakan T ke dalam 7 dinamakan kernel =atau ruang nol> dari T B himpunan
tersebut dinyatakan oleh ker =T>. $impuanan semua 9ektor di dalam ! yang
merupakan bayangan di ba!ah T dari paling sedikit satu 9ektor di dalam <
dinamakan jangkuan dari T B himpunan tersebut dinyatakan oleh +=T>.
0ontoh ./
&isalkan T2< W adalah trans#ormasi nol. arena T memetakan tiap-tiap 9ektor
ke dalam 7, maka ker =T> ; terdiri dari 9ektor nol.
0ontoh .1
&isalkan T2+n +m adalah perkalian oleh
9
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
13/26
ernel dari T terdiri dari semua
:ang merupakan 9ektor pemecahan dari sistem homogeny
'angkuan dari T terdiri dari 9ektor-9ektor
Sehingga sistem
onsisten.
10
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
14/26
Teoremanya adalah 2
'ika T2< W adalah trasn#ormasi linier maka 2
/. ernel dari T adalah subruang dari ; kT =9/ > ; k7 ; 7
Sehingga k9/ berada di dalam ker =T>.
1. &isalkan !/ dan !1 adalah 9ektor di dalam jangkauan dari T. (ntuk
membuktikan bagian ini maka kita harus memperlihatkan bah!a !/ @ !1 dan k
!/ berada di dalam jangkuan dari T untuk sebarang skalar kB yakni kita harus
mencari 9ektor a dan b di dalam < sehingga T =a> ; !/ @ !1 dan T=b> ; k!/.
arena !/ dan !1 berada di dalam jangkuan dari T, maka ada 9ektor a/ dan a1
di dalam < sehingga T =a/> ; !/ dan T=a1> ; !1. &isalkan a ; a/ @ a1 dan b ;
ka/.
&aka
T=a> ; T =a/ @ a1> ; T=a/> @ T=a1> ; !/ @ !1 dan
T=b> ; T=ka/> ; kT=a/> ; k!/ yang melengkapkan bukti tersebut.
11
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
15/26
0ontoh .
&isalkan T2+n +m adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran
m ? n.
Dari contoh .1 maka kernel dari T terdiri dari semua pemecahan dari A? ;
7 B jadi kernel tersebut adalah ruang pemecahan dari sistem ini. 'uga dari contoh
.1, jangkuan dari T terdiri dari semua 9ektor b sehingga A? ; b konsisten. 'adi,
menurut Teorema di atas dari bagian 4.5, jangkuan dari T adalah ruang kolom dari
matrik A.
&isalkan H9/ , 91,....., 9n I adalah sebuah basis untuk ruang 9ektor < dan
T2< K W adalah trans#ormasi linier. 'ika kebetulan kita mengetahui bayangan 9ektor
basis, yakni T=9/>, T=91>, ..., T=9n> maka kita dapat memperoleh bayangan T=9> dari
seberang 9ektor 9 dengan menyatakan dulu 9 dalam basis tersebut, katakanlah 9 ;
k/ 9/ @ k1 91 @ ... @ kn 9n dan kemudian menggunakan hubungan =L.1> dari bagian
L./ untuk menuliskan T=9> ; =/,7> T=91> ; =1, - /> T=9> ; =4,> 0arilah T=1, -,L> M
Pemecahan
&ula-mula kita menyatakan 9 ; =1, -, L> sebagai kombinasi dari
9/ ; =/, /, />, 91 ; =/, /, 7>, dan 9 ; =/, 7, 7>. 'adi =1, , L> ; k/ =/, /, /> @
k1 =/, /, 7> @ k =/, 7, 7> atau setelah menyamakan komponen-komponen yang
bersangkutan k/ @ k1 @ k ; 1 k/ @ k1 ; - k/ ; L yang menghasilkan k/ ; L, k1 ;
-, k ; L sehingga =1, -, L> ; L9/ -91 @ L9
'adi T=1, -, L> ; LT=9/> - T=91> @ LT ; L=/,7> - =1, -/> @ L=4,> ; =3, 1>
'ika T2< K W adalah trans#ormasi linier, maka dimensi dari jangkauan dari T
dinamakan rank dari T dan dimensi dari kernel dinamakan nulitas =nullity> dari T.
