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TOPOLOGIA DELLA RETTAData una retta r nel piano, e fissati su di essi un’origine, una unità di misura ed un verso di percorrenza, esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di essa ed i numeri reali, cioè ad ogni punto della retta corrisponde un determinato numero reale (ascissa) e vice-versa.

Nel seguito faremo riferimento alla retta indicandola con R.

Si definisce Intorno circolare di raggio r di un punto Xo, qualsiasi intervallo (Xo-r;Xo+r)

cioè tutti i numeri compresi fra x-r ed x+r

Osservazione: Ha senso considerare solo gli intorni sinistri e solo gli intorni destri.EsempioCostruire l’intorno circolare del punto x=1 di raggio r=2:Si tratta dell’intervallo (-1;3), cioè tutti i numeri reali compresi fra -1 e 3 estremi esclusi.

Sia A⊆R un sottoinsieme della retta reale, il numero x si definisce punto di accumulazio-ne di A, se ogni intorno di x contiene infiniti punti di A.

xx-r x+r

DEFINIZIONE

FUNZIONI

Osservazione: x potrebbe anche non appartenere ad A!Esempi

1. Si consideri l’insieme A=(-1;3) cioè A={x∈R/-1<x<3} il punto -1∉A, però -1 è un punto di accumulazione di A, in quanto comunque si fissi un intorno destro di -1 vi cadono infiniti punti di A. Lo stesso vale per il punto 3.

2. Si consideri l’insieme A={x∈R/0<x<1} ∪ {2}

Il punto 2 non è un punto di accumulazione di A in quanto è facile trovare un intorno di 2 che non contiene punti di A (eccetto 2 stesso). In questo esempio il punto 2 è un punto iso-lato.

3. Si consideri l’insieme A={1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,........,1/n,...} Il punto 1 è un punto di accumulazione di A? Qual’è il punto di accumulazione di A?

4. Si consideri l’intervallo A=(-∞;0), rispondere alle seguenti questioni:a) 0 è un punto di accumulazione di A?b) Si consideri l’intorno di centro 0 e raggio r=0.0000000001, esistono punti di A nell’intor-

no considerato? Quanti?c) Trovarne qualcuno.

Si consideri i seguenti insiemi A=(0,1) e B=(1,3).

È ovvio che gli insiemi A e B sono “attaccati” o “aderenti”.Se invece consideriamo gli insiemi A=(0,1) e B=(1,3) sono ancora aderenti? Non più in quanto il punto 1 non appartiene a nessuno dei die insiemi.

Un insieme A⊆R si dice sconnesso se è unione di “pezzi staccati”.Un insieme A⊆R si dice connesso se non è unione di “pezzi staccati”.

DEFINIZIONE

Esempi

1. A=(-1;3) è ovviamente un insieme connesso in quanto composto de un solo intervallo.2. (-∞,0) ∪ (0,+∞) non è connesso in quanto unione di pezzi staccati.3. (-∞,0) ∪ (0,+∞) è connesso?4. La retta reale R è connessa o sconnessa?

La variabile x viene detta variabile indipendente, mentre la variabile y dipendente.

Il simbolo f(x) rappresenta tutte le operazioni che bisogna compiere sulla variabile indipen-dente x per ottenere quella dipendente y.

Una funzione y=f(x) può essere schematizzata come una “macchina” che ha in INPUT i

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

La possibilità di poter esprimere con leggi matematiche fatti o fenomeni osservabili (di na-tura scientifica o socio-economica), è una delle ragioni per cui la matematica ha avuto un enorme sviluppo. Tali leggi collegano due o più variabili in maniera univoche rappresenta-no, quindi, funzioni ad variabile reale y=f(x). Nelle scienze sperimentali (fisica, chimica, biologia, ecc...) e nelle scienze economiche e sociali generalmente si parte da una tabella di valori che lega due grandezze correlate. Ta-le tabella è ottenuta o da una serie di esperimenti o da indagini statistiche.Sorge, quindi, in maniera naturale il problema di risalire ad una legge, espressa da una fun-zione, che riassuma i valori ottenuti dalla tabella ed esprima, in modo matematico (simboli-co), il legame fra le due grandezze che si stanno studiando sperimentalmente.La funzione y=f(x) è la legge che regola il fenomeno oggetto di studio.

Si definisce funzione reale di una variabile reale, e si indica con y=f(x) la legge analitica che fa corrispondere ad ogni x reale uno ed un solo valore reale della variabile y.

valori della variabile indipendente x e pone in uscita il valore della variabile dipendente y.

Fissato un riferimento cartesiano, la funzione y=f(x) può essere rappresentata da un grafi-co:

x f(x) yINPUT OUTPUT

Le funzioni si possono suddividere in:

La y si ricava, una volta assegnati i valori della x, effettuando soltanto operazioni algebri-che (somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radici).

La y si ricava, una volta assegnati i valori della x, effettuando anche operazioni trascenden-ti (logaritmiche, esponenziali e trigonometriche).

y=f(x)

FUNZIONI ALGEBRICHE FUNZIONI TRASCENDENTI

FUNZIONI ALGEBRICHE

Razionali Intere Razionali Frattte Irrazionali Intere Irrazionali Fratte

FUNZIONI TRASCENDENTI

Funzioni Esponenziali Funzioni Logaritmiche FunzioniTrigonometriche

Funzioni Miste

y = x3 − x2 + 1 y = x − 2y = x2 − 13x + 2

y = x2 + 2x

y = ln (x2 − 1)y = ex+1

y = ln (x + 1) + x3

y = sin (x3 − 1)

Per individuare il dominio di una funzione y=f(x), bisogna tenere in conto che essa può pre-sentare problemi di finitezza, di realtà o di entrambi tipi.

Problemi di finitezza: ∃ numeri reali x che rendono la y infinita e quindi bisogna escluderli dal dominio della f.

Problemi di realtà: ∃ numeri reali x che rendono la y un numero complesso, e quindi biso-gna escluderli dal dominio della f.

Problema di realtà + finitezza: ∃ numeri reali x che rendono la y infinita ed altri che la ren-dono complessa, bisogna escluderli entrambi dal dominio della f.

Ricordiamo il dominio delle funzioni elementari.

a) Le funzioni razionali intere sono definite in tutto il campo reale.

b) Le funzioni razionali fratte sono definite per tutti quei valori che NON annullano il deno-minatore.

CAMPO DI ESISTENZA DI UNA FUNZIONE Y=F(X)

Si definisce campo di esistenza (o insieme di esistenza oppure dominio) di una funzione y=f(x) l’insieme dei valori che può assumere la variabile indipendente x affinchè risultino reali e finiti i corrispondenti valori della y.

Funzioni Algebriche

DOMINIO

c) Il dominio delle funzionali irrazionali dipende dall’indice della radice, distinguiamo quin-di due casi.

Se l’indice della radice è un numero pari il campo di esistenza è dato da tutti quei valori della x che rendono il radicando maggiore o uguale a zero.

Se l’indice è dispari, le funzioni irrazionali sono definite su tutto il campo reale.

Le funzioni goniometriche come seno e coseno sono definite in tutto l’asse reale, mentre tangente e cotangente sono definite per tutti quei valori che non annullano il denominato-re. Le funzioni inverse sono definite come segue:

Le funzioni esponenziali sono definite su tutto l’asse reale.

con indice pari

con indice dispari

Funzioni Trascendenti

f(x) = arcsin x

f(x) = arccos x

f(x) = arctan x

f(x) = arc cot x

C.E. : {x/ |x| ≤1}

f (x) = P (x)Q (x) C.E. = {x/Q(x)≠0}

C.E. = {x/Q(x) ≥ 0}f (x) = n Q(x)

C.E. = Rf (x) = n Q(x)

C.E. = R

La funzione logaritmica è definita per tutti i valori della x che rendono l’argomento (del loga-ritmo) strettamente positivo.

Esempio 1:

Il campo di esistenza è (-∞,+∞) essendo funzioni razionali intere.

Esempio 2:

Bisogna escludere dal campo di esistenza quei valori della x che annullano il denominato-re, in quanto rendono la frazione infinita.Nel esempio precedente il campo di esistenza è (-∞,-2) ∪ (-2,2) ∪ (2,+∞).

Esempio 3:

Il C.E. è (-∞,+∞). Perchè?

Esempio 4:

C.E. x-3≥0 x≥3 C.E. [3;+∞)

f (x) = loga x C.E. = (0;+∞)

y = 2x³ - 3x + 6 y = -x⁴ + x² - 2 y = 1/2x³ - 2x

y = x2 − 3xx2 − 4

y = x − 2x2 + 1

y = x − 3

Esempio 5:

C.E. (-∞;+∞)

Esempio 6:

È composta da:a. Funzione esponenzialeb. Funzione razionale fratta (l’esponente)

Il C.E. sarà (-∞;0) ∪ (0;+∞).

Esempio 7:

È composta da:a. Funzione irrazionaleb. Funzione razionale fratta

Il C.E. sarà

C.E. (-2;2)

Esempio 8:

È composta da:a. Funzione logaritmica

y = 3 x − x2

y = 3 x − 1x

y = 14 − x2

4 - x² > 0

4 - x² ≠ 0

y = log ( x − 1x2 + 1 )

b. Funzione razionale fratta

Il C.E sarà dato dalla soluzione del sistema:

Esempio 9:

Funzione Logaritmica composta (con argomento razionale fratto).

Il C.E sarà dato dalla soluzione del sistema:

C.E. = (− ∞,2)∪ (4,+∞).

Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni:

Dominio (1;+∞)

∀x∈Rx² + 1 ≠ 0

x − 1x2 + 1 > 0

f (x) = log ( x2 − 5x + 6x2 − 7x + 12 )

x2 − 5x + 6x2 − 7x + 12 > 0

x2 − 7x + 12 ≠ 0

x < 2 x > 3

x < 3 x > 4⇒ x < 2 x > 4

14. 15. 16.

Per graficare nel piano cartesiano una funzione y=f(x) è necessario inizialmente:• Trovare i punti di intersezione con l’asse x che corrispondono alle soluzioni dell’equazio-

ne f(x)=0.• Trovare I punti di intersezione con l’asse y che corrispondono alla risoluzione del siste-

• Studiare il segno della funzione, cioè f(x)≥0 per individuare gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa. Si tratta di risolvere la disequazione f(x)≥0.

Dominio: (-∞;+∞)

ESEMPI

y=f(x)

INTERSEZIONI CON GLI ASSI E SEGNO

y = x³ - x²

y=x³-x²

x³-x²=0 x² (x-1)=0 x²=0

Intersezione conl’asse delle x.

Studio del segno

La funzione giace nelle regioni di piano in bianco.

Dominio: (-∞;+∞)

∀x∈R→x²≥0

x³-x²≥0 x²(x-1)≥0 x-1≥0x²≥0 x≥1

y = x³ - 2x

Intersezione con l’asse delle y.

Intersezione conl’asse delle x.

x³-2x=0 x (x²-2)=0 x=0

(0; 0) ( 2; 0) (− 2; 0)x =+

Studio del segno

0-√2 √2

√2-√2 0

x(x²-2)≥0x³-2x≥0 x≥0 (x²-2)≥0 x≤-√2 ∪ x≥√2

Dominio: (-∞;2) ∪ (2;+∞)

Studio del segno.

y = x - 3x - 2

Intersezione con l’asse delle x.

Intersezione con l’asse delle y.

y = x − 3x − 2 x-3=0 x=3 (3;0)

y = x − 3x − 2 (0; 3

x-3≥0

Assegnata una funzione y=f(x) definita in un intorno del punto Xo, si vuole studiare il com-portamento di y=f(x) in prossimità del punto Xo, cioè ci domandiamo:

Vogliamo quindi studiare

Si dice che il LIMITE della funzione y=f(x), per x che tende ad Xo, è l, e si scrive:

se per ogni numero reale �>0, è possibile determinare un intorno di Xo tale che per ogni x di tale intorno risulti:

l-�<f(x)<l+�

“Cosa succede alla y quando diamo alla variabile indipendente x valori sempre più prossi-mi ad Xo?

LIMITE FINITO PER X TENDENTE AD UN VALORE FINITO

LIMITI

limx→x0

f (x) = l

a. Il punto Xo può anche non appartenere al dominio della funzione, ma in tal caso deve es-sere un punto di accumulazione per il dominio della f.

b. Si costruisce un intorno di l con � arbitrario, � è il raggio dell’intorno.c. Si tracciano dai punti l-� ed l+� le parallele all’asse delle x fino ad incontrare la curva, si

ottiene così l’intorno I del punto Xo di raggio r.d. Comunque si prende un punto x compreso fra Xo-r e Xo+r, la y corrispondente si trova

fra l-� ed l+�.

In altri termini:Dire che lim

x→x0f (x) = l significa che comunque fisso un intorno di l, riesco a trovare un intor-

no di Xo tale che le y corrispondenti ai punti che si trovano in tale intorno di Xo cadono nel-l’intorno di l fissato a priori.

INTERPRETAZIONE GRAFICA

Osservazioni: Data la funzione y=f(x) il concetto di limite ha senso se:a. Xo appartiene al dominio della funzioneb. nel punto Xo la funzione non è definita, però Xo è un punto di accumulazione per il domi-

nio della f.

Esemio: Quale di questi limiti ha senso prendere in considerazione?

Quando consideriamo lim f(x) possiamo “avvicinarci” ad Xo da due diverse direzioni:

a. Se ci avviciniamo ad Xo “da destra”, cioè per valori prossimi ad Xo ma leggermente più grandi, allora si parla di LIMITE DESTRO e si indica con

b. Se ci avviciniamo ad Xo “da sinistra”, cioè per valori leggermente più piccoli di Xo, si par-la di LIMITE SINISTRO

c. Se in un punto Xo si ha che:

Allora nel punto Xo non esiste il limite globale, cioè limx→x0

f (x) non esiste.

limx→0

ln x limx→−∞

log(x) limx→1

(x + 1) limx→0

x − 1x

limx→x+

0f (x)

limx→x−

0f (x)

limx→x+

0f (x) lim

x→x−0

Si consideri la funzione , definita in (-∞;3) ∪ (3;+∞). Nel punto x=3 la funzione non è definita in quanto il denominatore si annulla, però ha senso lo stesso chiedersi cosa succede alla y quando diamo valori prossimi a 3 (sia da sinistra che da destra), cioè voglia-mo indagare:

Consideriamo a tal proposito le due tabelle di valori:

Dalle tabelle si deduce che:

a. Assegnando ad x valori sempre più prossimi a 3 (ma più grandi di 3) ⇒ la corrisponden-

te y diventa sempre più grande di qualsiasi valore prefissato.b. Assegnando ad x valori sempre più prossimi a 3 (ma più piccoli di 3) ⇒ la corrisponden-

te y diventa sempre più piccola di qualsiasi numero prefissato.

LIMITE INFINITO PER X TENDENTE AD UN VALORE

FINITO

x3.13.053.013.001.......

1001000.......

x2.92.952.992.999.......

y-10-20

-100-1000

.......

y = 1x − 3

limx→3+

1x − 3 = ? lim

x→3−

1x − 3 = ?

Ciò si esprime dicendo che

Si dice che una funzione y=f(x) per x che tende ad Xo , tende all’infinito, e si scrive:

se, per ogni numero reale N>0, è possibile determinare un intorno di Xo tale che, per ogni x di tale intorno, risulti

f(x)>N

Analogamente se per ogni numero reale N>0 è possibile definire un

intorno di Xo tale che ∀x di tale intorno risulti f(x) < -N.In altri termini quando la x si “avvicina indefinitamente” ad un certo valore la funzione f(x) assume valori o “molto grandi” o “molto piccoli”.

Graficamente:

DEFINIZIONE

limx→3−

1x − 3 = − ∞ lim

x→3+

1x − 3 = + ∞

limx→x0

f (x) = + ∞

limx→x0

f (x) = − ∞

limx→x+

0f (x) = ? lim

x→x−0

f (x) = ?

La retta di equazione x=Xo verso la quale la curva si avvicina quando x tende ad Xo si defi-nisce ASINTOTO VERTICALE.Gli asintoti verticali di una funzione y=f(x) sono, quindi, i valori finiti della variabile indipen-dente x che rendono la y infinita.

DEFINIZIONE

PROCEDURA ASINTOTO VERTICALE

Inizio

y=f(x)

DominioCi sono punti xo in cui la f non è definita che sono

punti di accumulazione per il suo dominio?

NoNon ci sono asintoti verticali

SiX=Xo è asintoto verticaleNo

Non ci sono

limx→x0

Consideriamo ora il comportamento di una funzione y=f(x) quando alla x si assegnano valo-ri, sempre maggiori di un qualsiasi numero positivo prefissato, cioè in simboli

Analogamente si vuole studiare il comportamento di una funzione y=f(x) quando alla x si assegnano valori sempre minori di un qualsiasi numero negativo, cioè . Se il corrispondente valore di f(x) si “avvicina indefinitamente” ad un valore costante l , allo-ra abbiamo la seguente:

Si dice che la funzione y=f(x) tende al valore finito l per x tendente all’infinito e si scrive , se ∀ �>0, è possibile determinare un numero reale M tale che, per ogni｜x｜> M, risulti: l-�<f(x)<l+�

LIMITE FINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO

DEFINIZIONE

limx→+∞

limx→−∞

limx→∞

f (x) = l

La retta di equazione y=l verso la quale la curva si avvicina al tendere di x all’infinito si chia-ma asintoto orizzontale.Per individuare gli asintoti orizzontali di una funzione y=f(x) bisogna, quindi, calcolare il limi-te della funzione per x tendente all’infinito (a +∞ e a -∞).Se il valore del limite è un numero finito l, allora la retta di equazione y=l, parallela all’asse delle x, è un asintoto orizzontale.La retta di equazione y=l potrebbe essere asintoto orizzontale solo per x tendente a +∞ o viceversa, in tal caso l’asintoto è una semiretta.Se il valore del limite non è un numero finito l, allora l’asintoto orizzontale non esiste ma, in tal caso, potrebbe esistere quello obliquo come si vedrà in seguito.

Osservazioni: La ricerca dell’asintoto orizzontale ha senso solo se la funzione esiste in un intorno dell’infi-nito!La funzione y=f(x) può intersecare l’asintoto orizzontale, e per verificare cio, bisogna risol-vere il sistema tra la funzione e tale asintoto.

DEFINIZIONE

y=f(x)

PROCEDURA ASINTOTO ORIZZONTALE

Inizio

y=f(x)

Dominio

La funzione è definita in un intorno di +/- ∞?

NoNon ci sono asintoti

orizzontali

NoNon ci sono asintoti

orizzontali

SiSe tali valori sono finiti allora le rette

e sono asintoti orizzontali.

calcolare ,

limx→+∞

f (x) , limx→−∞

limx→+∞

f (x) = l1

limx→−∞

f (x) = l2

y = l1 y = l2

L’ultimo caso nello studio dei limiti si ha quando una funzione y=f(x) assume valori sempre più grandi quando la x cresce indefinitamente, cioè quando .

Bisogna ovviamente specificare il segno dell’infinito, a seconda che sia positivo o negativo siavranno diverse definizioni. Nel caso +∞, +∞diremo che se ∀N>0 ∃ M>0 tale che se x>M ⇒f(x)>N.

Quando il limite per x tendente all’infinito è infinito, non esiste l’asintoto orizzontale, ma po-trebbe esistere quello obliquo.

I casi che si possono presentare nel calcolo dei limiti di una funzione y=f(x) sono i seguenti

LIMITE INFINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO

RIASSUMENDO

Il limite finito per x tendente ad un valore finito.

Limite infinito per x tendente ad un numero finito (in tal caso la retta x=x₀ è un asintoto verticale.

