View
253
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
1/29
BAB 3
PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER
A. SASARAN BELAJAR
Mahasiswa memahami dan dapat meggunakan berbagai Metode penyelesaian persamaan
non linier dan merancang program komputer untuk berbagai Metode penyelesaian
persamaan non linier
B. SASARAN PEMBELAJARAN & DESKRIPSI
Setelah menyelesaikan bagian ini mahasiswa diharapkan
a) Dapat menjelaskan tentang penyelesaian persamaan non linier
b) Dapat menyelesaiak persamaan dengan menngunakan Metode Biseksi
c) Dapat menyelesaiak persamaan menngunakan Metode Regula Falsi
d) Dapat menyelesaiak persamaan menngunakan Metode Iterasi Sedrhana
e) Dapat menyelesaiak persamaan menngunakan Metode Newton Rophson
) Dapat menyelesaiak persamaan menngunakan Metode Scant
g) Memahami !ontoh "asus #enyelesaian #ersamaan Non $inier
C. METODE PEMBELAJARAN & DESKRIPSI PELAKSANAAN
Metode pembelajaran pada kuliah ini dengan memberikan kuliah %!eramah) tatap muka&
diskusi %collaborati' $earning)& memberikan contoh(contoh aplikasi pemakain computer
untuk penyelesaian masalah sistem bilangan dan kesalahan dan latihan soal terbimbing
dan penugasan
D. INDIKATOR PENILAIAN
Melakukan tanya jawab& "emampuan Mahasiswa dalam mengaplikasikan metode
penyelesaian persamaan non linier dalam bentuk program komputasi& menjelaskan
perinsip penyelesaian sederhana berbagai pemakain dan penyelesaian persamaan non
linier pada metode numerik&
3.1. Pendahuluan
*assing +,
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
2/29
#enyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar(akar persamaan non linier
Dimana akar sebuah persamaan %-) ./ adalah nilai(nilai - yang menyebabkan nilai %-) sama
dengan nol Dengan kata lain akar persamaan %-) adalah titik potong antara kur'a %-) dan
sumbu 0
*ambar ,1 #enyelesaian persamaan non linier
#enyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta& dapat
dihitung dengan 2
mx + c = 0
- . (
#enyelesaian persamaan kuadrat a-+ 3 b- 3 c . / dapat dihitung dengan
menggunakan rumus 4B!
Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan theorema sisaSehingga
tidak memerlukan metode numeric dalam menyelesaikannya& karena metode analitik dapat
dilakukan5etapi bagaimana menyelesaikan persamaan
*assing +6
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
3/29
5ampaknya sederhana& tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan
metode pencarian akar secara berulang(ulang akar persamaan sebagai penyelesaian
Theorema 3.1.
Suatu range x = 7a & b8 mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau
memenuhi f(a).f(b)
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
4/29
Dari tabel ini& bila ditemukan f( ). / atau mendekati nol maka dikatakan bahwa adalah
penyelesaian persamaan f( ) . / Bila tidak ada f( ) yang sama dengan nol& maka dicari
nilai f( ) dan f( ) yang berlawanan tanda& bila tidak ditemukan maka dikatakan tidak
mempunyai akar untuk - . [b,a], dan bila ditemukan maka ada + pendapat untuk
menentukan akar persamaan& yaitu 2
1. 4kar persamaan ditentukan oleh nilai mana yang lebih dekat& bila : f( )| ≤ |f( ):
maka akarnya dan bila |f( ): < : f( )| maka akarnya
2. 4karnya perlu di cari lagi& dengan range - . [ ]
Secara grais& metode table ini dapat dijelaskan untuk - . [b,a], ungsi f(x) dibagi
menjadi N bagian seperti gambar berikut 2
*ambar ,, Metode 5abel
*assing +;
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
5/29
*ambar di atas menjelaskan bahwa penyelesaian diperoleh dengan membagi - . [b,a],
sebanyak(banyaknya hingga diperoleh suatu garis yang melalui akar persamaan dan nilai
- dari garis tersebut adalah penyelesaian dari persamaan F%-) . /
Conoh 3.1!
Selesaikan persamaan 2 x+e x = 0 dengan range - . [−1&/]
dengan F%-) . /&//66>
Conoh 3. "!
Selesaikan persamaan -e(- 3 1 = 0
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
6/29
Dari gambar di atas terlihat bahwa akar persamaan berada pada range 7(/&; & (/&98 dari range
ini dibuat table dengan membagi range menjadi 1/ bagian sehingga diperoleh 2
Dari table tersebut dapat dikatakan bahwa akar persamaan berada antara =/&9> dan =
/&9;& atau dengan menggunakan selisih terkecil maka dapat dikatakan bahwa akar persamaan
terletak di - . (/&9> dengan F%-) . (/&//>?1
Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang
kecil& karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier& 5etapi
metode ini digunakan sebagai taksiran awal untuk mengetahui area penyelesaian yang benar
sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian
Al#or$ma Meode Ta%el !
