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Modelado GeométricoModelado Geométrico
•• Clasificación de los modelos geométricosClasificación de los modelos geométricos•• Representación de objetos en 3DRepresentación de objetos en 3D
•• Modelos de PuntosModelos de Puntos•• Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies•• Modelos de SólidosModelos de Sólidos
Prof. Sandra Baldassarri
Modelos geométricosModelos geométricos
• Objetivos del modelado– Representación de un objeto real o sintético descrito mediante el– Representación de un objeto real o sintético descrito mediante el
ordenador
Modelado Geométrico
Modelos geométricosModelos geométricos
• Objetivos del modelado
Modelado Geométrico
Modelos geométricosModelos geométricos
• Objetivos del modelado
Modelado Geométrico
Modelos geométricosModelos geométricos
• Objetivos del modeladoLos modelos representan determinadas características del objetoLos modelos representan determinadas características del objeto en estudio, haciéndolas más fácilmente observables que el objeto real (porque no existe, porque no es directamente observable, etc).
El objetivo de un modelo es obtener información sobre el objeto representado a partir de ese modelo.
– Modelos físicos de objetos tridimensionales: representan las dimensiones relativas y la apariencia del objeto modelado ( difi i h t )(edificios, coches, personas, etc)
– Modelos moleculares: representan la ordenación espacial de los átomos de una molécula con respecto a sus vecinos (no suelen p (representar más propiedades)
– Modelos matemáticos: representan algunos de los aspectos del objeto modelado en términos de ecuaciones y datos numéricosobjeto modelado en términos de ecuaciones y datos numéricos
Modelado Geométrico
Modelos geométricosModelos geométricos
¿Cómo se crea un objeto?
• Con un programa de CAD: 3DStudio AutoCAD Blender ProEngineer– 3DStudio, AutoCAD, Blender, ProEngineer,…
• A partir de objetos reales• A partir de objetos reales– Explorador laser, digitalizador 3D,…
• Matemáticamente
Modelado Geométrico
Modelos geométricosModelos geométricos
Representación de un objeto
• No hay un método único
• Depende del objeto y del medio:Interfaz de usuario– Interfaz de usuario
– Representación del ordenador
– Almacenamiento
• La representación más popular: representación poligonalp p p p p g
Modelado Geométrico
Modelos geométricosModelos geométricos
• Creación y representación de un objeto modelado por ordenadorordenador
Modelado por puntos
Modelado de curvasf M d l d d ólid
Modelado Geométrico
y superficies Modelado de sólidos
Modelos geométricosModelos geométricos
• Clasificación de los modelos geométricos
1D 2D 3D
Dimensiones del diseño de elementos
Modelos 2D Dibujo lineal Dibujo poligonal
Modelos 3D Jaula de alambre
Superficies Sólidos
ModelosModelos geométricosgeométricos
Primitivas geométricas en 3D– Puntos
N=(a, b, c)
– Puntos
– Segmentos (líneas)
– PolígonosP3
P
P1
(x y z)– Poliedros
– Superficies curvas
P2
d
(x, y, z)
– Objetos Sólidos
– etc. Origen
d
( r(cx, cy, cz)
ModelosModelos geométricosgeométricos
Representación de objetos en 3D
• Modelos de Puntos• Modelos de Puntos– Nubes de puntos
– Mapas de profundidadMapas de profundidad
• Modelos de Curvas y Superficies– Geometría analítica, Teoría de la aproximación, Teoría de la , p ,
interpolación
– Mallas
S bdi i ió– Subdivisión
• Modelos de SólidosModelos de descomposición– Modelos de descomposición
– Modelos constructivos
– Modelos de fronteras
ModelosModelos de de puntospuntos
Nubes de puntos
• Muestras de puntos en 3D no estructuradas• Muestras de puntos en 3D no estructuradas– Adquiridas mediante técnicas de visión por ordenador,…
ModelosModelos de de puntospuntos
Mapas de profundidad
• Conjunto de puntos en 3D que generan un mapa de• Conjunto de puntos en 3D que generan un mapa de profundidad– Adquirido mediante escánerAdquirido mediante escáner
Imagen de puntosen profundidad
Teselación Superficie enprofundidad
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
Las curvas y superficies permite representar los contornos de forma exactade forma exacta.