Limite finito per x tendente all’infinito. In tal caso la retta di equazione y=& è un asintoto oriz-zontale.

Limite infinito per x tendente all’infinito.25

limx→∞

f (x) = ∞

limx→+∞

f (x) = + ∞

limx→x0

f (x) = l

limx→x0

f (x) = ∞

limx→∞

f (x) = l

limx→∞

f (x) = ∞

Sia f: A⊆R→R, Xo un punto di accumulazione per A, se esiste il , allora esso è unico. Dim: Per ipotesi , ma questo equivale a dire che: ∀�>0 ∃δ >0 t.c.

∀x≠Xo , 0<｜X-Xo｜< δ⇒ -�<f(x)-l<� (1)

supponiamo, per assurdo, che esista con l≠l′ ma questo equivale a dire che in corrispondenza allo stesso epsilon di prima deve esistere δ′>0 t.c. non appena

0<｜X-Xo｜<δ′⇒｜f(x) - l′｜< � ⟺ ｜l′ - f(x)｜< � e quindi:

-�< l′-f(x)<� (2)dunque esiste un intorno del punto Xo un cui sono contemporaneamente vere sia (1) che (2). Sommando membro a membro le due relazioni si ottiene:

-2� < f(x) - l + l′ - f(x) < 2� e quindi: -2� < l - l′ < 2� ⟺ ｜l′ - l｜ < 2�, dall’arbitrarietà di

� piccolo segue la tesi.

Sia f: A⊆R→R, Xo un punto di accumulazione per A, se allora esiste un intorno Ixo del punto Xo, tranne al più il punto stesso, in cui la funzione assume lo stesso segno di l. Dim: Per ipotesi la funzione ammette limite finito l ciò equivale a dire:

∀� > 0 ∃δ > 0 t.c. ∀ X≠Xo, 0 <｜X-Xo｜< δ ⇒ -� < f(x) -l < � ⟺ l - � < f(x) < + � (1)

Possiamo, ora, distinguere due casi:

TEOREMA: ESISTENZA E UNICITÀ DEL LIMITE

TEOREMA: DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

TEOREMI SUI LIMITI

limx→x0

f (x) = l

limx→x0

f (x) = l′�

limx→x0

f (x) = l ≠ 0

1. l > 0, ma allora basta scegliere un � < l e si ottiene: l - � > 0; dalla relazione (1) si vede su-bito che in tal caso f(x) > 0 e quindi la funzione assume lo stesso segno di l e dunque se-gue la tesi.

2. l < 0, in questo caso scelgo � < -l per cui si ottiene l + � < 0; dalla relazione (1) si vede subito che in tal caso f(x) < 0 e quindi la funzione assume lo stesso segno di l e dunque segue la tesi.

Siano f: A⊆R→R, g: B⊆R→R, h: C⊆R→R e sia Xo un punto di accumulazione per A, B e C. Se accade che ∀x ∈ Ixo - {Xo} : (con Ixo contenuto sia un A che in B e in C):

1. f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) e se inoltre

2. allora

Dim: dalla ipotesi 2 segue che • ∀� > 0 ∃H1 t.c. l - � < f(x) < l +�• ∀� > 0 ∃H2 t.c. l - � < g(x) < l +�

sia, ora, Hxo = Ixo ∩ H1 ∩ H2, questo vuol dire che ∀x∈Hxo - {Xo} è verificata la seguente

relazione:

l - � < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < l + � da cui si ricava immediatamente l - � < h(x) < l + � e dunque la tesi.

TEOREMA: DEL CONFRONTO

limx→x0

f (x) = limx→x0

g (x) = l limx→x0

h (x) = l

Il limite della somma è la somma dei limitilim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x)

Il limite del logaritmo è il logaritmo del limite

lim [log f (x)] = log [lim f (x)]

OPERAZIONI CON I LIMITI

Il limite del prodotto è il prodotto dei limitilim [f (x) ⋅ g (x)] = lim f (x) ⋅ lim g (x)

Il limite del quoziente è il quoziente dei limiti

lim f (x)g (x) = lim f (x)

lim g (x)

Il limite della radice è la radice del limitelim [ n f (x)] = n lim f (x)

Il limite della funzione esponenziale si trasporta all’esponentelim af(x) = alim f(x)

FORME INDETERMINATE

NON SONO FORME INDETERMINATE!

+∞ − ∞ 00

∞∞ 0 ⋅ ∞ 00 ∞0 1∞

Le espressioni sopra sono le forme indeterminate che possiamo incontrare nel calcolo dei limiti di funzioni.

Si definiscono “forme indeterminate” in quanto, a priori, potrebbero assumere qualsiasi va-lore (anche ∞ oppure non esistere). Bisogna sciogliere l’indeterminazione in qualche modo (manipolazioni algebriche) per poter dire quanto valgono. Osservare che:

10 = ∞ 0

∞ = 0 1+−∞ = 0 ∞

0 = ∞

+∞ + ∞ = + ∞ (+∞) ⋅ (−∞) = − ∞

−∞ − ∞ = − ∞ (−∞) ⋅ (−∞) = + ∞

CALCOLARE

Forma indeterminata del tipo

Si divide ogni termine per la potenza più alta di x

limx→+∞

5x − 1x3 + 2

limx→+∞

5x − 1x3 + 2 = 5 (+∞) − 1

(+∞)3 + 2= +∞ − 1

+∞ + 2 = +∞+∞

limx→+∞

5x − 1x3 + 2 =

5xx3 − 1

x3 + 2x3

limx→+∞

5x2 − 1

1 + 2x3

=limx→+∞

5x2 − limx→+∞

1 + limx→+∞2x3

5+∞ − 1

1 + 2+∞

= 0 − 01 + 0 = 0

Forma indeterminata!

CALCOLARE

Si pone in evidenzia la potenza più alta della x

limx→−∞

(x3 − 3x)

limx→−∞

(x3 − 3x) = (−∞)3 − 3 (−∞) = − ∞ + ∞

limx→−∞

(x3 − 3x) = limx→−∞

x3 (1 − 3x2 ) =

[ limx→−∞

x3] ⋅ limx→−∞ (1 − 3

x2 ) = − ∞ ⋅ (1 − 0) = − ∞ ⋅ (1) = − ∞

Forma indeterminata del tipo

CALCOLARE

Si porta tutto sotto radice

limx→+∞

2 + x2

3x − 1

limx→+∞

2 + x2

3x − 1 =2 + ∞

3 (+∞) − 1 =+∞

+∞ − 1 = +∞+∞

limx→+∞

2 + x2

3x − 1 = limx→+∞

2 + x2

(3x − 1)2 =

limx→+∞

2 + x2

9x2 − 6x + 1 = limx→+∞

2 + x2

9x2 − 6x + 1 =

limx→+∞

2x2 + x2

x2 − 6xx2 + 1

= limx→+∞

2x2 + 1

9 − 6x + 1

0 + 19 − 0 + 0 = 1

9 = 13

Dimostrare il limite notevole:

Si tratta di sciogliere la forma indeterminata 0/0. Occorre trovare due funzioni, entrambe convergenti ad 1, che siano una sempre maggiore (o uguale) e l’altra sempre minore (o uguale) di .

Osserviamo che dalla figura si ha:

essendo x la misura espressa in radianti dell’angolo PÔA, poichè sin x > 0 possiamodividere membro a membro senza alterare le disugualianze e ottenere:

CALCOLARE

LIMITE NOTEVOLE

limx→+∞

x= e−∞

+∞ = 0+∞ = 0

limx→0

sin xx

sin x < x < tan x

passando, ora, ai reciproci si ottiene:

essendo in virtù del Teorema del confronto si ha il limite

notevole:

1 < xsin x

< 1cos x

1 < xsin x

< 1cos x

1 < xsin x

< 1cos x

limx→0

sin xx

Intuitivamente possiamo dire che un asintoto di una funzione f(x) è una retta la cui distanza dal grafico di f(x) tende a 0 man mano che un generico punto P sul grafico si allontana al-l’infinito.

Gli eventuali asintoti per il grafico di una funzione f(x) devono essere ricercati agli estremi del dominio D della funzione. In particolare, agli estremi finiti di D che non appartengono a D, possono esistere asintoti verticali, mentre agli estremi infiniti di D possono esistere asin-toti orizzontali oppure, in alternativa, asintoti obliqui.

Esempio: (-∞;2] ∪ [5;7) ∪ (7;+∞)Estremi finiti che non appartengono al dominio della funzione: {7}

Estremi infiniti: {-∞;+∞}

Data la funzione f(x) se si verifica che

limx→x0

f (x) = ∞

Si dice che la retta x=xo è asintoto verticale per il grafico della funzione.Se il limite della funzione è infinito solo per o per si parla, rispettiva-mente, di asintoto verticale sinistro o di asintoto verticale destro.

ASINTOTI

ASINTOTO VERTICALE

Esempio

f (x) = − 1x − 2 D = (-∞;2) ∪ (2;+∞)

La distanza PH del punto P dalla ret-ta x=2 tende a 0 al tendere di x a 2. Ovvero l”ordinata del punto P tende a infinito quando x tende a 2.

Asintoto verticale x=2

Esempio

y = ln (x) D = (0;+∞)

Data la funzione y=f(x) se si verifica una delle condizioni

limx→+∞

f (x) = l1 o limx→−∞

f (x) = l2 o limx→∞

f (x) = l

Si dice che la retta y = l è asintoto orizzontale per il grafico della funzione.(Nel primo e secondo caso si parla rispettivamente di asintoto destro e asintoto sinistro).

NOTA BENE: Rispetto all’asintoto orizzontale, il grafico della funzione può stare tutto “al di sopra” della retta o tutto “al di sotto”, ma può anche intersecare l’asintoto stesso in un punto, due punti,...

La distanza PH di un generico punto P del grafico della funzione dal suo asintoto orizzontale, di equazione y=2, tende a 0 quando x tende a più infinito.

Asintoto orizzontale y=2

ASINTOTO ORIZZONTALE

Asintoto Orizzontale: y=0

quindi la retta y=0 è asintoto orizzontale sinistro

quindi la retta y=0 è asintoto orizzontale il grafico della

funzione attraversa l’asinto-to orizzontale

Il grafico della funzione attraversa l’asintoto orizzontale

Data la funzione y=f(x) se si verifica la condizione che

limx→∞ [f (x) − (mx + q)] = 0

Si dice che la retta di equazione y = mx + q è asintoto obliquo per il grafico della funzione.

Se la condizione è verificata solo per x → -∞ o per x → +∞, si dice, rispettivamente che y = mx+q è un asintoto obliquo sinistro o un asintoto obliquo destro.

NOTA BENE: Il grafico della funzione può intersecare l’asintoto obliquo in un punto, due punti, come si può vedere nel grafico di seguito riportato.

Al tendere di x a infinito (in questo esempio a - infinito) la distanza fra i due punti P e Q presi rispettivamente sul grafico della funzione e sull’asinto-to e aventi la stessa ascissa tende a 0.Anche la distanza tra P e H (distanza di un generico punto del grafico della funzione dall’asintoto obliquo) tende a zero.

ASINTOTO OBLIQUO

Asintoto Obliquo: y=x-3

Asintoto Obliquo Grafico della funzione

La funzione interseca l’asintoto obliquo nel punto P

Se il grafico della funzione y = f(x) ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q, con m≠0, allora m e q sono dati dai seguenti limiti:

Esempio

Essendo la funzione può avere un asintoto obliquo.

I calcoli svolti sono validi sia per +∞ sia per -∞; quindi, in entrambi casi, il grafico della fun-zione ha un asintoto obliquo di equazione: y=-2x

m = limx→∞

f (x)x

q = [f (x) − mx]

y = −2x2 + 3x

limx→∞

−2x2 + 3x

m = limx→∞

f (x)x

limx→∞

−2x2 + 3x2 = − 2

q = limx→∞ [ −2x2 + 3

x+ 2x] = lim

x→∞

−2x2 + 3 + 2x2

x= lim

x→∞

RICERCA DEGLI ASINTOTI OBLIQUI

Si può giungere allo stesso risultato eseguendo la divisione tra numeratore e denominato-re della funzione.

Si ottiene:

E la retta è un asintoto obliquo per f(x).

AsintotoGrafico della funzione

Grafico della funzione

y = − 2x + 3x

y = − 2x

PUNTI DI RIFERIMENTO

y +∞

+∞-∞

P1 (+∞;+∞)P2 (-∞;+∞)

P3 (-∞;-∞) P4 (+∞;-∞)

PER TRACCIARE IL GRAFICO DI y=f(x)

Facendo riferimento al grafico precedente dove si collocano:

limx→+∞

f (x) = + ∞

limx→−∞

f (x) = + ∞

limx→+∞

f (x) = − ∞

limx→−∞

f (x) = − ∞

P1 (+∞;+∞)

P2 (-∞;+∞)

P3 (-∞;-∞)

P4 (+∞;-∞)

Consideriamo ora i limiti:

limx→+∞

f (x) = 2 corrispondente all’ipotetico punto di coordinate P (+∞;2).

limx→−∞

f (x) = − 3 corrispondente all’ipotetico punto di coordinate P (-∞;-3).

Dove si trova?

+∞-∞ 0

2 P (+∞;2)

Attenzione: I punti (∞;∞), (∞;k), (k;∞), sono “simbolici”, quando si traccia il grafico non bi-sogna “raggiungerli” ma basta avvicinarsi il più possibile verso di loro. Servono como pun-ti di riferimento per tracciare la funzione.

+∞-∞ 0

limx→1+

f (x) = + ∞

limx→1−

f (x) = − ∞

P (1+; + ∞)

P (1−; − ∞)

P (1+; + ∞)

P (1−; − ∞)

Data una funzione y=f(x) per trovare l’asintoto orizzontale dobbiamo calcolare:

Se risulta:

E per tracciare il grafico di y=f(x) posso prendere come riferimento il punto

Data una funzione y=f(x) per trovare gli asintoti verticali devo calcolare:

E per tracciare il grafico di y=f(x) posso prendere come riferimento il punto P (Xo; ±∞).

y=l è un asintoto orizzontale

X=Xo è un asintoto verticale

limx→+∞

f (x) limx→−∞

limx→+∞

f (x) = limx→−∞

f (x) = l

P1 (+∞; l) P2 (−∞; l)

limx→x0

f (x) =+− ∞

Se risulta

Graficamente la funzione deve tendere al punto di coordinate P (Xo;l).

Esempio

Graficare la funzione situazione:

P (1;2)

P (1;-2)

limx→x0

f (x) = l

limx→1−

f (x) = − 2limx→1+

f (x) = 2

Il grafico di una funzione y=f(x) è il seguente:

a) Osservando il grafico di f(x) individua il valore dei seguenti limiti.

b) Quali sono i punti di intersezione di y=f(x) con l’asse x? .....

c) Quanto valgono i seguenti limiti?

Esercizio 1

0-1-3 4

limx→−1−

f (x) = ?

limx→−1+

f (x) = ? limx→0

f (x) = ?

limx→4

f (x) = ?

limx→−∞

f (x) = ? limx→+∞

f (x) = ?

Il grafico di una funzione y=f(x) è il seguente:

Osservando il grafico rappresentato, quanto valgono i seguenti limiti:

Esercizio 2

limx→−∞

f (x) = ? limx→+∞

f (x) = ?

limx→1+

f (x) = ? limx→1−

f (x) = ?

Di una funzione y=f(x) sappiamo che:

a) y>0 per (-1;0) ∪ (1;+∞)

b) y<0 per (-∞;-1) ∪ (0;1)

c) passa per (0;0)

Rappresentare un possibile andamento per la funzione y=f(x).

Di una certa funzione y=f(x) sappiamo che ha la retta y=1 come asintoto orizzontale.

Ciò significa che:

Esercizio 3

Esercizio 4

limx→−1+

f (x) = + ∞limx→−1−

f (x) = − ∞

limx→1−

f (x) = − ∞ limx→1+

f (x) = + ∞

limx→−∞

f (x) = ? limx→+∞

f (x) = ?

Il seguente grafico riporta l’andamento di una funzione y=f(x).

a) Quanto valgono:

b) ∃ asintoti orizzontali? ........... Perchè? ................

c) ∃ asintoti verticali? ............. Perchè? ...................

d) Qual è il dominio di y=f(x)? .................

Di una certa funzione y=f(x) sappiamo che:

a) Il campo di esistenza è (0;+∞)

c) y>0 in (0;2) ∪ (5;+∞) y<0 in (2;5)

d) Rappresentare il grafico di y=f(x)

Esercizio 5

Esercizio 6

limx→−∞

f (x) = ? limx→+∞

f (x) = ?

limx→+∞

f (x) = + ∞

limx→0+

f (x) = + ∞

Una certa funzione y=f(x) è definita in (-1;7]

a) Ha senso ........... Perchè? ................

b) Ha senso ........... Perchè? ................

c) Ha senso ........... Perchè? ................

d) La retta x=1 potrebbe essere un asintoto verticale? Se si, in quale caso?

e) Potrebbe esistere un asintoto orizzontale? .............. Perchè? .............

Dopo aver calcolato il campo di esistenza della funzione rispondere alle seguenti domande:

a) f(2)=? ; f(-2)=?

c) La funzione ammette asintoti orizzontali? .............. Perchè? ..............

d) La funzione ammette asintoti verticali? .............. Perchè? ..............

Esercizio 7

Esercizio8

limx→−∞

f (x) = ?

limx→−1+

f (x) = ?

limx→−1−

f (x) = ?

y = 4 − x2

limx→2+

4 − x2 = ? limx→2−

4 − x2 = ?

Di una funzione y=f(x) sappiamo che:

a) E’ definita in (-∞,-3)∪(-3,+∞) b) E’ positiva in (-∞,-5)∪(0,+∞) c) Interseca l’asse delle X in -5 e 0 d) La retta x=-3 è un asintoto verticale e) La retta y=2 è un asintoto orizzontale f) La funzione non interseca l’asintoto orizzontale

In base a tali informazioni descrivere un possibile andamento qualitativo della funzione y=f(x):

Di una funzione Y = f (X) sappiamo che: a) E’ definita in (-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞) b) E’ negativa in (-∞,3)∪(-2,0)∪(2,3) c) Interseca l’asse X nei punti -3, 0, 3 d) Le rette x=2 e x=-2 sono asintoti verticali e) Non ha asintoti né orizzontali e né obliqui

Esercizio 9

Esercizio 10

In base a tali informazioni descrivere un possibile andamento qualitativo della funzione Y = f (X):

Si considerino le seguenti funzioni:

a) Determinare il campo di ∃ ;b) Determinare f ( - 3 ), f (0), f (2), f (-2) ; 2 c) Determinare per quali valori della X ∈ R la funzione data assume valori positivi;d) In quali quadranti giace la funzione ?e) Determinare gli asintotif) Descrivere un possibile andamento delle funzioni.

Esercizio 11

-3 -2 0 2 3 x

y = x2 − x − 122x + 3

y = 3xx2 − 1

Si consideri nel piano cartesiano la funzione y=f(x) che ha il seguente andamento:

Dall’analisi del grafico individuare:

a) Il campo di esistenzab) Il segno della funzionec) Gli asintoti

Si consideri nel piano cartesiano la funzione y=f(x) che ha il seguente andamento:

Dall’analisi del grafico individuare:

a) Il campo di esistenzab) Il segno della funzionee) Gli asintoti

Esercizio 12

Esercizio 13

Calcolando il limite di una funzione y=f(x) per x che tende ad un certo valore, può acca-dere che:• Esiste il limite globale , cioè il limite esiste ed è proprio

uguale al valore che la funzione assume nel punto Xo.

