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Ne pas reculer devant la grande métaphore de l’avenir : cette alliance incroyable entre la poésie et les Mathématiques
Théo Héikay − Agrégé de l’Université − Professeur et Chercheur Invité à l’Université Libre de Bruxelles
Quelques exercices de théorie élémentaire d’Analyse Mathématique
It is worth remembering, if only for the sense of calm that it provides, that
We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher
1
L’univers Mathématique est beau, et hors
de lui point de salut.
Des millions d’yeux, je le savais, ont
contemplé ce paysage, mais pour moi il
était comme le premier sourire du ciel.
J’avoue faire ici l’expérience de notre
humilité face à la résolution des exercices,
en vivant chaque instant comme si c’était le premier. Il y a des leçons éthiques et
mathématiques à tirer de cette expérience-là : à chaque fois lire une théorie comme la
première fois. On dit beaucoup que la Mathématique incorpore entre autres, l’art de
l’étonnement.
Mais il y a un double statut de l’étonnement : – une pomme tombe et Newton
découvre les lois de l’attraction universelle. L’étonnement est supprimé par la
connaissance. Il s’agit d’aller au-delà des apparences : c’est le projet de la démarche
scientifique; – mais, au lieu de supprimer l’étonnement, on peut le maintenir. Le
monde est énigmatique, même quand on a tout expliqué et qu’on a dissipé tous les
mystères. Plutôt que se demander à quoi bon faire des Mathématiques en temps de
détresse, il faut se demander d’où vient notre besoin d’avoir la Mathématique
comme l’une des plus belles réalisations de la pensée humaine. Qu'est-ce qu’une
pratique des Mathématiques ? Un grand point d'interrogation à l'endroit du plus
grand sérieux !
L’une des leçons de l’enseignement des Mathématiques est donc de pratiquer l’art de
l’étonnement comme un émerveillement recommencé.
N’ayons pas peur de nous poser cette question : La Mathématique comme expérience
est-elle encore possible aujourd'hui ? Ce fascicule se propose d'interroger la
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sublimation d’une théorie dans les questions mathématiques, à la lumière de ce que
peut comprendre un étudiant des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles
scientifiques françaises, ou des trois premières années universitaires dans les pays de
l’O.C.D.E. La démarche scientifique sera la base et l'horizon de cette investigation.
Pourquoi s’intéresser à ces étudiants ? Je constate entant qu’universitaire, que
certains ont perdu ce rapport indispensable à la simplicité, à l’étonnement, à
l’hésitation, à la lenteur, au dénuement. Pour certains étudiants, être cohérent, sentir,
de leur point de vue, que la démarche est cohérente ne va pas de soit. Il me paraît
très utile, de les aider à épouser le lest du bonheur pour la grande traversée de la mer
qu’est la vie, d’autant plus que les enseignants et les étudiants ne sont pas dans la
même temporalité. Le temps de l’acquisition interroge donc le nôtre – celui de la
transmission.
En effet, dans quel temps vivez-vous ? Celui de vos projets ou celui de vos rêves ? Du
souci ou du plaisir ? Du métro ou de la grève ? De votre journal ou de vos loisirs ?
Plus que jamais unifiés par l'information, les hommes n'ont pourtant jamais vécu des
temporalités aussi disloquées, hétéroclites, inconciliables.
À la charnière de la transmission des savoirs et des connaissances, j’ai pris beaucoup
de plaisir à rechercher ce souffle « eurêka » dans le « temps incorporé » de ce
fascicule, en répondant aux questions les plus actuelles qui m’ont été posées.
Tissé de perceptions et de défis intellectuels, le temps de la résolution des exercices
de ce fascicule, qui n’est ni celui d’un cours en amphithéâtre ni celui de la recherche
de pointe, devient sensible. À l’imaginaire avide du lecteur, j’offre l’appât savoureux
de mes personnages : Série entière de rayon de convergence infini, intégrales
riemanniennes, théorème de convergence de la loi de Bernoulli vers la loi normale,
intégrales de Wallis, polynômes de Legendre, déterminant de Sylvester, théorème
des fonctions implicites, fonctions holomorphes, formule de résidu, développement
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en série entière, familles sommables et dénombrables etc. …, dont cet essai aide à
retrouver les caractères mêlés aux paysage de l’Analyse Mathématique. Pourtant,
dans les plis de longues démonstrations, dans le cumul des brouillons et des notes,
dans la cruauté et le ridicule des passions, l’insignifiance du questionnement et le
néant des êtres mathématiques brusquement s’imposent. Les personnages se
contaminent et se brouillent, une profondeur secrète les attire. Tel un flocon de neige
qui flotte dans le vent, sous un ciel bleu-noir, dans l’air du soir, suspendu, hésitant,
ils perdent leur contour absorbé par le style. Ces héros, ces visions, fruits d’une
imagination dont le chercheur sait qu’elle est son seul organe pour jouir de la beauté,
finissent par nous laisser un goût, un seul, âcre et tonique : le goût de l’expérience
mathématique. Du défi intellectuel comme thérapie, comme enchantement (j’entends
par là, un ravissement).
Ce que je fais comme chercheur, a un rapport avec la répétition. Mais la répétition ne
signifie pas réitération uniforme du toujours identique. Au contraire, elle ramène ce
qui en retrait s’abrite dans l’ancien.
Les questions qui sont posées ici, sont certes, pour ceux qui sont blasés, choses du
passé. Mais pour une certaine idée de la science, si nous l’éprouvons comme ce qui
nous est destiné, elles demeurent toujours et elles demeureront toujours un présent
nouveau : quelque chose qui attend de nous que nous allions en pensant à leur
rencontre, et que nous mettions par-là à l’épreuve notre propre pensée et notre
propre création artistique. Car le commencement d’un destin est ce qu’il y a de plus
grand. Il tient d’avance tout ce qui vient après lui sous sa puissance.
Les exercices proposés dans ce fascicule, sont lisibles (et drôles, et percutants, et
riches, et remuant des tas de choses dans toutes les directions — ce qui est le propre
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de la Mathématique), si vous rétablissez en vous-même, dans votre œil ou votre
oreille, la bonne cadence.
La Mathématique nous enseigne la pensée rapide, mais inversement, elle nous oblige
peut-être à lire plus lentement. Devant un exercice, il appartient à chaque lecteur
d’établir un nouveau rythme, un nouveau tempo. La vitesse nous donne la lenteur,
seul un esprit très rapide peut savourer la lenteur. Les Mathématiques ne se lisent
pas à la même vitesse qu’un roman par exemple.
De la vitesse de lecture, dépendent beaucoup de choses en Mathématique. Cette
discipline nous apprend à mieux voir. On ne voit pas avec ses yeux (ou seulement un
peu), mais avec les concepts, sa langue, son oreille, sa mémoire des mots (peut-être
aussi bien son odorat). Sans énonciation, pas d’éveil de l’image mentale. Engendrés
par des textes, donc, les concepts engendrent eux-mêmes des théories, à l’infini,
comme dans une énumération de générations bibliques. Le concept, parfois, c’est
comme un métronome bloqué ; défaites le corset, le sens explose ; c’est plus lent à
lire, parce que c’est plus riche ; et parce que c’est plus lent, paradoxalement, ça brûle
les étapes.
Les Mathématiciens s’obstinent à utiliser les symboles, qui sont aux yeux du profane
du chinois — Précisément : on pourrait leur faire crédit et penser que cette
obstination veut dire quelque chose : qu’elle nous communique la tension,
l’éblouissement et le péril d’un grand projet, d’un projet d’une autre taille (le contenu
des théories, comme la vitesse de leur lecture, ça fait partie de leur sens).
