Matematika Ekonomi, MKK30234 FEBI, IAIN Palopo · Matematika Ekonomi, MKK30234 FEBI, IAIN Palopo...

Matematika Ekonomi, MKK30234

FEBI, IAIN Palopo

9/20/2016 ©Aswad2016 1

9/20/2016 ©Aswad2016 2

Definisi 1.1.

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek

yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa

disebut dengan elemen-elemen atau anggota-

anggota dari himpunan.

9/20/2016 ©Aswad2016 3

Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf

kapital seperti A, B, D, dsb. Sementara untuk

menyatakan setiap elemennya digunakan huruf

kecil seperti a, b, c, dsb.

a ∈ A : a adalah anggota/elemen dari himpunan A

b ∉ A : b bukan anggota dari himpunan A

Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam

beberapa cara:

1. Enumerasi

Contoh 1: A = {1, 2, 3, 4}

2. Notasi pembentuk himpunan

Contoh 2: A = {x| x < 5, x ∈ ℕ}

B = {x| 0 ≤ x < 1, x ∈ ℝ}

Cara ke-2 sangat sering digunakan terutama

untuk kasus himpunan yang tidak berhingga

(infinite set).

9/20/2016 ©Aswad2016 4

Definisi 1.2.

Suatu himpunan dengan jumlah elemen yang berhingga disebut dengan himpunan berhingga (finite set). Jumlah elemen dari himpunan berhingga A disebut dengan kardinal dari himpunan A dan dinotasikan dengan n(A) atau |A|.

Himpunan dengan jumlah elemen yang tidak berhingga disebut dengan himpunan tak berhingga (infinite set).

9/20/2016 ©Aswad2016 5

Contoh 3.

Berdasarkan Contoh 2, maka

n(A) = 4, dan n(B) = ∞

9/20/2016 ©Aswad2016 6

Definisi 1.3.

1. Himpunan B disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan A (B ⊆ A) jika setiap anggota di B adalah juga anggota di A.

2. Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.

3. Himpunan A dikatakan himpunan kosong / empty set (A = ∅ atau A = {}) jika himpunan A tidak memiliki elemen. Atau dengan kata lain kardinal dari A samadengan 0 (n(A) = 0).

9/20/2016 ©Aswad2016 7

Contoh 4.

1. Misalkan A = {1, 3, 5}, dan B = {1, 2, 3, 4,

5}. Maka A ⊆ B.

2. Jika K = {0, 1} dan L = {x | x(x – 1) = 0},

maka K = L.

3. S = {orang indonesia yang pernah ke bulan}

= ∅

9/20/2016 ©Aswad2016 8

Definisi 1.4.

Misalkan diberikan himpunan A. Himpunan dari

semua himpunan bagian dari A disebut dengan

power set dari A, disimbolkan dengan P(A).

9/20/2016 ©Aswad2016 9

Contoh 5.

Misalkan K = {1, 3, 5}.

Himpunan bagian dari K adalah K1 = {1}, K2 = {3}, K3 = {5}, K4 = {1, 3}, K5 = {1, 5}, K6 = {3, 5}, K7 = {1, 3, 5}, dan K8 = ∅.

Karena K1 sampai dengan K8 merupakan himpunan bagian dari K maka power set dari K = P(K) = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7, K8}.

9/20/2016 ©Aswad2016 10

Banyaknya elemen / kardinal dari suatu power

set dari suatu himpunan terbatas A, ditulis

n(P(A)) sama dengan 2 dipangkatkan dengan

kardinal dari himpunan A.

n((P(A)) = 2n(A)

9/20/2016 ©Aswad2016 11

Contoh 6.

Perhatikan kembali Contoh 5.

Diketahui n(K) = 3.

Sehingga n(P(K)) = 2n(K) = 23 = 8.

9/20/2016 ©Aswad2016 12

9/20/2016 ©Aswad2016 13

Definisi 2.1.

Gabungan (union) dari

himpunan A dan B adalah

sebuah himpunan yang setiap

elemennya merupakan

elemen dari himpunan A

atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = {x | x ∈ A

atau x ∈ B}.

9/20/2016 ©Aswad2016 14

Definisi 2.2.

Irisan (intersection) dari

himpunan A dan B adalah

sebuah himpunan yang setiap

elemennya merupakan

elemen dari himpunan A dan

himpunan B.

Notasi : A ∩ B = {x | x ∈ A

dan x ∈ B}.

9/20/2016 ©Aswad2016 15

Definisi 2.3.

Selisih dari dua himpunan A

dan B adalah suatu himpunan

yang elemennya merupakan

elemen dari A tetapi bukan

elemen dari B.

Notasi: A – B = {x | x ∈ A dan

x ∉ B} = A ∩

9/20/2016 ©Aswad2016 16

B

Definisi 2.4.

