View
237
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/28
Matemáticas DiscretasTC1003
Teoría de Conjuntos: Definiciones BásicasDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes
ITESM
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/28
Introducción
En esta lectura veremos la teoría elemental deconjuntos. Esto incluye cómo se definen y cuálesson las operaciones básicas. Un aspecto queintentamos enfatizar es cómo elaborar la teoría deconjuntos haciendo uso de la lógica matemática.
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/28
Definición de Conjunto
DefinicionUn conjunto es una colección o familia de objetos.
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/28
Definición de Conjunto
DefinicionUn conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único:servirán para definir un conjunto. Para ningunaotra cosa más.
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 4/28
Formas de Construir o Definir Conjuntos
Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:■ Definición de un conjunto por extensión.■ Definición de un conjunto por intención.
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 5/28
Definición por Extensión
DefinicionConstruir o definir un conjunto por extensiónconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.Ejemplo
{Rosana, Sakura, María del Carmen, VitoCorleone, Pedro }
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/28
Definición por Intención
DefinicionConstruir o definir un conjunto por intenciónconsiste en declarar cuáles elementos de un ciertoconjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabopor una propiedad o predicado P(x).
{x ∈ D|P(x)}
Ejemplo
{x ∈ R | − 2 < x}
“Todos aquellos números reales que son mayoresque -2.”
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 7/28
Conceptos
Veamos los conceptos básicos sobre teoría deconjuntos.
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/28
Pertenencia a un Conjunto
DefinicionUn objeto x se dice pertenecer o ser elemento oestar en un conjunto A si■ cuando el conjunto A está definido por extensión
cuando el elemento x aparece en la lista deelementos del conjunto A
■ cuando el conjunto A está definido por intencióncuando el elemento x es tomado del universo deldiscurso y cumple la propiedad establecida paraA
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/28
EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:
A = { Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone, Pedro}
1. Jonas : Jonas < A
2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro :Pedro ∈ A
6. Pablo Morales
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/28
EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:
{x ∈ Z| − 2 < x < 5}
1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 5
2. 6 : 6 < A pues −2 < 6 ≮ 5
3. -3 :−3 < A pues −2 ≮ −3 < 5
4. 1.5 : 1.5 < A pues 1.5 no es entero.
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 11/28
Definición de Subconjunto
DefinicionDiremos que un conjunto A es un subconjunto deel conjunto B y lo simbolizaremos
A ⊆ B
si todo elemento de A es también elemento de B.Observe que de la definición se tiene la siguienteequivalencia:
A ⊆ B ≡ ∀x, x ∈ A→ x ∈ B
Y negando lo anterior:
A * B ≡ ∃x, x ∈ A ∧ x < B
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/28
EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los números enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los números realesQ El conjunto de los números racionales o fraccionarios
Se tiene:1. N ⊆ Z
2. Z ⊆ Q
3. Q ⊆ R
4. Z * N
5. Q * Z
6. R * Q
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 13/28
Definición de Subconjunto Propio
DefinicionDiremos que un conjunto A es un subconjuntopropio de el conjunto B y lo simbolizaremos
A ⊂ B
si todo elemento de A es también elemento de B yademás existe un elemento de b que no eselemento de A.
A ⊂ B ≡ (A ⊆ B) ∧ (B * A)
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/28
EjemploEn referencia a los conjuntos N,Z,Q,R:1. N ⊂ Z
2. Z ⊂ Q
3. Q ⊂ R
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 15/28
EjemploSi
A = {c, d, f , i}
B = {a, f }
C = {c, i}
Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:(a) B ⊆ B :(b) B ⊂ B
(c) C ⊆ B
(d) C ⊆ A(a) cierto pues todo elemento de B es elemento de B. (b) Falso,
pues ⊂ no tolera la igualdad. (c) Falso, pues existe un elemento en
C, a saber i, que no es elemento de B. (d) Cierto, pues todo
elemento de C, tanto c como i, son elementos de A.