Ouverte, la forme de ce fascicule se dévoile hors commencement et fin, car, partout et
sans dommage, on peut entamer une lecture, partout on peut refermer le fascicule.
La chronologie qu’implique le volume, son déroulement avec un début, un milieu et
une fin, peuvent être mis à mal par le désir de se promener d’une question à l’autre.
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Qu’enseigne-t-on en Mathématiques ? Toujours la vivacité, la pensée rapide,
l’allégresse, l’élec- tricité de son langage, « l’histoire d’amour entre les scientifiques et
leurs théories » avec ses «sensations savantes », la conviction qu’une renaissance par
le théorème peut advenir. Toujours le lien étroit du langage conceptuel avec le corps
du scientifique, sujet trop négligé. Toujours le rejet du simplisme, du défaitisme, du
moutonnement, du confort ambiants. Toujours la quête (elle peut avoir bien des
visages) d’une vérité mathématique, d’une « responsabilité à accepter l’abstraction ».
Si bien que, phénomène fréquent en matière de critique pédagogique, chaque
résolution est un autoportrait.
Un Exercice qui fait appel à la pensée pure comme faculté des essences.
Peut-on trouver un équivalent quand n + de n = 1
+
(– 1)
n – 1
n! (ln n)xn ?
Rose de série entière, ô contradiction, volupté de n’être le sommeil de personne sous
tant de paupières. Ô suites perpétuelles / de la liesse éternelle, qui faites / Qu’en un
parfum je sens tous les parfums. Donne-moi un rayon de convergence infini. Je
connais le corps de réels semblable à un talus où s’épanouissent une fonction
indéfiniment dérivable, deux lemmes démontrables et quelques intégrales
riemanniennes.
La résolution de cet exercice passe par un troisième œil qui n’a pas seulement
l’ardeur de la braise, mais traverse aussi la nuit et rend visible ce qui serait dans
l’invisible. Ce regard préalable désigne l’éclat rayonnant de la mer, des astres, de la
lune, mais aussi le chatoiement de l’olivier. Ce troisième œil est l’œil qui éclaire et
resplendit.
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Ma solution : Les couleurs, les sons, les goûts, les parfums des équations, se répondent.
Chaque épisode est décisif, le moindre déplacement de jeu, comme aux échecs, a une histoire
apparente et secrète. Lemmes, intégrales, séries normalement convergentes, limites clignotant
à l’infini, équivalences et fonctions continues sur un compact participent d’une même énergie
créatrice, chaque concept se nourrissant des autres.
Notons f la fonction à étudier. Montrons que f(x) ~ x +
– ln(ln x).
1° Une expression sous forme intégrale pour f’(x) + f’’(x).
Comme la série (– 1)
n – 1
n! (ln n)xn a un rayon de convergence infini, f est définie sur
IR et est indéfiniment dérivable terme à terme, et on a :
f’(x) + f’’(x) = n = 0
+
(– 1)
n + 1
n! ln
n + 2
n + 1xn.
Lemme 1 _ Soit b > a > – 1 et soit A l’intégrale
0
1
tb – t
a
ln t dt. Alors A = ln
b + 1
a + 1.
Preuve
A = lim 0, > 0
A() avec A() =
0
1
a
b
tu
1 du dt.
Comme (t, u) tu est continue sur [, 1] [a, b], on peut intervertir les deux
symboles intégrales dans cette expression de A(), ce qui donne :
A() =
a
b
1 – u + 1
u + 1 du.
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Comme 0 <
a
b
u + 1 du
u + 1 <
(b – a) u + 1
a + 1 , on a lim
0, > 0 A() =
a
b
du
u + 1 , ce qui
donne le résultat souhaité.
Notons l’application continue de [0, 1] dans IR telle que :
(t) = t – 1
ln t si 0 < t < 1
&
(0) = 0
&
(1) = 1
,
Alors est continu sur [0, 1] et t, 0 (t) 1.
Pour x < 1 fixé, posons un(t) = (– 1)
n + 1
n! xn tn (t).
On a
0
1
un(t)
1 dt = (– 1)
n + 1 xn
n! ln
n + 2
n + 1 et
n = 0
+
un(t) = – e – xt (t).
Sur [0, 1] la série un(t) converge normalement et on peut donc l’intégrer terme à
terme ; il en résulte f’(x) + f’’(x) = –
0
1
e – xt
(t)
1 dt .
2° _ Un équivalent en + de f’ + f’’.
Soit a quelconque dans ]0, 1[. On partage l’intégrale :
0
1
e – xt
(t)
1 dt = Ha(x) + La(x) avec
Ha(x) =
0
a
e
– xt (t)
1 dt
&
La(x) =
a
1
e
– xt (t)
1 dt
.
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Posons Ia(x) =
0
a e – xt
– 1
ln t dt. Alors (1 – a) Ia(x) < Ha(x) < Ia(x).
Par ailleurs 0 < La(x) < 1
x e
– ax .
Étudions maintenant Ia(x).
Lemme 2 _ Ia(x) ~ 1
x ln x quand x + (pour tout a).
Preuve :
On introduit
Ja(x) =
0
a
e – xt dt
ln x =
1 – e – ax
x ln x .
On a
Ja(x) ~
x +
1
x ln x .
Écrivons Ia(x) – Ja(x) = –
*
a
e – xt ln (xt) dt
ln t ln x , qui se transforme par le changement
de variable u = xt, en 1
x ln x Ka(x) avec Ka(x) =
0
ax
e – u ln u du
ln x – ln u.
On coupe en trois morceaux cette intégrale en introduisant , tels que 0 < < 1 <
et on suppose x >
a .
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Sur [0 ; ] on a
0 < e – u ln u
ln x – ln u < 1, d’où
0
e – u ln u du
ln x – ln u < .
Sur [, ax]
on a 1
ln x – ln u
1
ln 1
a
,
d’où
ax
e – u ln u du
ln x – ln u <
1
ln 1
a
+
e – u ln u
1 du.
Soit > 0 ; fixons
3 et tel que
+
e – u ln u
1 du
3 ln
1
a ; comme on a
e – u ln u du
ln x – ln u
K
ln x – ln (pour un certain K), on peut choisir X >
a tel que
x > X,
e – u ln u du
ln x – ln u
3 ,
d'où
x > X, Ka(x) .
On a montré que Ia(x) – Ja(x) <<
1
x ln x , et comme J
a(x) ~
1
x ln x ,
on a bien Ia(x) ~ 1
x ln x .
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Exprimons à présent l’équivalent de f’ + f’’.
Soit > 0 ; prenons a ; alors Ha(x) – Ia(x) Ia(x).
On a
Ia(x) ~ 1
x ln x et La(x) <<
1
x ln x .
Soit donc X tel que
x > X, Ia(x) ~ 1
x ln x <
x ln x soit La(x) <
x ln x ,
d’où
x > X, f’(x) + f’’(x) + 1
x ln x <
(3 + )
x ln x
et on a bien montré
f’(x) + f’’(x) ~ x +
– 1
x ln x .
3° _ Équivalent de f.
Comme 1
x ln x a un signe constant pour x > 1 et comme
*
+
dx
x ln x diverge, on a
f(x) + f’(x) ~ x +
– ln (ln x).
D’autre part, comme limx +
{ }f(x) + f’(x) = 0, un exercice classique montre que
limx +
f’(x) = 0. Donc f(x) ~ x +
– ln (ln x).
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Exercice : Rien ne m’est plus sûr que la chose incertaine. _ Trouver la partie principale
de q = 0
n
C2n2
n² + q.
