Mathematik beschreibt die Weltwieners/Mittwoch.pdf · Mathematik beschreibt die Welt Willy...

Mathematik beschreibt die Welt

Willy Dörfler und Christian Wieners

Universität Karlsruhe (TH)Forschungsuniversität · gegründet 1825

Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Mathematik berechnet die Welt

Willy Dörfler und Christian Wieners

Universität Karlsruhe (TH)Forschungsuniversität · gegründet 1825

Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Gauß und Ceres

Carl Friedrich Gauß (1777–1855)

Der Kleinplanet Ceres im Asteriodengürtel zwischen Mars und Jupiter wurdeerstmals am 1. Januar 1801 von Giuseppe Piazzi beobachtet. Bis zum11. Februar konnte er 24-mal seine Position bestimmen, bevor seineUmlaufbahn von der Sonne verdeckt wurde. Danach ist es ihm nichtgelungen, Ceres wieder zu finden. Piazzis Beobachtungen wurden imSeptember 1801 veröffentlicht.

Carl Friedrich Gauß konnte aus den Beobachtungsdaten die Umlaufbahnhinreichend genau bestimmen. Fast genau an der vorhergesagten Positionwurde Ceres am 31. Dezember 1801 von Franz Xaver Zachund Heinrich W. M. Olbers wieder entdeckt.

Gauß und Ceres

Carl Friedrich Gauß (1777–1855)

Der Kleinplanet Ceres im Asteriodengürtel zwischen Mars und Jupiter wurdeerstmals am 1. Januar 1801 von Giuseppe Piazzi beobachtet. Bis zum11. Februar konnte er 24-mal seine Position bestimmen, bevor seineUmlaufbahn von der Sonne verdeckt wurde. Danach ist es ihm nichtgelungen, Ceres wieder zu finden. Piazzis Beobachtungen wurden imSeptember 1801 veröffentlicht.

Carl Friedrich Gauß konnte aus den Beobachtungsdaten die Umlaufbahnhinreichend genau bestimmen. Fast genau an der vorhergesagten Positionwurde Ceres am 31. Dezember 1801 von Franz Xaver Zachund Heinrich W. M. Olbers wieder entdeckt.

Kepler und die Ellipsen

Johannes Kepler (1571–1630)

Die erste mathematischen Beschreibung der Bewegung von Himmelskörpernwurde von Johannes Kepler entwickelt.

Erstes keplersches Gesetz. Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eineEllipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems.

Die Keplerschen Gesetze stellen die exakte Lösung des Zweikörperproblemsdar. Sie gelten exakt für Massenpunkte und für kugelsymmetrischeHimmelskörper, wenn außer der Gravitation alle weiteren Kräftevernachlässigt werden.

Mathematische Beschreibung einer Ellipse

Die Ellipsengleichung. Die Punktmenge

E :={(x ,y) ∈ R2 :

a2 +y2

b2 = 1}

beschreibt eine Ellipse E in der x-y–Ebene um den Punkt (0,0) und durchdie Punkte (a,0) und (0,b).

Lösung der Ellipsengleichung

Problem. Es seien zwei Punkte (x1,y1) und (x2,y2) gegeben.Man bestimme a > 0 und b > 0 mit

a2 +y2

1b2 = 1 und

a2 +y2

2b2 = 1 .

Beobachtung. Kleine Änderungen an den Koordinaten (x1,y1) und (x2,y2)können große Änderungen in a und b ergeben.

Ziel. Man finde eine Methode zur Bestimmung der Ellipse, die bei ungenaugemessenen Daten trotzdem eine sinnvolle Näherung ergibt.

Definition. Eine Aufgabenstellung heißt gut konditioniert, wenn kleineÄnderungen an den Daten nur zu kleinen Änderungen der Lösung führen;sonst heißt sie schlecht konditioniert.Ein Algorithmus zur Lösung eines gut konditionierten Problems heißtgut konditioniert, wenn kleine Änderungen an den Daten nur zu kleinenÄnderungen der algorithmisch berechneten Lösung führen.

Lösbarkeit der Ellipsengleichung?

Problem. Es seien Punkte (xn,yn) für n = 1, ...,N gegeben.Man bestimme a > 0 und b > 0 mit

a2 +y2

nb2 = 1 für alle n = 1, ...,N .

