Mathématiques et calcul 1er semestre - Paris...

Mathématiques et calcul1er semestre

Université Paris Descartes

22 septembre 2009

Paris Descartes Mathématiques et calcul 22 septembre 2009 1 / 79

CoursFrançois Patte

francois.patte@mi.parisdescartes.fr

Horaires :É Lundi 12h00 — 13h30 Amphi DelmasÉ Mardi 15h15 — 16h45 Amphi Weiss

http://www.mi.parisdescartes.fr/~pattelien : Enseignement

CoursFrançois Patte

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Calendrier

Vacances

1. du 25 octobre au 1er novembre2. du 20 décembre au 3 janvier 2010

Fin des cours et TD : 9 janvier 2010

Calendrier

Contrôles

3 contrôles :1. CC1 : mardi 20 octobre 17h — 18h302. CC2 : mardi 24 novembre 17h — 18h303. CC3 : semaine du 11 janvier. Heure et lieu à

préciser.

Note finale : E =CC1 +CC2 + 2CC3

Première partie I

Préliminaires

1 Un peu de logiqueVocabulaireConnecteurs logiques

2 Ensembles

3 Quantificateurs

4 Application

5 Dénombrements

Un peu de logique Vocabulaire

Assertion

Un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai oufaux.

Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France

Assertion vraie

É 2 < 7

Assertion vraie

É 3 est un nombre pair

Assertion fausse

N’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...

Assertion

Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France

Assertion vraie

É 2 < 7

Assertion vraie

Assertion fausseN’est pas une assertion :É Le chocolat, c’est bon...

Assertion

Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7

Assertion vraie

Assertion

Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7

Assertion vraie

Assertion

Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7 Assertion vraieÉ 3 est un nombre pair

Assertion

Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7 Assertion vraieÉ 3 est un nombre pair

Assertion

Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7 Assertion vraieÉ 3 est un nombre pair Assertion fausse

Assertion

Exemples d’assertions :É Paris est la capitale de la France Assertion vraieÉ 2 < 7 Assertion vraieÉ 3 est un nombre pair Assertion fausse

Proposition

Soit l’assertion :x2 > 4

Cette assertion est :

É Vraie si x < −2 ou si x > 2É Fausse dans tous les autres cas

Une assertion dont la vérité dépend de variable(s) s’appelleune proposition

Proposition

Le travail mathématique consiste (souvent) à établir dansquelles conditions une proposition est vraie ou fausse :

démonstration

Démonstration

Exemple : démonstration de la proposition précédente.

Chercher les x pour lesquels x2 > 4 revient à chercher les xpour lesquels x2 − 4 > 0É Les racines de l’équation x2 − 4 = 0 sont 2 et −2.É Un trinôme du second degré, ax2 + bx+ c, est du signe dea si x est à l’extérieur des racines. Ici, a = 1

É Donc x2 > 4 si x < −2 ou si x > 2

Démonstration

Un peu de logique Connecteurs logiques

Négation

La négation d’une proposition P est :

É vraie lorsque P est fausseÉ fausse lorsque P est vraie

Notations : nonP ou : ¬P

Négation

NégationTable de vérité

On résume dans une table de vérité :

P nonP

V FF V

Conjonction

La conjonction de deux propositions P et Q est :

É vraie, si les deux propositions sont simultanément vraiesÉ fausse dans tous les autres cas

Notations : P et Q ou : P∧Q

Conjonction

ConjonctionTable de vérité

P Q P et QV V VV F FF V FF F F

Disjonction

La disjonction de deux propositions P et Q est :

É vraie, si au moins une des deux propositions est vraieÉ fausse dans tous les autres cas

Notations : P ou Q ou : P∨Q

Disjonction

DisjonctionTable de vérité

P Q P ou Q

V V VV F VF V VF F F

Implication

La proposition : "nonP ou Q" s’appelle une implication.

Notations : P⇒ Q

On lit : P implique Q ou : P entraîne Q

Si P⇒ Q est vrai, on dit que c’est un théorème dont P estl’hypothèse et Q est la conclusion.

Implication

Notations : P⇒ Q

Implication

Notations : P⇒ Q

Implication

Notations : P⇒ Q

ImplicationTable de vérité

P Q nonP P⇒ Q

V V F VV F F FF V V VF F V V

Équivalence

Deux propositions P et Q sont équivalentes si chacune d’ellesimplique l’autre.