Nous avons tous besoin, pour rendre la réalité supportable, d’entretenir en nous
quelques petites folies.
Les « petites folies » dont je parle, ce sont donc ces espoirs nécessaires qui nous
permettent de croire en des temps meilleurs, et de continuer à mathématiser. Et c’est
un exemple, parmi d’autres, du besoin de rêve d’un chercheur en quête du graal...
Comme nous aimerions, dans nos considérations, éviter l’arbitraire de l’inspiration,
nous demandons ici, à Bernoulli, conseil et assistance de son théorème. Nous ne
pouvons certes pas épuiser, dans le cadre restreint de cet exercice, la plénitude des
connaissances en probabilité. Nous ne faisons que reconnaître ce que le théorème de
Bernoulli de convergence vers la loi normale nous dit de la provenance d’une
intégrale singulière.
Face à un exercice ardu ou à une réalité qui ne cesse d’être décevante, le chercheur
qui n’aime que des valeurs positives, semble avoir trouvé la parade idéale : jamais
pleinement endormi, ni totalement réveillé, il joue avec les frontières de l’imaginaire.
Ma solution : Laissons deviner. Le langage Mathématique, comme la musique, se développe
aussi entre les idées, leurs intervalles, leurs chocs de surprises. C’est un corps qui, pris à
même la vie du passé, sera toujours là.
Il s’agit d’une question très classique dans le calcul des probabilités.
Si on pose 2n² = N, la suite cherchée, Sn, est
Sn =
CN
k /
N
2 k
N
2 +
N
2,
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2 – N
Sn est la probabilité pour qu’une variable aléatoire XN
suivant la loi de
Bernoulli de paramètre 1
2 et N (X
N = x
1 + … + x
N où les x
i sont de Bernoulli,
élémentaires, avec P2 {x
i = 0} = P
2 {x
i = 1} =
1
2 , et indépendantes), soit comprise
entre N
2 et
N
2 +
N
2 .
Comme XN
est d’espérance N
2 et d’écart-type
N
2, d’après le théorème de
convergence de la loi de Bernoulli vers la loi normale, on a :
limN +
P2
a N
2 X
N –
N
2
b N
2 =
1
2
0
b
e
– t²/2
1 dt.
Donc ici
limn +
2 – 2n²
Sn = 1
2
0
2
e
– t²/2
1 dt =
1
0
1
e – t²
1dt,
Soit
Sn ~ 2
2n²
0
1
e – t²
1dt.
Je vais prouver « taupinalement » ce résultat :
Posons
Sn =
2n²
n²A
n
avec
An =
q = 0
n
an, q
,
précisons que
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an, q
=
l = 1
q - 1
1 – l
n²
l = 1
q
1 + l
n²
.
Pour tout > 0, il existe > 0 tel que pour tout t tel que :
t , ln(1 + t) – t + t²
2 t² .
On prend n 1
; comme ici 0 < l q n, on a
1
n² ,
d’où
ln
1 – l
n² +
l
n² +
l²
2n4 l²
n4
n² ,
Puis
l = 1
q – 1
ln
1 – l
n² +
q(q – 1)
2n² +
q(q – 1)(2q – 1)
12n4 (q – 1)
n²
n ,
soit
l = 1
q – 1
ln
1 – l
n² +
q²
2n² –
q
2n² +
q3
6n4
n +
3q² – q
12n4 2
n ,
en décidant de prendre également n 1
4 .
De même,
l = 1
q
ln
1 + l
n² –
q²
2n² –
q
2n² <
q3
6n4 2
n ,
et par différence
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ln an, q
+ q²
n² 4
n .
Pour u 1 (par exemple), on a
eu – 1 K u
où K est une certaine constante > 0. On prendra n 4 (en plus des autres
conditions) ; donc
e – 4/n an, q
eq²/n²
e4/n,
puis
an, q
eq²/n²
– 1 4K
n,
soit
an, q
– e – q²/n² 4K 1
n e – q²/n²
4K
n .
En sommant
1
n + 1 q = 0
n
an, q
– 1
n + 1
q = 0
n
e – q²/n² 4K
n ,
et comme
limn +
1
n + 1
q = 0
n
e – q²/n²
0
1
e
– t²
1 dt
(c’est une somme de Riemann)
on a
limn +
1
n + 1
q = 0
n
an, q
=
0
1
e
– t²
1 dt.
Remarque : on a même limn +
q = 0
n
an, q
– q = 0
n
e – q²/n² = 0.
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D’après le résultat classique Cn
2n ~
n +
22n
n (intégrale de Wallis), on obtient
Sn ~ (n + 1)
0
1
e
– t²
1 dt
22n²
n² ~
22n²
0
1
e
– t²
1 dt.
Exercice : Il y a tant d’aurores qui n’ont pas encore luit.
Étudier pour tout u0 > 0 et tout a > 0, la suite définie par : u
n + 1 = a + (– 1)
nu
n .
Nous méditons l’existence d’une telle suite. Nous tentons de jeter un regard dans ce
domaine qui, avant toute formulation séquentielle, exerce déjà sa puissance et qui
seul accorde aux suites des nombres ce qui font d’elles ce qu’elles sont.
« Le seul véritable voyage ce ne serait pas d’aller vers d’autres paysages, mais d’avoir
d’autres yeux. »
Cette phrase qu’on trouve intégralement au 5ème tome de À la recherche du temps perdu,
de Marcel Proust, dans La Prisonnière, s’est imposée à moi, en même temps que
j’écoutais Ave, verum corpus de Wolfgang Amadeus Mozart. C’est la première fois que
j’écoute cette musique. Et à la manière de la sonate pour Swann, elle me transporte
« en pays inconnu » et me fait ressentir intensément la réalité.
Le musicien Mozart, insistant, mélodieux, d’une douceur inexorable, parvient ainsi à
me faire « voyager », à me faire percevoir l’univers autrement : il me donne
« d’autres yeux ». Il s’agit là du sens figuré de la vision.
Ne pas reculer devant la grande métaphore de l’avenir : cette alliance incroyable entre la poésie et les Mathématiques
Théo Héikay − Agrégé de l’Université − Professeur et Chercheur Invité à l’Université Libre de Bruxelles
Quelques exercices de théorie élémentaire d’Analyse Mathématique
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Mais les yeux servent évidemment et avant tout à ‘’voir’’, à regarder, à scruter, et
même à « radiographier » le réel. Et le chercheur, tout au long de sa pratique, se
délecte de cette activité...
Le chœur apaisé qu’avait exhalé la musique de Mozart, me désignait un monde dont
je n’étais pas le centre mais dont l’humain est le centre. Mozart exprimait une
attention des hommes pour les hommes, un souci quant à notre vulnérabilité, notre
condition mortelle.
Dans la nuit obscure de l’automne et de la chair, cette musique nous rappelait que
nous étions frères en fragilité. Mozart me révélait qu’il y avait un univers purement
humain, établissant ses propres fêtes, ses règles, ses croyances, ses rendez-vous où les
voix s’enlacent en harmonie pour délivrer une beauté qui ne peut naître que de
l’accord, de l’entente, au prix d’une recherche commune, d’un but consenti, d’une
émotion partagée ... Surgissait un monde parallèle à la nature, celle-là même que le
gel, le froid, la nuit pouvaient anéantir. Un univers inventé, le nôtre. Cet univers-là,
par sa musique, il le reflétait, il le dessinait. Peut-être le créait-il ?
