View
221
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Matematika 1
12. prednaska
MA1
1 Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy
2 Skalarnı, vektorovy a smıseny soucin, projekce vektoru
3 Prımky a roviny
4 Vzdalenosti
5 Prıcky mimobezek
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 1 / 32
1 Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy
2 Skalarnı, vektorovy a smıseny soucin, projekce vektoru
3 Prımky a roviny
4 Vzdalenosti
5 Prıcky mimobezek
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 2 / 32
Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy
Bod v rovine nebo v prostoru ztotoznıme s usporadanou dvojicı [x , y ] nebo trojicı [x , y , z] realnychcısel. Tyto mnoziny budeme znacit E2 nebo E3.
Vektorem budeme nazyvat usporadanou dvojici (x , y) nebo trojici (x , y , z) realnych cısel. Tytomnoziny budeme znacit V 2 nebo V 3.
Orientovana usecka ~AB, kde A, B ∈ E2 nebo A, B ∈ E3 a platı B − A = u je umıstenım vektoru udo bodu A, je take reprezentantem vektoru u.
Napr. body [x , y , z] na kulove plose se stredem v bode S = [3, 1, 0] a s polomerem r = 3splnujı rovnici
(x − 3)2 + (y − 1)2 + z2 = 9.
Naprıklad skladanı sil pusobıcıch ve stejnem bode odpovıda souctu vektoru, ktere sılyreprezentujı. Je-li ~u = (0, 1, 2) a ~v = (1,−1, 0), je jejich soucet
~w = ~u + ~v = (1, 0, 2).
Dva body A = [1, 1, 3] a B = [3, 0, 0], mohou urcovat vektor posunutı
~AB = B − A = [3, 0, 0]− [1, 1, 3] = (2,−1,−3).
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 3 / 32
1 Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy
2 Skalarnı, vektorovy a smıseny soucin, projekce vektoru
3 Prımky a roviny
4 Vzdalenosti
5 Prıcky mimobezek
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 4 / 32
Skalarnı soucin dvou vektoru u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) je definovan
u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3.
Skalarnı soucin se nekdy znacı take (u, v) nebo jen uv . (Inner product, scalar product, dotproduct.)Napr. (u, v) = ((1, 2, 5), (3,−4, 0)) = −5.
Delka vektoru (velikost, norma, Euklidovska norma) je
||u|| =q
u21 + u2
2 + u23 .
Tedy platı||u|| =
√u · u.
Napr. ||u|| = ||(1,−3, 5)|| =√
35.
Pro jakykoliv nenulovy vektor u platı, ze delka vektoru 1||u||u je 1, nebot
||1||u||
u|| =1||u||
||u|| = 1.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 5 / 32
v
u
u’
v’
z
α
v
uv’
π/2
v−v’
Odchylka (uhel) α, α ∈ 〈0, π〉, dvou vektoru lze spocıtat pomocı
cos α =u · v
||u|| ||v ||.
Dva vektory jsou kolme, prave kdyz je jejich skalarnı soucin 0.
Kolma projekce v ′ vektoru v do vektoru u je dana vztahem
v ′ =u · v||u||2
u.
Odvozenı: Ma platit v ′ = c u a (v − v ′, u) = 0.Tedy
(v − c u, u) = 0
c =(v , u)
(u, u)=
(v , u)
||u||2,
tedy
v ′ =(v , u)
(u, u)u =
u · v||u||2
u.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 6 / 32
Vektorovy soucin dvou vektoru u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) je vektor
u × v = (u2v3 − u3v2,−u1v3 + u3v1, u1v2 − u2v1).
(Cross product.)