P et Q sont donc toutes les deux simultanément vraies ousimultanément fausses

Notations : P⇔Q

Exemples :É non(nonP)⇔ P

É (P⇒ Q)⇔ ((nonQ)⇒ (nonP))

Dans le dernier exemple, la deuxième implication s’appelle lacontraposée de la première.

Équivalence

Notations : P⇔Q

Équivalence

Notations : P⇔Q

Équivalence

Notations : P⇔Q

Équivalence

Notations : P⇔Q

Équivalence

Notations : P⇔Q

ÉquivalenceTable de vérité

P Q nonP nonQ P⇒ Q Q⇒ P P⇔Q

V V F F V V VV F F V F V FF V V F V F FF F V V V V V

Ensembles

Un ensemble est une "collection" d’éléments.

Un ensemble E est bien défini si on possède un critèrepermettant de dire sans ambiguïté si un objet a est unélément de E ou n’est pas élément un de E.

On écrira respectivement :

a ∈ Ea appartient à Ea est un élément de E

a 6∈ Ea n’appartient pas à Ea n’est pas un élément de E

Ensembles

Important : Un objet mathématique ne peut être à la foisun ensemble et un élément de cet ensemble.

L’écriture : a ∈ a est donc interdite.

Ensembles

Important : Un objet mathématique ne peut être à la foisun ensemble et un élément de cet ensemble.

L’écriture : a ∈ a est donc interdite.

Ensembles

EnsemblesÉgalité

Deux ensembles E et F sont égaux s’ils possèdent les mêmeséléments.

On écrit : E = F

Ensembles

EnsemblesÉgalité

Deux ensembles E et F sont égaux s’ils possèdent les mêmeséléments.

On écrit : E = F

Ensembles

EnsemblesÉcriture

Pour écrire un ensemble,É on énumère ses éléments :

E = {a,b,c,d,e}

Remarque : l’ordre n’a pas d’importance :E = {a,b,c,d,e} = {d,a,c,b,e}

É on définit ses éléments par une propriété qu’ils ont encommun : l’ensemble des nombres pairs

E = {p ∈ N | p = 2n,n ∈ N}

Ensembles

EnsemblesÉcriture

E = {a,b,c,d,e}

Remarque : l’ordre n’a pas d’importance :E = {a,b,c,d,e} = {d,a,c,b,e}

E = {p ∈ N | p = 2n,n ∈ N}

Ensembles

EnsemblesÉcriture

E = {a,b,c,d,e}Remarque : l’ordre n’a pas d’importance :E = {a,b,c,d,e} = {d,a,c,b,e}

E = {p ∈ N | p = 2n,n ∈ N}

Ensembles

EnsemblesÉcriture

E = {a,b,c,d,e}Remarque : l’ordre n’a pas d’importance :E = {a,b,c,d,e} = {d,a,c,b,e}

E = {p ∈ N | p = 2n,n ∈ N}

Ensembles

EnsemblesÉcriture

On note {a} l’ensemble qui n’a qu’un seul élément a.On appelle cet ensemble un singleton, le singleton a.

On doit distinguer l’ensemble {a} de l’élément a, sinon ondevrait écrire :

a = {a} ∈ {a}Ce qui est interdit !

Il existe un ensemble qui n’a aucun élément : l’ensemble vide.Noté : ∅

Quel que soit l’élément a,É l’assertion a ∈ ∅ est toujours fausseÉ l’assertion a 6∈ ∅ est toujours vraie

Ensembles

EnsemblesÉcriture

Ensembles

EnsemblesÉcriture

Ensembles

EnsemblesÉcriture

Ensembles

EnsemblesÉcriture

Ensembles

EnsemblesInclusion

On dit qu’un ensemble F est inclus dans l’ensemble E, lorsquetout élément de F est un élément de E.

On écrit :F ⊂ E

On dit :É F est inclus dans E

É F est une partie de E

É F est un sous-ensemble de E

Ensembles

EnsemblesInclusion

On écrit :F ⊂ E

Ensembles

EnsemblesInclusion

On écrit :F ⊂ E

Ensembles

EnsemblesInclusion

On écrit :F ⊂ E

Ensembles

EnsemblesInclusion

On écrit :F ⊂ E

Ensembles

EnsemblesInclusion

Pour tout ensemble E et tout objet mathématique x, laproposition :

x ∈ ∅ ⇒ x ∈ Eest toujours vraie.

