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Mit Unterschieden kann man
rechnen…
Prof. Dr. Regina Bruder
FB Mathematik
TU Darmstadt
25.09.2014 Mathematikum
www.math-learning.com
Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …
…in der Sicht auf Mathematik!
…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in
dynamischen Systemen, in der Numerik…
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Der kleine Unterschied macht es schon aus…
Wilkinson-Polynom 20.Grades:
p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) … (x - 19)(x - 20) = x20 - 210x19 …
mit 20 reellen Nullstellen!
Aber:
Geringfügige Änderung beim Koeffizienten von x19 mit:
(210 - 2-23) x19 hat das Verschwinden von 10 dieser Nullstellen
zur Folge!
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Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …
…in der Sicht auf Mathematik!
…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in
dynamischen Systemen, in der Numerik…
…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe
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Kennenlernen mit Mathematik
„Verdopple die Tageszahl Deines Geburtstages.
Addiere 5 !
Das Ergebnis ist mit 50 zu multiplizieren.
Jetzt ist die Monatszahl zu addieren.
Nenne mir Dein Ergebnis!“
Quelle: Niese, G. (1964): 100 Eier des Kolumbus
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Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …
…in der Sicht auf Mathematik!
…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in
dynamischen Systemen…
…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe
…in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken
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Mit Mathematik Aufmerksamkeit erringen –
für Mathematik begeistern
Die "1089"-Rechnung
"Schreibe eine beliebige dreistellige Zahl auf mit einer
Bedingung: Die letzte Ziffer muss mindestens um 2 kleiner
sein als die erste Ziffer.
Darunter setzt Du die umgekehrte Ziffernfolge dieser Zahl.
Subtrahiere die untere von der oberen Zahl!
Schreibe zu diesem Ergebnis wieder die umgekehrte
Ziffernfolge darunter.
Jetzt addiere die beiden Zahlen.
Und ich weiß schon vorher, was Du herausbekommst:...“
1089!!"
Wie geht das?
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Mit dem Taschenrechner umgehen, das muss
gelernt werden...
- Tastatureinführung
- Speichernutzung
- Rechenablaufpläne erstellen (RAPs), gegebene lesen und verstehen
- Genauigkeitsfragen, Rundungen
TR behauptet: 1000 1986 = 1000 1987
1000 1985 1000 1986
a : (a - 1) = (a+1) : a
a² = (a + 1) (a – 1)
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Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …
…in der Sicht auf Mathematik!
…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in
dynamischen Systemen, in der Numerik…
…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe
…in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken
…auch in geometrischen Zusammenhängen
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Beobachtung: Das arithmetische Mittel ist etwas größer
als das geometrische Mittel.
Fragen: Ist das immer so? Warum denn?
Beschreibungsebene der Mathematik:
Vermutung:
a b
2 a b> a,b pos. reell
Begründung durch eine geometrische Interpretation:
a b
a b
2
a b
Den kleinen Unterschied sichtbar
machen:
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Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …
…in der Sicht auf Mathematik!
…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in
dynamischen Systemen, in der Numerik…
…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe
…in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken
…bzgl. Könnensniveau, Motivation und Anstrengungsbereitschaft,
Arbeitstempo, sowie in den Lernstilen der Schüler/innen…
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Kognitive Stile
Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass
… Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen
… jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler – jeweils anders –von
motivierend bis hemmend wirkt
…auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen – und sich daher fast
automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen
Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg
1994)
Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer
entspricht (Sternberg 1994)
Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer
Metaanalyse (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for
Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)
Lernstil der Beach Balls
Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling)
Gestalte eine Veranschaulichung für einen
Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit
Experimentier- &
Entdeckungsfreude
Spontanität & Kreativität
Gleichschrittanweisungen zu
folgen,
immer die gleichen
Schreibarbeiten zu machen
Lernstil der Puppies
Interpersonal Learners (Sensing/Feeling)
•Intuitiv, affektiv
•Benötigen Begründung für das Lernen
•Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit
Detailorientiert und gründlich zu sein
Korrigiert zu werden oder ein negatives
Feedback zu erhalten
Zahlen haben Macht!
Der kleine Prinz:
Die großen Leute haben eine Vorliebe für Zahlen. Wenn ihr ihnen von
einem neuen Freund erzählt, befragen sie euch nie über das
Wesentliche. Sie fragen euch nie: "Wie ist der Klang seiner Stimme?
Welche Spiele liebt er am meisten? Sammelt er Schmetterlinge?" Sie
fragen euch: "Wie alt ist er? Wie viele Brüder hat er? Wie viel wiegt er?
Wie viel verdient sein Vater?" Dann erst glauben sie, ihn zu kennen.
(Antoine de Saint-Exupéry)
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Lernstil der Microscopes
Understanding (Intuitive/Thinking)
Denken analytisch, kritisch
Lernen gründlich
Arbeiten alleine
Neue Dinge ausprobieren
offene Probleme lösen
Perfektionisten
Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils
stets, manchmal oder niemals wahr sind.
Begründe deine Beurteilung schriftlich.
1. Ein Trapez ist ein Rechteck.
Begründung___________________________
2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon.
3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck.
4. Ein Trapez hat parallele Schenkel.
5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander.
6. Ein Rechteck ist ein Quadrat.
7. Ein Quadrat ist ein Rechteck.
8. Eine Raute ist ein Rechteck.
9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel.