• Non esiste il limite globale , esistono, però, e sono diversi, il limite da destra e il limite da sinistra:

con a≠b

Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b], sia Xo un punto interno ad esso. La funzione si dice continua in tale punto quando esiste il limite per x tendente ad Xo ed inoltre risulta

Una funzione è, quindi, continua nel punto Xo se il valore del limite coincide con il valore che la funzione assume in quel punto.

Affinchè una funzione risulti continua in un punto deve accadere che:• La funzione deve essere definita nel punto Xo.• Il limite della funzione deve esistere.• Il valore del limite deve essere uguale ad f(Xo).

Una funzione y=f(x) si dice continua in un intervallo se è continua in tutti i punti di quell’ intervallo.

Osservazione: Dire che una funzione è continua in un intervallo significa che “a piccole variazioni della x, corrispondono piccole variazioni della y”.

DEFINIZIONE

FUNZIONI CONTINUElimx→x0

f (x) = l = f (x)

limx→x0

limx→x+

0f (x) = a lim

x→x−0

f (x) = b

limx→x0

f (x) = f (x0)

Si dimostra che sono funzioni continue:• Le funzioni razionali e irrazionali intere e fratte (dove esistono).• Le funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.• Le funzioni composte di funzioni continue.

Il grafico della funzione sotto riportata mostra un esempio di funzione discontinua

Nel punto x=0 la funzione non è continua, in quanto il limite globale non esiste (essendo diverso da destra e da sinistra), inoltre la funzione è definita in 0.

Si dice che nel punto Xo una funzione f ha una discontinuità di I specie o salto finito se in tale punto esistono finiti il limite destro ed il limite sinistro di f ma sono diversi tra loro.

Esempio 1La funzione

presenta in x=0 una discontinuità di I specie.

Infatti:

DISCONTINUITÀ DI 1°SPECIEDEFINIZIONE

l1 = limx→x−

0f (x) ≠ lim

x→x+0

f (x) = l2

f (x) = x + xx

=x + 1, se x > 0x − 1, se x < 0

1 = limx→0+

f (x) ≠ limx→0−

f (x) = − 1

Si dice che nel punto Xo una funzione f ha una discontinuità di II specie se in tale puntoalmeno uno dei due limiti destro o sinistro di f è infinito oppure non esiste.

presenta in x=0 una discontinuità di II specie.

Infatti:

presenta in x=0 una discontinuità de II specie.

Infatti:

DISCONTINUITÀ DI 2°SPECIEDEFINIZIONE

Osservazione: In definitiva, la presenza di asintoti verticali è rappresentativa di discontinui-tà di II specie.

f (x) = 1x

limx→0+

= + ∞ limx→0−

= − ∞

f (x) = 21x

limx→0−

21x = 0lim

x→0+21

x = + ∞

Si dice che nel punto Xo una funzione f ha una discontinuità eliminabile o apparente se in tale puntoesiste finito il limite di f ma f in tale punto:

non è definitaoppure

EsempioLa funzione

presenta nel punto x=0 una discontinuità eliminabile.

Infatti: • f non è definita in x=0 ⇒� f(0)

• però esiste

DISCONTINUITÀ DI 3° SPECIEDEFINIZIONE

limx→x0

f (x) ≠ f (x0)

f (x) = sin xx

limx→0

sin xx

Data la funzione f(x) ed un punto Xo appartenente al dominio D della funzione, la funzione f(x) si dice continua nel punto Xo se il limite della funzione in Xo = valore della funzione in Xo cioè:

diversamente il punto Xo si dice punto di discontinuità per f(x). Si osservi che in un punto isolato la funzione è continua.

Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti i punti dell’intervallo.

Per classificare un punto Xo di discontinuità si calcolano separatamente il limite sinistro ℓ1 ed il limite destro *2.

A seconda dei valori *1 e *2 i punti si classificano in tre specie:

RIASSUMENDO

DEFINIZIONE

f(x)f(Xo) = l

CLASSIFICAZIONE

limx→x0

f (x) = l = f (x0)

limx→x−

0f (x) = l1 lim

x→x+0

f (x) = l2

Il punto Xo si dice punto di discontinuità de prima specie se i limiti sinistro e destro della funzione in Xo sono diversi e finiti. ｜*2 - *1｜ si dice salto della funzione.

Il punto Xo si dice punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti sinistro o destro della funzione in Xo è uguale a infinito.

Il punto Xo si dice punto di discontinuità di terza specie o eliminabile se i limiti sinistro e destro della funzione in Xo sono uguali e finiti. In questo caso la discontinuità si può elimi-nare ponendo f(Xo) = l1.

In pratica per studiare la continuità di una funzione y=f(x) si deve:Individuare il dominio e gli eventuali punti critici.Calcolare poi il valore dei limiti sia da destra che da sinistra.Osservare che i punti critici sono i valori che non appartengono al dominio oppure quelli dove cambia la legge.

Esercizio 1

Studiare la continuità della funzione e classificare gli eventuali punti di discontinuità.

Esercizio 2

Studiare la continuità della funzione

l1 = l2

y = x − 2x2 − 5x + 6

se x<1

se x≥1

Esercizio 1

Trovare il valore costante α per cui la funzione sia continua in R

SvolgimentoLa funzione data è continua in tutti i punti di [-∞;1] ∪ [1;+∞]. Essendo , la funzione è continua in 1 da sinistra. Essendo, inoltre, , la funzione sarà continua anche nel punto di ascissa 1

se e solo se 4=3-α⇒α=-1.

Infatti per α=-1 si ha:

Grafico:

ESERCIZI

Esercizio 2

Studiare la continuità della funzione .

SvolgimentoLa funzione non è definita per x=0. Si osserva cheforma indeterminata.Moltiplicando numeratore e denominatore per (1+cos x) si ottiene:

Separando opportunamente i fattori e applicando il limite notevole si ottiene:

Pertanto la funzione presenta in x=0 una discontinuità eliminabile e può essere ridefinita nel seguente modo:

Grafico:

limx→0

1 − cos xh

x2 = limx→0

sin2 xx2 (1 + cos x) = lim

sin xx

⋅ sin xx

⋅ 11 + cos x

= 12 ⋅ 1 = 1

Esercizi da svolgere:

1. Verificare che la funzione è continua nel punto di ascissa

Xo=0, inoltre, tracciare il grafico.

2. Studiare la discontinuità della funzione Tracciare il grafico.

3. Verificare che la funzione è continua nel punto di ascissa

Xo=0, inoltre, tracciare il grafico.

Si consideri una funzione y=f(X) definita in un insieme A⊆R, diremo che il punto Xo∈A è un punto di massimo relativo se è possibile determinare un intorno di Xo per ogni x del quale risulti f(x)≤f(Xo).Il punto Xo sarà invece un punto di minimo relativo per la funzione y=f(x) se risulta f(x)≥f(Xo), per ogni x dell’intorno di Xo.

Una funzione di dice limitata superior-mente se esiste un numero b che risulti maggiore di tutti i valori assunti dalla va-riabile dipendente y, cioè f(x)≤b.Una funzione si dice limitata inferior-mente se esiste un numero a che risulti minore di tutti i valori assunti dalla varia-bile dipendente y, cioè f(x)≥a.Una funzione y=f(x) si dice limitata se lo è sia inferiormente che superiormente, cioè a≤f(x)≤b.

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE

Limitata superiormente

La funzione y=f(x) ammette nel punto Xo dell’intervallo [a,b] un massimo assoluto se risul-ta f(x)≤f(Xo) ∀ x appartenente all’intervallo.La funzione y=f(x) ammette nel punto Xo dell’intervallo [a,b] un minimo assoluto se risulta f(x)≥f(Xo) ∀ x appartenente all’intervallo.

Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], allora essa assume, in tale intervallo, il massimo assoluto e il minimo assoluto.

DEFINIZIONE

TEOREMA DI WEIERSTRASS

Massimo assoluto in x=0 Minimo assoluto nel vertice della parabola

Controesempi

Funzione continua nell’intervallo illimitato [1;+∞]. Possiede un massimo assoluto, ma non un minimo.

Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], allora essa assume, al-meno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo.

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto c, interno all’inter-vallo, in cui f si annulla.

Controesempi

Funzione continua in tutto [–4;3] tranne x = –1. Non possiede uno zero.

TEOREMA DEGLI ZERI

Stabiliamo se vale il teorema di Weierstrass per la seguente funzione, nell’intervallo indica-to:

Dobbiamo verificare l’ipotesi del teorema, ossia che la funzione è continua nell’intervallo [-1;3].

Per ogni , la funzione è continua perchè sono continue le funzioni

Per x = 2 si ha , quindi anche in 2 la funzione è continua.

Concludiamo che vale il teorema di Weierstrass.

Osservazione:Dal grafico della funzione possiamo dedurre che ne;;‘intervallo [-1;3] il punto di massimo è (0;4) e quello di minimo è (2;0). Il massimo M della funzione è M = 4 e il minimo m è m = 0.

ESERCIZI

f (x) =−x2 + 4 se x ≤ 212 x − 1 se x > 2

in [−1; 3]

x ∈ [-1;3] e x ≠ 2

y = -x² + 4 y = 12 x − 1

f (2) = 0 e limx→2− (−x2 + 4) = lim

x→2+ ( 12 x − 1) = 0

Stabiliamo se vale il teorema di esistenza degli zeri per la seguente funzione, nell’intervallo indicato:

La funzione è discontinua per i punti in cui , ossia per

Poichè tali punti non appartengono all’intervallo , e la funzione è continua nell’inter-vallo.

Inoltre:

Sono quindi verificate le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri.

Osservazioni: • Il teorema di Weierstrass è valido solo negli intervalli chiusi e limitati, quindi non può esse-

re applicato in intervalli del tipo (a;b) aperti, oppure [a;b] nè aperti nè chiusi. Ne tantome-no può essere applicato in intervalli illimitati del tipo (a;+∞).

• Se l’ipotesi di un teorema non è valida, non possiamo dire niente circa la validità della te-si. Questa potrebbe essere anche vera ma non possiamo stabilirne la sua veridicitá dal teorema in questione.

Esercizio 1Si consideri la funzione definita in (-∞;-1) ∪ (-1;+∞).

a. È possibile applicare il teorema di Weierstrass?b. Quale ipotesi non è soddisfatta?c. È possibile applicare il teorema di Weierstrass nell’intervallo [-2;2]? Perchè?

ESERCIZI

y = x2x2 − 1 , in [− 1

2 ; 12 ]

2x2 − 1 = 0 → x2 = 12

x =+−

[− 12 ; 1

f (− 12 ) = 1 > 0 e f ( 1

2 ) = − 1 < 0

y = x − 1x + 1

d. È possibile applicare il teorema di Weierstrass nell’intervallo [4,5.000]?

La funzione y=x-1 soddisfa il teorema di Weierstrass in tutto il suo dominio? E il teorema degli zeri?

Esercizio 2L’equazione eˣ+x=0 ammette soluzioni nell’intervallo [-5;0]?

CONCETTI INTRODUTTIVILa derivata di una funzione in un punto x0, che indicheremo col simbolo f’(x0), è un nume-ro che misura la variazione della f(x) in un intorno del punto, ovvero la “rapidità” con cui cresce o decresce la f(x) in un intorno di x0. La derivata risulta quindi essere legata alla pendenza del grafico della funzione in un intorno di x0:

O x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x

-∞-1

0 f ’(x). f ’(x0) = 2

. f ’(x2) = 0

. f ’(x3) = -1

. f ’(x4) = -2

. f ’(x5) = 0

. f ’(x6) = 4. f ’(x1) = 1

Consideriamo una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b]. Sia x0 un punto interno ad [a,b] e sia x0 + h il punto ottenuto aggiungendo ad x0 la quantità h Indicheremo con i sim-boli Δf e Δx le seguenti differenze: Δf = f(x0+h) – f(x0), Δx = x0+h – x0 = h e le chia-meremo rispettivamente incremento della funzione (Δf) e incremento della variabile (Δx = h) .

DERIVATA DI UNA FUNZIONE

Chiameremo infine rapporto incrementale relativo al punto x0 e all’incremento h il se-guente rapporto:

Una funzione si dice derivabile in un punto x0 se esiste ed è finito il limite del rapporto in-crementale della funzione quando l’incremento h della variabile tende a zero, cioè se esi-ste ed è finito il seguente limite:

Il risultato del precedente limite lo diremo derivata della f(x) nel punto x0 e lo indicheremo con uno qualunque dei simboli:

f(x0+h)

Δx = h

DEFINIZIONE

f ’(x0) y ’(x0) [Df (x)]x=x0

Se il precedente limite non esiste, oppure non dà come risultato un numero finito, allora diremo che la funzione f(x) non è derivabile nel punto x0.

Derivata in simboli:

Certe volte, pur non esistendo il limite per h→0 del rapporto incrementale, possono esistere finiti il limite destro e/o il limite sinistro:

Diremo derivata destra e derivata sinistra di f(x) in x0, e le indicheremo con i simboli e i risultati, se esistono e sono finiti, dei seguenti limiti:

Osservazione: Quando una funzione è derivabile in x0 nel senso della definizione ordinaria allora esistono anche la derivata destra e quella sinistra e sono uguali fra loro.

DERIVATA DESTRA E DERIVATA SINISTRA

DEFINIZIONE

Nel piano in cui sia stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali, consideriamo una retta r non parallela all’asse delle ordinate di equazione y=mx+q dove m è il coefficiente an-golare e q è il termine noto.

È noto che il coefficiente angolare di una retta non parallela all’asse delle ordinate di equa-zione y=mx+q è uguale alla tangente goniometrica dell’angolo che la retta stessa forma con il semiasse positivo delle ascisse.

Se indichiamo con α l’angolo che la retta r forma col semiasse positivi delle ascisse, allora:

tan α = m

Sia assegnata una funzione f(x) derivabile in un intervallo [a,b] e sia xo un punto interno al-l’intervallo [a,b]. Si passi dal punto xo ad un altro punto xo+h interno all’intervallo [a,b] in modo tale da potere considerare i corrispondenti valori di f.

Indichiamo i due punti appartenenti al grafico f con:

P(xo;f(xo))

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELLA DERIVATA

Q(xo+h;f(xo+h))

Sia r la retta passante per P e Q e che forma un angolo α col semiasse positivo delle x. Dalla geometria analitica sappiamo che il coefficiente angolare di una retta passante per due punti P₁ (x₁;y₁) e P₂ (x₂;y₂) è dato da

Quindi Il rapporto incrementale geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante passante per i punti P e Q.

Da un punto di vista geometrico, quando h→0 il punto P(Xo;f(Xo)) rimane fisso, mentre il punto Q(Xo+h;f(Xo+h)) si muove verso il punto P lungo la curva grafico della funzione f.

Contemporaneamente, spostandosi il punto Q verso il punto P, la retta per P e Q varia e va-ria in particolare la sua pendenza e cioè varia il suo coefficiente angolare.

Tali variazioni per h→0 terminano quando il punto Q raggiunge il punto P e cioè quando la retta per P e Q si assesta su una posizione limite che è individuata dalla retta tangente t al grafico della funzione f nel punto di ascissa xo (cioè il punto P).Cioè, in sostanza la retta secante diventa tangente.

Quindi, indicando con β l’angolo che la retta tangente forma col semiasse positivo delle x e con mt il suo coefficiente angolare:

Quindi, in definitiva, se β è l’angolo che la retta tangente al grafico della funzione f nel pun-to di ascissa xo forma con semiasse positivo delle ascisse e se mt è il suo coefficiente an-golare, risulta che:

Quindi si ha la notevole interpretazione geometrica:

La derivata f’(xo) della funzione f nel punto xo è uguale al coefficiente angolare m della ret-ta tangente al grafico della funzione f nel punto P(xo;f(xo)).

Ricordando che l’equazione della retta passante per un punto è , allo-ra l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto x₀ è :

limh→0

f (x0 + h)h

= tan β = mt

f ′�(x0) = tan β = mt

y − y0 = m (x − x0)

y − f (x0) = f ′ �(x0) (x − x0)

L’esistenza della derivata di una funzione f in un punto xo è legata:• all’esistenza della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa xo• al fatto che il coefficiente angolare della retta tangente deve essere finito, essendo f'(Xo)= mt

In particolare, essendo f'(Xo) = tan β = mt , richiedere che il coefficienteangolare della retta tangente t al grafico di f sia finito, equivale a richiedere che sia

La retta tangente al grafico della funzione f in un punto di ascissa xo non può essere paral-lela all’asse delle ordinate affinché la funzione f sia derivabile nel punto xo.

Se f è una funzione derivabile in un punto xo, allora nel punto di coordinate (xo;f(xo)) il suo grafico ammette una retta tangente non parallela all’asse delle ordinate.

Una funzione derivabile in un intervallo, è una funzione il cui grafico è dotato di retta tan-gente non parallela all’asse delle y in ogni suo punto di equazione:

CONCLUSIONI

β ≠ π2

se β → π2 ⇒ tan β →+

− ∞

y − f (x0) = f ′�(x0) (x − x0)

Data la funzione y=f(x) la derivata della funzione nel punto x₀ è:

Se non esiste tale limite, può esistere però il limite destro che corrisponde alla derivata de-stra e il limite sinistro che corrisponde alla derivata sinistra.

derivata destra:

derivata sinistra:

Quando si dice cha la funzione y=f(x) è derivabile nel punto x₀, si sottintende che nel punto x₀ esistono anche la derivata destra e sinistra e che sono uguali.

Se una funzione è derivabile nel punto x₀, allora è necessariamente anche continua in tale punto.

L’inverso del teorema, in generale, non è vero: una funzione continua in un punto non è detto che sia derivabile in quel punto.

EsempioLa funzione y=|x| nel punto x=0 è continua ma non derivabile.

Conseguenze:• Una funzione derivabile in un punto è anche continua in quel punto:

Derivabilità → Continuità

PUNTI DI NON DERIVABILITÀ

TEOREMA

f ′�(x0) = limh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

f ′�+ (x0) = lim

f (x0 + h) − f (x0)h

f ′�− (x0) = lim

f (x0 + h) − f (x0)h

• Una funzione continua in un punto non è necessariamente derivabile: Continuità non implica Derivabilità

“La continuità è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità.”

• Nei punti di discontinuità la funzione non è derivabile.

Per determinare il comportamento di una funzione in un punto x₀ di non derivabilità (cioè tale per cui f’(x₀) non esiste), studiamo il limite della derivata per x che tende a x₀ da sini-stra e da destra, per capire come si comporta la pendenza della curva nell’intorno del pun-to, ovvero con che pendenza la curva si avvicina al punto x₀.I casi sono tre:- Cuspide: i limiti della derivata da sinistra e da destra sono infiniti con segno oppostoC’è ne sono di due tipi:

Primo tipo

La funzione si avvicina a x0 da sinistra con derivata positiva, quindi in modo crescente fino ad avere tangente verticale (derivata o pendenza della retta tangente infinita), mentre si av-vicina da destra con derivata negativa, quindi in modo decrescente fino ad avere anche in questo caso tangente verticale.

limx→x−

0f ′� (x) = + ∞ lim

x→x+0

f ′� (x) = − ∞

Secondo tipo

La funzione si avvicina a x0 da sinistra con derivata negativa, quindi in modo decrescente fino ad avere tangente verticale (derivata o pendenza della retta tangente infinita), mentre si avvicina da destra con derivata positiva, quindi in modo crescente fino ad avere anche in questo caso tangente verticale.

Punto angolosoÈ un punto in cui i limiti delle derivate da sinistra e da destra esistono finiti, ma sono diver-si. In questo caso la curva si avvicina al punto da sinistra e da destra con tangenti con pen-denza diversa e si ha quindi:

Graficamente:

limx→x+

0f ′� (x) = + ∞ lim

x→x−0

f ′� (x) = − ∞

limx→x−

0f ′� (x) ≠ lim

x→x+0

f ′ � (x) ≠ ∞

Flesso verticaleC’è ne sono di due tipi:- flesso verticale ascendente:È un punto in cui la funzione si avvicina sia da sinistra che da destra con derivata positiva, quindi in modo crescente, fino ad avere tangente verticale (derivata o pendenza della retta tangente infinita positiva).