Donc pour tout ensemble E, on a toujours l’inclusion :∅ ⊂ E

On a aussi toujours :E ⊂ E

Exemple d’inclusion :N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Ensembles

EnsemblesInclusion

Ensembles

EnsemblesInclusion

Ensembles

EnsemblesInclusion

Ensembles

EnsemblesComplémentaire

Soit E un ensemble et A une partie de E, on appellecomplémentaire de A par rapport à E, l’ensemble deséléments de E qui n’appartiennent pas à A.

Notations : ûEA, Ac, A, E \ A

Connecteur logique : non, ¬

Exemples :

ûEE = ∅, ûE∅ = E, ûR{0} = R∗

Ensembles

Exemples :

ûEE = ∅, ûE∅ = E, ûR{0} = R∗

Ensembles

Exemples :

ûEE = ∅, ûE∅ = E, ûR{0} = R∗

Ensembles

Exemples :

ûEE = ∅, ûE∅ = E, ûR{0} = R∗

Ensembles

EnsemblesEnsemble des parties

Toutes les parties d’un ensemble E forment un ensemble :l’ensemble des parties de E

Notation : P(E)

A ⊂ E⇔A ∈ P(E)

a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)

Pour tout ensemble E :∅ ∈ P(E) E ∈ P(E)

Ensembles

Notation : P(E)

A ⊂ E⇔A ∈ P(E)

a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)

Ensembles

Notation : P(E)

A ⊂ E⇔A ∈ P(E)

a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)

Ensembles

Notation : P(E)

A ⊂ E⇔A ∈ P(E)

a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)

Ensembles

Notation : P(E)

A ⊂ E⇔A ∈ P(E)

a ∈ E⇔ {a} ⊂ E⇔ {a} ∈ P(E)

Ensembles

EnsemblesIntersection

L’intersection de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments communs à E et F.

Notation : E ∩ F

On a donc :x ∈ E ∩ F⇔ (x ∈ E et x ∈ F)

Connecteur logique : et, ∧

L’intersection de deux ensembles peut être vide, on dit alorsque les deux ensembles sont disjoints.

Ensembles

Notation : E ∩ F

Ensembles

Notation : E ∩ F

Ensembles

Notation : E ∩ F

Ensembles

Notation : E ∩ F

Ensembles

EnsemblesRéunion

La réunion de deux ensembles E et F est l’ensemble deséléments appartenant à au moins un des deux ensembles Eou F.

Notation : E ∪ F

On a donc :x ∈ E ∪ F⇔ (x ∈ E ou x ∈ F)

Connecteur logique : ou, ∨

Ensembles

EnsemblesRéunion

Notation : E ∪ F

Ensembles

EnsemblesRéunion

Notation : E ∪ F

Ensembles

EnsemblesRéunion

Notation : E ∪ F

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensemblesPropriétés

Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E.

L’intersection et la réunion sont commutatives :

É A ∩ B = B ∩ AÉ A ∪ B = B ∪ A

Ensembles

L’intersection et la réunion sont associatives :

É A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩C

= A ∩ B ∩C

É A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪C

= A ∪ B ∪C

Ensembles

L’intersection et la réunion sont associatives :

É A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩C = A ∩ B ∩CÉ A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪C = A ∪ B ∪C

Ensembles

L’intersection est distributive par rapport à la réunion :

A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)

Ensembles

La réunion est distributive par rapport à l’intersection :

A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)

Ensembles

Opérations sur des parties d’ensemblesComplémentaires

Soit A et B deux parties d’un ensemble E.

Le complémentaire de l’intersection de A et B est la réuniondes complémentaires de A et B :

(A ∩ B)C = AC ∪ BC

Ensembles

Le complémentaire de l’intersection de A et B est la réuniondes complémentaires de A et B :

(A ∩ B)C = AC ∪ BC

Ensembles

Le complémentaire de la réunion de A et B est l’intersectiondes complémentaires de A et B :

(A ∪ B)C = AC ∩ BC

Ensembles

Le complémentaire de la réunion de A et B est l’intersectiondes complémentaires de A et B :

(A ∪ B)C = AC ∩ BC

Ensembles

Produit cartésien

Soit deux ensembles E et F, le produit cartésien de ces deuxensembles est l’ensemble des couples (x ,y) où x ∈ E et y ∈ F.

