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FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)1)OF)36)
! ∙ #$ =&
'(
) ∙ #$ = 0
! ∙ #+ = −#Φ. #/
) ∙ #+ = 0(1 + 0('(#Φ3 #/
!
MATHEMATICAL)METHODS)UNIT!2)CHAPTER)6)–)FUNCTIONS)AND)RELATIONS)
Key)knowledge)
•! The)key)features)and)properties)of)cubic)polynomials)functions)and)their)graphs) )
•! The) effect) of) transformations) of) the) plane,) dilation,) reflection) in) axes,) translation) and) simple)
combinations)of)these)transformations,)on)the)graphs)of)cubic)polynomials) )
•! The)definition)of)a)function,)the)concepts)of)domain,)coOdomain)and)range,)notation)for)specification)of)
the)domain)(including)the)concept)of)maximal,)natural)or)implied)domain),)coOdomain)and)range)and)rule)
of)a)function) )
Key)skills)
•! use)algebraic,)graphical)and)numerical)approaches,)including)the)factor)theorem)to)determine)
and)verify)solutions)to)equations)over)a)specified)interval)
•! sketch)by)hand)graphs)of)cubic)polynomial)functions,)in)factored)form,)including)cases)where)an)
4Oaxis)intercept)is)a)touch)point)or)a)stationary)point)of)inflection) )
CHAPTER 6 – SET QUESTIONS
EXERCISE!6.2:)FUNCTIONS)AND)RELATIONS) 1,)3,)4,)5,)7,)8,)10,)12,)16,)18)
EXERCISE!6.3:)THE)CIRCLE) 1,)2,)3c,)4,)5,)7ace,)8,)10,)12,)14,))
EXERCISE!6.4:)THE)RECTANGULAR)HYPERBOLA)AND)THE)TRUNCUS! 1,)3,)5,)7,)9,)11,)16,)17,)18,)21)
EXERCISE!6.5:)THE)RELATION)y2=x) 1,)3,)6,)7,)12ad,)13ad,)16,18,19)
EXERCISE!6.6:)OTHER)FUNCTIONS)AND)RELATIONS) 1,)3,)5,)7,)9,)12bd,)18ad,)21)
EXERCISE!6.7:)TRANSFORMATIONS)OF)FUNCTIONS! 1,)2,)3,)4,)5,)7,)9,)14,)17d,)18,)19)
)
MORE RESOURCES http://drweiser.weebly.com )
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)2)OF)36)
Table&of&Contents)
!
6.2!FUNCTIONS!AND!RELATIONS! 3)
DOMAIN!AND!RANGE! 3)FUNCTIONS) 3)
VERTICAL)LINE)TEST) 3)
WORKED)EXAMPLE)1) 3)
QUESTION)2) 4)
TYPE!OF!CORRESPONDENCE! 4)WORKED)EXAMPLE)2) 4)
QUESTION)4) 5)
FUNCTION)NOTATION) 5)
FORMAL)MAPPING)NOTATION) 6)
WORKED)EXAMPLE)3) 6)
QUESTION)6) 7)
6.3!THE!CIRCLE! 8)
EQUATION!OF!A!CIRCLE! 8)GENERAL)FORM)OF)THE)EQUATION)OF)A)CIRCLE) 8)
WORKED)EXAMPLE)4) 9)
SEMICIRCLES) 10)
THE)SEMICIRCLE) 10)
REGIONS) 10)
QUESTION)3AB) 10)
TANGENTS!TO!CIRCLES! 10)WORKED)EXAMPLE)6) 11)
6.4!THE!RECTANGULAR!HYPERBOLA!AND!THE!TRUNCUS! 12)
THE!HYPERBOLA! 12)DILATION)FROM)THE)XOAXIS ) 12)
VERTICAL)TRANSLATION) 12)
HORIZONTAL)TRANSLATION)AND)REFLECTION)IN)THE)XOAXIS13)
GENERAL!EQUATION!OF!A!HYPERBOLA! 13)WORKED)EXAMPLE)7) 14)
PROPER)RATIONAL)FUNCTIONS) 15)
FORMING)THE)EQUATION) 15)
WORKED)EXAMPLE)8) 15)
INVERSE)PROPORTION) 16)
WORKED)EXAMPLE)9) 16)
THE!GRAPH!OF!THE!TRUNCUS! 17)DILATION)AND)TRANSLATION) 17)
MODELLING!WITH!THE!HYPERBOLA!AND!TRUNCUS! 17)WORKED)EXAMPLE)11) 18)
