View
230
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
matematikai összefoglaló medikusoknak
Citation preview
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 1/20
1
Matematikai bevezetés a biofizika és biostatisztika kurzushoz
Nagy Péter, DE Biofizikai és Sejtbiológiai Intézet
A biofizika kurzus keretén belül a hallgatóknak kísérletek eredményeit kell
kvantitatívan kiértékelni, amely a biofizikai mérőmódszerek elvének megértésére és a
függvénytan, valamint a matematikai analízis néhány alapfogalmának ismerete nélkül nem
lehetséges. Az alábbi rövid bevezetés célja a fenti cél elérése bonyolult matematikai
terminológia használata nélkül.
1. Függvények, mérési adatok ábrázolása
1.1. A függvény definíciója röviden
Két változó közötti összefüggést matematikai formában egy függvénnyel tudunk
kifejezni. Pontosabban a függvény egy olyan szabály, amely egy bizonyos számot egy másik
bizonyos számhoz rendel. Másképpen megfogalmazva, ha a függvényt egy bizonyos bemenő
számra vagy változóra alkalmazzuk, akkor egy meghatározott kimenő változót vagy számot
kapunk, pl. f(x)=x2 vagy y=x2. A függvény bemenő változóját független változónak vagy a
függvény argumentumának hívjuk. A függvény kimenő változója a függő változó. A független
változót tipikusan a koordináta rendszer vízszintes, míg a függő változót a függőleges
tengelyen szoktuk ábrázolni. A függvény értelmezési tartománya azon értékek összessége,
amikre a függvényt értelmezzük. A függvény értékkészlete az értelmezési tartomány
értékeihez a függvény által hozzárendelt értékek összessége (pl. f(x)=x2, értelmezési
tartomány: egy tetszőleges szám, értékkészlet: tetszőleges pozitív szám és a nulla).
1.2. Mérési eredmények ábrázolása
A biofizika gyakorlatokon a végrehajtandó kísérletekben sok esetben egy bizonyos
mennyiséget mérünk egy másik mennyiség függvényében. Ezen vizsgálatok célja annak
felfedése, hogy a mért mennyiség hogyan függ a másik mennyiségtől kvantitatív módon. Pl.
egy esetben az ionizáló sugárzás intenzitását fogják mérni az abszorbens vastagsága
függvényében. A mért mennyiséget általában függő változónak nevezzük, és azt várjuk, hogy
ennek értéke változni fog a független változó megváltozása esetén. A függő változó mérése
általában hibával terhelt, tehát ha a mérést megismételjük, valószínűleg egy más értéket
fogunk kapni. Statisztikailag ezt a mérési hibát a szórással (SD, standard deviation) vagy a
középérték közepes hibájával (SEM, standard error of the mean) jellemezzük. A függő
változó mérésének hibáját a hibajel feltüntetésével jelezzük, ami vagy az SD-vel vagy a SEM-
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 2/20
mel ar
kisebb
Az ábra
1. ábrende
és köhibaj
nyos (1. á
érési hibá
készítéséh
Állítsa be a
adatok a te
origón átm
vagy szám
Úgy válass
papír vonal
A tengely b
A két tenge
Mindig jel
mértékegy
a. Mérési lkezésre áll
vesse a szlek.
ra). Ezzel
val terhelt.
ez kövesse
vízszintes
ngely legn
enő egyen
lt adatok n
a meg a te
aival.
eosztásáho
ly beosztá
ölje a te
égét.
redményeó területn
vegben le
szemben a
az alábbi s
s függőleg
gyobb rés
s illesztés
em tartalm
ngely egys
z válasszon
ának egysé
gelyeket,
k ábrázolák, használj
írt elveket.
2
független
abályokat
s tengelye
ét töltsék
), akkor az
azzák.
geit, hogy
kerek szá
gei eltérhe
tehát tün
a. Ha a zön az ábrá
A mérési
változó va
s javaslato
k osztásait
i. Ha az or
origót akk
a beosztás
okat (pl. 1
tnek egym
esse fel
ld vonalas oz annyi te
pontokra r
y ismert
kat:
úgy, hogy
igóra is szü
or is tünte
k essenek
, 2 vagy 3,
stól.
az ábrázol
terület merületet, a
ajzolt függ
agy mérés
mért vagy
kségünk va
se fel, ha
egybe a mi
s nem 1.2
t mennyis
gfelel az áennyi lehe
őleges von
e sokkal
számolt
n (pl. az
mérési
liméter-
54564).
éget és
rához tséges
alak a
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 3/20
1.3.
A
gyakra
be.
A
blehet le
ahol y 0
merede
miatt c
formáb
mert e
1.4.
célszer
alakíta
logarit
2. ábroldali
z exponen
z exponenc
fogják ha
iofizika
kurírni:
a függvény
ken csökke
ökken x fü
a:
ben az ese
datok ábr
Mivel az
a 2. ábrá
i. A (2).
usát véve
a. Exponeábra a (2)-
ciális függ
iális függv
ználni. Ez
zus
során
értéke x =0
n x függvé
ggvényébe
tben a kez
ázolása log
gyeneseke
bemutat
egyenletb
lehet linea
nciális fügs egyenlet
ény
ny a biofiz
rt ez a fej
lő
forduló
esetben é
yében (ha
n (2. ábra).