- flesso verticale discendente:È un punto in cui la funzione si avvicina sia da sinistra che da destra con derivata negativa, quindi in modo decrescente, fino ad avere tangente verticale (derivata o pendenza della ret-ta tangente infinita negativa).

limx→x+

0f ′� (x) = + ∞ lim

x→x−0

f ′� (x) = + ∞

limx→x+

0f ′� (x) = − ∞ lim

x→x−0

f ′� (x) = − ∞

REGOLE DI DERIVAZONE

FUNZIONI GONIOMETRICHE, ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

DERIVATE FONDAMENTALI

COSTANTE, POTENZE, RADICI, MODULO E SEGNO

INVERSE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Per quanto riguarda le radici quadrate, cubiche, ecc., è possibile calcolare la derivata utiliz-zando le formule relative alle potenze attraverso l’identificazione

Ad esempio, dato che , si ha subito (per x > 0)

Nel caso delle potenze a esponente reale abbiamo volutamente scelto come dominio l’in-sieme degli x > 0 per rendere la trattazione più semplice. Segnaliamo tuttavia che la funzio-ne è definita e derivabile anche in x = 0 se α > 1, mentre `e definita ma non derivabile in x = 0 se 0 < α < 1.

y=f(x)+g(x) ⇒ y’=f’(x)+g’(x)

y=cf(x) ⇒ y’=cf’(x)

y=f(x)g(x) ⇒ y’=f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

Se g(x) ̸= 0

REGOLA DELLA SOMMA

REGOLA DELLA COSTANTE

REGOLA DEL PRODOTTO

REGOLA DEL QUOZIENTE

x1/n = n x x ≥ 0 n = 2,3,4...f (x) = x = x1/2

f ′� (x) = 12 x1/2−1 = 1

2 x−1/2 = 12x1/2 = 1

y = f (x)g (x) ⇒ y′� = f ′� (x) g (x) − f (x) g′� (x)

g2 (x)

y=g(f(x)) ⇒ y’=g’(f(x))f’(x)

Sia f una funzione invertibile e derivabile

REGOLA DELLA FUNZIONE COMPOSTA

REGOLA DELLA FUNZIONE INVERSA

(f −1) (x) = 1f1 (f−1 (x))

Definizione 1

Data una funzione y=f(x) definita in un intervallo I=[a;b], diremo che è crescente in I se ∀ , tali che ⇒ .

Definizione 2

Data una funzione y=f(x) definita in un intervallo I=[a;b], diremo che è decrescente in I se ∀ , tali che ⇒ .

CRESCENZA, DESCRESCENZA MAX E MIN

Dai grafici di cui sopra è evidente che:• Se una funzione è crescente ⇒ il rapporto incrementale in quanto Δf e Δx sono

concordi;

• Se una funzione è decrescente ⇒ il rapporto incrementale in quanto Δf e Δx sono

discordi.

Per individuare gli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione è fondamentale il seguente:

Teorema 1

Data una funzione y=f(x) definita e derivabile in I=[a;b]:

• Se f’(x)>0 ∀x∈I, allora f è crescente in I;• Se f’(x)<0 ∀x∈I, allora f è decrescente in I.

IN PRATICA:

Il teorema precedente è lo strumento fondamentale per individuare gli intervalli di mono-tonia di una funzione derivabile:Per determinare dove una funzione y=f(x) cresce o decresce si calcola la derivata prima della funzione y=f’(x) e si studia il segno, cioè si risolve la disequazione f’(x)≥0:

• La funzione è (strettamente)crescente dove f’(x)>0;• La funzione è (strettamente) decrescente dove f’(x)<0.

Rimane da chiarire la natura dei punti in cui la derivata prima si annulla.

Definizione 3

Data una funzione y=f(x) definita in un intervallo I=[a;b], diremo che xo∈(a;b) è un punto di massimo relativo se è possibile determinare un intorno di xo tale che per ogni x del quale risulti .

Definizione 4

Data una funzione y=f(x) definita in un intervallo I=[a;b], diremo che xo∈(a;b) è un punto di minimo relativo se è possibile determinare un intorno di xo tale che per ogni x del quale ri-sulti .

Osservazioni• I punti di max e di min relativi descrivono il comportamento locale di una funzione (cioè

nell’intorno del punto);• I punti di max e di min assoluti riguardano invece il comportamento globale di una funzio-

ne in tutto il suo dominio.

BMassimo

Minimo

minimo locale

massimo locale

massimo globale

minimo globale

• Un punto di max, min (relativo o assoluto) può trovarsi anche in un punto di discontinuità della funzione oppure in un punto in cui la funzione è continua ma non derivabile:

Il seguente teorema ci fornisce uno strumento fondamentale per la ricerca dei max e min di una funzione:

Teorema 2 (di Fermat)Se la funzione y=f(x), definita e derivabile in un intervallo I=[a;b], ha un massimo o un mini-mo relativo Xo interno all’intervallo I, allora deve risultare f’(Xo)=0.DimostrazioneGeometricamente questo teorema è evidente perché è intuitivo che nei punti di massimo e minimo relativi interni la tangente è parallela all’asse delle ascisse, cioè è del tipo y=k. Quindi il coefficiente angolare della tangente è 0.

Essendo il coefficiente angolare m=f’(xo), per l’interpretazione geometrica della derivata, allora ne consegue f’(xo)=0.

CVDI punti in cui la derivata prima y’ si annulla si definisco punti stazionari.

Osservazioni

• Condizione Necessaria (ma non sufficiente) affinchè un punto interno xo sia di max o di min è che la f’ si annulli in xo (cioè sia un punto stazionario).

• Il viceversa non è vero (la condizione non è sufficiente). Infatti possono esserci dei punti che annullano la derivata prima f’ ma che non sono né max e né min. Dal grafico sotto ri-portato è evidente che la tangente nel punto P è parallela all’asse delle x (e quindi f’(xo)=0 ), però il punto P non è né di max e né di min:

• Il teorema di Fermat ci dice di cercare i punti di max e di min tra i punti interni all’interval-lo che annullano la y’, ma non ci assicura che tali punti siano effettivamente estremanti.

• Il teorema afferma che massimi e minimi relativi interni all’intervallo I devono avere neces-sariamente derivata nulla, ma massimi e minimi agli estremi a e b dell’intervallo possono avere derivata non nulla, come si evince dal grafico sotto riportato:

IN PRATICA:I punti di massimo e di minimo relativi interni di una funzione y=f(x) vanno ricercati tra i pun-ti stazionari (soluzioni dell’equazione f’(Xo)=0) oppure negli eventuali punti interni dove la funzione non è derivabile.Si studia il segno della derivata prima f’(Xo)≥0 per individuare gli intervalli di crescenza e decrescenza:

• se nell’intorno del punto stazionario (o di non derivabilità) la derivata cambia segno è im-mediato stabilire se è un max o un min;

• se nell’intorno del punto stazionario (o di non derivabilità) la derivata non cambia segno, allora non è né max e né min.

Si possono presentare i seguenti casi:

I punti di massimo e minimo assoluti di una funzione y=f(x) definita e continua in un inter-vallo [a;b] vanno ricercati fra:

• i punti stazionari interni all’intervallo;• gli eventuali punti di non derivabilità interni all’intervallo;• i punti x=a e x=b estremi dell’intervallo.

Si calcolano le ordinate di tali punti e si confrontano i valori assunti dalla funzione dai quali si evince direttamente il max e il min assoluti.

x<x₀ x>x₀Segno di f’(x) nell’intorno del

punto Conclusioni

f’(x₀)=0oppure non derivabile

in x₀ f’(x)<0 f’(x)>0 Minimo

Relativo

in x₀f’(x)>0 f’(x)<0 Massimo

Relativo

in x₀f’(x)>0 f’(x)>0

Flesso a tangente

orizzontale

in x₀f’(x)<0 f’(x)<0

Flesso a tangente

orizzontale

x₀ +-

x₀+ -

x₀ ++

x₀- -

Determiniamo massimi e minimi della funzione y=f(x)=x3 –3x.f è continua in R.La derivata è f’(x)=3x2 –3.Studiamone il segno: 3x2 –3>0 ⇒ x2 –1>0 ⇒ x<–1 ∪ x>1.

Studiamo la funzione y = |x2 –1| , cioèf è continua in R.

La derivata è

e non è definita per x=–1, x=1.

Segno di y' :

ESEMPIO

Studiamo la funzione .f è continua in R.

La derivata è se ,e non è definita per x=0.

Segno di y’: y’ <0 se x<0, y’>0 se x>0

ESEMPIO

Ma f ha un massimo in x = 1.

y' < 0 se x < 0, y' > 0 se x > 0.

Ma 1 è un punto di minimo.

y' > 0 se x < 1, y' > 0 se x > 1.

Ma 0 non è un punto estremante.

y' > 0 se x < 0, y' < 0 se x > 0.

y = 3 x2

y′� = 23 3 x

y = 3 x2

Data la funzione y=f(x) definita e continua in un intorno completo Ix0 del punto x0 e derivabi-

le nello stesso intorno, x0 è un punto di flesso orizzontale se sono soddisfatte le seguenti condizioni:• f’(x0) = 0

• il segno della derivata prima è lo stesso per ogni x≠x0 dell’intorno Ix0.

Casi possibili

Funzione crescente in x≠x0

Funzione decrescente in x≠x0

PUNTI STAZIONARI DI FLEX ORIZZONTALE

TEOREMA

RIASSUMENDO

Massimo Relativo Minimo Relativo

Flesso orizzontale discendente

Flesso orizzontale ascendente

Troviamo i punti di massima e minima relativa e di flesso orizzontale della funzione:

La funzione è definita e continua per ogni x ∈ R• Calcoliamo la derivata prima e determiniamo il suo dominio.

f’ (x) esiste ∀ x ∈ R

• Risolviamo l’equazione f’ (x) = 0. Si ha x (x - 2)² = 0 per x = 0 e x = 2.Quindi x = 0 e x = 2 sono punti stazionari.

• Studiamo il segno di f’ (x). . Si ha .Compiliamo il quadro dei segni.

Dallo schema deduciamo che:

• per x = 0 si ha un punto di minimo relativo di coordinante (0;0), essendo f (0) = 0;

• per x = 2 si ha un flesso orizzontale perché il segno della derivata prima è lo stesso in un intorno di 2, tale punto ha coordinate , essendo

ESERCIZI

x (x - 2)² > 0

x > 0 e (x - 2)² > 0 ∀x≠2

f’(x) = x³-4x²+4x = x (x²-4x+4) = x (x-2)²

f (x) = 14 x4 − 4

3 x3 + 2x2

(2; 43 ) f (2) = 4

La ricerca del massimo o del minimo assoluto di una funzione trova una importante appli-cazione nella risoluzione dei problemi di max e min (problemi di ottimizzazione).

In tali problemi una certa grandezza è espressa in funzione di una variabile indipendente. Si tratta di determinare i valori di tale variabile che rendono appunto massima o minima il valore della grandezza richiesta.

Nel risolvere i problemi di massimo e minimo si deve quindi:a. Scegliere l’incognita tramite cui esprimere la grandezza di cui si cerca il max o il min;b. Stabilire i limiti in cui varia l’incognita;c. Determinare la funzione che modelizza il problema;d. Individuare il max o il min assoluti della funzione con le tecniche dell’analisi studiate;

L’incognita può essere un lato oppure un angolo e, a secondo della scelta,si useranno teo-remi di geometria classica (Pitagora , Euclide…) oppure di trigonometria. Normalmente qualche elemento della figura deve essere costante( un segmento, l’area, la superficie late-rale o totale, il volume...) e questo fornisce la relazione che permette di esprimere le gran-dezze coinvolte nel problema in funzione dell’incognita.La ricerca del max o del min può anche coinvolgere problemi di geometria analitica, in tal caso la grandezza variabile è generalmente legata ad un punto P(x;y) che varia su una cur-va data (retta, parabola, circonferenza...).

PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO

Tra tutti i rettangoli iscritti in un cerchio di raggio r trovare quello di area massima.

Pongo come incognita x uno dei dei lati del rettangolo AC=x.Con 0 ≤ x ≤ 2r e per il teorema di pitagora . Allora Come si può osservare agli estremi, ovvero per x=0 e per x=2r.

L’area è uguale a zero. (e quindi minimi assoluti). Per trovare l’area massima considero la derivata dell’area in funzione di x e la pongo uguale a zero.

il massimo c’è l’ho per x=√2r che il lato del quadrato inscritto.

Se pongo como incognita α=ADC con 0 ≤ α ≤ 90° AC = 2r sin α e CD = 2r cos α da cui

da cui -45° ≤ α ≤ 45° per cui il massimo è dato da α = 45°.

Oppure più semplicemente da cui -90° ≤ 2α ≤ 90°.

PROBLEMA 1

a4r2 − x2

Tra tutti i triangoli isosceli iscritti in un cerchio di raggio r trovare quello di area massima.

Pongo come incognita x, KC = x.Con 0 ≤ x ≤ r , e dato che Pitagora applicato al triangolo OKC ho che: KC = x,

Allora

Come si può osservare agli estremi, ovvero per x=0 e per x=2r L’area è uguale a zero. (e quindi minimi assoluti). Per trovare l’area massima considero la derivata dell’area in fun-zione di x e la pongo uguale a zero.

PROBLEMA 2

Da cui BC = √3r lato del triangolo equilatero inscritto.Se pongo come incognita α = AKC con 0 ≤ α ≤ 90° AC = 2r cos α e KC = AC sin α = 2r sin α cos α

da cui

Sia data la parabola di equazione , trovare il rettangolo di area massima inscrit-to nel parte di piano compresa tra la parabola e l’asse x.

La parabola ha vertice il punto V (2;4).Considero la retta y=k e siano A e B i punti in cui interseca la parabola

e siano e

Poniamo come incognita AA’=k dove 0 ≤ k ≤ 4

PROBLEMA 3

osserviamo che per k=0 e per k=4 l’area è uguale a 0 e quindi minimo assoluto.

Trovare due numeri la cui somma è 18 e il cui prodotto è massimo.

Pongo un numero uguale a x e l’altro uguale a y di modo che 0 < x < 18

derivo la funzione prodotto per trovare il max

p’(x) = 18 - 2x ≥ 0 da cui x ≤ 9. Quindi il massimo lo ottengo per x=9

osserviamo che il massimo è per x=y=9.

In tutti i problemi simmetrici, cioè nei problemi in cui si scambia la x con la y e si non cam-bia il sistema il massimo o il minino lo ottengo per y=x. Lo stesso avviene nella geometria, quando ottengo configurazioni simmetriche il massimo o il minimo lo ottengo quando la configurazione si trasforma in se stessa. Esempio tra tutti i rettangoli inscritti in una circon-ferenza il rettangolo di area massima è il rettangolo è il quadrato ecc.

da cui

PROBLEMA 4

Data la parabola ,si consideri il punto P di essa che ha ascissa k. Determinare k in modo che risulti minima la distanza del Punto P dalla retta x-y-1=0.

r : x-y-1=0 r : y=x-1

Devo trovare in modo d(P,r) = min ima

Osserviamo che è sempre positiva da cui

Tra tutti i triangoli isosceli di perimetro 2p trovare quello di area massima.

PROBLEMA 5

Max k=1/2

PROBLEMA 6

B CHx x

Intanto trovo AH: e quindi

Da cui

Derivando ho che

Da cui:

Massimo per da cui

Come si vede il triangolo di area massima è equilatero.

E’ data una semicirconferenza di diametro AB=2r. Si determini un punto C tale che, detta D la proiezione ortogonale di C sua AB, risulti massima la somma CD+DB.

I modo CAB = x 0 < x < 90CB = 2r sin x CD = CB cos x = 2r sin x cos x

Da cui

massimo.

Oppure

AD = x 0 < x < 2r DB = 2r-x

PROBLEMA 7

x 90-xD

-π/8 +- --π/8 3π/8

x2r-xD

I modo

Da cui la somma è positiva per e quindi ho un massimo

II modo Bastava solo quadrare la relazione.

Ottenendo due valori e non avendo fatto la discussione rigorosa vado a vedere per quale dei due valori ottengo il massimo.

quindi il massimo lo ho per

Osserviamo che

0 2r2-√22

Fra tutti i cilindri della stessa superficie totale quale è quello di volume massimo?

ricavo h dalla prima e sostituisco alla seconda

valore massimo

Osserviamo che

L’altezza è il doppio del raggio, ossia è uguale al diametro, e quindi il massimo lo ottengo quando il cilindro è equilatero. Ancora una volta un problema di simmetria.

PROBLEMA 8

Fra i coni circoscritti ad una sfera di raggio R, determinare quello di superficie minima.

Ora occorre trovare una relazione tra r ed h. al solito la troviamo nel triangolo rettangolo ADC.Dato che AH=h HD=2R-h e quindi per il teorema di Euclide

Da cui

PROBLEMA 9

rHB CVisto in sezione

Osserviamo che il diametro è uguale a e che l’apotema è

E quindi il cono è il cono equilatero ovvero la cui sezione è un triangolo equilatero.

Si dice che la funzione y = f(x) è convessa (volge la concavità verso l’alto) nel punto Xo se esiste un intorno I di Xo in cui il grafico della funzione non è mai al di sotto della retta tan-gente alla curva nel punto Xo.Si dice che la funzione y = f(x) è concava (volge la concavità verso il basso) nel punto Xo se esiste un intorno I di Xo in cui il grafico della funzione non è mai al di sopra della retta tangente in Xo alla curva.

Graficamente:

Dove la funzione ha la concavità verso il basso, la funzione giace al di sotto della tangente, dove la funzione ha la concavità verso l’alto (convessa) la funzione giace al di sopra della tangente:

CONCAVITÀ E FLESSI DI UNA FUNZIONE

0 Funzione Convessa

P₀=(x₀; f(x₀))t

0 Funzione Concava

P₀=(x₀; f(x₀))

convessa(o concava verso l’alto)

concava(o concava

verso il basso)

Si dice che il punto di ascissa Xo è un punto di flesso se in tale punto la concavità della fun-zione cambia: nell’intorno sinistro Xo la curva si trova al di sotto della retta tangente e nel-l’intorno destro si trova al di sopra della tangente o viceversa. In tale punto la tangente at-traversa la curva.

Per determinare gli intervalli dove una funzione ha la concavità verso l’alto, verso il basso ed individuare gli eventuali punti di flesso si ricorre ai seguenti teoremi:

Teorema 1Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo I e sia Xo un punto interno ad I in cui la fun-zione è derivabile due volte. Se Xo è un punto di flesso, allora f’’(Xo)=0.

OsservazioneLa condizione f’’(Xo)=0 è necessaria ma non sufficiente a garantire che il punto Xo sia di flesso. Teorema 2 Sia y = f(x) una funzione due volte derivabile nei punti interni di un intervallo I. Se è f’’(x) >0 per ogni x appartenente a I allora la funzione è, in I, concava verso l’alto. Se è f’’(x) < 0 per ogni x appartenente a I, allora la funzione è, in I, concava verso il bas-so.

Concavità verso l’altof’(x) > 0 P (x;y)

Concavità verso il bassof’(x) < 0 P (x;y)

Cambio di concavitàf’(x) = 0 P (x;y)

In pratica:

• Per determinare gli intervalli di concavità si esegue la derivata seconda y’’ e si studia il se-gno risolvendo la disequazione y’’≥0.

• Gli eventuali punti di flesso si trovano tra i punti che risolvono l’equazione y’’=0: se in cor-rispondenza di questi punti la y’’ cambia segno, allora è un flesso, altrimenti non lo è.