QUESTION)10) 19)
6.5!THE!RELATION!Y2=X! 20)
THE!RELATION!Y2=X! 20)
TRANSFORMATIONS)OF)THE)GRAPH)OF)Y2=X) 20)
WORKED)EXAMPLE)12) 21)
DETERMINING)THE)RULE)FOR)THE)SIDEWAYS)PARABOLA) 22)
WORKED)EXAMPLE)13) 22)
THE)SQUARE)ROOT)FUNCTION) 23)
THE)GRAPH)OF)Y = X) 23)
VARIATIONS)OF)THE)BASIC)GRAPH) 23)
TRANSFORMATIONS)OF)THE)SQUARE)ROOT)FUNCTION) 23)
WORKED)EXAMPLE)14) 24)
QUESTION)5) 25)
DETERMINING)THE)EQUATION)OF)A)SQUARE)ROOT)FUNCTION
) 26)
WORKED)EXAMPLE)15) 26)
6.6!OTHER!FUNCTIONS!AND!RELATIONS! 27)
MAXIMAL!DOMAINS! 27)WORKED)EXAMPLE)16) 27)
INVERSE!RELATIONS!AND!FUNCTIONS! 28)THE)EQUATION)OF)THE)INVERSE) 28)
GRAPHS)OF)INVERSE)RELATIONS) 28)
NOTATION)FOR)INVERSE)FUNCTIONS) 28)
WORKED)EXAMPLE)17) 29)
CONDITION)FOR)THE)INVERSE)FUNCTION)F81)TO)EXIST) 29)
WORKED)EXAMPLE)18) 30)
THE!INVERSE!OF!X!CUBED ! 31)THE)GRAPH)OF)Y$=)XN,$N$=)1/3) 31)
WORKED)EXAMPLE)19) 31)
HYBRID!FUNCTIONS! 31)WORKED)EXAMPLE)20) 32)
WORKED)EXAMPLE)20)ON)THE)CAS) 32)
6.7!TRANSFORMATIONS!OF!FUNCTIONS! 33)
HORIZONTAL!AND!VERTICAL!TRANSLATIONS!OF!Y%= F(X) ! 33)WORKED)EXAMPLE)21) 33)
REFLECTIONS)IN)THE)COORDINATE)AXES) 34)
WORKED)EXAMPLE)21) 34)
DILATIONS)FROM)THE)COORDINATE)AXES) 34)
DILATION)FROM)THE)XOAXIS)BY)FACTOR)A) 35)
DILATION)FROM)THE)YOAXIS)BY)FACTOR)A) 35)
WORKED)EXAMPLE)22) 35)
COMBINATIONS)OF)TRANSFORMATIONS) 36)
WORKED)EXAMPLE)24) 36)
)
)) )
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)3)OF)36)
6.2&Functions&and&Relations&Domain!and!range!!
For)a)set)of)ordered)pairs)(4, <),)the)domain!is)the)set)of)all)the)4Ovalues)of)the)ordered)pairs)and)the)range!is)the)set)of)all)the)<Ovalues)of)the)ordered)pairs.)For)> = ? −2,4 , (1,5), (3,4)),)the)domain)is)
−2, 1, 3)and)the)range)is)4, 5).)For)both)D = ? (4, <):?< = 24$and)F = ? (4, <):?< ≤ 24$,)the)domain)is)H$and)the)range)is)H.))
The) graph) of) any) polynomial) relation) normally) has) a) domain) of)H.) For) some) practical) situations,)
restrictions)have)been)placed)on)the)values)of)the)variables)in)some)polynomial)models.)In)these)cases,)
the)polynomial)relation)has)been)defined)on)a)restricted!domain.)A)restricted)domain)usually)affects)
the)range.)Set)notation)or)interval)notation)should)be)used)for)domains)and)ranges.))
Functions))
A)function!is)a)set)of)ordered)pairs)in)which)every)xOvalue)is)paired)to)a)unique)yOvalue.)No)two)ordered)pairs)of)a)function)can)have)the)same)xOcoordinate.))Vertical)line)test))
Functions)can)be)recognised)from)
their) graphs) by) the) vertical! line!test.) Any) vertical) line) which) cuts)the)graph)of)a) function)will)do)so)
exactly) once.) If) the) vertical) line)
cuts) the) graph) at)more) than) one)
place,) the) graph) is) not) that) of) a)
function.))