ő érték x =
aritmikus (
t könnyeb
tt görbék
n bemut
izálni:
vény ábrászerint nor
3
ika kurzus
zet az exp
xponenciál
0kx
y y e
k egy álla
k pozitív).
Az (1). egy
0
kx y e
y
-nál y 0-tól
zemi-logar
ábrázoln
t linearizál
tott expo
olása. A bmalizált for
elméleti és
onenciális
is
függvén
dó, amely
függvény
enletet gya
függetlenül
itmikus) áb
i és analiz
ni, tehát a
enciális f
l oldali ábmát mutat
gyakorlati
függvény á
t
az
alábbi
leírja, hog
a kitevőbe
kran átren
1 (mivel y
rán
álni, mint
görbéket
ggvényt
rán y 0 érté
a be.
részében
brázolását
általános
a függvén
levő nega
ezzük a k
y 0) (2. ábr
a görbék
alahogy e
indkét o
ke 55 55.
gyaránt
mutatja
éplettel
(1)
milyen
ív elő jel
vetkező
(2)
).
t, azért
yenessé
ldalának
jobb
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 4/20
4
0 0
ln lnkx kx y y e e kx
y y
(3)
A könnyebb ábrázolhatóság mellett a linearizálás még a kitevőben levő k állandó
meghatározását is egyszerűbbé teszi. Mivel az egyesen általános egyenlete
y ax b (4)
ahol a az egyenes meredeksége és b tengelymetszete. A (3). és (4). egyenletek összevetése
alapján látható, hogy az 0ln y y kx egyenletnek megfelelő ábra az origón átmenő (tehát
tengelymetszet=0) vonal, amelynek meredeksége –k . Ezért a kitevőben levő állandó egy ilyen
ábrából könnyen meghatározható. Ugyanezt a linearizációt elérhetjük úgy is, hogy y /y 0
mennyiséget logaritmikus skálán ábrázoljuk, amikor a tengelyen a kitevő növekszik minden
egyes osztásnál (3. ábra). Megjegyzendő, hogy ebben az esetben az egyenes meredeksége
nem egyenlő a kitevőben levő állandóval. Amikor a vízszintes tengely lineáris, a függőleges
viszont logaritmikus, az ábrát szemi-logaritmikusnak vagy kevésbé pontosan logaritmikusnak
(log) nevezzük. Ilyen logaritmikus skálát logaritmikus milliméterpapírral vagy számítógépes
programokkal használhatunk. Ezzel szemben a (3). egyenletben bemutatott linearizációs
megoldást minden különös előfeltétel nélkül lehet alkalmazni. Mivel az 0ln y y mennyiség
lineáris tengelyen való ábrázolásával ugyanazt a hatást érjük el, mint az y /y 0 mennyiség
logaritmikus skálán való ábrázolásával, az 0ln y y mennyiség ábrázolását használó
megközelítést is lehet (szemi-)logaritmikus ábrának nevezni.
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 5/20
1.5.
hogy l
eredmé
illeszté
milyen
Pl. ha
eredm
kell fo
neve li
csak né
meg, t
formali
Egyenes ill
Sok kísérle
írjuk a t
nyekhez l
nek nevez
iszony van
tudjuk, h
nyekhez. A
lalkozniuk.
eáris regr
hány általá
ételezzük
ehát több
musát a
sztése mér
ben a függ
rendet, a
gjobban
zük. A legt
az x és y v
gy y line
biofizika k
A legjobb
sszió, mel
os szabály
fel, hogy a
( x i, y i)
4. fejezet
ési eredmé
ő (y ) és fü
ely szeri
illeszkedő
öbb esetb
áltozók kö
árisan füg
urzus sorá
n illeszke
nek ismert
t írunk le a
függő válto
datpárunk
mutatja
5
yekhez
getlen ( x )
t az y v
görbe me
n van val
ött, így tud
g x -től, a
a hallgat
ő egyenes
etése meg
közelítőm
zót a függe
van. (Az
e.) Miutá
3. ábrAz füg(B)sánere(C) sze
áltozók m
áltozik az
gtalálását
milyen el
juk, hogy
kor egye
knak csak i
megtalálá
aladja eze
goldás me
tlen változ
adatsoro
n a méré
ábra. ázolása sz
ábrán gvényt liAz exponeak ábrázodményez, Az ábra A mi-logartim
gmérése
x függvé
regresszió
zetes ism
ilyen függ
est kell i
lyen lineár
sát célzó t
n rövid be
gtaláláshoz
különböz
k és ele
si eredmé
Exponencimi-logaritemutatott
eáris skánciális füglása egy melynek észén beikus ábrán
tán a végs
yében. A
analízisn
retünk arr
ényt kell il
lleszteni a
is összefüg
udományo
ezető célj
.
értékeiné
einek jel
yeket áb
ális fügikus ábrá exponelán ábrázvény logarolyan egyeredekségutatott grábrázolva.
