Mikołaj Czajkowskiczaj.org/pub/teaching/A/4f.pdf · 2015. 1. 6. · © Mikołaj Czajkowski Funkcja...

© Mikołaj Czajkowski

Mikroekonomia A.4

Mikołaj Czajkowski

© Mikołaj Czajkowski

Funkcja użyteczności Jeśli preferencje są racjonalne i ciągłe – mogą zostać opisane za pomocą funkcji użyteczności

Funkcja użyteczności to funkcja, która spełnia warunki:

Funkcja użyteczności jest funkcją porządkową: i                        to     jest ściśle preferowany względem     , ale niekoniecznie trzy razy bardziej

Wartości funkcji nazywamy poziomami użyteczności

U U

U U

U U

x y x y

x y x y

x y x y

6U x 2U y xy

© Mikołaj Czajkowski

Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności porządkuje różne koszyki nadając im różne wartości użyteczności

Każda relacja preferencji może mieć wiele funkcji użyteczności, które będą ją reprezentować

Każda ściśle rosnąca transformacja funkcji użyteczności jest nową funkcją użyteczności, która reprezentuje te same preferencje Np. załóżmy, że                                   reprezentuje preferencje Wtedy                          ,                         ,  Ściśle rosnąca transformacja funkcji użyteczności to np.

Czy nowa funkcja zachowuje preferencje?

1 2 1 2,U x x x x 4,1 4U 2,3 6U 2,2 4U

2 21 2 1 2 1 2, , 10 10U x x U x x x x

© Mikołaj Czajkowski

Funkcje użyteczności – przykłady Krzywa obojętności – zawiera wszystkie koszyki, które dają tę samą użyteczność

Jak wyglądają krzywe obojętności funkcji użyteczności o postaci                                ? 1 2 1 2,U x x x x

1 2 1 2,U x x x x

21

Uxx

1x

2x

© Mikołaj Czajkowski

Funkcje użyteczności – przykłady Jak wyglądają krzywe obojętności funkcji użyteczności o postaci                                     ? 1 2 1 2,U x x x x

1x

2x1 2 5x x

1 2 9x x

1 2 13x x 5

5 9

9

13

13

Funkcja użyteczności dóbr doskonale substytucyjnych:

1 2 1 2,U x x ax bx

© Mikołaj Czajkowski

Funkcje użyteczności – przykłady Jak wyglądają krzywe obojętności funkcji użyteczności o postaci                                             ? 1 2 1 2, min ,U x x x x

1x

2x

5 9

5

9

Funkcja użyteczności dóbr doskonale komplementarnych:

1 2 1 2, min ,U x x ax bx

1 2min , 5x x

1 2min , 9x x

1 2ax bx

© Mikołaj Czajkowski

Funkcje użyteczności – przykłady Quasi‐liniowa funkcja użyteczności ma postać:

Liniowa tylko względem       (numeraire) – quasi‐liniowa

Np. 

1 2 1 2,U x x f x x

2x 1 21 2 1 2, 2U x x x x

1x

2xKrzywe obojętności quasi‐liniowej funkcji obojętności są liniowym przesunięciem samych siebie wzdłuż osi reprezentującej 

‘quasi‐liniowe’ dobro

Dla danej ilości ‘niequasi‐liniowego’ dobra nachylenie 

wszystkich izokwant jednakowe

© Mikołaj Czajkowski

Funkcje użyteczności Funkcja użyteczności typu Cobba‐Douglasa

1 2 1 2,U x x Ax x

1x

2x

Wszystkie krzywe obojętności hiperbolami – osie asymptotami 

każdej z nich

© Mikołaj Czajkowski

Funkcje użyteczności Przykłady krzywych obojętności jako izolinie funkcji użyteczności w 3D Przykłady dla różnych funkcji użyteczności (plik Maple)

© Mikołaj Czajkowski

Użyteczność krańcowa W ekonomii ‘krańcowa’ (ang. marginal) oznacza wynikająca ze zmiany zmiennej o jednostkę, gdzie ‘jednostka’ jest nieskończenie mała Np. jak zmienia się użyteczność na skutek (krańcowej) zmiany ilości jednego z dóbr w koszyku?