Ma solution : Notre pratique des Mathématiques est un chemin dans les sables, où l’on doit
se conduire par l’étoile du Nord plutôt que par les vestiges qu’on y voit imprimés. La
confusion des traces qu’un nombre presque infini d’interprétations erronées y ont laissées est
si grande, et on y trouve tant de différents sentiers qui mènent presque tous dans des déserts
affreux, qu’il est presque impossible de ne pas s’égarer de la véritable voie que les seuls
théoriciens avisés ont heureusement su démêler et reconnaître.
On montre que :
1° _ Si 0 < a < 1, la suite (un) n’est pas définie pour n 2 quel que soit le choix
de u0.
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2° _ Si 1 a 5
4 , sauf pour un choix unique u
0 = , la suite (un) n’est pas
définie à partir d’un certain rang ; pour u0 = , on a , pour tout n,
u2n
=
&
u2n + 1
= a +
3° _ Si 5
4 < a A, avec A = 1, 310 702 64…, il existe trois réels , , tels
0 < < et :
a) Si < u0 < , alors u
2n tend vers et u
2n + 1 vers a + ;
b) Si u0 = ou , la suite (un) est de période 4 avec pour valeurs successives
(, a + , , a + ) ;
c) Si 0 u0 < ou u
0 > , la suite (un) n’est pas définie à partir d’un certain
rang.
4° _ Si a > A, prenant u0 dans le segment [0, a² – a] (sinon la suite (un) n’est pas
définie à partir de n = 2), pour un certain , u2n
tend vers et u2n + 1
tend vers
a + .
On introduit f : x a – a + x et on note Ia l’ensemble des x positifs tels
que f est définie en x.
La suite (u2n
) est donnée par
u0 Ia
&
u2n
= f(u2n – 2
).
Les énoncés ci-dessus font intervenir un point fixe de f et un doublet (, ) de
f, c’est-à-dire un couple (, ) tel que < , f() = et f() = .
Si a < 1, alors Ia est ; on en déduit le 1°.
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Désormais a 1 ; on a
Ia = [0, a² – a]
&
f(Ia) = [ ]0, a – a
;
donc Ia est stable par f si, et seulement si, a – a a² – a, ce qui équivaut
à a A où A est l’unique racine de l’équation en a (> 1) : a – a = a² – a,
soit encore (1) a a ( a – 1)( a + 1)² – 1 = 0.
On trouve A = 1,310 702 64 …
Si la suite (u2n) converge, c’est, bien sûr, vers un point fixe de f. Or, f étant
décroissante, avec
f(0) = a – a
&
f(a² – a) = 0
,
donc f(0) > 0 et f(a² – a) < a² – a (pour a > 1), f admet un unique point fixe
; on trouve comme racine de (² – a)² = + a avec 0 < < a, ce qui
revient à
(2) ² + + 1 = a,
soit
(3) = 1
2 ( 4a – 3 – 1).
Si la suite (u2n) est partout définie et ne converge pas, la fonction f étant
décroissante, les suites (u4n) et (u4n + 2
) sont monotones bornées et convergent
vers les deux éléments d’un doublet de f.
Cherchons donc les éventuels doublet de f, c’est-à-dire les couples (, ) tels que :
0 < , f() = et f() = .
On résout donc
a – a + =
&
a – a + =
avec
0 <
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soit
= (a – ²)2 – a
&
= (a – ²)2 – a
avec
0 < < a
.
On pose s = + et on obtient après calculs
(4) a = s
s² – 1 +
1
4s² +
1 + s²
4
On trouve aussi
p = = – s² + 1
2(s² – s) +
1
4
s² – 1 – 1
s²
Exprimant que l’équation x² – sx + p = 0 a deux racines réelles distinctes dans
[0, a[, on trouve les conditions
s > 0
&
s² + 2
s < 4a Inf
2s² + 2
s,
1
s² + s
2 .
On utilise la définition de a, par (4), en fonction de s.
Pour s > 1, on a
2s² + 2
s –
1
s² + s
2
= s6 – 1
s4 > 0;
et la condition nécessaire
1
s² + s
2
– 4a 0 revient à
1 – s² – s4
s4 – 2(1 + s²)
s(s² – 1) 0,
et c’est impossible. On a donc l’existence de (, ) si, et seulement si,
0 < s < 1
&
s² + 2
s < 4a 2s² +
2
s
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On a
4a – s² – 2
s =
1
s²(1 – s²) { }(1 – s²)(1 – s)2 – 4s² ,
d’où la condition 4s² < (1 – s²)(1 – s)², qui se ramène sur ]0, 1[, après
simplification, à
s < 2 – 1.
Pour s = 2 – 1, l’équation x² – sx + p = 0 a une racine double:
= = = s
2 =
2 – 1
2
&
a = 5
4
On a
2s² + 2
s – 4a =
P(s)
s²(1 – s²)
avec
P(s) = – s6 2s4 + 2s3 + 2s – 1
On vérifie aisément que P est convexe, puis croissante sur [0, 2 – 1] ; comme
P ( 2 – 1) = 58 2 – 82 = 2
29 2 + 41 > 0,
P a un et un seul zéro, noté S sur [0, 2 – 1]. Pour s = S, on a p = 0, donc = 0
et = s et a = A.
La relation (4) s’exprime par a = (s), avec ’(s) = – 1 + s²
(1 – s²)2 – 1
2s² (1 – s4) < 0 ;
donc est strictement monotone sur ]0, 1[ et en particulier sur [S, 2 – 1], si
bien que la correspondance a s est une bijection de
5
4 , A sur [S, 2 – 1].
Donc pour tout a vérifiant 5
4 < a A, il existe un et un seul doublet (, ) de f
avec 0 < < .
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Si a > A, la suite (u2n) n’a donc pas deux valeurs d’adhérences et elle est partout
définie ; elle converge donc vers et on en déduit 4°.
Si a A et a 1, on a a – a a² – a, si bien que l’intervalle
J = [ ]0, a – a est stable par l’application réciproque g de
f : g(y) = (a – y²)2 – a. Comme g est décroissante, la m-ième image J
m = gm(J) est
l’ensemble de points situés entre cm – 1
et cm
, avec c0 = 0, c
m = (a – c²
m – 1)2 – a ;
si on prend u0 dans J
m , alors la suite (un) est définie jusqu’à n = 2m ; pour que
la suite (un) soit partout définie, il faut et il suffit que u0 soit dans
m IN
Jm
= [’, ’] où ’ = limn +
(c2m
), ’ = limm +
(c2m + 1
) ;
en effet, comme g est décroissante, les suites (c2m
) et (c2m + 1
) sont respectivement
croissante et décroissante, et bornées. On a
g(’) = ’
&
g(’) = ’
et, par suite,
f(’) = ’
&
f(’) = ’
Si a est dans
1, 5
4, alors nécessairement ’ = ’ = ; donc la suite (un) n’est
définie que si u0 = ; on en déduit le 2°.
Si 5
4 < a A, l’intervalle [, ] vérifie f([, ]) = [, ] donc g([, ]) = [, ] ; on a
donc [, ] [’, ’], comme f n’a qu’un doublet, on a ’ = et ’ = . On en
déduit 3° c). Le 3° b) est immédiat.
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Donc, toujours si 5
4 < a A, la suite (un) est définie si, et seulement si, u
0 est
dans [, ] ; prenons u0 dans ], [, et vérifions 3°a), ce qui revient à montrer que
u2n
.
Utilisons pour cette dernière question la fonction h = f ° f – Id : x f(f(x)) – x,
définie sur [, ]. Cette fonction s’annule en , , et seulement en ces points ; elle a
donc un signe constant sur ], [ et sur ], [ ; on a f’() = – 1
4 a + ; comme
a = ² + + 1,
on a
f’() = – 1
4( + 1) = –
1
4(a – 1)
et
0 > f’() > – 1 car a > 5
4 .