10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms
sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und
eines Parallelogramms sind gleich groß.
Systematisch variieren
Aufgabenstellungen mit kombinatorischen Elementen
Wie oft kann man in dieser Wortfigur das Wort FERIEN lesen?
F E R I E N
E R I E N
R I E N
I E N
E N
N
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Lernstil der Clipboards
Mastery (Sensing/Thinking)
Routinen, vorhersagbare
Situationen
Sinn für Details & Genauigkeit
Ohne Anweisungen arbeiten,
das „große Bild“ sehen
Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.:
Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum
Achievement. Thousand Oaks 2005)
Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen
Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools)
Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle
Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht
Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum
Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur
ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.
Didaktische
Analyse
Berücksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem für Einstiege, Übungen und Langfristige HA)
1. Welche Fähigkeiten, Verfahren und Schlüsselbegriffe müssen die Lernenden
beherrschen?
2. Welche Kernbegriffe, Muster oder Prinzipien müssen die Lernenden vertieft
verstehen?
3. Wie werden die Lernenden persönlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder
gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken?
4. Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden,
visualisieren, anwenden oder mit ihnen experimentieren?
Schlussfolgerungen
Lernprotokoll, Checkliste, mind-map
Wdhlg. mit Kopfübung
Lerntagebuch, eigene Beispiele finden,
Mathegeschichten erfinden...
Schlussfolgerungen
Hausauf-
gaben
Innermathematische vs.realitätsbezogene Aufgaben
Gelöste Beispiele einbauen (für Clipbords)
Abstrakte Aufgaben einbauen (für Microskopes)
Selbstregulationselemente verstärken (für Beach Balls)
Partnerbearbeitung einer Hausaufgabe zulassen (für Puppies)
Wahlauf-
gaben
Komplexe geschlossene vs. offene Aufgaben (für Clipboards)
Innermathematische vs. anwendungsbezogene Aufgaben
Hilfen z.B. in Form von Tippkärtchen abrufbar (v.a.Puppies, Clipboards)
Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)
Einstiege Offene vs. geschlossene Aufgaben (für Clipboards)
Innermathematische vs. anwendungsbezogene Situationen
Theoretische Darstellung zum Thema alternativ anbieten (für Microscopes)
Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)
Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …
…in der Sicht auf Mathematik!
…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in
dynamischen Systemen…
…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe
…in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken
…bzgl. Könnensniveau, Motivation und Anstrengungsbereitschaft
sowie in den Lernstilen der Schüler/innen…
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Unterrichtskonzept von MABIKOM
Differenzierende Unterrichtseinstiege
Lernkontrolle
Aufgabenset (Erste und vertiefende Übungen
mit Schwierigkeitseinwahl) Lernprotokoll
(Verständnis fördernde
Reflexionen zum Thema)
Checkliste (Selbsteinschätzung
der eigenen Basiskompetenz)
langfristige
Haus-
aufgabe
Blütenaufgabe (anforderungsgestufte
selbstdifferenzierende
Aufgaben)
Kopfübung mit
Diagnose
Kopfübung mit
Diagnose
Kopfübung mit
Diagnose
t
Wachhalten von Basiswissen Reichhaltiges Übungskonzept (Selbst)Kompetenzdiagnose
„Blütenaufgabe“: Rechenzauber (ab Kl.5)
- als Lern- und Testaufgabe geeignet
Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: „Denke dir eine Zahl.
Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe
36 ab.“
Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahl
benennen kann.
a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten?
b) Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64.
Welche Zahl hatte er sich gedacht?
c) Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte
Zahl berechnen?
Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert.
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Blütenaufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit
An der Anlegestelle einer großen Fähre steht:
Karte 1 Person 50€
Blockkarte 8 Personen 380€
Blockkarte 20 Personen 900€
a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen?
Quelle: Jordan, Univ. Kassel, 2004
b) Wie viele Karten bekommt man für 300€ ?
c) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140€ aus.
Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann.
Maike recht? Begründe.
d) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen.
Was wäre ein angemessener Preis?
a) (x x -)
b) (- x x)
c) (x - -)
d) ((-) – (-))
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Blütenaufgaben
- drei bis fünf
Teilaufgaben
- steigender
Schwierigkeitsgrad
- evtl. zunehmende
Öffnung
- gemeinsamer Kontext
erleichtert konzentrierte
Bearbeitung
vereinfacht das
Besprechen der
Teilaufgaben
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Umgang mit
Wahlmöglichkeiten
Erwartungshorizont beim Arbeiten
mit Wahlaufgaben erstellen
günstiges Lernklima durch
individuelle Rückmeldungen
schaffen
Auswahl üben (begründen und
reflektieren lassen)
Eine realistische
Selbsteinschätzung einzelner
Schüler gelingt nicht immer
Die Bereitschaft leistungsstärkerer
Lernender sich mit den
schwierigeren Aufgaben
auseinander zu setzten bleibt
manchmal aus
Frustration bei schwächeren
Schülern
Überforderung in den
Auswahlsituationen
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Vielen Dank für das Interesse!
Kontakt:
bruder@mathematik.tu-darmstadt.de
www.madaba.de Aufgabendatenbank für Mathematik-
Lehrkräfte
www.math-learning.com Vorträge zum download
www.proLehre.de Fortbildungsangebote online
in Kooperation mit dem
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