Este tipo de modelos representan la informaciónEste tipo de modelos representan la información geométrica en términos de:– Curvas: puntos, líneas rectas y curvasp , y
– Superficies: polígonos planos y superficies alabeadas
• Las técnicas matemáticas empleadas son:
- Geometría analítica
- Teoría de la interpolación
- Teoría de la aproximación
Modelado Geométrico
p
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
Geometría Analítica– Cualquier curva se puede describir por un vector de puntos– Cualquier curva se puede describir por un vector de puntos…
pero esto conllevaría mucho almacenamiento y la forma exacta sigue siendo desconocida…
L i líti f t l b l– Las ecuaciones analíticas ofrecen mayor control sobre la curva y sobre su comportamiento.
tatx
02
taty
02
Representación analítica
R t ió l ió d t
Modelado Geométrico
Representación como colección de puntos
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
• Modelado de curvas planas– Representación de curvas en el plano– Representación de curvas en el plano
tatx
02
taty
02
Representación analítica
Representación como colección de puntos
Modelado Geométrico
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
Modelado de curvas planas– Curvas no paramétricas– Curvas no paramétricas
)(xfy
xxy cos3 2
Representación explícitaRepresentación explícita
0),( yxf
1523 cos2 xyexyx y
Representación implícita
Modelado Geométrico
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
Modelado de curvas planas– Curvas paramétricas– Curvas paramétricas
)(txx
Círculo de radio r con centro en el origen de
20
cos
rx
)(
)(
tyy
txx
centro en el origen de
coordenadas
20
sen
ry
Elipse de ejes a y b centrada en el origen de
20cos
b
ax
20sen
cos
y
x coordenadas sen byParábola centrada en el origen y simétrica respecto al eje x
0
2
2
ay
ax
al eje x 2ayHipérbola centrada en el origen y simétrica respecto al eje x
20tg
sec
ay
ax
j
Representación paramétrica de las cónicas
Modelado Geométrico
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
Modelado Geométrico
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
• Superficies paramétricas
)(
),( wuxx
),(
),(
wuzz
wuyy
10)(
)(),(2
2
uwuwuy
wuwux
10),(
),(
wuwwuz
wuwuy
Modelado Geométrico
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
Superficies cuádricas:– Representación paramétrica de las cuádricas– Representación paramétrica de las cuádricas
20sencosax
20coshcosax 20coshax
0
20cos
b
ax
cos
20sensen
cz
by
Elipsoide
senh
senhsen
cz
by
Hiperboloide de una hoja
senhcos
senhsen
cz
by
Hiperboloide de dos hojas 2
0sen
z
by max
Paraboloide elíptico
2
senh
cosh
z
by
ax
maxmin
cz
by
ax
maxmin
sen
20cos
z
by
ax
maxminsen
20cos
z
ay
ax
maxmin
max
2
02
Paraboloide hiperbólico Cono elíptico Cilindro elíptico
Cilindro parabólico
Modelado Geométrico
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
Superficies bilineales: – Se construye por la paramerización de un cuadrado unidad– Se construye por la paramerización de un cuadrado unidad.
– Cualquier punto del interior de la superficie se obtiene interpolando entre los lados opuestos de ésta:
uwPwuP
wuPwuPvuQ
)1,1()1()0,1(
)1)(1,0()1)(1)(0,0(),(
Expresión paramétrica
),()(),(
wPPuuvuQ
1)1,0()0,0(1),(
ió i i l wPP
Q)1,1()0,1(
),(Expresión matricial
Modelado Geométrico
Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies
Superficies a trozos
Fragmentos formados por cuatro aristas curvas, donde es preciso conocer:
d d d l é i– coordenadas de los cuatro vértices– dos vectores tangentes en cada vértice– torsión en cada vértice
cos sensen sencos),( Q , 21 , 21
0sencossensen)(Q
sen sencos sencos),(
0 sencos sensen),(
Q
Q
0 coscos cossen),( Q
Modelado Geométrico
),(, Q
cossen sensen sencos 22 QQ
ModeladoModelado de de CurvasCurvas y Superficiesy Superficies
Superficies implícitas– Los puntos satisfacen F(x y z) = 0– Los puntos satisfacen F(x,y,z) = 0
Modelo poligonal Modelo implícito
Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación
En las técnicas de interpolación la curva o superficie “pasa” por una serie de puntos dadospor una serie de puntos dados.
