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© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Índice
Esquema 3
Ideas clave 4
2.1. Introducción y objetivos 4
2.2. Concepto 5
2.3. Tipos de matrices 6
2.4. Operaciones con matrices 13
2.5. Representación matricial de sistemas de
ecuaciones lineales 19
2.6. Actividades resultas para practicar 23
2.7. Referencias bibliográficas 29
A fondo 31
Test 32
Tema 2. Esquema 3
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Esquema
MATRIC
ES
TIP
OS D
E M
ATRIC
ES
Matriz
Fila
PRODUCTO
DE
MATR
ICES
OPERACIO
NES
IGUALD
AD
TRAZA
DE UNA
MATR
IZ
REPRESENTACIÓ
N M
ATRIC
IAL D
E SISTEMAS D
E E
CUACIO
NES LIN
EALES
Matriz
Columna
Matriz
Cuadrada
Matriz
Diagonal
Matriz
Identidad
Matriz
Nula
Matriz
Cuadrada
Matriz Triangular
Superior
Matriz Triangular
Inferior
SUMA DE MATR
ICES
PRODUCTO
POR UN
ESCALAR
Propiedades de la
suma de m
atrices
Propiedades del
producto de una
matriz por un escalar
Propiedades del
producto de m
atrices
Propiedades de la
traza de una matriz
Tema 2. Ideas clave 4
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Ideas clave
2.1. Introducción y objetivos
racias a la entrada en escena de smartphones y otras herramientas que
son capaces de recoger gran cantidad de información sin emplear
muchos recursos, el entorno empresarial es cada vez más previsible si se
analiza de forma adecuada todo ese flujo de información.
En la actualidad, las empresas se encuentran inmersas en multitud de proyectos que
tienen como objetivo conocer mejor el entorno haciendo uso de técnicas Big Data
que aprovechen de forma eficiente los datos para tomar decisiones y realizar
movimientos estratégicos de negocio. Big Data es el término que describe el gran
volumen de datos, tanto estructurados como no estructurados, que inundan los
negocios cada día.
El tratamiento de matrices, que es la base del Big Data, constituye los cimientos para
aprender a tratar datos en Estadística y Econometría, pues las matrices permiten
recoger gran cantidad de información y clasificar los datos como si estuvieran
recogidos en una tabla de doble entrada. Un ejemplo de esto es el modelo input‐
output, que permite solucionar problemas macroeconómicos, algunos de los cuales
son:
Sintetizar la información de los sectores productivos.
Estimar las demandas de producción o los costes.
Analizar beneficios y costes entre los distintos sectores de producción.
G
Tema 2. Ideas clave 5
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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La economía se transforma en matemáticas y se realiza:
«A través del concepto de número real, que nos permite asignar un valor numérico —cuantificar— cualquier magnitud económica. Una realidad económica puede tratarse matemáticamente a partir del momento en que encontramos un medio de describirla mediante magnitudes numéricas cuyo comportamiento y relaciones mutuas podemos estudiar (precios, salarios, réditos, probabilidades, tasas de inflación, de desempleo, beneficios, costes, etc.). Es muy raro que un problema venga determinado por un único dato numérico. Lo usual es que sea necesario trabajar simultáneamente con muchos datos» (Canós, Ivorra y Liern, 2001, p. 1).
En este tema los objetivos que se pretenden conseguir son:
Entender las matrices y su significado.
Conocer los distintos tipos de matrices.
Aprender cómo se opera con las matrices.
Saber plantear un sistema de ecuaciones lineales empleando matrices.
2.2. Concepto
semejanza de como definimos los vectores, denominamos matriz a un
conjunto ordenado de elementos reales que representamos en
un cuadrante de filas por columnas:
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
A
Tema 2. Ideas clave 6
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
A una matriz de elementos se le denomina matriz de orden , y a los
valores que la forman se les denomina elementos de la matriz.
2.3. Tipos de matrices
ay distintos tipos de matrices que por sus características, en cuanto a la
forma y a la distribución de los elementos que la forman, reciben una
nomenclatura concreta.
Matriz fila
Matriz formada por una única fila. Sus elementos son del tipo f (f j), en donde r es
constante.
⋯
Ejemplo
La matriz 1 2 1 es una matriz fila.
Matriz columna
Matriz formada por una única fila. Sus elementos son del tipo , en donde c es
constante.
⋮
H
Tema 2. Ideas clave 7
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Ejemplo
La matriz 23
es una matriz columna.