Pomucka pro vypocet:
u1 u2 u3v1 v2 v3
−−−−−−− −−−−−−− −−−−−−−u2v3 − u3v2 −(u1v3 − u3v1) u1v2 − u2v1
Vlastnosti:
a) u × v je kolmy k obema vektorum u a v ;
b) velikost vektoru u × v je rovna plose rovnobeznıka urceneho vektory u a v , tedy
||u × v || = ||u|| ||v || sin φ,
kde φ je odchylka u a v ;
c) orientace u × v je dana pravidlem prave ruky: je-li u ukazovacek, v malıcek, mırı palec(nelezıcı v rovine dlane) smerem u × v .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 7 / 32
Vektorovy soucin dvou vektoru u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) je vektor
u × v = (u2v3 − u3v2,−u1v3 + u3v1, u1v2 − u2v1).
(Cross product.)
Pomucka pro vypocet:
u1 u2 u3v1 v2 v3
−−−−−−− −−−−−−− −−−−−−−u2v3 − u3v2 −(u1v3 − u3v1) u1v2 − u2v1
Vlastnosti:
a) u × v je kolmy k obema vektorum u a v ;
b) velikost vektoru u × v je rovna plose rovnobeznıka urceneho vektory u a v , tedy
||u × v || = ||u|| ||v || sin φ,
kde φ je odchylka u a v ;
c) orientace u × v je dana pravidlem prave ruky: je-li u ukazovacek, v malıcek, mırı palec(nelezıcı v rovine dlane) smerem u × v .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 7 / 32
Vektorovy soucin dvou vektoru u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) je vektor
u × v = (u2v3 − u3v2,−u1v3 + u3v1, u1v2 − u2v1).
(Cross product.)
Pomucka pro vypocet:
u1 u2 u3v1 v2 v3
−−−−−−− −−−−−−− −−−−−−−u2v3 − u3v2 −(u1v3 − u3v1) u1v2 − u2v1
Vlastnosti:
a) u × v je kolmy k obema vektorum u a v ;
b) velikost vektoru u × v je rovna plose rovnobeznıka urceneho vektory u a v , tedy
||u × v || = ||u|| ||v || sin φ,
kde φ je odchylka u a v ;
c) orientace u × v je dana pravidlem prave ruky: je-li u ukazovacek, v malıcek, mırı palec(nelezıcı v rovine dlane) smerem u × v .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 7 / 32
Vektorovy soucin dvou vektoru u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) je vektor
u × v = (u2v3 − u3v2,−u1v3 + u3v1, u1v2 − u2v1).
(Cross product.)
Pomucka pro vypocet:
u1 u2 u3v1 v2 v3
−−−−−−− −−−−−−− −−−−−−−u2v3 − u3v2 −(u1v3 − u3v1) u1v2 − u2v1
Vlastnosti:
a) u × v je kolmy k obema vektorum u a v ;
b) velikost vektoru u × v je rovna plose rovnobeznıka urceneho vektory u a v , tedy
||u × v || = ||u|| ||v || sin φ,
kde φ je odchylka u a v ;
c) orientace u × v je dana pravidlem prave ruky: je-li u ukazovacek, v malıcek, mırı palec(nelezıcı v rovine dlane) smerem u × v .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 7 / 32
Prıklad.Urcıme obsah trojuhelnıka s vrcholy A = [0, 0, 2], B = [−1, 3, 1], C = [1, 1, 5].Urcıme uhel pri vrcholu A.
Dve strany trojuhelnıka tvorı vektory napr. u = B − A a v = C − A, tedy
u = (−1, 3,−1),
v = (1, 1, 3).
Obsah trojuhelnıka je tedy
S =12||u × v || =
12||(10, 2,−4)|| =
12
q102 + 22 + (−4)2 =
√120/2 =
√30.
Pro uhel pri vrcholu A platı
cos α =(u, v)
||u|| ||v ||=
((−1, 3,−1), (1, 1, 3))√
1 + 9 + 1√
1 + 1 + 9=
−111
,
tedy
α = arccos−111
.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 8 / 32
Smıseny soucin vektoru u, v , w ∈ V 3 je
u · (v × w).
