View
239
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
MATEMATIKA „A” 10. évfolyam
5. modul
Függvények
Készítette: Csákvári Ágnes
Matematika „A” 10. évfolyam – 5. modul: Függvények Tanári útmutató 2
A modul célja A lineáris, a lineáris tört-, a másodfokú függvény, és a négyzetgyökfüggvény tulajdonságainak isme-
rete. Olvasása grafikonról, szöveges feladatokban a függvény tulajdonságainak alkalmazása. Képlettel megadott egyszerű függvények ábrázolása értéktáblázattal és transzformációval. A függvény mint modell alkalmazása egyszerű problémákban, a hétköznapi életben. Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása. Lineáris és másodfokú egyenletrendszerek és egyenlőtlenség-rendszerek megoldása grafi-kusan.
Időkeret 10 óra
Ajánlott korosztály 10. évfolyam
Modulkapcsolódási pontok Tágabb környezetben: Hétköznapi szituációk, fizikai, kémiai folyamatok. Szűkebb környezetben: Egyenletek, egyenletrendszerek megoldása. Algebrai átalakítások, hatványozás, négyzetgyökvonás. Grafikonok, intervallumok, nevezetes ponthalmazok. Geometriai transzformációk. Arányosság. Soro-zatok. Ajánlott megelőző tevékenységek: Egyenes és fordított arányosság, lineáris függvény, abszolútérték függvény és a másodfokú függvény tulajdonságai, grafikonjaik ábrázolása. Nevezetes azonosságok, hatványozás, négyzetgyökvonás azo-nosságai. Teljes négyzetté alakítás. Másodfokú egyenlet megoldó képlete. Geometriai transzformáci-ók, vektorok. Első- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldása. Törtet tartalmazó egyenletek. Ajánlott követő tevékenységek: 10. évfolyamon: Másodfokúra visszavezethető problémák megoldása. Négyzetgyökös egyenletek. Számtani és mértani közép, szélsőérték feladatok. Szögfüggvények. Később: analízis elemei, soroza-tok (számtani, mértani), exponenciális és logaritmus függvények és egyenletek. Koordináta-geometria. Nevezetes ponthalmazok (ellipszis, hiperbola, parabola).
Matematika „A” 10. évfolyam – 5. modul: Függvények Tanári útmutató 3
A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számlálás, számítás: A függvényértékek közötti reláció meghatározása. A függvények tulajdonságainak meghatározása. A grafikus megjelenítés a függvényértékek közötti reláció meghatározását képi formában is megerősí-ti. A függvények zérushelyének kiszámítása. Mennyiségi következtetés: A valóság egyes folyamatairól szóló szöveges feladatok arányossággal is kikövetkeztethetőek. A fizikában és a matematikában előforduló négyzetes összefüggések szemléltetése értéktáblázattal, illetve grafikonon. A folytonos, a szakaszos és a diszkrét változások elemzése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: A valóság folyamatait leíró grafikonok, és a matematikai függvények grafikonjainak különbözősége, hasonlósága szöveges feladatok alapján. Másodfokú függvény jellemzése a zérushelyek és a főegyüttható ismeretében. Irracionális koordiná-tákkal megadott pontok közelítő helyének meghatározása a koordináta-rendszerben. Szöveges feladatok, metakogníció: A valóságból vett szöveges feladatok algebrai megfogalmazása, az így leírt kétváltozós összefüggések ábrázolása a koordináta-rendszerben, értéktáblázatban. Az elméleti anyag feldolgozása, a szöveg megértésének ellenőrzése. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A valóság folyamatait leíró grafikonok összehasonlítása, ará-nyosság és függvény kapcsolata, a geometriai transzformációk alkalmazása függvénytranszformációkban, egyenlőtlenségek megoldáshalmazának megállapítása. Induktív, deduktív következtetés: Konkrét számokkal, illetve összefüggésekkel megadott függvényekről átlépés az általános képlettel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása
Támogató rendszer Kártyakészletek, fóliák, ablakok, szakértői mozaik anyagai, képek, grafikonok.
Matematika „A” 10. évfolyam – 5. modul: Függvények Tanári útmutató 4
A tananyag javasolt órabeosztása Óraszám Óracím
1. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása, ábrázolása; pont és egyenes illeszkedése. 2. Lineáris egyenletekkel, illetve egyenletrendszerekkel grafikus úton megoldható szöveges feladatok; lineáris egyenlőtlenségek grafikus
megoldása. 3. Fordított arányosság mint függvény; Lineáris törtfüggvény. 4. Másodfokú függvény (ismétlés). 5–6. Másodfokú függvény grafikonjának ábrázolása teljes négyzetet tartalmazó kifejezés alkalmazásával. 7–8. Másodfokú egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek megoldása. 9–10. Négyzetgyökfüggvény.
Matematika „A” 10. évfolyam – 5. modul: Függvények Tanári útmutató 5
Érettségi követelmények: A függvény Középszint A függvény matematikai fogalma. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat. Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni, helyettesítési értéket számítani. Ismerje az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalmát. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése. Emelt szint Tudja az alapvető függvénytani fogalmak pontos definícióját. Ismerje és alkalmazza a függvények megszorításának (leszűkítésének) és kiterjesztésének fogalmát. Egyváltozós valós függvények Középszint Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: f(x)=ax+b; f(x)=x2 ; f(x)=ax2+bx+c; f(x)= x ; f(x)= x Emelt szint Tudjon a középszinten felsorolt függvényekből összetett függvényeket képezn
Függvények grafikonja, függvénytranszformációk Középszint Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x+c); c·f(x); f(cx)]. Emelt szint Tudja ábrázolni az alapvető függvények transzformáltjainak grafikonját (c·f(ax+b)+d).
Függvények jellemzése Középszint Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából. Emelt szint Függvények jellemzése korlátosság szempontjából. A függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével határozza meg. Használja a konvexitás és konkávitás fogalmát a függvények jellemzésére. Egyszerűbb, másodfokú függvényre vezető szélsőér-ték-feladatok megoldása.
Matematika „A” 10. évfolyam – 5. modul: Függvények Tanári útmutató 6
MODULVÁZLAT
Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek
Eszköz/
Feladat/
Gyűjtemény
I. Lineáris függvények (2 óra)
1. Korábbi ismeretek felelevenítése
Rendszerezés, deduktív, induktív gondolkodás
1., 2. fólia
2. Függvény transzformációk gyakorlása Számlálás, mérés, valószínűségi szemlélet 1–4. feladat; 1., 2. kártya-készlet 1., 2. ablak
3. Szöveges feladatok megoldása
Mennyiségi következtetés, kombinatív gondolkodás, szövegértés, valószínűségi szemlélet
5.,8.,9. feladat; 3. kártyakész-let
4. Hozzárendelési utasítás meghatározása
Kombinatív gondolkodás, szövegértés, deduktív gon-dolkodás, számolás
6–7. feladat
5. Egyenlőtlenségek megoldása
Mennyiségi következtetés, kombinatív gondolkodás 10. feladat
Matematika „A” 10. évfolyam – 5. modul: Függvények Tanári útmutató 7
II. Lineáris törtfüggvények (1 óra) 1. Fordított arányosság, mint függvény
Szövegértés, induktív gondolkodás, mennyiségi következtetés, számlálás
4–7. mintapél-da 10–22. feladat
2. Lineáris törtfüggvény ábrázolása
Rendszerezés, induktív következtetés, mennyiségi következtetés, számlálás, kombinatív gondolkodás
8–9. mintapél-da, 23. feladat 3. fólia
III. Másodfokú függvények (5 óra) 1. Korábbi ismeretek felelevenítése
Szövegértés, rendszerezés, deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számlálás
1. szakértői mozaik; 24. feladat
2. Függvény grafikonjának ábrázolása
Valószínűségi szemlélet, kombinatív gondolkodás, szövegértés, számolás, mennyiségi következtetés, induktív, deduktív gondolkodás
25–30. feladat
3. Függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással
Számlálás, számolás, kombinatív gondolkodás, való-színűségi szemlélet, rendszerezés
5. kártyakész-let, 3. ablak, 31–33. feladatok
4. Szöveges feladatok
Szövegértés, mennyiségi következtetés, számolás 34–38. feladat
5. Másodfokú egyenlőtlenségek
Becslés, kombinatív gondolkodás, számlálás, valószí-nűségi szemlélet
4. ablak, 6. kártyakészlet; 12– 14. minta-példa, 39–68. feladat
Matematika „A” 10. évfolyam – 5. modul: Függvények Tanári útmutató 8
6. Másodfokú egyenlőtlenség-rendszerek megoldása Számolás, valószínűségi szemlélet, kombinatív gon-dolkodás, mennyiségi következtetés
17–18. minta-példa, 69–74. feladat 7. kártyakész-let
IV. Négyzetgyökfüggvény (2 óra) 1. Helyettesítési érték számítása Becslés, számolás, mennyiségi következtetés 73–77. feladat;
21. mintapél-da; 5. ablak; 9. kártyakész-let
2. Értelmezési tartomány vizsgálata Számolás, kombinatív gondolkodás 22–24. minta-példa; 78. feladat
3. Négyzetgyökfüggvény ábrázolása transzformációkkal és a függ-vény jellemzése
Szövegértés, kombinatív gondolkodás, induktív, deduktív következtetés
19., 25–28. mintapélda; 79–84. feladat; 2. szakértői mozaik; 4. fólia
5. modul: FÜGGVÉNYEK 9
I. Lineáris függvények
Módszertani megjegyzés: A tanulók csoportosuljanak aszerint, hogy a koordináta-tengelyek
hány részre osztják a síkot! (4 fős csoportokat alkotnak. Így heterogén csoportok keletkeznek.)
5.1 fólia alkalmazása
A tanár fólián kivetíti a következő rövid összefoglalókat. Először a két konkrét példát
tárgyalják meg, majd az általános leírást. Ha megoldható, az óra folyamán - a csoportmunkát
segítendő- a két konkrét példa maradjon kivetítve.
Átismétlik a következő alapfogalmakat először a konkrét példák kapcsán, majd általánosságban
is.
1. Lineáris függvény
2. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása
3. Meredekség – hogyan befolyásolja a lineáris függvény grafikonját
4. y tengellyel való metszéspont – hol jelenik meg a hozzárendelési utasításban és
ábrázoláskor
5. Monotonitás
Mintapélda1 Ábrázoljuk és jellemezzük az 52)( −= xxf hozzárendeléssel megadott függvényt! Megoldás:
Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a −5 pontban metszi. 2. Ebből a pontból kiindulva a +2 meredekség miatt egy
egységnyi jobbra haladás esetén 2 egységet lépünk felfelé az y tengely mentén.
3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját.
Jellemzése: 1. É.T.: R. 2. É.K.: R. 3. Zérushely: x = 2,5. 4. Szigorúan monoton növekvő (mivel a meredeksége pozitív előjelű).
Mintapélda2
Ábrázoljuk és jellemezzük a 343)( +−= xxg hozzárendeléssel megadott függvényt!
Megoldás:
10 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a +3 pontban metszi.
2. Ebből a pontból kiindulva a 43
− meredekség miatt
4 egységnyi jobbra haladás esetén 3 egységet lépünk lefelé az y tengely mentén.
3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját.
Jellemzése: 1. É.T.: R. 2. É.K.: R. 3. Zérushely: x = 4. 4. Szigorúan monoton csökkenő (mivel a meredeksége negatív előjelű).
5.2 fólia
f(x) = mx + b
Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f(x) = m x + b képlettel adjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspontja. Ha m = 0, akkor az f(x) = b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans függvénynek nevezünk.
f(x) = b
Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ha m ≠ 0, akkor ez a lineáris függvény elsőfokú.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 11
Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan monoton növő, vagyis növekvő monoton csökkenő, vagyis x értékekhez növekvő függvényértékek növekvő x értékekhez csökkenő tartoznak. függvényértékek tartoznak. Minden f(x) = m·x függvényről elmondhatjuk, hogy ez egyenes arányosság, ahol az arányosság tényezője m. Ábrázoláskor pedig m azt mutatja meg, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.
Feladatok
1. Osztályozd a következő függvényeket az alábbi szempontok alapján!
Függvények:
xxa21)( −= ; 3)( =xb ; 10)( −=xc ; 52)( +−= xxe ;
221)( += xxg ; xxd 3)( = ; 7
34)( −−= xxf ; 55)( −= xxh .
5.3 kártyakészlet és 5.4 ablak alkalmazása Tanórai megoldás menete: A tanár a szétosztja a hozzárendelési utasításokat tartalmazó 5.3 kártyakészletet, és minden asztalon elhelyezi az 5.4 ablakot. Minden tanuló elvesz 2 db kártyát, és beírja a függvény megnevezését az ablak megfelelő rubriká(i)ba. Ha minden csoport kész, megbeszélik a megoldást rubrikánként haladva. A tanulók indokolják is döntésüket.
Szempontok: – átmegy az origón, – elsőfokú függvények, – konstans függvények, – szigorúan monoton csökkenő, – szigorúan monoton növekvő.
Megoldás:
– átmegy az origón: a; d;
– elsőfokú függvények: a; d; e; f; g; h;
12 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
– konstans függvények: b; c;
– szigorúan monoton csökkenő: a; e; f;
– szigorúan monoton növekvő: d; g; h.
5.5 kártyakészlet és 5.6 ablak alkalmazása 2. Válaszd ki azokat az egyeneseket, amelyek áthaladnak a megadott pontokon!
Pontok: P(3;2); Q(−4;6); R(−2;–1); S(5; −4). Egyenesek:
421)( +−= xxa ; 8
27)( −−= xxb ; 113)( +−= xxc ; 2
52)( −−= xxd ;
32)( += xxf ; 2)( =xg ; 753)( −= xxh ; 2)( += xxe .
Illeszkedés:
– illeszkedik a P(3;2) pontra, – illeszkedik a Q(−4;6) pontra, – illeszkedik a R(−2; −1) pontra, – illeszkedik a S(5; −4) pontra, – nem illeszkedik egyik pontra sem.
Megoldás:
– illeszkedik a P(3;2) pontra: c; g; – illeszkedik a Q(−4;6) pontra: a; b; – illeszkedik a R(−2; −1) pontra: b; f; – illeszkedik a S(5; −4) pontra: c; d; h; – nem illeszkedik egyik pontra sem: e.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 13
Módszertani megjegyzés: A 3. feladatot házi feladatnak javasoljuk.
3. Párosítsd össze a hozzárendelési utasításokat a grafikonokkal:
( ) 125
+= xxf ; ( ) 221
−−= xxg ; ( ) 12 −= xxh ; ( ) 332
+−= xxi .
a) b)
c) d)
Megoldás: f(x) – c; g(x) – b; h(x) – d; i(x) – a 4. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! (Alapértelmezésben a valós számok halmaza
az értelmezési tartomány. Az ettől való eltéréseket jelöljük.)
A függvények jelölése lehet: a; b; ….; f; g; h; ….. ; de alkalmazhatjuk az f1; f2; …. jelölést is.
a) 373)(1 +−= xxf ; ( )32)(5 −−= xxf ;
xxf 25)(2 +−= ; 2)2(3)(6 +−⋅= xxf ; 5,14)(3 −−= xxf ; 52)(7 +−= xxf , ∈x Z;
645)(4 += xxf ; 1
32)(8 −−= xxf , 96 <≤− x .
14 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Megoldási útmutató: A kijelölt műveletek elvégzése után mx+b alakra hozva elemi
transzformációkkal ábrázolhatók a függvények grafikonjai. Ahol az É.T. az egész számok
halmaza, ott a grafikon pontokból áll. Az f8 függvény képe egy balról zárt, jobbról nyitott
szakasz.
Az algebrai átalakítások után ábrázolandó függvények: 32)(5 +−= xxf ; 43)(6 −= xxf .
b) 3
912)(1−
=xxf ; xxf
321)(5 −= , ∈x Z, 68 ≤<− x ;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅= xxf
348
21)(2 ; ( )
31236)(6
−⋅+=
xxf 4<x ;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅= xxf
323)(3 , ∈x Z+; 13)(7 +−= xxf , [ [5;2−∈x ;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+= xxxf
2325)(4 , x≤− 2 ; ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅+−= xxf
34
62
2348 , ] ]12;3∈x .