Existen diferentes técnicas:Existen diferentes técnicas:
• Interpolación lineal
• Polinomio de LagrangePolinomio de Lagrange
• Curvas y superficies cúbicas paramétricas:– Hermite
– Spline Cúbico
Modelado Geométrico
Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación
Interpolación lineal
)(
Polinomio de Lagrange
)(
)()()()()(1
1ii
iiii xx
xxxfxfxfxf
Polinomio de Lagrange
n n
jxxyxf )(
i
ijj ji
in xxyxf
0 0
)(
Modelado Geométrico
Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación
Polinomio de Lagrange– Problemas al aumentar el número de puntos– Problemas al aumentar el número de puntos
– Interpolación lineal vs Polinomio de Lagrange
Modelado Geométrico
Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación
• Cúbicas paramétricas
3
3
0
)(i
iitatP
0i
Modelado Geométrico
Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación
• Las curvas de Hermite se representan por polinomios cúbicos a trozos con continuidad en la posición y en lacúbicos a trozos, con continuidad en la posición y en la derivada. Se conocen los puntos y los valores de las derivadas en los extremos.
Catmull-RomCatmull Rom
Hermite
Modelado Geométrico
Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación
Hay que tener en cuenta:
• Continuidad geométrica• Continuidad geométrica
C ti id d ét i• Continuidad paramétrica
Modelado Geométrico
Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación
Los splines cúbicos se representan por polinomios cúbicos a trozos con continuidad en la derivada segundaa trozos, con continuidad en la derivada segunda.
Diseño de curvas con splines pcúbicos.
a) los 4 puntos entrados por el usuariousuario
b) el spline cúbico global que los interpola
) l i t tc) los mismos cuatro puntos interpolados por un spline cúbico local
d) se muestran las dos curvas superpuestas y se observa la mayor continuidad (suavidad)
)
Modelado Geométrico
de la curva b)
Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación
Matrices de interpolación
• Hermite• Hermite
• Spline
Modelado Geométrico
Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación
Las técnicas de interpolación de superficies que se suelende superficies que se suelen utilizar son las cúbicas paramétricas (a trozos):
–Hermite
–Spline Cúbico
Modelado Geométrico
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
• Las curvas se “aproximan” por medio de una serie de puntos de controlpuntos de control
Bézier
B-splineB-spline
Modelado Geométrico
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
• Curvas de Bèzier
Curva generada por los seispuntos b0...b5.
Conjunto formado por cuatro curvas de Bézier, cada una definida mediante cuatro puntos.
Los puntos de conexión son b3
Modelado Geométrico
Los puntos de conexión son b3, b6, b9.