Vlastnosti:
a) Hodnota smıseneho soucinu je rovna determinantu matice, jejız radky (resp. sloupce) jsoutvoreny vektory u, v , w (v tomto poradı).
b) Absolutnı hodnota smıseneho soucinu je rovna objemu rovnobeznostenu jehoz hrany jsouvektory u, v , w .
c) Absolutnı hodnota smıseneho soucinu je rovna 6-tinasobku objemu ctyrstenu jehoz hranyjsou vektory u, v , w .
Prıklad. Urcete objem ctyrstenu urceneho vektory u = (2, 0, 3), v = (−1, 1, 0), w = (0, 5, 1).
16
˛˛det
0@ 2 0 3−1 1 0
0 5 1
1A˛˛ =
|2 + 0 − 15 − 0 − 0 − 0|6
=136
.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 9 / 32
1 Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy
2 Skalarnı, vektorovy a smıseny soucin, projekce vektoru
3 Prımky a roviny
4 Vzdalenosti
5 Prıcky mimobezek
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 10 / 32
Prımka v prostoru muze byt urcena dvema body (P a Q) nebo bodem a smerovym vektorem(P a v ).
Kazdy bod [x , y , z] na prımce lze vyjadrit v parametrickem (vektorovem) tvaru
[x , y , z] = P + s(Q − P),
kde s ∈ R, nebo[x , y , z] = P + sv ,
kde s ∈ R. Mınıme-li bodem X = [x , y , z] bod prımky, lze psat strucneji
X = P + s(Q − P) nebo X = P + sv .
Jestlize oznacıme P = [P1, P2, P3] a v = (v1, v2, v3), muzeme vzah
X = P + sv
prepsat do 3 rovnic
x = P1 + sv1, y = P2 + sv2, z = P3 + sv3.
Osamostatnıme-li v kazde z techto trı rovnic s, dostaneme
s =x − P1
v1, s =
y − P2
v2, s =
z − P3
v3,
a tedyx − P1
v1=
y − P2
v2=
z − P3
v3.
Tım jsme dostali kanonicke (osove, polarnı) vyjadrenı prımky.12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 11 / 32
Prıklad. Urcıme nejaky smerovy vektor v a nejaky bod P prımky
x − 17
=y + 3
2=
5 − z10
.
Podle predchozıho textu je napr.
x − 17
=y + 3
2=
5 − z10
= s,
a tedyx = 1 + 7s, y = −3 + 2s, z = 5 − 10s,
a tedy v = (7, 2,−10) (pozor na znamenko poslednı souradnice) a P = (1,−3, 5).
Dve ruzne prımky v prostoru mohou byt
a) ruznobezne - majı prave jeden spolecny bod,
b) rovnobezne - majı rovnobezne smerove vektory a nemajı zadny spolecny bod,
c) mimobezne - nemajı rovnobezne smerove vektory a nemajı zadny spolecny bod.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 12 / 32
Prıklad. Urcete vzajemnou polohu prımek p a r . Prımka p je dana body A = [0, 2, 1] aB = [1,−3, 0]. Prımka r je dana bodem C = [1, 1, 1] a vektorem u = (0,−3, 1).
Urcıme smerovy vektor prımky p:
v = B − A = (1,−5,−1).
Vektory u a v nejsou linearne zavisle, proto prımky p a r nejsou rovnobezne (ani totozne).
Zjistıme, zda majı prımky spolecny bod. Budeme resit soustavu rovnic (hledat s a t)
A + sv = C + tu,
tedy
0 + s = 1 + 0t
2 − 5s = 1 − 3t
1 − s = 1 + t .
Nutne s = 1, potom z poslednı rovnice t = −1, ale to nevyhovuje druhe rovnici, tedy soustavanema resenı, tedy prımky p a r jsou mimobezky.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 13 / 32
Prımka v rovine muze byt urcena dvema body (P a Q) nebo bodem a smerovym vektorem (Pa v ). Tedy kazdy bod [x , y ] na prımce lze vyjadrit v parametrickem tvaru
[x , y ] = P + s(Q − P),
kde s ∈ R nebo[x , y ] = P + sv ,
kde s ∈ R. Mınıme-li bodem X = [x , y ] bod prımky, lze psat strucneji
X = P + s(Q − P) nebo X = P + sv .