Donc, h’() = f’(²) < 0 et il en résulte immédiatement,
h > 0 sur ], [ si u0 ], [
&
h < 0 sur ], [ si u0 [, [
alors f[f(u0)] = u
4 u
0 car h(u
0) 0 (resp. u
4 u
0) et la suite (u
4n) est
croissante (resp. décroissante) donc u4n
↗ ’’ avec < ’’ (resp. u4n
↘ ’’
avec ’’ < ) ; comme ’’ (resp. ’’) est un point fixe de f f , c’est un zéro
de h, et ’’ = . Le résultat voulu vient immédiatement et la preuve est complète.
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Cet Exercice respire, et est modelé comme un souffle. _ Soit n un entier naturel. Calculer
le maximum du produit :
∏ 0 k < l n + 1
x
l – x
k/ 0 = x
0 < x
1 < … < x
n + 1 = 1
Tâchons de toujours garder un morceau de ciel au-dessus de notre vie.
Ce précieux conseil m’est donné par ma voix intérieure, en soliloquant. Et ce
« morceau de ciel » qu’elle m’intime de garder, c’est justement ce qui pourra me
préserver de la violente réalité, ce qui me permettra de conserver ma « jolie âme ».
Ce que me suggère en fait ma voix intérieure, c’est de garder une porte ouverte sur
l’imaginaire... Essayons de comprendre comment elle se construit au travers de
l’écriture mathématique.
Que signifie donner conseil ? Cela veut dire : préméditer quelque chose, y pourvoir
d’avance et par là faire qu’elle réussisse. De ce fait cette voix règne partout où les
hommes produisent quelque chose, mettent au jour quelque chose, la mènent à
bonne fin, mettent en œuvre, agissent et font.
Ma réponse : La démonstration Mathématique est une ruche de marbre vers laquelle les
concepts se pressent en tourbillonnant. Le temps de la résolution revient, bien qu’enseveli, il
est pourtant là, au milieu de nous, approché, coudoyé, palpé, immobilisé, au soleil. J’aimerais
dire, tranquillement, que chacun de nous – à condition de travailler sérieusement – peut
désormais pouvoir arrêter le soleil.
La réponse est Mn où Mn est tel que
Mn
2 =
{ }112233 … nn
2
(n + 1)n + 1
(n + 2)n + 2
2(n + 1)(n + 2)
113
3 … (2n + 1)
2n + 1 ,
ou encore
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M0 = 1
Mn
Mn – 1
2
= nn(n + 2)
n + 2
4n + 1
(2n + 1)2n + 1
M1 =
1
4
M2 =
1
25 5
M3 =
3 3
(16.73 7)
etc…
L’étude est assez longue et je vais la séparer en plusieurs étapes.
1° _ Soit D la partie de IRn dont les éléments sont les (x
1, … , x
n) tels que
0 x1 x
2 … x
n 1.
Soit F l’application de D dans IR définie par (x0 = 0, x
1 = 1) :
F(x1, … , x
n) = ∏ { }x
j – x
i / 0 i < j n + 1 .
Alors F est continue sur le compact D, donc F atteint sa borne supérieure Mn.
Tout n-uplet (x1, … , x
n) tel que
F(x1, … , x
n) = Mn
vérifie évidemment
0 < x1 < x
2 < … < x
n < 1,
c’est-à-dire qu’il est intérieur à D. Comme F est C 1, un tel point est un point
critique de F.
Dans le 3° je montrerai que F a au plus un point critique, il en résultera alors sans
réciproque que ce point est le seul où F atteint son maximum.
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2° _ Dans l’anneau K [X1, … , X
n] notons
k le polynôme symétrique élémentaire
de degré k, k( X
i) le polynôme symétrique élémentaire de degré k du sous-
anneau K [X1, … , X
i, … , X
n] obtenu à partir de K [X
1, … , X
n] par suppression de
l’indéterminée Xi, notons aussi k ( X
iXj ) (i j) le polynôme symétrique
élémentaire de degré k du sous-anneau K [X1, … , X
i, … , Xj , …, X
n].
En dénombrant les occurrences de chaque monôme, on montre aisément les
formules :
k ( X
i) =
k ( X
iXj ) + Xjk – 1
( Xi
Xj ) (i j)
i = 1
n
k ( X
i) = (n – k)
k
i = 1
n
Xik ( X
i) = (k + 1)
k
1 i < j n
k ( X
iXj ) = C
2
n – k
k
i j
Xik ( X
iXj ) = (k + 1)(n – k – 1)
k + 1
i < j
XiXjk( X
iXj ) = C
2
k + 2
k + 2.
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3° _ Soit (x1, … , x
n) un point critique de F. Alors on a, pour i = 1, 2, …, n,
0 = 1
F F
xi
= j = 0, j i
n + 1
1
xi – x
j
= 2 x
i – 1
xi( x
i – 1)
+ j = 1, j i
n
1
xi – x
j
.
Multiplions par xi( x
i – 1)
k( x
i) et ajoutons membre à membre :
0 = 2 i = 1
n
xi
k( x
i) –
i = 1
n
k( x
i) +
i j
(xi² – x
i)
k( x
i)
xi – x
j
= 2(k + 1) k + 1
– (n – k) k +
1 i j n
(xi² – x
i)
k( x
i) – (x
j² – x
j)
k( x
j)
xi – x
j
Remplaçons
k( x
i) par
k( x
ixj ) + x
j
k – 1( x
ixj )
k( xj ) par
k( x
ixj ) + x
i
k – 1( x
ixj ) ;
le numérateur précédent devient
(xi – x
j) [(x
i + x
j – 1)
k( x
ixj ) + (x
i x
j)
k – 1( x
ixj )]
et il vient finalement (grâce aux formules du 2°,
0 = 2(k + 1)k + 1
– (n – k) k + (k + 1)(n – k – 1)
k + 1 – C
2
n – k
k + C
2
k + 1
k + 1,
soit
(k + 1)(2n – k + 2) k + 1
= (n – k)(n – k + 1) k.
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Comme 0 = 1, cette formule détermine de façon unique les
k, donc les x
i à
l’ordre près et la condition x1 < x
2 < … < x
n entraîne l’unicité du point critique de
F.
4° _ Pour n fixé, posons
S(x) = j = 1
n
(x – xj) = xn –
1xn – 1 +
2xn – 2 – …. + (– 1)
nn =
j = 0
n
ajxj,
(x1 , x
2 , … , x
n) étant l’unique point déterminée au 3°.
La relation entre k et
k + 1 donne facilement, pour j = 0, 1, …, n – 1,
(n – j)(n + 3 + j) aj + (j + 1)(j + 2)a
j + 1 = 0,
ce que l’on peut généraliser à j = n, n + 1, … en posant an + 1
= an + 2 = … = 0 ;
d’où
– j = 0
+
j(j – 1) ajxj – 4
j = 0
+
j ajxj +
+ n(n + 3) j = 0
+
ajxj +
j = 0
+
j (j + 1)aj + 1
xj + 2 j = 0
+
(j + 1)aj + 1
xj = 0,
soit
x(1 – x)S’’(x) + (2 – 4x)S’(x) + n(n + 3)S(x) = 0.
Cette équation différentielle détermine le polynôme S à un facteur près.
Posons
H(x) = x(x – 1)S(x) = j = 0
n + 1
(2x – xj);
alors on obtient
x(x – 1)H’’(x) – (n + 1)(n + 2)H(x) = 0.