*assing +@
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
7/29
%1) Deisikan ungsi %-)
%+) 5entukan range untuk - yang berupa batas bawah - bawah dan batas atas -atas
%,) 5entukan jumlah pembagian N
%6) Aitung step pembagi h
%9)
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
8/29
*ambar ,6 Metode Biseksi
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
9/29
Dimana+
ba x
+=
#ada iterasi ke 1/ diperoleh - . (/9;>,@ dan %-) . (////;;
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
10/29
%?) Eika :b(a: e atau iterasi iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan
akar . -& dan bila tidak& ulangi langkah ;
3.3. Meode Re#ula (al$
Metode regula alsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanaatkan
kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range Seperti halnya metode biseksi&
metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range 5itik pendekatan yang
digunakan oleh metode regula(alsi adalah 2
)%)%
)%)%
a f b f
ba f ab f x
−
−
=
Dengan kata lain titik pendekatan - adalah nilai rata(rata range berdasarkan %-) Metode
regula alsi secara grais digambarkan sebagai berikut 2
*ambar ,9 Metode Regula Falsi
Conoh 3. )! Selesaikan persamaan -e(- 31 = 0& pada range -. [−1, 0 ]& dengan
menggunakan metode regulasi alsi maka diperoleh
*assing ,+
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
11/29
5abel sebagai berikut 2
4kar persamaan diperoleh di -.(/9;>61 dengan kesalahan ./&///>6
Al#or$ma Meode Re#ula (al$
1 deinisikan ungsi %-)
+ 5entukan batas bawah %a) dan batas atas %b)
, 5entukan toleransi error %e) dan iterasi maksimum %n)
6 Aitung Fa . %a) dan Fb . %b)
9
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
12/29
; 4kar persamaan adalah -
3.). Meode Iera$ Sederhana.
Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan - dengan sebagian - yang
lain sehingga diperoleh 2 - . g%-) Sebagai contoh untuk menyelesaikan persamaan - = e- . /
maka persamaan di ubah menjadi 2 - . e- atau g%-) . e-& g%-) inilah yang menjadi dasar iterasi
pada metode iterasi sederhana iniMetode iterasi
sederhana secara grais yang dapat dijelaskan sebagai berikut 2
*ambar ,; Metode Iterasi Sederhana
Conoh 3. *!
Selesaikan - 3e- . /& maka persamaan diubah menjadi - . e- atau g%-) . e- 4mbil
titik awal di -/ . (1 & maka
Iterasi 1 2 - . (e(1 . (/,;>? F%-) . /&,+6,
Iterasi + 2 - . e(/,;>? . (/&;?++ F%-) . (/&1?1>,
Iterasi , 2 - . (e(/&;?++ . (/&9//6> F%-) . /&1/9>>
Iterasi 6 2 - . (e(/&9//6> . (/&;/;+6 F%-) . (/&/;/@9
Iterasi 9 . - . (e(/&;/;+6 . (/&9696 F%-) . /&/,6+1>
*assing ,6
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
13/29
#ada iterasi ke 1/ diperoleh - . (/&9;@6, dan F%-) . /&/,6+1>
Al#or$ma Meode Iera$ Sederhana
1 Deinisikan F%-) dan g%-)
+ 5entukan toleransi error %e) dan iterasi maksimum %n)
, 5entukan pendekatan awal -[0]
6
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
14/29
Conoh 3. -!
Selesaikan persamaan - = e(- . / dengan titik pendekatan awal -o . /
%-) . - ( e(- %-) . 13 e(-
%-o) . / = e(/ . (1
%-o) . 13 e(/ . +
9/&/+
1/
)%
)%
/
1
/
/1 =−
−=−=
x f
x f x x
%-1) . (/&1/;;,1 dan 1%-1) . 1&;/;9,
9;;,1&/;/;9,&1
1&/9&/
)%
)%
1
1
11+ =
−−=−=
x f
x f x x
%-+) . (/&//1,/69 dan 1%-+) . 1&9;>;+
9;>16,&/9;>;+&1
//1,/691&/9;;,1&/
)%
)%
+
1
++, =
−−=−=
x f
x f x x
%-,) . (1&?;1/(> Suatu bilangan yang sangat kecil dan 1%-,) . 1&9;>;+
maka akar persamaan dapt diperoleh dengan nilai mendekati eksat - . /&9;>;+
*assing ,;
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
15/29
#ada program di atas& tuliskan ungsi(ungsi ini pada deinisi ungsi2 %-) pada ungsi dan
H%-) pada turunan
Aasilnya adalah2
4kar terletak di - . +/9?@?
