Modul 3 (Simpulan Dan Numerik)

1

MENGHITUNG NILAI RATA-RATA SUATU DISTRIBUSI

DATA

Oleh :

Elvipson Sinaga

2

PENGHITUNGAN PADA DATA TIDAK BERKELOMPOK.

A. Mean = arithmetic mean = rata-rata hitung = rerata = purata Rumus :

n

xx

dimana : x = rata-rata hitung (mean)

ix = jumlah seluruh titik data pengamatan n = jumlah bilangan titik data pengamatan.

3

Contoh:

Hasil pengukuran berat badan (kg) 10 orang petugas puskesmas adalah

67,60,50,70,60,53,61,64,75,60

Rata-rata = (50 + 53+ 60 + 60+ 60 + 61 + 64 + 67 + 70 + 75)

620/10 = 62 kg

4

Modus (Mode) = Rata-rata modus

Nilai modus ialah nilai yang paling sering ada dalam suatu data

Dari sifatnya ini maka untuk sekelompok data pengamatan ada beberapa kemungkinan:

1. Tidak ada nilai modus 2. Ada satu modus (unimodal) 3. Ada dua modus (bimodal) 4. Lebih dari dua modus

(multimodal)

Dengan mengambil soal pada contoh diatas, maka modus = 60 (karena data 60 muncul 3 kali atau yang paling banyak)

6

Contoh lain : Agregat Modus

1, 2, 2, 2, 3, 5 2 Unimodal

3, 3, 7, 8, 12, 16 3 Unimodal

5, 5, 6, 9, 12, 17, 17 5 dan 17 Bimodal

1, 2, 3, 5, 7, 9, 12 - Tidak ada nilai

modus

5, 5, 6, 9, 12, 17, 17, 20, 20

5, 17 dan 20

Multimodal

c.Letak (Posisi) Data Jika data sudah tersusun (array) dengan susunan data terkecil sampai dengan data terbesar atau sebaliknya, maka masing-masing posisi atau letak data tersebut dapat ditentukan, seperti : untuk letak data di pertengahan (Median), letak data di perempatan (Quartil), letak data di persepuluhan (Desil) dan letak data di perseratusan (Persentil).

8

Median = Rata-rata median Median adalah suatu nilai tengah

yang letaknya sedemikian rupa sehingga data yang telah disusun berdasarkan urutan nilai terbagi menjadi dua sama banyak.

Ini berarti bahwa 50% data terletak di bawah median dan 50% terletak di atas median.

Jadi median adalah posisi tengah dari suatu distribusi yang sudah diurut.

Median (Pertengahan), dari suatu himpunan bilangan yang disusun menurut urutan besarnya (array data) adalah nilai pertengahan atau nilai tengah hitung dari pertengahan, dinyatakan dengan adalah :

2

1n D a ta k e M e

DATA GANJILHasil pengukuran berat badan (kg) 11 orang petugas puskesmas adalah

50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77Berapakah : Mediannya ?Jawab :

= Data ke 6 = 61

2

1n D a ta k e M e

2

11 1D a ta k e

DATA GENAPHasil pengukuran berat badan (kg) 12 orang petugas puskesmas adalah

50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77,80

Berapakah : Mediannya ?Jawab :

= Data ke 6,5

= Data ke 6 + 0,5 (data ke 7 – 6)

= 61 + 0,5 (64 – 61) = 62,5

2

1n D a ta k e M e

2

11 2 D a ta k e M e

QUARTIL (PEREMPATAN)dari suatu himpunan bilangan yang disusun menurut urutan besarnya (array data) adalah nilai perempatan atau nilai tengah hitung dari dua nilai tengah dinyatakan dengan adalah :

dimana : i =1,2,3.

4

1 )i(n D ata ke Q i

Dalam bentuk garis bilangan :

Hasil pengukuran berat badan (kg) 11 orang petugas puskesmas adalah

50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77Berapakah : Q1, Q2 dan Q3 ?

= = Data ke 3 = 60

411

1

)(n D a ta k e Q

411 1 )(

D a ta k e

eM

411 13

3

)( D a ta k e Q

= Data ke 9 = 70

DESIL (PERSEPULUHAN) Dari suatu himpunan bilangan yang disusun menurut urutan besarnya (array data) adalah nilai persepuluhan atau nilai-nilai yang membagi data atas sepuluh bagian yang sama, dinyatakan dengan adalah :

dimana : i =1,2,3.

1 01 )i(n

D a ta k e D i

= = 61=

Hasil pengukuran berat badan (kg) 11 orang petugas puskesmas adalah 50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77Berapakah : D3, D5 dan D8 ?