Worked)Example)1)
For)each)of)the)following,)state)the)domain)and)range,)and)whether)the)relation)is)a)function)or)not.))
a)! {(1,4), (2,0), (2,3), (5, −1)})))
)
)
b)! )
)
c)! {(4, <): < = 4 − 43} )
)
) )
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)4)OF)36)
Question)2)
Sketch)the)graph)of)y$=)−4x,)x$ )[−1,)3))and)state)its)domain)
and)range.))
Type!of!correspondence!!
Functions)and)relations)can)be)classified)according)to)the)correspondence!between)the)coordinates)of)their)ordered)pairs.)There)are)four)possible)types:))
)
Here)‘many’)means)more)than)one.)The)graph)of)a)function)is)recognised)by)the)vertical)line)test)and)
its)type)of)correspondence)is)determined)by)the)horizontal!line!test.))
Graphically,)the)type)of)correspondence)is)determined)by)the)number)of)intersections)of)a)horizontal)
line) (one)or)many)) to) the)number)of) intersections)of)a)vertical) line) (one)or)many))with) the)graph.)
Functions)have)either)a)oneOtoOone)or)manyOtoOone)correspondence,)since)their)graphs)must)pass)the)
vertical)line)test.))
Worked)Example)2)
Identify)the)type)of)correspondence)and)state)whether)each)
relation)is)a)function)or)not.))
a)! {(4, <): < = (4 + 3)(4 − 1)(4 − 6)})
< = (4 + 3)(4 − 1)(4 − 6)))4Ointercepts:)(−3, 0), (1, 0), (6, 0))<Ointercept:)(0, 18)The)graph)is)a)positive)cubic.)A)horizontal)line)cuts)the)graph)in)more)than)one)place.)A)vertical)line)cuts)the)
graph)exactly)once.)This)is)a)manyOtoOone)correspondence.)< = (4 + 3)(4 − 1)(4 − 6))is)the)equation)of)a)polynomial)function)with)a)manyOtoOone)correspondence.))
)
b)! {(1,3), (2,4), (1,5)}))x$=)1) is)paired)to)both)y$=)3)and)y$=)5.)The)relation)has)a)oneOtoOmany)
correspondence.) It) is) not) a) function.) A) horizontal) line) cuts) the) graph)
exactly)once. A)vertical)line)cuts)the)graph)in)more)than)one)place.)This)
is)a)oneOtoOmany)correspondence.))
)
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)5)OF)36)
Question)4)
a)! Sketch)the)graph)of)< = (4 − 2)M,)stating)its)domain,)
range)and)type)of)correspondence. )
)
)
)
)
)
b)! Restrict)the)domain)of)the)function)defined)by)< = (4 − 2)M)so)that)it)will)be)a)oneOtoOone)and)increasing)function.))
)
)
)
)
)
)
Function)notation))
The)rule)for)a)function:)<? = ?42)can)be)written)as)N(4) = 42.)This)is)read)as)‘f%of!x%equals!x2’.))
We) shall) also) refer) to) a) function)as)< = N(4),) particularly)when)graphing)a) function)as) the) set)of)ordered)pairs)(4, <))with)4$as)the) independent)or)explanatory)variable)and)y$as)the)dependent)or)response)variable.))
N(4))is)called)the)image!of)4$under)the)function)mapping,)For)N 4 = 42, N(2) = 22
?
= 4.)The)image)
of)2)under)the)mapping)f$is)4;)the)ordered)pair)(2, 4))lies)on)the)graph)of)< = N(4);)2)is)mapped)to)4)under)f:)these)are)all)variations)of)the)mathematical)language)that)could)be)used)for)this)function.))
The) ordered) pairs) that) form) the) function)with) rule)N(4) = 42,) could) be) illustrated) on) a)mapping)
diagram.))
Under)the)mapping,)every)xOvalue)in)the)domain is)mapped)to)its)square,)4? → ?42.))
For)example,)the)polynomial)function)has)a)domain)of)R$and)a)range)of)[0,∞),)(since)squared)numbers)are)not)negative).)The)set)of)all)the)
available) yOvalues) is) called) the) codomain.) Only) the) set) of) those) yOvalues) which) are) used) for) the) mapping) form) the) range.) For) this)
example,)the)codomain)is)R$and)the)range)is)a)subset)of)the)codomain)
since)[0,∞) ?⊂ ?H.))
The) mapping) diagram) also) illustrates) the) manyOtoOone)
correspondence)of)the)function)defined)by)<? = ?42.))