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
• Splines Cúbicos– Los splines cúbicos se diferencian de las curvas de Bézier en– Los splines cúbicos se diferencian de las curvas de Bézier en
que tienen continuidad C2 y en que los puntos de los extremos no pertenecen a la curva
P1P3 P5
P2P4
C1 C2 C3 C4
4
1
1)(i
ii tBtP , 21 ttt
E ió d li úbi
Modelado Geométrico
Ecuación de un spline cúbicoDos fragmentos de
un spline cúbico
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
Modelado Geométrico
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
• Control local en curvas B-spline
Modelado Geométrico
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
• Curvas NURBs: Non Uniform Rational Bsplines– Estas curvas son muy populares en los programas de CAD– Estas curvas son muy populares en los programas de CAD
– Su representación incluye todas las curvas Bézier y B-splines
Modelado Geométrico
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
• Modelado de Superficies
Modelado Geométrico
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
• Superficies de Bézier
n m
i j
jminji wKuJBwuQ0 0
,,, )()(),(
Modelado Geométrico
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
• Propiedades de las superficies de Bezier– Interpolan los 4 puntos de las esquinas– Interpolan los 4 puntos de las esquinas
– Clausura convexa
– Control local
Modelado Geométrico
Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación
• Propiedades de las superficies de Bezier– Continuidad entre parches– Continuidad entre parches
Modelado Geométrico
TeoríaTeoría de la de la aproximaciónaproximación
• Superficies B-spline a trozos (parches)
ModeladoModelado de superficiesde superficies
Mallas poligonales
• Conjunto de polígonos conectados (usualmente• Conjunto de polígonos conectados (usualmente triángulos)
ModeladoModelado de Superficiesde Superficies
Mallas poligonales
• Conjunto de polígonos que representan una superficie• Conjunto de polígonos que representan una superficie 2D definiendo un objeto 3D
ModeladoModelado de Superficiesde Superficies
Mallas poligonales– Representación del modelo– Representación del modelo
Modelado de SuperficiesModelado de Superficies
Mallas poligonales– Representación del modelo– Representación del modelo
IMAGE SYNTHESIS GROUP
Modelado de SuperficiesModelado de Superficies
Mallas poligonales– Los vértices son compartidos por varios polígonos– Los vértices son compartidos por varios polígonos
– Hay técnicas de optimización al utilizar las mallasHay técnicas de optimización al utilizar las mallas • tiras (triangle - strips)
• abánicos (triangle - fans)
Modelado de SuperficiesModelado de Superficies
Mallas poligonales– Permite trabajar con diferente resolución– Permite trabajar con diferente resolución
48 polígonos 120 polígonos 300 polígonos 1000 polígonos
IMAGE SYNTHESIS GROUP
ModeladoModelado de Superficiesde Superficies
Superficies de Subdivisión– Superficie formada por una malla + regla de subdivisión– Superficie formada por una malla + regla de subdivisión
ModeladoModelado de Superficiesde Superficies
Superficies de Subdivisión– Malla + Regla de subdivisión– Malla + Regla de subdivisión
• Define una superficie suave como una secuencia limitada de refinamientos
ModeladoModelado de Superficiesde Superficies
Superficies de Subdivisión– La subdivisión debe tener en cuenta propiedades como la– La subdivisión debe tener en cuenta propiedades como la
suavidad de la malla
ModeladoModelado de Superficiesde Superficies
Superficies de Subdivisión– Hay diferentes métodos de subdivisión– Hay diferentes métodos de subdivisión
• Diferentes reglas para refinar la topología
• Diferentes reglas para posicionar los vértices
ModeladoModelado de Superficiesde Superficies
Superficies de Subdivisión– Hay diferentes métodos de subdivisión– Hay diferentes métodos de subdivisión
ModeladoModelado de Superficiesde Superficies
Superficies de Subdivisión– Hay diferentes métodos de subdivisión– Hay diferentes métodos de subdivisión
Técnicas constructivas de superficiesTécnicas constructivas de superficies
Aplicando de forma combinada los diferentes métodos que se acaban de ver pueden obtenerse superficiesse acaban de ver, pueden obtenerse superficies aplicando variadas técnicas constructivas.
• A continuación, se va a estudiar algunas de estas técnicas constructivas de superficies, de las que se p qverán ejemplos.