Matriz cuadrada
Es una matriz que posee el mismo número de filas que de columnas.
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
En el caso que la matriz posea filas y columnas, , diremos que la matriz es
de orden . Todos los elementos del tipo forman la diagonal principal de la
matriz: , , … , .
Ejemplo
La matriz:
1 24 3
Es una matriz cuadrada, que posee dos filas y dos columnas, de orden 2. La diagonal
principal de la matriz está formada por los elementos 1, ‐3
Matriz diagonal
Matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal
principal son nulos: , ∀
Tema 2. Ideas clave 8
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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00
⋯ 0⋯ 0
⋮ ⋮0 0
⋱ ⋮⋯
Ejemplo
La matriz:
1 00 4
Es una matriz diagonal.
Matriz identidad
La matriz identidad, o unidad, es una matriz diagonal cuyos elementos no nulos, la
diagonal principal, tienen valor unitario: , ∀ ∧ , ∀
1 00 1
⋯ 0⋯ 0
⋮ ⋮0 0
⋱ ⋮⋯ 1
Ejemplo
La matriz:
1 0 00 1 00 0 1
Es la matriz identidad de orden 3.
Tema 2. Ideas clave 9
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Matriz nula
La matriz nula, o matriz cero, es una matriz cuyos elementos son todos nulos:
, ∀ ∧ ∀
0
0 00 0
⋯ 0⋯ 0
⋮ ⋮0 0
⋱ ⋮⋯ 0
Ejemplo
La matriz:
0 0 00 0
Es la matriz nula, o matriz cero, de orden 2.
Matriz triangular superior
Matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son todos nulos:
, ∀
0
⋯ ⋯
⋮ ⋮0 0
⋱ ⋮⋯
Ejemplo
La matriz:
4 20 1
1 21 1
0 00 0
3 10 4
Es una matriz diagonal superior, todos los elementos por debajo de la diagonal
principal son nulos.
Tema 2. Ideas clave 10
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Matriz triangular inferior
Matriz cuyos elementos por encima de la diagonal superior son todos nulos:
, ∀ :
⋯⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
Ejemplo
La matriz:
1 01 2
0 00 0
2 43 1
3 02 4
Es una matriz triangular inferior, todos los elementos por encima de la diagonal
principal son nulos.
Matriz simétrica
Denominaremos matriz simétrica de orden a una matriz cuadrada cuyos elementos
verifican , ∀ , … .
Ejemplo
La matriz:
1 2 13 1 21 2 1
Tema 2. Ideas clave 11
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Es una matriz cuadrada de orden 3, simétrica, puesto que los elementos de la matriz
mantienen la simetría con respecto la diagonal principal.
Matriz traspuesta
La matriz transpuesta es aquella matriz que se obtiene al intercambiar los elementos
de sus filas con los elementos de sus columnas. Es decir, supongamos la matriz
, su matriz transpuesta será la matriz en donde
, ∀ … ∧ ∀ … .
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
La matriz transpuesta también se representa añadiendo el superíndice :
Ejemplo
Dada la matriz A:
1 2 31 4 52 1 0
La matriz traspuesta es:
1 1 22 4 13 5 0
Tema 2. Ideas clave 12
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Propiedades de la matriz transpuesta
∙ ∙
∙ ∙
Adicionalmente, en el caso de las matrices simétricas se verifica
simétrica ⟺
Ejemplo
La matriz:
1 2 13 1 21 5 1
1 2 13 1 21 5 1
En este caso, al ser A una matriz cuadrada de orden 3, la traspuesta de A sigue siendo
de orden 3.
Nota: en el recurso titulado Álgebra de matrices encontraras muchos ejemplos de los
distintos tipos de matrices.
Tema 2. Ideas clave 13
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
2.4. Operaciones con matrices
ara poder trabajar con matrices es necesario conocer qué operaciones se
pueden realizar con ellas y cómo se definen las operaciones, así mismo
también es necesario conocer las propiedades de las operaciones.
Igualdad
Diremos que dos matrices y , del mismo orden , son iguales, , si se
verifica que cada elemento de es idéntico al elemento de que está en la misma
posición. Es decir, si para cada elemento ∈ y para cada elemento ∈ se
verifica .