Notation : E× F

E× F = {(x ,y) | x ∈ E, y ∈ F}

Important : l’ordre des éléments du couple doit être respecté :(x ,y) 6= (y ,x)

Ensembles

Produit cartésien

Notation : E× F

E× F = {(x ,y) | x ∈ E, y ∈ F}

Ensembles

Produit cartésien

Notation : E× F

E× F = {(x ,y) | x ∈ E, y ∈ F}

Ensembles

Produit cartésien

(x,y)y

Ensembles

Produit cartésien

(x,y)y

Quantificateurs

Deux symboles à connaître :

∀ : quel que soit

É ∀n ∈ N, n ≥ 0 : quel que soit l’entier naturel n, n estpositif ou nul.

É Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E :C ⊂ A ∩ B⇔ (∀x ∈ C, x ∈ A et x ∈ B)

Quantificateurs

∀ : quel que soit

Quantificateurs

∀ : quel que soit

Quantificateurs

∃ : il existe

É ∃n ∈ N, n ≥ 3 : il existe un entier naturel supérieur ouégal à 3.

É Soit A, B deux parties d’un ensemble E :A ∩ B 6= ∅⇔ (∃x ∈ E : x ∈ A et x ∈ B)

Quantificateurs

∃ : il existe

Quantificateurs

∃ : il existe

Quantificateurs

QuantificateursOrdre

Important : quand on utilise plusieurs quantificateurs, leurordre d’écriture est important.

É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x

Proposition vraie

É ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x

Proposition fausse

Quantificateurs

É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x

Proposition vraie

É ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x

Proposition fausse

Quantificateurs

É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x Proposition vraieÉ ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x

Proposition fausse

Quantificateurs

É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x Proposition vraieÉ ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x

Proposition fausse

Quantificateurs

É ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x Proposition vraieÉ ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y > x Proposition fausse

Quantificateurs

QuantificateursNégation

Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, onintervertit les ∀ et les ∃ et on nie les assertions :

la proposition :non (∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x)

est :∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y ≤ x

Quantificateurs

QuantificateursNégation

Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, onintervertit les ∀ et les ∃ et on nie les assertions :

la proposition :non (∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y > x)

est :∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y ≤ x

Application

Applications

Soit deux ensembles E et F. Une application f de E dans Fassocie à tout élément x de E au plus un élément de F, notéf (x).

Notation :

f : E −→ Fx → f (x)

É E est l’ensemble de départ de f

É F est l’ensemble d’arrivée de f

É f (x) est l’image de x dans F

É x est l’antécédent de f (x)

Application

Applications

Notation :

f : E −→ Fx → f (x)

Application

Applications

Notation :

f : E −→ Fx → f (x)

Application

Applications

Notation :

f : E −→ Fx → f (x)

Application

Applications

Notation :

f : E −→ Fx → f (x)

Application

Applications

Notation :

f : E −→ Fx → f (x)

Application

Applications

Égalité : deux applications f et g sont égales si :É elles ont même ensemble de départ EÉ elles ont même ensemble d’arrivée F

É ∀x ∈ E : f (x) = g(x)

Image : si f est une application de E dans F, et si A est unepartie de E, on appelle ensemble image de A par f la partie deF, notée f (A), définie par :

f (A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A,y = f (x)}

Application

Applications

É ∀x ∈ E : f (x) = g(x)

f (A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A,y = f (x)}

Application

Applications

É ∀x ∈ E : f (x) = g(x)

f (A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A,y = f (x)}

Application

Applications

É ∀x ∈ E : f (x) = g(x)

f (A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A,y = f (x)}

Application

ApplicationsSurjection

Une application f de E dans F est surjective si et seulement si :

f (E) = F

Ce qui se lit :É Tout élément de F est l’image d’au moins un élément de F

É Tout élément de F a au moins un antécédentÉ ∀y ∈ F ∃x ∈ E : y = f (x)

É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours au moins unesolution

Application

f (E) = F

Application

f (E) = F

Application

f (E) = F

Application

f (E) = F

Application

ApplicationsInjection

Une application f de E dans F est injective si et seulement si :

(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]

ou encore :(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [x 6= x′ ⇒ f (x) 6= f (x′)]

Ce qui se lit :É Deux images égales dans F ont des antécédents égaux

dans E

É Deux éléments différents dans E ont des imagesdifférentes dans F

É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a au plus une solution

Application

(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]

dans E

Application

(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]

dans E

Application

(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]

dans E

Application

(∀x ∈ E∀x′ ∈ E) [f (x) = f (x′)⇒ x = x′]

dans E

Application

ApplicationsBijection

Une application f de E dans F est bijective si et seulement sielle est surjective et injective

Ce qui se lit :É Tout élément de F a toujours un et un seul antécédent

dans E

É ∀y ∈ F, l’équation : f (x) = y a toujours une seule solution

Application

dans E

Application

dans E

Application

ApplicationsComposition

Soit trois ensembles E, F et G ; f une application de E dans Fet g une application de F dans G.