ő cél az,
mérési
k vagy
ól, hogy
leszteni.
mérési
ésekkel
eljárás
it. Ezért
l mértük
lésének
ázoltuk,
vény . (A) ciális
oltuk. itmu-eneste –k . finon
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 6/20
6
grafikusan meg tudjuk rajzolni azt a vonalat, amely a legkisebb mértében tér el a mérési
eredményektől. A vonal megjósolja y értékét minden x esetében. A jósolt és a mért y értékek
közötti eltérést reziduumnak ( ) nevezzük. A vonalat az alábbi iránymutatások szerint lehet
megrajzolni (4. ábra): A vonalnak át kell mennie a globális átlagon, tehát azon a ponton, aminek x
koordinátája az összes x érték átlaga, y koordinátája pedig az összes y érték átlaga.
Húzza úgy a vonalat, hogy a reziduumok összege minimális legyen. Szigorúbb
értelemben a reziduumok négyzetének összegét kell a lineáris regresszió során
minimalizálni, de ezt a célt nem lehet elérni, ha a mérési eredményekhez legjobban
illeszkedő vonalat szemmel rajzoljuk meg. Ezért rajzoljunk olyan vonalat, amely a
reziduumok összegét próbálja minimalizálni. Ezt a célt úgy lehet közelítőleg elérni,
hogy kb. ugyanannyi pont legyen az egyenes felett, mint alatta.
Húzza a vonalat az origón keresztül, ha a függvényhez kapcsolódó fizikai
törvényszerűségek előírják, hogy az y -nak nullának kell lennie, ha x nulla.
Ne csak két pontra illessze az egyenest. A mérés során egy adatsor került
meghatározásra. Ezért ha csak két pontot (vagy egy pontot és az origót) választja ki az
illesztéshez, tulajdonképpen elhanyagolja az adatsor többi részét (5. ábra).
Ha van egy olyan pont, amely jelentősen kilóg az összes többi pontra illesztett
egyenestől, hagyjuk ki a kilógó pontot, azaz illesszük az egyenest a többi pontra (5.
ábra). Azonban meg kell jegyezni, hogy a feltételezett lineáris trendből kilógó
adatpont léte arra is utalhat, hogy a lineáris összefüggés feltételezése
megalapozatlan volt, azaz a kilógó pontok fontos információt hordozhatnak.
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 7/20
2.
egy má
változikgyorsas
5. ábkiválaillesztpont
Differenciá
Sok esetbe
sik mennyi
a tárgy helágot tudo
a. Továbbiztunk együk, ugyaniilóg, az el l
lás
n az érdek
ég függvé
yzete az idányos po
példák egetlen mér így elhanhet hanya
l bennünk
yében, pl.
ővel. A mattossággal
yenes illessi pontot
yagoljuk a golni, és az
7
et, hogy e
egy tárgy
ematika egírja le, de
ztésére. A.és az origtöbbi négyegyenest a
y mennyis
ebessége
yik ága, a dnnek részl
4. vizuálA füváltohatáregyeátlagmíg
így miniaz elAz egmenj
Nem megót, és az mérési po maradék p
g milyen
egadja, h
ifferenciálsetes tárgy
bra. Egisan mérégő változóó ( x )
ozták mees átmen, két méét mérési
reziduuális. (A reő két ponyenest úgy n át az ori
felelő, ha egyenes entot. B. Hontokra ke
eredeken
gy milyen
zámítás, a lása megh
enes illei eredmént (y ) a füg
öt értg. Az illgy a grési pont f pont alatt
ok ( ) öziduumokara tüntettillesztettüón.
z illesztés re a két
az egyik ll illeszteni.
változik
gyorsan
áltozási aladja a
sztése yekre. getlen kénélsztett
lobális elette,a van,
sszege t csak k fel.) , hogy
során ontra érési
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 8/20
biofizik
tárgyalj
alkalm
2.1.
helyzet
követk
nagyob
hogy s
definíci
gyorsas
merede
differe
fentiek
példáb
grafikoegység
6. á
és biost
uk, amely
zni tudják.
Lineáris füg
együk fel,
ét ( x ) az id
ző egyenle
z (5). eg
b sebesség
ok különb
ókig, tulaj
ága, azaz
ksége, te
ciálszámít
értelmébe
n) milyen
Most vizsg
jából.
Ahhyi változás
ra. Álland
atisztika k
k szükség
gvény deri
hogy eg
ő (t ) függv
t írja le:
enletet á
gel mozgó
ző kifeje
onképpen
helyzet
hát az
s nómenkl
egy függv
yorsan vál
ljuk meg,
oz,
hogy
a alatt (pl.
sebesség
urzus ker
sek ahho
áltja
tárgy áll
ényében.
rázolva eg
tárgynak
és, a kön
ugyanazt
egváltozás
gyenes
atúráját ha
ény derivál
ozik a függ
hogyan leh
eghatároza helyzet
el mozgó t
8
teit. Ezért
, hogy a
ndó v seb
indenki s
x vt
yenes von
egfelelő v
nyen érth
jelentik.
a egységn
eredekség
sználva a
ja az adja
etlen válto
et egy line
zuk
a
függegváltozá
st helyzet
itt csak
hallgatók
ességgel
ámára ism
alat kapun
onal mere
tő közna
gy test s
i idő alatt.