0ontoh .4
&isalkan T2+1 K +1 adalah rotasi dari +1 melalui sudut pO4. 'elaslah secara
geometrik bah!a jangkauan dari T adalah semuanya +1 dan kernel dari T adalah
=7>. &aka T mempunyai rank 1 dan nulitas ; 7.
0ontoh .L
12
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
16/26
&isalkan T2+n K +m adalah perkalian sebuah matriks A yang berukuran m ?
n. Didalam contoh . kita mengamati bah!a jangkauan dari T adalah ruang kolom
dari A jadi rank dari T adalah dimensi ruang kolom dari A, yang persis sama dengan
rank dari A.
Secara ringkas, maka rank =T> ; rank =A>, dan juga didalam 0ontoh ., kita
melihat bah!a kernel dari T adalah ruang pemecahan dari A? ; 7. 'adi nulitas dari T
adalah dimensi ruang pemecahan ini. Teorema kita berikutnya menghasilkan sebuah
hubungan di antara rank dan nulitas dari trans#ormasi linier yang dide#inisikan pada
sebuah ruang 9ektor berdimensi berhingga. ita akan menangguhkan buktinya
sampai keakhir bagian ini.
Teoremanya 2
'ika T2< K W adalah trans#ormasi linier dari sebuah ruang 9ektor < yang
berdimensi n kepada sebuah ruang 9ektor W, maka di dalam kasus khusus di mana
; =banyaknya kolom dari A> - =rank dari T>
Akan tetapi, kita memperhatikan di dalam 0ontoh .L bah!a nutilas dari T
adalah dimensi dari ruang pemecahan dari A? ; 7, dan rank dari T adalah rank dari
matriks A. 'adi =L.4> menghasilkan teorema yang berikut.
Teorema 2
'ika A adalah matriks m ? n maka dimensi ruang pemecahan dari A? ; 7
adalah 2 n - rank =A>
13
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
17/26
0ontoh .5.
Di dalam 0ontoh diatas, kita memperlihatkan bah!a sistem homogeny
&empunyai ruang pemecahan berdimensi dua, dengan memecahkan sistem
tersebut dan dengan mencari sebuah basis. arena matriks koe#isien
&empunyai lima kolom, maka jelaslah dari Teorema 4 bah!a rank A harus
memenuhi 1 ; L - rank =A>
Sehingga rank =A> ; . Pada pembaca dapat memeriksa hasil ini dengan
mereduksi A kepada bentuk eselon baris dan dengan memperilihatkan bah!a
matriks yang dihasilkan mempunyai tiga baris yang tak nol.
7. T20369o2m06 L3e2 d02 R 3 ke R m eome12 T20369o2m06 L3e2 d02 R * ke R *
Pada bagian ini akan dibahas mengenai 2
1) ah!a Trans#ormasi %inier dari + n → + m adalah merupakan trans#ormasi
matriks = artinya kita dapat menentukan sebuah matriks berukuran m?n sehingga
T adalah perkalian oleh A. Ditulis T==> ; A = dengan = ∈ + n
2) &endapatkan si#at si#at geometris dari Trans#ormasi %inier dari + 1 → + 1
&ula-mula kita akan memperlihatkan bah!a tiap-tiap trans#ormasi linier dari + n ke
+ m adalah trans#ormasi matriks. %ebih tepat lagi, kita akan memperlihatkan bah!a
jika T2+ n + m adalah sebarang trans#ormasi linier, maka kita dapat mencari sebuah
matriks A yang berukuran m ? n sehingga T adalah perkalian oleh A.
14
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
18/26
&isalkan e / , e 1 , ..., e3 adalah basis baku dari + n dan A adalah matriks berukuran
m?n yang kolom kolomnya adalah T=e/>, T=e*>, ... , T=e3> sebagai 9ektor-9ektor
kolomnya.
T2 + 1 → + 1 dengan T ([ x1 x1])=[ x1+2 x2 x1− x2 ]&aka T (e1 )=T ([10])=[11] dan T (e2 )=T ([01])=[ 2−1]
A=
[ x
1+2 x
2
x1− x2
]¿↑ ↑T (e
1) T (e
2)
Secara lebih umum, jika
Secara lebih umum jika
T=e / > ;
m/
1/
//
a
a
a
, T=
2
e¿¿
> ;
m1
1/
/1
a
1a
a
, ... , T=
3
e¿¿
> ;
mA
1A
/A
a
a
a
&aka A ; [ ]>T=e>T=e>T=e n1/ ;
mnm1m/
1n111/
/n/1//
aaa
aaa
aaa
&atriks A selanjutnya disebut matriks baku dari trans#ormasi linier T.
