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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, página 2
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil
hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de
interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,
aplicaciones de la investigación…
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,
Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Director
Israel García Alonso
Comité editorial
Hugo Afonso, Alicia Bruno, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Josefa Perdomo Díaz, Melquíades Pérez
Pérez.
Consejo asesor
José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel
Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,
Luis Rico y Xavier Vilella.
Portada.
Autor: Ricardo Basco Vidales. Título: “Radios y Sectores Vegetales”
(Concurso Fotografía y Matemáticas 2018)
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife). España
Email: administracion@sinewton.org
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Ana Rosa Díaz Rodríguez (Vicepresidenta), Jonay Hernández
Arteaga (Secretario), Sandra Díaz Bethencourt (Vicesecretaria), Sergio Alexánder Hernández Hernández
(Tesorero), María Nila Pérez Francisco (Secretaria de Actas), Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria).
Coordinadores insulares: Purificación Jurado Antúnez (El Hierro), Carmen Delia Clemente Rodríguez
(Fuerteventura), Arístides Ramírez Martel (Gran Canaria), Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), Carmen
Sonia Fernández Valdivia (Lanzarote), José Felipe Díaz Barrios (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán
(Tenerife).
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y
noviembre.
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 3-4
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Índice
Editorial 5
Artículos
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre
asíntotas de funciones 7
R. Scorzo, A. Favieri
La caricatura y los memes como herramienta de divulgación matemática. Una
experiencia en el aula. 29
P. Balda Alvarez
¿Hay diferencias en competencia matemática entre alumnos de un mismo
curso? Un estudio con futuros maestros. 43
R. N. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa
Estrategias de cálculo mental empleadas por una alumna de segundo grado de
primaria: El caso de Luisa. 67
T. Rodríguez Quintero, J. A. Juárez López
Secciones
Experiencias de aula
El trabajo cooperativo en Matemáticas 83
I. García Esteban
Mundo Geogebra
Explorando relaciones geométricas en GeoGebra 97
C. Ueno Jacue
Problemas
Hablemos de Paenza 107
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Índice (continuación)
4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 102 noviembre de 2019
5
Juegos
Juegos de alineamiento: variantes del tres en raya 123
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Propuestas para el aula
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales 139
N. Muñoz Capitán, P. Vicente Montserrat, G. Mateu García, F. J. Prado Bayarri
Aproximación didáctica a las matemáticas a través de la programación en R
161
J. Calahorra Tovar, T. Aguilar Ávila, S. Diciembre Sanahuja, D. Sanchiz
Rubert
Leer Matemáticas
Las matemáticas de la luz. M. de León y A. A. Timón 185
Reseña: J.F. Balsa González, M.E. Segade Pampín
M. C. Escher Calidociclos. D. Schattschneider, W. Walker 189
Reseña: M. Sagasti Escalona
Etnomatemáticas. Entre las tradiciones y la modernidad. U. D’Ambrosio 191
Reseña: L. López Martín
Informaciones 193
Normas para los autores 195
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de Profesores de Matemáticas
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ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 5-6
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Israel García, Director de Números
Han pasado 50 años desde que en el curso 1969-1970 dieron comienzo en la Universidad de La
Laguna los estudios de Matemáticas. Estudios que, de forma ininterrumpida, han preparado a la
mayoría de los profesores y profesoras que actualmente se encuentran en las aulas de nuestra
geografía. Para conmemorar dicho evento, la sección de Matemáticas, de la Facultad de Ciencias de la
Universidad de La Laguna ha organizado un calendario de actividades en torno a las matemáticas a lo
largo del curso 2019-2020. A lo largo de estos cincuenta años han pasado por los estudios de
Matemáticas en estos años cerca de 3000 estudiantes, de los que han obtenido el título de licenciado o
graduado 1245 alumnos. Muchos de ellos son lo que, actualmente, desarrollan su labor profesional con
esta formación.