= = Data ke 3,6

= Data ke 3+0,6(Data ke 4–Data ke 3) = 60 + 0,6 (60 - 60) = 60

1 0

133

)(n D a ta k e D

1 0

1113 )(D a ta ke

5D

2Q eM = =

1 0

11188

)( D a ta ke D

=Data ke 9,6 = Data ke 9 + 0,6 (Data ke 10 – Data ke 9)

= 70 + 0,6 (75-70) = 73

PERSENTIL (PERSERATUSAN) Dari suatu himpunan bilangan yang disusun menurut urutan besarnya (array data) adalah nilai perseratusan atau nilai-nilai yang membagi data atas seratus bagian yang sama, dinyatakan dengan Pi adalah :

Hasil pengukuran berat badan (kg) 11 orang petugas puskesmas adalah 50,53,60,60,60,61,64,67,70,75,77Berapakah : P35, P50 dan P70 ?

= Data ke 4+0,2(Data ke 5–Data ke 4)

= 60 + 0,2 (60 - 60) = 60

1 0 01 )i(n

D a ta k e P i

Dimana I = 1,2,3.....

Jawab : 1 0 0

13 535

)(n D a ta ke P

= 1 0 0

11 13 5 )(D a ta k e

= Data ke 4,2

= Data ke 8 + 0,4 (Data ke 9–Data ke 8) = 67 + 0,4 (70 - 67) = 68,2

50P = 5D = 2Q = eM = 61

1 0 011 17 0

70

)( D a ta k e P

= Data ke 8,4 = Data ke 8 + 0,4 (Data ke 9 – Data ke 8)

19

DATA BERKELOMPOKPenyusunan Distribusi Frekuensi

1. Cari kisaran atau range (R) dengan cara : R = Nilai maksimum – Nilai minimum

2. Tentukan jumlah kelas dan interval kelas (sebaiknya sama).

Jumlah kelas (Rumus Sturges) : K = 1 + 3,3 log N dimana K = jumlah kelas

N = jumlah data (observasi) Interval kelas Ci= R/K3. Banyak observasi yang termasuk dalam

tiap kelas dihitung (disebut frekuensi)

20

Contoh : Berikut adalah tinggi badan dari 40

siswa.183 165 166 155 169 163 157 181 163 173157 178 168 161 169 182 150 180 168 169 165 157 177 171 157 164 167 171 166 181174 184 157 160 156 175 164 163 183 179Jawab :1. R = 184 – 150 = 342. K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 6,29 7 Interval kelas = 34/7 = 4,85 5

21

Tabel 1. Distribusi frekuensi tinggi badan 40 orang siswa

Tinggi badan (cm)

Frekuensi

Frekuensi relatif

(%)

Frekuensi kumulatif

(%)

150 – 154 1 2,5 2,5

155 – 159 7 17,5 20,0

160 – 164 7 17,5 37,5

165 – 169 10 25,0 62,5

170 – 174 4 10,0 72,5

175 – 179 4 10,0 82,5

180 – 184 7 17,5 100,0

Jumlah 40 100,0

22

MEAN = RATA-RATA HITUNG

i

ii

n

ii

n

iii

f

.xf

f

.xfx

1

1

x

ii xf

if

= rata-rata hitung

= Jumlah hasil kali frekuensi kelas dengan nilai tengah pada kelas yang sama

= Jumlah seluruh frekuensi kelas

23

Contoh :Tinggi

badan (cm)

fXi

f .xi

150 – 154 1 152 152

155 – 159 7 157 1099

160 – 164 7 162 1134

165 – 169 10 167 1670

170 – 174 4 172 688

175 – 179 4 177 708

180 – 184 7 182 1274

Jumlah 40 6725

406725

x = 168,125 cm

24

Rumus lain

i

ii

iSn

ii

n

iii

iS f

dfCx

f

df Cx x

1

1

x

Sx

iC

ii df

if

= rata-rata hitung

= rata-rata sementara (guessed mean) diambil dari salah satu nilai tengah (Xi) dan biasanya pada kelas dengan frekuensi terbesar.