La composée de g et f est une application de E dans G, notéeg ◦ f et définie par :

∀x ∈ E, g ◦ f (x) = g(f (x))

g ◦ f

x f (x) g(f (x))

Application

ApplicationsComposition

Soit trois ensembles E, F et G ; f une application de E dans Fet g une application de F dans G.

La composée de g et f est une application de E dans G, notéeg ◦ f et définie par :

∀x ∈ E, g ◦ f (x) = g(f (x))

g ◦ f

x f (x) g(f (x))

Application

ApplicationsIdentité

Soit E un ensemble ; on appelle identité de E l’application de Edans E, notée IdE, définie par :

∀x ∈ E, IdE(x) = x

Application

ApplicationsBijection réciproque

Si f est une bijection de l’ensemble E dans l’ensemble F, ilexiste une bijection g de l’ensemble F dans l’ensemble E quivérifie :

g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF

g ◦ f f ◦ g

Notation : g = f−1

Application

g ◦ f f ◦ g

Application

g ◦ f f ◦ g

Dénombrements

Écrire avec des indices

Les mathématiques raisonnent et font des calculs sur ungrand nombre d’objets à la fois.

Pour nommer des objets que l’on peut compter, il estcommode d’utiliser des entiers naturels en indices.

Exemple : si on veut parler de 10 ensembles, on écrira :

Soit les ensembles :E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10

Ou bien :

Soit les ensembles : E1, E2, · · · ,E10

Ou encore :

Soit les ensembles : (Ei)1≤i≤10

Dénombrements

Ou bien :

Ou encore :

Dénombrements

Ou bien :

Ou encore :

Dénombrements

Ou bien :

Ou encore :

Dénombrements

Écrire avec des indicesLes symboles

Soit les nombres : (ai)1≤i≤10. Pour écrire leur somme, on peutécrire :

S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10

Ou bien :

S =10∑

Ce qui se lit : "la somme de i = 1 à i = 10 des ai".

Dénombrements

Soit les nombres : (ai)1≤i≤10. Pour écrire leur somme, on peutécrire :

S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10

Ou bien :

S =10∑

Ce qui se lit : "la somme de i = 1 à i = 10 des ai".

Dénombrements

Soit les nombres : (ai)1≤i≤10. Pour écrire leur produit, on peutécrire :

P = a1.a2.a3.a4.a5.a6.a7.a8.a9.a10

Ou bien :

P =10∏

Ce qui se lit : "le produit de i = 1 à i = 10 des ai".

Dénombrements

Soit les nombres : (ai)1≤i≤10. Pour écrire leur produit, on peutécrire :

P = a1.a2.a3.a4.a5.a6.a7.a8.a9.a10

Ou bien :

P =10∏

Ce qui se lit : "le produit de i = 1 à i = 10 des ai".

Dénombrements

∀n ∈ N, on note n! — "factorielle n" — l’entier naturel définipar :

0! = 1 et ∀n ≥ 1, n! = (n− 1)!n

Donc : pour n ≥ 1, n! = 1× 2× 3× · · · × n =n∏

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, · · · , 10! = 3628800

Dénombrements

0! = 1 et ∀n ≥ 1, n! = (n− 1)!n

Donc : pour n ≥ 1, n! = 1× 2× 3× · · · × n =n∏

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, · · · , 10! = 3628800

Dénombrements

0! = 1 et ∀n ≥ 1, n! = (n− 1)!n

Donc : pour n ≥ 1, n! = 1× 2× 3× · · · × n =n∏

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, · · · , 10! = 3628800

Dénombrements

Permutation

On appelle permutation d’un ensemble E, une bijection de Edans lui même.

Proposition : Il y a n! permutations d’un ensemble qui a néléments.

Cela revient à compter le nombre de façons différentes deranger un ensemble à n éléments.

Par exemple pour un ensemble à 3 éléments, E = {a1 ,a2 ,a3}

a1 a2 a3a1 a3 a2a2 a3 a1a2 a1 a3a3 a1 a2a3 a2 a1

3! = 6

Dénombrements

Permutation

3! = 6

Dénombrements

Permutation

3! = 6

Dénombrements

Arrangement

Soit un ensemble E à n éléments ; un arrangement à péléments de E, est un choix ordonné et sans répétition de péléments.