Beste Approximation der Ellipse

Ausgleichs–Problem. Es seien Punkte (xn,yn) für n = 1, ...,N gegeben.Man bestimme a > 0 und b > 0, so dass die Summe der quadratischenAbweichungen minimal wird:

∑n=1

b2 −1

= min!

Lösung linearer Ausgleichsprobleme

Definiere

α =1a2 , β =

a11 =N

∑n=1

x2n x2

n , a12 = a21 =N

∑n=1

x2n y2

n , a22 =N

∑n=1

y2n y2

∑n=1

x2n , c2 =

∑n=1

Dann gilt

∑n=1

b2 −1

= a11α2 +2a12αβ +a22β

2−2c1α −2c2β −N .

Satz. Die Lösung des linearen Ausgleichsproblems berechnet sich aus derLösung des linearen Gleichungssystems

a11α +a12β = c1,

a21α +a22β = c2 .

C. F. Gauß (1809): Theoria Motus Corporum Coelestium

(... allgemeine Lösung mit Matrizen ...)9

Newton und die klassische Mechanik

Isaac Newton (1642–1727)

In der klassischen Mechanik wird die Bewegung einer Punktmasse m amPunkt xxx = (x ,y ,z) durch die Newtonschen Gesetze bestimmt.

Kraftgesetz: Masse m × Beschleunigung aaa = Kraft FFF .

Gravitationsgesetz: FFF (xxx) =−Gm M|xxx −yyy |3

(xxx −yyy).

Dabei ist G die Gravitationskonstante und M die Masse im Punkt yyy .

Euler und das Polygonzug–Verfahren

Leonhard Euler (1707–1783)

Die Bewegung wird durch einen Polygonzug xxx0, xxx1, xxx2, ... approximiert.Der Anfangszustand sei zum Zeitpunkt t = 0 bekannt:

Position xxx0, Geschwindigkeit vvv0.

Sei ∆t ein Zeitinkrement. Nun berechne für n = 1,2,3, ...

vvvn = vvvn−1 +∆tFFF (xxxn−1)

mxxxn = xxxn−1 +∆t vvvn

Hamilton und die Energieerhaltung

William Rowan Hamilton (1805–1865)

Die Gesamtenergie H(xxx ,vvv) = 12 m|vvv |2 +U(xxx) bleibt erhalten.

In der Regel geht die Energieerhaltung bei der Approximation verloren.

Verbessertes Schema: Man berechne für n = 1,2,3, ...

vvvn+1 = vvvn−1 +2∆tFFF (xxxn)

mxxxn+2 = xxxn +2∆t vvvn+1

Satz. (Hairer, Lubich, Wanner 1994)Es gilt |H(xxx(tn),vvv(tn))−H(xxxn,vvvn)| ≤ Ct für t < (∆t)−2.

Hamilton und die Energieerhaltung

William Rowan Hamilton (1805–1865)

Die Gesamtenergie H(xxx ,vvv) = 12 m|vvv |2 +U(xxx) bleibt erhalten.

In der Regel geht die Energieerhaltung bei der Approximation verloren.

Verbessertes Schema: Man berechne für n = 1,2,3, ...

vvvn+1 = vvvn−1 +2∆tFFF (xxxn)

mxxxn+2 = xxxn +2∆t vvvn+1

Satz. (Hairer, Lubich, Wanner 1994)Es gilt |H(xxx(tn),vvv(tn))−H(xxxn,vvvn)| ≤ Ct für t < (∆t)−2.

Das 3–Körper–Problem

Berechne die Bewegung von Punktmassen an den Positionen xxx1,xxx2,xxx3 undder Massen M1,M2,M3 im Gravitationsfeld.

Berechne für n = 1,2,3, ...

vvv1n+1 = vvv1

n−1−2∆t G(

|xxx2n −xxx1

n|3(xxx2

n −xxx1n)+

|xxx3n −xxx1

n|3(xxx3

n −xxx1n)

n+1 = vvv2n−1−2∆t G

|xxx1n −xxx2

n|3(xxx1

n −xxx2n)+

|xxx3n −xxx2

n|3(xxx3

n −xxx2n)

n+1 = vvv3n−1−2∆t G

|xxx1n −xxx3

n|3(xxx1

n −xxx3n)+

|xxx2n −xxx3

n|3(xxx2

n −xxx3n)

n+2 = xxx1n +2∆t vvv1

xxx2n+2 = xxx2

n +2∆t vvv2n+1

xxx3n+2 = xxx3

n +2∆t vvv3n+1

Eine analytische Lösung für das 3–Körper–Problem ist nicht möglich.

Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)

Zeitschrittweite ∆t Entfernung Satellit-Venus Differenz

24 Stunden 106.28 Millonen km

1.10 Millonen km12 Stunden 105.18 Millonen km

0.07 Millonen km90 Minuten 105.78 Millonen km

Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wennder Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet.

Herausforderung. Berechnung einer zuverlässigen Fehlerschranke.

Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt stabil, wennErhaltungsgrößen beschränkt bleiben.

Herausforderung. Konstruktion von konvergenten Näherungsverfahren,die effizient und stabil sind.

24 Stunden 106.28 Millonen km1.10 Millonen km

90 Minuten 105.78 Millonen km

Swing-by-Manöver

Beschleunigen: Kreuzen der Planetenbahn kurz hinter dem Planeten

Bremsen: Kreuzen der Planetenbahn kurz vor dem Planeten

Beispiel: Die NASA/ESA-Raumsonde Cassini-Huygens flog nach demStart am 15. Oktober 1997 zweimal an der Venus, einmal an der Erde sowieeinmal am Jupiter vorbei, bis sie durch diese Swing-by-Manöver genugEnergie hatte, ihr Ziel, den Saturn, am 1. Juli 2004 zu erreichen.

Swing-by-Manöver

Beschleunigen: Kreuzen der Planetenbahn kurz hinter dem Planeten

Bremsen: Kreuzen der Planetenbahn kurz vor dem Planeten

Beispiel: Die NASA/ESA-Raumsonde Cassini-Huygens flog nach demStart am 15. Oktober 1997 zweimal an der Venus, einmal an der Erde sowieeinmal am Jupiter vorbei, bis sie durch diese Swing-by-Manöver genugEnergie hatte, ihr Ziel, den Saturn, am 1. Juli 2004 zu erreichen.

Das N–Körper–Problem

Berechne die Bewegung von Punktmassen xxx = (xxxk )k=1,...,N im

Gravitationsfeld FFF k (xxx) =−G ∑j 6=k

|xxx j −xxxk |3(xxx j −xxxk ):

vvvkn+1 = vvvk

n−1 +2∆tFFF k (xxx)

xxxkn+2 = xxxk

n +2∆t vvvkn+1 .

Berechnung der Galaxien-verteilung im Weltall:Simulation der Bewegungvon 130 Millionen Partikelnseit dem Urknall vor 14 Mil-liarden Jahren

http://www.galaxydynamics.org

Das N–Körper–Problem

Berechne die Bewegung von Punktmassen xxx = (xxxk )k=1,...,N im

Gravitationsfeld FFF k (xxx) =−G ∑j 6=k

|xxx j −xxxk |3(xxx j −xxxk ):

vvvkn+1 = vvvk

n−1 +2∆tFFF k (xxx)

xxxkn+2 = xxxk

n +2∆t vvvkn+1 .

Berechnung der Galaxien-verteilung im Weltall:Simulation der Bewegungvon 130 Millionen Partikelnseit dem Urknall vor 14 Mil-liarden Jahren

http://www.galaxydynamics.org

Berechnungsfehler und Grenzen der Berechenbarkeit

Am 4. Juni 1996 explodierte kurz nach demStart die erste Ariane 5 Rakete durch einen Soft-warefehler.Die Horizontalgeschwindigkeit wurde durch eineGleitkommazahl

v ∈ [−10308,−10−308]∪{0}∪ [10−308,10308]

dargestellt.Innerhalb der Rechnung wurde die Zahl verse-hentlich in eine ganzzahlige Darstellung

i ∈ {0,1,2, ...,32767}

konvertiert.Als die Geschwindigkeit v > 32767 erreichte, ver-lor die Software die Geschwindigkeitsinformationund damit schließlich die Orientierung.

http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html

http://www5.in.tum.de/ huckle/bugse.html17

Am 25. Februar 1991 während des er-sten Golfkriegs in Dharan, Saudi Arabien, ver-fehlte eine amerikanische Patriot–Rakete eineanfliegende irakische Scud Rakete durch einefalsche Zeitberechnung.Eine 1/10 Sekunde wurde ungenau dargestellt(durch Rundungsfehler wurde die periodischeDualentwicklung

0.0001100110011001100110011001100....

in der Computerdarstellung zu

0.00011001100110011001100

abgeschnitten), so dass nach 100 Stunden Be-triebszeit eine Zeitdifferenz von ca. 0.3 Sekundenentstand. Dieser Fehler wurde nicht in allen Teilendes Betriebsprogramms korrigiert.