Modelado Geométrico
Técnicas constructivas de superficiesTécnicas constructivas de superficies
• Superficies regladas y desarrollables
wuPwuPwuQ )1,()1)(0,(),( Expresión paramétrica
)1(
)0,(1),(
uP
uPwwwuQ Expresión matricial
)1,(uP
Modelado Geométrico
Técnicas constructivas de superficiesTécnicas constructivas de superficies
• Superficies regladas y desarrollables
Modelado Geométrico
Técnicas constructivas de superficiesTécnicas constructivas de superficies
Superficie de revolución
Superficie de barridoSuperficie esculpida
Modelado Geométrico
Superficie de barrido
Técnicas constructivas de superficiesTécnicas constructivas de superficies
• Superficies de revolución:
Rotación de una curva alrededor de un ejeRotación de una curva alrededor de un eje
Modelado Geométrico
TécnicasTécnicas constructivasconstructivas de superficiesde superficies
• Barrido a lo largo de una trayectoria
Construcción de un toro porConstrucción de un toro por rotación de un círculo
Técnicas constructivas de superficiesTécnicas constructivas de superficies
• Superficies de barrido:
Desplazamiento de una curva a lo largo de una trayectoriaDesplazamiento de una curva a lo largo de una trayectoria
Modelado Geométrico
Técnicas constructivas de superficiesTécnicas constructivas de superficies
• Superficie fileteada entre cilindro y esfera
Modelado Geométrico
Modelado de Modelado de superficies: técnicas híbridas superficies: técnicas híbridas
Metaballs o Superficies implícitas:
• Describen los objetos por medio de superficies que son• Describen los objetos por medio de superficies que son contornos (isosuperficies), a través de un campo escalar en 3D. La función de campo determina el valor en cadaen 3D. La función de campo determina el valor en cada punto del espacio en base a alguna primitiva geométrica, generalmente puntos, segmentos o polígonos.
Modelado Geométrico
Modelado de Modelado de superficies: técnicas híbridassuperficies: técnicas híbridas
La superficie implícita es la suma de funciones base
Modelado de Modelado de superficies: técnicas híbridassuperficies: técnicas híbridas
Superficies implícitas:– Blobby models:– Blobby models:
• Modelado de un dragón con diferente número de blobs
Modelado de Modelado de superficies: técnicas híbridassuperficies: técnicas híbridas
Superficies implícitas:– Blobby models: Modelado de una cara (Muraki 1991)– Blobby models: Modelado de una cara (Muraki, 1991)
Modelado de Modelado de superficies: técnicas híbridassuperficies: técnicas híbridas
• Ejemplo metaballs:Dada una función de campo D(r) = 1/r2 y varios puntos de controlDada una función de campo D(r) = 1/r y varios puntos de control en el espacio 3D, siendo r la distancia de un punto en el espacio al punto de control, se dibuja una superficie a partir del punto de control teniendo en cuenta si hay interacción entre varios puntoscontrol, teniendo en cuenta si hay interacción entre varios puntos.
Modelado de superficies: técnicas híbridasModelado de superficies: técnicas híbridas
• Ejemplo:
Modelado Geométrico
Modelado de superficies: técnicas híbridasModelado de superficies: técnicas híbridas
• Ejemplo:La estructura muscular fue creada usando el plug-in MetareyesLa estructura muscular fue creada usando el plug-in Metareyes. Para construir la malla sólida se crearon cientos de esferas definidas por superficies implícitas.
Modelado Geométrico
Comparación entre representacionesComparación entre representaciones
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
• ¿Por qué se necesitan modelos sólidos?
Algunos métodos de adquisición generan sólidos: TACAlgunos métodos de adquisición generan sólidos: TAC
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
• ¿Por qué se necesitan modelos sólidos?
Algunas aplicaciones requieren trabajar con sólidos:Algunas aplicaciones requieren trabajar con sólidos: aplicaciones CAD/CAM
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
• ¿Por qué se necesitan modelos sólidos?
Algunos algoritmos requieren sólidos: trazado de rayosAlgunos algoritmos requieren sólidos: trazado de rayos con refracción
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
• Este tipo de modelos representan la información geométrica externa y la estructura internageométrica externa y la estructura interna.
• A diferencia de los modelos de superficies permiten• A diferencia de los modelos de superficies, permiten distinguir entre interior, exterior y superficie de un objeto.
• Permiten calcular diferentes propiedades de los objetos:– Volumen
– Masa
– Transparencia (medios participativos)
– …
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
Las técnicas de representación empleadas son:
- Modelos de descomposición: Descripción de un sólido como un conjunto de células elementales cuya yuxtaposición llena todo el espacio ocupado por el objeto.
