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Movimento Circular I
Restrições ao movimento:● Rotação de corpo rígido;● Rotação em torno de um eixo fixo.
Estudo:● Posição, velocidade e aceleração angular;● Grandezas angulares e lineares;● Inércia de Rotação e Energia Cinética de
Rotação.
Posição Angular
Dado um corpo rígido executando um movimento circular em torno de um eixo fixo:
x
y
0
Dado um corpo rígido executando um movimento circular em torno de um eixo fixo:
r
θ>0
θ '<0
Unidades:
● Radianos
● Graus
● Grados
● Revoluções
[θ]=rad
πrad=180°
πrad=200 gon
2πrad=1rev+ sentido anti-horário– sentido horário
Posição Angular
Posição angular é uma grandeza adimensional.
x
y
0
1uc
1−1
−1
1
θ
Radianos:
“é definido como sendo o comprimento do arco de circunferência em um círculo de raio unitário.”
0
π/2rad
π rad
3 π/2rad
2π rad
π :
“é o comprimento de meia circunferência em um círculo de raio unitário.”
Variação daPosição Angular
Movimento circular de um corpo rígido ⇒ raio constante:
x
y
0
Δθ=θf−θi
θi
θf
Velocidade Angular
Média:
ω=ΔθΔ t
x
y
0
t i
θi
θf
t fUnidades:
[ω]=[Δθ][Δ t ]
= rads
=rad / s
Outras unidades:
rev /s=rps
rev /min=rpm
1rev / s=2π rad / s
1rev /min=2π60rad / s
ω
Velocidade Angular
Instantânea:
ω= limΔ t→0
ΔθΔ t
x
y
0
t i
θi
θf
t f
ω= dθd t
ωi
Aceleração Angular
Média:
α=ΔωΔ t
x
y
0
t i
θi
θf
t fωi
ωf
Instantânea:
α= limΔ t→0
ΔωΔ t
α= dωd t
Aceleração Constante
Linearx
Grandezas
θAngular
v=Δ xΔ t
ω=ΔθΔ t
a=Δ vΔ t
α=ΔωΔ t
v=d xd t
a= d vd t
ω= dθd t
α= dωd t
Aceleração constate
a=a
v=v f+vi
2
α=α
ω=ω f+ωi
2
v=Δ xΔ t
a=Δ vΔ t
ω=ΔθΔ t
α=ΔωΔ t
Aceleração Constante
Linear Angular
Aceleração constate
Δθ=ω+ω0
2t
v=v0+at
Δ x=(v+v0)
2t
Δ x=v0 t+12a t2
Δ x=v t−12a t2
v2=v02+2aΔ x
ω=ω0+α t
Δθ=ω0 t+12α t2
Δθ=ω t−12α t2
ω2=ω02+2αΔθ
Grandezas Lineares eAngulares
Relacionar as grandezas Lineares às grandezas Angulares.
x
y
0
rS=r θ
S=r θ
com r constante
1−1
−1
1
1uc θ d Sd t
=d (r θ)d t
=d rd t
θ+r dθd t
derivando esta expressão em relação ao tempo:
v=rω
d Sd t
=r d θd t
v
Grandezas Lineares eAngulares
A velocidade tangencial é proporcional a distância do eixo de rotação.
x
y
0
S1
S2S3
v1
v2
v3
v1=r1ωv2=r2 ω
v3=r3ω
r1>r2>r3 ⇒v1>v2>v3ω
v
Grandezas Lineares eAngulares
Derivando a aceleração tangencial
x
y
0
v=rω
d vd t
=r dωd t
ainda com r constante
at=rα
Esta aceleração mede a taxa com que o módulo da velocidade tangencial varia no tempo.
at
v i
Aceleração Radial
Suponha um corpo executando um movimento circular a velocidade constante.
x
y
0
v x=v cosθ
a=Δ vΔ t
=Δ v xΔ t
i+Δ v yΔ t
j
Δ vx=vxf−vxi=0
v f
θθ
v y=v senθ
∣v i∣=∣v f∣=v
θ
θ
v i
v f
−v y
v yv x
Calculando a aceleração média no intervalo if:
r
a=ax i+ ay j
Δ vx=v yf−v yi=−2 v y
Aceleração Radial
⇒ a y=−2 v yΔ t
=−2 v senθΔ t
v= SΔ t
=2(rθ)Δ t
v i
x
y
0
v f
θθr
a=a y j
Como a velocidade é constante:
⇒ Δ t=2r θv
ay=−2 v2 senθ
2r θ=−v
2
rsenθθ
ay=ar=−v2
r⋅lim
θ→0
senθθ
ar=−v2
r
a
S
Aceleração
at=d vd t
=rαv (t)
x
y
0
θr
Aceleração tangencial:
ar=−v2
r
ar
at
Num movimento circular pode haver dois tipos de aceleração:
Que mede a taxa com que a velocidade tangencial muda no tempo.
Aceleração radial:
É sempre diferente de zero em todo movimento circular
var
ar v
v
Aceleração
at=0 ⇒ v=const ; α=0
A aceleração tangencial pode ser zero em um movimento circular:
ar=−v2
r
Já a aceleração radial é necessária para o corpo fazer o movimento circular, alterando a direção do seu movimento a cada instante.
ar
r
arv
Δ v
Δ vΔ v
ar
v
ar
v
arv
arv ar
v
ar
v
ar
v
0
v2
Energia Cinética de Rotação
Duas massas são fixadas nas extremidades de uma haste rígida, de massa desprezível, giram em torno de um ponto fixo.
0
K=K1+K2
v1
A energia cinética do sistema:
r1
r2m1
m2
ω
K=12m1 v1
2+ 12m2v2
2
K=12m1r1
2ω2+12m2r2
2ω2
K=12(m1r1
2+m2r22)ω2
v1=r1ω v2=r2 ω
I=m1r12+m2r2
2
Energia Cinética de Rotação
Energia Cinética de Rotação
I=∑mi ri2
K R=12I ω2 K T=
12M v2
Inércia de Rotação para corpos puntiformes:
[ I ]=[m][r2]=kg⋅m2
Se comparado a Energia Cinética de Translação:
Unidade:
Exemplo
Uma esfera pequena, de 250g, é presa a uma haste de massa desprezível, inicialmente a a 1,00m de uma extremidade que está fixada a um eixo giratório.
(a) determine a inércia de rotação deste sistema e a sua energia cinética, quando este girar a 10rps.
I=∑mi ri2=0,250⋅1,002 ⇒ I=0,250 kgm2
ω=10⋅2π=62,8 rad / s
K R=12I ω2=1
2⋅0,250⋅62,82 ⇒ K R=493 J
Exemplo
(a) se a massa for movida para a 1,30m de distância do eixo de rotação, calcule novamente sua inércia de rotação e energia cinética.
I=∑mi ri2=0,250⋅1,302 ⇒ I=0,423 kgm2
K R=12I ω2=1
2⋅0,423⋅62,82 ⇒ K R=833 J
(1,30−1,00)m1,00m
=30%(833−493)J
493 J=69%
Observe que um aumento de 30% na distância entre a massa e o eixo de rotação gerou um aumento de 69% na energia cinética de rotação do sistema, a mesma velocidade angular.
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