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 16/28
Cuidado con la Notación
EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:1. c ⊂ {c}
2. {c} ⊆ {a, b, {c}}
3. {c} ∈ {a, b, {c}}
4. {c} ∈ {{c}}
5. {c} ⊆ {{c}}
1. Falsa: Note que X ⊂ y se usa para cuando x es conjunto y Y es
conjunto. 2. Falsa: Para revisar si se tiene ⊆ se deben tomar los
elementos de {c}, el único es c y ver si son elementos de {a, b, {c}},
pero no es elemento: el conjunto formado con c sí es elemento pero
c no. 3. Cierta: {c} es un elemento de {a, b, {c}}, es el último
elemento. 4. Cierta: {c} efectivamente es elemento de {{c}} (es el
único elemento!) 5. Falsa: el elemento c no es elemento de {{c}}, el
que sí es elemento es {c}.
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 17/28
Igualdad entre conjuntos
DefinicionDos conjuntos A y B se dicen iguales si poseen losmismos elementos. Es decir, todos los elementosde A son elementos de B y todos los elementos deB son también elementos de A. En términosformales:
A = B ≡ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 18/28
EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesciertas para los conjuntos:a) D = {a, b, e, f }
b) A = {a, a, f , g, e, g}
c) C = { f , g, a, e}
d) B = { f , b, a, e}Entre:1. D = C
2. C = A
3. D = B
4. D = A
1. es falsa, pues D * C debido a que b ∈ D y b < C. 2. es cierta,
pues todo elemento de A (tanto a, como f , como g, y como e) están
en C y recíprocamente. 3. es cierta, por el mismo tipo de razón que
2. 4. es falsa, pues b ∈ D y b < A.
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 19/28
El conjunto Vacío
DefinicionEl conjunto que no tiene ningún elemento sellamará el conjunto vacío.Y se simbolizará por:
∅
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/28
Ojo con la notación
EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas:1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de
cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅ Falso5. 0 = ∅ Falso
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 21/28
Operaciones entre conjuntos: Unión
DefinicionSean A y B dos conjuntos. La unión de A con B esel conjunto de aquellos elementos que están en Ao que están en B. Este conjunto se simbolizará por
A ∪ B
Asíx ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 22/28
Operaciones entre conjuntos: Intersección
DefinicionSean A y B dos conjuntos. La intersección de Acon B es el conjunto de aquellos elementos queestán en A y que están en B. Este conjunto sesimbolizará por
A ∩ B
Asíx ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 23/28
Operaciones entre conjuntos: Diferencia
DefinicionSean A y B dos conjuntos. La diferencia de A con Bes el conjunto de aquellos elementos que están enA y que no están en B. (el orden diferencia decon importa). Este conjunto se simbolizará por
A − B
Asíx ∈ A − B ≡ (x ∈ A) ∧ (x < B)
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 24/28
Operaciones entre conjuntos: Complemento
DefinicionSea A un subconjunto de un conjunto universal U.El complemento de A son todos aquelloselementos de U que no están en A. Este conjuntose simbolizará por
Ac
Asíx ∈ Ac ≡ (x ∈ U) ∧ (x < A)
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 25/28
EjemploSi
U = {1,2,3,4,5,6,7,8}
A = {2,5,6,7}
B = {1,2,4,6}
C = {4,5,6,8}
Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,6,8}-{5,7}={4,6,8}c) A ∩C ={5,6}d) B − (A ∪C) ={ 1,2,4,6}-{ 2,4,5,6,7,8}={1}
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/28
Conjunto Potencia
DefinicionEl conjunto potencia de una conjunto A es elconjunto que contiene todos los posiblessubconjuntos de A. Notación o simbología:
P(A)
EjemploDeterminar P({4,15}).Se tiene:
P({4,15}) = {{}, {4}, {15}, {4,15}}
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 27/28
El Producto Cartesiano
DefinicionSean A y B dos conjuntos (posiblemente igualespero no vacíos). El producto cartesiano de A con B(el orden de con importa). Es elconjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)donde a ∈ A y b ∈ B. Notación:
A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}
IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac
- P(A)- A × B
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 28/28
EjemploSi A = {1,4,14} y B = {1,3}. Calcular:
A × B
Solucion:Son todas las parejas de un rojo y un azul:
A × B = {(1,1), (1,3), (4,1), (4,3), (14,1), (14,3)}
Recommended