Selanjutnya untuk setiap =
∈
+ n berlaku = ;
m
1
/
?
?
?
; ?/ e/ @ ?1 e 1 @ ... @ ?n e3
arena T adalah trans#ormasi linier maka T== > ; T =?/ e / @ ?1 e 1 @ ... @ ?n e3 >
; ?/ T=e / " @ ?1 T= e 1 "@ ... @ ?n T= e3>. Dilain pihak
15
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
19/26
A= ;
mnm1m/
1n111/
/n/1//
aaa
aaa
aaa
m
1
/
?
?
?
;
n
n
n
x x x
x x x
x x x
mn1m1/m/
1n111/1/
/n1/1///
aaa
aaa
aaa
; ?/
m/
1/
//
a
a
a
@ ?1
m1
1/
/1
a
1a
a
@ .... @ ?
mA
1A
/A
a
a
a
; ?/ T=e / " @ ?1 T= e 1 "@ ... @ ?n T= e3>
Sampai disini dapat disimpulkan bah!a T== > ; A=
D. M012k6 T20369o2m06 L3e2
Di dalam bagian ini kita memperlihatkan bah!a jika < dan W adalah ruang
9ektor berdimensi berhingga =tidak perlu + n dan + m>, maka dengan sedikit
kepintaran, setiap trans#ormasi linier T2< W dapat dipandang sebagai
trans#ormasi matriks. Pemikiran dasarnya adalah memilih basis untuk < dan W dan
bekerja dengan matriks koordinat relati# terhadap basis ini dan buka bekerja dengan
9ektor itu sendiri.
&isalkan < berdimensi n dan W berdimensi m. 'ika kita memilih basis
dan F untuk < dan W, maka untuk setiap ? di dalam F akan
merupakan suatu 9ektor di dalam + m. 'adi di dalam proses pementaan ? ke dalam
T=?>, trans#ormasi linier T Gmenghasilkan sebuah pemetaan dari + n ke dalam + m
dengan mengirimkan C? ke dalam CT=?>. Dapat diperlihatkan bah!a pemetaan
yang dihasilkan ini selalu merupakan trans#ormasi linier. Dengan ini maka pemetaan
tersebut dapat dilangsungkan dengan menggunakan matriks A standar untuk
trans#ormasi ini, yakni 2
AC? ; CT=?>F
'ika, bagaimanapun, kita dapat mencari matriks A, maka seperti yang diperlihatkan
pada gambar berikut 2
16
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
20/26
Dapat dihitung di dalam tiga langkah menurut prosedur tak langsung yang berikut 2
/. $itunglah matriks koordinat C?
1. alikanlah C? di sebelah kiri dengan A untuk menghasilkan CT=?>F
. angunlah kembali T=?> dari matriks koordinatnya CT=?>F
(ntuk mencari nilai matriks A. &isalkan < adalah ruang berdimensi n dengan
basis ; Hu/, u1, ... , unI dan W adalah sebuah ruang berdimensi m dengan basis F
; H9/, 91, ... , 9nI. ita mencari sebuah matriks m ? n
¿a1n
A=
a11 a12 ⋯
a21
a22
…
⋮ ⋮ ¿
¿a1m
⋮
¿am1 am2 … amn¿
Sehingga berlaku untuk semua 9ektor ? di dalam F, Tetapi 2
[U 1 ]B=[1
0
0
⋮
0] sehingga
¿a1n
a11
a12
⋯
a21
a22
…
⋮ ⋮ ¿
¿a1m
⋮
¿
A [U 1 ]B= [am1 am2 … amn¿ ][1
0
0
⋮
0]=[
a11
a21
⋮
am1]
17
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
21/26
'adi ACu/ ; CT=u/>F berarti 2
[ a
11
a21
⋮
am1] ; CT=u/>F
&atriks A yang unik yang didapatkan dengan cara ini dinamakan matriks T
terhadap basis dan F.