)
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)6)OF)36)
Formal)mapping)notation))
The)mapping)4? → ?42)is)written)formally)as:))
)
The)domain)of)the)function)must)always)be)specified)when)writing)functions)formally.))
We)will)always)use)R$as)the)codomain.)Mappings)will)be)written)as)f$:)D$→)R,)where)D$is)the)domain.)Usually)a)
graph)of)the)function)is)required)in)order)to)determine its)range.))
Note)that)f$is)a)symbol)for)the)name)of)the)function)or)mapping,)whereas)f(x))is)an)element)of)the)range)of)the)
function:)f(x))gives)the)image)of)x$under)the)mapping)f.)While)f$is)the)commonly)used)symbol)for)a)function,)
other)symbols)may)be)used.))
)
Worked)Example)3)
Consider)N:?H → H, N(4) = S + T4,)where)N 1 = 4)and)N(−1) = 6.))
a)! Calculate)the)values)of)a$and)b$and)state)the)function)rule.)b)! Evaluate)N(0).)c)! Calculate)the)value)of)4$for)which)N(4) = 0.)d)! Find)the)image)of)−5.)e)! Write)the)mapping)for)a)function)g$which)has)the)same)rule)as)N$but)a)domain)restricted)to)HU.) )
)
)
) )
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)7)OF)36)
Question)6)
Express)< = 42
?
− 64 + 10,)0 ≤ 4 < 7)in)mapping)notation)and)state)its)domain)and)range.))
) )
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)8)OF)36)
6.3&The&circle&&The)circle!is)an)example)of)a)relation)with)a)manyOtoOmany)correspondence.)A)circle)is)not)a)function.))
Equation!of!a!circle!!To)obtain)the)equation)of)a)circle,)consider)a)circle)of)radius)X$and)centre)at)the)point)F(ℎ, Z).))Let)[(4, <))be)any)point)on)the)circumference.)F[,)of)length)X,)is)the)radius)of)the)circle.))
Using)the)formula)for)the)distance)between)two)points:))
)
)
The)endpoints)of)the)horizontal)diameter)have)coordinates)(ℎ? − ?X, Z))and)(ℎ? + ?X, Z);)the)endpoints)of)the)vertical)diameter)are)(ℎ, Z? − ?X))and)(ℎ, Z? + ?X).)These)points,)together)with)the)centre)point,)are)usually)used)to)sketch)the)circle.)The)intercepts)with)the)coordinate)axes)are)not)always)calculated.))
)
The)domain)and)range)are)obtained)from)the)endpoints)of)the)horizontal)and)vertical)diameters.))
The)circle)with)the)centre)(ℎ, Z))and)radius)X$has)domain)[ℎ? − ?X, ℎ? + ?X])and)range)[Z? − ?X, Z? + ?X].))
If)the)centre)is)at)(0, 0),)then)the)circle)has)equation)4M + <M = XM,)with)domain)[−X, X])and)range)[−X, X].))
)
General)form)of)the)equation)of)a)circle))
The)general)form)of)the)equation)of)a)circle)is)the)expanded)form)of) 4 − ℎ M + < − Z M = XM.))
Expanding)gives)4M + <M − 2ℎ4 − 2Z< + ℎM + ZM − XM = 0.))
This)is)equivalent)to)4M + <M + S4 + T< + ] = 0))
where)S = −2ℎ, T = −2Z, ] = ℎM + ZM − XM,)
and) shows) that) three) pieces) of) information) are) needed) to) calculate)a,)b$ and) c$ in) order) to) determine) the)
equation.) )
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)9)OF)36)
Worked)Example)4)
a)! State)the)domain)and)range)of)the)circle)with)equation))
4 + 3 M + < − 2 M = 16)and)sketch)the)graph.)
(x+3)2 +(y−2)2 =16 Centre (−3, 2); radius 16 = 4 Domain: x ∈ [h − r, h + r] x ∈ [−3 − 4, −3 + 4]Therefore, the domain is [−7, 1]
Range: y ∈ [k − r, k + r] y ∈ [2 − 4, 2 + 4]Therefore, the range is [−2, 6]. Circle has centre (−3, 2) and contains the points (−7, 2), (1, 2), (−3, −2), (−3, 6).
b)! Find)the)centre,)radius,)domain)and)range)of)the)circle)with)equation)24M + 2<M + 124 − 4< + 3 = 0))
Divide)both)sides)by)2.)∴ 4M + <M + 64 − 2< + 3 2 = 0)
Group)the)terms)in)x$together)and)the)terms)in)y$together,)and)complete)the)squares.))