La tangente nel punto di flesso Xo ( interno ad un intervallo I dove la funzione è derivabile almeno 2 volte) si definisce tangente inflessionale ed ha equazione:

Y-f(Xo)= f’(Xo)(x-Xo)

Secondo la posizione che assume la tangente inflessionale rispetto al sistema cartesiano si parla di:

• flesso con tangente orizzontale se f’(Xo)=0 e f’’(Xo)=0

• flesso con tangente obliqua se f’(Xo)≠0 e f’’(Xo)=0

flesso a tangente orizzontale

OsservazioneIn un punto di non derivabilità (con derivata infinita dello stesso segno) possiamo avere un flesso a tangente verticale.

Esercizi svolti

1)Determinare i flessi e gli intervalli dove la curva volge la concavità verso l’alto e verso il basso. Scrivere l’equazione della tangente inflessionale.

flesso a tangente verticale

Una curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontale. Per rendere questo un teorema è necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrar-lo.

Intuitivamente:Senza salti = funzione continuaSenza spigoli = funzione derivabilePunti a uguale ordinata: f(a)=f(b)Punto a tangente orizzontale: f’(c)=0

Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]:• continua su tale intervallo• derivabile in (a,b).• e sia f(a)=f(b)Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che f’(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELL’ ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

tangente

a bpunto a tangente orizzontale

Michel Rolle(1652-1718)

CASO 1: sia f una funzione costante.

In tal caso il teorema è banale perché una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c è un punto qualsiasi dell’intervallo.

CASO 2: sia f non costante.

Poiché la funzione è continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.Poiché la funzione non è costante massimo e minimo sono diversi (M≠m), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dell’intervallo [a,b], altri-menti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b).

DIMOSTRAZIONE

tangente

curvaPunti a tangente orizzontale: TUTTI!

F(a)=F(b)

Supponiamo che sia M a cadere all’interno dell’intervallo e che c sia la sua ascissa

f(c)=M

In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, è anche punto di massimo relativo.

Ma sappiamo che il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata è uguale a zero, quindi

f’(c)=0

Osservazione:Il teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un pun-to stazionario: una funzione può avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi.

1. Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e non hanno punti stazionari.

y=|x| [-1,1] y=x [0,1]

2. La funzione Y=√(1-x2) in [-1,1] soddisfa il teorema di Rolle?

ESERCIZI

Siano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b]:• continue su tale intervallo• derivabili in (a,b).• e sia g(a)≠g(b), g’(x)≠0 Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) così definita:

F(x)=f(x)-K xg(x)

Dove K è una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle.

Poiché f e g sono continue e derivabili anche F lo è, quindi basta fare in modo che sia:

F(a)=F(b)

Sostituendo:

f(a) - K xg(a) = f(b) - K xg(b)

Con qualche calcolo si ricava il valore di K

TEOREMA DI CAUCHY

Augustin Louis Cauchy(1789-1857)

DIMOSTRAZIONE

Poiché con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno all’intervallo in cui risulta:

F’(c)=0

Ma poiché F è:

F(x) = f(x) - K xg(x)

Derivando:

F’(x) = f’(x) - K xg’(x)

E uguagliando a zero:

0 = f’(x) - K xg’(x)

Ovvero:

E ricordando che K è:

Sostituendo:

Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]• continua su tale intervallo• derivabile in (a,b). Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

Il teorema è un caso particolare di quello di Cauchy.Infatti basta ricordare la formula di Cauchy

E prendere g(x) = x

Infatti se g(x)=x allora:

g(a)=a g(b)=b g’(c)=1

E inserendo questi risultati nella formula:

TEOREMA DI LAGRANGE O DEL VALORE MEDIO

Giuseppe Luigi Lagrange(1736-1813)

DIMOSTRAZIONE

Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico, infatti:

è il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dall’arco di curva.Mentre, f’(c) è il coefficiente angolare della tangente alla curva in C.Il teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono uguali.

Ma se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele.Quindi: in un arco di curva regolare c’è sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda sottesa all’arco.

tangentecor-

Siano f (x) e g(x) due funzioni definite nell'intorno H di un punto a, tranne, al più il punto stesso.Se valgono le seguenti ipotesi:

• f (x) e g(x) sono continue in x=a e f(a)=g(a)=0;• f(x) e g(x) sono derivabili in Ho=H‑{a};• g'(x) è diversa da zero in HO;

• esiste (finito o infinito) il limite del rapporto delle derivate.

allora esiste anche

e risulta:

Ossia esiste anche il limite del rapporto delle funzioni ed è uguale al limite del rapporto del-le derivate.

Osservazioni:

a. Il teorema di De L’Hopital si applica direttamente alle forme indeterminate 0/0 e ∞/∞.b. Nel caso delle forme indeterminate 0�∞ oppure ∞-∞ ci si deve riportare alle forme in-

determinate di qui sopra prima di applicarlo.

TEOREMA DI DE L’HOPITAL

Stabilire se ciascuna delle funzioni di seguito indicate nel rispettivo intervallo assegnato soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle ed in caso affermativo determinare il punto (o i pun-ti) previsti nella tesi del teorema.

1. , in [-1;1]La funzione è definita su tutto R, è continua e derivabile, inoltre, risulta f(-1)=f(1)=-1. Soddi-sfa pertanto le ipotesi del teorema di Rolle. Determiniamo la derivata prima ed uguagliamo-la a zero. L’equazione è soddisfatta per x1=0, x2 =-1, x3=1 dei quali però solo x=0 è interno all’inter-vallo assegnato e rappresenta l’unico punto che verifica la tesi del teorema.

2. , in [0;∏/2]La funzione è definita su tutto R, è continua e derivabile, inoltre, risulta f(0)=f(p/2)=1. Soddi-sfa pertanto le ipotesi del teorema di Rolle. Determiniamo la derivata prima ed ugualiamola a zero.

f’(x) = cos x - 2cos x �sen x = cos x (1 - 2sen x) = 0

La derivata prima, limitatamente all’intervallo [0;∏/2] si annulla nei punti e dei quali solo il primo è interno all’intervallo e dunque è quello che verifica la tesi del teore-ma.

ESERCIZI

3. , in [-1;1/2]Osserviamo subito che la funzione è definita nell’insieme (-∞;-1/2) ∪ (0;+∞) e l’intervallo as-segnato non è contenuto nel dominio. Cade dunque la condizione sulla definizione nell’in-tervallo assegnato; il teorema di Rolle non è applicabile.

4. Verificare il teorema di Rolle per la funzione nell’intervallo [-1,0].

Nell’intervallo indicato la funzione risulta continua e derivabile, inoltre f(-1) = f(0) = 0.Quindi è possibile applicare il teorema di Rolle. Per determinare c risolviamo l’equazionef '(x) = 0.

f'(x)=1+2x dacui c=−1/2 interno a [-1,0].

5. Verificare il teorema di Rolle per la funzione y = |x − 3| nell’intervallo [-1,7].

Il teorema non è applicabile, in quanto la funzione non è derivabile per x=3, interno all’inter-vallo dato [-1,7]. Il punto x=3 è infatti un punto angoloso.Infatti

x = π2

y = sin (x) + cos (x)2

6. Verificare il teorema di Rolle per la funzione nell’intervallo [-1;1].

Non è applicabile il teorema di Rolle in quanto nel punto x=0 interno a [-1;1] la funzione non è definita (quindi non è continua nè derivabile).

7. Verificare il teorema di Rolle per la funzione

La funzione è definita nell’intervallo [1,4] e agli estremi di questo assume valori uguali. Tut-tavia non è continua in x = 3. L’esistenza del punto stazionario c nell’intervallo indicato non è garantita.

8. Data la funzione , mostrare mediante Rolle che essa non può avere più di una radice nell’intervallo [-1,1], qualunque sia il valore di a.

La derivata della funzione è

allora f '(x) = 0 per x = ±1, ovvero la derivata non si annulla mai nei punti interni all’interval-lo [-1,1]. Supponiamo ora, per assurdo, che la funzione data abbia due radici distinte x1 e x2 con−1≤x1 <x2 ≤1.Risulterebbe che f(x1) = f( x2) = 0 con f(x) continua in [x1;x2] e derivabile in (x1;x2). Alla fun-zione f(x) sarebbe allora applicabile il teorema di Rolle relativamente all’intervallo [x1;x2]. Dovrebbe pertanto esistere almeno un punto c con

−1≤x1 <c<x2 ≤1

tale che f’(c)=0; ciò è in contrasto con le osservazioni fatte in precedenza sull’annullamen-to della derivata prima. Si esclude che la funzione, per qualsiasi a, non può avere più di una radice nell’intervallo [-1,1].

y=x per 1≤x≤3 -x+5 per 3<x≤4

9. Sia g(x) una funzione derivabile in tutto l’intervallo I = [1,2] e tale che g(2) = 1. Mostrare, senza eseguire la derivazione e facendo ricorso al teorema di Rolle, che la derivata della funzione

si annulla in almeno un punto interno a I.

Calcolando i valori della funzione f(x) agli estremi dell’intervallo I risulta:

f(1)=(g(1)−sinπ)log1=0

La funzione f(x), come somma e prodotto di funzioni continue e derivabili in I, è funzione continua e derivabile in I. E’ quindi applicabile il teorema di Rolle, che assicura l’esistenza di almeno un punto c ∈ (1,2) nel quale risulta che f'(c)=0.

10. Applicare il teorema di Lagrange alla funzione nell’intervallo [-1,3].

Verifichiamo prima le condizioni che costituiscono le ipotesi del teorema: la funzione è deri-vabile, quindi continua, ∀x∈R, perciò anche nell’intervallo richiesto. Esiste allora almeno un punto c ∈ (−1,3) che verifica la relazione

Ora f(3)=30, f(-1)= -6 e da cui .

La (3) diventa , risolvendo .

Transcurando il valore ∉ (-1;3), si ottiene che ∈ (-1;3).

11. Il teorema di Lagrange non è applicabile alla funzione nell’intervallo [-1,1]: infatti nel x punto x=0 la funzione non è continua. Il teorema di Lagrange non è applicabile neppure alla funzione y = |x| nell’intervallo [–2,3]: infatti a tale intervallo appartiene il punto x=0, in cui la funzione, pur essendo continua, non è derivabile.

12. Verificare il teorema di Lagrange per la funzione nell’intervallo [1,3].

Dato che la funzione non è derivabile in x=2, interno a [1,3], il teorema non è applicabile.Se l’intervallo fosse [3,5], la funzione è qui continua e derivabile, quindi è possibile determi-nare il punto c.

La derivata risulta , quindi, ponendo

si giunge all’ equazione che ha come soluzioni c = 2 ±√3, da cui accettia-mo solo la soluzione c = 2 +√3 ∈ (3;5).

13. Trovare le coordinate del punto M, posto sull’arco AB della curva di equazione , sapendo che la tangente alla curva in tale punto è parallela alla corda AB, e che A(1;1) e B(3;-3). Il coefficiente angolare della retta AB è

Nel punto richiesto, di ascissa c, deve risultare, in accordo con l’interpretazione geometri-ca del teorema di Lagrange:

−2= f'(c)=2−2c , da cui c=2.

14. Dimostrare, applicando il teorema di Lagrange alla funzione , che

Il teorema di Lagrange, applicato nell’intervallo [0,x], offre la relazione f(x) − f(0) = x ⋅ f '(c),che, applicata alla funzione assegnata, diventa

Se x>0 , risulta 0 < c < x e quindi successivamente:

quindi, dalla (5), , che verifica la (4).

Se invece x<0, risulta x < c < 0 e quindi

e ancora dalla (5), , che verifica la (4).

Se infine x=0 , la (4) è evidentemente verificata con il segno di uguaglianza.

Una funzione parametrica è una funzione che dipende dal valore di uno o più parametri che compaiono nella sua espressione ( si tratta quindi di un fascio di funzioni). Tali parame-tri devono essere determinati da ben precise condizioni imposte dal problema stesso.

Si sintetizzano le condizioni e le procedure da applicare nella ricerca dei valori che posso-no assumere gli eventuali parametri nei casi più comuni:

FUNZIONI PARAMETRICHE

Passaggio per un punto P(xo;yo)Equivale ad una condizione:

Sostituire nella funzione yo = f(xo)

Viene data l’equazione di una tangente y=mx+q

in un punto di ascissa xo

Equivale a due condizioni:

Dove f(xo) si ottiene sostituendo il punto (xo) nell’equazione della retta data

in un punto P(xo;yo)

Vengono date le coordinate P(xo;yo) di un punto di max o di un punto di minimo

(estremanti)

Vengono date le coordinate P(xo;yo) di un punto di flesso

Viene data l’equazione di un asintoto verticale X=Xo

Equivale ad una condizione:Se la funzione è razionale fratta il

denominatore si deve annullare in xo

Viene data l’equazione di un asintoto orizzontale y=l

Equivale ad una condizione:il valore del limite all’∞ deve essere l

Viene data l’equazione di un asintoto obliquo y=mx+q Equivale a due condizioni

Viene data l’equazione y=mx+q di una parallela ad una tangente in un

punto di ascissa xo

Equivale ad una condizione f’(xo)=m

Viene data l’equazione y=mx+q di una perpendicolare ad una retta tangente in

un punto di ascissa xo

Equivale ad una condizione

• Si calcola la derivata prima y’ in funzio-ne del parametro e si pone uguale ad m: y’=m;

• Si ricava la x in funzione del parame-tro;

• Si ricava l’ordinata sostituendo la x tro-vata nella funzione;

• Si sostituiscono tali coordinate nel-l’equazione della retta.

Viene data l’ordinata yo di un punto estremante

• Si calcola la derivata prima y’ in funzio-ne del parametro e si risolve y’=0;

• Si ricava la x e la corrispondente y so-stituendola nella funzione;

• Si uguaglia la y ottenuta ad yo;

Esercizio 1

Quali sono i valori dei coefficienti a e b della funzione , sapendo che ha un asinto-

to verticale di equazione x=2 ed inoltre ha un massimo relativo di ordinata -1?

SvolgimentoSapendo che la funzione ha un asintoto verticale di equazione x=2 si ha che

L’identità si verifica quando il denominatore →0, quindi si ottiene 22 − b = 0 → b = 4 .Pertanto, sostituendo il valore appena determinato nella funzione data si ottiene . Per poter sfruttare la seconda condizione si calcola la derivata prima,

ossia: .

Poichè la condizione necessaria affinchè la funzione abbia un massimo relativo è l’annullar-si della sua derivata prima, si pone f’(x)=0, cioè -2ax=0, ossia x=0 è il massimante, pertan-

to, sostituendo il massimante e la relativa ordinata nell’equazione si ottiene

. Quindi la funzione data ha equazione .

Grafico

ESERCIZI

limx→2

ax2 − b

y = ax2 − 4

y = 4x2 − 4

−1 = a0 − 4 → a = 4

f ′� (x) = −2ax

(x2 − 4)2

Esercizio 2Quali sono i valori dei coefficienti a e b della funzione y = x2 − ax2 + bx − 1 , sapendo che passa per il punto A (2;1) ed inoltre ha un flesso a tangente orizzontale?

SvolgimentoSapendo che la funzione passa per il punto A (2;1) si ha 1 = 8 − 4a + 2b − 1 → b = 2a − 3. Sostituendo tale valore nella funzione iniziale si ottiene y = x3 − ax2 + (2a − 3) x − 1 . Per po-ter sfruttare la seconda condizione si calcola sia la derivata prima che la derivata seconda, ossia: f ′� (x) = 3x2 − 2ax + 2a − 3 e f ′�′� (x) = 6x − 2a .

Poichè la condizione necessaria affinchè la funzione abbia un flesso è l’annullarsi della sua derivata seconda, e affinchè il flesso sia a tangente orizzontale si deve annullare anche la derivata prima, pertanto, si pone sia f’(x)=0, che f”(x)=0.

Per a = 3 → b = 3 . Quindi la funzione ha equazione y = x3 − 3x2 + 3x − 1 , ossia y = (x − 1)3.

Grafico

3x2 − 2ax + 2a − 3 = 06x − 2a = 0

3x2 − 2ax + 2a − 3 = 0x = a

3→ a2 − 6a + 9 = 0 → (a − 3)2 = 0 → a = 3

Esercizio 3Determinare i coefficienti α e β della funzione y = αx4 + βx2 sapendo che ha un minimo relativo nel punto A (1;-1).

SvolgimentoSapendo che la funzione passa per il punto A (1;-1) si sostituiscono le coordinate del pun-to nell’equazione della funzione, cioè −1 = α + β → α + β = − 1 . Inoltre, essendo il punto A un minimo relativo della funzione data, si ha che l’ascissa del punto annulla necessaria-mente la derivata prima. Pertanto, si calcola la derivata prima della funzione y = αx4 + βx2 , cioè f ′� (x) = 4αx3 + 2βx e si pone f’(1)=0, quindi 4α + 2β = 0 → 2α + β = 0 . Si mettono a sistema le due condizioni trovate, cioè:

Risolvendo il sistema di primo grado si ricavano le soluzioni, ossia: α=1 e β=-2.Quindi la funzione ha equazione y = x4 − 2x2 .

Esercizio 4Data la funzione , si determini k in modo che il grafico di f(x) risulti tangen-te alla retta y=6. Verificare che k=3.

SvolgimentoSi calcola la derivata prima e si uguaglia al coefficiente angolare della tan-gente data che nel nostro caso è 0.Dall’equazione si ricavano i valori x=0 e .

Sostituendo il valore nella funzione si ottiene:

Quindi il punto di tangenza in funzione nel parametro k ha coordinate:

Sostituendo tali coordinate nell’equazione della tangente data y=6 si ottiene:

Risolvendo l’equazione cioè si ottiene la soluzione k=3. La funzione da studiare ha quindi equazione

α+β=-1

2α+β=0

Esercizio 5Per quali valori dei coefficienti a, b, c la funzione passa per l’origine degli assi cartesiani, passa per il punto P (8;2) e ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y=1?

Esercizio 6Data la funzione , determinare i coefficienti a e b sapendo che ha un estremante nel punto A (3;6). Verificare che a=1 e b=3.

DominioIndividuare il campo di esistenza della funzione.

SimmetrieSe il Dominio è simmetrico rispetto allo 0, si studia l’eventuale parità o disparità di f(x):se f ( ─ x) = ─ f (x) funzione Dispari simmetria rispetto all’ origine Ose f ( ─ x) = f ( x) funzione Pari simmetria rispetto all’asse Y

Intersezioni con gli Assi CartesianiMettere a sistema la funzione f(x) con le equazioni degli assi cartesiani ( asse Y : x = 0 ; asse X : y = 0 );

Limiti agli Estremi del DominioSe il Dominio della funzione è del tipo D = ( ─ ∞ , k) U ( k, + ∞ ) si devono calcolare:

AsintotiSi possono avere 3 tipi di asintoti: Orizzontali: y=k se oppure

Verticali: se il punto di ascissa C è un punto critico della funzione e se risulta allora la retta x=c è un asintoto verticale. Se la funzione ha asintoti orizzontali, non presenta asintoti obliqui.

Obliqui: rette oblique di equazione y = m �x + q; con

STUDIO DI UNA FUNZIONEPer studiare una funzione bisogna:

limx→+∞

f (x) limx→−∞

f (x) limx→k+

f (x) limx→k−

limx→+∞

f (x) = k limx→−∞

f (x) = k

limx→c

f (x) =+− ∞

m = limx→

f (x)x

q = limx→

f (x)x

− mx

Positività della funzioneRisolvendo la disequazione f(x)>0 si determinano gli intervalli in cui la funzione è positiva (sopra l’asse x) o negativa (sotto l’asse x).

