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Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
RESUMEN DE COMBINATORIA
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Variaciones sin repetición
Variaciones ordinarias o variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (n m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
En cada grupo entren n elementos distintos.
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos.
Su número se representa por Vm, n o Vmn .
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Construcción y número de las variaciones ordinarias
Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿De cuántas maneras podemos ordenarsus elementos formando grupos de 1, 2, 3, 4, 5 elementos sin que se repita ninguno?
V5,1
abacadae
Número
V5,1 = 5
V5,2 babcbdbe
cacbcdce
dadbdcde
eaebeced
a b c d e
Formación
V5,2 = 5·4 = 20
V5,3abcabdabe…
bacbadbae...
cabcadcae…
...............
edaedbedc V5,3 = 5·4·3 = 60
n factores decrecientes consecutivos
En general: Vm, n = m (m – 1) (m – 2) (m – 3) ………….. (m – n + 1)
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Construcción de las variaciones ordinarias mediante un diagrama de árbol
En una carrera de motos participan 20 corredores. Teniendo en cuenta que no pueden llegar al mismo tiempo, ¿de cuántas maneras podrán llegar a la meta los tres primeros?
V20,3 =20 x 19 x 18 = 6840 posibilidades
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Variaciones con repetición
Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
En cada grupo entren n elementos repetidos o no.
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos.
Su número se representa por VRm, n o VRmn
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Construcción y número de las variaciones con repetición
Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿De cuántas maneras podemos ordenar sus elementos formando grupos de 1, 2, 3,…. elementos repitiendo cada uno tantas veces como haga falta?
VR5, 1
NúmeroVR5, 1 = 5
VR5, 2 dadbdcddde
a b c d e
Formación
VR5, 2 = 5·5 = 25
VR5 ,3…………… VR5, 3 = 5·5·5 = 125
n factores
En general: VRm, n = m . m . m . m . … . m = mn
aaabacadae
aaaaabaac…
babbbcbdbe
baababbac...
cacbcccdce
caacabcac…
eaebecedee
eeaeebeec
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Construcción de las variaciones con repetición mediante un diagrama de árbol
Lanzamos cuatro veces consecutivas una moneda, obteniendo en cada lanzamiento
cara (C) o cruz (X). ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener?
VR2,4 = 24 = 16
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Permutaciones ordinarias
Permutaciones ordinarias de n elementos tomados de n en n son los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de manera que:
En cada grupo entren los n elementos.
Dos grupos son distintos si se diferencian únicamente en el orden de colocación de los elementos.
Su número se representa por Pn.
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Número de permutaciones ordinarias
Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿De cuántas maneras podemos ordenar sus 5 elementos formando grupos de 5 sin que se repita ninguno?
n factores decrecientes consecutivos
En general: Vn, n = Pn = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) ………….. 5.4.3.2.1
P5 = V5,5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Permutaciones circulares
Este tipo de permutaciones se llaman permutaciones circulares de n elementos. El número de permutaciones circulares se representa por PC n =Pn-1
=(n-1)!
Ejemplo. ¿De cuántas formas se pueden sentar cuatro personas alrededor de una mesa redonda?
Se trata de ordenar cuatro personas (a,b,c,d).
abcd
abdc
acbd
acdb
adbc
adcb
bcad
bcda
bdac
bdca
bacd
badc
cabd
cadb
cbad
cbda
cdab
cdba
dbac
dbca
dcab
dcba
dabc
dacb
abcd
abdc
abcd
abdc
acbd
acdb
adbc
adcb
Todas las formas posibles, es decir, P3 = 3! = 6 formas distintas.
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, ... , el último k veces (a + b + ... + k = n), son los distintos grupos que se pueden formar, de manera que:
En cada grupo de n elementos el primero está a veces; el segundo b veces;...
Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.
Su número se representa por Pna,b,.....,k.
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Número de permutaciones con repetición
Con 5 monedas de las cuales dos están en posición de cara y tres en posición de cruz, ¿cuántas ordenaciones diferentes podremos formar en las que siempre dos estén en posición de cara y tres en posición de cruz?
• Si las monedas fuesen distinguibles (por ejemplo por ser de distintos colores) habría que permutar 5 elementos: en total 5! = 120.
• Pero a ser indistinguibles, muchas de las permutaciones son iguales. Para contar las permutaciones con repetición hemos de dividir entre el número de repeticiones.
• Las permutaciones repetidas que tienen tres cruces son 3! Las permutaciones repetidas que tienen dos caras son 2! El número de permutaciones repetidas son 3! . 2! = 12.
• Por tanto el número de permutaciones con repetición es: 5! / (3! . 2!) = 10.