⟺ , ∀ 1… ∧ ∀ 1…
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
⟺
Suma de matrices
Para la suma de dos matrices del mismo orden se suman los elementos
correspondientes a cada posición de cada matriz. Es decir, sean dos matrices
y , entonces la matriz será suma de las
matrices y , , si verifica , ∀ … ∧ ∀ …
⋯ ⋯
⋮
⋱ ⋮⋯
⋯ ⋯
⋮
⋱ ⋮⋯
⋯ ⋯
⋮
⋱ ⋮⋯
P
Tema 2. Ideas clave 14
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Ejemplo
Sean dos matrices A y B
1 2 12 3 01 1 1
1 1 22 0 13 1 2
Entonces la suma C=A+ B viene dada por:
1 2 12 3 01 1 1
1 1 22 0 13 1 2
1 1 2 1 1 22 2 3 0 0 11 3 1 1 1 2
2 1 34 3 12 2 3
Propiedades de la suma de matrices
La suma de matrices está bien definida (es consistente). Esto significa que para
todas las matrices A y B, existe una única matriz tal que A+B=C.
La suma de matrices cumple la propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C.
El elemento neutro de la suma es la matriz nula: A + 0 = 0 + A = A, donde 0 es la
matriz nula del mismo orden que la matriz A.
El elemento opuesto: A + (‐A) = (‐A) + A = 0.
La suma de matrices cumple la propiedad conmutativa: A + B = B + A.
Tema 2. Ideas clave 15
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Producto de una matriz por un escalar
Para obtener el producto de una matriz por un escalar se multiplica cada elemento
de la matriz por el escalar. Es decir, sean y ∈ , entonces se tiene
que ∙ ∙ , ∀ … ∧ ∀ … .
∙ ∙
⋯ ⋯
⋮
⋱ ⋮⋯
∙ ∙
⋯ ∙ ⋯ ∙
⋮∙
⋱ ⋮⋯ ∙
Ejemplo
Sean la matriz A y el escalar k dados por:
2 2 13 7
2 2 13 7
4 26 14
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
El producto de un escalar por una matriz está bien definido.
La propiedad distributiva respecto de los escalares: (k + t) ∙ A = k∙A + t∙A.
La propiedad distributiva respecto de las matrices: k∙(A + B) = k∙A + k∙B.
La propiedad asociativa: (k∙t) ∙ A = k ∙ (t∙A).
El elemento neutro: 1∙A = A.
Tema 2. Ideas clave 16
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Producto de matrices
A diferencia de la suma de matrices, en el producto de matrices no se multiplican
los elementos de la misma posición, sino que para obtener la matriz producto de
dos matrices se multiplica cada elemento de cada fila de la primera matriz, matriz
multiplicando, por cada elemento de la columna de la segunda matriz, matriz
multiplicador.
Esto obliga a que tan solo podamos multiplicar matrices en las que el número de
columnas de la matriz multiplicando sea idéntico al número de filas de la matriz
multiplicador. Según esto, si suponemos dos matrices y de orden y
respectivamente, el producto de ambas matrices generará una nueva matriz de
orden .
∙
∙
Como hemos indicado, cada elemento de la matriz se obtiene sumando el
producto de cada elemento de la fila de la matriz por cada elemento de la columna
de la matriz . Gráficamente lo podemos ver de la siguiente forma en el caso del
elemento :
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
∙
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
∙
O bien para el elemento :
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
∙
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
Tema 2. Ideas clave 17
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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∙
De donde se puede generalizar que cada elemento de la matriz producto se
expresa por:
∙
Ejemplo
Sean dos matrices A y B:
A=2 0 13 0 05 1 1
1 0 11 2 11 1 0
2 0 13 0 05 1 1
1 0 11 2 11 1 0
2 1 0 1 1 1 2 0 0 2 1 1 2 1 0 1 1 03 1 0 1 0 1 3 0 0 2 0 1 3 1 0 1 0 05 1 1 1 1 1 5 0 1 2 1 1 5 1 1 1 1 0
3 1 23 0 37 3 6
Propiedades del producto de matrices
Asociativa: ∙ ∙ ∙ ∙ .
Distributiva: ∙ ∙ ∙ , ∙ ∙ ∙ .
Pseudo asociativa: ∙ ∙ ∙ ∙ .
Elemento neutro: ∙ .
Tema 2. Ideas clave 18
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Traza de una matriz
Definimos traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal
principal.
Propiedades de la traza de una matriz
.
.
∙ ∙ .
∙ ∙ .