Megoldási útmutató: Ábrázoláskor a kijelölt műveletek elvégzése után mx+b alakra hozva
elemi transzformációkkal készíthetőek el a függvények grafikonjai. Az értelmezési
tartomány szűkítésekor a kapott grafikon nyílt vagy zárt félegyenes lesz, illetve nyílt vagy
zárt vagy félig zárt szakasz. Ahol az É.T. az egész számok halmaza, ott a grafikon
pontokból áll. Karikával jelöljük, ha a végpont nem eleme a grafikonnak és besatírozott
körrel, ha eleme. De jelölhetjük szögletes zárójellel is. Ilyenkor a zárójel a grafikon felé
fordul, ha a végpont eleme a grafikonnak, és a grafikonnak „hátat” fordít, ha nem eleme.
Az algebrai átalakítások után ábrázolandó függvények, figyelembe véve az értelmezési
tartományra tett kikötéseket: 34)(1 −= xxf ; 432)(2 +−= xxf ; 23)(3 −= xxf ;
33)(4 += xxf ; 132)(5 +−= xxf ; 12)(6 += xxf ; 5,32)(8 −= xxf .
Módszertani megjegyzés: Jellemzéskor megjelenhet a szélsőérték fogalma. (Matematika
iránt érdeklődő, jobb képességű csoportban érdemes rá kitérni, ha belefér a tanítási órába.)
Középszinten elegendő, ha megjegyzik, hogy ott van szélsőértéke a grafikonnak, ahol a
szélsőérték helye eleme az értelmezési tartománynak. Emelt szintre készülőknél
szemléltethető a határérték, a korlát és a szélsőérték fogalmai közötti különbség.
Például az f7 függvény grafikonja egy balról zárt, jobbról nyitott szakasz. Maximum-
helye ( )2−=x és maximumértéke ( )( )72 =−f van. De minimumhelye és minimum-
5. modul: FÜGGVÉNYEK 15
értéke nincsen, mivel az 5=x nem eleme az értelmezési tartománynak. Ez azt is jelenti,
hogy tetszőlegesen megközelíti a P(5; −14) pontot, de sohasem éri el.
c) 52)(1 +−= xxf x∈Q; 416)(
2
5 +−
=x
xxf ;
132)(2 −−= xxf 96 <≤− x x∈Q*
3273)(
2
6 −−
=x
xxf ;
( )33)(3 +
+=
xxxxf ;
⎩⎨⎧
>−≤−
=1,21,32
)(7 xxxx
xf ;
22)(
2
4 −−
=x
xxxf ; ⎪⎩
⎪⎨⎧
<−−
−≤+=x
xxxf3,1
3,132
)(8 .
Megoldási útmutató: Az emelt szintű feladatsor 3 nagyobb egységből áll.
Az f1 és f2 függvények értelmezési tartománya a racionális, illetve irracionális számok
halmaza, illetve azok egy valódi részhalmaza. A grafikon pontjai nagyon sűrűn
helyezkednek el, mivel a racionális/irracionális számok is sűrűn helyezkednek el a
számegyenesen. (sűrű: tetszőleges két (ir)racionális szám között találhatók további
(ir)racionális számok. Például két ilyen szám számtani/mértani közepeként előállítható
egy megfelelő köztes szám.) Elvileg a grafikon elkülönült pontokból áll, de ezek annyira
közel helyezkednek el egymáshoz, hogy a grafikont egyenes vonallal tudjuk ábrázolni.
Az f3 – f6 függvények grafikonja szorzattá alakítás, majd egyszerűsítés után ábrázolható.
Itt felhívhatjuk a tanulók figyelmét az értelmezési tartomány meghatározására.
Nevezetesen, ahol a nevező 0, azon a helyen a függvény nem értelmezhető, így a
grafikonnak ezen a helyen szakadási pontja van.
Az algebrai átalakítások után ábrázolandó függvények: ,)(3 xxf = 3−≠x ; ,)(4 xxf =
2≠x ; ,4)(5 −= xxf 4−≠x ; ,93)(6 += xxf 3≠x .
Az f7 és f8 függvények grafikonja két félegyenesből tevődik össze.
Az értelmezési tartomány vizsgálata, figyelembe vétele később, ebben a tanévben a
négyzetgyök- és a tangensfüggvény esetén, következő tanévben a logaritmusfüggvénynél még
fontos szerepet kap.
Az 5.7 kártyakészlet alkalmazása (Heti 4 vagy 5 órában történő matematika oktatás esetén ajánlott)
16 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Az első 4 feladat összegzése is lehet a kártyajáték. A feladat az összeillő 4 kártya
összegyűjtése. Egy megfelelő négyes tartalmaz egy hozzárendelési utasítást, egy grafikont, egy
jellemzést és egy lehetséges folyamat leírását.
A tanár minden asztalra kitesz egy összekevert (16 darabos) paklit írással lefelé. A játék
kezdetén a csoporton belül valaki kiosztja a kártyákat: mindenkinek 4-et ad. Körbe-körbe
haladva mindenki letesz az asztal közepére egy számára felesleges lapot. Ha valakinek kell az a
lap, felveheti középről, de le kell tennie egy másikat. Az a győztes, akinél a leghamarabb
összegyűlik a 4 megfelelő kártya, de a többiek folytatják a játékot mindaddig, amíg mind a 4
kártyanégyes összegyűlik. Javasolt több menetet is lejátszani, hogy a tanulók több függvényen
is elgondolkodjanak. A győzelemért 3 pont jár, a 2. helyért 2 pont, a 3.-ért 1 pont, a 4. helyért
pedig 0.
Módszertani megjegyzés: A következő feladat a), b), c) és d) részeiben szigorúan növekvő
függvények szerepelnek. Az első kettőnél a grafikon különálló pontokból áll, a második
kettőnél folytonos. A 6. feladatban szigorúan csökkenő függvények szerepelnek, az 5.
feladathoz hasonló elosztásban.
5. Szöveges feladatok
a) A piacon 7 Ft akciós egységáron árulják a tojás darabját. Mennyit kell fizetni 1, 2, 3 stb.
tojásért? Ábrázold grafikonon az eredményeket!
Megoldás:
A természetes számok halmazán értelmezett
( ) xxf 7= függvényt ábrázoljuk, amely
különálló pontokból áll, hiszen csak egész tojást
lehet vásárolni. Az x tengely pozitív felén a
tojások darabszáma, az y tengely pozitív felén az
ár ábrázolandó.
b) Egy diákmunka szövetkezetben adatbeviteli munkáért 5 karakterért 1 Ft-ot fizetnek.
Hány forintot kereshet egy diák? Ábrázold grafikonon az eredményeket!
5. modul: FÜGGVÉNYEK 17
Megoldás: Célszerű az x tengelyen egy egységgel 5
karaktert jelölni, az y tengelyen pedig egy
egységnek 1 Ft-ot választani. Az ábrázolandó
függvény pedig az ( ) xxf = függvény
grafikonjára illeszkedő különálló pontokból áll,
hiszen 5 karaktert vagy begépel valaki, vagy
nem.
c) A reggel 9-kor kezdődő távúszó verseny egyik résztvevője h
km5,1 állandó sebességgel
úszik. Mennyi idő alatt teszi meg a 12 km-es távot? Ábrázold grafikonon a mozgását!
Megoldás: Az x tengelyen ábrázoljuk az indulás óta eltelt időt,
azaz nem vesszük figyelembe az indulási időpontot. Az y
tengelyen pedig a megtett utat. Az tvs ⋅= képlet alapján az
ábrázolandó függvény: xxf 5,1)( = Mivel megállás nélkül
úszik, így a grafikon egy origóból kiinduló P(8;12)
végpontú szakasz lesz.
d) Egy egyenlőszárú háromszög alapja 3 cm, szárai a
hosszúságúak. Határozd meg a kerületét, és ábrázold koordináta-rendszerben!
Megoldás: A háromszög kerülete: 32 += aK . Mivel
a pozitív valós szám, ezért a függvény grafikonja
félegyenes. Viszont, ha a ≤ 1,5, akkor nem
teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, vagyis a
háromszög nem létezik. Az ábrázolandó
függvény: ( ) 32 += aak , ahol 5,1>∈ + aRa
Természetesen a helyett x-et is lehet írni. A változó érték tetszőleges betűvel jelölhető.
6. Szöveges feladatok
18 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
a) Béla tartozik egy ismerősének 50 000 Ft-tal. Elhatározta, hogy minden hónap elején
visszafizet neki 10 000 Ft-ot. Ábrázold grafikonon Béla tartozásának mértékét!
Megoldás: Az x tengelyen ábrázoljuk az eltelt
hónapokat, az y tengelyen pedig a tartozás
mértékét 10000 Ft-os egységekkel. Ekkor az
ábrázolandó függvény az ( ) 5+−= xxf . A
grafikonja pedig különálló pontokból áll, mivel
nem folyamatos a törlesztés.
b) Egy gyárban minden nap 3000 db csavart használnak el. Mivel a munkások váltott
műszakban dolgoznak, így a munkaidő 24 órás, és a készletet mindig reggel 6-kor töltik
fel. Minden órában átlagosan ugyanannyi csavar fogy. Ábrázold grafikonon a csavar
mennyiségének alakulását!
Megoldás: Az x tengelyen a feltöltés óta eltelt
órákat, az y tengelyen csavarok darabszámát
jelöljük. Egy óra alatt 125 csavart
használnak fel, ezért az ábrázolandó
függvény az ( ) 3000125 +−= xxf . Ennek az
ábrázolása ebben a formában nehézkes,
ezért érdemes az x tengelyen egy egységet
1 órának tekinteni, az y tengelyen pedig egy
egység 125 db csavart jelentsen. Ekkor az
ábrázolandó függvény a ( ) 24+−= xxg .
c) Egy autó 30 m-re az útkereszteződéstől h
km60 sebességéről egyenletesen lassít, majd a
kereszteződéshez érve megáll. Ábrázold grafikonon a sebességének változását a megtett
út függvényében!
5. modul: FÜGGVÉNYEK 19
Megoldás: Az autó sebessége 30 m alatt h
km60 -val
csökken. Ekkor 1 m megtétele után h
km23060
= -
val csökken a sebessége. Az x tengelyen a
megtett métereket, az y tengelyen a pillanatnyi
sebességet jelöljük. Az ábrázolandó függvény az
( ) 602 +−= xxf . Mivel az autó egyenletesen
lassul, ezért a függvény grafikonja egy szakasz.
d) Egy téglalap kerülete 20 egység. Az egyik oldalát folyamatosan növelve, hogyan változik
a másik oldala a kerület változtatása nélkül? Ábrázold grafikonon a változást!
Megoldás:
A téglalap kerülete baK 22 += . Tegyük fel, hogy az a oldalt növeljük. Ekkor
értelemszerűen a b oldal hossza csökkenni fog. Az x tengelyen ábrázoljuk az a oldal, az y
tengelyen pedig a b oldal hosszát. A kerület képletét átrendezve kapjuk, hogy
aaKaKb −=−=−
= 1022
2 Tehát az ábrázolandó függvény az 10)( +−= aaf . Mivel
az a oldal egy 0 és 10 közötti valós szám, ezért a
grafikon egy folytonos szakasz. Amennyiben
0=a és 10=a esetén az elfajuló (egy
szakaszból álló) téglalapot is elfogadjuk, akkor
zárt szakaszt kapunk. Ha nem, akkor a
szakasznak nem lesznek végpontjai, vagyis nyílt
szakaszt kapunk.
20 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Megjegyzés: A 7. feladat heti 4 vagy 5 órában történő matematika oktatás esetén ajánlott.
7. Lineáris függvények ábrázolása
a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelelően rajzold be a koordinátatengelyeket!
51 += x)x(f 322 −= x)x(f 23 −−= x)x(f
121
4 += x)x(f 135 −−= x)x(f 332
6 +−= x)x(f
Megoldás: Mivel az egyenesek végtelen hosszúak, így elegendő valahol kijelölnünk az y
tengely helyét. Az egyenes és az y tengely metszéspontjából már egyértelműen meg lehet
határozni, hogy hol található az y tengelyen a 0 érték, ami egyben az origó helyét is jelöli.
Ezen a ponton halad át az y tengelyre merőleges x tengely.
b) Írd fel a következő grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési
tartományt is!
Ezek a feladatok átvezetnek a lineáris egyenlőtlenségek megoldásához.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 21
i) ii)
Megoldás: 32 += x)x(f ; É.T.: R; 121
−−= x)x(f ; É.T.: R+;
iii) iv)
Megoldás: 432
+= x)x(f ; É.T.: R− ; 53 −= x)x(f ; É.T.: R; x ≤ 2;
v) vi)
Megoldás: 1+−= x)x(f ; É.T.: R; x >−5; 223
−−= x)x(f ; É.T.: R; −6 ≤ x ≤ 5.
22 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
c) A következő hozzárendelési utasítások és értelmezési tartományok alapján rajzold be a
koordinátatengelyeket! (A szakaszok kiinduló pontja mindig az értelmezési tartomány bal
végpontja, félegyenesek esetén pedig a megfelelő végpont.)
i) ii) iii)
x)x(f 21 = 321
2 += x)x(f 33 += x)x(f
É.T.: R+ É.T.: R− É.T.: R; −2 ≤ x ≤ 6
iv) v) vi)
14 +−= x)x(f 135 −−= x)x(f 223
6 +−= x)x(f
É.T.: R− É.T.: R; −3 ≤ x ≤ 2 É.T.: R; x ≥− 4
Megoldás: Az értelmezési tartományt felhasználva egyértelműen meghatározható az y tengely
helyzete a félegyeneshez/szakaszhoz képest. Ha kell, halványan hosszabbítsuk meg a
szakaszt/félegyenest, hogy az y tengellyel való metszéspont jól látható legyen. A
metszéspont által meghatározható az y tengely 0 pontja, amely az origó helye is egyben.
Már csak az x tengely berajzolása van hátra.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 23
Eredmények:
f1 f2 f3
f4 f5 f6
8. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha
a) átmegy a P(0;3) és a Q(3
10 ; 3) pontokon;
b) átmegy az A(4;3) ponton, és meredeksége 23 ;
c) átmegy a P(− 4;1) ponton, és az y tengelyt a b = 5 pontban metszi;
d) az y tengelyt a b = 5 pontban metszi, és párhuzamos az f(x) = 4x − 6 hozzárendelési
utasítással megadott függvénnyel (mf = mg);
e) átmegy a C(3; −6) ponton, és párhuzamos az 421)( +−= xxf hozzárendelési utasítással
megadott egyenessel (mf = mg);
24 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
f) az y tengelyt a b = −3 pontban metszi, és merőleges az 223)( +−= xxf hozzárendelési
utasítással megadott egyenesre (mf · mg = −1);
g) átmegy a P(–3;2) és a Q(0;–1) pontokon.
Módszertani megjegyzés:
– E feladatok megoldásához célszerű ábrát készíteni.
– Az y koordináta egyben a függvényérték is.
– Az ( ) bmxxf += egyenletbe helyettesítve az adatokat adódik a megoldás. A
hozzárendelési utasítás felírásához mindig m és b értékeit kell meghatároznunk.
Megoldás:
a) ( ) 3=xf ; b) ( ) 323
−= xxf ; c) ( ) 5+= xxf ; d) ( ) 54 += xxg ;
e) ( ) 5,421
−−= xxg ; f) ( ) 332
−= xxg ; g) ( ) 1−−= xxf .
Módszertani megjegyzés: A 9. feladatot heti 4 vagy 5 órában történő matematika oktatás esetén
javasoljuk átvenni vagy feladni házi feladatnak.
9. Szöveges feladatok
a) Két biciklis egyszerre indul el a 30 km-re lévő szomszédos faluba. Az egyik h
km25 , a
másik h
km30 sebességgel halad. Hány percet kell várakoznia a másik érkezésére, aki
korábban érkezik? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját!
Megoldás:
A vst = képletbe behelyettesítve az egyik
biciklis h56
2530
1 ==t =1 h 12perc alatt teszi meg
a távot, míg a másik biciklis h13030
2 ==t alatt.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 25
Az első biciklis érkezik korábban, és 1212 =− tt percet kell várakoznia a másikra.
Ábrázolandó függvények: ( ) xxf 25= , illetve ( ) xxg 30= .
b) Egy úszóbajnokságon a versenytáv 100 m. A leggyorsabb úszó 3 m-t tesz meg
másodpercenként, a leglassabb 2,2 m-t. Mennyi idő alatt teszi meg a távot ez a két
versenyző? Hány másodperccel később ér célba a lassabb úszó? Ábrázold az időt az út
függvényében!
Módszertani megjegyzés: Ennek a feladatnak az adatait esetleg érdemes megváltoztatni,
mivel az eredményéből az következik, hogy a leglassúbb versenyző is új világcsúcsot
úszott!