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi: Ac = {x | x ∈ U dan x ∉ A}.

9/20/2016 ©Aswad2016 17

Contoh 7.

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {3, 5, 7}, dan B = {2, 3, 4, 7, 8}. Maka:

a) A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 7, 8}.

b) A ∩ B = {3, 7}.

c) A – B = {5}.

d) B – A = {2, 4, 8}.

e) Ac = {1, 2, 4, 6, 7, 8}

f) Bc = {1, 5, 6}.

9/20/2016 ©Aswad2016 18

Misalkan diberikan suatu himpunan A, B, dan

C. Beberapa sifat dasar yang berlaku pada

himpunan tersebut diantaranya:

1. Komutatif

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

2. Assosiatif

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

3. Distributif

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

9/20/2016 ©Aswad2016 19

Contoh 8.

Misalkan A = {3, 4, 5}, B = {3, 5, 6, 7}, dan C =

{2, 3}. Maka:

(A ∩ B) ∪ C = {3, 5} ∪ {2, 3} = {2, 3, 5}

(A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 4, 5} ∩ {2, 3, 5, 6, 7}

= {2, 3, 5}

Jadi terlihat bahwa (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B

∪ C) = {2, 3, 5}.

9/20/2016 ©Aswad2016 20

Misalkan A dan B adalah suatu himpunan

berhingga. |A| dan |B| melambangkan

kardinal dari A dan B. Maka:

a) |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|

b) |A – B| = |A| – |A ∩ B| = |A ∪ B| – |B|

9/20/2016 ©Aswad2016 21

Contoh 9.

Suatu dealer mobil telah menjual 350 buah mobil

sepanjang tahun ini. Dari jumlah tersebut, 130

mobil memiliki ekstra penyejuk udara, 255 mobil

memiliki power steering, dan 110 mobil memiliki

sistem navigasi. Sementara itu, 75 mobil memiliki

power steering dan sistem navigasi, 10 mobil hanya

memiliki sistem navigasi, 20 mobil tidak memiliki

ekstra penyejuk udara, power steering, maupun

sistem navigasi, dan 10 mobil lagi justru memiliki

ketiganya. Jika dimisalkan A adalah himpunan

mobil yang memiliki ekstra penyejuk udara, P

adalah himpunan mobil yang memiliki power

steering, dan N adalah himpun mobil dengan

sistem navigasi, gambarkan diagram venn-nya.

9/20/2016 ©Aswad2016 22

Penyelesaian:

Diketahui |S| = 350, |A| = 130, |P| = 255,

|N| = 110, |P ∩ N| = 75, |N – (A ∪ P)| = 10,

|A ∪ P ∪ N|c = 20, dan |A ∩ P ∩ N| = 10.

9/20/2016 ©Aswad2016 23

Berdasarkan diagram venn tersebut, maka

x + y + 35 = 130 atau x + y – 95 = 0 (1)

y + z + 75 = 255 atau y + z – 180 = 0 (2)

x + y + z + 110 = 350 – 20

atau x + y + z – 220 = 0 (3)

dari (1) dan (2) diperoleh x = z – 85

dari (3) diperoleh y = 180 – z

Selanjutnya, subtitusi x = z – 85 dan y = 180 – z ke persamaan (3)

x + y + z – 120 = 0

⇔ (z – 85) + (180 – z) + z – 220 = 0

⇔ (z – 85) + (180 – z) – + z – 220 = 0

⇔ z = 125

Jadi, x = 125 – 85 = 40 dan y = 180 – 125 = 55.

9/20/2016 ©Aswad2016 24

Sehingga diagram venn-nya menjadi:

9/20/2016 ©Aswad2016 25

Definisi 2.5.

Suatu pasangan terurut (a, b) dengan a ∈ A

dan b ∈ B disebut hasil kali produk/cartesian

product dari A x B.

Notasi: A x B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}.

9/20/2016 ©Aswad2016 26

Contoh 10.

Misalkan A = {2, 3} dan B = {3, 4, 5}.

A x B = {(2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3,

5)}

B x A = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (3, 3), (4, 3), (5,

3)}

9/20/2016 ©Aswad2016 27

Misalkan A dan B himpunan berhingga dengan

|A| = n dan |B| = m. Maka

|A x B| = |B x A| = |A| . |B| = n . m.

9/20/2016 ©Aswad2016 28

Contoh 11.

Perhatikan kembali Contoh 10

|A| = 2 dan |B| = 3.

Jadi, |A x B| = |B x A| = 2 . 3 = 6.

9/20/2016 ©Aswad2016 29

9/20/2016 ©Aswad2016 30

9/20/2016 ©Aswad2016 31

9/20/2016 ©Aswad2016 32