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5° _ Introduisons le polynôme de Legendre relativement au segment [0, 1]:
Qn(x) =
1
n! d
n
dxn[xn(x – 1)n].
Alors
* Qn est de terme dominant C
n
2nxn ;
* Qn(1 – x) = (– 1)
n Q
n(x) ;
* Qn(1) = 1 ;
* pour m n,
0
1
Q
m(t) Q
n(t)dt
1 = 0 ;
* pour n 1, (n + 1)Qn + 1
(x) – (2n + 1)(2x – 1) Qn(x) + nQ
n + 1(x) = 0 ;
* x(x – 1) Q’’n(x) + (2x – 1) Q’
n(x) – n(n + 1)Q
n(x) = 0,
soit
[x(x – 1) Q’n(x)]’ = n(n + 1)Q
n(x).
En posant
Rn(x) = 1
n! d
n – 1
dxn – 1[xn(x – 1)n] =
0
x
Q
n(t)dt
1,
on obtient
x(x – 1)R’’n(x) = n(n + 1)Rn(x).
On sait alors que H est proportionnel à Rn + 1
.
Précisons ce polynôme Rn + 1
, qui est de degré n + 2.
Si P est de degré au plus n – 1, on a avec P* une primitive de P,
0
1
R
n + 1(t)P(t)
1 dt = –
0
1
Q
n + 1(t)P*(t)
1 dt = 0
Il en résulte que, dans la base orthogonale (Q0, Q
1, …, Q
n + 2)
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relativement au produit scalaire : (P|Q) =
0
1 P(t)Q(t)
1 dt , on a
Rn + 1
Vect (Qn + 2
, Qn + 1
, Qn).
En utilisant
Rn + 1
(1 – x) = (– 1)n Rn(x),
Rn + 1
(1) = 0, et les termes dominants, on obtient
Rn + 1
(x) = 1
4n + 6 { }Q
n + 2(x) – Q
n(x) =
1
2n + 4 [(2x – 1) Q
n + 1(x) – Q
n(x)].
6° _ Notons C(P) le coefficient dominant du polynôme P. On a
Mn
2 = ∏ { }(x
j – xi)
2/ 0 i < j n + 1 = (– 1) C
2n + 2 R(H,H’) où R(H,H’) est le
déterminant de Sylvester des polynômes H et H’.
Rappel : Si d°P = p et d°Q = q, leur déterminant de Sylvester R(P, Q) est le
déterminant, dans la base
(xp + q – 1
, xp + q – 2
, … , x, 1)
de
(xq – 1P, xq – 2P, … , P, xp – 1Q, xp – 2
Q, … , 1).
Si on note 1………q les racines de Q on a
R(P, Q) = (– 1)pq
c(Q)p k = 1
q
P(k)
Ici R Qn + 1
Qn) = c (Q
n)n + 1
k = 1
n
Qn + 1
(k) (les
k étant les racines de Q
n).
R(Qn, Q
n – 1) = c(Q
n)n – 1
k = 1
n
Qn – 1
(k).
Or
Ne pas reculer devant la grande métaphore de l’avenir : cette alliance incroyable entre la poésie et les Mathématiques
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Quelques exercices de théorie élémentaire d’Analyse Mathématique
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30
Qn – 1
(k) = –
n
n + 1 Q
n – 1(
k),
donc
R(Qn + 1
, Qn) = (– 1)
n n
(n + 1)n c (Q
n)2 R(Q
n, Q
n – 1)
ce qui donne finalement, avec
R(Q1, Q
0) = 1
R(Qn + 1
, Qn) = (– 1)
n(n +1)/2
n!
(n + 1)n [c(Q
1) (Q
2) …c(Q
n)]²
On a ensuite, par un calcul voisin,
R(Rn + 1
, R’n + 1
) = R(Rn + 1
, Qn + 1
) = (– 1)
n + 1
2n + 1
(n + 2)n + 1
c(Qn + 1
)2R(Q
n + 1, Q
n)
= (– 1)(n + 1)(n +2)/2
n!
2n + 1
(n + 2)n + 1
(n + 1)n [c(Q
1) … c(Q
n)c(Q
n + 1)]
2
De plus
c(Rn + 1
) = 1
n + 2 c(Q
n + 1).
Donc
Mn
2 = (– 1)
(n + 1)(n +2)/2 R(H, H’) =
(– 1)(n + 1)(n +2)/2
c(Rn + 1
)2n + 3 R(R
n + 1, R’
n + 1)
= n!(n + 2)
n + 2
(n + 1)n 2
n + 1 [c(Q
1) … c(Q
n)]2
c(Qn + 1
)n + 1
= n!(n + 2)
n + 2
(n + 1)n 2
n + 1 [C
1
2C
2
4 …. C2
2n]2
Cn + 1
2n + 2
2n + 1 .
En simplifiant, on obtient le résultat annoncé ci-dessus.
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Exercice _ On considère l’équation x = tg x dont l’unique racine dans
n, n +
2
est notée an (n IN*). On pose n =
1
n +
2
. Existe-t-il une série entière p = 0
+
cpzp
telle que na
n =
p = 0
+
cp
2p
n ? Quel est son rayon de convergence ?
Cet exercice me fait dire que la pensée, n’est rien sans quelque chose qui force à penser, qui fait
violence à la pensée
Le véritable savoir repose dans l’expérience de la découverte et de la redécouverte,
une plongée dans l’inconnu où les limites de l’horizon restent toujours à chercher, à
inventer, à aimer, justement parce qu’elles se dérobent et accordent ainsi à l’être
humain sa liberté.
Ma réponse : Des preuves, oui, des preuves. L’art de la démonstration est l’un des plus
difficiles, il demande une grande virtuosité.
1° _ Il existe effectivement une série entière de rayon de convergence R’ > 0 telle que
(1) na
n =
p = 0
+
cp
2p
n.
Il est fort probable que ce résultat et la valeur de R’ se trouvent dans la littérature
mathématique. Dans l’ouvrage Tables of function de E. JAHNKE et F. EMDE (Dover
Publications) addenda page 30, on trouve la formule (avec d’autres notations)
na
n = 1 –
n² –
2
3
n4 –
13
15
n
6 –
146
105
n8 – …
sans aucune autre précision.
Pour montrer l’existence de la série (1), posons
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an =
n + 1
2 –
n ;
on sait que limn +
n = 0.
On a
n + cotg
n =
1
n
,
ce qui s’écrit aussi
(2) n(
n² +
ncotg
n) =
n.
Considérons l’équation à l’inconnue y
(3) x(y² + y cotg y) = y,
la fonction y y² + y cotg y étant prolongée par 1 en 0. Le théorème des
fonctions implicites nous donne l’existence d’une solution non nulle, unique,
x y définie dans un voisinage de 0 et telle que y = 0 pour x = 0. Cette
fonction est impaire et, si on trouve quelle est développable en série entière,
(4) y = p = 0
+
bp x
2p + 1
de rayon de convergence R’ > 0, on aura
na
n = 1 –
p = 0
+
bp
n2p + 2 pour
n < R’.
2° _ Étude de l’équation
(5) x f(y) = y
où f est développable en série entière
f(y) = n = 0
+
dnyn
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de rayon de convergence R > 0 et d0 0. Le théorème des fonctions implicites
donne l’existence d’une solution unique y = g(x) définie dans un voisinage de 0
et telle que g(0) = 0. Posons a priori
(6) g(x) = n = 1
+
enxn,
un calcul formel donne par identification dans (5)
e1 = d0
e2 = d1 e1 = d
0 d1
e3 = d1 e
2 + d
2 e1² = d
0 d1² + d
0² d
2
…
On constate facilement que
en = Pn( d
0, d1, … , d
n – 1)
où Pn est un polynôme à coefficients entiers > 0. Il reste à montrer que la série
obtenue est convergente.