Ejemplo
Sea la matriz A:
3 4 12 1 01 2 2
Tema 2. Ideas clave 19
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Nota: accede al vídeo titulado Operaciones con matrices para ver ejemplos de las
distintas operaciones con matrices.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Nota: para practicar las operaciones con matrices accede al recurso titulado
Operaciones con matrices, donde encontrarás varios ejercicios resueltos.
2.5. Representación matricial de sistemas de
ecuaciones lineales
egún lo visto en este tema podemos representar el sistema de ecuaciones
lineales estudiado en el tema anterior:
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
⋮
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
S
Tema 2. Ideas clave 20
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
Esto es posible haciendo uso de las matrices según la siguiente expresión:
∙ , donde representa el vector incógnita , , … , , representa
el vector de los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales,
, , … , , y representa la matriz de los términos dependientes de dicho
sistema.
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮⋯
∙ ⋮ ⋮
A la matriz se le denomina matriz asociada a un determinado sistema de
ecuaciones lineales.
Observar que con la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
podemos interpretar que lo hemos transformado a una ecuación con una única
incógnita:
∙
Pero teniendo en cuenta que estamos tratando con matrices en lugar de escalares,
lo cual nos podría llevaría a pensar en una posible solución del sistema pudiera ser
del tipo:
∙ ∙ ∙
∙ ∙
Siempre y cuando supiéramos calcular dicha matriz inversa, pero esto lo veremos más
adelante.
Tema 2. Ideas clave 21
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Ejemplo
Dado el sistema de ecuaciones lineal:
5 3 22 1
2 3 1
Lo expresamos de forma matricial:
5 3 12 1 11 2 3
211
Donde: 5 3 12 1 11 2 3
211
Nota: accede al vídeo titulado Representación matricial de un sistema de ecuaciones
para ver cómo un sistema de ecuaciones lineales se transforma en un sistema
matricial.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Tema 2. Ideas clave 22
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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A continuación, planteamos un supuesto de econometría, por supuesto lo que nos
piden calcular en este ejercicio, con la teoría que conocéis no podéis resolverlo, pero
eso no es lo importante. Lo interesante es ver que para empezar a resolver este
ejercicio es necesario trasladar los datos del enunciado a una matriz para empezar a
resolverlo.
Ejemplo
Considere el siguiente modelo en el que se pretende explicar el importe neto
de la cifra de negocios que genera la venta de un determinado producto (en
millones de euros) en función a su precio (en euros) y al precio de un
producto sustitutivo (en euros).
Con el objetivo de estudiar el modelo teórico planteado, se extrae una
muestra de los últimos siete años, que arroja los siguientes valores:
Tabla 1. Valores muestra
Se pide:
Estimación e interpretación por MCO de los parámetros del modelo.
Cálculo del coeficiente de determinación y del coeficiente de determinación
ajustado.
Contraste de significatividad individual de los parámetros del modelo al 5 %
de nivel de significación.
y x1 x2
1 7 5 6
2 9 6 8
3 10 9 10
4 11 11 12
5 14 13 14
6 13,5 15 16
7 18 17 18
Tema 2. Ideas clave 23
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Contraste la significatividad global del modelo a cualquier nivel de
significación.
Contraste si β1 puede ser inferior a 1 al 5 % y al 1 % de nivel de significación.
Estimación e interpretación por MCO de los parámetros del modelo:
Para el cálculo de los parámetros del modelo, es necesaria la definición de
las matrices que emanan de la muestra obtenida:
7910111413,518
1111111
56911131517
681012141618
2.6. Actividades resultas para practicar
Actividad 1
Dadas las matrices siguientes:
9 1 11 2 11 18 1
,1 11 11 1
,10 2 22 3 22 19 2
Tema 2. Ideas clave 24
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Se pide calcular las siguientes operaciones:
A∙B
9 1 11 2 11 18 1
1 11 11 1
11 114 420 20
1 1 11 1 1
9 1 11 2 11 1 1
8 11 4 2011 4 20
9 1 11 2 11 18 1
1 0 00 1 00 0 1
10 1 11 3 11 18 2
102 31 1314 28 630 91 23
9 1 11 2 11 18 1
10 2 22 3 22 19 2
94 40 2216 27 848 75 40
10 2 22 3 22 19 2
∙9 1 11 2 11 18 1
94 50 1423 44 739 76 23
Tema 2. Ideas clave 25
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Actividad 2
Dadas las matrices 7 23 1
3 02 2
, calcula:
2 3 2 7 23 1
3 3 02 2
23 412 4
7 23 1
3 02 2
2
1
3 02 2
7 23 1
21 68 6
=7 23 1
3 02 2
43 1624 5
9 02 4
34 1622 9
Actividad 3
Efectúa el producto: 3 21 15 2
01
3 21 15 2
01
7 7 01
7
Actividad 4
¿Son iguales las matrices 23 2 3 ? Halla, si es posible, las matrices:
Tema 2. Ideas clave 26
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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No, no son iguales, A tiene dimensión 2x1 y B tiene dimensión 1x2. Para que dos
matrices sean iguales, deben tener la misma dimensión y coincidir término a término.