e egyenl
eredekség
eg, hogy
ó (idő a fe
áris függvé
etlen
váltoát az idő 1
.
a legegys
differenci
ozog, és
ert, hogy
k (6. ábra
ekebb. M
i kifejezé
bessége
Ez ugyana
a test
et a függv
függő vál
ti példába
ny derivált
zó
változá sec-os vál
erűbb fo
álás megé
ábrázoljuk
tárgy hel
. Egy gyo
st be fogj
ektől tud
helyzet
z, mint a f
sebesség
ny derivált
ozó (helyz
n) függvén
ját meghat
át
a
függő
ozása alat
almakat
rtsék és
a tárgy
yzetét a
(5)
sabban,
uk látni,
mányos
áltozási
üggvény
vel. A
ának . A
t a fenti
ében.
ározni a
változó
) osszuk
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 9/20
9
el a helyzet változását ( x ) az idő növekménnyel (t ). Ehhez egy derékszögű háromszöget
kell rajzolnunk, és a függő változó (helyzet) deriváltja a független változó (idő) függvényében
a derékszögű háromszög két befogója hosszának hányadosa:
' x x v t
(6)
A fenti egyenlet szerint a x deriváltja, melyet x ’-vel jelölünk (ejtsd: x vessző), a test
sebessége, amit úgy lehet kiszámolni, hogy osztjuk a helyzet változását az idő megfelelő
változásával. Tekintsük a fekete vonalat a 6. ábrán, és határozzuk meg a deriváltját. Mint az
ábrán is látható, különböző derékszögű háromszögek ugyanazt a x /t hányadost adják:
2 1
2 1
20 m 10 m' 2 m/s
10 sec 5 sec
x x x x v
t t t
(7)
Tehát egy egyenes meredeksége (deriváltja) független attól, hogy a független változó (Dt )
milyen nagy változását vizsgáljuk. A piros vonal a 6. ábrán egy kisebb sebességgel mozgó test
pozícióját mutatja. Ezért a piros vonal meredeksége (azaz a test sebessége) kisebb, mint a
fekete vonalé:
10 m 5 m' 1 m/s
10 sec 5 sec
x x v
t
(8)
2.2.
Nem-lineáris függvény deriváltja
Az eddigiekben láttuk, hogy milyen egyszerű egy lineáris függvény, melynek
grafikonja egy egyenes, deriváltját meghatározni. Sajnos a legtöbb mennyiség nem-lineárisan
változik, és az ilyen nem-lineáris függvények deriváltját nehezebb meghatározni. Vizsgáljuk
meg egy változó sebességgel mozgó testet. Példánkban a test állandó gyorsulással mozog (7.
ábra). Mint ahogy sokan bizonyára emlékeznek fizikai tanulmányaikból, egy ilyen test
helyzet-idő grafikonja egy parabola, és a helyzet ( x ) az időnek (t ) négyzetes függvénye:
2
2
a x t (9)
ahol a a test gyorsulása.
Nyilvánvaló, hogy a parabola meredeksége változik az idő függvényében: a
meredekség növekszik az idővel (ahogy a vízszintes tengelyen jobbra mozgunk). A parabola
és minden görbe meredekségét egy tetszőleges pontban az adott ponthoz húzott érintő
meredekségével azonosítjuk. Próbáljuk meg a 7. ábrán feltüntetett állandó gyorsulással
mozgó test sebességét meghatározni t =40 sec-nál. Mivel az érintő meredeksége megfelel a
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 10/20
10
parabola meredekségének, csak az érintő meredekségét kell meghatároznunk. Azonban a
meredekség kiszámításához két pontra van szükségünk. Azonban mivel az érintő egyenlete
nem ismert, ezért a (40, 400)-as koordinátájú ponton kívül egy másik pont koordinátáját nem
tudjuk
meghatározni.
Húzzunk
egy
szelő
t,
és
határozzuk
meg
meredekségét
a
(7).
egyenlet
szerint:
2100 m' 35 m/s
60 sec
x x v
t
(10)
Azonban nyilvánvaló, hogy a 7. ábrán kékkel jelölt szelő meredekebb, mint a piros érintő.