Proposition : Le nombre d’arrangements à p éléments parmin est égal à :

= n.(n− 1).(n− 2). · · · .(n− p+ 1) =n!

(n− p)!

Dénombrements

Arrangement

Arrangement à 2 éléments de l’ensemble E = {a1 ,a2 ,a3 ,a4}

a2 a3 a4

a3 a4 a1

a4 a1 a2

a1 a2 a3

A24 = 4× 3 = 12

Dénombrements

Combinaison

Soit un ensemble à n éléments ; une combinaison de péléments de E est un choix non-ordonné et sans répétitionde p éléments.

C’est le nombre de parties à p éléments que l’on peutconstruire avec les éléments de E.

Proposition : Le nombre de combinaisons de p éléments prisparmi n est égal à :

(n− p)!p!

On note aussi :

Dénombrements

Combinaison

(n− p)!p!

On note aussi :

Dénombrements

Combinaison

(n− p)!p!

On note aussi :

Dénombrements

Combinaison

(n− p)!p!

On note aussi :

Dénombrements

CombinaisonDifférence entre arrangement et combinaison

É Un arrangement est ordonné : (a1 ,a2) 6= (a2 ,a1)

É Une combinaison est non-ordonnée : {a1 ,a2} = {a2 ,a1}

Il y a p! façons d’ordonner p éléments choisis dans unensemble à n éléments (n ≥ p) (permutation des p éléments)

Avec une combinaison de p éléments, on peut donc fabriquerp! arrangements.

Dans un ensemble à n éléments, la relation entre nombre decombinaisons de p éléments et nombre d’arrangements à péléments est donc :

Dénombrements

Il y a p! façons d’ordonner p éléments choisis dans unensemble à n éléments (n ≥ p) (permutation des p éléments)

Dénombrements

Il y a p! façons d’ordonner p éléments choisis dans unensemble à n éléments (n ≥ p) (permutation des p éléments).

Dénombrements

Raisonnement par récurrence

Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier n.

É Si cette propriété est vraie pour un entier n0

É Si on suppose que P(k) est vraie pour chaque entier k telque : n0 ≤ k ≤ n, où n ≥ n0 (hypothèse de récurrence)

É Si on démontre que P(n+ 1) est encore vraie

Alors P(n) est vraie pour tout entier n ∈ N n ≥ n0

Dénombrements

Exemple : la somme des n premiers entiers est égale à :k=n∑

k =n(n+ 1)

É P(1) :k=1∑

k =1× (1 + 1)

2= 1 est vraie

É Pour n ≥ 1, supposons P(n) :k=n∑

k =n(n+ 1)

2vraie

É Calculons P(n+ 1) :

k=n+1∑

k = n+ 1 +k=n∑

k = n+ 1 +n(n+ 1)

=2(n+ 1) + n(n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)

Dénombrements

k =n(n+ 1)

É P(1) :k=1∑

k =1× (1 + 1)

2= 1 est vraie

k =n(n+ 1)

2vraie

k=n+1∑

k = n+ 1 +k=n∑

k = n+ 1 +n(n+ 1)

=2(n+ 1) + n(n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)

Dénombrements

k =n(n+ 1)

É P(1) :k=1∑

k =1× (1 + 1)

2= 1 est vraie

k =n(n+ 1)

2vraie

k=n+1∑

k = n+ 1 +k=n∑

k = n+ 1 +n(n+ 1)

=2(n+ 1) + n(n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)

Dénombrements

k =n(n+ 1)

É P(1) :k=1∑

k =1× (1 + 1)

2= 1 est vraie

k =n(n+ 1)

2vraie

k=n+1∑

k = n+ 1 +k=n∑

k = n+ 1 +n(n+ 1)

=2(n+ 1) + n(n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)