23 2 3
4 66 9
.
2 323 4 6 .
23
2 3
No se puede hacer, pues no tienen la misma dimensión.
23 2 3 2 3 2 3 0 0 .
Actividad 5
Calcula 3 2 , 3 15 2
:
3 2 3 3 15 2
3 15 2
2 1 00 1
3 3 15 2
3 51 2
2 1 00 1
3 10 1717 29
2 00 2
30 5151 87
2 00 2
28 5151 85
Tema 2. Ideas clave 27
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Actividad 6
Dadas las matrices:1 2 13 0 1
4 0 12 1 0
comprueba que:
1 2 13 0 1
4 0 12 1 0
5 2 01 1 1
5 12 10 1
1 2 13 0 1
4 0 12 1 0
1 32 01 1
4 20 11 0
5 12 10 1
Entonces
3 3
3 3 6 39 0 3
3 96 03 3
3 3 1 2 13 0 1
31 32 01 1
3 96 03 3
Actividad 7
Calcula en cada caso, la matriz B que verifica la igualdad:
3 1 51 0 3
4 0 60 2 2
; 4 0 60 2 2
3 1 51 0 3
1 1 11 2 1
⇒ 1 1 11 2 1
Tema 2. Ideas clave 28
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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2 1 43 2
3 5 40 1
⇒ 3 2 1 43 2
5 40 1
2 86 4
5 40 1
3 46 3
⇒13
3 46 3
143
2 1
Actividad 8
Escribe las ecuaciones del siguiente sistema en forma matricial:
3 5 2 12 3 2
3
3 5 22 1 31 1 1
123
Actividad 9
Una compañía de muebles fabrica butacas, mecedoras y sillas, cada una de ellas de
tres modelos: E (económico), M (medio) y L (lujo). Cada mes produce 20 modelos E,
15 modelos M y 10 de modelo L de butacas; 12 modelos E, 8 modelos M y 5 modelos
L de mecedoras y 18 modelos E, 20 modelos M y 12 modelos L de sillas. Representa
esta información en una matriz y calcula la producción al cabo de un año.
Cada mes:
20 15 1012 8 518 20 12
Cada año: 1220 15 1012 8 518 20 12
240 180 120144 96 60216 240 144
Tema 2. Ideas clave 29
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Actividad 9
En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen 3 plantas
y 4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las viviendas L4 tienen 4 plantas y 5 ventanas
pequeñas y 4 grandes y las L5 tienen 5 plantas, 6 ventanas pequeñas y 5 ventanas
grandes. Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras y las grandes 4 cristales
y 6 bisagras.
Escribe una matriz que describa el número y tamaño de ventanas de cada vivienda
y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana.
4 35 46 5
345
2 44 6
Calcula la matriz que expresa el número de cristales y bisagras de cada tipo de
vivienda.
4 35 46 5
2 44 6
20 3426 4432 54
2.7. Referencias bibliográficas
Canós, M. J., Ivorra, C. y Liern, V. (2001). Matemáticas para la economía y la empresa
(p. 1). Valencia: Tirant lo Blanch.
Barbolla R. y Sanz P. Algebra Lineal y teoría de matrices. Madrid: Prentice Hall.
Ecobar, D. Introducción a la Economía Matemática. Bogotá: Universidad de los
Andes.
Tema 2. Ideas clave 30
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Fraleigh, J.B. y Beauregard. (1995). Linear algebra. Boston: Addison Wesley.
Grossman, S. (1992). Álgebra Lineal. Madrid: McGraw‐Hill.
Grossman, S. (2008). Álgebra Lineal y aplicaciones. Madrid: McGraw‐Hill.
Haeussler, E. F. (2008). Matemáticas para administración y economía. México D. F.:
Pearson Prentice Hall.