Most húzzunk egy olyan szelőt, melynek végpontja (70 sec) közelebb van a 40 sec-hoz, és
számítsuk ki a meredekségét:
800 m' 27.5 m/s30 sec
x x v t
(11)
Ha folytatjuk a folyamatot, tehát a tartomány csökkentését 40 sec körül, akkor úgy tűnik,
hogy a szelő meredeksége közelít egy értékhez, 20 m/s-hoz:
Dt (sec) 60 30 15 7.5 3.75 1.875 0.938 0.469 0.234
meredekség
(m/s) 35 27.5 23.75 21.875 20.938 20.469 20.234 20.117 20.059
Valójában a szelő meredeksége egyre közelebb kerül az érintő meredekségéhez, ahogy a
tartomány szélessége csökken. Bár a 7. ábrán csak a táblázatban bemutatott első két szelőt
mutatjuk be, a trend nyilvánvaló. Megállapíthatjuk, hogy az érintő meredeksége egyenlő
annak a szelőnek a meredekségével, amelyet a vizsgált pont körüli végtelen
(infinitezimálisan) kicsi tartományhoz húztunk. A fenti állítás matematikai megfelelő je az
alábbi egyenlet:
0 ' lim
t
x dx érint ő meredeksége x
t dt
(12)
tehát az x deriváltja a szelő meredekségének Dt0 esetben vett határértéke (D x /Dt
határértéke abban az esetben, amikor Dt nullához tart). A 0
limt
x
t
jelölés (kiolvasása: a
x
t
t tart a nullához esetben vett határértéke) azt jelenti, hogy a x
t
értékét úgy kell
kiszámolni, hogy t annyira közel van nullához, amennyire lehet. Nyilvánvaló, hogy t nem
lehet nulla, mert a nullával való osztás értelmetlen eredményt adna. Ehelyett t annyira
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 11/20
megkö
a mere
nem ig
differen
vagy
máskép
esetbe
A Dt =6
t =40 se
pontjáb
a differ
fejezi ki
7. áhatárkörre
elíti nullát,
ekség füg
z egy para
ciahányad
ifferenciál
pen úgy
vett határ
t =40 sec-
sec hossz
c és t =100
Összefoglal
an vett de
enciahánya
:
ra. Nem-értékeként.l jelölt időp
amennyire
etlen volt
ola vagy g
snak ,
míg
ányadosn
ondható,
értéke. Egy
nál levő p
intervallu
ec közötti
ásul elmo
iváltja egy
dos határé
lineáris fü Célunk a ont) eseté
csak lehet.
annak a ta
örbe eseté
a
d x /dt
hk nevezz
hogy a der
enes eseté
nthoz húz
mhoz húzo
tlagos seb
dhatjuk,
nlő az ado
rtéke, aho
'y
ggvény dtest pillanen.
11
Míg egy e
rtományna
en. A D x /
nyadost,
ak. A (12)
ivált (d x /d
en D x /Dt =
tt érintő
tt szelő me
ességét adj
ogy egy
tt ponthoz
y x tart n
0lim x
y
x
riváltjának tnyi sebes
yenes ese
a széless
t hányado
zaz
az
érin. egyenle
t ) a differe
d x /dt .
eredekség
redeksége
a meg.
etszőleges
húzott érin
ullához. A
dy
dx
értelmezégének m
ében (6. á
gétől, ami
st, azaz a s
tő
meredeben meg
ncia-hánya
e a test pil
em értel
y =f( x ) fü
tő merede
enti állítás
se a dif ghatározá
ra és (8). e
ez kiszám
elő mered
kségét, de
ogalmazot
dos (D x /D
anatnyi se
etlen, hisz
gvény tet
kségével. A
az alábbi
erenciaháa t =40 se
gyenlet)
ltuk, ez
ekségét,
iváltnak
állítás
) Dt 0
essége.
n a test
szőleges
derivált
gyenlet
(13)
yados (üres
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 12/20
12
Bizonyos, ún. differenciálási szabályos segítségével egy tetszőleges függvény
deriváltja meghatározható, azaz ha adott egy y =f( x ) függvény, akkor annak y’=dy /d x
deriváltját ki tudjuk számítani. Bár ezek a differenciálási szabályok meghaladják a jelen rövid
bevezetés
kereteit,
az
1.
táblázatban
bemutatunk
néhány
ilyen
szabályt.
Függvény Derivált Függvény Derivált
y =c x (c egy állandó) c ln( x ) 1/ x
y = x n nx
n-1 loga( x ) 1/( x ln(a))
e x e x sin( x ) cos( x )
a x a
x ln(a) cos( x ) -sin( x )
1. táblázat. Egy pár függvény deriváltja.
2.3.
Mérési eredményekhez illesztett egyenes meredekségének meghatározása
Mivel a függő és független változó közötti összefüggést gyakran jól lehet közelíteni
egy lineáris egyenlettel, a mérési eredményekhez gyakran illesztünk egyenest. Ilyen
esetekben gyakran meg kell határozni az illesztett egyenes meredekségét, amely egyenlő a
függő változó független változó szerinti deriváltjával (lásd a (6). egyenletnél és az
egyenlethez vezető megfontolásokban). Mivel a biofizika gyakorlatok során szükség lesz
mérési eredményekhez illesztett egyenes meredekségének meghatározására, ebben a
fejezetben lépésenként leírjuk, hogyan kell ezt végrehajtani.
1.
Az eredmények ábrázolása után egy egyenes kell illeszteni a 2.1. pontban leírtaknak
megfelelően.