(4M + 64 + 9) − 9 + <M − 2< + 1 − 1 =3
2)
(4 + 3)M + < − 1 M =3
2+ 9 + 1)
(4 + 3)M + < − 1 M =17
2)
State)the)centre)and)radius.))
Centre)(−3,)1);)radius)`a
M= ?
bc
M,))
State)the)domain)and)range.))
Domain) −3 −bc
M, −3 +
bc
M,)Range) 1 −
34
2, 1 +
34
2)
Worked)Example)4a)on)the)CAS)
On)a)blank)graphs)page)c12))
Press).6(relation))
Type:)(4 + 3)2 + (< − 2)2 = 16?)
then)press)·
To)find)the)centre:)b691
Note:)to)reOsize)the)graph.)press)·41
After)finding)the)centre,)you)can)find)
the)domain)and)range)on)the)graph)
or)solve)for)them)
On)the)displayed)graph,)we)wish)to)find:))
The)domain)
Add)a)calculator)page)/~)
Enter)Solve((4 + 3)2 + (< − 2)2 = 16, 4)|< = 2,)
The)answer)is)the)domain:){4: −7 ≤ 4 ≤ 1})The)range)
Enter)Solve((4 + 3)2 + (< − 2)2 = 16, <)|4 = −3,)
The)answer)is)the)domain:) <:−2 ≤ < ≤ 6 )
)
On)the)graph:)
First)add)the)lines)4 − 3?and?< = 2)Then)press)b64)to)find)the)
intersections)
•! Choose)the)circle)and)< = 2)for)the)domain)
•! Choose)the)circle)and)4 = −3)for)the)range)
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)10)OF)36)
Semicircles))
The)equation)of)the)circle)4M + <M = XM)can)be)rearranged)to)make)<$the)subject.))
<M = XM − 4M?)
< = ± XM − 4M?)
)
The)semicircle)
< = + XM − 4M The)semicircle) is)a) function)with)a)manyOtoOone)correspondence.) It) is) the)top)
half)of)the)circle,)with)centre)(0, 0),)radius)X,)domain)[−X, X])and)range)[0, X].)The) domain) can) be) deduced) algebraically) since) XM − 4M) is) only) real) if)?XM − 4M ≥ 0.)From)this)the)domain)requirement)−X ≤ 4 ≤ X$can)be)obtained.For)the)circle)with)centre)(ℎ, Z))and)radius)X,)we)have:)
< = XM − 4 − ℎ M + Z)
Regions))
The)region)defined)by)4M + <M ≤ XM)could)be)determined)by)testing)if)(0, 0))satisfies)the)inequation. )
The) region) on) or) outside) the) circle) is) defined) by) the) inequation:)
4M + <M ≥ XM.))
Question)3ab)
a)! Sketch)the)graph)of)<? = ?−? 2? − ?4M,)stating)the)domain)and)range.))
)
b)! Sketch)(4, <): 44M?+ 4<M
?> 25). )
)
)
Tangents!to!circles!A) line)and)a)circle)can) intersect) in)2,)1)or)0)places.)The)coordinates)of)any)
points)of)intersection)are)found)using)simultaneous)equations.))
•! If! there!are 2!points!of! intersection,) the) line) is) called)a)secant; a) line)
segment)joining)these)points)is)called)a)chord.))•! If!there!is!exactly!1!point!of!intersection,)the)line)is a)tangent!touching)
the)circle)at)that)point)of)contact.)This)tangent)line)is)perpendicular)to)the)
radius)drawn)to)the)point)of)contact.))
The)gradient)of)the)tangent)and)the)gradient)of)the radius)drawn)to)the)point)
of)contact)must)satisfy)the)relationship)pqSrstrq
?
×?pXS#1vw
?
= ?−1.)
Other)coordinate)geometry)formulae)may)be)required)to)determine)the)equation)of)a)tangent)or)to)calculate)
the)length)of)a)segment)of)the)tangent.)
FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)11)OF)36)
Worked)Example)6)For)the)circle)with)equation)("# − #1)2
#
+ #)2
#
= #5,)determine:))a)! the)equation)of)the)tangent)at)the)point)(2, 2))on)the)circumference)of)the)circle))b)! the)length)of)the)tangent)drawn)from)the)point)(−4, −5))to)its)point)of)contact)with)the)circle,)..))c)! the)number)of)intersections)the)line)) + 3" + 4 = 0)makes)with)the)circle.))
)
)
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