Hill, R. (1997). Álgebra lineal elemental. México D. F.: Pearson Prentice Hall.
Kolman, B. (2005). Álgebra Lineal con Aplicaciones y Matlab. México D. F.: Prentice
Hall.
Weber, J. (1982). Matemáticas para administración y economía. México D. F.:
Ediciones Harla.
Tema 2. A fondo 31
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A fondo
Álgebra de matrices
Canós, M. J., Ivorra, C. & Liern, V. (2001). Matemáticas para la economía y la empresa.
Universidad de Valencia.
Apuntes sobre álgebra de matrices con ejemplos y ejercicios.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
http://www.amolasmates.es/cidead/libros/2Bach_Mat_II/apuntes/matrices.pdf
Operaciones con matrices
En esta página encontraras muchos ejercicios resueltos de matrices que te ayudarán
a entender cómo se trabaja con las matrices.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices_Actividades.html
Tema 2. Test 32
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Test
1. Dada la matriz 1 2 31 2 0
su dimensión es:
A. 3x2.
B. 2x3.
C. 2x2.
D. 3x3.
2. Para que dos matrices se puedan sumar es necesario:
A. Que la matriz tenga coeficientes no nulos.
B. Que las dimensiones de las matrices sean proporcionales.
C. Tener la misma dimensión.
D. Si las matrices no tienen la misma dimensión se pueden añadir ceros para
solucionarlo.
3. Dadas dos matrices 0 1 13 2 01 0 5
y 2 1 35 1 02 0 2
, calcular la matriz
que representa su suma:
A. 2 2 32 1 02 0 3
.
B. 0 1 315 2 02 0 10
.
C. 2 2 22 1 03 0 3
.
D. 2 0 48 3 01 0 10
.
Tema 2. Test 33
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
4. Dadas dos matrices 1 3 25 2 43 1 2
y
2 1
5 32 1
, calcular qué
incógnitas de la matriz verifican que la suma se representa por
una matriz simétrica:
A. 3, 1, 2.
B. 1, 2, 3.
C. 1, 2, 3.
D. 3, 2, 1.
5. Sea A una matriz de dimensión 2x3 y B una matriz de dimensión 3x4. ¿Se pueden
multiplicar las matrices A y B? En caso de que se puedan multiplicar ¿cuál es la
dimensión de la matriz resultante?
A. Si, la matriz resultante tiene dimensión 2x4.
B. No, porque las matrices deben tener la misma dimensión.
C. Si, la matriz resultante tiene dimensión 4x2.
D. No, porque el número de filas de columnas de la primera matriz debe ser 4.
6. Para que dos matrices se puedan multiplicar es una condición necesaria:
A. Que tengan la misma dimensión.
B. Que sus dimensiones sean proporcionales.
C. Que coincida el número de filas de la primera matriz y el número de columnas
de la segunda matriz (Sea la dimensión de la primera matriz mxn, la segunda
matriz debe tener dimensión nxp.
D. Que coincida el número de columnas de la primera matriz y el número de
filas de la segunda matriz.
Tema 2. Test 34
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
7. Dadas dos matrices 0 1 13 2 01 0 3
y 2 1 12 2 02 0 2
, calcular la
matriz que representa el producto ∙ :
A. 4 2 2
10 7 38 1 5
.
B. 2 4 16 6 22 2 8
.
C. 4 10 82 7 12 3 5
.
D. 2 6 24 6 21 2 8
.
8. Dadas las matrices 0 1 13 2 01 0 3
y 2 1 12 2 02 0 2
del ejercicio
anterior, calcular la matriz que representa el producto ∙ :
A. 4 2 2
10 7 38 1 5
.
B. 2 4 16 6 22 2 8
.
C. 4 10 82 7 12 3 5
.
D. 2 6 24 6 21 2 8
.
Tema 2. Test 35
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
9. Dadas las matrices 0 1 13 2 01 0 3
y 2 1 12 2 02 0 2
de los ejercicios
anteriores, calcular la matriz transpuesta del resultado del producto ∙ :
A. 4 2 2
10 7 38 1 5
.
B. 2 4 16 6 22 2 8
.
C. 4 10 82 7 12 3 5
.
D. 2 6 24 6 21 2 8
.
10. Dada una matriz
2 35 1
0 32 4
1 43 0
1 46 2
, calcular su traza:
A. 20.
B. 4.
C. 4.
D. 0.
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