Estas son las ordenaciones:CCXXXCXCXXCXXCXCXXXCXCCXXXCXCXXCXXCXXCCXXXCXCXXXCC
En general: n!Pn = a! b! ... k!
a, b, ... , k
(a + b + ... + k = n)
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Combinaciones sin repetición
Combinaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de n en n (n m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
En cada grupo entren n elementos distintos.
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de colocación de éstos.
Su número se representa por Cm, n o Cmn .
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Número de combinaciones sin repetición
Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿Cuántos subconjuntos podemos obtener formandocada uno por 1, 2, 3, ... elementos sin que se repita ninguno?
C5,1
abacadae
Número
C5, 1 = 5
C5,2
bcbdbe
cdce de
a b c d e
Formación
C5, 2 = (5.4)/2 = 10
C5,3 abcabdabe
acdace
ade bcdbce
cde
C5, 3 = (5.4.3)/6 = 10
bde
En general: Cm,n = Vm, n
Pn
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Combinaciones con repetición
Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (n m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
En cada grupo entren n elementos repetidos o no.
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de colocación de éstos.
Su número se representa por CRm, n o CRmn .
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
sí
no
Variaciones
sí
Permutaciones
sí
Con repetición
no
Ordinarias
no
Combinaciones
sí
Variaciones opermutaciones
no
¿Conviene contar todos los casos simultáneamente? sí Si hay dos o más tipos de situaciones, se
calculan por separado y se suman.
¿Se eligen los elementos de un mismo conjunto? no Se aplica el principio de la multiplicación.
¿Importa el orden?
¿Se escoge un elementomás de una vez?
¿Intervienen todos los elementos?
Problemas de combinatoria (I)
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Problemas de combinatoria (II)
Dado un conjunto de n elementos, queremos elegir m elementos de ese conjunto.¿Cómo lo podemos coger?
SIN repetición
CON repetición
Influye el orden
NO influye el ordenNO todos los elementos
Todos loselementos
Variacionesordinarias
Variaciones con repetición
Permutaciones
Permutacionescon repetición
Combinacionesordinarias
Combinacionescon repetición
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Números combinatorios
En general: Cm, n = Vm, n
Pn
=
Esto también se puede escribir de la siguiente forma:
m (m –1) (m – 2) … (m – n +1) (m – n )!
n! (m – n)! =
m!
n! (m – n)!Cm, n =
( )mnEsta última expresión recibe el nombre de número combinatorio
m (m – 1) ... (m – n +1)
n!
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Propiedades de los números combinatorios (I)
m0 = 1 =
m!
0! (m – 0)!Cm, 0 =m
0 =m!
1 · m!= 1
mm = 1 =
m!
m! (m – m)!Cm, m =m
m =m!
m! · 1= 1
mn = m
m – n
=m!
n! (m – n)!m
n =m!
(m – n)! n!
=m!
(m – n)! (m – (m – n))! =m
m – n
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Propiedades de los números combinatorios (II)
mn = m
n – 1 + m + 1n
mnm
n – 1 + =m!
(n – 1)! (m – n + 1)! +
m!
n! (m – n)!=
=m! . n
n! . (m – n + 1)! +
m! . (m – n + 1)
n!. (m + 1 – n)!= m + 1
nm! . (m + 1)
n! . (m + 1 – n)!=
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Números combinatorios y triángulo de Pascal
1 ( )10
1 1 ( )11( )1
0
1 2 1 ( )21 ( )2
2( )20
1 3 3 1 ( )31 ( )3
2( )30 ( )3
3
1 4 6 4 1 ( )41 ( )4
2( )40 ( )4
3( )4
4
1 5 10 10 5 1 ( )51 ( )5
2( )50 ( )5
3( )5
4 ( )55
Triángulo de Pascal
1 6 15 20 15 6 1 ( )61 ( )6
2( )60 ( )6
3( )6
4 ( )65 ( )6
6
( )m0 = ( )m
m = 1 ( )mn = ( )m
m–n ( )mn + ( )m
n–1 ( )m+1n
=
Matemáticas
2.º BachilleratoCombinatoria. Cálculo de probabilidades
Potencia de un binomio. Binomio de Newton
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
(a + b)1 = a + b
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3 b2 + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 +5ab4 + b5
(a + b)n = ( )n
n–1( )n0 an + ( )
n1 an–1b +...+ ( )
ni an–ibi +…+ abn–1 + ( )
nn bn
1 3 3 1
1 1
1 2 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Fórmula del binomio de Newton
Los números se llaman coeficientes binomiales.( )ni
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