Soit ]0, R[. On sait que la série n = 0
+
dnn est convergente, soit alors
M = sup
dnn/ n IN
et considérons l’équation auxiliaire à l’inconnue Y
x
n = 0
+
MYn
n = Y,
c’est-à-dire
Y² – Y + Mx = 0.
Cette équation a une racine et une seule qui tend vers 0 quand x tend vers 0, à
savoir :
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Y =
2
1 – 1 – 4M x
;
cette solution est développable en série entière de x
Y = n = 1
+
e’nxn
avec un rayon de convergence égal à
4M . Les coefficients peuvent s’obtenir
comme dans le cas de l’équation (5), c’est-à-dire
e’n = P
n
M, M
, … ,
M
n – 1
et comme Pn est un polynôme à coefficients positifs, on a
en
Pn
d
0, d1 , … , d
n – 1 P
n
M, M
, … ,
M
n – 1 = e’
n.
Ceci prouve que la série (6) a un rayon de convergence
4M .
Pour déterminer les coefficients en, on peut procéder par identification, ou utiliser
une formule due à Lagrange
en =
1
n!
d
n – 1
dxn – 1 {f(x)}
n
x = 0
dont je donne une démonstration au paragraphe 4°.
3° Application à l’équation x(y² + ycotg y) = y.
On sait (cf. N. BOURBAKI, Fonctions d’une variable réelle, chap. VI, § 2) que
z cotg z = 1 – 2 n = 1
+
S
2n
2n zn
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pour z < avec S2n
= k = 1
+
1
k2n .
On a donc
y² + ycotg y = 1 + 2
3 y² – 2
n = 2
+
S
2n
2n y2n pour y < .
On peut prendre ici M = 1, = 3
2 , alors la série (6) a un rayon de
convergence R’ 1
4
3
2 0,306…
Les coefficients bn peuvent s’obtenir par identification ou par la formule de
Lagrange ; on obtint ainsi :
nan = 1 – n² – 2
3 n
4 – 13
15
n6 –
146
105 n
8 – 781
315 n
10 …
Le coefficient n10 a été obtenu par la formule de Lagrange.
4° _ Utilisation des propriétés des fonctions analytiques.
La théorie des fonctions analytiques permet d’obtenir facilement les résultats
précédents. Soit f une fonction holomorphe dans le disque z < IR.
Considérons l’équation
F(z) = z – xf(z) = 0 avec f(0) 0.
Soit r ]0, R[, Cr le cercle z = r et D, le disque ouvert z < r. Soit x 0 tel
que
s(r) = sup
xf(z) < r/ z = r .
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Comme pour z = r, on a xf(z) < r, les équations z = 0 et F(z) = 0 ont le
même nombre de racines dans Dr, c’est-à-dire une seule, on note y celle de
F(z) = 0, donc xf(y) = y, comme x 0, f(0) 0, on a y 0.
La fonction z z[1 – xf’(z)]
f(z) a un unique pôle simple y dans D, et le résidu
correspondant est y, on a alors y = 1
2i
Cr
z[1 – xf’(z)]
z – xf(z) dz.
Pour z 0, on a
z[1 – xf’(z)]
z – xf(z) =
1 – xf’(z)
1 – x
z f(z)
= 1 + n = 1
+
{f(z)}
n
zn – f’(z){f(z)}
n – 1
zn – 1 xn.
Grâce à la condition sur s(r), la série converge normalement sur le cercle Cr, on peut
intégrer terme à terme, et on a
y = n = 1
1
2i
Cr
{f(z)}
n
zn dz –
Cr
f’(z){f(z)}
n – 1
zn – 1 dz xn.
On a
1
2i
Cr
{f(z)}
n
zn dz = 1
(n – 1)!
d
n – 1
dzn – 1 [f(z)]
n z = 0
et pour n 2
1
2i
Cr
f’(z){f(z)}
n – 1
zn – 1 dz =
1
(n – 2)!
d
n – 2
dzn – 1 f’(z){f(z)}n – 1
z = 0
= 1
n(n – 2)!
d
n – 1
dzn – 1 {f(z)}
n
z = 0
.
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37
Dans le développement de y, le coefficient de xn est
1
(n – 1)! –
1
n(n – 2)!
d
n – 1
dzn – 1 {f(z)}
n
z = 0
= 1
n!
d
n – 1
dzn – 1 {f(z)}
n
z = 0
= 1
2in
Cr
{f(z)}
n
zn dz,
résultat valable pour n = 1. On a donc
y = n = 1
+
1
n!
d
n – 1
dzn – 1 {f(z)}
n
z = 0
.
Ces résultats sont valables si
x < r
sup
f(z) / z = r .
Dans le cas où f(z) = z² + z cotg z, on a pour 0 < r <
r
sup
f(z)/ z = r =
1
sup
z + cotg z / z = r ;
la fonction z 1
sup
z + cotg z / z = r est continue sur ]0, [, elle tend vers 0
quand r tend vers 0 ou , elle admet donc un maximum atteint pour un r1 ]0, [
et la série donnant y converge si
x < 1
sup
z + cotg z / z = r1
.
La détermination de sup
z + cotg z / z = r n’a pas été entreprise. En écrivant que
z + cotg z z + cotg z on obtient que R’ > 0, 4356.
Nota _ Pour l’étude du développement en séries entières des fonctions implicites et
la formule de Lagrange, on pourra consulter le cours d’Analyse mathématique de
E GOURSAT, tome 1 chap. IX, § IV et tom II, chap. XIV, § III.
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Exercice _ Soit x un réel strictement supérieur à 1. Montrer que
n = 1
+
1
xn – 1 =
n = 1
+
xn + 1
xn2 (xn – 1)
et que
n = 1
+
1
xn + 1 =
n = 1
+
(– 1)
n – 1(x2n + 1)
xn2( x2n – 1)
.
De quoi s’agit-il, au fond ? De la poésie, bien sûr. Rien que de la poésie. De quel
éclair ces sommes infinies sont-elles la jouissance ? demandez-vous. Eh bien, de ce
qui advient poétiquement.
Mais encore ? Le fait qu’il puisse y avoir ce rapport entre la convergence, les familles
dénombrables et les familles sommables, en pleine culture, mathématique – l’air de
l’Analyse Mathématique, vous l’avez dans sa musique et dans sa construction – vous
sentez que les gens qui ont créé, cette discipline, ont respiré d’une certaine façon,
marché d’une certaine façon, navigué d’une certaine façon.
Voilà, c’est à la fois extrêmement vif, comme nature, et fabuleux, comme culture. Les
deux, à égalité.
Ma solution : L’objet de la Mathématique est de nous apprendre à lire. Les démonstrations
viennent de la solitude, du silence, de l’inavouable, d’une ombre mobile et jalousement
protégée. De quoi est-il question dans cette résolution ? De la danse des concepts, de leur
corps, du rythme. Et de ce qui les « porte » : la démonstration en tant qu’elle « donne forme »,
poétiquement.
Quand je rédige un exercice mathématique, je m’en sers pour parler plus loin. J’essaye
toujours de montrer qu’on ne voit un concept que si on est capable de le verbaliser. Je ne
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cherche pas qu’à mathématiser, je cherche aussi à dire, je ne cherche pas qu’à faire, je cherche
aussi à dire.
