MATEMATICA nella REALTA’ · Ogni elemento della matrice F è detto pixel Matrice P x Q...

MATEMATICAMATEMATICAnellanella

REALTA’REALTA’Lucia Della Croce – Giulia Maggi

Ada Pulvirenti Dipartimento di Matematica ­

Università di Pavia

Piano Lauree Scientifiche Pavia ­ 29 Settembre 2010

Attività proposte A. S. 2010­2011

Approccio alla

modellizzazione matematica( Attività 1 )

Matematica nella realtà( Attività 2 )

Processo interdisciplinare con cui si intende interpretare, simulare,

predire i fenomeni reali

Elaborazione e manipolazione di immagini

Le attività 1 e 2 sono da intendersi alternative e a scelta

TEMI E CONTENUTITEMI E CONTENUTI Attività 1Attività 1

Modelli discreti lineariModelli discreti lineari

Dinamica delle popolazioniDinamica delle popolazioni

Modelli discreti non lineariModelli discreti non lineari

Il sistema evolve nel tempo

L’intervallotemporale èdiscretizzato

MODELLIMODELLI

DINAMICI DISCRETI LINEARI DINAMICI DISCRETI LINEARI

La legge che determina

l’evoluzione è lineare

è una funzione che misura la quantità che varia nel tempo

sono i valori in corrispondenza ai tempi

0t 1t it NtT =

0y 1y iy Ny

DISCRETIZZAZIONEDISCRETIZZAZIONE TEMPORALETEMPORALE

( )y y t=

, ,...,0 1y y yn

La legge è lineare

, ,...,0 1y y yn sono definiti per ricorrenza

(1 )y f yn n=+ f funzione lineare

yn

1yn+

1.1. NascitaNascita di nuovi individuidi nuovi individui2.2. MorteMorte di alcuni individuidi alcuni individui3.3. Il numero di nati è Il numero di nati è proporzionaleproporzionale al numero di individui al numero di individui

presentipresenti4.4. Il numero di morti è Il numero di morti è proporzionaleproporzionale al numero di individui al numero di individui

presentipresenti

COSTRUZIONE DEL MODELLOCOSTRUZIONE DEL MODELLO

Ipotesi del modello lineare (di Malthus)

Equazione di bilancio : nnnn yyyy βα −+=+1

Equazione alle differenze

byy nn +=+ λ1

byyn

nn λ

λλ−−+=+ 1

1010yy n

n λ=

nn yy λ=+1

STRUMENTI MATEMATICI

con immigrazione

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

tempo

popolazione

Yn = 0.8 * Yn-1 + 0.2

λ−1b

Attività di laboratorio proposte

Esempi di costruzione di modelli

Identificazione dei parametri (minimi quadrati)

Studio dei punti di equilibrio

Estensione al caso non lineare ( logistica)

Generalizzazione a contesti diversi

TEMI E CONTENUTITEMI E CONTENUTI Attività 2Attività 2

Trasformazioni di immaginiTrasformazioni di immagini

Digitalizzazione di un’immagineDigitalizzazione di un’immagine

Manipolazione e filtraggioManipolazione e filtraggio

DIGITALIZZAZIONE DI DIGITALIZZAZIONE DI IMMAGINIIMMAGINI

Immagine in 2 ( , )f x y ( , )x y Ω? ? 2

Luminosità, colore

Immagine digitalizzata spaziale

quantitativa

Discretizzazione

(i,j)i

( , )ij i jF f x y=

1Q

P

Ogni elemento della matrice Fè detto pixel

MatriceP x Q

Discretizzazione spaziale

1 j

Discretizzazione quantitativa

85

64

115

42

201

37

…

…

…

83

…

I valori ( , )f x y vengono scelti in un insieme discreto di dimensione N (diadica, potenze del 2),che definisce il numero di livelli di grigi

DIGITALIZZAZIONE DIGITALIZZAZIONE

DI IMMAGINIDI IMMAGINI

Effetti della discretizzazione

Campionamento Quantizzazione

F’=(F*K)/N. F’ =log(F)*K/log(N),Uniforme Non­uniforme

N range dei grigi di ingresso, K range dei grigi di uscita

Variazione della grigliadi discretizzazione spaziale

CAMPIONAMENTO

QUANTIZZAZIONE

UNIFORME

QUANTIZZAZIONE

NONUNIFORME

TRASFORMAZIONI TRASFORMAZIONI

DI IMMAGINIDI IMMAGINI

Istogramma Trasformazioni geometriche

livelli di grigi0 ≤ n ≤ N­1

Frequenzedei pixel

( , ) : ( , ) ,0 255H freq a b F a b n n= =

simmetrie traslazioni rotazioni trasformazioni di potenza complementare

Immagini diverse possono avere uguale istogramma.

MANIPOLAZIONE E FILTRAGGIO MANIPOLAZIONE E FILTRAGGIO

DI IMMAGINIDI IMMAGINI

• Rimozione del rumore (tecniche di filtraggio)

• Modelli di rumore

Rumore : errori per esempio introdotti nella fase di acquisizione dell’immagine, nei valori dei pixel che differiscono dai valori ideali

Modalità di lavoro con gli insegnanti A. S. 2010­2011

Alcuni incontri preliminari di formazione

Alcuni incontri di collaborazione per la scelta e costruzione di modelli adeguati

Incontro finale di relazione e valutazione delle attività svolte, con modalità da definirsi.

Modalità di lavoro con gli studenti A. S. 2010­2011

Eventualmente, a discrezione degli insegnanti interessati, si può prevedere un intervento in classe di alcuni dei docenti universitari con lo scopo di presentare un’introduzione alla modellistica matematica e/o all’analisi delle immagini.

Interventi da parte di alcuni docenti universitari durante le attività di laboratorio (indispensabili!), per coadiuvare gli insegnanti nell’applicazione di software (octave).

Incontro finale di relazione e valutazione delle attività svolte, con modalità da definirsi.