*assing ,>
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
16/29
Permaalahan ,ada ,ema'a$an meode ne+on ra,hon adalah !
1 Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik
ekstrim atau titik puncak& karena pada titik ini nilai F 1%-) . / sehingga nilai
penyebut dari)%
)%1 x F
x F sama dengan nol& secara grais dapat dilihat sebagai
berikut2
*ambar ,> #endekatan pada titik puncak
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak& maka titik selanjutnya akan berada di tak
berhingga
+ Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik
pendekatannya berada di antara dua titik stasioner titik puncak
*assing ,@
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
17/29
*ambar ,@ 5itik pendekatan berada diantara + titik puncak
Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya
penyelesaian %di!er"ensi) Aal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu
titik puncak atau arah pendekatannya berbeda
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
18/29
*ambar ,? *raik #=x.e-x +c$s(%x)
Iterasi menggunakan metode Newton Raphson adalah sebagai berikut2
4kar yang ditemukan adalah -.>1,;9& padahal dalam range / sampai dengan 1 terdapat akar
di sekitar /9 sd 1
,;?+
*assing 6/
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
19/29
Al#or$ma Meode Ne+on Ra,hon den#an mod$/$'a$ a%el !
1 Deinisikan ungsi F%-)
+ ambil range nilai - . 7a&b8 dengan jumlah pembagi n
, Masukkan torelansi error %e) dan masukkan iterasi n
6 *unakan algoritma tabel diperoleh titik pendekatan awal -/ dari 2
F%-k ) F%-k31) / maka -/ . -k
9 Aitung F%-/) dan F1%-/)
; Bila F(abs(F1(x0))) < e maka pendekatan awal -/ digeser sebesar d-
%dimasukkan)
-/ . -/3 d-
hitung F%-/) dan F1%-/)
>
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
20/29
4kar terletak di - . /?>,;?+
4kar terletak di - . ++,96?
4kar terletak di - . ,?;6;6
3.-. Meode Sean
Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula(alsi dan newton raphson
dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit& dengan mengambil bentuk garis lurus
yang melalui satu titik
Dimana m diperoleh dari2
Bila y . F%-)& ny dan -n diketahui maka titik ke n31 adalah 2
Bila titik -n31 dianggap akar persamaan maka 2
yn31 . /
sehingga diperoleh 2
*assing 6+
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
21/29
atau 2
#ersamaan ini yang menjadi dasar pada proses pendekatan dimana nilai pendekatannya
adalah 2
Sehingga untuk menggunakan metode secant ini diperlukan dua
titik pendekatan -1 "edua titik pendekatan ini diambil pada titik(titik yang dekat agar
kon'ergensinya dapat dijamin
Conoh 3. 11!
Selesaikan persamaan 2 -+ = %- 3 1)e(- . /
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
22/29
Iterasi Metode Secant adalah sebagai berikut 2
Iterasi Metode Secant adalah sebagai berikut 2
Iterasi 1 2 . @@1@19&/
#% . //19,&/
Iterasi + 2 .@@+9+@&/
y, . 1&,1/(9
Iterasi , 2 . @@+9,6&/
y6 . 6&?11/(?
Diperoleh akar - . /&@@+9,6
Al#or$ma Meode Sean !
1 Deinisikan ungsi F%-)
+ Deinisikan torelansi error %e) dan iterasi maksimum %n)
, Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu -/ dan -1&
sebaiknya gunakan metode tabel atau grais untuk menjamin titik pendakatannya
adalah titik pendekatan yang kon'ergensinya pada akar persamaan yang diharapkan
6 Aitung F%-/) dan F%-1) sebagai y/ dan y1
9
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
23/29
Aasil untuk penyelesaian persamaan 2 -+ = %- 3 1) e(- . / dengan pendekatan awal di /&@ dan
/&?& dan toleransi error /////1 adalah sebagai berikut2
4kar persamaan di - . /@@+9,6
3.2. Conoh Kau Penelea$an Peramaan Non L$n$er
#enyelesaian persamaan non linier terkadang muncul sebagai permasalahan yang
terpisah& tetapi terkadang pula muncul sebagai satu kesatuan atau satu rantai dari
penyelesaian permasalahan dimana penyelesaian persamaan non linier justru menjadi kunci
dalam perhitungannya Beberapa contoh permasalahan dimana memerlukan penyelesaian
persamaan non linier sebagai kuncinya adalah sebagai berikut2
• #enentuan nilai maksimal dan minimal ungsi non linier
• #erhitungan nilai konstanta pada matrik dan determinan& yang biasanya muncul dalam