Am 23. August 1991 sank vor der norwegischenKüste die Ölbohrplattform Sleipner A, da an einerSchwachstelle die Konstruktion versagte.

Die Fehlerkontrolle in der Finite–Elemente–Berechnung der Statik war ungenügend, so dassdie Schwachstelle an einem Kreuzungspunkt vondrei Verstrebungen in der Planung nicht entdecktwurde.

Fehlerschätzung

Wie kann man solche Desaster verhindern?

Was ist genau passiert?

Beispiel

Wir betrachten eine elastischeFläche der Gestalt

Unter Belastung konzentrierensich die Spannungen

Fehlerschätzung

Wie kann man solche Desaster verhindern?

Was ist genau passiert?

Beispiel

Wir betrachten eine elastischeFläche der Gestalt

Unter Belastung konzentrierensich die Spannungen

Fehlerschätzung

Wir kennen dieses Phänomenaus der Elektrostatik(“Spitzenwirkung”).

Ein berechenbares Problem erhält man durch Diskretisierung, hier durch eineDreieckszerlegung (“Triangulierung”) des Gebietes.

Fehlerschätzung

Wir kennen dieses Phänomenaus der Elektrostatik(“Spitzenwirkung”).

Ein berechenbares Problem erhält man durch Diskretisierung, hier durch eineDreieckszerlegung (“Triangulierung”) des Gebietes.

Fehlerschätzung

Für abnehmende Dreiecksdurchmesser erhalten wir eine zunehmendbessere Annäherung an die tatsächliche Lösung.

1.5 2 2.5 3 3.5

−1.6

−1.4

−1.2

−0.8

log 10

Fehlerschätzung

Der Spitzeneffekt verschlechtert die Konvergenz!

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−2.6

−2.4

−2.2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−0.8

−0.6

log 10

SingulaerGlatt

Der Fehler für ein Problemohne Spitzeneffekt fälltviel schneller als für ein Problemmit Spitzeneffekt.

ABER: Wie können wir entscheiden, wann es genug ist?

Lösung:(1) Fehlerkontrolle(2) Lokale Gitterverfeinerung

Fehlerschätzung

Der Spitzeneffekt verschlechtert die Konvergenz!

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−2.6

−2.4

−2.2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−0.8

−0.6

log 10

SingulaerGlatt

Der Fehler für ein Problemohne Spitzeneffekt fälltviel schneller als für ein Problemmit Spitzeneffekt.

ABER: Wie können wir entscheiden, wann es genug ist?

Lösung:(1) Fehlerkontrolle(2) Lokale Gitterverfeinerung

Adaptive Finite Elemente Methode

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−0.8

log 10

Exakter Fehler (adaptiv)Gesch. Fehler (adaptiv)Exakter Fehler (uniform)

Quantitative Betrachtung. Ein Resultat mit Fehler TOL erfordert

Problem Gitter N ∼ TOL = 1% TOL = 0.1%

Singulär uniform TOL−3 N ∼ 106 N ∼ 109

Singulär adaptiv TOL−2 N ∼ 104 N ∼ 106

Gewinnfaktor 100 1000

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−0.8

log 10

Quantitative Betrachtung. Ein Resultat mit Fehler TOL erfordert

Problem Gitter N ∼ TOL = 1% TOL = 0.1%

Singulär uniform TOL−3 N ∼ 106 N ∼ 109

Singulär adaptiv TOL−2 N ∼ 104 N ∼ 106

Gewinnfaktor 100 100024

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−0.8

log 10

I Entwicklung des Konzeptes: ca. 1978I Konvergenz und Optimalität des Verfahrens 1996–2006

Theorem. Man kann den Fehler einer numerischen Lösung derartigerProbleme zuverlässig schätzen. Die Gesamtzahl der arithmetischenOperationen entspricht (im wesentlichen) der optimalen Anzahl.