- Modelos constructivos: Representación de un objeto como combinación de otros objetos elementales, siendo cada uno de ellos una particularización de un determinado objeto primitivo. j p
- Modelos de fronteras: Representación de un objeto por medio de sus caras, donde cada una de ellas se describe mediante la superficie en que está contenida y la curva o curvas que la limitan.
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
Características de un modelo:
Dominio: define los objetos que se pueden representar Dominio: define los objetos que se pueden representar Validez: sólo debe permitir representar objetos válidos No ambigüedad: no deben quedar dudas sobre quéNo ambigüedad: no deben quedar dudas sobre qué
está representado Unicidad: tiene que haber sólo una manera de
representar el objeto Lenguajes de descripción: uso de un lenguaje
adecuado para describir los objetosadecuado para describir los objetos Compacto: ahorro de espacio para almacenamiento Clausura: conjunto cerrado de operaciones Clausura: conjunto cerrado de operaciones Facilidad de uso Eficacia en la aplicación
Modelado Geométrico
Eficacia en la aplicación
Modelado de sólidosModelado de sólidos
• Sólido:
Objeto físico que divide el espacio en dos regiones: unaObjeto físico que divide el espacio en dos regiones: una exterior y otra exterior, separadas por el contorno del objeto. El contorno puede ser una superficie cerrada oobjeto. El contorno puede ser una superficie cerrada o un grupo de superficies abiertas interconetadas.
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
• Sólido:
El contorno puede ser una superficie cerrada o un grupoEl contorno puede ser una superficie cerrada o un grupo de superficies abiertas interconetadas, pero podrían generarse objetos no válidos…generarse objetos no válidos…
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
• Operaciones booleanas entre sólidos:
¿Qué objetos se generan?¿Qué objetos se generan?
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
• Operaciones booleanas regularizadas:
Garantizan la validez de los objetos generadosGarantizan la validez de los objetos generados
Modelado Geométrico
Modelado de sólidosModelado de sólidos
Las técnicas de representación empleadas son:
- Modelos de descomposición: Descripción de un sólido como un conjunto de células elementales cuya yuxtaposición llena todo el espacio ocupado por el objeto.
- Modelos constructivos: Representación de un objeto como combinación de otros objetos elementales, siendo cada uno de ellos una particularización de un determinado objeto primitivo. j p
- Modelos de fronteras: Representación de un objeto por medio de sus caras, donde cada una de ellas se describe mediante la superficie en que está contenida y la curva o curvas que la limitan.
Modelado Geométrico
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• Un objeto se modela como la suma de celdas o particiones del espacio
Descomposiciones Descomposición jerárquica del
particiones del espacio
Descomposiciones celulares
Descomposición jerárquica del espacio
General Voxels Bintrees BSP Octrees
Modelado Geométrico
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva:exhaustiva:
Las células son pequeños cubos contenidos (total o parcialmente) en el sólido. Estos cubos son del mismoparcialmente) en el sólido. Estos cubos son del mismo tamaño y orientación (subdivisión regular del espacio).
Modelado Geométrico
Objeto representado por una lista de cubos regulares
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva:exhaustiva:
Las operaciones de comparación de objetos son triviales
Modelado Geométrico
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva (voxels)exhaustiva (voxels)
Representación en isosuperficiesRepresentación en isosuperficies
Modelado Geométrico
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva (voxels)exhaustiva (voxels)
Modelado Geométrico
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• Modelo de descomposición celular
Las células que constituyen el sólido son elementosLas células que constituyen el sólido son elementos básicos de forma y tamaño variable
Celda básica cuadrática
Modelado Geométrico
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• Modelos de descomposición jerárquica del espacio o de subdivisión recursivasubdivisión recursiva
• Modelo quadtree/octree: estructura jerárquica con subdivisión recursiva del espacio en cuadrados/cubossubdivisión recursiva del espacio en cuadrados/cubos de tamaño menor, dependiendo de la ocupación o no de ese elemento.