Megoldás: A leggyorsabb úszó 33333
100 ,≈ másodperc
alatt , míg a leglassabb 454522
100 ,,
≈ másodperc
alatt teszi meg a távot.
A leglassabb versenyző 45,45-33,33=12,12
másodperccel ér később a célba.
Ábrázolandó függvények: ( ) xxf31
= , illetve ( ) xxg2,2
1= .
c) Két diák borítékolást vállal. Fejenként 1000 db lapot kell borítékba helyezniük 4 óra alatt
egyenletes teljesítménnyel. Két órán keresztül ennek megfelelően haladnak, de aztán az
egyikük elfárad, és így nem tud, csak 200 borítékot elkészíteni óránként. Amikor társa
végez a saját adagjával, segít neki, de mivel ő is elfáradt, így ő is csak 200 db borítékkal
végez óránként. Hány perccel végeznek később, ha a megmaradt munkát egyenlően
osztották szét egymás között? Ábrázold koordináta-rendszerben a már elkészült
borítékok darabszámát az eltelt idő függvényében!
Megoldás: Az első két órában 500-500 darab borítékot
készítenek el. A másik két órában az egyikük
márcsak 200 darabbal végez óránként, így a 4.
óra végéig ő összesen 900 darabbal lesz készen.
26 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Neki még 100 darab van hátra, amivel ha egyedül csinálná, fél óra múlva végezne, de
mivel ketten dolgoznak ugyanolyan teljesítménnyel, így negyed óra alatt készülnek el.
Ábrázolandó függvények: ( ) 40250 ≤≤= xxxg , illetve ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<≤<
≤=
25,44,40042,200
2,250
xxxx
xxxf .
d) Egy anyuka reggel hétkor elindítja kisfiát az iskolába. A gyerek rollerrel 8 perc alatt teszi
meg az 1,2 km-es távot. Indulás után 3 perccel az anyuka észreveszi, hogy kisfia otthon
hagyta a tízóraiját, és kerékpáron utána viszi. 1 perc alatt 300 m-t tesz meg. Mennyi idő
múlva éri utol gyermekét? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját!
Megoldás: Ha a gyerek 1,2 km-t 8 perc alatt tesz meg,
akkor 1 perc alatt 150 m-t tesz meg. Jelöljük t-vel
az anyuka indulásától a találkozásig eltelt időt
percben. A gyerek ekkor ( ) 1503 ⋅+t , míg az
anyuka 300⋅t métert tesz meg. A
( ) 1503300 ⋅+=⋅ tt egyenlet adja a megoldást.
Tehát az anyuka 3 perc múlva éri utol a kisfiát.
Ábrázolandó függvények: ( ) xxg 300= illetve ( ) ( )3150 += xxf .
e) Egy túraútvonalon elindul az egyik gyalogos 2 km/h sebességgel. Két órával később
ugyanezen az útvonalon elindul egy másik gyalogos is 3 km/h sebességgel. Legalább
milyen messze lehet a cél, ha ez utóbbi túrázó még előtte beéri az elsőt? Ábrázold
koordináta-rendszerben az út–idő grafikont!
Megoldás: A cél legyen legalább s km-re. Ekkor az első gyalogos 2s
vst == ideig megy, míg a
második két órával később indul, de 3 km-t tesz meg óránként: 23+=
st
5. modul: FÜGGVÉNYEK 27
Mivel mindketten ugyanannyi ideig sétálnak, ezért az 232+=
ss egyenlet eredménye adja
a megoldást. Ebből 12=s km, azaz a cél legalább 12 km-re van a kiindulási ponttól.
Ábrázolandó függvények: ( ) ( )23 −= xxf illetve ( ) xxg 2= .
f) Egy gyárban minden munkásnak 8 óra alatt 240 db terméket kell előállítani. Az egyik
munkás csak 2 órával később tudott kezdeni, viszont 40 darabnál nem képes többet
elkészíteni 1 óra alatt. Végez-e a munkaidő végéig, vagy bent kell maradnia? Ha bent kell
maradnia, akkor mennyi idővel mehet később haza? Ábrázold közös koordináta-
rendszerben a többi munkás és a később jövő által előállított termékek számát az eltelt idő
függvényében!
Megoldás: Ez a munkás csak 6 órát dolgozik. Ez idő
alatt 240406 =⋅ darab terméket tud előállítani,
vagyis nem kell túlóráznia.
Ábrázolandó függvények: ( ) xxg 30= , illetve
( ) ( )240 −= xxf .
g) Egy cukrászüzemben a sütő részleg óránként 40 db süteményt süt ki. A csomagoló
részleg viszont óránként 50 darabot képes becsomagolni, így ott egy órával később
kezdenek. Hány óra múlva fogynak el a becsomagolandó sütemények? Ábrázold közös
koordináta-rendszerben a sütő és a csomagoló részleg által elkészített sütemények számát
az eltelt idő függvényében!
I. II.
v(km/h) 2 3
s(km) s s
t(h) 2s
23+
s
28 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Megoldás: Jelöljük t-vel a sütés kezdetétől eltelt időt!
A ( )15040 −= tt egyenlet megoldása szolgáltatja az eredményt: 5=t . Azaz 5 óra múlva
fogynak el a csomagolásra váró sütemények.
Ábrázolandó függvények: ( ) xxg 40= illetve ( ) ( )150 −= xxf .
h) Két villamos egyszerre indul el az egymástól 15 km-re lévő végállomásokról. Az egyik
30 km/h, a másik 25 km/h átlagsebességgel halad. Mikor és hol találkoznak? Ábrázold a
folyamat út–idő grafikonját!
Megoldás:
A találkozásig mindkét villamos ugyanannyi (t) ideig ment. Az egyik 30t, a másik 25t utat
tett meg. A két távolság összege éppen 15 km: 30t + 25t = 15.
sütő
részleg
csomagoló
részleg
eltelt
munkaidő t 1−t
darab/óra 40 50
összesen 40t ( )150 −t
egyik
villamos
másik
villamos
sebesség
(km/h) 30 25
idő (h) t t
megtett
út (km) 30t 25t
5. modul: FÜGGVÉNYEK 29
Ebből ( ) ( )perc36,16h27,05515
=≈=t . A villamosok kb. 16 perc múlva találkoznak.
Ekkor az egyik 8,49036,1630 =⋅ m -t (kb. 500 m) tesz meg, a másik
2,10098,4901500 =− m-t (kb. 1000 m).
Ábrázolandó függvények: ( ) 1530 +−= xxf illetve ( ) xxg 25=
i) Egy tartályban 18 l víz van. Amikor kinyitják a lefolyót, akkor percenként 3 l víz folyik
ki belőle. Egy másik tartályban 3 l víz van, és ebbe percenként 2 l vizet engednek. Mikor
lesz a két tartályban ugyanannyi víz? Ábrázold közös koordináta-rendszerben a víz
mennyiségének alakulását!
Megoldás: Jelöljük t -vel az eltelt időt. Ekkor az első
tartályban t idő elteltével t318 − , míg a
másodikban t23+ liter víz van. Akkor lesz a két
tartályban ugyanannyi víz, amikor
tt 23318 +=− . Ez 3=t perc múlva következik
be.
Ábrázolandó függvények: ( ) 32 += xxf illetve
( ) 183 +−= xxg
10. Hol találhatók a számegyenesen az alábbi feltételeknek megfelelő pontok?
a) x > 2;
b) x ≥ −3;
c) x < −1;
d) − 4 < x ≤ 5;
e) − 7,5 ≤ x ≤ −1;
f) 0 ≤ x < 3,5;
g) x ≤ − 2 vagy x > 0;
h) x < 1 vagy x > 3.
Módszertani megjegyzés: Értelmezési tartomány vizsgálatakor, törtes egyenlőtlenségek
megoldásakor gyakran találkozhatunk ezekhez hasonló egyenlőtlenségekkel. A
számegyenesen történő ábrázolás jó szemléltető eszköz, átláthatóbbá teszi a megoldáshalmazt.
30 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
11. Hol találhatók a síkban az alábbi feltételeknek megfelelő pontok?
a) x ≥ −1;
b) x < 3;
c) y > 2;
d) y ≤ − 5;
e) x ≥ −1 és y ≤ −5;
f) x > −2 és y ≤ 0;
g) x = − 4 és y > 5;
h) y = 2 és x > −5,
Megoldási útmutató: Az a) – d) feladatokban csak az egyik koordinátára vonatkozik a feltétel,
a másik tetszőleges értékeket felvehet. Ezért a megoldást jelentő ponthalmaz nyílt vagy
zárt félsík. Nyílt félsík esetén jelöljük a határvonalat, zárt félsík esetén nem, hiszen a
határoló vonal is hozzá tartozik a megoldási tartományhoz.
Az e) – h) feladatokban található egyenlőtlenségek megoldáshalmaza egy síknegyed
illetve egyenlőség esetén félegyenes.
Módszertani megjegyzés: Ezekhez hasonló egyenlőtlenségekkel szintén az értelmezési
tartomány vizsgálatánál találkozhatunk (az első részben térben ábrázolható függvények
esetén).
Mintapélda3
Keressük meg az y + 4 < 3 x feltételt kielégítő
síkbeli pontokat!
Megoldás:
Az egyenlőtlenséget y-ra rendezve, az
y < 3x – 4 egyenlőtlenséget kapjuk. Ha a < jel
helyett = jelet írunk, akkor egy egyenest kapunk.
Azon síkbeli pontokat keressük, amelyeknek y
koordinátája kisebb, mint a bal oldali kifejezés,
vagyis az egyenes alatt találhatóak.
A megoldáshalmaz tehát az egyenes alatti félsík.
12. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek megfelelnek az alábbi feltételnek?
a) y < x;
b) y ≤ 3x+4;
c) y+0,5 > –x+1,5;
d) –y ≥ x+1;
e) 2y > 3x–4;
f) 0,5x–1 > –y+2.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 31
Megoldási útmutató:A c) – f) egyenlőtlenségek y-ra rendezve könnyen megoldhatóak. A
megoldást jelentő ponthalmaz a megadott egyenes (mx + b alak) által határolt, a relációs
jelnek megfelelő félsík lesz. Átrendezéskor ügyeljünk arra, hogy –1-gyel való
szorzáskor az egyenlőtlenség jele megfordul.
32 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
II. Lineáris törtfüggvény
A lineáris függvény kapcsán olyan szöveges feladatokkal is találkoztunk, amelyek egyenes
arányossággal oldhatók meg. Ilyen feladat volt például:
Ha 1 füzet 40 Ft, akkor mennyibe kerül 2, 3, 4 stb. füzet? Hány füzetet lehet venni, ha
legfeljebb 480 Ft értékben akarok vásárolni?
Ezt a feladatot átalakíthatjuk a következőképpen:
Mintapélda4
Van 480 Ft-om, amiből füzetet szeretnék vásárolni. A papírboltban 24, 30, 40, 60 és 120 Ft-os
füzetek kaphatók. Hány darabot tudok venni az egyes fajtákból a pénzem maradéktalan
elköltése mellett, ha csak egyféle füzetet akarok vásárolni?
Megoldás:
Készítsünk értéktáblázatot!
ár480darabszám =
480árdb =⋅
Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek
szorzata állandó, akkor azok között fordított
arányosság van.
Az x tengelyen az árat, az y tengelyen a
darabszámot ábrázolva a mellékelt grafikont
kapjuk.
Látható, hogy minél magasabb az ár, annál
kevesebb füzetet tudunk rajta venni; és minél alacsonyabb, annál többet. Mivel a boltban
fél füzetet nem lehet vásárolni, ezért a grafikon pontjai nem köthetőek össze.
Az x tengelyen a minimális ár 1 Ft, a maximális ár 480 Ft lehet. Az y tengelyen ugyanígy
meghatározható a legnagyobb és legkisebb érték. Közöttük minden olyan árkategória
szóba jöhet, ahol az ár osztója 480-nak.
A darabszám és az ár között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létesíthető:
ár 24 30 40 60 120
darab 20 16 12 8 4
5. modul: FÜGGVÉNYEK 33
n-nel jelölve az árat, f(n)-nel pedig a darabszámot kapjuk: n
nf 480)( = , ahol n∈Z+ és
n|480. Így f(n)∈Z+. Vagyis egy olyan függvényt kapunk, melynek értelmezési tartománya
a pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza 1 és 480 között, és értékkészlete is a
pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza szintén 1 és 480 között.
Mintapélda5
Egy gyalogos egy 6 km hosszú utat 1 h alatt tesz meg. Mekkora sebességgel halad, ha
0,2; 0,5; 1,5; 2; 2,4; 3 óra alatt teszi meg ugyanezt a távot?
Megoldás:
Készítsünk értéktáblázatot!
ttsv 6== .
t 0,2 0,5 1,5 2 2,4 3
v 30 12 4 3 2,5 2
Az x tengelyen az időt, az y tengelyen a sebességet
ábrázolva a következő grafikont kapjuk:
A sebesség és az idő fordítottan arányosak, hiszen
minél rövidebb idő alatt teszem meg ugyanazt a távot,
annál gyorsabban kell haladnom, és fordítva, minél
hosszabb az utazási idő, annál kisebb a sebesség.
Minden időtartamhoz kölcsönösen egyértelműen
hozzárendelhető egy sebesség. Az időt t-vel, a sebességet v(t)-vel jelölve a t
tv 6)( =
függvényt kapjuk, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a pozitív valós
számok halmaza. Ez a grafikon folytonos görbe lesz. A fentiek alapján ez a függvény
szigorúan monoton csökkenő.
34 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Mintapélda6
Ábrázoljuk és jellemezzük az x
)x(f 1= , x∈R\0 függvényt!
Megoldás:
Készítsünk értéktáblázatot, és a kapott értékek segítségével ábrázoljuk a függvényt!
A függvény neve: lineáris törtfüggvény. Látható,
hogy az x tengely mentén haladva az egyre
nagyobb, illetve az egyre kisebb számok felé a
grafikon „hozzásimul” az x tengelyhez, de nincs
közös pontjuk. Hiszen minél nagyobb
abszolútértékű számmal osztjuk az 1-et, annál
kisebb lesz a hányados. És fordítva: minél kisebb
abszolútértékű számmal osztunk egy konkrét számot, a hányados abszolútértékben annál
nagyobb lesz. Ezt mutatja, hogy a grafikon az origó közelében „hozzásimul” az y
tengelyhez, azaz tetszőlegesen megközelíti, de nem éri el.
A függvény a ]−∞; 0[ és a ]0; +∞[ intervallumokon szigorúan monoton csökkenő. A 0
kivételével tetszőleges értéket felvehet, így nincs szélsőértéke.
További érdekesség, hogy a grafikon az origóra (középpontosan) szimmetrikus. Ez
algebrailag azt jelenti, hogy teljesül az f(−x) = − f(x) összefüggés. Vagyis a függvény
páratlan.
– Találkoztunk-e korábban páratlan függvényekkel?
– Az origón átmenő lineáris függvények is páratlanok. (f(x) = mx alakúak)
x –10 –3 –2 –1 –0,5 31
− 0,25 21
32
1 2 3 4
x1 –0,1
31
− –0,5 –1 –2 –3 4 2 23
1 0,5 •3,0 0,25
5. modul: FÜGGVÉNYEK 35
Összefoglalva, az x1 függvényt a következőképpen jellemezhetjük:
1. É.T.: R\0; 2. É.K.: R\0; 3. Zérushely: nincs;
4. Szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0 és ha x > 0,
5. Szélsőértéke nincs; 6. Páratlan.
Az 5.20 fólia alkalmazása
Mintapélda7 Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket!
a) xaxf =)( , ahol a∈R+, x∈R\0
Jellemzés: 1. É.T.: R\0. 2. É.K.: R\0. 3. Zérushely: nincs. 4. Szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0 és ha x > 0. 5. Szélsőértéke nincs. 6. Páratlan.
b) xaxf −=)( , ahol a∈R+, x∈R\0
Jellemzés: 1. É.T.: R\0. 2. É.K.: R\0. 3. Zérushely: nincs. 4. Szigorúan monoton növekvő, ha x < 0 és ha x > 0. 5. Szélsőértéke nincs. 6. Páratlan.
36 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Feladatok
13. Egy építkezésen 1 brigád 3 év alatt képes építeni egy házat. Mennyi idő alatt végez 2,
3, 5, 10 brigád? Ábrázold grafikonon a munka időtartamát a brigádok száma szerint!
Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív egész
számok halmazán értelmezett ( )x
xf 3= , melynek
grafikonja diszkrét pontokból áll.
14. Egy 210 literes kismedencét 1 csap15 perc alatt tölt tele. Mennyi idő alatt tölti fel ezt a
medencét 2, 3, 4, 5 csap? Ábrázold grafikonon!
Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív egész
számok halmazán értelmezett ( )x
xf 15= , melynek grafikonja
diszkrét pontokból áll.
15. Egy ember egy 200 m2-es kertet 4 nap alatt ás fel. Mennyi idő alatt ássa fel 2, 3, 4, 5,
6, 10 ember? Ábrázold grafikonon!
Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív egész
számok halmazán értelmezett x
)x(f 4= , melynek grafikonja
diszkrét pontokból áll.
16. Hány fordulóval tud 1, 2, 3, 4, 6, 10, 12 tehergépkocsi elszállítani 2,4 t árut, ha egy
gépkocsi legfeljebb 200 kg-t szállíthat? Ábrázold grafikonon!
Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív egész
számok halmazán értelmezett ( )x
xf 12= , melynek grafikonja
diszkrét pontokból áll.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 37
17. Egy téglalap területe 2,2 cm2. Milyen kapcsolat van a téglalap két oldala között?
Ábrázold grafikonon az oldalak egymáshoz való viszonyát!
Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós
számok halmazán értelmezett ( )x
xf 2,2= .
18. Egy 1 m hosszú, 5 mm2 keresztmetszetű üvegcsövet
teletöltünk higannyal. Mekkora lesz a higanyoszlop magassága, ha 1; 2,5; 7,5; 10; 15
mm2 keresztmetszetű edénybe öntjük át? Ábrázold grafikonon a magasságot a
keresztmetszet függvényében!
Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós
számok halmazán értelmezett ( )x
xf 5000= .
19. Egy 4,5 V-os zsebtelepre tolóellenállást kapcsoltak. Mekkora áram folyik az
áramkörben, ha az ellenállást úgy állítják be, hogy annak értéke 10 Ω, 20 Ω, 30 Ω,
illetve 50 Ω (ohm) legyen? Ábrázold grafikonon az ellenállás−áramerőség függvényt!
(feszültség = áramerősség · ellenállás, azaz U = I · R)
Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós
számok halmazán értelmezett ( )x
xf 5,4= .
20. Egy 100 m hosszú 1 mm2 keresztmetszetű wolfram szálból készült ellenállástekercs
ellenállása 5,51 Ω. Hogyan változik az ellenállása, ha a keresztmetszetét kétszeresére,
háromszorosára, négyszeresére növeljük, illetve felére, harmadára, negyedére
csökkentjük? Ábrázold grafikonon a keresztmetszet–ellenállás függvényt! (A
keresztmetszet és az ellenállás fordítottan arányos.)
38 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós számok halmazán értelmezett
( )x
xf 51,5= .
21. Tudjuk, hogy 1 N erő 1 kg tömegű testen 1 s alatt 1m/s sebességváltozást hoz létre.
Ugyanaz az 1 N nagyságú erő 1 s alatt mekkora sebességváltozást eredményez 2; 4;
10; 0,5; 41 ;
101 kg tömegű testen? (A tömeg és a másodpercenkénti sebességváltozás,
azaz a gyorsulás fordítottan arányos.)
Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós
számok halmazán értelmezett ( )x
xf 1= , melynek
grafikonja diszkrét pontokból áll.
Mintapélda8
Ábrázoljuk az ( )3
2+
=x
xf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!
Megoldás:
1. lépés: Készítsünk értéktáblázatot!
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3
x1
41
− 31
− 21
− –1 ― 1 21
31
31+x
–1 ― 1 21
31
41
51
61
32+x
–2 ― 2 1 32
21
52
31
5. modul: FÜGGVÉNYEK 39
A táblázat 3. sorából látható, hogy ha a nevezőhöz hozzáadunk 3-at, akkor a függvény az
értékeit 3-mal korábban veszi fel. A számláló kettővel való szorzása pedig a
függvényértékek megkétszerezését jelenti.
2. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját!
Az 5.22 fóliacsomag alkalmazása
Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat.
Az ábrázolás menete:
1) ( )x
xd 1= ← (értéktáblázat 1. sora).
2) ( )3
1+
=x
xe ← d grafikonjának eltolása
az x tengely mentén negatív irányba 3
egységgel (értéktáblázat 2. sora). Segíti az
ábrázolást, ha az x tengely −3 pontjába
húzunk egy, az y tengellyel párhuzamos
segédtengelyt.
3) ( )3
2+
=x
xf ← e grafikonjának y
tengely menti kétszeres nyújtása (értéktáblázat 3. sora).
3. lépés: Jellemzés:
1. É.T.: R\−3,
2. É.K.: R\0,
3. zérushely: nincs,
4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < −3, illetve ha x > −3,
5. szélsőérték: nincs,
6. paritás: nem páratlan és nem páros.
40 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Mintapélda9
Ábrázoljuk az ( ) 321+=
xxf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!
Megoldás:
1. lépés: Készítsünk értéktáblázatot!
x –3 –2 –1 21
−41
− 0 41
21 1 2 3
x1
31
− 21
− –1 –2 –4 ― 4 2 1 21
31
x21
61
− 41
− 21
− –1 –2 ― 2 1 21
41
61
321+
x
652
432
212 2 1 ― 5 4
213
413
613
A táblázat 3. sorából látható, hogy a nevezőben lévő kétszeres szorzó minden
függvényértéket felére csökkent. xx1
21
21
⋅=
A törthöz 3-at adva pedig a függvényértékek 3-mal nőnek. 2. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját!
Az 5.23 fóliacsomag alkalmazása
Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat.
Az ábrázolás menete:
1) ( )x
xd 1= ← (értéktáblázat 2. sora).
2) ( )x
xe 121⋅= ← d értékeinek felezése
(értéktáblázat 3. sora). Ez a függvény
grafikonjának y tengely menti 21 -szeres
zsugorítását jelenti.
3) ( ) 321+=
xxf ← e grafikonjának
eltolása az y tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel (értéktáblázat 4. sora). Az
ábrázolást segíti, ha az y tengely 3 pontjába húzunk egy, az x tengellyel párhuzamos
segédtengelyt.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 41
3. lépés: Jellemzés:
1. É.T.: R\0,
2. É.K.: R\3,
3. zérushely: 0321
=+x
egyenletből 61
−=x ,
4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0, illetve ha x > 0,
5. szélsőérték: nincs,
6. paritás: nem páros, nem páratlan.
Feladatok
22. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt!
x
xa43)( −= ;
12)(−
=x
xb ; 22)( +−=x
xc ; 1
131)(
+⋅=
xxd .
Megoldási útmutató: A függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatóak.
Transzformáció sorrendje: 1. x tengely menti eltolás; 2. y tengely menti
nyújtás/zsugorítás; 3. tükrözés az x tengelyre; 4. y tengely menti eltolás. A
hozzárendelési utasításnak megfelelően egyes lépések kimaradhatnak.
3
2)(+−
=x
xe ; 62
1)(+
=x
xf ; 421)( ++−
=x
xg ;
xxh 1)( = ;
xxi 23)( −= ;
21)(−
=x
xj .
Megoldási útmutató: Az ( )xe függvény esetén −1, az ( )xf függvény esetében 2 emelhető ki.
Ezek után a függvény grafikonja elemi transzformációkkal ábrázolható. A ( ) ( )xjxh −
függvényeknél először ábrázoljuk abszolútérték jel nélkül a függvényt, majd a grafikon
x tengely alatti részét tükrözzük az x tengelyre. Míg az x1 függvény páratlan , addig az
||1x
függvény páros.
42 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
III. Másodfokú függvények
Az 5.8 kártyakészlet alkalmazása
Csoportalakítás: Minden tanuló kap egy kártyát a kártyakészletből. Azok a tanulók alkotnak
egy 4 fős csoportot, akiknek a kártyáján a hatványozás azonosságait megfelelően alkalmazva
a műveletek eredménye ugyanaz a szám.
Az 5.9 szakértői mozaik alkalmazása
Ismétlés: a másodfokú függvény grafikonjának ábrázolása, jellemzése, transzformációi.
Az ismétlő órán az alapszintű példák közül, míg az 5. órán a közép és emelt szintű feladatok
közül válogatnak. A 9.-es tananyag ismétlése szakértői mozaik segítségével történik. Minden
csoport megkapja a szakértői mozaikban található feldolgozandó témaköröket. A
megbeszéltek alapján válaszolnak az első feladatban található kérdésekre.
Szakértői mozaik alkalmazása: Minden csoportból azok, akik ugyanazt a témakört kapták, egy
tanár által kijelölt asztalhoz ülnek. Itt közösen megértik, feldolgozzák a tananyagot. Ha
készen vannak, akkor mindenki visszamegy a saját csoportjához, és ott szóforgóval
elmagyarázzák egymásnak, amit tanultak (elsőnek az 1. tananyagot magyarázza el az a diák,
aki azt kapta, majd a 2. tananyag kerül sorra, stb.; mindig az a tanuló magyaráz, aki azt a
tananyagot kapta).
A szakértői mozaik témakörei:
1. A másodfokú függvény tulajdonságai;
2. A másodfokú függvény transzformálása: y tengely menti eltolás;
3. A másodfokú függvény transzformálása: x tengely menti eltolás;
4. A másodfokú függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás.
A továbbiakban függvények grafikonjának ábrázolásával folytatjuk. Mind az 1. tananyagban,
mind jellemzéskor új fogalomként jelenik meg a párosság, illetve emelt szintre készülőknél a
konvexitás, konkávitás fogalma.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 43
1. A másodfokú függvény tulajdonságai
f(x) = x2 g(x) = –x2
Minden másodfokú függvény képe parabola.
1. É.T.: R
2. É.K.:
• f függvény esetén: 0∪+R
• g függvény esetén: 0∪−R
3. Monotonitás:
• f függvény esetén:
– ha x ≤ 0, szigorúan monoton csökkenő.
– ha x ≥ 0, szigorúan monoton növekvő.
• g függvény esetén:
– ha x ≤ 0, szigorúan monoton növekvő.
– ha x ≥ 0, szigorúan monoton csökkenő.
4. Szélsőérték:
• f függvény esetén: • g függvény esetén:
– minimumhely: x = 0, – maximumhely: x = 0,
– minimumérték: f(0) = 0. – maximumérték: f(0) = 0.
x –16 –10,5 –5 –4 –23 –1 –0,63 0 1
32 2 3 11,3
f(x) = x2 256 110,25 25 16 49 1 0,3969 0 1
94 4 9 127,69
g(x) = – x2 –256 –110,25 –25 –16 –49 –1 –0,3969 0 –1 –
94 –4 –9 –127,69
44 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
5. Zérushely: Az f és a g függvényeknek egyaránt a 0 helyen van csak közös pontja az x
tengellyel, így mindkét függvény zérushelye: x = 0.
6. Paritás: Mindkét függvény páros, mivel teljesül rájuk az x2 = (−x)2 tulajdonság.
Általánosságban véve egy függvényt akkor nevezünk párosnak, ha teljesül rá, hogy
f(x) = f(−x). Ez geometriailag azt is jelenti, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus az y
tengelyre.
7. Az f(x)= x2 függvényt (alulról nézve) konvexnek nevezzük, mivel bármely két pontját
összekötve az így kapott húr minden pontja a parabola pontja fölött helyezkedik el.
A g(x) = −x2 függvényt (alulról nézve) konkávnak (vizuális típusúak számára: KONK∩V
nevezzük), mivel bármely két pontját összekötve az így kapott húr minden pontja a
parabola pontja alatt helyezkedik el.
2. A másodfokú függvény transzformálása:
y tengely menti eltolás
Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve
értéktáblázattal az f(x) = x2, a g(x) = x2− 3, illetve h(x) =
x2+ 2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz
felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
g(x) 13 6 1 –2 –3 –2 1 6 13
h(x) 18 11 6 3 2 3 6 11 18
Ha az f függvény értékeiből 3-at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig
2-t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti
eltolását is jelenti –3, illetve +2 egységgel.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 45
Általánosságban: a g(x) = x2+v (v 0-tól különböző,
tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az
f(x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy
f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén |v|
egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.
3. A másodfokú függvény transzformálása:
x tengely menti eltolás
Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f(x) = x2, a g(x) = (x+1)2,
illetve h(x) = (x−2)2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített
értéktáblázatot.
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16
g(x) 9 4 1 0 1 4 9 16 25
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16
h(x) 36 25 16 9 4 1 0 1 4
46 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit 1 egységgel korábban veszi fel,
mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f
függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel, másképp
fogalmazva negatív irányba 1 egységgel.
A h függvény az értékeit 2 egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény
grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti 2 egységgel, pozitív irányba
történő eltolásával kapjuk meg.
Általánosságban: a g(x)=(x+u)2 (u 0-tól különböző tetszőleges valós szám) függvény
grafikonját az f(x)=x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x
tengely mentén |u| egységgel u előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén
negatív irányba.
4. A másodfokú függvény transzformálása:
y tengely menti zsugorítás/nyújtás
1. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait!
f(x) = x2; g(x) = 3x2; h(x) = 21
− x2.
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
g(x) 48 27 12 3 0 3 12 27 48
h(x) –8 –4,5 –2 –0,5 0 –0,5 –2 –4,5 –8
5. modul: FÜGGVÉNYEK 47
Általánosságban: a függvény az f(x)=ax2
hozzárendelési utasítással adható meg, ahol a 0-tól
különböző tetszőleges valós szám.
Szemléletesen: ha az a szorzótényező
• 0 és 1 között van, akkor a másodfokú
függvény grafikonja szétnyílik,
• 1-nél nagyobb, akkor a grafikon szűkül,
• negatív, akkor pedig a grafikon az x
tengelyre tükröződik is.
Feladatok
23. Válaszolj a következő kérdésekre! Válaszodat indokold!
a) Add meg az ( ) 12 += xxf függvény értékkészletét!
Megoldás: É.K.: [1; ∞ [
b) Mely intervallumon szigorún monoton csökkenő az ( ) 2xxf = , illetve a ( ) 2xxg −=
függvény?
Megoldás: Ha x ≤ 0, akkor az f, ha x ≥ 0, akkor a g függvény szigorúan monoton
csökkenő.
c) Minimuma vagy maximuma van a h(x) = −2x2−1 függvénynek?
Megoldás: Maximuma van, mivel az x2 együtthatója negatív.
d) Hol van szélsőértéke a ]–1; 5] intervallumon értelmezett k(x) = (x−2)2 függvénynek, és
mekkora ez az érték?
48 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Megoldás: A ( )xk függvénynek ezen az értelmezési tartományon minimuma van az
2=x helyen, valamint maximuma van az 5=x helyen. Minimumértéke ( ) 02 =k ,
maximumértéke ( ) 95 =k .
e) Párosak-e az m(x) = x2+3, illetve az n(x) = (x+3)2 függvények?
Megoldás: Az m függvény páros, hiszen ( ) 33 22 +−=+ xx . Az n függvény nem páros,
mivel ( ) ( )22 33 +−≠+ xx .
f) Hol van zérushelye a p(x) = −x2+4, a q(x) = x2+2, illetve az r(x) = 2(x−5)2
függvényeknek?
Megoldás: A p függvénynek a −2 és a 2 helyeken van zérushelye. A q függvénynek
nincsen, míg az r függvénynek az 5 helyen van zérushelye.
g) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x+2)2 függvény grafikonját a g(x) = x2
függvény képéből (parabolából)?
Megoldás: x tengely menti negatív irányba 2 egységgel történő eltolással kapjuk.
h) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x−1)2+1 függvény grafikonját a g(x) = x2
függvény képéből (parabolából)?
Megoldás: Az x tengely mentén +1 egységgel, majd az y tengely mentén is +1 egységgel
toljuk el g függvény grafikonját.
i) Milyen transzformációval kapjuk az a(x) = −3x2, illetve a b(x) = 0,5x2 függvények
grafikonját az f(x) = x2 függvény képéből (parabolából)?
Megoldás: Az a grafikonját f-ből először egy y tengely menti háromszoros nyújtással,
majd egy x tengelyre való tükrözéssel kapjuk, míg a b-t egy 0,5-szeres zsugorítással.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 49
24. Ábrázoljuk a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett)
függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket!