Intervalli di MonotoniaRange di x in cui la funzione è Decrescente o Crescente ottenuti studian-

do il segno della derivata prima f ’ (x) della funzione:

• se f ’ (x) > 0 la funzione è crescente • se f ’ (x) < 0 la funzione è decrescente

Punti a Tangente OrizzontaleSi cercano gli zeri della derivata prima. Se f’(xo)=0 il punto xo è detto Stazionario o critico.

xo = Massimo Relativo se f’(x) > 0 per x < xo e f’(x) < 0 per x > xo

xo = Minimo Relativo se f’(x) < 0 per x < xo e f’(x) > 0 per x > xo

xo = Flesso Descrescente a tan. Orizz. se f’(x) < 0 per x < xo e f’(x) < 0 per x > xo

xo = Flesso Ascendente a tan. Orizz. se f’(x) > 0 per x < xo e f’(x) > 0 per x > xo

funz. crescente funz. decrescente

Punti di non derivabilitàxo è un punto in cui la funzione è continua ma non derivabile, cioè appartiene al Dominio D della funzione ma non appartiene al Dominio D’ della derivata. Se f(x) è definita a tratti o ha valori assoluti ( e xo la separa in più funzioni) f(x) deve essere continua in xo , cioè devono essere uguali e finiti i limiti destro e sinistro in xo. . Dopo si deriva.

Si calcolano i limiti destro e sinistro della derivata in xo. ;

Punto Angoloso: se ed almeno uno dei due limiti è finito.

Flesso a Tangente Verticale: oppure

Cuspide: o

Concavità e ConvessitàSi studia il segno della derivata seconda: f” (x) > 0

Se f”(xo)=0 e f’(xo)≠0 x0 è un punto di Flesso (punto in cui la funzione cambia concavità).se xo f”(xo)=0 e f’(xo)=0 , analizzando i grafici di monotonia si determina se xo è un Flesso a tangente orizzontale, un massimo o un minimo.

f”(x)>0 funzione Convessa ; f”(x)<0 funzione Concava

limx→x +

0f (x) = lim

x→x −0

l+ = limx→x +

0f′�(x) l− = lim

x→x −0

f′�(x)

l+ ≠ l−

l+ ≠ l− = + ∞ l+ = l− = − ∞

l+ = + ∞ e l− = − ∞ l+ = − ∞ e l− = + ∞

Studiamo il grafico della funzione:

Dom: (f) = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,+∞).

L’equazione f(x)=0 ha un unica soluzione x=0 che fornisce l’unica intersezione con gli assi coordinati.

La funzione risulta essere dispari f(x)= −f(−x).

I limiti interessanti (per punti di accumulazione estremi di intervalli contenuti nel dominio).

La retta di equazione y=0 è un asintoto orizzontale, mentre la retta di equazione x=1 e la retta di equazione x= −1 sono asintoti verticali.

A questo punto sarebbe possibile una prima bozza del grafico ...

ESERCIZI

y = xx2 − 1

limx→+∞

xx2 − 1 = 0 lim

x→1−

xx2 − 1 = − ∞ lim

x→1+

xx2 − 1 = + ∞

Calcoliamo la derivata prima:

Il denominatore è sempre positivo mentre il numeratore è sempre negativo. La derivata pri-ma è sempre strettamente negativa:• le restrizioni della f in ogni intervallo componente il dominio sono strettamente decrescen-

Attenzione: parliamo di restrizioni non dell’intera funzione.• Non vi sono punti stazionari.

Calcoliamo la derivata seconda:

Lo studio del segno della derivata seconda `e riassunto nella seguente tabella:

Primo schizzo del grafico di f(x)

f ′� (x) =1 ⋅ (x2 − 1) − x ⋅ (2x)

(x2 − 1)2 = −x2 − 1

(x2 − 1)2 , x ≠+− 1

f ′�′� (x) =−2x ⋅ (x2 − 1)2 − (−x2 − 1) ⋅ 4x ⋅ (x2 − 1)

(x2 − 1)4 = 2x3 + 6x

(x2 − 1)3

La funzione risulta essere concava negli intervalli (−∞,−1) e (0, 1) (separatamente) e conves-sa negli intervalli (−1, 0) e (1,+∞) (separatamente). Il punto x = 0 risulta essere un punto di flesso.

Da tutte le informazioni raccolte deduciamo il grafico qualitativo della funzione f.

Classificazione e C.E.Funzione algebrica razionale fratta di quarto grado. C.E.: ∀x∈R - {1}

SimmetrieLa funzione non è simmetrica, infatti ponendo si ha che ,

cioè f(x) = ±f(-x).

Studio del segno

Si pone: , ossia:

La funzione è positiva per x < 0 e per x > 1, è negativa per 0 < x < 1, inoltre, è nulla per x=0, mentre non esiste per x=1.

IntersezioneLa funzione data passa per l’origine degli assi cartesiani.

STUDIO COMPLETO DI UNA FUNZIONE ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA

→ →

0 1 xy

D(x)+ - + 0

y = 2x3

x3 − 1

AsintotiLa funzione ha un asintoto verticale, infatti:

sapendo che e allora x=1 è l’equazione del-l’asintoto verticale.

Inoltre, , quindi la funzione ha un asintoto orizzontale di equazione y=2.

Crescenza e decrescenzaCalcolando la derivata prima si ha:

studiando il segno della derivata prima si ottiene: mai tranne che per

pertanto, essendo la derivata prima negativa ∀x∈R - {0;1} la funzione data è crescente per ∀x∈R - {0;1}, mentre, la derivata prima è nulla per x=0 e non esiste per x=1.

Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontaleLa funzione data presenta un punto di flesso discendente a tangente orizzontale nell’origi-ne degli assi cartesiani.

Concavità e convessità Calcolando la derivata seconda si ha:

0 (1) x

D(x)-- - 0

limx→1−

x3 − 1 = − ∞ limx→1+

x3 − 1 = + ∞

limx→+∞

x3 = limx→−∞

x3 = 2

Studiando il segno della derivata seconda della funzione si ottiene:

pertanto, per e per 0 < x < 1 la f”(x) è negativa, quindi la f(x) è concava verso il

basso, mentre per e per x > 1 la f”(x) è positiva, quindi la f(x) è concava

verso l’alto, inoltre, si annulla per e per x=0, infine non esiste per x=1.

Flessi a tangente obliquaLa funzione data presenta, oltre il punto di flesso a tangente orizzontale nell’origine degli

assi cartesiani, un punto di flesso discendente a tangente obliqua in .

Grafico

→ →

D(x)+ - +0

Classificazione e C.E.Funzione trascendente logaritmica.La presenza del logaritmo impone che sia x > 0. Il C.E. è [0;+∞].

SimmetrieLa funzione non è simmetrica.

Studio del segnoSi pone x ln x ≥ 0 ossia:

1 fattore: x ≥ 02 fattore: ln x ≥ 0 → x ≥ 1

quindi la funzione data è positiva in [1;+∞], mentre è negativa in [0;1], infine è nulla per x=1. (Si ricorda che per x=0 la funzione non è definita).

Intersezione con gli assi cartesianiLa funzione data interseca l’asse delle ascisse nel punto A (1;0).

AsintotiLa funzione non ha asintoti, infatti:

STUDIO COMPLETO DI UNA FUNZIONE TRASCENDENTE LOGARITMICA

0 1 xy

1 fattore

- +02 fattore

y = x ln x

limx→0+

x ln x = limx→0+

= limx→0+

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0−

quindi non esiste l’asintoto verticale.

Inoltre, , quindi non esiste l’asintoto orizzontale.

Infine, , quindi non esiste l’asintoto obliquo.

Crescenza o decrescenzaCalcolando la derivata prima si ha:

, ossia:

y’ = ln x + 1.

Studiando il segno della derivata prima si ha:

Se ne deduce che la derivata prima è positiva per , quindi la funzione data è cre-scente in , mentre è negativa per , quindi la funzione è negativa in .Inoltre, la derivata prima è nulla per .

Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale

La funzione data ha un minimante nel punto di ascissa , quindi, essendo ,

la funzione presenta un minimo relativo (anche assoluto) nel punto .

Concavità e convessitàStudiando il segno della derivata seconda ed essendo la funzione y = x ln x definita nel se-miasse delle ascisse positive, si ha, necessariamente, che la derivata seconda è sempre positiva in [0;+∞] , quindi la funzione data volge la concavità verso l’alto in tutto il suo cam-po di esistenza. Inoltre, poiché la derivata seconda non si annulla non ci sono punti d’in-flessione.

→ →

limx→+∞

x ln x = + ∞

limx→+∞

x ln xx

= limx→+∞

ln x = + ∞

Grafico

Classificazione e C.E.Funzione trascendente esponenziale.Il C.E. è [-∞;+∞].

SimmetrieLa funzione non è simmetrica.

Studio del segnoStudiando il segno delle funzioni si ha:

quindi si ottiene:

STUDIO COMPLETO DI UNA FUNZIONE TRASCENDENTE ESPONENZIALE

→ →→

y = (x − 2) ex

Pertanto, la f(x) è positiva in [2;+∞], mentreè negativa in [-∞;2], infine è nulla per x=2.

Intersezione con gli assi cartesiani

ossia interseca l’asse delle ascisse nel punto A (2;0).

ossia interseca l’asse delle ordinate nel punto B (0;-2).

AsintotiLa funzione è asintotica all’asse delle ascisse, infatti:

, quindi, y=0 è l’equazione dell’asintoto orizzontale (sinistro). Inoltre, ma essendo

non esiste l’obliquo.

Crescenza o decrescenzaCalcolando la derivata prima si ha: .Studiando il segno della derivata prima della funzione si ha:

quindi si ottiene:

1° fattore

2° fattore

→ →

→ →→

limx→−∞

(x − 2) ex = limx→−∞

x − 2h

= limx→−∞

1− 1

= − limx→−∞

ex = 0−

limx→+∞

(x − 2) ex = + ∞

limx→+∞

(x − 2) ex

x= lim

x→+∞ (1 − 2x ) ⋅ lim

x→+∞ex = 1 (+∞) = + ∞

Pertanto, la derivata prima è positiva per x > 1, quindi la funzione data è crescente in[1;+∞], mentre la derivata prima è negativa per x < 1, quindi la funzione data è decrescentein [-∞;1], infine è nulla per x=1.

Massimi minimi relativi e flessi a tangente orizzontaleLa funzione data ha un minimante nel punto di ascissa x=1, quindi, essendo f(1)=-e,la funzione presenta un minimo relativo (anche assoluto) nel punto C (1;-e).

Concavità e convessitàCalcolando la derivata seconda si ha: .Studiando il segno della derivata seconda della funzione si ha:

quindi si ottiene:

Pertanto, la derivata seconda è positiva per x > 0, quindi la funzione data è concava versol’alto in [0;+∞], mentre la derivata seconda è negativa per x < 0, quindi la funzione data è concava verso il basso in [-∞;0], infine è nulla per x=0.

Flessi a tangente obliquaLa funzione data presenta in B un punto di flesso a tangente obliqua. Essendo y’(0)=-1<0,il flesso è discendente e la sua tangente ha equazione t : y = -x -2.

1° fattore

2° fattore

→ →

1° fattore

2° fattore

Grafico

Con il termine “analisi matematica” o “calcolo infinitesimale” si comprendono insieme sia il calcolo differenziale che il calcolo integrale. Il calcolo differenziale come già visto ri-solve questioni quali ad esempio il problema della tangente ad una curva , la ricerca de-gli estremi di una funzione, la velocità istantanea di un punto materiale in fisica.Il calcolo integrale, come vedremo, ci consente di ottenere la lunghezza di una curva , il volume di un solido , l’area di una superficie .Risulta chiaro quindi che i due calcoli han-no origine da problemi notevolmente di-versi, pur caratterizzati tutti dall’applica-zione di procedimenti infiniti . Si tratta poi di comprendere il rapporto tra tali generi di calcolo , il che richiede come prima tap-pa il passaggio dal concetto di “integrale indefinito“ di una funzione a quello di “integrale definito“ e comprendere poi lo stretto legame sintetizzato dal Teorema fondamentale del calcolo integrale. Non è possibile fissare con precisione le origini del calcolo differenziale; tuttavia può af-fermarsi con sicurezza che il suo sorgere fu dovuto agli studi che si svilupparono nel se-colo XVII intorno ai problemi della tangente ad una curva (Fermat, Cartesio, Torricelli, Ro-berval, Barrow) , della velocità istantanea di un punto materiale (Torricelli,Roberval) e dei massimi e minimi delle funzioni (Fermat) . Il merito di avere fondato il calcolo differenzia-le in tutta la sua generalità e di averne messa in evidenza la grande importanza, spetta ad Isacco Newton ed a Goffredo Guglielmo Leibniz.Newton e Leibniz sono considerati quindi gli “inventori” dell’analisi infinitesimale , cioè del calcolo differenziale e del calcolo integrale . A volere essere rigorosi si deve riconoscere che , pur avendo dato contributi fondamenta-li alla sistemazione dell’analisi infinitesimale , né Newton né Leibniz riuscirono a darle un assetto logico soddisfacente che verrà raggiunto solo dai grandi analisti dell’ Ottocento ed in particolare da Cauchy e Weirstrass.

INTEGRALI

Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrale Indefinito: Problema inverso del calcolo della derivata: nota la derivata di una funzione, calcolare la funzione stessa.

Integrale Definito: • Calcolo delle aree di figure delimitate da curve.• Calcolo di volumi.

Diremo che F(x) è una primitiva della funzione y=f(x) nell’intervallo [a,b] se F(x) è derivabile in [a,b] e risulta:

F’(x)=f(x) ∀x∈R [a,b]

Il seguente schema mette bene in evidenza la relazione tra una funzione e la sua primitiva:

INTEGRALE INDEFINITO

Derivata

Primitiva

F(x) f(x)

F(x)f(x)

Primitive, alcuni esempi:Primitiva (2x) = ... infatti → D ( ) = 2xPrimitiva (cos x) = sen x ... infatti → D (sen x) = cos xPrimitiva (1/x) = ln x ... infatti → D (ln x) = 1/xPrimitiva ( ) = tg x ... infatti → D (tg x) =

Osserviamo anche che:D ( ) = 2x ... quindi → Primitiva (2x) = D ( ) = 2x ... quindi → Primitiva (2x) = D ( ) = 2x ... quindi → Primitiva (2x) =

Osservazioni:Dagli esempi precedenti si evince che se F(x) è una primitiva di f(x), allora lo sono anche tutte le funzioni del tipo

F(x)+C con C costante reale arbitraria

Infatti, poiché la derivata di una costante è nulla, si ha:

f(x)+C = F’(x) = f(x) ∀C∈R

Quindi una funzione ammette infinite primitive che differiscono per una costante reale e co-stituiscono una famiglia di infinite curve.

Geometricamente si possono determinare tutte le primitive di una funzione y=f(x) in un in-tervallo partendo da una qualsiasi di esse mediante traslazioni verticali:

Se due funzioni F (x) e G (x) sono primitive della stessa funzione f(x) allora le due funzioni differiscono per una costante.

Ogni funzioni continua in un intervallo ammette sempre primitive.L’ operazione di derivazione non si può applicare a tutte le funzioni continue, mentre l’ope-razione inversa è sempre possibile. La continuità è quindi Condizione Sufficiente per l‘esi-stenza delle primitive.

Si definisce integrale indefinito della funzione f(x), e si indica con il simbolo ∫ f(x) dx, l’in-sieme di tutte le primitive F(x)+C di f(x) con C numero reale qualunque.

Quindi ∫ f(x) dx = F(x)+C

La scrittura ∫ f(x) dx si legge “Integrale indefinito di f(x) in dx”. La funzione f(x) è detta fun-zione integranda e la variabile x variabile d’integrazione.

Dalla definizione di integrale indefinito segue:

D [ ∫ f(x) dx ] = f(x)

Quindi in pratica:• Data una funzione nota y=f(x), risolvere un integrale indefinito significa andare a cercare

una funzione y=F’(x) che derivata è uguale alla funzione di partenza y=f(x).• L’integrazione indefinita è l’operazione inversa rispetto alla derivazione.

Esempi

1. ∫ cos x dx = sen x + C , perchè la derivata di sen x è cos x.

2. , perchè la derivata di y=1/3 è y’=x².

3. ∫ dx = x + C, perchè la derivata di x è 1.

DEFINIZIONE

4. In generale l’integrale di una costante K è kx.

• ∫ k � f(x) dx = k�∫�f(x) dx. “L’integrale del prodotto di una costante per una funzione è uguale alla costante per l’integrale della funzione’.

• ∫ [f₁(x) + f₂(x)] dx = ∫ f₁(x) dx + ∫ f₂(x) dx: “L’integrale di una somma di funzioni è la somma degli integrali.

• ∫ [k₁ �f₁(x) + k₂ �f₂(x)] dx = k₁�∫ f₁(x)dx + k₂�∫ f₂(x)dx.

Se è possibile determinare l’integrale indefinito di una funzione grazie alle sole regole di de-rivazione allora l’integrale è detto immediato.

Tabella degli integrali immediati delle funzioni elementari e loro generalizzazioni:

PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI INDEFINITI

INTEGRALI IMMEDIATI

∫dx = x + C

Integrale immediato Generalizzazione

∫ f(x)dx = f(x) + C

∫ k dx = kx + C ∫ k �f’(x) dx = k�f(x) + C

∫eˣdx=eˣ+C

∫ [f (x)]n ⋅ f ′� (x) dx = [f (x)]h+1

n + 1 + C n ≠ − 1

∫ f ′� (x)f (x) dx = log f (x) + C

∫ af(x) ⋅ f ′� (x)dx = af(x)

log a+ C

∫ e f(x) ⋅ f ′� (x) dx = e f(x) + C

Esempi del tipo:

∫ sen x dx = -cos x + C ∫sen f(x) �f’(x)dx = -cosvf(x) + C

∫cos x dx = sen x + C ∫ cos f(x) �f’(x)dx = sen f(x) + C

∫ 1cos2 f (x) ⋅ f ′ � (x) dx = tan f (x) + C

∫ 11 + [f (x)]2 ⋅ f ′� (x) dx = arctan f (x) + C

Esempi di integrazione immediata mediante proprietà e tabella:

Integrali del tipo:

∫ f ′� (x)f (x) dx = ln f (x) + C

Essendo il numeratore e il denominatore di pari grado si effettua prima la divisione:

2x : (x+1) = 2 con resto -2 . Si ottiene quindi:

5. = = =

6. = = = = tg x -ctg x + k.

Per integrare le funzioni razionali fratte si utilizza, in genere, un metodo che si basa sulla possibilità di decomporre la funzione integranda nella somma di funzioni.

Si debba integrare:

a) Se grado di P₁(x) ≥ grado di P₂(x) si esegue la divisione tra i polinomi:

P₁(x) = Q(x) �P₂(x) + R(x) → = Q(x) + con Q(x) = quoziente, R(x)=resto.