La convergence des séries est immédiate. On écrit pour x > 1 :
1
xn – 1 =
1
xn 1
1 – 1
xn
= 1
xn k = 0
+
1
xkn = p = 1
+
1
xpn
ce qui donne
F(x) = n = 1
+
1
xn – 1 =
n = 1
+
p = 1
+
1
xpn .
De la même façon, on a
G(x) = n = 1
+
1
xn + 1 =
n = 1
+
p = 1
+
(– 1)
n – 1
xpn .
Ces dernières expressions nous incitent à considérer les familles dénombrables
suivantes :
suivantes : a = {a
n, p / (n, p) R}
b = {bn, p
/ (n, p) R}
avec
R = IN* IN*
an, p
= 1
xpn et bn, p
= (– 1)
n – 1
xpn a et b sont des familles sommables car toutes les
sommes ∑ an, p
et ∑ bn, p
où (n, p) parcourt un sous-ensemble fini de R, sont
majorées par F(x).
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Il s’agit maintenant de sommer convenablement a et b.
On a
(1) F(x) = n = 1
+
an, n
+ T(a)
avec
T(a) = (n, p) R
(an, n + p
+ an + p, n
).
Preuve _ Notons D = {(m, m)/ m IN*} la diagonale de R et = R\D.
D et constituent une partition de R, donc, a étant sommable, on a
F(x) = (n, p) D
an, p + (n, p)
an, p.
On a
(n, p) D
an, p = n = 1
+
an, n
= n = 2
+
p = 1
n – 1
an, p + n = 1
+
p = n + 1
+
an, p
a étant sommable, on voit, à l’aide d’un schéma par exemple, que
x
y
o A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
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n = 2
+
p = 1
n – 1
an, p = p = 1
+
n = p + 1
+
an, p.
Donc
(n, p)
an, p = n = 1
+
p = n + 1
+
(an, p + ap, n
) = n = 1
+
p = 1
+
(an, n + p
+ an + p, n
).
Ceci établit (1).
On a aussi, bien sûr
(2) G(x) = n = 1
+
bn, n + T(b).
Calculs de T(a) et T(b).
On a
T(a) = 2 (n, p) R
1
xn(n + p) = 2
n = 1
+
1
xn2 p = 1
+
1
xpn = 2 n = 1
+
1
xn2( xn – 1)
.
T(b) = (n, p) R
(– 1)
n – 1 + (– 1)
n + p – 1
xn(n + p) =
n = 1
+
(– 1)
n – 1
xn2 p = 1
+
1 + (– 1)
p
xnp .
= n = 1
+
(– 1)
n – 1
xn2 p = 1
+
2
x2pn = 2 n = 1
+
(– 1)
n – 1
xn2( x2n – 1)
On achève les calculs par (1) et (2).
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42
F(x) = n = 1
+
1
xn2 + 2 n = 1
+
1
xn2( x2n – 1)
= n = 1
+
xn + 1
xn2( xn – 1)
.
G(x) = n = 1
+
(– 1)
n – 1
xn2 + 2 n = 1
+
(– 1)
n – 1
xn2(x2n – 1)
= n = 1
+
(– 1)
n – 1 (x2n + 1)
xn2( x2n – 1)
.
L’essentiel de ce travail, est de mettre les outils dont je dispose au service de la
plus grande précision possible.
Je n’ai jamais proposé d’explication, ni posé de question qu’il n’y ait eu d’abord un
problème. Et, dès le moment où vous amenez transparence et clarté dans un exercice,
l’explication est probablement bonne ; ce qui était impossible à expliquer s’éclaire.
Ces résultats sont fidèles au but que je m’étais fixé : sculpter toute une information
opulente dans un noyau de cerise.
Le lecteur pourra trouver autant d’invitations à la lecture des jalons de l’Analyse
Mathématique, dans les réponses des questions que m’ont suggérées des collègues…
À la recherche du réel perdu, telle est l’aventure. Ouvrez les livres, fréquentez les
bibliothèques, écoutez des musiques, essayez donc enfin de vivre les Mathématiques,
dialoguez avec les concepts, mathématisez tant que vous voulez, il n’est question que
de ça. Théorèmes, définitions, démonstrations, images, rigueur, précision, tout vient
de ce défi, de ce fleuve, cataractes d’audaces, chutes d’imaginations, bouillon de
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43
culture, frôlements d’idées, tourbillon de neurones, de théories, d’exposés,
d’abstraction, d’intuition, de mots, de concepts. Camps de rencontres, temples
d’amours. Donnez-moi une table de travail, n’importe laquelle, n’importe où,
quelques feuilles de papier, un crayon et un sujet qui suscite ma curiosité, le reste
s’ensuit nécessairement, la plus grande liberté ne peut pas ne pas être là, c’est
automatique. Aimez, ou ennuyez-vous : tel sera le choix.
Professeur de Maths, je n’ai d’autre intention que de répandre, autant que possible,
cette façon d’appréhender le monde, d’être une passerelle entre ceux qui savent et
ceux qui veulent apprendre. Le fond de l’affaire, c’est qu’avec un peu d’effort, un peu
de candeur, celle-là même qu’on perd en acquérant des préjugés, on est capable de
réfléchir et de s’intéresser à toutes les vérités. Amis lecteurs, au fur et à mesure de la
pratique, vous apprendrez vite que la qualité esthétique d’une résolution d’un
exercice reflète la qualité éthique de son auteur.
Une fois la cristallisation commencée, l’on jouit avec délices de chaque nouvelle
beauté que l’on découvre dans ce qu’on aime. Mais qu’est-ce que la beauté ? C’est
une nouvelle aptitude à vous donner du plaisir.
Pour découvrir la nature de la beauté des équations, il convient de rechercher quelle
est la nature des plaisirs de chaque individu.
La beauté que vous découvrez étant donc une nouvelle aptitude à vous donner du
plaisir, et les plaisirs variant comme les individus, la cristallisation formée dans la
tête de chaque homme doit porter la couleur des plaisirs de cet homme. La
cristallisation de la formule mathématique d’un théoricien, ou sa BEAUTÉ, n’est
autre chose que la collection de TOUTES LES SATISFACTIONS de tous les désirs
qu’il a pu former successivement à son égard…
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44
Mais, n’oubliez surtout pas que : Maîtrise et enseignement n’ont pouvoir que d’inculquer.
De leur propre fond, ils ne tiennent aucun pouvoir.
De plus, il n’y a pas de Mathématique ni de publication sans exposition, souvent
dangereuse, à l’autre, sans face à face avec le concept. Je ne saurai jamais plus qui je
suis, où je suis, d’où je viens, où je vais, par où passer. Je m’expose à autrui, aux
étrangetés. Il faut bien un jour ouvrir la porte d’ombre, s’avancer vers les premiers
degrés, chercher une lumière pour se reconnaître dans les brouillards de l’ignorance
si épais qu’ils nous renvoient à cette forme de civilité qu’est l’humilité et nous
enseignent ce qu’il y a de légitime dans le désir des belles actions. Là, le chercheur du
graal expérimente le dur, l’extérieur, l’objectif. Jaillissent hors des abysses, boîtes
noires fondatrices, les théorèmes, beaux, les définitions, subtiles, les objets ouvrés,
notre temps et notre vie, ressuscités. J’espère que la lumière artificielle et normative
d’une vérité stable sur mon propre travail ne m’a pas aveuglé au point de me faire
perdre de vue que l’essentiel était dans le mouvement, dans la nécessité organisatrice
dont on éprouve la loi quand les notes prises au hasard trouvent d’elles-mêmes leur
place et produisent une mélodie.
Théo Héikay/pdf
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