1)( 2 += xxa ; 121)( 2 += xxd ; ( )23)( +−= xxg ; [ ]05;x −∈ ;
22)( xxb = ; 241)( 2 −−= xxe ;
84)( 2 −= xxc ; 62)( 2 +−= xxf ; [ ]22;x∈ .
Megoldási útmutató: A függvények grafikonja elemi transzformációkkal ábrázolható.
( ) 82)( 2 −= xxl ; ] [22;x∈ ; ( ) 41)( 2 ++−= xxm ; ( )2441)( −−= xxn ; x∈Z, x ≥ −1;
Megoldási útmutató: A függvények grafikonja elemi transzformációkkal ábrázolható. Az l
függvény grafikonja pedig 84 2 −= x)x(l átalakított formában elemi transzformációk
alkalmazásával.
( )233)( −= xxo ; 2
421)( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= xxp .
Megoldási útmutató: Először emeljük ki az x együtthatóját mindkét függvény esetében:
( )219 −= x)x(o ; ( )2841
−= x)x(p . Ezek után a függvények grafikonja elemi
transzformációkkal ábrázolható
Módszertani megjegyzés: A 25. feladat házi feladatnak ajánlott.
25. Rajzold be a koordinátatengelyeket úgy, hogy a megadott hozzárendelési utasítás igaz
legyen!
50 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
3)( 21 −= xxf ( )2
2 2)( += xxf
23 )5()( −−= xxf 2
4 )3(2)( −= xxf
521)( 2
5 +−= xxf 3)( 26 −−= xxf
5. modul: FÜGGVÉNYEK 51
93)( 27 −= xxf 4
41 2
8 += x)x(f
21 29 −−= )x()x(f 53 2
10 −+= )x()x(f
4)2()( 211 ++−= xxf 3)4()( 2
12 +−−= xxf
52 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Módszertani megjegyzés: A 26., 27. és 29. feladatok célja a koordinátageometriai alapozás.
Egy-egy koordinátageometriai feladaton belül részfeladatot képezhet az ábra vagy egyéb
ismeretek alapján történő egyenletfelírás.
A következő feladatot azoknak a tanulóknak ajánljuk, akik heti 4-5 órában tanulnak
matematikát.
26. Írd fel a képeken látható parabolák hozzárendelési utasítását!
a) b)
Megoldás: ( ) 22 += xxf ( ) 12 −−= xxf
c) d)
Megoldás: ( ) 13 2 += xxf ( ) ( )232 +−= xxf
5. modul: FÜGGVÉNYEK 53
e) f)
Megoldás: ( ) 63 2 −= xxf ( ) ( ) 43 2 −−= xxf
g) h)
Megoldás: ( ) ( ) 52 2 −+= xxf ( ) ( )2521
−= xxf
i) j)
Megoldás: ( ) ( ) 12 2 +−−= xxf ( ) ( ) 34 2 ++−= xxf
54 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
k)
Megoldás: ( ) ( ) 412 2 −+= xxf
27. Legyen a kiindulási függvény az ( ) 2xxf = . Mi lesz a függvény hozzárendelési utasítása,
ha grafikonját
a) eltoljuk az x tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel?
b) eltoljuk a v(0;2) vektorral?
c) tükrözzük az y tengelyre?
d) eltoljuk a v(−3; −1) vektorral?
e) kétszeresére nyújtjuk?
f) tükrözzük az x tengelyre, majd felére zsugorítjuk?
g) először tükrözzük az x tengelyre, majd eltoljuk az y tengely mentén +5 egységgel?
h) eltoljuk a v(0;2) vektorral, majd tükrözzük az x tengelyre?
i) először eltoljuk a v(1;2) vektorral, majd tükrözzük az y tengelyre?
Megoldási útmutató: Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a transzformált függvényeket, majd
olvassuk le a kapott grafikon hozzárendelési utasítását.
a) ( ) ( )23−= xxf ; b) ( ) 22 += xxf ; c) ( ) 2xxf = ;
d) ( ) ( ) 13 2 −+= xxf ; e) ( ) 22xxf = ; f) ( ) 2
21 xxf −= ;
g) ( ) 52 +−= xxf ; h) ( ) 22 −−= xxf ; i) ( ) ( ) 21 2 ++= xxf .
5. modul: FÜGGVÉNYEK 55
28. Egy céllövőnek a versenyen a tőle 8 m távolságra, 16 m magasan levő korongot kell
eltalálnia a győzelemhez. Lövés után a golyó az 2
41)( xxf = képlettel megadott függvény
grafikonjának vonalán mozog, ahol x a golyó versenyzőtől való távolságát jelenti.
Készítsd el a függvény grafikonját, és döntsd el, hogy megnyeri-e ez a céllövő a versenyt?
(A légellenállástól eltekintünk.)
Megoldás: Készítsünk ábrát!
Az ábrán már látszik, hogy a golyó telibe találja
a korongot, és versenyzőnk nyer. Mutassuk meg,
hogy tényleg így van!
Tegyük fel, hogy a golyó az origóból indul ki, és
a korongot egy ponttal ábrázoljuk. Berajzolva a
röppályát, azt kell megvizsgálni, hogy a P(8;16)
pont rajta van-e ( ) 2
41 xxf = hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonján.
Behelyettesítve a képletbe kapjuk: ( ) 168418 2 =⋅=f . A pont rajta van a parabolán, így
versenyzőnk valóban győz.
Módszertani megjegyzés: A következő feladat heti 4-5 órában matematikát tanuló diákoknak
ajánlott.
29. Írd fel annak a másodfokú függvénynek a hozzárendelési utasítását, amelyről tudjuk, hogy
az f(x) = x2 vagy a g(x) = −x2 függvényből a következő transzformációval származik:
a) az y tengely −2 pontjában szélsőértéke van.
b) az x tengelyt a 4 helyen érinti.
c) maximuma van az (5;2) pontban.
d) minimuma van a (−3;1) pontban.
e) átmegy a P(−3;10) ponton, szimmetrikus az y tengelyre.
f) átmegy a P(−1;5), Q(1;1) és R(3;5) pontokon.
56 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Megoldási útmutató: Mindegyik feladatnál célszerű ábrát készíteni. Ez alapján az a) – f)
feladatok könnyen megoldhatóak. A g) példában is segít az ábrakészítés, hiszen így
kiderül, hogy a Q pontban a függvénynek szélsőértéke van.
a) ( ) 22 −= xxf vagy ( ) 22 −−= xxg ; b) ( ) ( )24−= xxf vagy ( ) ( )24−= xxg ;
c) ( ) ( ) 25 2 +−−= xxf ; d) ( ) ( ) 13 2 ++= xxf ;
e) ( ) 12 += xxf vagy ( ) 192 +−= xxg ; f) ( ) ( ) 11 2 +−= xxf .
Mintapélda10
Készítsük el az f(x) = −x2+5x-6 függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!
Megoldás:
Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás:
( ) =−−−= 65)( 2 xxxf
( ) =−−+⋅⋅−−= 625,625,65,222 xx
( )( ) =−−−−= 625,65,2 2x
( ) ( ) 25,05,2625,65,2 22 +−−=−+−−= xx
Jellemzés:
1. É.T.: R.
2. É.K.: ] −∞; 0,25].
3. Zérushely:
4. Monotonitás:
x ≤ 2,5: szigorúan monoton növő,
x ≥ 2,5: szigorúan monoton csökkenő.
5. Szélsőérték:
maximumhely: x = 2,5,
maximumérték: f(2,5) = 0,25.
6. Nem páros, nem páratlan.
7. Konkáv (alulról nézve).
3
2
=
=( ) ( )( ) =
−−±−
=−⋅
−⋅−⋅−±−=
=−+−
224255
1261455
0652
21
2
;x
xx
32
2
1
==
xx
5. modul: FÜGGVÉNYEK 57
Feladatok
30. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett)
függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!
n(x) = x2+6x+9; q(x) = x2−2x−3 x∈[−2; 3]; s(x) = x2+4x+3 x∈Z;
o(x) = x2−4x+4; r(x) = x2−x−2; t(x) = x2−x+6 x∈Z+.
Megoldás: A függvények grafikonja teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás után
elemi transzformációkkal ábrázolható. ( ) ( )23+= xxn ; ( ) ( )22−= xxo ;
( ) ( ) 41 2 −−= xxq ; ( )49
21 2
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= xxr ; ( ) ( ) 12 2 −+= xxs ; ( )
423
21 2
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= xxt .
Jellemzés a mintapélda szerint.
Mintapélda11
Készítsük el a 32)( 2 −−= xxxf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!
Megoldás:
Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás:
( ) ( ) 4131131112)( 222 −−=−−−=−−+⋅⋅−= xxxxxf .
Jellemzés:
1. É.T.: R.
2. É.K.: R+∪0.
3. Zérushely:
0322 =−− xx .
13
2
1
−==
xx
( )=
+±=
⋅⋅⋅−−±
=2
124212
31422 2
21;x
1
3
−
58 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
4. Monotonitás:
x ≤ −1: szigorúan monoton csökkenő,
−1 ≤ x ≤ 1: szigorúan monoton növő,
1 ≤ x ≤ 3: szigorúan monoton csökkenő,
3 ≤ x: szigorúan monoton növő.
5. Szélsőérték:
lokális maximum hely: x = 1,
maximumérték: f(1) = 4,
abszolút minimum hely: x1 = −1; x2 = 3,
minimumérték: f(1) = f(3) = 0.
6. Paritás: nincs.
7. Ha −1 < x < 3, akkor konkáv (alulról nézve), ha x < −1 vagy x > 3, akkor konvex
(alulról nézve).
31. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett)
függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!
282)( 21 +−= xxxf ; xxxf 6
31)( 2
4 += ;
263)( 22 −−= xxxf ; 34)( 2
5 +−= xxxf ;
xxxf 82)( 23 −= ; 14122)( 2
6 −+−= xxxf .
Megoldás: A függvények grafikonja teljes négyzetté alakítás után elemi transzformációkkal
ábrázolható. Teljes négyzetté alakított függvények: ( ) ( ) 622 21 −−= xxf ;
( ) ( ) 513 22 −−= xxf ; ( ) ( ) 822 2
3 −−= xxf ; ( ) ( ) 27931 2
4 −+= xxf ;
( ) ( ) 12 25 −−= xxf ; ( ) ( ) 432 2
6 +−−= xxf .
A minimum- és maximumhely illetve -érték meghatározásával például a szélsőérték feladatok
megoldásánál találkozhatunk.
Az 5.10 kártyakészlet és az 5.11 ablak alkalmazása
5. modul: FÜGGVÉNYEK 59
A következő feladat megoldásához használjuk a rendelkezésre álló eszközöket! A tanár
minden csoportnak odaadja a kártyakészletet és az ablak ábráját. Minden tanuló négy kártyát
húz. A tanulók a kártyájukon látható függvényeket írják be az ablak megfelelő rubrikáiba.
32. A függvény grafikonjának elkészítése nélkül határozd meg a zérushelyek számát!
Állapítsd meg, hogy maximuma vagy minimuma van-e a függvénynek! Csoportosítsd az
alábbi függvényeket a felsorolt szempontok alapján!
Csoportosítandó függvények:
( )2710)( 21 ++−= xxxf ; 204)5)(5(2)( 2
7 −−−+= xxxxf ; 741)( 2
13 ++−= xxxf ;
xxxf 6)10()( 22 ++−= ; 3)6(
31)(8 −−−= xxxf ; 4)2)(10()(14 +−−= xxxf ;
23 )4(2)( xxxf +−= ; xxxxf 4)3)(13()(9 +−−= ; )4(37)(15 ++= xxxf ;
9)4(2)( 24 +−−−= xxxf ; 152)( 2
10 −+= xxxf ; 216 2
1)3(4)( xxxf −+−=
5,16521)( 2
5 +−= xxxf ; 7)1)(3()( 211 +−−−−= xxxxf ;
8)8)(4()(6 +++= xxxf ; xxxf 67)( 212 −−−= .
Szempontok:
– nincs zérushelye,
– egy zérushelye van,
– két zérushelye van,
– minimuma van,
– maximuma van.
Megoldás:
A kijelölt műveletek elvégzése után a csoportosítandó függvények:
271021 −−−= xx)x(f 1062
2 −+−= xx)x(f 82)( 23 +−= xxxf
982 24 ++= xx)x(f 5165
21 2
5 ,xx)x(f +−= 401226 ++= xx)x(f
50202 27 −−−= xx)x(f 32
31 2
8 −+−= xx)x(f 363 29 +−= xx)x(f
60 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
4241 2
10 ++= xx)x(f 442 211 ++−= xx)x(f 762
12 −−−= xx)x(f
741 2
13 ++−= xx)x(f
2412214 +−= xx)x(f 7123 2
15 ++= xx)x(f 12421 2
16 −−−= xx)x(f
nincs zérushelye: f1; f2; f3; f4; f5; f6; f16;
egy zérushelye van: f7; f8; f9; f10;
két zérushelye van: f11; f12; f13; f14; f15;
maximuma van: f1; f2; f7; f8; f11; f12; f13; f16;
minimuma van: f3; f4; f5; f6; f9; f10; f14; f15.
33. A kertünkben zöldségtermesztés céljából szeretnénk elkeríteni egy
részt. 20 m hosszú drótot vettünk a kerítéshez. Mekkorák legyenek a
veteményes oldalai, hogy a lehető legtöbb zöldséget tudjuk benne
termeszteni?
Megoldás: Legyenek a veteményes oldalai a illetve b
hosszúak. Ekkor ( )ba +⋅= 220 alapján ab −= 10 . A
terület: ( ) aaaabaT 1010 2 +−=−⋅=⋅= . Az a
értéket változónak tekintve képezhető a
aa)a(t 102 +−= hozzárendelési utasítással
megadott másodfokú függvény. A feladatban ennek a
függvénynek keressük a maximumát. Mivel a
főegyüttható negatív, ezért létezik maximum. Teljes négyzetté alakítással:
( ) 25525255210 222 +−−=−+⋅⋅−−=−−= a)aa()aa()a(t
Akkor kapjuk a legnagyobb területet, ha a kert oldalai 5 m hosszúak (a = 5, b = 5),
vagyis négyzet alakú. Ekkor a területe 25 m2.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 61
a) 34. Bontsunk fel egy 10 cm hosszú szakaszt két részre úgy, hogy
a) a darabok fölé rajzolt szabályos háromszögek területének
összege a legkisebb legyen!
b) a két darab hosszának a szorzata a legnagyobb legyen!
Megoldás:
a) Egy háromszög területét 2
amaT
⋅= képlettel számoljuk ki. Szabályos háromszög
esetén ama 23
= , amit behelyettesítve a területképletbe kapjuk: 2
43 aT = . A
szakaszok fölé emelt két szabályos háromszög területének összege pedig:
( )22 1043
43 xxT −+=
Ebből: ( )( ) ( )1002024310
43 222 +−=−+= xxxx)x(t
Az x = 5 helyen van minimum, és a minimumérték: 65215043 ,≈⋅
b) A két darab szorzata ott a legnagyobb, ahol az
( )xx)x(f −⋅= 10 függvénynek maximuma
van. Alakítsuk szorzattá a képletet!
( ) ( )10102 −−=−−= xxxx)x(f A függvény zérushelyei 0; 10. A szélsőérték
hely: 52100
=+ . Ez azt jelenti, hogy a
szakaszt két egyenlő részre kell felosztani ahhoz, hogy a két darab szorzata
maximális legyen.
62 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
35. Egy konvex sokszögben összesen 44 átló húzható. Határozd meg a sokszög
oldalszámát! Ábrázold koordináta-rendszerben a konvex sokszög oldalai és a benne
húzható átlók száma közötti összefüggést.
Megoldás: Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma ( )2
3−nn . Tudjuk, hogy összesen 44
átlója vannak a keresett sokszögnek, tehát
( )2
344 −=
nn , ebből
08832 =−− nn
A –8 nem megoldás, mert a sokszög csúcsainak száma nem lehet negatív. Így a keresett
sokszög 11 oldalú.
Az 5.12 kártyakészlet és az 5.13 ablak alkalmazása
A következő feladatban használjuk a rendelkezésre álló eszközöket! A tanár minden
csoportnak odaadja az. ablakot, illetve a kártyakészletet. A csoport minden tagja húz négy-
négy kártyát, majd beírja az ablak megfelelő rubrikáiba a pontokat. Mielőtt hozzálátnak a
feladatnak, célszerű ábrázolni a függvények grafikonját.