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

∫ 2xx + 1 dx = 2∫ dx − 2∫ dx

x + 1 = 2x − 2 ln x + 1 + k

∫ x + 3x + 1 dx = ∫ (1 + 4

x − 1 ) dx = x + 4 ln x − 1 + k

∫P1 (x)P2 (x) dx

P1 (x)P2 (x)

R (x)P2 (x)

b) Se il grado di P₁(x) < grado di P₂(x) e P₂(x)=ax²+bx+c si calcola il Δ dell’equazione asso-ciata. Si presentano 3 casi:

1° caso: Δ > 0

2° caso: Δ=0

Si fattorizza P₂(x)P₂(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

Si cercano due numeri A e B tali che

L’integrale di partenza si trasforma in

L’integrale è la somma di logaritmi

→ →

Si fattorizza P₂(x)P₂(x)=a(x-x₁)²

Si cercano due numeri A e B tali che

se P(x) è di 1° grado

L’integrale è quello imme-diato di una funzione fratta

se P(x) è di grado 0

L’integrale di partenza si trasforma in

L’integrale è la somma di un logaritmo e di una fun-

zione fratta

P1 (x)P2 (x) = 1

a [ Ax − x1

+ Bx − x2 ]

P1 (x)P2 (x) = 1

x − x1+ B

(x − x2)2

− P1 (x)a (x − x1)

3° caso Δ < 0

Esempi

2. 1° caso: denominatore con Δ > 0

Si scompone x²-5x+6=(x-2)(x-3) e, grazie al principio di identità polinomiale si determinano le due costanti A e B tali che:

Risolvendo il sistema otteniamo e l’integrale diventa:

P₂(x) non è scomponibile

Se P₁(x) è di grado 0 si scrive il denominatore come somma di due quadrati ottenendo come

integrale un arcotangente.

Se P₁(x) è di 1° grado si scrive la frazione come somma di due frazioni, la prima dlle quali sia la

primitiva di un logaritmo e la seconda sia la primitiva di un arcotangente.

x + 1x2 − 5x + 6 = A

x − 2 + Bx − 3 = A (x − 3) + B (x − 2)

(x − 2) (x − 3) = x (A + B) − (3A + 2B)(x − 2) (x − 3)

−(3A + 2B) = 1A + B = 1

3. 2° caso: denominatore con Δ = 0

Si scompone 4x²+4x+1=(2x+1)² e, grazie al principio di identità polinomiale, si determina-no le due costanti A e B tali che:

Risolvendo il sistema otteniamo e l’integrale diventa:

4. 3° caso: denominatore con Δ < 0

Si riscrive la frazione come somma di frazioni, in modo che una di esse abbia come nume-ratore la derivata del denominatore.

Il primo integrale è immediato, mentre nel secondo si scrive il denominatore come somma di due quadrati per poter integrare come arcotangente:

x²+4x+7=(x²+4x+4)-4+7=(x+2)²+(√3)² e l’integrale di partenza diventa:

Questo metodo viene utilizzato per semplificare il calcolo di alcuni integrali e consiste nella sostituzione della variabile d’integrazione mediante una funzione del tipo x=g(t):

∫ f(x) dx = ∫ f (g(t)) g(t) dt

Esempi

1. ∫(7x-4)⁴ dx si pone t=7x-4 da cui di ricava

L’integrale diventa:

2. si pone t = eˣ da cui si ricava

3. si pone sen t = x → t = arcsenx da cui si ricava cos tdt = dx

e grazie alle formule di bisezione:

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

Questo metodo viene utilizzato quando la funzione integranda è il prodotto di un fattore fi-nito f(x) e di un fattore differenziale g(x), in tal caso si applica la formula:

∫ f(x)�g(x) dx = f(x)�g(x) - ∫ f(x)�g(x) dx

Osservazione 1 La scelta del fattore finito e del fattore differenziale è quasi sempre determinante per la riu-scita del calcolo e, pur non essendoci una regola generale, in alcuni casi è utile sapere che:

• Conviene porre xⁿ = fattore finito nelle integrazioni: ∫ xⁿ � sen x dx, ∫ xⁿ �cos dx, ∫ xⁿ ��aˣ dx.

• Conviene porre xⁿ = fatoore differenziale nelle integrazioni: ∫ xⁿ�log x dx , ∫ xⁿ�arctg dx.

Osservazione 2Il metodo può essere utilizzato più di una volta per la risoluzione di un integrale.

Esempi

1. ∫ log x dx si pone f(x)=log x fattore finito →

g’(x)=1 fattore differenziale → g(x)=x

l’integrale diventa

2. ∫ x²� cos x dx si pone f(x)=x² fattore finito → f’(x)=2x

g’(x)=cos x fattore differenziale → g(x)=senx

L’integrale diventa: ∫ x² �cos x dx = x²�sen x - ∫ 2x sen x dx = x² sen x - 2∫ x�sen x dx.

INTEGRAZIONE PER PARTI

Applichiamo nuovamente il metodo nell’ultimo integrale:

si pone f(x)=x fattore finito → f’(x)=1 g’(x)=sen x fattore diferenziale → g(x)= -cos x

e si ottiene: x² senx-2∫x�senx dx=x² senx-2x�(-cosx)-2∫1�(-cosx)dx=x² senx + 2x cosx + 2 senx + C

3. ∫xeˣ dx = xeˣ - ∫eˣ dx = xeˣ -eˣ + C.

Esercizio 1: Calcolare ∫ dx

Osserviamo che il numeratore non è la derivata del denominatore, la frazione scomposta secondo quanto detto in precedenza diventa:

facendo il minimo comune multiplo ed eliminando i denominatori:

12x-11=a(x-3)+b(x-1)=(a+b)x-(3a+b)

quindi a+b=12 e 3a+b=11

Mettendo a sistema si trova a= b= .

Quindi:

ESERCIZI

∫ 12x − 11x2 − 4x + 3 dx = ∫

x − 1 dx + ∫252

x − 3 dx = − 12 ln x − 1 + 25

2 ln x − 3 + k

Esercizio 2: Calcolare

Notiamo che il denominatore può essere scomposto in: (x-1)(x-2)² allora:

cioè 3x-1=a(x-1)²+b(x-1)(x-2)+c(x-1)= (a+b)x²+(-4a-3b+c)x+(4a+2b-c). Da cui segue: a+b=0 ; -4a-3b+c=3 ; 4a+2b-c= -1.

Di conseguenza a=2 b=-2 c=5 e quindi:

di conseguenza:

2x+10=a(x²+x+1)+(bx+c)(x-2).

Risolvendo il sistema si ottiene: a=2; b=-2; c=-4. Quindi:

Il primo integrale si risolve subito ed è uguale a 2ln|x-2| mentre il secondo integrale lo pos-siamo scrivere come:

Di conseguenza:

ln(x²+x+1)+

=ln -2√3 arctg +k

∫ 3x − 1x3 − 5x2 + 8x − 4 dx = 2∫ 1

x − 1 dx − 2∫ 1x − 2 dx + 5∫ (x − 2)−2dx = 2 ln x − 1 − 2 ln x − 2 − 5

x − 2 + k .

Esercizio 7: Calcolare ∫ e dx

Posto -3x=t si ricava x=- e dx=- cioè si ottiene:

Esercizio 8: Calcolare ∫

Posto √x=t allora x=t² e dx=2t. Quindi si ha:

∫ = = 2 ∫ eᵗ dt = 2 eᵗ + k = e + k

Esercizio 9: Calcolare ∫

Posto x=2t quindi t= e dx=2dt avremo

∫ e−3xdx = ∫ et (− 13 dt) = − 1

3 ∫ etdt = − 13 et + k = − 1

3 e−3x + k

∫ 2dt4 + 4t2 = ∫ dt

2 (1 + t2)= 1

2 ∫ dt1 + t2 = 1

2 arccot t + k = 12 arccot

x2 + k

Quesiti a risposta multipla:

1. Calcolare

2. Calcolare

3. Calcolare ∫ x sen x² dx =

Calcola i seguenti integrali immediati:

e. ∫ 6x (3x² + 1)³ dx

f. ∫ 2 dx

g. ∫ (x² + 2√x) dx

h. ∫ cos t gx dx

ESERCIZI PROPOSTI

a. b. c.

Calcola i seguenti integrali di funzioni razionali fratte:

a. b. c.

d. e. f.

Calcola i seguenti integrali applicando il metodo di sostituzione:

a. b. c.

Calcola i seguenti integrali applicando il metodo di integrazione per parti:

a. ∫ (x-1) sen x dx b. ∫ (x-1) cos (x-1) dx c. ∫ sen²x dx d. ∫ x²eˣ dx

Vero o falso?

a. L’integrale ∫(x+1)√x dx con la sostituzione √x=t si trasforma in ∫ (t²+1) dt.

b. L’integrale con la sostituzione log x = t si trasforma in .

c. L’integrale con la sostituzione eˣ = t si trasforma in .

d. V F

e. V F

f. V F

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi sia non negativa. Si definisce trapezoide il quadrilatero curvilineo ABCD delimitato dalla curva γ di equazio-ne y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.

Possiamo determinare l’area del trapezoide pensando di approssimarla con dei rettangoli inscritti e dei rettangoli circoscritti:

INTEGRALE DEFINIT0

Infatti dividiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Avremo quindi n rettangoli di base . Siano mi e Mi , rispettivamente, il minimo e il massi-mo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Mi esistono per il teorema di Weierstrass), e consideriamo le seguenti due sommatorie:

La sommatoria è ovviamente l’area del plurirettangolo inscritto nel trapezoide in quan-to è la somma delle aree degli n rettangoli aventi per basi gli intervalli in cui è stato diviso [a;b] e per altezze le ordinate mᵢ della curva.Analogamente la sommatoria è l’area del plurirettangolo circoscritto nel trapezoide in quanto è la somma delle aree degli n rettangoli aventi per basi gli intervalli in cui è stato di-viso [a;b] e per altezze le ordinate Mᵢ della curva.L’area S del trapezoide sarà sempre compresa fra le due sommatorie ed , cioè si ha:

Aumentando il numero dei rettangoli l’approssimazione di S sarà sempre più precisa.

Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni e sono convergenti e convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n → +∞ e risulta

TEOREMA

limn→+∞

∑1=1

mih = limn→+∞

∑1=1

Data la funzione f(x), continua in [a ; b], il valore comune del limite delle successioni sn ed Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si in-dica con la scrittura:

Si legge: integrale definito da a a b di f(x) in dx.I numeri a e b si definiscono gli estremi di integrazione: a è l’ estremo inferiore, b l’estremo superiore.La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazio-ne.

Osservazioni:

• La notazione deriva da quella di sommatoria: la lettera greca ∑ nel passaggio al limite diventa una S allungata.

• La procedura che ha portato alla definizione di integrale definito per una funzione positi-va può essere ripetuta anche per una funzione che cambia segno nell’intervallo [a,b]. La definizione viene quindi svincolata dal significato geometrico di area.

• L’integrale definito è un numero che può essere quindi positivo, negativo o nullo che di-pende dalla funzione e dall’intervallo di integrazione e non dipende invece dalla variabile che è contenuta nella funzione stessa. (variabile muta).

• Se per ogni x∈[a;b] la funzione f(x) è non negativa e continua allora

rappresenta l’area sottesa alla curva nell’intervallo:

DEFINIZIONE

y=f(x)

af (x) dx = lim

n→∞sn = lim

n→∞Sn

• Se la funzione è negativa nell’intervallo, allora per ottenere l’area dobbiamo cambiare se-gno o considerare il risultato in modulo:

• Nel caso in cui la funzione cambia segno nell’intervallo [a;b], l’integrale si può interpreta-re come una somma di aree con segno:

Il risultato dell’integrale definito è la somma algebrica delle aree situate al di sopra dell’as-se x, prese positivamente, e di quelle delle aree situate al di sotto dell’asse x prese negati-vamente.Per esempio nel caso della figura sotto riportata, il calcolo dell’integrale definito

fornisce il valore dell’area della parte di piano sotto la curva nell’intervallo [1;2] a cui viene sottratto il valore dell’area della parte di piano sotto la curva compresa nell’intervallo [-1;1]:

f (x) = x2 (x − 1)

A₂A₁

y = f (x)A = A1 + A2 = − ∫

af (x)dx

• Si consideri ad esempio il grafico sotto riportato della funzione y=sen x nell’intervallo [-π;π]

Si ha che , mentre Area=4.

1. Se si scambiano gli estremi di integrazione, l’integrale cambia di segno:

2. Se gli estremi di integrazione sono uguali, l’integrale risulterà uguale a 0:

3. Positività dell’integrale definito di una funzione non negativa:

4. Proprietà additiva rispetto all’intervallo di integrazione: Se c è un punto interno all’intervallo [a;b] →

PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI DEFINITI

f(x) dx = - f(x) dx

f(x) dx = 0

Se f(x)≥0 in [a;b] → f(x) dx≥0

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

y=sen x

5. Proprietà di monotonia:

6. Proprietà del valore assoluto dell’integrale:

Esercizio:

Sapendo che e , quanto vale ?

Svolgimento

Per calcolare facciamo la sostituzione e cambiamo gli estremi di integra-

zione. L’estremo superiore d’integrazione x=4 diventa t=2, mentre quello inferiore x=2 di-venta t=1.

Quindi l’integrale si trasforma in = . Sapendo che , per

la proprietà di additività degli integrali definiti, possiamo spezzarlo nel seguente modo:

. Quindi sapendo che per ipotesi si ottiene

Esercizio proposto:

Sapendo che e , stabilire quanto vale .

se f(x)≤g(x) ∀x∈[a;b]

af (x) dx ≤ ∫

af (x) dx

2f ( x

2 ) dx

2f ( x

2 ) dx

2f ( x

2 ) dx

Se la funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b], allora esiste un punto c interno all’intervallo in cui:

che può anche essere scritta:

DimostrazioneDetti m ed M rispettivamente il minimo ed il massimo della funzione f(x) in [a;b] si avrà, per quanto visto nel significato geometrico dell’integrale:

Essendo b-a>0 si avrà: m

Siccome m è il minimo ed M è il massimo in [a,b] di una funzione continua, allora f(x) assu-merà tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo, in altri termini esisterà almeno un punto c∈[a,b] tale che:

TEOREMA DELLA MEDIA

f(x) dx = (b-a) f(c)

f(c) = f(x) dx

m(b-a)≤ f(x) dx≤M(b-a)

C.V.D.

Definizione:

Il valore prende il nome di VALORE MEDIO della funzione nell’intervallo [a;b], e

si indica con V .

Supponiamo la funzione y=f(x) positiva e continua nell’intervallo [a,b]. Per il significato geo

metrico di integrale definito, f(x)dx è l’area del trapezoide, mentre il prodotto di f(c)(b-a)

è l’area del rettangolo avente come altezza il valore medio f(c) e per base l’intervallo del ret-tangolo [a,b]. Il teorema della media esprime quindi l’equivalenza fra il trapezoide il rettan-golo:

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

y=f(x)

Data una funzione y=f(x) definita e continua nell’intervallo [a, b], si consideri un punto x ∈ [a,b]. Una volta fissato il valore di a, al variare di x nell’intervallo [a,b], l’integrale assume valori variabili ed è quindi una funzione che su indica con F(x) e si definisce funzio-ne integrale:

In particolare si noti che se x=a, allora si ha:

Mentre se x=b, allora:

a. Per non creare confusione fra le variabili indipendenti, la funzione integranda viene indi-cata con f(t) cioè t diventa la nuova variabile d’integrazione. Ciò è lecito in quanto l’inte-grale definito è un numero che non dipende dalla variabile di integrazione.

b. Si osservi che la variabile indipendente della funzione integrale F è l’estremo superiore dell’intervallo di integrazione.

c. Se la funzione y=f(x) è positiva, la funzione integrale F(x) si può interpretare geometrica-mente come la funzione che associa ad ogni x∈[a;b] l’area del trapezoide individuato dal-la funzione f(x) nell’intervallo [a;x].

CALCOLO DEGLI INTEGRALI DEFINITI

o a x b x

A’ P’F(x)

y=f(x)

Sia y=f(x) una funzione continua in [a;b], allora la funzione integrale F(x)= è derivabi-le in [a;b] e si ha:

(La derivata della funzione integrale F è proprio la funzione integranda f(x)).

Se G(x) è una qualsiasi primitiva di f(x), allora si ha Formula di Newton-Leibnitz:

Dimostrazione:Scriviamo il rapporto incrementale per F(x)

Applicando il Teorema della media si ha: F(x+h) - F(x) = f(c) h.

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE(Torricelli-Barrow).

F’(x)=f(x)

xa bx + h

af (x) dx = G (b) − G (a) = [G (x)]b

Quindi il rapporto incrementale sarà:

Per quanto riguarda la seconda parte del teorema, data f(t) consideriamo e G(x)→F(x)=G(x)+c

Il teorema precedente ci consente di calcolare gli integrali definiti ricorrendo a quelli indefi-niti.1. L’integrale definito e quello indefinito sono due concetti differenti (il primo è un numero,

il secondo un fascio di funzioni): La formula di Newton-Leibniz li collega in modo sor-prendente.

2. Il seguente schema sintetizza il collegamento fra i vari concetti studiati:

→ →

Concetto di Limite

La derivata è il limite del rapporto incrementale

L’integrale definito è il limite di una successione

L’integrale indefinito è l’insieme infinito delle primitive

Integrale definito e area del trapezoide

Teorema fondamentale del calcolo integrale

C.V.D.

In pratica:Per calcolare l’integrale definito dobbiamo:

• Trovare una primitiva G, dobbiamo cioè calcolare l’integrale indefinito: .

• Calcolare i valori assunti da tale primitiva G rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore a dell’integrale stesso: G(b) e G(a).

• Calcolare la differenza fra i valori G(b) e G(a): .

Da questo esempio si può notare che la costante k è ininfluente sul calcolo dell’integrale definito in quanto prima viene sommata e poi sottratta, quindi conviene scegliere proprio quella in cui k=0.

Calcolare il valore medio della funzione nell’intervallo [0;2]:

Dobbiamo applicare il Teorema della media e calcolare:

ESEMPI

0(x3 + 1) dx = [ 1

4 x4 + x + c]3

0= ( 81

4 + 3 + c − c) = 934

∫π2

0(4 sin x − 5 cos x) dx = [−4 cos x − 5 sin x]

π20 =

= (−4 cos π2 − 5 sin π

2 ) − (−4 cos 0 − 5 sin 0) = − 5 + 4 = − 1

Calcolare il valore medio della funzione da x=1 ad x=e.

SvolgimentoIl valore medio è dato da:

ESEMPI SVOLTI

ESERCIZIO

Data una funzione y=f(x) definita e continua in [a;b] la funzione integrale è definita come:

La funzione integrale gode delle seguenti proprietà:

• Se la funzione integranda f(x) è positiva, allora la funzione integrale F(x) si può interpreta-re geometricamente come la funzione che associa ad ogni x l’area della regione piana in-dividuata dalla funzione e dall’asse delle ascisse nell’intervallo [a;x].

• La funzione integrale è una particolare primitiva della y=f(x) che dipende dall’ascissa ini-ziale “a”.

• Nel caso particolare in cui l’estremo della funzione integrale non sia semplicemente x ma una funzione g(x), cioè se si ha:

in tale situazione la derivata della funzione integrale è data da: F’(x)=f(g(x))g’(x)

• Il risultato di cui sopra si ottiene applicando sia il teorema fondamentale del calcolo inte-grale che la regola della derivata della funzione composta.

• Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di

x: F(x)= , allora la derivata di F è data da:

LA FUNZIONE INTEGRALE

F’(x)=f(x) F’’(x)=f’(x)

F’(x)=

I concetti di integrale indefinito, integrale definito e funzione integrale devono essere chiaramente distinti:

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale fornisce il raccordo e le reciproche relazioni tra i concetti sopra esposti:

INTEGRALE

Indefinito Definito Funzione Integrale

È un fascio di funzioni:L’insieme delle primitive

della y=f(x)È un numero È una particolare primitiva

della y=f(x)

Il calcolodell’integrale definito

passa attraversoil calcolo di quello

indefinito

Utilizzando gliintegrali definiti

possiamo definirela funzione

integrale che è una particolare

primitiva

La formula diNewton-Leibniz fornisce il valore

dell’integrale definito:

Esempio 1Calcolare la derivata delle funzioni:

Nel primo caso si ha immediatamente .Nel secondo caso invece si ha tenendo conto della formula precedente:

Esempio 2Data la funzione :

1. Determinare F(2), F(-1), F(3);2. Determinare la derivata della funzioneF;3. Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di F nel punto di ascissa x=2.