Jestlize oznacıme P = [P1, P2] a v = (v1, v2), muzeme vztah
X = P + sv
prepsat jakox = P1 + sv1, y = P2 + sv2.
Osamostatnıme-li v kazde z techto dvou rovnic s, dostaneme
s =x − P1
v1, s =
y − P2
v2,
a tedyx − P1
v1=
y − P2
v2,
nebolixv2 − yv1 − P1v2 + P2v1 = 0.
Tım jsme dostali obecnou rovnici prımky, ktera je vzdy typu ax + by + c = 0, kde a, b, c jsourealne konstanty. Vzdy je vektor (a, b) kolmy ke smerovemu vektoru prımky.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 14 / 32
Prıklad. Urcıme obecnou rovnici prımky, ktera je dana body A = [0, 1] a B = [2, 7].
Parametricke vyjadrenı prımky je napr.
[x , y ] = A + s(B − A) = [0, 1] + s((2, 7)− (0, 1)) = [0, 1] + s(2, 6),
s ∈ R, tedy
s =x − 0
2=
y − 16
,
neboli6x − 2y + 2 = 0,
coz je totez jako3x − y + 1 = 0.
Obecna rovnice prımky je tedy 3x − y + 1 = 0.
V tomto prıklade jsme mohli postupovat jeste jinak. Vıme, ze hodnoty a, b v obecne rovnici prımkytvorı vektor kolmy k prımce. Najdeme tedy nejaky. Je-li smerovy vektor (2, 6) (nebo take (1, 3)), jek nemu kolmy vektor napr. (−3, 1). Obecne rovnice bude tedy
−3x + y + c = 0.
Konstantu c urcıme dosazenım libovolneho bodu prımky, napr. A,
−3 · 0 + 1 · 1 + c = 0,
tedy c = −1, tedy rovnice je−3x + y − 1 = 0,
neboli3x − y + 1 = 0.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 15 / 32
Prıklad. Urcıme odchylku α a prunik S prımek p a q, kde p je dana rovnicı 3x − y + 7 = 0 a q jeurcena body A = [1, 1] a B = [2, 5].
Smerovy vektor prımky p je u = (1, 3) a smerovy vektor prımky q je v = B − A = (1, 4).Uhel α prımek p a q je roven uhlu vektoru u a v
cos α =|u · v |||u|| ||v ||
=1 + 12√
10√
17=
13√
170.
Odchylka prımek je tedy α = arccos 13√170
.Parametricke vyjadrenı prımky q je napr.
[x , y ] = [1, 1] + s(1, 4),
s ∈ R. Kazdy bod spolecny obema prımkam bude vyhovovat rovnici pro p i vyjadrenı q,dosadıme tedy parametricke vyjadrenı q do obecne rovnice pro p
3x − y + 7 = 3(1 + s)− (1 + 4s) + 7 = 0,
a dostaneme s = 9. Spolecny bod je
S = [x , y ] = [1, 1] + 9(1, 4) = [10, 37].
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 16 / 32
Rovina v prostoru muze byt urcena tremi body (P, Q, R) nebo bodem a dvema linearnenezavislymi smerovymi vektory (P, u, v ). Bod X = [x , y , z] roviny tedy muzeme vyjadrit ve tvaru
X = P + r(Q − P) + s(R − P),
r , s ∈ R, neboX = P + ru + sv ,
r , s ∈ R, to jsou parametricke (vektorove) rovnice roviny.