E. Ke6e2p003
&atriks sebuah operator ilnier T2< < bergantung pada basis yang dipilih
untuk dan P-/C? ; CT=?>F
18
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
22/26
ni dapat dituliskan sebagai 2
[ x]
B'
P→[T [ x ]
]B dan [ x ]B P
−1
→ [T [ x ]]B'
Dari kedua hubungan di atas dapat dikaitkan menjadi sebuah gambar sebagai
berikut 2
P[ x ]B
↑
[ x ]B'
A→
¿ A'
→
[T [ x ]]B↓ P
−1
[T [ x ] ]B'
*ambar ini melukiskan bah!a ada dua cara untuk mendapatkan matriks
C T = ? > Fdari matriks C ? F. :akni 2
AFC?F ; CT=?>F atau P-/APC?F ; CT=?>F
19
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
23/26
Dari pernyataan di atas dapat dihasilkan 2
P-/APC?F ; AFC?F
Dan untuk semua ? di dalam < adalah P-/AP ; AF. Dengan begitu dari kedua
persamaan tersebut sudah membuktikan bah!a merupakan Teorema.
20
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
24/26
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
'ika < dan W adalah ruang 9ektor dan adalah sebuah #ungsi yang
mengasosiasikan sebuah 9ektor yang unik di dalam W dengan sebuah 9ektor di
dalam dan kita mengatakan bah!a ! adalah bayangan
dari 9 di ba!ah .
(ntuk melukiskannya, maka jika 9 ; =?,y> adalah sebuah 9ektor di dalam + 1,
maka rumus 2 =9> ; = ? , ? @ y , ? - y >.
Definisi.
'ika 2 < → W adalah sebuah #ungsi dari ruang 9ektor < ke dalam ruang
9ektor W, maka dinamakan trans#ormasi linear jika 2
/. = @ ;> ; => @ =;> untuk semua 9ektor dan ; di dalam ; k => untuk semua 9ektor di dalam < dan semua skalar k.
Di dalam trans#ormasi linier terdapat si#at, yakni kernel dan jangkauan. ernel
dan jangkauan merupakan sekali bayangan 9ektor basis diba!ah trans#ormasi linier
telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan 9ektor yang selebihnya di
dalam ruang tersebut.
Pada trans#ormasi linear terdapat istilah yang biasa disebutkan dalam
pembahasan kali ini, yakni Teorema. Teorema ini merupakan pernyataan yang dapat
dibuktikan kebenarannya, sehingga untuk membuktikan kebenaran dari suatu
pernyataan atau rumus dibutuhkan teorema.
Dan dalam matriks trans#ormasi linier terdapat dua alasan utama mengapa
prosedur tak langsung penting untuk dilakukan, yaitu 2
/. Prosedur tersebut menyediakan cara yang e#isien untuk melakukan trans#ormasi
linier pada komputer digital
1. ersi#at teoretis, tetapi dengan konsekuensi praktis yang penting
21
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
25/26
B. SARAN
Penulis sangat menyadari dan memahami bah!a pembuatan makalah ini jauh
dari kekurangan dan kelemahan dalam pembuatannya. &aka dari itu, penulis pun
tidak menolak adanya saran dan kritik yang si#atnya mendukung dan membangun
dari para pembaca agar &akalah selanjutnya nanti, jauh lebih sempurna dan layak
untuk dibaca oleh para pembaca sekalian.
22
8/17/2019 MAKALAH Transformasi Linier
26/26
DA+TAR PUSTAKA
http2OOkseminar.sta##.ipb.ac.idO#ilesO17/O71O73RTrans#ormasi-%inier.pd#
http://amriesagala.blogspot.com/2014/12/transformasi-linear.html
https2OO!!!.#acebook.comO&ental&ilyaderOpostsO371/51445/6
http2OOeprints.undip.ac.idO1144OLO&7R$ikmatulRAiniRchapterR.pd#
http://kseminar.staff.ipb.ac.id/files/2013/02/09_Transformasi-Linier.pdfhttp://amriesagala.blogspot.com/2014/12/transformasi-linear.htmlhttps://www.facebook.com/MentalMilyader/posts/390821624348617http://eprints.undip.ac.id/32244/5/M03_Hikmatul_Aini_chapter_I.pdfhttp://amriesagala.blogspot.com/2014/12/transformasi-linear.htmlhttps://www.facebook.com/MentalMilyader/posts/390821624348617http://eprints.undip.ac.id/32244/5/M03_Hikmatul_Aini_chapter_I.pdfhttp://kseminar.staff.ipb.ac.id/files/2013/02/09_Transformasi-Linier.pdfRecommended