2. Határozzuk meg az egyenes meredekségét a 8. ábra és az alábbi egyenlet szerint:
9 22965 10 cm cm1.86 10
sec35 secmeredekség
(14)
Fontos, hogy
az egyenes meredekségét magából az egyenesből (piros vonal a 8. ábrán) és ne az
eredeti mérési eredményekből (szürke vonal a 8. ábrán) határozzuk meg. Az eredeti
mérési pontok koordinátájának felhasználása csak abban az esetben megengedett,
ha az illesztett egyenes átmegy az adott ponton.
a derékszögű háromszög befogóinak hosszát a tengelyekről olvassuk le (tehát
65×10-9 cm2
and 35 sec a 8. ábrán). Nem szabad a háromszög oldalainak tényleges,
cm-ben meghatározott hosszát használni, mert eben az esetben a meredekség
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 13/20
3.
meghat
végtele
változó
lehetőv
szorzat
munka
szorzat
8. áb
szaba
függveredmeg. utolspiros
megválto
adataira il
adjuk me
tengelyekmeredeks
Grafikon al
z előző
ározni. M
n sorozato
szorzatai.
é a grafik
összege. E
(az erő és
) két oly
a. Mérési
don diffun
ényében. ényekhez
Egy gyakora) illeszteonal mere
ni a tengel
lesztett eg
g a mered
ről leolvaég egysége
atti terület
ejezetben
st egy má
k összegzé
A fejezet
n alatti t
gy függvé
az erőirányn példa,
redménye
áló része
Lineáris r(piros vonai hibát mttünk. Nyildekségétől
yek újraskl
enes mere
kség mért
ott egysé a függőleg
meghatár
megtanult
sik fontos,
sét. Az ös
során me
erület me
y grafikon
ú elmozdulmelyet az
khez illeszt
ske átlago
egresszió l), és meretat be a svánvaló, h.
13
álázása sor
dekségére.
ékegységé
gekkel, mes és vízszi
zása: hat
uk, hogy
a fizikába
zegzendő
mutatjuk,
határozásá
alatti terü
ás szorzatintegrálsz
ett egyene
s négyzete
segítségévekségét a
zürke vonagy ennek
án. Így a 6.
. Hajtsuk
int magutes tengel
rozott inte
kell egy
n előfordu
tényezők l
hogy az i
t, ami tul
lete a füg
) és az elmítás seg
s meredek
s elmozdul
l egyenekék hároml, amelyet az egyene
5 cm/7 cm
égre ugya
kal a szek egység
grálás
áltozó vál
ló kérdést
eggyakrab
ntegrálszá
jdonképp
vény hatá
ozdulás (a
ítségével l
égének m
ását (
st illeszteszög segítskét pontrnek a me
helytelen
azt a mű
mokkal, inek hány
tozási gyo
fogunk éri
an jellemz
ítás hogy
n végtele
ozott inte
sebesség
het kiszá
ghatározá
) mértük
ttünk a gével hat (az elsőredeksége
8. ábra
eletet a
ehát a dosa.
rsaságát
nteni, a
ően két
an teszi
számú
rálja. A
s az idő
olni. A
a. Egy
az idő
mérési roztuk
és az eltér a
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 14/20
grafiko
követk
integrál
integrál3.1.
elmozd
dolog,
ahol
egyszer
dologh
elmozd
határoz
3.2.
elmozd
a gyor
sebess
9. á
sebegrafi
alatti ter
ző alfejez
ás elvéne
számítás
sKonstans f
lása
z állandó
mit a diák
az időta
ű, hogy jo
z, mint a
ulás tulajd
ott integrál
Lineáris füg
lása
Most vizsg
ulással m
gváltozása
ra. Állan
séggel moon alatti t
let fogalm
tekben a
demons
gítségével.ggvény gr
sebességg
k fizikából
tam, amel
osan kétel
integrálsz
nképpen
ja.
gvény graf
ljuk meg,
zgó test
az idő line
ó sebess
zgó test erület.
át gyakran
elmozdu
rálására,
fikon alatt
l (v ) mozg
megtanuln
y alatt az
kedhetünk
ámítás. A
a sebesség
ikon alatti
ogy a seb
esetében
ris függvé
ggel moz
lmozdulása
14
fogják ha
ás kiszám
ehát a g
területe: á
test elmo
k:
r v t
elmozdul
benne, ho
9. ábra sz
-idő függv
erülete: áll
sség-idő fü
s egyenlő
ye:
ó test el
t idő al
ználni a bi
ítását fogj
rafikon al
llandó seb
zdulásának
st vizsgálj
gy akármi
rint a (15
ny grafik
andó gyors
ggvény gra
a test el
mozdulásá
att egyenl
ostatisztika
k felhasz
tti terüle
sséggel m
(r ) kiszá
k. A fent
öze lehet
). egyenle
n alatti te
lással mo
fikon alatti
ozdulásá
ak megh
a szürke
kurzus so
álni a ha
meghatá
zgó test
ítása az e
i egyenlet
egy olyan
alapján s
rülete, az
gó test
területe a
al. Egy il
tározása.
területtel,
án is. A
tározott
rozására
yik első
(15)
annyira
komplex
zámított
z a v (t )
állandó
en test
Egy v
ami a
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 15/20
és ha a
A 10. á10 sec-
szerint
A sebe
maga
terület
szerint
állandó
3.3.
terület
egyenl
10. ágyors(18). grafik
kezdő sebe
bra egy 2
nál 20 m/
kell kiszám
sség-idő fü
ság/2. A sz
at 2/2,
az elmozd
gyorsuláss
Tetsző leges
z előző
két speci
a test el
bra. Állandulással moegyenlet son alatti te
sség zéró,
/s2
gyorsu. Fizikából
lni:
ggvény gr
ürke háro
mely meg
lás kiszám
l mozgó t
függvény
lfejezetek
ális esetb
ozdulásáv
ó gyorsulágó test seerint kell
rületének.