Uvedomme si, ze pro kazdy bod roviny X platı, ze vektor X − P je linearnı kombinacı vektoru u av . Normalovy vektor n = (n1, n2, n3) roviny je kolmy k u i v , tedy k X − P pro libovolne X . Tedyrovina muze byt dana rovnicı
n · (X − P) = 0,
nebolin1(x − P1) + n2(y − P2) + n3(z − P3) = 0,
nebon1x + n2y + n3z − n1P1 − n2P2 − n3P3 = 0,
nebo obecneax + by + cz + d = 0.
Tento vztah se nazyva obecna rovnice roviny. Koeficienty a, b, c v rovnici tvorı vektor(a, b, c) kolmy k rovine, je to normalovy vektor roviny.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 17 / 32
Odchylka α rovin ρ a τ je dana odchylkou jejich normalovych vektoru nρ a nτ
cos α =|nρ · nτ |||nρ|| ||nτ ||
.
Odchylka α prımky p od roviny ρ lze spocıtat ze vztahu
sin α =|nρ · vp|||nρ|| ||vp||
,
kde nρ je normalovy vektor roviny ρ a vp je smerovy vektor prımky p.
Prımka a rovina v prostoru mohou byt
a) ruznobezne (majı prave jeden spolecny bod),
b) rovnobezne (nemajı zadny spolecny bod nebo je prımka castı roviny).
Prımka a rovina v prostoru NEMOHOU byt mimobezne.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 18 / 32
Prıklad. Urcıme obecnou rovnici roviny ρ, ktera je dana bodem P = [2, 0, 1] a vektoryu = (−1, 2, 2) a v = (3, 1, 0).
Najdeme normalovy vektor n roviny ρ jako vektorovy soucin vektoru u a v ,
n = u × v = (−1, 2, 2)× (3, 1, 0) = (−2, 6,−7).
Rovnice bude tedy−2x + 6y − 7z + d = 0.
Konstantu d urcıme dosazenım bodu P,
−2 · 2 + 6 · 0 − 7 · 1 + d = 0,
tedy d = 11. Obecna rovnice roviny ρ je tedy −2x + 6y − 7z + 11 = 0, neboli
2x − 6y + 7z − 11 = 0.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 19 / 32
Prıklad. Urcıme prunik rovin ρ a τ , ktere jsou zadane obecnymi rovnicemi 3x − 2y + 1 = 0 ax + y + z + 2 = 0.
Roviny nejsou rovnobezne, protoze jejich normalove vektory nρ = (3,−2, 0) a nτ = (1, 1, 1) jsoulinearne nezavisle. Smerovy vektor v prımky p , ktera je jejich prunikem, je kolmy k nρ i k nτ ,
v = nρ × nτ = (−2,−3, 5).
Zbyva najıt nejaky bod p vyresenım soustavy rovnic
3x − 2y + 1 = 0
x + y + z + 2 = 0.
Zvolıme-li napr. x = 1, dostaneme y = 2 a z = −5, tedy parametricke vyjadrenı prımky je
[x , y , z] = [1, 2,−5] + s(−2,−3, 5),
s ∈ R.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 20 / 32
Prıklad. Najdeme prunik P prımky zadane
[x , y , z] = [1, 2,−5] + s(−3,−2, 5),
s ∈ R, s rovinoux − y + 2z − 7 = 0.
Dosadıme vyjadrenı prımky do rovnice roviny
(1 − 3s)− (2 − 2s) + 2(−5 + 5s)− 7 = 0,
dostaneme9s = 18,
tedy s = 2, tedy prunikem je bod P = [1, 2,−5] + 2(−3,−2, 5) = [−5,−2, 5].
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 21 / 32
1 Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy
2 Skalarnı, vektorovy a smıseny soucin, projekce vektoru
3 Prımky a roviny
4 Vzdalenosti
5 Prıcky mimobezek
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 22 / 32
Vzdalenost mnozin bodu M1 a M2 je infimum delek usecek spojujıcıch nejaky bod z M1 snejakym bodem z M2.