Mathematik beschreibt die Weltwieners/Mittwoch.pdf · Mathematik beschreibt die Welt Willy...

Documents

AF2 Funktionsgraphen interpretieren - BASICS-Mathematik · 2019. 1. 31. · Begründe, warum dieser Graph die Situation nicht passend beschreibt. 7. Jan (A), Tobias (B) und Marc (C)

bit-wisem 2011-wieners sitzung-02 grundlagenII wieners · 2020. 5. 20. · TimSort (verwendet in V8) best case Komplexität: O (n) worst case Komplexität: O (n log n) Sortieralgorithmen

Modellierung und Berechnung von Flugplänen für Charterfluggesellschaften PG Air Seminararbeit März 2002 Jürgen Wieners

Mathematik an der Mathematik - ethz.ch · Mathematik Der Sprache der Natur auf der Spur Redaktion Kommunikation Departement Mathematik Gestaltung null-oder-eins Fotos ETH Zürich,

Mathematik am IfAM: Angewandte Mathematik, Numerische ... · • Numerik: Angewandte Mathematik = Mathematik, die Modelle entwickelt, die in den Computer eingegeben werden, um dann

Grundlagen Mathematik - 6. Komplexe Zahlenmatthies/Material/WiSe15/Kapitel6.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

FAKULTAT II¨ MATHEMATIK UND Institut fu¨r Mathematik · fakultat ii¨ mathematik und naturwissenschaften institut fu¨r mathematik benchmarks for strictly fundamental cycle bases

MATHEMATIK - studium.fb08.uni-mainz.de · 2 3 Warum Mathematik? Kurz gesagt: Ohne Mathematik geht gar nichts und mit Mathematik wird vieles einfacher. Mathematik ist die Grund-lage

Genial! Mathematik 4 - Schulbuch - Serviceteil mit Lösungen · Mathematik 4 – LösungenGenial! Mathematik 3 – Lösungen Genial! Mathematik 4 – Lösungen Bildungsstandards Erklärung

Bachelorstudiengang Mathematik Fakultät für Mathematik ......Fakultät für Mathematik Stand: November 2018 3 1 Studiengangsziele 1.1 Zweck des Studiengangs Mathematik ist längst

Modulhandbuch Mathematik · Modulhandbuch Mathematik – Bachelor und Master of Science Mathematik 2

Willy Dorfler, Stefan Findeisen and Christian Wieners€¦ · Willy Dorfler, Stefan Findeisen and Christian Wieners 1 Abstract.We introduce a space-time discretization for linear

Grundlagen Mathematik - 5. Integralrechnungmatthies/Material/WiSe15/Kapitel5.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

Mathematik für Informatik I - DHfPG€¦ · Mathematik für Informatik I – Diskrete Mathematik und Lineare Algebra - 1 - rev.25.002.000 Mathematik für Informatik I

combo - files.mschost.netfiles.mschost.net/zz-specs/5a48fcd360ea4_e5bf7c/combo.pdf · Beringer Wine Varieties $466 Leinen Beer ... Oscar Mayer Meat Wieners OZ. 31$5 21$5 WIENERS

Mathematik Vorkurs - Hochschule Konstanzbirkh/mathematik-vorkurs/VorkursSkript.pdf · Fakultät Elektrotechnik & Informationstechnik Prof. Birkhölzer Mathematik Vorkurs Mathematik

sdpra-t281.nodeboost.io · CSuperMax 1 CARNES 2/450 rap . . Pqtes. 47 Ideal Para BBQ WIENERS Oscar Mayer Clasic Wieners Pqte. 160z. . AhorraS2.30 Reg. pqte 97 pqte. Chuletas Ahumadas

Mathematik fur Ingenieure II¨ - Department Mathematik » Applied

B.Sc. Mathematik€¦ · B.Sc. Mathematik Stand: 18.05.2020 FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND INFORMATIK Modulhandbuch B.Sc. Mathematik. Inhaltsverzeichnis Pflichtmodule (Studieneingangsphase)

Sprechen oder Mathematik oder Sprechen und Mathematik · Institut für Mathematik und Angewandte Informatik Sprechen oder Mathematik oder Sprechen und Mathematik B. Schmidt-Thieme