Svolgimento

La derivata della funzione integrale F è: F’=x². Per trovare l’equazione della retta tangente dobbiamo calcolare tale derivata nel punto di ascissa x=2:F’(2)=4.L’equazione della retta tangente è: y-F(2)=F’(2)(x-2) e sostituendo si ottiene y=4(x-2).

F(-1)=

Esempio 3

Calcolare il seguente

Si ottiene la forma indeterminata 0/0. Applicando il Teorema di De L’Hopital e derivando il numeratore e il denominatore si ottiene:

ESEMPI SVOLTI

1. Calcolare il seguente .

2. Dimostrare che se una funzione y=f(t) è crescente in [0;x], allora ha la concavità rivolta verso l’alto in [0;x].

3. Si consideri la funzione trovare le coordinate dei punti di flesso e scrivere l’equazione della tangente inflessionale nel flesso di ascissa positiva.

Non è sempre semplice determinare una primitiva di una funzione e quindi ottenere una espressione analitica per la funzione integrale. Per studiare la funzione integrale F(x) ed in-dividuare alcune sue caratteristiche possiamo fare delle considerazioni qualitative che di-scendono dal Teorema fondamentale del calcolo e dalle sue proprietà già note.

Osserviamo che:1. La funzione integrale F(x) interseca l’asse delle x nel punto x=a, in quanto F(a)=0.

2. Per studiare il segno della F(x), si può ricorrere alla sua interpretazione come area: se x>a e se f(x)>0 nell’intervallo [a;x], allora anche F(x) è positiva;

3. Distinguere i casi x>a e x<a. Nel secondo è opportuno scambiare gli estremi di integra-

zione ricordando che: .

4. Essendo F’ (x)=f(x), allora dove f(x)>0 ⇒ F(x) è crescente e dove f(x)<0 ⇒ F(x) è decre-

scente;

5. Dove f(x) = 0 ⇒ esistono punti stazionari (a tangente orizzontale) per la F(x) candidati

ad essere max o min;

ESERCIZI PROPOSTI

6. Studiare la concavità e i flessi ricordando che F’’(x)=f’(x);

7. Se f(x) è dispari → F(x) è pari;

8. Se f(x) è pari e a=0 → F(x) è dispari.

Esempio 1Studiare la funzione , con x∈R.

SvolgimentoSi osservi innanzi tutto che in questo caso non è facile trovare una primitiva.

Poiché è sempre definita (e positiva) si ha che il dominio di F(x) è tutto R.

F(x) > 0 per x > 0 (la funzione integranda è sempre positiva!), mentre per x<0 la funzione integrale F è <0 in quanto scambiando gli estremi di integrazione cambia segno.F(x) = 0 per x = 0 ( F(a) = 0), quindi passa per l’origine.

Per quanto detto nei punti precedenti si ha:

a. F’(x) = f(x) > 0 ∀ x ∈R ⇒ F(x) è sempre crescente in R.

b. F’(x) = f(x) = 0 per nessun valore di x, quindi F(x) non ha punti stazionari;c. f(x) è pari e a = 0, quindi la F(x) è dispari.

F’’(x)=f’(x)=-2x , quindi concavità verso l’alto per x<0, verso il basso per x>0 e punto di flesso discendente nell’origine, con tangente y=x (y=F’(0)x, con F’(0)=1).

Da quanto detto, il grafico sarà:

Esempio 2La funzione f è definita da f(x)= per tutti i numeri reali x appartenenti all’in-tervallo [0;9].

• Si calcolino f’(π) e f’(2π) dove f’ indica la derivata di f.• Si tracci il grafico ∑ della funzione f’(x) e da esso si deduca per quale o quali valori di x,

f(x) presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l’andamento di f(x) deducendolo da quello di f’(x).

• Si trovi il valore medio di f’(x) sull’intervallo [0;2π].• Sia R la regione del piano delimitato da ∑ e dall’asse delle x per 0≤x≤4; R è la base di un

solido W le cui sezioni con piani ortogonali all’asse delle x hanno per ciascun x area

. Si calcoli il volume di W.

SvolgimentoDal teorema fondamentale del calcolo si ha immediatamente che:

Quindi f’(π)= mentre f’(2π)= .

La funzione y= è una funzione periodica di periodo T= .

Abbiamo visto al punto 1 che . Tracciamone il grafico ∑.

Onde evitare di far confusione poniamo

Dominio: Dom (f)=[0;9], indicato nel testo iniziale del problema.

Intersezione con gli assi: Asse y:

f’(x)=

A (x) = 3 sin ( π4 x)

f ′� (x) = cos ( x2 ) + 1

g (x) := f ′� (x) = cos ( x2 ) + 1

x = 0y = cos ( x

2 ) + 12

⇔x = 0y = 3

La funzione interseca l’asse y nel punto .

Asse x:

Determiniamo quindi le soluzioni dell’equazione goniometrica in [0;9].

Poichè si ha:

di cui quelle appartenenti all’intervallo [0;9] sono e .

I punti di intersezione con l’asse x sono quindi: e .

Studio del segno (in [0;9]):

e quindi

Studio della derivata prima (sempre in Dom(f)=[0;9]) per massimi e minimi:

(per la formula di derivazione della funzione composta)

Ora, ricordando sempre che stiamo lavorando nell’intervallo chiuso [0;9], si ha:

A (0; 32 )

cos ( x2 ) + 1

cos (x) = − 12 ⇔ x = 2

3 π + 2kπ, k ∈ Z

cos ( x2 ) = = − 1

2 ⇔ x2 = 2

3 π + 2kπ ⇔ x = 43 π + 4kπ, k ∈ Z

x = 43 π x = 8

B ( 43 π; 0) C ( 8

3 π; 0)

g (x) > 0 ⇔ cos ( x2 ) + 1

2 > 0 ⇔ 0 ≤ x < 43 π ∨ 8

3 π < x ≤ 9

g (x) < 0 ⇔ 43 π < x < 8

g′� (x) = [cos ( x2 ) + 1

2 ]′ �

= − 12 sin ( x

g′� (x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2π g′� (x) > 0 ⇔ x = 2π < x ≤ 9

cos ( x2 ) + 1

2 = 0 cos ( x2 ) = − 1

y = 0 y = 0

Ne segue che x=2π è un punto di minimo della funzione in [0;9] e

Studio della derivata seconda

Nell’intervallo chiuso [0;9]:

g’’(x)=0 ⟺ x=π e g’’(x)>0 ⟺ π<x≤9

Ne segue che x=π è un punto di flesso in [0;9] per g(π) e .

Abbiamo ora tutte le informazioni necessarie per tracciare il grafico ∑ di

0 92π

+ + + + +- - - - -

0 9- - - - - + + + + +

g (2π) = − 12

g′�′� (x) = [− 12 sin ( x

2 )]′�

= − 14 cos ( x

g (π) = 12

g (x) := f ′� (x) = cos ( x2 ) + 1

Possiamo ora rispondere all’altra domanda; semplicemente osservando il grafico appena tracciato possiamo dedurre per quali valori di x la funzione

presenta massimi o minimi e tracciarne l’andamento.Dal grafico ∑ di f’(x) abbiamo:

in positiva. Ne segue che f(x) è crescente.

e zeri di f’(x). Allora tali punti sono punti estremanti per f(x) in

negativa. Conseguentemente f(x) è decrescente, in

positiva e quindi f(x) è crescente.

Grazie a queste informazioni possiamo tracciare un grafico approssimativo di f(x) in [0;9].

Ricordando che e che, in generale, il valor medio m di una funzione

f(x) in un intervallo [a;b] è dato da :

f (x) = ∫x

0 [cos ( t2 ) + 1

2 ] dt

[0; 43 π] : f ′� (x)

x = 43 π x = 8

( 43 π; 8

3 π) : f ′� (x) [ 83 π; 9] : f ′� (x)

f ′� (x) = cos ( x2 ) + 1

m = 1b − a ∫

af (x) dx

+++ +++---

0 943 π

f’(x)

83 π 9 x

Nel nostro caso abbiamo:

Il volume V del solido W lo calcoliamo con l’integrale esteso all’intervallo [0;4] della funzio-ne A(x):

m = 12π ∫

0 [cos ( x2 ) + 1

2 ] dx = 12π ∫

0cos ( x

2 ) + 12π ∫

12 dx =

= 12π [2 sin ( x

2 )]2π

+ 12π [ 1

2 x]2π

0= . . conti . . = 1

03 sin ( π

4 x) dx

03 sin ( π

4 x) dx = 3∫ sin ( π4 x) dx = − 12

πcos ( π

[− 12π

cos ( π4 x)]

= 12π

+ 12π

= 24π

L’integrale definito trova importanti applicazioni geometriche nel calcolo delle aree di figu-re curvilinee e nel calcolo di volumi di solidi.Distinguiamo diverse situazioni:

Per quanto già visto e con riferimento ai grafici di seguito riportati:

• Se la funzione y=f(x) nell’intervallo [a;b] è continua e positiva (grafico 1 della figura so-

pra), l’integrale definito rappresenta l’area del trapexoide delimitato dalla curva

di equazione y=f(x), dall’asse x e dalle rette x=a ed x=b.

• Se la funzione f(x) in tale intervallo è negativa (grafico 2), allora l’area della parte di pia-no che si trova al di sotto dell’asse delle x è data dall’opposto del suo integrale defini-

to: Area= - .

• Se la curva cambia segno nell’intervallo [a,b] (grafico 3), per calcolare l’area compresa fra il suo grafico e l’asse delle x si considerano i punti i cui la curva interseca l’asse x. L’area totale è la somma di più parti alcune delle quali giacciono nel semipiano delle y

AREA COMPRESA TRA UNA CURVA E L’ASSE DELLE X

a ba b

APPLICAZIONI GEOMETRICHE

positive, mentre altre giacciono nel semipiano delle y negative (queste devono essere pre-se in modulo). Nell’interpretazione geometrica quindi le aree delle varie parti vanno comun-que sommate.

Esempio 1Calcolare l’area della parte di piano compresa fra la curva y=x²-4 l’asse x, l’asse y, e la ret-ta x=3.Calcolare l’integrale definito ed interpretare geometricamente il risultato ottenu-to.

SvolgimentoLa curva di equazione y = x²-4 è una parabola e facendo riferimento al suo grafico è evi-dente che la curva cambia segno nell’intervallo [0;3]. L’area richiesta si compone di due parti: la parte di trapezoide compresa fra 2 e 3 dove la parabola è positiva e la parte com-presa fra 0 e 2 (a cui dobbiamo cambiare segno perché la parabola è negativa):

Il valore dell’integrale definito richiesto nella seconda parte è il seguente:

Tale valore rappresenta la somma algebrica dell’area negativa del triangolo mistilineo OVA e dell’area positiva del triangolo mistilineo ABP.

Esempio 2Calcolare il valore dell’integrale definito sen x dx ed interpretare geometricamente il risul-tato ottenuto.Calcolare l’area della regione di piano compresa fra la curva di equazione y=sen x e l’asse x nell’intervallo fra 0 e 2.

0-2 2 3

SvolgimentoLa funzione è una parabola:

La parabola è positiva nell’intervallo [1;2] quindi l’area è data da:

Nell’intervallo [0;1], il calcolo fornisce:

Siccome in tale intervallo la parabola è negativa, il valore va preso in modulo e l’area richie-sta vale quindi 2/3.

La curva è negativa nell’intervallo e positiva in , quindi l’area è data da:

Consideriamo due funzioni f(x) e g(x) definite e continue in un intervallo [a,b]. Supponiamo inoltre che ∀x∈ [a,b] sia f(x)≥g(x). L’area racchiusa fra i due grafici nell’intervallo [a,b] è data da:

Esempio 1Calcolare l’area della parte di piano compresa fra le curve y=x³ e y=2-x² nell’intervallo 0≤x≤1.

Con riferimento alla figura si ha:

Esercizio propostoCalcolare l’area delle zone A, B e C in figura:

AREA COMPRESA FRA DUE CURVE

S= f(x) dx - f(x) dx = [f(x) - g(x)] dx

Area di A₁= ∫1

0(2 − x2 − x3)dx = [2x − x3

3 − x4

2 − x2

Esempio 2Calcolare l’area della parte colorata di verde nel grafico riportato.

Con riferimento si ha:

Esempio 3Calcolare l’area della regione piana compresa tra le due parabole di equazioni: y²=4x e x²=4y.

Esercizio proposto 1Calcolare l’area della parte di piano finita compresa fra la parabola di equazione y=1-4x² e la retta di equazione y=2x-1.

Area di A₂ = ∫1

0x3dx + ∫

1(2 − x2) dx = − 17

12 + 43 2

2 − x2

Ty2 = 4x

x2 = 4y

g(x) = 2x − 1f (x) = 1 − 4x2

Esercizio proposto 2Nel piano riferito ad un sistema di coordinate Oxy, si consideri la regione R delimitata dal grafico di y=eˣ, dagli assi coordinati e dalla retta . Si calcoli l’area di R.

Se la superficie di cui si deve calcolare l’area è delimitata da più funzioni, si deve:

• tracciare il grafico delle funzioni.

• Individuare le ascisse dei punti di intersezione di ciascuna coppia di curve, a, b, c,...

• Calcolare gli integrali definiti delle singole funzioni in ciascuno degli intervalli individuati da tali punti, sommandoli, iniziando da uno di essi e percorrendo il contorno della figura in senso orario:

AREA COMPRESA FRA PIÙ CURVE

y=f(x)

y=h(x)

y=g(x)

Consideriamo una funzione y= f(x) continua in un intervallo [a,b] in cui risulta positiva, e sia T il trapezoide individuato dalla curva e dall’asse x in tale intervallo. In una rotazione completa attorno all’asse delle x, il trapezoide T genera un solido di cui si vuole calcolare il volume.

Le sezioni perpendicolari all’asse x sono tante circonferenze. Considerando l’intervallo [x; x+Δx], il volume di tale sezione sarà π f² (x) Δx (area di basexaltezza), sommando tutte queste sezioni tra a e b ottengo il volume con la seguente formula:

Analogamente si può considerare il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse y di un trapezoide limitato dalla curva x=f(y) per a≤y≤b:

CALCOLO DEL VOLUME DI UN SOLIDO DI ROTAZIONE

y=f(x)

V = π∫b

a[f (x)]2 dx

Il volume in tal caso si calcola con la seguente formula:

Esempio 1Facendo ruotare la retta y=x nell’intervallo [0;3], otteniamo il volume del cono

Esempio 2Calcolare il valore del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse x della par-te di piano delimitata dalla curva y=x²+2, dall’asse y e dalla retta x=2.

Esempio 3Determinare il volume di una sfera di raggio r.La sfera è generata dalla rotazione completa attorno all’asse xdel semicerchio di raggio r avente il centro nell’origine delsistema di assi cartesiani ortogonali. L’equazione di talecirconferenza è: x²+y²=r² , quindi y²=r²-x²

V = π∫b

a[f (y)]

Esempio 4Dato il dominio piano T, delimitato dagli assi cartesiani, dalla retta y=1 e dal grafico di y=ln x, determinare il volume del solido ottenuto da una rotazione completa di T attorno: a) al-l’asse x, b) all’asse y.

a) V = V (cilindro C’B’BC)-V (AB’B) = (*)

(*) calcoliamo per parti: ∫ ln² x dx = xln² x -2 ∫ ln x dx = xln² x - 2[xln x - x] + c, quindi

b) y = ln x → x = eʸ, quindi

y=ln x1 2 3e

0-1-2-e

b) attorno all’asse y → V = π/2 (e²-1)

A1 2 e 3 x

y=ln xC’

a) attorno all’asse x → V=2x

Esempio 5Si consideri la regione delimitata da y=√x, dall’asse x e dalla retta x=4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y.

Il volume richieto si ottiene dalla differenza fra il volume del cilindro avente raggio di base r=4 e altezza=2 e il volume che si ottiene facendo ruotare la parte di piano fra la parabola e l’asse y (con 0≤y≤2).

V cilindro = 32π, mentre V interno = . Quindi ha il volume ri-

chiesto:

Esempio 6Si calcoli il volume della regione delimitata dalla curva x=y³ e dalla retta x=y, da y=0 a y=1 ruotata intorno all’asse x.

Il volume richiesto è dato dalla differenza fra il volume del solido che si ottiene ruotando attornoall’asse delle x la curva x=y³ e il volume del conosi ottiene facendo ruotare la bisettrice attornoall’asse x nell’intervallo fra 0 e 1.

Esplicitiamo rispetto ad y la curva: y=∛x.

Quindi

-4 0 4

V = 32π − 325 π = 128

V cono = 1/3 π (il raggio di base e l’altezza del cono sono 1). Quindi

Esercizio propostoSia R la regione delimitata dalla curva y=x³, dall’asse x e dalla retta x=2 e sia W il solido ot-tenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y.Si calcoli il volume di W.

Volume dei solidi con il metodo delle sezioniSupponiamo di avere un solido T, compreso fra due piani α e β, di equazione x = a e x = b, e valgano inoltre le seguenti ipotesi:

• comunque si scelga un punto xᵢ∈[a;b], il piano 0ᵢ, di equazione x=xᵢ, sezione sempre il

solido T individuando una porzione di piano, di cui si possa calcolare l’area S;

• Le aree Sᵢ definiscano, nell’intervallo [a;b], una funzione continua di x, S(x).

In tali ipotesi vale allora il seguente teorema:

Volume T = ∫b

aS (x) dx

V = 35 π − 1

3 π = 415 π

Questo tipo di problemi è una diretta applicazione del calcolo integrale alla determinazione di volumi di solidi che, utilizzando il principio di Cavalieri, sono pensati come composti da “strati”, disposti lungo un asse (usualmente l’asse di un opportuno riferimento cartesiano) e aventi, in un dato punto , un’area definita S(x) e spessore “infinitesimo “.

In pratica viene considerata una certa regione piana D racchiusa tra una funzione e gli assi che viene assunta come base di un solido. Inoltre viene data la forma delle sezioni ottenu-te con piani ortogonali all’asse delle x che possono essere dei quadrati, rettangoli, triangoli o cerchi ecc…di cui insomma è facile calcolare l’area. Considerando un punto variabile sul-la funzione P(x,f(x)) il lato della forma della sezione è dato quindi dall’espressione della fun-zione f(x). Su ciascuno di questi lati si costruisce la figura di cui si deve calcolare l’area S(x).

Esempio 1Considera il settore circolare AOB, di raggio 2 e ampiezza di 60°.Detta H la proiezione di A su OB, il dominio piano HBA sia la base di un solido T, le cui se-zioni, ottenute con piani ortogonali ad OB, sono tutte quadrati. Calcolare il volume di T.

Nel riferimento scelto, l’ascissa di H è x=1, l’ascissa di B è x=2, l’arco di circonferenza AB ha equazione y=√4-x², con 1≤x≤2.

La funzione area è S(x) = 4-x², è continua, e il volume di T vale:

Esempio 2Data la regione S racchiusa tra l’arco della parabola d’equazione x²=4(x-y) e l’asse x, deter-minare il volume del solido di base S le cui sezioni ottenute con piani ortogonali all’asse x sono quadrati.

0 421 3

Volume T = ∫b

aS (x)dx

Volume T = ∫2

1(4 − x2) dx = [4x − 1

3 x3]2

1= 8 − 8

3 − 4 + 13 = 5

La soluzione è data dall’integrale:

Esempio 3La regione R è delimitata da y=2x e y=x² come mostrato nella figura sotto. R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute tagliando W con piani perpendicolari all’asse x, hanno area A(x)=sen(π/2)x. Si determini il volume di W.

La soluzione è immediata: .

0sin π

0 (x − x2

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