Modelado Geométrico
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• Operaciones con modelos de subdivisión recursiva
Modelado Geométrico
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• Modelos de descomposición jerárquica del espacio o de subdivisión recursivasubdivisión recursiva
• Descomposición del espacio binario: en cada paso se subdivide la escena en dos secciones con un plano quesubdivide la escena en dos secciones con un plano que puede estar en cualquier posición y orientación.
Bintree BSP
(Binary Space Partition)
Modelado Geométrico
(Binary Space Partition)
Modelos de descomposiciónModelos de descomposición
• BSP: La posición y orientación de los planos puede hacerse adaptándose a la distribución espacial de loshacerse adaptándose a la distribución espacial de los objetos, de modo que se puede reducir la profundidad en la representación del árbol. Los árboles BSP son útiles para identificar las superficies visibles.
Modelado Geométrico
Modelos constructivosModelos constructivos
CSG: Geometría Sólido ConstructivaUno de los esquemas más populares debido a su facilidad de usoUno de los esquemas más populares debido a su facilidad de uso
y para verificar la validez
• Primitivas sólidas (instanciación)– Cubo, pirámide, esfera, …
• Transformaciones geométricas
Modelado Geométrico
Modelos constructivosModelos constructivos
• CSG: Geometría Sólido Constructiva
Las operaciones pueden ser transformaciones u operaciones booleanas (unión intersección diferencia)operaciones booleanas (unión, intersección, diferencia).
AB AB A – B B – A
Modelos constructivosModelos constructivos
• Ejemplos de árboles CSG
Modelado Geométrico
Modelos constructivosModelos constructivos
Modelado Geométrico
Modelos de fronterasModelos de fronteras
• Modelo B-rep o representación de contornos:
Objeto encerrado por un conjunto de caras las cualesObjeto encerrado por un conjunto de caras, las cuales pertenecen a superficies cerradas y orientables (normal)
• Superficie externa
- geometríageometría
- topología
Modelado Geométrico
Modelos de fronterasModelos de fronteras
• Representación por medio de caras, aristas, vértices, puntospuntos…
vértices coordenadas caras vértices
v x y z f v v v vv1
v2
v3
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
f1
f2
f3
v1 v2 v3 v4
v6 v2 v1 v5
v7 v3 v2 v6
v4
v5
v6
x4 y4 z4
x5 y5 z5
x6 y6 z6
f4
f5
f6
v8 v4 v3 v7
v5 v1 v4 v8
v8 v7 v6 v5
Modelado Geométrico
v7
v8
x7 y7 z7
x8 y8 z8
Modelos de fronterasModelos de fronteras
• Operaciones para modelos de fronteras
BoutAAoutBBA
AoutBBA
BinAAinBBA
BoutAAoutBBA
AoutBBA
Clasificación por pertenencia
Modelado Geométrico
Modelos de fronterasModelos de fronteras
• Operaciones para modelos de fronteras:
Operadores de Euler: aseguran la validez topológica delOperadores de Euler: aseguran la validez topológica del modelo de contorno se usan operadores especiales para crear y manipular las entidades topológicascrear y manipular las entidades topológicas
)(2 GBLVEF
F: cara
)(
E: arista
V: vértice
L j lL: agujeros en las caras
B: número de componentes separados del objeto
G: agujeros a través del objeto
Modelado Geométrico
G: agujeros a través del objeto
Modelos de fronterasModelos de fronteras
• Representación facetada:
Aproximación por facetas planas de la representación deAproximación por facetas planas de la representación de objetos curvos en un modelo B-rep
Ventajas:
• Facilidad para agregar nuevos tipos de superficies• Facilidad para agregar nuevos tipos de superficies
• Facilidad para calcular intersecciones entre caras (planas)(planas)
Desventajas:Desventajas:
• Es necesario gran cantidad de datos para mantener la exactitud deseada del modelo
Modelado Geométrico
exactitud deseada del modelo
Comparación entre representacionesComparación entre representaciones
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