Matemática -...

Matemática

Prof. Daniel Prof. Daniel –– 28/04/2009 28/04/2009 –– 15h3015h30

α γ

β

α+β+γ=180o

Propriedade dosÂngulos Internos

αβγ

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS

αe

αe

βe

βe

γe

γe

Propriedade dosÂngulos Externos

αe+βe+γe=360o

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS

αe

αeγ

β

β

γ

Teorema do Ângulo Externo

αe = β + γ

MEDIDA DO ÂNGULO EXTERNO

βα

β=α

O TRIÂNGULO ISÓSCELES

(ITA – 1998) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a:

a) 23° b) 32° c) 36º d) 40° e) 45°

• ABC é um triângulo isósceles de base BC. • Segmentos AD, BD e BC são congruentes.

a) 23°

b) 32°

c) 36º

d) 40°

e) 45°

A

B C

x

D

x x

2x

2x

BÂCˆACEˆDBC

ˆEDB

(ITA – 2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que Então, o ângulo

, mede 40°.= 15º.= 35°.

vale

a) 35° b) 45º c) 55º d) 75º e) 85º

• ABC é um triângulo isósceles: = 40º• = 15° e = 35°

a) 35°

b) 45°

c) 55º

d) 75°

e) 85°

x

35

BÂCˆACE ˆDBC

A

B C

40

E

3515

D

55

55

A BM

x

35

A

B C

40

E

3515

55

55 D

(ITA – 2009) Considere o triângulo ABC de ladosa = , b = e c = e ângulos internos , BC AC AB CÂBα =

^ABCβ = e ^

BC Aλ = . Sabendo-se que a equação 2 2 22 cos 0x bx b aα− + − = admite c como raiz dupla,

pode-se afirmar que) 90) 60) 90º

d) o triânguloé retânguloapenas se α= 45°e) o triânguloé retânguloe béa hipotenusa.

abc

αβλ

= °= °=

A

B Ca

bcα

β λ

2 2 22 cos 0x bx b aα− + − =

PONTOS NOTÁVEIS EM UM TRIÂNGULO

Baricentro

Ortocentro

Incentro

Circuncentro

O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro dacircunferência inscrita em ABC e O o ponto médio dolado AC. Se AÔI = 45º, quanto mede, em graus,o ângulo ?

^AC B

A

B

CO

I

45

45

aa x60

En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triánguloBCD coincide con el centro del círculo circunscrito emel triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.

A C

B

DP

aa

2a

b b

A C

B

DP

aa

2a

baba

a3a3a

A

B CM

PROPRIEDADE DA MEDIANA

H

PROPRIEDADE DE UMA CEVIANA QUALQUER

A

B CSH

ABS

ACS

S BSS SC

=

.2ABS

BS AHS =.2ASC

SC AHS =

2ABSS AH

BS=

2ASCS AH

SC=

ABS ACSS SBS SC

=

(IME) Seja P um ponto no interior de um triânguloABC, dividindo-o em seis triângulos como mostra afigura. Calcule a área do triângulo ABC.

A

B C

P

84

353040

x

y

4030

BDDC

=84 4030 35

y BDx DC

+ +=

+ +

35x AE

EC=

8440 30 35x y AE

EC+ +

=+ +

4 1243 65

yx+

=+

8435 105x x y+ +

=

D

EF

70 56x e y= =

4x

Determine a medida do ângulo do vértice A do triângulo isósceles ABC, sabendo que os segmentosBC, BD, DE, EF e FA sãocongruentes.

A

B C

D

E

F

x

x = 20º

9x = 180º

4x + 4x + x = 180ºx 2x

2x3x

3x 4xx

Given as isoscele triangle ABC as shown with anglesof 20, 80 and 80. Length AM is the same as BC. Whatis the measure of angle ACM?

B C

A

M

80°

20°

B C

A

M

80°

20°

20°

40°

B C

A

M

B C

A

M

80°

20°

80°

N

40°

40°60°

20°

20° N

P

20°40°

40° 60

60°80°

20°

60°

100

ˆ ?ACM =

Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e o segmentoAE é perpendicular ao segmento CF. Determine a medida do ângulo

^BF G

A B

CD

F

E

G

H

x45º

Calcule a área do triângulo ABC abaixo, dadosBD = 4, DE = 2, EC = 6, BF = FC = 3.

AB

C

D

EF

42

63

3

26 3 9 34BCES ⋅

= =

2 18 3ABC BCES S= ⋅ =

Na figura AB = AC. Determine o valor de x.

B C

A

D

Ex

60° 50°

20°Triângulo Russo

ABC é um triângulo isósceles de base BC. Sobre olado AB, temos dois pontos, M e P, tais que AP > AMe sobre AC outros dois pontos N e Q, tais que AQ > ANsabendo-se que AM = MN = NP = PQ = QB = BC, pede-se calcular o ângulo BAC.

180ºResposta :11

BÂC =

No trapézio ABCD, o lado AD é perpendicular às basesAB e CD. A base AB mede 45, a base CD mede 20 e olado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede45 e seja M o ponto médio de AD. Calcule a medida dosegmento PM.

AB

C

P

D

45

20

65M

45x

AB

C

P

D

45

20

65M

45

x

20

20

25

y

65² = 25² + y²

y = 6030

30

α

α180º α−

Na figura abaixo, mostra-se um triângulo equiláterodividido por três retas e sete regiões. Em seis dasregiões é indicada a área correspondente. Achar a áreada sétima região, ou seja, área do triângulo menor central.

4

4

4

2020

20

4

4

4

A

B C

D

E

FG

H

y

20 – yy

20 – y

y20 – y

20

20

20

4 BEy CE

= 2844

BEx CE

=+

420y AG

y HG+

=−

2420

AGx y HG

=+ −

x

4 2844y x

=+

4 2420 20y

y x y+

=− + −

I

12x =