Użyteczność krańcowa

Więc – jeśli funkcja różniczkowalna – krańcowa użyteczność dobra to pochodna funkcji użyteczności po tym dobrze

0

limi

ix x

i i i

U dU UMU

x dx x

© Mikołaj Czajkowski

Użyteczność krańcowa Na przykład dla funkcji:

Krańcowa użyteczność danego dobra dla tej funkcji użyteczności zależy od tego jaki jest aktualnie poziom drugiego dobra w koszyku

1 2 1 2,U x x Ax x

1 21

xUMU Axx

2 12

xUMU Axx

© Mikołaj Czajkowski

Krańcowa stopa substytucji Powiedzieliśmy, że krańcowa stopa substytucji określa jak można wymieniać dobra w koszyku, pozostając na k.o. Krzywa obojętności dla użyteczności       dana jest przez:

Całkowita zmiana użyteczności – pochodna funkcji po każdej ze zmiennych razy krańcowo mała zmiana tej zmiennej

… równa zero, ponieważ chcemy zostać na krzywej obojętności Przekształcając:

1 2,U x x kk

1 21 2

0U Udx dxx x

2

1

1

2 12

x

x

MUdx U Ux xdx MU

© Mikołaj Czajkowski

Krańcowa stopa substytucji Pozostając na danej krzywej obojętności krańcowo małe ilości dóbr                 można wymieniać w proporcji określonej przez MRS:

MRS określa nachylenie krzywej obojętności w danym jej punkcie Na przykład dla funkcji użyteczności typu Cobba‐Douglasa o postaci                                          MRS wynosi:

1 2dx dx

2

2 1

12 1

xx x

x

MUU UMRSx x MU

1 2 1 2,U x x x x

1 2

11 2 2

11 2 1 2 1

x xx x xU UMRS

x x x x x

© Mikołaj Czajkowski

Krańcowa stopa substytucji Dla funkcji użyteczności                                :

8

6

1 6

U = 8

U = 36

1 2

1 2

2

1

2

1

x x

x x

xMRSx

xMRSx

1 2 1 2,U x x x x

1x

2x

1 2

8 81x xMRS

1 2

6 16x xMRS

© Mikołaj Czajkowski

Krańcowa stopa substytucji Dla quasi‐liniowej funkcji użyteczności

Krańcowa stopa substytucji nie zależy od       więc nachylenie krzywych obojętności dla tego samego       będzie równe

1 2 1 2,U x x f x x

1 1

1x

UMU f xx

22

1xUMUx

1 2

1

1x x

f xMRS

2x1x

© Mikołaj Czajkowski

Krańcowa stopa substytucji Dla quasi‐liniowej funkcji użyteczności 1 2

1 2 1 2, 2U x x x x

1x

2x

1x 1x

1 2

1

1x x

f xMRS

1 2

1 21x xMRS x

MRS niezależna od 2x

© Mikołaj Czajkowski

Krańcowa stopa substytucji Dla doskonałych substytutów: 1 2 1 2,U x x ax bx

1 21 2

x xaU UMRS

x x b

1x

2x

5

5 9

9

13

13

MRS stałe w każdym punkcie – określa nachylenie krzywych obojętności(które są prostymi)

© Mikołaj Czajkowski

Krańcowa stopa substytucji Dla dóbr doskonale komplementarnych:

1 2 1 2, min ,U x x ax bx

1x

2x1 2ax bx

MRS nieokreślone (funkcja użyteczności nieróżniczkowalna)

Nieskończenie wiele jednostek x2 na odrobinę x1

1 2x xMRS

Zero jednostek x2 na odrobinę x1

1 20x xMRS

Wiele możliwych ‘stycznych’1 2

?x xMRS

© Mikołaj Czajkowski

Krańcowa stopa substytucji Powiedzieliśmy, że każda ściśle rosnąca transformacja funkcji użyteczności zachowuje te same preferencje Co więcej – nie zmienia MRS

MRS jest niezależne od monotonicznych transformacji funkcji

1 2,U x x 1 2,V f U x x

1 2

1

2

x x

UxMRS Ux

1 2

1 1 1

2 2 2

x x

V U Uf Ux x xMRS V U Uf Ux x x

© Mikołaj Czajkowski

© Mikołaj Czajkowski

© Mikołaj Czajkowski

© Mikołaj Czajkowski

© Mikołaj Czajkowski

© Mikołaj Czajkowski

© Mikołaj Czajkowski

Praca samodzielna Literatura V: 4 SH: 6 (Differentiation), 7 (Derivatives in Use), 8 (Single‐Variable Optimization), 11 (Functions of Many Variables), 13 (Multivariable Optimization), 14 (Constrained Optimization) 

PR: 3.1 P: 3.2 BB: 3.2‐3.5 NS: 3

© Mikołaj Czajkowski

Praca samodzielna Zadania

HW4 (www) ZZV: 4

2012‐10‐26 22:49:28