Matemática BásicaAula 6 Matemática Básica 3 Ainda sobre o princípio da indução finita Vimos...

Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 6

19 de abril de 2012

Aula 6 Matemática Básica 1

Ainda SobreO Princípio da Indução Finita

Aula 6 Matemática Básica 2

Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.

Aula 6 Matemática Básica 3

Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.

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Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.

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Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.

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Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.

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Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.

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Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.

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Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.

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Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

Aula 6 Matemática Básica 28

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

Aula 6 Matemática Básica 29

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

Aula 6 Matemática Básica 30

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

Aula 6 Matemática Básica 31

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

Aula 6 Matemática Básica 32

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

Aula 6 Matemática Básica 33

Exemplo

Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.

Aula 6 Matemática Básica 34

O Segundo Princípio da Indução Finita

Aula 6 Matemática Básica 35

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

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O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

Aula 6 Matemática Básica 37

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 38

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 39

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 42

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 43

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 44

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 45

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 46

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 48

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

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Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 64

Exemplo

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.

Aula 6 Matemática Básica 65

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 6 Matemática Básica 66

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 6 Matemática Básica 67

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 6 Matemática Básica 68

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

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Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 6 Matemática Básica 70

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 6 Matemática Básica 71

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

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Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 6 Matemática Básica 73

Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

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Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

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Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

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Exemplo (sem pegar pela mão)

Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.

Aula 6 Matemática Básica 77

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.

Aula 6 Matemática Básica 78

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.

Aula 6 Matemática Básica 79

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.

Aula 6 Matemática Básica 80

O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.

Aula 6 Matemática Básica 81

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 82

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 83

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 84

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

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Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

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Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

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Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

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Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 89

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 90

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 91

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 92

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 93

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 94

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 95

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 96

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 97

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 98

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 99

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 100

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 101

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 102

Demonstração do teorema

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Segundo Princípio da Indução

(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Aula 6 Matemática Básica 103

Outros nomes para o Segundo Princípio da Indução

O Segundo Princípio da Indução também é conhecido como

Princípio da Indução Completaou

Princípio da Indução Forte.

Aula 6 Matemática Básica 104

Outras Aplicações

Aula 6 Matemática Básica 105

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

4 12 17 22 27 32 37 · · ·

5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

......

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Aula 6 Matemática Básica 106

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 107

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 108

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 109

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 110

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 111

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 112

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 113

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

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3 9 14 19 24 29 34 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 114

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 6 Matemática Básica 115

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 6 Matemática Básica 116

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 6 Matemática Básica 117

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 6 Matemática Básica 118

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 6 Matemática Básica 119

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 6 Matemática Básica 120

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 6 Matemática Básica 121

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Aula 6 Matemática Básica 122

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Aula 6 Matemática Básica 123

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Aula 6 Matemática Básica 124

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

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Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

4 12 17 22 27 32 37 · · ·

5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

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Aula 6 Matemática Básica 149

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

4 12 17 22 27 32 37 · · ·

5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

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Aula 6 Matemática Básica 150

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

4 12 17 22 27 32 37 · · ·

5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

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Aula 6 Matemática Básica 151

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

4 12 17 22 27 32 37 · · ·

5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

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Aula 6 Matemática Básica 152

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

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5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

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Aula 6 Matemática Básica 153

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 154

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

4 12 17 22 27 32 37 · · ·

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Aula 6 Matemática Básica 155

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

4 12 17 22 27 32 37 · · ·

5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

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Aula 6 Matemática Básica 156

Exemplo

Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·

0 0 5 10 15 20 25 · · ·

1 3 8 13 18 23 28 · · ·

2 6 11 16 21 26 31 · · ·

3 9 14 19 24 29 34 · · ·

4 12 17 22 27 32 37 · · ·

5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

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Aula 6 Matemática Básica 157

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 158

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 159

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 160

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 161

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 162

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 163

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 164

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 165

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 166

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 167

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 168

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 169

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 170

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 171

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 172

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 173

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 174

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 175

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 176

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 177

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

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Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 179

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 180

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 181

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 182

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 183

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 184

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 185

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 186

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 187

Exemplo

É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.

Aula 6 Matemática Básica 188

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

B B

Aula 6 Matemática Básica 189

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

B B

Aula 6 Matemática Básica 190

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

B B

Aula 6 Matemática Básica 191

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 192

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 193

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 194

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 195

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 196

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 197

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 198

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 199

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 200

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 201

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 202

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 203

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 204

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 205

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 206

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 207

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 208

Exemplo

Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n coma estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1

Aula 6 Matemática Básica 209

Exemplo: A Torre de Hanoi

Torre A Torre B Torre C

4

3

2

1

O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duasregras:

(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.

Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz queexiste uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz queo mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.

Aula 6 Matemática Básica 210

Exemplo: A Torre de Hanoi

Torre A Torre B Torre C

4

3

2

1

O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duasregras:

(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.

Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz queexiste uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz queo mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.

Aula 6 Matemática Básica 211

Exemplo: A Torre de Hanoi

Torre A Torre B Torre C

4

3

2

1

O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duasregras:

(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.

Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz queexiste uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz queo mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.