kkor
lással mozismert, h
fikon alat
szög alapj
elel a (18)
ítható a s
rgyra is alk
rafikon al
en belátt
n (állandó
al. Bár ne
ssal mozgességét miszámolni,
15
v a
v a t
ó test sebgy egy ily
2
ar t
i területe
a 10. ábr
. egyenlet
besség-idő
almazható.
tti területe
k, hogy a
sebesség
bizonyíto
test elmtatja az idamely visz
ességét ábn test el
egy háro
n t , maga
ek. Megáll
függvény
sebesség
el és álla
ttuk, ez a
zdulása. Aő függvényont megfe
ázolja. Ezéozdulását
szög, mel
ssága at ;
apíthatjuk,
grafikon al
idő függv
dó gyorsu
megfigyelé
z ábra egében. A telel a sebes
rt a test seaz alábbi
nek terül
ezért a há
hogy az e
atti terüle
ny grafik
lással moz
s arra utal,
2 m/s2 á
t elmozdulség-idő fü
(16)
(17)
bességegyenlet
(18)
te alap
romszög
lv, mely
éből, az
n alatti
gó test)
hogy a
llandó ását a gvény
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 16/20
16
sebesség-idő függvény grafikon alatti területe általánosságban megfelel az elmozdulásnak.
Most azt kell belátni,
hogyan függ össze ez az elv a fejezet elején bemutatott koncepcióval, azzal, hogy a
határozott integrál egy végtelen sorozat összege hogy kell kiszámolni egy tetszőleges függvény grafikon alatti területét. A 9-10.
ábrákon a sebesség-idő függvény grafikon alatti területének alakja vagy téglalap,
vagy háromszög volt, melyek területét egyszerű kiszámolni. A fejezetben
bemutatjuk, hogy a végtelen sorozat összegzése határozott integrálással az a
művelet, amely az általunk meghatározandó területet adja.
Az y = x 2 függvényt fogjuk használni annak demonstrálására, hogyan kell határozott
integrálással egy tetszőleges függvény grafikon alatti területét meghatározni. Mint látni
fogjuk, ez végtelen számú téglalap területének összegzését jelenti. Próbáljuk meghatározni
az y = x 2 függvény grafikon alatti területét az x =0 és x =10 határok között úgy, hogy a területet
több téglalapra osztjuk. Az első téglalap bal és jobb szélének x koordinátáját rendre x 0-lal és
x 1-gyel jelöljük. A második téglalap bal és jobb szélének x koordinátáját pedig rendre x 1-gyel
és x 2-vel. Rajzoljuk meg a téglalapokat úgy, hogy magasságuk legyen egyenlő a függvény
értékével a tartomány közepén, tehát pl.
2
0 1
2
x x y
(19)
az első téglalap esetében. Nyilvánvaló, hogy ha a téglalapok száma csak kettő, akkor a
közelítés elég rossz (11A. ábra). Határozzuk meg a 11A. ábrán látható két téglalap területét:
2 2
0 1 1 210 0 10 0 0 5 5 10312.5
2 2 2 2 2 2
x x x x terület f f
(20)
Ha a téglalapok számát négyre növeljük, hogy a közelítés egy kicsit jobb legyen (11B. ábra), a
grafikon alatti területet a következő képlettel közelíthetjük:
2 2 2 210 0 0 2.5 2.5 5 5 7.5 7.5 10
328.1254 2 2 2 2
terület
(21)
Ha a téglalapok számának (n) növelését tovább folytatjuk, úgy néz ki, hogy a terület egy
bizonyos számhoz, a 333.33-hoz tart, amit a 2. táblázat mutat.
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 17/20
n
2
4
2. táblszámán
A 11.
jobban
jogosn
grafiko
terület
11. ászürkgrafi
terület
312.5
328.12
zat. Az x 2
ak (n) függ
bra és a
közelíti a
k tűnik az
alatti terü
z alábbi
t kiszámol
ra. Az y = x
e oszlopok on alatti te
n
10
5 20
függvény ényében.
. táblázat
églalapok
a feltétele
let meghat
éplet mut
i az a és b
függvény különböz
rületét köz
terül
332.5
333.1
grafikon
tanúsága
erületéne
zés, misze
ározásának
tja, hogy
határok kö
grafikon al n számú
elítjük.
17
t n
50
25 100
latti terül
zerint min
összege a
int ha a t
hibája vég
kell egy te
ött, ha a t
tti területtéglalap t
terü
333
333
te a [0,1
él nagyobb
függvény
glalapok s
telen kicsir
tszőleges
rületet n t
nek kiszárületét jel
let n
.3 50
.325 10
] tartomá
a téglala
rafikon al
zámát vég
csökken.