Ugyanúgy, ahogy korábban a függvényeknél, a pontokat is többféleképpen jelölhetjük:
1. Különböző betűkkel: P,Q,R,…..
2. Alsó indexben jelölve a különbözőséget: P1, P2, P3, ……….
36. Csoportosítsd a következő pontokat aszerint, hogy azok hogyan helyezkednek el az
721)( 2 +−= xxf és 4)1()( 2 −+= xxg függvények grafikonjához képest!
Pontok:
)5;2(1P ;
)7;0(2P ;
)3;0(3 −P ;
)0;3(4 −P ;
)5;1(5 −P ;
)0;0(6P ;
)5;3(7P ;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
29;
23
8P ;
)2;2(9P ;
)6;3(10 −P ;
)90;2(P11 ;
)3;7(12 −P ;
=21;n11
–8
5. modul: FÜGGVÉNYEK 63
)4;4(13 −P ;
)5;3(14P ;
)6;5(15 −−P ;
)11;6(16 −P .
Szempontok:
– vagy az f vagy a g függvények grafikonján található,
– az f függvény és a g függvény grafikonja felett található,
– az f függvény grafikonja alatt, de a g függvény grafikonja felett található,
– az f függvény és a g függvény grafikonja alatt található,
– az f függvény grafikonja felett, de a g függvény grafikonja alatt található.
Megoldás:
Ábrázoljuk a függvények grafikonját közös koordináta-rendszerben:
1. vagy az f vagy a g függvények grafikonján található: P1; P2; P3; P4;
2. az f függvény és a g függvény grafikonja felett található: P10; P11;
3. az f függvény grafikonja alatt, de a g függvény grafikonja felett található: P5; P6; P7;
4. az f függvény és a g függvény grafikonja alatt található: P8; P9;
5. az f függvény grafikonja felett, de a g függvény grafikonja alatt található: P12; P13;
P14; P15; P16.
64 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Mintapélda12
Ábrázoljuk számegyenesen a (x−3)(x+2) ≥ 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazát!
Megoldás:
Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az
f(x) = (x − 3)(x + 2) függvény grafikonját!
Az előjelek megállapításához elegendő, ha tudjuk
az x tengellyel való metszéspontokat, illetve azt,
hogy a parabola felfelé vagy lefelé nyílik.
Ennek az alapján:
Az ábráról leolvasható a megoldáshalmaz: x ≤ −2 vagy x ≥ 3.
Természetesen a feladat algebrai úton is megoldható: egy kéttényezős szorzat akkor pozitív,
ha a szorzótényezők előjelei megegyeznek. Ekkor x − 3 ≥ 0 és x + 2 ≥ 0 egyenlőtlenségek
közös megoldáshalmaza az x ≥ 3, illetve az x − 3 ≤ 0 és x + 2 ≤ 0 egyenlőtlenségek közös
megoldásaként adódik az x ≤ −2.
Feladatok
37. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát:
a) 0)2)(3( ≥+− xx ; b) 0)1( ≤+xx ; c) ( ) 05 2 ≥+x ;
d) ( ) 03 2 >−x ; e) ( ) 03 2 ≤−− x .
Megoldási útmutató: A c) – e) feladatok koordináta-rendszerben történő ábrázolással
megoldhatóak. Az a) és a b) feladatoknál a szorzat előjelét a szorzótényezők előjelének
függvényében határozzuk meg. Például az a) feladatban a szorzat akkor lesz nem
negatív (≥0), ha ((x−3) ≥ 0 és (x+2) ≥ 0) vagy ((x−3) ≤ 0 és (x+2) ≤ 0). A b) feladatnál
pedig akkor lesz nem pozitív (≤0), ha (x ≤ 0 és (x+1) ≥ 0) vagy (x ≥ 0 és (x+1) ≤ 0).
38. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát:
a) 032
≤+x ; b) ( )( ) 0x3x5 >+−− ; c) 032 <+− x ;
d) 082 2 >−x ; e) ( )( ) 03241
≤+−+ xx .
5. modul: FÜGGVÉNYEK 65
Megoldási útmutató: Az a), c) és d) feladatok koordináta-rendszerben történő ábrázolással
megoldhatóak. A b) és d) feladatoknál a szorzat előjelét a szorzótényezők előjelének
függvényében határozzuk meg.
Mintapélda13
Ábrázoljuk számegyenesen a 0562 ≥+− xx egyenlőtlenség megoldáshalmazát!
Megoldás:
Mivel a főegyüttható pozitív (+1), ezért a parabola
felfelé nyílik. Az x tengelyt az 5 és az 1 helyen metszi.
A keresett halmaz: x ≤ 1 vagy x ≥ 5.
Mintapélda14
Mely egész számokra teljesül a 0762 ≥−−− xx egyenlőtlenség?
Megoldás:
A megfelelő egyenlet gyökei:
2226
21 −±
=;x ,
59123
41423
2
1
,x
,x
−≈+−=
−≈−−=
Mivel a főegyüttható negatív (−1), ezért a parabola
lefelé nyílik. Az egyenlőtlenségnek megfelelő értékek a két gyök között találhatók:
2323 +−≤≤−− x . A keresett egész számok: −4; −3; −2.
12
46
52
46
=−
=+
=⋅⋅−±
=2
51466 2
21;x
66 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Feladatok
39. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldási halmazát:
a) 01492 ≥+− xx ; d) 212 xx ≤+ ;
b) 62 −≥+− xx és x∈Z; e) 251134 2 −≥−− xxx ;
c) 0103 2 >−+− xx .
Megoldási útmutató: A kijelölt műveletek elvégzése után összevonunk, ahol szükséges.
a) x ≤ 2 vagy x ≥ 7; b) x∈−2; −1; 0; 1; 2; 3; c) x < −2 vagy x > 5;
d) x ≤ −3 vagy x ≥ 4; e) 2131−≤x vagy
2131+≥x .
40. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldási halmazát:
a) 423
8 2+<+
− xxx ;
b) xxxx 22186 22 +−<+−− és x∈Z;
c) ( )( ) 0124 >+++ xx ;
d) ( )( ) 24115
21 2 −+>−+ xxxx .
Megoldási útmutató: A kijelölt műveletek elvégzése után összevonunk, ahol szükséges.
a) x < 2 vagy x > 3; b) nincs ilyen; c) R\−3;
d) 62 −−≤x vagy 62 +−≥x .
Módszertani megjegyzés: A 15. és a 16. mintapélda, valamint a 41. és a 42. feladat elvégzése
heti 4-5 órában történő oktatás esetén ajánlott.
Mintapélda15
Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira y < − x2− 6 x + 7 ?
Megoldás:
Teljes négyzetté alakítás felhasználásával ábrázoljuk a az f(x) = −x2− 6x+ 7 függvény
grafikonját.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 67
( ) ( ) 16376)( 22 ++−=++−= xxxxf
A megoldáshalmazt a grafikon alatti pontok alkotják.
Feladatok
41. Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira
a) 462 −−< xxy ; b) xxy 51 2 +−≥− ?
Megoldás:
a) b)
68 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Mintapélda16
Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyekre 621032 −+>−+ xxx ?
Megoldás:
Legyen 103)( 2 −+= xxxf és 62)( −+= xxg . Ábrázoljuk az f és g függvények
grafikonjait közös koordináta-rendszerben!
Az f(x) függvény grafikonjának pontos ábrázolásához teljes négyzetté alakítunk:
( ) ( ) ( ) 25,125,11025,225,23103)( 222 −+=−−++=−+= xxxxxxf
Az ábra alapján már meg lehet becsülni, hol lesz a megoldáshalmaz, de a megoldáshoz
szükséges még a metszéspontok pontos meghatározása.
1. lépés: Alkalmazzuk az abszolútérték definícióját!
( )⎩⎨⎧
−<−−=−+−−≥−=−+
=−+28622462
62x,xxx,xx
x
2. lépés: A definíciót felhasználva oldjuk meg az egyenletet!
I. Ha 2−≥x , akkor
062
41032
2
=−+
−=−+
xx
xxx
( )71
2722
22442
26442
21 ±−=±−
=+±−
=−⋅−±−
=;x
653721
651721
2
1
,x
,x
−≈−−=
≈+−=
5. modul: FÜGGVÉNYEK 69
Mivel 2−≥x , ezért x2 nem megoldás.
II. Ha 2−<x , akkor
024
81032
2
=−+
−−=−+
xx
xxx
( )62
2624
2244
224164
21 ±−=±−
=±−
=−⋅−±−
=;x
Mivel 2−<x , ezért x1 nem megoldás.
Összefoglalva: a megoldáshalmaz: 71xvagy62x +−>−−< .
Feladatok
42. Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyek koordinátáira
a) 12122 +≤− xx ; b) 42242 −−>+− xxx ?
Megoldás:
a) b)
45462
45062
2
1
,x
,x
−≈−−=
≈+−=
70 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
43. Egy üzemben a darabszám függvényében a költséget a xxk 34)( += függvény írja le
millió forintban. A bevételt pedig a 180006002)( 2 −+−= xxxb kifejezés adja meg szintén
millió forintban.
a) Milyen darabszámok esetén lesz a bevétel nagyobb, mint a kiadás?
b) Milyen darabszám mellett lesz a legnagyobb a nyereség (bevétel–kiadás)?
Megoldás:
Ábrázoljuk a két függvény grafikonját közös
koordináta-rendszerben!
Az a) feladatban azon egész számok jelentik a
megoldást, amelyeknél b > k. Ez ugyanaz, mint a
h = b – k függvény két zérushelye között
található egész számok halmaza. A b) feladat
megoldásához ezt a h függvényt használjuk fel.
Ugyanis a b) feladat megoldását a h függvény
maximumhelye és maximum értéke jelenti.
Mivel b grafikonja lefelé nyíló parabola, így a keresett darabszámok a két függvény
metszéspontjai között találhatóak.
Vizsgáljuk a h = b – k függvényt!
1800459720
4318000600202
2
−+−=
−−−+−=
xx
xxx
( ) ( )4
844605974212377597
41800424597597 2
21 −±−
=−±−
=−
−⋅−⋅−±−=
,x ;
462644
841057
0434416136
2
1
,,x
,,x
≈−
−=
≈−
−=
Mivel a főegyüttható negatív, ezért a függvény
képe egy lefelé nyíló parabola, mely a két
zérushelye között pozitív értéket vesz fel, a két
zérushelyen kívül pedig negatív.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 71
a) Ha a darabszám legalább 35 és legfeljebb 264, akkor a bevétel nagyobb, mint a
kiadás, tehát van nyereség.
b) Teljes négyzetté alakítással kapjuk meg a megoldást.
( ) ( )( ) ( ) 125,2654725,1492180045625,222755625,222755,2982
180045,298222
2
+−−=−−+−−=
=−−−=
xxx
xxxh
149,25 darab árú esetén lenne a nyereség maximális. Mivel a darabszám csak egész
szám lehet, ezért maximális nyereséget 149 darab esetén érünk el. A teljes négyzetté
alakított képletből leolvasható, hogy ilyen darabszám esetén a nyereség kb.
26 547 mFt.
Mintapélda17
Oldjuk meg az 06423
2
2≥
++−+
xxxx egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
Megoldás:
Legyen 23)( 2 −+= xxxf és 64)( 2 ++= xxxg .
A nevező nem lehet 0: .0642 2 ≠++ xx
D = 16 – 24 < 0. Mivel a diszkrimináns negatív, ezért
a nevező sehol sem vesz fel 0 értéket.
Mivel a diszkrimináns negatív és a főegyüttható
pozitív, így a g függvény grafikonja olyan parabola,
amelynek minden pontja az x tengely fölött van.
A függvény mindenütt pozitív értéket vesz fel.
Most számoljuk ki az f függvény zérushelyeit:
56,32
173
56,02
173
;2
1732
893
2
1
2;1
−≈−−
=
≈+−
=
±−=
+±−=
x
x
x
72 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Egy tört értéke akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező előjelei megegyeznek.
Mivel a nevező mindenütt pozitív, így a számlálónak is nemnegatívnak kell lennie. Az f
függvény főegyütthatója pozitív, így a függvény akkor vesz fel nemnegatív értékeket, ha
2173−−
≤x vagy 2
173+−≥x . A tört értéke is ezekben az esetekben lesz
nemnegatív.
Mintapélda18
Milyen valós számokra igaz az alábbi egyenlőtlenség?
42
33
+<+
−+
xx
xx
Megoldás:
Kikötés: 03 ≠−x , 04 ≠+x , és 3≠x , 4≠x .
Törtes egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor az első lépés mindig a kikötés, mert
a nullával való osztás nincs értelmezve. Egyenlőtlenség megoldásakor, ha negatív
számmal szorzunk, az egyenlőtlenség jele megfordul. A törtes egyenlőtlenségeket célszerű
nullára rendezni:
04
233
<+
−+−+
xx
xx / közös nevezőre hozás:
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( ) 0
433
43432
4343
<+−
−−
+−+−
++−++
xxxx
xxxx
xxxx ,
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 0
43343243<
+−−−+−+++
xxxxxxxx / zárójelfelbontás:
A nevezőben a zárójelek felbontása felesleges, hiszen az egyenlőtlenség megoldásához a
zérushelyekre lesz szükség, amelyek a szorzat alakból könnyen leolvashatók.
( )( ) 043-x
32422127 222<
++−−++++
xxxxxxx / összevonás:
( )( ) 04312122 2
<+−−+
xxxx .
5. modul: FÜGGVÉNYEK 73
Az egyenlőtlenség megoldásához szükség van a számláló zérushelyeire is:
066
20121222
2
=−+
=−+
xx
:/xx
Ábrázoljuk külön a számlálónak, illetve külön a nevezőnek, mint függvénynek a grafikonját.
Egy tört értéke akkor és csak akkor negatív, ha a számláló és a nevező ellentétes előjelű.
I. 012122 2 >−+ xx és ( )( ) 043 <+− xx (számláló pozitív és a nevező negatív):
A számláló pozitív, ha 153−−<x vagy
153+−>x .
A nevező negatív, ha 34 <<− x .
A két halmaz közös része a megoldás: 3153 <<+− x .
II. 012122 2 <−+ xx és ( )( ) 043 >+− xx (számláló negatív és a nevező pozitív):
A számláló negatív, ha 153153 +−<<−− x .
A nevező pozitív, ha 4−<x vagy 3>x .
A két halmaz közös része a megoldás:
4153 −<<−− x .
A részmegoldások összesítése a kikötéssel: 4153 −<<−− x vagy 3153 <<+− x .
Megjegyzés: Az irracionális értékek ábrázolása a számegyenesen csak hozzávetőleges.
87,6153
87,0153
−=−−
=+−=±−=
±−=
+±−= 153
2606
224366
21;x
74 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
44. Oldd meg a valós számok halmazán az 11
22 ++
≥+x
x egyenlőtlenséget!
Megoldás:
Kikötés: x ≠ −1.
Megoldandó egyenlőtlenség: 01
122≥
+−+
xxx .
Megoldáshalmaz:
21+−≥x vagy 121 −<≤−− x .
45. Oldd meg az 23
21
−+
<+−
xx
xx egyenlőtlenséget, ha x ∈ R és ] [34;x −∈ !
Megoldás:
Kikötés: x ≠ −2 és x ≠ 2.
Megoldandó egyenlőtlenség: ( )( ) 022
48<
−+−−xx
x .
Megoldáshalmaz:
212 −<<− x vagy 32 << x .
46. Oldd meg a valós számok halmazán a 31
4252
312+
−−
≤+−−
xx
xx egyenlőtlenséget!
Megoldás:
Kikötés: x ≠ 1 és x ≠ 2,5.
Megoldandó egyenlőtlenség:
( )( ) 01522
393 2≤
−−−−
x,xxx .
Megoldáshalmaz: 2
133−≤x vagy 521 ,x << vagy
2133+
≥x .
5. modul: FÜGGVÉNYEK 75
47. Oldd meg a valós számok halmazán a 61
344
4104
753
−+
>+
++− xx
xx egyenlőtlenséget!
Megoldás:
Kikötés: x ≠ −7.
Megoldandó egyenlőtlenség: 0213
1362>
+++−
xxx .
Megoldási halmaz: 7−<x vagy 223223 +<<− x .
48. Oldd meg a valós számok halmazán a 21
2
2
+−+−
xxxx < 0 egyenlőtlenséget!