permsalahan sistem linier& bisa digunakan untuk menghitung nilai eigen
• #enentuan titik potong beberapa ungsi non linier& yang banyak digunakan untuk
keperluan perhitungan(perhitungan secara grais
Dan masih banyak lagi yang lainnya dan tidak mungkin dapat dibahas semua dalam satu
buku yang singkat ini
3.2.1. Penenuan N$la$ Ma'$mal dan M$n$mal (un#$ Non L$n$er
#enentuan nilai maksimal dan minimal pada ungsi non linier sebenarnya merupakan
permasalahan penyelesaian persamaan non(linier #ada penyelesaian persamaan non linier
dengan ungsi %-)& maka dicari - yang memenuhi %-)./ Sedangkan pada penentuan nilai
maksimal dan minimal dari ungsi %-)& yang dicari adalah nilai - yang memenuhi H%-)./
*assing 69
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
24/29
Eadi sebelum menggunakan metode numerik untuk menentukan nilai maksimal dan
nilai minimal pada ungsi %-)& maka terlebih dahulu dihitung g%-). 1%-) Nilai ungsi g%-)
inilah yang menjadi ungsi acuan untuk menentukan nilai - dimana g%-)./ tetapi pemakaian
metode numerik di sini tidak dapat menunjukkan apakah nilai yang dihasilkan adalah nilai
maksimal atau nilai minimal& karena siat maksimal dan minimal ditentukan oleh +%-)
Sehingga untuk menyajikan apakah titik yang diperoleh adalah titik maksimal atau titik
minimal& maka perlu dihitung g1%-)
Conoh 3. 13!
*ambar ,1/ Fungsi %-) . -+ = %- 3 1)e(+- 3 1
Dari gambar di atas nilai minimal terletak antara =/6 dan =/+
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
25/29
Akar persamaan di x = -0.329523
Eadi nilai minimal ungsi %-) terletak di -.(/,+?9+,
3.2.". Penenuan N$la$ E$#en Pada Mar$'
Nilai eigen pada suatu matrik 4& merupakan nilai(nilai yang menyajikan karakteristik
kestabilan matrik Nilai eigen ini dapat dihitung menggunakan 2
: & −λ ' : = 0
dimana I adalah matrik identitas dan λ adalah nilai eigen dari matrik 4
Bila matriks 4 mempunyai ukuran n - n maka akan terdapat n nilai λ yang disajikan dalam
bentuk persamaan polinomial pangkat n sebagai berikut 2
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
26/29
Secara grais bisa digambarkan sebagai berikut 2
*ambar ,11 *rik ungsi akar
Dari gambar terlihat akar persamaan terletak pada - antara ,&+ dan ,&6
Dengan menggunakan metode secant diperoleh2
Akar persamaan di x = 3.32472
3.2.3. Men#h$un# N$la$ A'ar
#erhitungan nilai akar a dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan
%-) . -+ = a. Ini dapat dilakukan dengan menghitung penyelesaian dari persamaan 2
-+ =a . /
Conoh 3. 1*!
Menghitung akar , dapat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan 2
0+ = , . /
Dengan menggunakan metode secant diperoleh 2
*assing 6@
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
27/29
Akar persamaan di x = 1.73205
3.2.3. Men#h$un# T$$' Poon# " Buah Kur4a
#erhatikan dua buah kur'a #=f(x) dan #="(x) yang berpotongan di titik
seperti gambar berikut 2
*ambar ,1+ perptongan dua buah kur'a
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
28/29
*ambar ,1, kur'a dan titik potong
Dari gambar di atas terlihat akar terletak di antara /@ dan 1
Dengan menggunakan metode Secant& terlebih dahulu disusun ungsi dari persamaannya
adalah sebagai berikut2
# = %x-x * e-x
#emakaian metode secant dengan titik pendekatan awal /&@ dan 1 adalah sebagai
berikut2
#endekatan awal di -/ . /&@ dan -1 . 1
5oleransi error . 11/(9 dalam program komputer error .1e(//9
Akar persamaan di x = 0.862852
*assing 9/
8/16/2019 Metode Komputasi-numerik BAB 3Ok
29/29
3.5. SOAL DAN T67AS
"erjakan soal ini secara manual dan dengan menggunakan program komputer
1. Aitung nilai akar +> dan akar 9/
%. 5entukan nilai puncak pada kur'a y.-+ 3 e(+- sin%-) pada range -.7/&1/8
. *unakan metode newton raphson& regula alsi dan secant untuk menghitung akar 1/
#erhatikan kesalahan dan jumlah iterasinya dan ambil kesimpulan
. 5entukan titik potong lingkaran dengan titik pusat %1&/) dan jari(jari + dengan kur'a
y.-+
. 5entukan titik potong antara #=x.e-x dan #=x% dengan menggunakan metode secant
dan newton raphson Bandingkan jumlah iterasi dan kesalahannya
. 5entukan titik puncak dari #=x.e
Recommended