Dénombrements

CombinaisonPropriétés du nombre de combinaisons

Soit n ≥ p

n− p

n− 1

p− 1

n− 1

∀p 1 ≤ p ≤ n

Dénombrements

Soit n ≥ p

n− p

n− 1

p− 1

n− 1

∀p 1 ≤ p ≤ n

Dénombrements

Soit n ≥ p

n− p

n− 1

p− 1

n− 1

∀p 1 ≤ p ≤ n

Dénombrements

CombinaisonTriangle de Pascal

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n− 1 1�n−1

� �n−12

· · ·�n−1p−1

� �n−1p

· · · 1

n 1�n

� �n2

· · ·�np

· · ·� nn−1

Dénombrements

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n− 1 1�n−1

� �n−12

· · ·�n−1p−1

� �n−1p

· · · 1

n 1�n

� �n2

· · ·�np

· · ·� nn−1

Dénombrements

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n− 1 1�n−1

� �n−12

· · ·�n−1p−1

� �n−1p

· · · 1

n 1�n

� �n2

· · ·�np

· · ·� nn−1

Dénombrements

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n− 1 1�n−1

� �n−12

· · ·�n−1p−1

� �n−1p

· · · 1

n 1�n

� �n2

· · ·�np

· · ·� nn−1

Dénombrements

CombinaisonLe binôme de Newton

Pour tous nombres (entiers,..., réels, complexes) a et b et toutnombre entier n 6= 0 :

(a+ b)n =

p=n∑

ap .bn−p

p=n∑

an−p .bp

(a+ b)2 = a2 + 2a.b+ b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2.b+ 3a.b2 + b3

(a+b)6 = a6 +6a5.b+15a4.b2 +20a3.b3 +15a2.b4 +6a.b5 +b6

Dénombrements

(a+ b)n =

p=n∑

ap .bn−p =

p=n∑

an−p .bp

(a+ b)2 = a2 + 2a.b+ b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2.b+ 3a.b2 + b3

(a+b)6 = a6 +6a5.b+15a4.b2 +20a3.b3 +15a2.b4 +6a.b5 +b6

Dénombrements

(a+ b)n =

p=n∑

ap .bn−p =

p=n∑

an−p .bp

(a+ b)2 = a2 + 2a.b+ b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2.b+ 3a.b2 + b3

(a+b)6 = a6 +6a5.b+15a4.b2 +20a3.b3 +15a2.b4 +6a.b5 +b6

Deuxième partie II

Les nombres réels

1 Les ensembles de nombres

2 L’ensemble des nombres réelsOrdre sur les réelsValeur absolueBornes supérieure et inférieure d’une partie de R

Les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres utilisés en mathématiques sont :

É Les entiers naturels :N = {0,1,2,3,4, · · · ,n, · · ·}

É Les entiers relatifs :Z = {· · · ,−n, · · · ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · · ,n · · ·}

É Les nombres rationnels :

Q = {p

q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}

É Les nombres réels :R

É Les nombres complexes :C = {a+ i.b | a ∈ R, b ∈ R, i2 = −1}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Q = {p

q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Q = {p

q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Q = {p

q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Q = {p

q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Q = {p

q| p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

π =périmètre du cerclediamètre du cercle

π =périmètre de l’hexagone

diamètre du cercle = 3

π =périmètre du dodécagone

diamètre du cercle = 3,105828541

π =périmètre pour 24 côtés

diamètre du cercle = 3,132628613

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 -169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 -628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 -844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 -701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 -975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 -145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 -249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 -829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 -466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 -953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 -962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 -833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 -702 179 860 943 702 770 539 217 176 293 176 752 384 674 -818 467 669 405 132 000 568 127 145 263 560 . . .

L’ensemble des nombres réels

Les nombres réels

On admet qu’il existe un ensemble de nombres R qui possèdeles propriétés suivantes :

É R contient l’ensemble des nombres rationnels Q : Q ⊂ RÉ R possède une addition et une multiplication qui

prolongent l’addition et la multiplication définies sur QÉ R est muni d’un ordre ≤ qui prolonge l’ordre défini sur QÉ R possède la propriété d’Archimède :

Si A ∈ R, A ≥ 0, il existe un entier naturel n ∈ N tel que A < n

Les nombres réels

L’ensemble des nombres réels Ordre sur les réels

L’ordre sur R

Soit a et b deux nombres réels ; a est inférieur ou égal à b si :b− a est positif ou nul

a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0

Remarque : la relation a < b se lit : a est strictement inférieurà b.

Ce n’est pas une relation d’ordre

Elle exprime deux propriétés :1. a ≤ b

2. a 6= b

L’ordre sur R

a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0

2. a 6= b

L’ordre sur R

a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0

2. a 6= b

L’ordre sur R

a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0

2. a 6= b

L’ordre sur R

a ≤ b ⇔ b− a ≥ 0

2. a 6= b

Propriétés de l’ordre sur R

1. Relation avec l’addition :É ∀a,b,c ∈ R a ≤ b ⇔ a+ c ≤ b+ c

É ∀a,b,a′,b′ ∈ R, si a ≤ b et a′ ≤ b′, alors a+ a′ ≤ b+ b′

É ∀a,b ∈ R a ≤ b ⇔ −b ≤ −a

2. Relation avec la multiplication :É ∀a,b ∈ R et ∀c ≥ 0, si a ≤ b alors a.c ≤ b.c

É ∀a,b ∈ R a ≤ b ⇔ −b ≤ −a

Intervalles

L’ordre sur R permet de définir des sous-ensemblesremarquables : les intervalles.