= Lebar kelas (confidence interval)

= Jumlah hasil kali frekuensi kelas dengan simpangan pada kelas yang sama

= Jumlah seluruh frekuensi kelas

25

Contoh :Tinggi

Badan (cm)f d f.d

150 – 154 1 -3 -3

155 – 159 7 -2 -14

160 – 164 7 -1 -7

165 – 169 10 0 0

170 – 174 4 +1 +4

175 – 179 4 +2 +8

180 – 184 7 +3 +21

Jumlah 40 +9

1672

169)(165Nto 168,125

409

5167x

Xi

26

Rumus :

f)f(Me'

iLMe kum

dimana : Me = median L = batas bawah kelas median i = interval kelas Me’ = jumlah pengamatan dari median = ½ n fkum = frekuensi kumulatif sebelum median f = frekuensi median

MEDIAN

27

Contoh :Tinggi badan

(cm)Frekuensi fkum

150 – 154 1 1

155 – 159 7 8

160 – 164 7 15

165 – 169 10 25

170 – 174 4 29

175 – 179 4 33

180 – 184 7 40

Jumlah 40

Posisi Median = n+1 2

= 40+1 2

= 20,5 (Kelas 4)

28

101520

5164,5Me

= 167 cm

f)f(Me'

iLMe kum

29

MODUS

Rumus :

21

1

ΔΔΔ

iLMo

dimana : Mo = modus L = batas bawah kelas modus i = interval kelas = selisih antara kelompok modus dengan sebelumnya = selisih antara kelompok modus dengan sesudahnya

1

2

30

Contoh :Tinggi badan (cm) Frekuensi

150 – 154 1

155 – 159 7

160 – 164 7

165 – 169 10

170 – 174 4

175 – 179 4

180 – 184 7

Jumlah 40

93

5164,563

35164,5

4)(107)(10710

5164,5Mo

= 166,2 cm

QUARTIL

Li

i

i

Q

ki

iQi f

fi.N

C B P BQ 4Li

ifN

kif

iQf

iC

= Batas Paling Bawah pada kelas Kuartil ke-i. Kelas Kuartil ke-i adalah kelas dimana data ke (i.N/4) berada.

= jumlah keseluruhan data

= Frekuensi kumulatif sebelum kelas Kuartil ke-i atau jumlah seluruh frekuensi kelas sebelum frekuensi kelas Kuartil ke-i.

= Frekuensi pada kelas Kuartil ke-i= Lebar kelas= 1, 2, dan 3. i

32

Contoh :Tinggi badan(cm) f fkum

150 - 154 1 1

155 - 159 7 8

160 - 164 7 15

165 - 169 10 25

170 - 174 4 29

175 - 179 4 33

180 - 184 7 40

Jumlah 40

Posisi Q1 = 1(n+1) 4

= 1(40+1) 4

= 10,25 (Kelas 3)

i

i

Q

ki

iQi f

fi.N

C B P BQ 4Li

= 159,5 + 5 (10-8) 7

= 159,5 + 1,43 = 160,93

Besar

DESIL

Li

ifN

kif

iC

= Batas Paling Bawah pada kelas Desil ke-i. Kelas Desil ke-i adalah kelas dimana data ke (i.N/10) berada.

= jumlah keseluruhan data

= Frekuensi kumulatif sebelum kelas Desil ke-i atau jumlah seluruh frekuensi kelas sebelum frekuensi kelas Desil ke-i.

= Frekuensi pada kelas Desil ke-i= Lebar kelas= 1, 2, …….., 9. i

i

i

D

ki

iDif

fi.N

C B P BD 1 0Li

iDf

35

Contoh :Tinggi badan

(cm)Frekuensi fkum

150 – 154 1 1

155 – 159 7 8

160 – 164 7 15

165 – 169 10 25

170 – 174 4 29

175 – 179 4 33

180 – 184 7 40

Jumlah 40

Posisi D6 = 6(n+1) 10

= 6(40+1) 10

= 24,6 (Kelas 4)

D6= 164,5 + 5 (24-15) 10

= 164,5 + 4,5 = 169

Besar

DESIL

i

i

D

ki

iDif

fi.N

C B P BD 1 0Li

PERSENTIL

Li

ifN

kif

iC

= Batas Paling Bawah pada kelas Persentil ke-i. Kelas Persentil ke-i adalah kelas dimana data ke (i.N/10) berada.

= jumlah keseluruhan data

= Frekuensi kumulatif sebelum kelas Persentil ke-i atau jumlah seluruh frekuensi kelas sebelum frekuensi kelas Persentil ke-i.

= Frekuensi pada kelas Persentil ke-i= Lebar kelas= 1, 2, …….., 99. i

i

i

P

ki

iPif

fi.N

C B P BP 1 0 0Li

iPf

38

Contoh :Tinggi badan(cm) f fkum

150 - 154 1 1

155 - 159 7 8

160 - 164 7 15

165 - 169 10 25

170 - 174 4 29

175 - 179 4 33

180 - 184 7 40

Jumlah 40

Posisi P10 = 10(n+1) 100

= 10(40+1) 100

= 4,1 (Kelas 2)

P10= 154,5 + 5 (4-1) 7

= 154,5 + 2,1 = 156.6

Besar

PERSENTIL

i

i

P

ki

iPif

fi.N

C B P BP 1 0 0Li

SEKIAN