Megoldás: A számláló diszkriminánsa ( ) 3141 21 −=⋅−−=D , és az 2x együtthatója pozitív:
ez azt jelenti, hogy a számláló értéke minden valós x-re pozitív. A nevező
diszkriminánsa ( ) 7241 22 −=⋅−−=D , az 2x együtthatója pozitív: ez azt jelenti, hogy a
nevező értéke is minden valós x-re pozitív. A tört értéke tehát minden valós x-re pozitív,
ezért az egyenlőtlenségnek nincs megoldása.
Mintapélda19
Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyekre 262 +−≤ xxy és 13 −−−> xy egyszerre
teljesül?
Megoldás:
76 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Közös tartomány:
Ha a függvény grafikonja eleme a tartománynak (≤ vagy ≥ esetén), akkor a tartomány
színével színezzük ki. Ha a nem eleme (< vagy > esetén), akkor a grafikon fekete színű.
Az 5.14 kártyakészlet alkalmazása
Módszertani megjegyzés: A tanulók párokban dolgoznak. A tanár minden asztalra kiteszi a
kártyakészletet 3 részre osztva. Ebben a készletben relációs jeleket, logikai kapcsolatokat,
valamint képleteket tartalmazó kártyák találhatóak.
A páros mindkét tagja húz egy másodfokú kifejezést és egy relációs kártyát. Valamint
felváltva húznak a logikai kapcsolatot tartalmazó kártyát is. Először külön-külön ábrázolják a
füzetükbe az egyenlőtlenség megoldási halmazát, majd egy közös koordináta-rendszerben, a
logikai kapcsolatnak megfelelően kiszínezik a náluk lévő két egyenlőtlenségből álló
egyenlőtlenség-rendszer megoldási halmazát.
A tanulók úgy húznak relációs kártyákat, hogy a kisebb-nagyobb relációs jelek mind a négy
lehetséges kombinációja előforduljon (egyenlőségtől eltekintve). Az „és”, illetve „vagy”
logikai kapcsolatokat pedig felváltva alkalmazzák.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 77
IV. A négyzetgyökfüggvény Az 5.15 kártyakészlet alkalmazása
Módszertani megjegyzés: Alkossanak 4 fős csoportokat a négyzetgyökkel kapcsolatos
ismereteik alapján a kártyakészlet segítségével! A tanár kitesz minden asztalra egy számot,
valamint szétosztja a gyökös kifejezéseket tartalmazó kártyákat a tanulók között. A tanulók
keressék meg azt az asztalt, amelyen a kártyájukon látható kifejezés értéke szerepel.
Mintapélda20
Hány egység a négyzet oldala, ha ismert a területe? Töltsd ki a táblázatot!
Tudjuk, hogy a négyzet területe: 2aT = . Ebből Ta = .
T 1 4 9 2 3 5 0,25 0,01
a 1 2 3 2 3 5 0,5 0,1
Definíció: Egy nemnegatív szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelyet
négyzetre emelve megkapjuk az eredeti számot. Jelöléssel: Ha 0≥a , akkor a jelöli azt a
nemnegatív valós számot, amelyre ( ) aa =2
.
Megjegyzés: Mivel két olyan szám is létezik, amelynek négyzete a, ezért a− -val jelöljük
azt a nem pozitív számot, amelynek négyzete szintén a ( )00 = .
Ezen definíció alapján megadható a négyzetgyök függvény fogalma.
Definícó: Négyzetgyökfüggvényen értjük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett
xxf =)( hozzárendeléssel megadott függvényt.
Az 5.21 fólia alkalmazása
78 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Mintapélda21
Ábrázoljuk a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett xxf =)( hozzárendeléssel
megadott függvényt, és jellemezzük!
A fenti táblázatot értéktáblázatként felhasználva a következő grafikont kapjuk:
Jellemzés:
1. É.T.: R+∪0;
2. É.K.: R+∪0;
3. Zérushely: x = 0;
4. Monotonitás: szigorúan monoton növő;
5. Szélsőérték:
minimumhely: x = 0;
minimumérték: f(0) = 0;
6. Paritás: nem páros, nem páratlan;
7. Konkáv (alulról nézve).
Mintapélda22
a) Határozd meg, hogy a 68 négyzetgyöke melyik két egész szám között található!
b) Határozd meg öttized pontossággal, hogy az 55 négyzetgyöke melyik két racionális szám
között található!
Megoldás:
a) x=68, 9688 << .
b) x=55, 5,7557 << , mert 49 < 55 < 56,25.
Feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladat házi feladatnak javasolt.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 79
49. a) Határozd meg, mely két egész szám között található az alábbi számok négyzetgyöke!
b) Határozd meg öttized pontossággal, mely két racionális szám között található az
alábbi számok négyzetgyöke!
x a) b)
0,5 << x << x
2 << x << x
10 << x << x
17 << x << x
28 << x << x
33 << x << x
44 << x << x
70 << x << x
Megoldás:
x a) b)
0,5 0 << x 1 0,5 << x 1
2 1 << x 2 1 << x 1,5
10 3 << x 4 3 << x 3,5
17 4 << x 5 4 << x 4,5
28 5 << x 6 5 << x 5,5
33 5 << x 6 5,5 << x 6
44 6 << x 7 6,5 << x 7
70 8 << x 9 8 << x 8,5
80 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
50. Az ábra segítségével határozd meg egy tizedesjegy pontossággal a nemnegatív valós
számok halmazán értelmezett xxf =)( függvény értékeit az alábbi helyek esetén!
x 2 3 6 7 8
f(x)
f(0) = f(–1) = f(2,5) = f(5,7) = f(8,1) =
Megoldás:
x 2 3 6 7 8
f(x) 1,4 1,7 2,4 2,6 2,8
f(0) = 0; f(–1) = nem értelmezett; f(2,5) = 1,6; f(5,7) = 2,4; f(8,1) = 2,8.
Módszertani megjegyzés: A következő feladatot házi feladatnak javasoljuk.
51. Az előző grafikon alapján olvasd le egy tizedesjegy pontossággal, hogy hol veszi fel az
xxf =)( , R+∪0 függvény a táblázatban szereplő függvényértékeket!
x
f(x) 1 2 3 0,1 0,5 0,7 1,3 1,6 2,2 2,5 2,9
5. modul: FÜGGVÉNYEK 81
Megoldás:
x 1 4 9 0 0,3 0,5 1,7 2,6 4,8 6,3 8,4
f(x) 1 2 3 0,1 0,5 0,7 1,3 1,6 2,2 2,5 2,9
52. Hol veszi fel az 2+= x)x(f , x∈[−2; ∞[ függvény a következő függvényértékeket?
f(x) = 0, x = ;
f(x) = 0,2, x = ;
f(x) = 1,2, x = ;
f(x) = 3,3, x = ;
f(x) = −4, x = ;
f(x) = −0,5, x = .
Megoldás:
f(x) = 0 x = −2
f(x) = 0,2 x = −1,96
f(x) = 1,2 x = −0,56
f(x) = 3,3 x = 8,89
f(x) = −4 x = ∅ (nincs ilyen x)
f(x) = −0,5 x = ∅ (nincs ilyen x)
Az 5.16 kártyakészlet és az 5.17 ablak alkalmazása
A következő feladat megoldásakor használjuk a rendelkezésre álló eszközöket! A tanár
minden asztalra kiteszi az ablakot és a pontokat tartalmazó kártyakészletet. A tanulók húznak
4-4 kártyát, és beírják az ablak megfelelő rubrikáiba.
53. Csoportosítsd a következő pontokat aszerint, hogy mely függvények grafikonján
vannak rajta!
82 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Pontok:
( )1;11 −−P ,
( )0;22P ,
( )2;33P ,
( )0;24 −P ,
( )2;25 −−P ,
( )2;26 −P ,
( )1;07P ,
( )0;18 −P ,
( )4;69P ,
( )2;110P ,
( )23;111 −P ,
( )0;012P ,
( )1;013 −P ,
( )7;514 −P ,
( )12;515P ,
( )1116 −;P .
Függvények: 1)( += xxf ; 22)( −= xxg ; 2)( +−= xxh ; 22)( −+= xxi
Szempontok:
– f(x) grafikonján rajta van,
– g(x) grafikonján rajta van,
– h(x) grafikonján rajta van,
– i(x) grafikonján rajta van,
– egyik függvény grafikonján sincs rajta.
Megoldás:
f(x) grafikonján rajta van: P3; P7; P8; P10;
g(x) grafikonján rajta van: P2; P3; P9; P15;
h(x) grafikonján rajta van: P1; P4; P6; P14;
i(x) grafikonján rajta van: P1; P2; P5; P11;
egyik függvény grafikonján sincs rajta: P12; P13; P16.
A feladatokban találkozunk olyan pontokkal, amelyek nincsenek rajta a függvény grafikonján.
Ennek egyik lehetséges oka, hogy a pont x koordinátája nem eleme a függvény értelmezési
tartományának.
A következőkben rátérünk az értelmezési tartomány vizsgálatára.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 83
Mintapélda23
Határozzuk meg az 3)(1 += xxf ; xxf −= 2)(2 és 2612)( 23 −−−= xxxf
hozzárendeléssel megadott függvények értelmezési tartományát!
Megoldás:
Azt kell megvizsgálni, hogy a gyökjel alatti kifejezés hol nemnegatív, vagyis mely x-ekre
teljesül, hogy
f1 esetén x+3 ≥ 0,
f2 esetén 2−x ≥ 0, illetve
f3 esetén 026122 ≥−−− xx .
f1 értelmezési tartománya: x ≥ −3,
f2 értelmezési tartománya: 2 ≥ x.
Most vizsgáljuk meg az f3(x) függvényt!
1. lépés: kiszámoljuk a függvény zérushelyeit:
2. lépés: a függvény grafikonja egy lefelé nyíló parabola, mely az x tengelyt a −9,16,
illetve az −2,84 helyeken metszi:
3. lépés: az ábráról már könnyen leolvasható a megoldási halmaz, ami egyben a függvény
értelmezési tartománya is: 106106 +−≤≤−− x .
842106
169106
,
,
−≈+−
−≈−−( ) ( )=
−±
=−
−⋅−⋅−±=
24012
2261414412
21;x
84 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Mintapélda24
Hol értelmezhető az ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= xxxf
545112)( hozzárendeléssel megadott függvény?
Megoldás:
A gyökjel alatti szorzat nem vehet fel negatív értékeket. Egy kéttényezős szorzat értéke
pedig csak akkor lesz nemnegatív, ha a tényezők értékeinek előjele megegyezik, illetve ha
a szorzat 0.
I. 0112 ≥+x és 0545 ≥− x ⇒ 55,x −≥ és 256,x ≤ ⇒ 25655 ,x, ≤≤−
II. 0112 ≤+x és 0545 ≤− x ⇒ 55,x −≤ és 256,x ≥ ⇒ ez a két feltétel egyszerre nem
teljesül ⇒ nincs megoldás.
Tehát a függvény értelmezési tartománya: 25655 ,x, ≤≤−
Mintapélda25
Adjuk meg az 66
32)( 2
2
−+−−−
=xx
xxxf hozzárendeléssel megadott függvény értelmezési
tartományát!
Megoldás:
Egy tört értéke akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező előjelei megegyeznek, illetve
a számláló 0 is lehet.
Ezért 1. lépésben meghatározzuk mind a számlálóban, mind a nevezőben lévő
kifejezéseknek, mint függvényeknek a zérushelyeit:
5. modul: FÜGGVÉNYEK 85
Számláló:
Nevező:
2. lépés: Készítsünk vázlatot a számlálóban és nevezőben lévő parabolák
elhelyezkedéséről a zérushelyek és a főegyüttható alapján.
3. lépés: a feladatbeli tört értéke akkor nemnegatív, ha
I. 0322 ≥−− xx és 0662 >−+− xx .
A fenti ábrákról leolvasható, hogy
0322 ≥−− xx akkor teljesül, ha 1−≤x vagy
3≥x . A nevező pedig akkor pozitív, ha
3333 +<<− x .
A közös tartomány: 333 +<≤ x .
=−±−
=−
−±−=
2326
224366
2;1x73433
27133
,
,
≈+
≈−
=±
=+±
=2
422
12422;1x
1
3
−
86 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
II. 0322 ≤−− xx és 0662 <−+− xx .
A számláló akkor nem pozitív, ha 31 ≤≤− x .
A nevező pedig akkor negatív, ha 33−<x
vagy 33+>x . Számegyenesen ábrázolva
kapjuk: a közös tartomány: 331 −<≤− x .
A I. és II. eset összegzéseként megkapjuk a függvény értelmezési tartományát:
333 +<≤ x vagy 331 −<≤− x .
Feladatok
54. Határozd meg a következő függvények értelmezési tartományát:
xxf −=)(1 ; xxf −= 2)(3 ; 15)(5 +−= xxf ;
xxf −=)(2 ; 53)(4 += xxf ; 421)(6 −= xxf ;
Megoldás: 0:1 ≥xf ; 0:2 ≤xf ; 2:3 ≤xf ; 35:4 −≥xf ;
51:5 ≤xf ; 8:6 ≥xf .
65
4)(7 −=
xxf ;
61)(10 +
−=
xxxf ; 33)(13 −+−= xxxf ;
xxf
472)(8 −
−= ; 10133)( 2
11 +−−= xxxf ; 21)(14 −−−= xxxf ;
65)( 29 −+= xxxf ; 1382)( 2
12 +−= xxxf ;
Megoldás: 2,1:7 >xf ; xf <75,1:8 ; 6:9 −≤xf vagy 1≥x ; 1:10 ≥xf vagy 6−<x ;
325:11 ≤≤− xf ; f12: x∈R; 3:13 =xf ; 2:14 ≥xf .
5. modul: FÜGGVÉNYEK 87
3332)(15 −+= xxf ; 49305)( 2
18 −+−= xxxf ;
5)(16 +−= xxf ; 34
145)( 2
2
19 +−−−
=xxxxxf ;
51)(17+−
=x
xf ; x
xxxxf
5413
452)(20 −
+−
+−
= .
Megoldás: 5,7:15 −≤xf vagy 51,x > ; 5:16 −=xf ; :f17 sehol sincs értelmezve;
:18f sehol sincs értelmezve; f19: 7≥x vagy 2−≤x , ill 31 << x ;
f20: 54
−≤x vagy 54
>x , ha ;01625 2 >−x nincs megoldás, ha .01625 2 ≤−x
88 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
A négyzetgyökfüggvény ábrázolása és a függvény jellemzése
Az 5.18 szakértői mozaik alkalmazása
Módszertani megjegyzés: A tanulók csoportmunkával dolgozzák fel az anyagot. A tanár
minden asztalra kiteszi a szakértői mozaikban lévő tananyagot. Akik ugyanazt a tananyagot
kapták, közös, a tanár által kijelölt asztalhoz mennek, és plakátot készítenek a tananyag
könnyebb megértéséhez. A plakáton lehetőleg elsősorban képek, illusztrációk legyenek, és
csak minimális szöveg. A plakáthoz minden csoportnak szüksége van filctollakra és
csomagoló papírra. Amikor elkészültek, mindenki visszamegy a saját csoportjához, és körbe
mennek. Minden asztalnál az a tanuló magyaráz, aki részt vett annak a plakátnak az
elkészítésében.
A következő mintapéldának a célja az inverzfüggvény szemléletes fogalmának kialakítása.
1. Az xxf =)( függvény grafikonjának transzformálása:
x tengely menti eltolás
Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett xxf =)( ,
x ≥ 0; 3)( += xxg , x ≥ −3; és 2)( −= xxh , x ≥ 2 függvények grafikonját!
Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk a következő értéktáblázatokat!
x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x) 0 1 2 3
g(x) 0 1 2 3 2 5 6
x 0 1 2 3 4 5 6
f(x) 0 1 2 3 2 5 6
h(x) 0 1 2 3 2
5. modul: FÜGGVÉNYEK 89
Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az
értékeit 3 egységgel korábban veszi fel, mint az
f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény
grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény
grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén
–3 egységgel, másképp fogalmazva negatív irányba
3 egységgel.
A h függvény az értékeit 2 egységgel később veszi
fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját
pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti
2 egységgel, pozitív irányba történő eltolásával
kapjuk meg.
Általánosságban: a uxxg +=)( (u 0-tól különböző
tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az
xxf =)( függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy
f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén |u|
egységgel u előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén
pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.
Megjegyzés: ezt a transzformációt a változó transzformációjának nevezzük, mivel az x
helyekre (változókra) vonatkozik a transzformáció, és csak utána végezzük el a gyökvonást,
és kapjuk meg a függvényértéket.