=f( x ) függ
glalappal
ítása x =0 ölik, melye
te
33
0 33
nyban a t
ok terület
tti terület
elenre nö
ény grafik
özelítjük:
s x =10 közkkel a füg
ület
3.333
3.33325
églalpok
e, annál
t. Ezért
eljük, a
n alatti
ött. A gvény
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 18/20
18
0 1 1 2 1
1
1
...2 2 2
2
n n
n
i i
i
x x x x x x b aterület f f f
n
x x b a f
n
(22)
Ha a szummálás jelölésének értelmezése gondot jelent, olvassa el a 4. fejezetet. Ha a
téglalapok száma közelít a végtelenhez, a téglalapok területének összegét határozott
integrálnak nevezzük:
1
1 1
lim lim2
b n n
i i
n ni i a
x x b a b a f x dx f f x
n n
(23)
Az szimbólumot „integrál”-nak kell olvasni és alakja az „s” karakterre hasonlít, ami arra utal,
hogy tulajdonképpen szummálást jelent. Határozott integrálás során az egyes téglalapok
területe végtelenül kicsi, hiszen szélességük (b-a)/n=d x szintén végtelenül kicsiny. Azonban
végtelen számú ilyen téglalapunk van, hiszen n.
Most már látjuk, hogy egy függvény [a,b] intervallumra számított határozott
integrálja végtelen számú végtelen kicsi téglalap területének összegzésével adja meg a
függvény grafikon alatti területét a és b között. De hogy lehet végtelen számú területet
összeadni? Vizsgáljuk meg először a 9. és 10. ábrákon bemutatott speciális eseteket.
Mindkét esetben a szürke terület nagysága 0 és T között
0
T
v t dt (24)
ahol
5 m/sv t állandó (25)
a 9. ábrán, és
v t at (26)
a 10. ábrán. Két kivételen tudós, Newton és Leibniz, rájött a XVII. században, hogy a grafikon
alatti területet a v (t ) függvény primitív függvénye segítségével lehet kiszámolni. Nézzük meg,
hogy mit jelent ez a kijelentés. Egy f(x) függvény primitív függvénye az az F(x) függvény,
amelynek deriváltja egyenlő f(x)-szel (l. a (28). egyenletben). A függvény, amelynek deriválja
állandó: állandót (hiszen az állandót függvényt t függvényében ábrázolva a meredekség
állandó; lásd 1. táblázat). A függvény, melynek deriváltja at : a/2t 2
. Így tehát állandót az
állandó függvény primitív függvénye, és a/2t 2 az at függvény primitív függvénye. Mint
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 19/20
19
ahogy a (15). és (18). egyenletekben bemutattuk, a primitív függvények valóban a függvény
grafikon alatti területét adják. A fenti eszmefuttatás általános formáját, a Newton-Leibniz
tételt, használjuk egy tetszőleges függvény grafikon alatti területének meghatározására.
Formális
bizonyítás
nélkül
a
tétel
a
következő
:
b
a
f x dx F b F a (27)
ahol F ( x ) az f( x ) primitív függvénye, ami azt jelenti, hogy az F( x ) deriváltja f( x ):
dF x f x
dx (28)
Így tehát az integrálás a differenciálás fordított mű velete. Az 1. táblázat deriválási szabályait
felhasználva belátható, hogy
3
23 x d
x dx
(29)
tehát az x 2 primitív függvénye x
3/3. Ezért
1010 3 3 32
0 0
10 0 1000333.333
3 3 3 3
x x dx
(30)
A (30). egyenlet alátámasztja a 2. táblázat alapján elért konklúziót, mely szerint az x 2
függvény grafikon alatti területe a [0,10] tartományban 333.333. A
103
03
x
jelölés a 103/3-
03/3 kifejezés tömör formája.
4. A szummálás jelölése
Sok matematikai képletben szükséges sok változót összeadni. Jelöljük x 1, x 2, x 3, …, x n
szimbólumokkal n különböző mérési eredményt vagy egy x változó n különböző értékét. x 1 a
halmaz első eleme, x i jelöli a halmaz i -dik elemét és x n az utolsó érték vagy mérési eredmény.
A szumma jel egy tömör kifejezése a változók értékeinek összegére. Az alábbi ábra
bemutatja a szummálás jelölésének „anatómiáját”:
7/17/2019 Matematikai alapok orvosira
http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 20/20
20
Az alábbi képlet arra utasít bennünket, hogy egy halmaz első n elemét összegezzük:
1 2 31
...n
i n
i
x x x x x
(31)
Az alábbi képlet szerint az adathalmaz első n elemének átlagtól vett négyzetes eltérését kell
összegeznünk. Ezzel az egyenlettel gyakran találkozunk statisztikai képletekben:
2 2 2 2 2
1 2 31
...n
i n
i
x x x x x x x x x x
(32)
Sok esetben a szumma jelölést tovább egyszerűsítjük, ha egyértelmű, hogy a szummálást a
teljes adathalmazra el kell végezni. Így az alábbi kifejezések mind azt jelentik, hogy az
adathalmazban minden x értéket összegeznünk kell:
1
n
i i i
i i
x x x x
(33)
1
n
i
i
x
a szummálás index változója
kezdő érték, a szummálás alsó határa
szumma jel
utolsó érték, a szummálás felső határa
az
összegzendő
változó
Recommended