Vzdalenost bodu od roviny. Vzdalenost d(P, τ) bodu P = [p1, p2, p3] od roviny τ dane rovnicıax + by + cz + d = 0 je
d(P, τ) =|ap1 + bp2 + cp3 + d |p
a2 + b2 + c2.
Odvozenı. Prımka kolma k τ a prochazejıcı bodem P je
X = P + t(a, b, c).
Jejı prunik s rovinou τ najdeme dosazenım
a(P1 + sa) + b(P2 + sb) + c(P3 + sc) + d = 0,
s =aP1 + bP2 + cP3 + d
a2 + b2 + c2.
Bod pruniku je tedy T = P + s(a, b, c) a vzdalenost T od P je d(P, τ) = ||s(a, b, c)||, tedy
d(P, τ) = |s|p
a2 + b2 + c2 =|aP1 + bP2 + cP3 + d |
a2 + b2 + c2
pa2 + b2 + c2 =
|aP1 + bP2 + cP3 + d |pa2 + b2 + c2
.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 23 / 32
Prıklad. Urcıme vzdalenost d(P, τ) bodu P = [6, 1, 0] od roviny τ dane bodem A = [3, 0, 0] avektory u = (1, 2, 0) a v = (0, 1, 1).
(Prvnı postup.) Najdeme obecnou rovnici roviny τ a pouzijeme predchozı vzorec. Normalovyvektor je n = (2,−1, 1), tedy rovnice je 2x − y + z + d = 0, kde d = −6. Vzdalenost je tedy
d(P, τ) =2 · 6 − 1 · 1 + 1 · 0 − 6p
22 + (−1)2 + 12=
5√
6.
(Jiny postup.) Vektory u, v a w = P − A = (3, 1, 0) urcujı rovnobeznosten, jehoz objem je rovenabsolutnı hodnote determinantu
V = det
0@ 1 2 00 1 13 1 0
1A = 0 + 6 + 0 − 0 − 1 = 5.
Objem je ale soucasne roven obsahu podstavy, urcene vektory u a v , nasobenemu vzdalenostıd(P, τ), tedy
V = ||u × v || · d(P, τ) = ||(2,−1, 1)|| · d(P, τ) =√
6 · d(P, τ),
tedy
d(P, τ) =5√
6.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 24 / 32
As
P
d(P,s)
v
u
Vzdalenost bodu od prımky. Vzdalenost bodu P = [p1, p2, p3] od prımky s dane bodem A asmerovym vektorem v je
d(P, s) =||(P − A)× v ||
||v ||.
Odvozenı. Pouzijeme zname vztahy. Oznacme u = P − A. Rovnobeznık urceny vektory u a v maobsah
S = ||u × v ||.
Tento obsah je roven soucinuS = d · ||v ||,
kde d je vzdalenost bodu P od prımky s. Tedy
d(P, s) =||(P − A)× v ||
||v ||.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 25 / 32
1 Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy
2 Skalarnı, vektorovy a smıseny soucin, projekce vektoru
3 Prımky a roviny
4 Vzdalenosti
5 Prıcky mimobezek
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 26 / 32
Prıcky mimobezek
Jestlize p a q jsou mimobezky, nazyva se kazda prımka, ktera protına p i q, jejich prıcka.
Prıcka, na ktere tyto dva prusecıky vytınajı usecku nejmensı delky, se nazyva osa mimobezek.
Prıklad. Urcete osu r mimobezek p a s. Prımka p je urcena pravym svislym okrajem promıtacıhoplatna, ktere sledujete, prımka s je urcena hornım okrajem vaseho sesitu.
Urcıme smer w , kolmy ke smerum prımek p a s. To bude smer hledane osy r .Sestrojıme rovinu ρ, ktera prochazı prımkou p a je rovnobezna se smerem w .Najdeme prunik T roviny ρ a prımky s.Osa r je dana bodem T a vektorem w .