2. Az xxf =)( függvény grafikonjának transzformálása:
y tengely menti eltolás
Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett
xxf =)( , 3)( += xxg és 2)( −= xxh függvények grafikonját ( 0≥x )!
Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk a következő értéktáblázatokat!
x 0 0,1 0,5 1 2 3 4 5 8 9
f(x) 0 0,32 0,71 1 1,41 1,73 2 2,24 2,83 3 g(x) 3 3,32 3,71 4 4,41 4,73 5 5,24 5,83 6 h(x) –2 –1,68 –1,29 –1 –0,59 –0,27 2 0,24 0,83 1
90 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Ha az f függvény értékeihez 3-at adunk hozzá,
akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha
pedig 2-t vonunk ki, akkor a h függvény lesz az
eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti
eltolását is jelenti +3, illetve – 2 egységgel.
Általánosságban: a vxxg +=)( , x∈R+∪0
(v 0-tól különböző, tetszőleges valós szám)
függvény grafikonját a nemnegatív valós
számok halmazán értelmezett xxf =)(
függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f
grafikonját eltoljuk az y tengely mentén |v|
egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén
felfelé.
Megjegyzés: ezt a transzformációt az érték transzformációjának nevezzük, mivel először az x
helyekre kiszámítjuk a függvényértékeket, és a függvényértékekre végezzük el a
transzformálást.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 91
3. Az xxf =)( függvény grafikonjának transzformálása:
y tengely menti nyújtás/zsugorítás
Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett
xxf =)( , xxg 2)( = és xxh21)( = függvények grafikonját ( 0≥x )!
Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk a következő értéktáblázatokat!
x 0 0,1 0,5 1 2 3 4 5 8 9
f(x) 0 0,32 0,71 1 1,41 1,73 2 2,24 2,83 3 g(x) 0 0,64 1,42 2 2,82 3,46 4 4,48 5,66 6 h(x) 0 0,16 0,355 0,5 0,705 0,865 1 1,12 1,415 1,5
Az f függvény értékeit 2-vel szorozva a g
függvény értékeit, míg 21 -del szorozva a h
függvény értékeit kapjuk meg.
Általánosságban: a függvény az xaxf =)( ,
x∈R+∪0 hozzárendelési utasítással adható
meg.
Ha az a szorzótényező 0 és 1 között van, akkor a függvény grafikonja az x tengelyhez “lapul”,
ha 1-nél nagyobb, akkor a grafikon az y tengely irányában “megnyúlik”.
92 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
4. Az xxf =)( függvény transzformálása: tükrözés
a koordinátatengelyekre
Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a valós
számok halmazán értelmezett xxf =)( , x ≥ 0;
xxg −=)( , x ≥ 0 és a xxh −=)( , x ≤ 0
függvények grafikonját!
A g függvény értékeit az f függvény értékeinek
(–1)-gyel való szorzásával kapjuk. Ez azt is
jelenti, hogy a g függvény grafikonját az f
függvény grafikonjának x tengelyre történő
tükrözésével kapjuk.
A h függvény az értékeit pedig pont az f függvény helyeivel ellentétes helyeken veszi fel. Ez
azt is jelenti, hogy a h függvény grafikonját az f függvény grafikonjának y tengelyre történő
tükrözésével kapjuk.
Mintapélda26
a) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az 0∪+R halmazon értelmezett 2)( xxa = ,
xxb =)( és a valós számok halmazán értelmezett xxc =)( függvények grafikonját!
b) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az 0∪−R halmazon értelmezett 2)( xxa = ,
xxb −=)( és a valós számok halmazán értelmezett xxc =)( függvények grafikonját!
Mit tapasztalunk?
5. modul: FÜGGVÉNYEK 93
Megoldás:
a) b)
Mindkét értelmezési tartományon a b függvény grafikonja az a függvény grafikonjának az
xy = egyenesre (a c függvény grafikonjára) vonatkozó tükörképe.
Az a és b függvény a megfelelő értelmezési tartományon egymás inverzei, vagyis az egyik
függvény értelmezési tartománya a másik függvény értékkészlete és fordítva. Hiszen egy
P(x ; y) pont akkor van rajta a b függvény grafikonján, ha y = x . Ekkor a négyzetgyök
definíciója szerint y jelenti azt a nemnegatív számot, amelyet négyzetre emelve x-et kapunk,
vagyis y2 = x. Tehát a P´(y; y2) koordinátákkal megadott pont az a függvény grafikonjának
lesz az eleme. De P´ így is írható: P´( x ; x).
Összefoglalva: P(x; x ) és P´( x ; x) pontok koordinátái felcserélődtek, ami azt jelenti,
hogy tükörképei egymásnak az y = x egyenesre vonatkozóan.
55. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt:
xxf41)( = ; 1)( += xxg ; xxh 2)( −= ; 3)( −= xxk .
Megoldás: Ezek a függvények elemi transzformációkkal ábrázolhatóak.
94 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
Mintapélda27
Ábrázoljuk az 2521)( +−−= xxf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!
Megoldás:
1. lépés: Ábrázolás transzformációkkal
Transzformációs lépések:
xxa =)( ← alapfüggvény,
5)( −= xxb ← a grafikonjának eltolása az x tengely mentén +5 egységgel,
521)( −= xxc ← b grafikonjának y tengely menti felére zsugorítása,
521)( −−= xxd ← c grafikonjának tükrözése az x tengelyre,
2521)( +−−= xxf ← d grafikonjának eltolása az y tengely mentén 2 egységgel.
2. lépés: Jellemzés:
1. É.T.: 5≥x és x valós,
2. É.K.: 2)( ≤xf és Rxf ∈)( ,
3. zérushely:
02521
=+−− x ,
45 =−x ,
165 =−x , innen 21=x ,
4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő,
5. szélsőérték:
maximumhely: x = 5,
maximumérték: f(5) = 2,
6. paritás: nem páros, nem páratlan,
7. konvex (alulról nézve).
5. modul: FÜGGVÉNYEK 95
Mintapélda28
Ábrázoljuk az xxf 43)( −= függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!
Megoldás:
1. lépés: A hozzárendelési utasítás átalakítása:
( ) ( ) ( )7502750475043443 ,x,x,xxx −−⋅=−−⋅=−⋅−=+−=− .
2. lépés: Ábrázolás transzformációkkal:
Transzformációs lépések:
xxa =)( ← alapfüggvény,
75,0)( −= xxb ← a grafikonjának x tengely menti eltolása +0,75 egységgel,
( )75,0)( −−= xxc ← b grafikonjának tükrözése az x = 0,75 egyenletű egyenesre,
( )75,02)( −−⋅= xxf ← c y tengely menti kétszeres nyújtása.
3. lépés: Jellemzés:
1. É.T.: ]− ∞; 0,75],
2. É.K.: nemnegatív valós számok halmaza,
3. zérushely: x = 0,
4. monotonitás: szigorúan monoton
csökkenő,
5. szélsőérték:
minimumhely: x = 0,75,
minimumérték: f(0,75) = 0,
6. paritás: nem páros, nem páratlan,
7. konkáv (alulról nézve).
56. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt:
1)(1 += xxf ;
21)(2 −+= xxf ;
241)(3 += xxf ;
331)(4 −= xxf ;
96 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
xxf −= 3)(5 ;
64)(6 −= xxf ;
15)(7 +−−= xxf ;
414)(8 −−= xxf ;
842)(9 ++−= xxf .
Megoldás: Az f1 – f4, f7 – f9 függvények elemi transzformációkkal ábrázolhatóak. Az f5 és f6
függvény ábrázolásában a 28. mintapélda nyújt segítséget.
Mintapélda29
Ábrázoljuk az ⎩⎨⎧
∈−∪∈= −
+
RxhaxRxhaxxf
,0,)( függvény grafikonját! Hogyan lehetne
egyetlen hozzárendelési utasítással megadni ezt a függvényt?
Megoldás:
Jellemzés: Ez a függvény a valós számok
halmazán értelmezett. Nemnegatív értékeket vesz
fel. A negatív számok halmazán szigorúan
monoton csökkenő, míg a pozitív számok esetén
szigorúan monoton növekvő. Az origóban
minimuma van. Grafikonja szimmetrikus az y
tengelyre, vagyis a függvény páros. A negatív és a
pozitív számok halmazán egyaránt alulról nézve
konkáv.
A függvény megadható az xxf =)( hozzárendelési utasítással.
57. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt:
21 )( xxf = ; 2)(3 −= xxf ; 2)(5 −= xxf ;
2)(2 −= xxf ; 3)(4 −= xxf ; 96)( 26 +−= xxxf .
Megoldási útmutató: xx =2 , 29. mintapélda alapján.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 97
58. Add meg a következő, grafikonjukkal megadott függvények hozzárendelési utasítását!
a). b) c)
Megoldás:
5−= x)x(f 2+−= x)x(f 12 += x)x(f
d) e) f)
Megoldás:
13 −+= x)x(f 421
−= x)x(f 22 +−−= x)x(f
98 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ
59. Milyen függvénytranszformációkat mutat az alábbi ábra? Add meg a transzformációk
helyes sorrendjét, hogy az f-fel jelölt grafikon legyen az eredmény az xxa =)( -ből
kiindulva!
Megoldás:
A helyes transzformációs lépések:
1.) kiindulás: ( ) xxa = ;
2.) x tengely menti eltolás -2 egységgel → ( ) 2+= xxb ;
3.) y tengely menti kétszeres nyújtás → ( ) 22 += xxc ;
4.) tükrözés az x tengelyre → ( ) 22 +−= xxd ;
5.) y tengely menti eltolás +3 egységgel: ( ) 322 ++−= xxf ;
Az f-fel jelölt grafikon az ( ) 322 ++−= xxf függvény grafikonja.
Az 5.19 kártyakészlet alkalmazása
A tanár minden asztalra kiteszi a kártyakészletet írással lefelé, majd a tanulók szétosztják
egymás között (mindenki négyet kap). Egy hozzárendelési utasítás, egy transzformációs lépés,
egy grafikon és a függvény értelmezési tartománya alkotnak egy összetartozó kártyanégyest.
Mindenkinek össze kell állítania egy ilyen kártyanégyest, a tanulók egymással nem
beszélhetnek. Középre dobhatják a felesleges kártyájukat, amit ha kell, a következő felvehet.
Mindenkinek kötelező egy kártyát írással felfelé középre dobni. Középről bármelyik kártya
felvehető, de egyszerre csak egy.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 99
Kislexikon
Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az elsőfokú függvények összessége.
Grafikonja egyenes.
Lineáris függvény hozzárendelési utasítása (képlete): f(x) = m x + b, ahol m a függvény
grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspontja. (b = 0 esetén a
grafikon átmegy az origón, m = 0 esetén konstans függvény, párhuzamos az x tengellyel.)
Lineáris függvény grafikonjának meredeksége: megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra
haladás esetén hány egységet kell az y tengely mentén lépünk pozitív m esetén felfelé, negatív
m esetén lefelé.
Lineáris függvény monotonitása:
– ha m > 0, akkor a függvény szigorúan monoton növő, vagyis növekvő x értékekhez
növekvő függvényértékek tartoznak.
– ha m < 0, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis növekvő x
értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak.
Pont és egyenes illeszkedése: A P(x0;y0) pont rajta van az f(x) = m x + b hozzárendelési
utasítással megadott lineáris függvény grafikonján, ha x helyébe x0-at; f(x) helyébe y0-at
helyettesítve az egyenlőség teljesül. (Ha y0 > m x0 + b, akkor a P pont az egyenes felett
helyezkedik el, ha y0 < m x0 + b, akkor pedig alatta van.)
Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó,
akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f(x) = m x, m ≠ 0 lineáris
függvény írja le, ahol m az arányossági tényező.
Fordított arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó,
akkor azok fordítottan arányosak.
A fordított arányosságot leíró függvény az xaxf =)( , x ≠ 0 és a ≠ 0.
100 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE
Lineáris törtfüggvény: az xaxf =)( alakú hozzárendelési utasítással megadott függvény,
ahol a ∈ R; a ≠ 0; x ∈ R; x ≠ 0.
Megjegyzés: dcxbaxxf
++
=)( a lineáris törtfüggvény általánosabb alakja, ahol c x + d ≠ 0.
Másodfokú függvény: f(x) = ax2 + bx + c hozzárendeléssel megadott függvény, ahol a ≠ 0.
A másodfokú függvény grafikonját parabolának nevezzük.
Másodfokú függvény zérushelye: az a
acbbx2
42
2;1−±−
= képlettel kapjuk meg. A
négyzetgyök alatti kifejezést diszkriminánsnak nevezzük, és D-vel jelöljük. A diszkrimináns
előjele határozza meg a függvény zérushelyeinek számát. Ha D > 0, akkor kettő, ha D = 0,
akkor egy zérushelye van a függvénynek. Ha D < 0, akkor nincs zérushelye (a valós számok
halmazán).
Főegyüttható: a változó legmagasabb hatványának szorzótényezője.
Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás: ca
ba
bxacbxax +−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=++
42
222 .
Másodfokú függvény szélsőértéke: ha a főegyüttható pozitív, akkor a parabola felfelé nyílik,
így a függvénynek minimuma van. Ha a főegyüttható negatív, akkor a parabola lefelé nyílik,
így a függvénynek maximuma van. Legyen az f(x) = ax2 + bx + c másodfokú függvény teljes
négyzetté alakítás után f(x) = a (x−p)2 + q alakú. Ekkor a függvény szélsőértékének helye p,
értéke q. Az f grafikonján a szélsőérték helye az M(p;q) pont.
Egy szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelyet négyzetre emelve
megkapjuk az eredeti számot. Jelöléssel: Ha 0≥a , akkor a jelöli azt a nemnegatív valós
számot, amelyre ( ) aa =2
.
5. modul: FÜGGVÉNYEK 101
Négyzetgyökfüggvényen értjük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett,
xxf =)( hozzárendeléssel megadott függvényt.
Inverzfüggvény: Két függvény inverze egymásnak, ha az értelmezési tartományukon
kölcsönösen egyértelműek, és grafikonjaik az y = x egyenletű egyenesre vonatkozóan
szimmetrikusak. Pl. a nemnegatív valós számok halmazán az 2)( xxf = és xxg =)(
függvények inverzei egymásnak.
A függvények néhány tulajdonsága:
1. Monotonitás:
– A függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában szigorúan monoton
növekvő, ha növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. A függvény
az értelmezési tartománya egy intervallumában monoton növekvő, ha a növekvő x
értékekhez nem csökkenő függvényértékek tartoznak.
– A függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában szigorúan monoton
csökkenő, ha növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. A függvény
az értelmezési tartománya egy intervallumában monoton csökkenő, ha a növekvő x
értékekhez nem növekvő függvényértékek tartoznak.
2. Zérushely: azon x érték, ahol a függvény helyettesítési értéke 0. Ez szemléletesen azt
jelenti, hogy a függvény grafikonjának itt van közös pontja az x tengellyel.
3. Szélsőérték:
– A függvénynek az x helyen abszolút maximuma van, ha a függvény az x helyen
veszi fel legnagyobb értékét. (A függvénynek az x helyen helyi maximuma van, ha
ezen hely valamely környezetében a függvény itt veszi fel a legnagyobb értékét, de
ezen környezeten kívül ennél nagyobb értéket is felvehet.) x-et maximumhelynek,
f(x)-et maximumértéknek nevezzük.
– A függvénynek az x helyen abszolút minimuma van, ha a függvény az x helyen veszi
fel legkisebb értékét. (A függvénynek az x helyen helyi minimuma van, ha ezen hely
valamely környezetében a függvény itt veszi fel a legkisebb értékét, de ezen
környezeten kívül ennél kisebb értéket is felvehet.) x-et minimumhelynek, f(x)-et
minimumértéknek nevezzük.
102 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE
4. Függvény paritása:
– A függvény páratlan, ha minden x értékre teljesül az f(−x) = −f(x) azonosság.
Geometriai megközelítésben: a függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az
origóra.
– A függvény páros, ha minden x értékre teljesül az f(x) = f(−x) azonosság. Geometriai
megközelítésben: a függvény grafikonja y tengelyre szimmetrikus.
5. Konvexitás, konkávitás:
Egy függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában alulról nézve konvex, ha
grafikonjának bármely két pontját összekötve a kapott húr pontjai a függvény
grafikonjának pontjai felett vannak.
Egy függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában alulról nézve konkáv, ha
grafikonjának bármely két pontját összekötve a kapott húr pontjai a függvény
grafikonjának pontjai alatt vannak.
Recommended