Aula 6 Matemática Básica 212

Torre de Hanoi com 1 Anel

1

Aula 6 Matemática Básica 213

Torre de Hanoi com 1 Anel

1

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 214

Torre de Hanoi com 1 Anel

1

OK

Aula 6 Matemática Básica 215

Torre de Hanoi com 2 Anéis

21

Aula 6 Matemática Básica 216

Torre de Hanoi com 2 Anéis

2 1

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 6 Matemática Básica 217

Torre de Hanoi com 2 Anéis

1 2

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 218

Torre de Hanoi com 2 Anéis

21

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 219

Torre de Hanoi com 2 Anéis

21

OK

Aula 6 Matemática Básica 220

Torre de Hanoi com 3 Anéis

321

Aula 6 Matemática Básica 221

Torre de Hanoi com 3 Anéis

32

1

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 222

Torre de Hanoi com 3 Anéis

3 2 1

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 6 Matemática Básica 223

Torre de Hanoi com 3 Anéis

3 21

Anel transferido da torre C para a torre B.

Aula 6 Matemática Básica 224

Torre de Hanoi com 3 Anéis

21

3

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 225

Torre de Hanoi com 3 Anéis

1 2 3

Anel transferido da torre B para a torre A.

Aula 6 Matemática Básica 226

Torre de Hanoi com 3 Anéis

1 32

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 227

Torre de Hanoi com 3 Anéis

321

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 228

Torre de Hanoi com 3 Anéis

321

OK

Aula 6 Matemática Básica 229

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4321

Aula 6 Matemática Básica 230

Torre de Hanoi com 4 Anéis

432

1

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 6 Matemática Básica 231

Torre de Hanoi com 4 Anéis

43

1 2

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 232

Torre de Hanoi com 4 Anéis

43

21

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 233

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4 3 21

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 6 Matemática Básica 234

Torre de Hanoi com 4 Anéis

41

3 2

Anel transferido da torre C para a torre A.

Aula 6 Matemática Básica 235

Torre de Hanoi com 4 Anéis

41

32

Anel transferido da torre C para a torre B.

Aula 6 Matemática Básica 236

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4 321

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 6 Matemática Básica 237

Torre de Hanoi com 4 Anéis

321

4

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 238

Torre de Hanoi com 4 Anéis

32

41

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 239

Torre de Hanoi com 4 Anéis

2 3 41

Anel transferido da torre B para a torre A.

Aula 6 Matemática Básica 240

Torre de Hanoi com 4 Anéis

21

3 4

Anel transferido da torre C para a torre A.

Aula 6 Matemática Básica 241

Torre de Hanoi com 4 Anéis

21

43

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 242

Torre de Hanoi com 4 Anéis

2 1 43

Anel transferido da torre A para a torre B.

Aula 6 Matemática Básica 243

Torre de Hanoi com 4 Anéis

1 432

Anel transferido da torre A para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 244

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4321

Anel transferido da torre B para a torre C.

Aula 6 Matemática Básica 245

Torre de Hanoi com 4 Anéis

4321

OK

Aula 6 Matemática Básica 246

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis.

Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 247

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1.

Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 248

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 249

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 250

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 251

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 252

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 253

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 254

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 255

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 256

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 257

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 258

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 259

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 260

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 261

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 262

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 263

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 264

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 265

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

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Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 267

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 268

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 269

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 270

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 271

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 272

Exemplo: A Torre de Hanoi

A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.

Aula 6 Matemática Básica 273

Exemplo: A Torre de Hanoi

Para n = 64 anéis são então necessários

T64 = 264 − 1 movimentos.

264 − 1 = 18446744073709551615.

Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de

584 bilhões de anos

para eles transferirem todos os 64 anéis!

Aula 6 Matemática Básica 274

Exemplo: A Torre de Hanoi

Para n = 64 anéis são então necessários

T64 = 264 − 1 movimentos.

264 − 1 = 18446744073709551615.

Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de

584 bilhões de anos

para eles transferirem todos os 64 anéis!

Aula 6 Matemática Básica 275

Exemplo: A Torre de Hanoi

Para n = 64 anéis são então necessários

T64 = 264 − 1 movimentos.

264 − 1 = 18446744073709551615.

Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de

584 bilhões de anos

para eles transferirem todos os 64 anéis!

Aula 6 Matemática Básica 276

Exemplo: A Torre de Hanoi

Para n = 64 anéis são então necessários

T64 = 264 − 1 movimentos.

264 − 1 = 18446744073709551615.

Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de

584 bilhões de anos

para eles transferirem todos os 64 anéis!

Aula 6 Matemática Básica 277

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 6 Matemática Básica 278

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 6 Matemática Básica 279

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 6 Matemática Básica 280

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 6 Matemática Básica 281

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 6 Matemática Básica 282

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 6 Matemática Básica 283

Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a,b), (b,a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a,b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a,b, c), (a, c,b), (b,a, c), (b, c,a), (c,a,b), (c,b,a).

E o caso geral?

Aula 6 Matemática Básica 284

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 285

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 286

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 287

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 288

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 289

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 290

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 291

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 292

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 293

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 294

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 295

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 296

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 297

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 298

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 299

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 300

Exemplo: Permutações

O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos: (

a1 , permutações de a2,a3, . . . , ak ,ak+1

),(

a2 , permutações de a1,a3, . . . , ak ,ak+1

),

...(ak , permutações de a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1

),(

ak+1, permutações de a1,a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1,a2,a3, . . . ,ak ,ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.

Aula 6 Matemática Básica 301