Soit a,b ∈ R, on définit quatre types d’intervalles :

É [a ,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} intervalle fermé

É ]a ,b[= {x ∈ R | a < x < b} intervalle ouvert

É [a ,b[= {x ∈ R | a ≤ x < b} intervalle semi-ouvert à droite

É ]a ,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} intervalle semi-ouvert à gauche

Intervalles

On note :

É [a ,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x}

É ]a ,+∞[= {x ∈ R | a < x}

É ]−∞, ,b[= {x ∈ R | x < b}

É ]−∞, ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}

Intervalles

On note :

É [a ,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x}

É ]a ,+∞[= {x ∈ R | a < x}

É ]−∞, ,b[= {x ∈ R | x < b}

É ]−∞, ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}

Intervalles

On note :

É [a ,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x}

É ]a ,+∞[= {x ∈ R | a < x}

É ]−∞, ,b[= {x ∈ R | x < b}

É ]−∞, ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}

Intervalles

On note :

É [a ,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x}

É ]a ,+∞[= {x ∈ R | a < x}

É ]−∞, ,b[= {x ∈ R | x < b}

É ]−∞, ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}

L’ensemble des nombres réels Valeur absolue

Valeur absolue

min et max

Soit a et b deux nombres réels, on note min(a ,b) le plus petitdes deux nombres et max(a ,b), le plus grand.

Si a ≤ b min(a ,b) = a max(a ,b) = b

Soit x ∈ R, on définit la valeur absolue de x, notée |x|, par :

|x| = max(x ,−x) =

x si x ≥ 0−x si x < 0

Valeur absolue

min et max

|x| = max(x ,−x) =

x si x ≥ 0−x si x < 0

Valeur absolue

min et max

|x| = max(x ,−x) =

x si x ≥ 0−x si x < 0

Valeur absolue

min et max

|x| = max(x ,−x) =

x si x ≥ 0−x si x < 0

Propriétés de la valeur absolue

Proposition : Pour tous nombres réels x, y et a ≥ 0

1. |x| ≥ 0, −|x| ≤ x ≤ |x|, | − x| = |x|, (|x| = 0⇔ x = 0)

x2 = |x|

3. |x.y| = |x|.|y| et, si y 6= 0,�

� =|x||y|

4. |x± y| ≤ |x|+ |y| (inégalité triangulaire)

�|x| − |y|�

� ≤ |x− y|

6. |x− y| ≤ a ⇔ y− a ≤ x ≤ y+ a

L’ensemble des nombres réels Bornes supérieure et inférieure d’une partie de R

Majorants et minorants

Soit A ⊂ R ; on dit que M ∈ R est un majorant de A si :

∀x ∈ A, x ≤M

On dit que m ∈ R est un minorant de A si :

∀x ∈ A, m ≤ x

Soit A = [−1 ,2]

É 2 est un majorant de A ; mais aussip

5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2

É −1 est un minorant de A ; mais aussi −32 , −2, ..., tout

b, b ≤ −1

∀x ∈ A, x ≤M

∀x ∈ A, m ≤ x

Soit A = [−1 ,2]

5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2

b, b ≤ −1

∀x ∈ A, x ≤M

∀x ∈ A, m ≤ x

Soit A = [−1 ,2]

5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2

b, b ≤ −1

∀x ∈ A, x ≤M

∀x ∈ A, m ≤ x

Soit A = [−1 ,2]

5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2

b, b ≤ −1

∀x ∈ A, x ≤M

∀x ∈ A, m ≤ x

Soit A = [−1 ,2]

5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2

b, b ≤ −1

∀x ∈ A, x ≤M

∀x ∈ A, m ≤ x

Soit A = [−1 ,2]

5, 3, π, ..., touta, a ≥ 2

b, b ≤ −1

Maximum et minimum

Soit A ⊂ R et soit M ∈ R un majorant de A ; si M ∈ A, on dit queM est un maximum de A.

Notation : M = maxA

Soit m ∈ R un minorant de A ; si m ∈ A, on dit que m est unminimum de A.

Notation : m = minA