? Co bude resenım, budou-li prımky p a s rovnobezne ?? Co bude resenım, budou-li prımky p a s ruznobezne ?? Jak urcıme vzdalenost mimobezek ?
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 27 / 32
Prıklad. Najdete osu r mimobezek p a q, vyjadrenych vztahy
p : X = A + sv , q : X = B + tu,
s, t ∈ R, kde A = [1, 0, 1], B = [0, 2, 2], v = (1, 1, 0), u = (−2, 0, 1).
(Overenı mimobeznosti p a q by se provedlo naprıklad zjistenım, ze determinant matice slozene zvektoru u, v a B − A je nenulovy.)Urcıme smer prımky r - smer kolmy k p i q,
w = v × u = (1,−1, 2).
Urcıme rovinu ρ prochazejıcı prımkou p a rovnobeznou se smerem w . Rovina ρ ma tedynormalovy vektor
(a, b, c) = w × v = (−2, 2, 2) = −2(1,−1,−1)
a rovnicix − y − z + d = 0.
Konstantu d spocteme dosazenım A do rovnice,
1 − 0 − 1 + d = 0,
tedy d = 0. Prunik q a ρ oznacıme C a spocteme dosazenım vyjadrenı q do obecne rovnice ρ,
(0 − 2t)− (2)− (2 + t) = 0.
Mame t = − 43 , a tedy C = [0, 2, 2]− 4
3 (−2, 0, 1) = [ 83 , 2, 2
3 ]. Osa mimobezek p a q je tedy
X = C + sw = [83
, 2,23] + k(1,−1, 2),
k ∈ R.12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 28 / 32
Prıklad. Najdeme prıcku r mimobezek p a q rovnobeznou se smerem w = (0, 1, 0). Prımky p a qjsou vyjadreny vztahy
p : X = A + sv , q : X = B + tu,
s, t ∈ R, kde A = [1, 0, 1], B = [0, 2, 2], v = (1, 1, 0), u = (−2, 0, 1).
Nejdrıve urcıme rovinu ρ prochazejıcı prımkou p a rovnobeznou se smerem w . Rovina ρ manormalovy vektor
n = v × w = (0, 0, 1),
a tedy obecnou rovnici z + d = 0. Urcıme d dosazenım bodu A do rovnice ρ,
1 · 1 + d = 0.
Dostaneme d = −1. Prunik ρ a q dostaneme dosazenım vyjadrenı q do ρ,
1(2 + t)− 1 = 0,
mame t = −1, tedy prunik je C = [0, 2, 2]− (−2, 0, 1) = [2, 2, 1]. Prıcka je tedy
X = C + kw = [2, 2, 1] + k(0, 1, 0),
kde k ∈ R.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 29 / 32
Otazky.
1. Co lze obecne rıci o rovine zadane obecnou rovnicı ax + by + cz + d = 0, kdea) a = 0,b) a = b = 0,c) d = 0 ?
2. Jak najıt kolmy prumet prımky do roviny?
3. Jak najıt kolmy prumet bodu do roviny?
4. Jak najıt bod soumerne sdruzeny s danym bodem podle dane roviny?
5. Jak urcit vzdalenost bodu od roviny?
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 30 / 32
1 Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy
2 Skalarnı, vektorovy a smıseny soucin, projekce vektoru
3 Prımky a roviny
4 Vzdalenosti
5 Prıcky mimobezek
6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 31 / 32
Zkouska: 120 minut, sesite papıry, . . .
Odpovedi na otazky - vetami.
Nahledy, zkousenı na A, zapis znamky do indexu - nasledujıcı den po pısemne zkousce.
Vyberova Matematika 2 . . . web Katedry matematiky
Vycichlova soutez,
Rektorysova soutez,
Kapitoly ze soucasne matematiky,
seminar
. . . web Katedry matematiky
Katedra matematiky - predmet YZAI (Zaklady informatiky)
MATLAB, SCILAB - volne, atd.
12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 32 / 32
Recommended