Como inicio de esta conmemoración, se desarrolló un ciclo de conferencias en el mes de
octubre. Nos gustaría traer aquí parte de la conferencia impartida por la Dra. Michèle Artigue,
profesora emérita de la Universidad Paris Diderot e investigadora de prestigio internacional en
Educación Matemática. En su conferencia hizo un recorrido por las investigaciones que se han ido
sucediendo en Educación Matemática en los últimos años y se detuvo en un aspecto que preocupa a
muchos investigadores y docentes: la transición de las matemáticas del Bachillerato a las matemáticas
de la Universidad. Siempre se ha visto esta transición difícil para los estudiantes. Pero los estudios que
se realizan actualmente sobre esta transición se están desarrollando con un enfoque diferente. Así, la
Dra. Artigue indica que en las últimas investigaciones se considera el paso del Bachillerato a la
Universidad como una transición entre instituciones o culturas, y que será necesariamente
problemática debido principalmente a dos aspectos:
- Cambios en las prácticas matemáticas y en las normas institucionales o culturales
asociadas a dichas prácticas.
- Y al carácter implícito de muchas de estas normas y su modo de transmisión.
Las investigaciones, según la investigadora, están mostrando que en esta fase se producen
muchas micro-rupturas que pueden ser las causantes de las dificultades que se observa, y aportaba
como ejemplos:
- Aceleración de la velocidad de introducción de nuevos objetos matemáticos
- Creciente diversidad de tareas
- Requiere de mayor autonomía en los procesos de resolución
- Nuevos equilibrios entre lo particular y lo general, entre las dimensiones de las
herramientas y objeto de los conceptos matemáticos
Todas estas micro-rupturas van generando un vacío didáctico que los estudiantes deben llenar
por sí mismos y que no siempre lo hacen de forma satisfactoria. Y termina su conferencia haciendo un
llamamiento a la investigación acerca de esta transición como fuente de estudio para la mejora de la
enseñanza tanto en el Bachillerato como en los primeros cursos en la Universidad.
Editorial
6 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
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Le deseamos a los estudios de Matemáticas de la Universidad de La Laguna un feliz 50
aniversario y que sigan siendo referente en formación, investigación e innovación en Canarias para
todos los que nos dedicamos a una profesión que se relacione de alguna manera con la matemática.
En este número de Números.
Comienza este volumen con un trabajo acerca de las imágenes mentales y conceptuales que los
estudiantes generan con el trabajo que se realiza en un curso de matemáticas de la universidad usando
el software mathematica. Continuamos con un trabajo en el que se utilizan los memes y caricaturas en
el aula de matemáticas y cómo nos permite desarrollar un trabajo en clase que sea lúdico y a la vez
formativo. El tercer trabajo que ofrecemos en este volumen realiza un estudio comparativo entre
diferentes grupos de estudiantes para maestro de Educación Primaria ante un cuestionario de 30
preguntas de problemas matemáticos de 6º de primaria. Y cierra esta sección un trabajo en el que se
analizan las estrategias de cálculo mental que ofrece una estudiante de segundo grado de Primaria.
Contaremos con las secciones habituales de la revista: Experiencias de aula, Mundo Geogebra,
Juegos, Problemas y Leer Mates.
Esperamos disfruten este nuevo volumen.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 7-27
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software
sobre asíntotas de funciones
Roxana Scorzo
Adriana Favieri
(Universidad Nacional de La Matanza. Argentina)
Fecha de recepción: 7 de noviembre de 2019
Fecha de aceptación: 22 de mayo de 2019
Resumen En el presente artículo presentamos un Test, que aplicamos entre estudiantes de primer
año, para determinar las imágenes mentales y conceptuales sobre rectas asíntotas de
funciones cuando se trabaja con el software “Mathematica”. Explicaremos cómo lo
implementamos en un curso de Análisis Matemático I de carreras de ingeniería de la
Universidad Nacional de La Matanza. Este test fue elaborado y se utilizó como insumo
para una Tesis de Maestría sobre Enseñanza de las Ciencias Exactas. Explicitamos
también la experiencia previa que inspiró esta actividad y los resultados que se
obtuvieron en ella que impulsaron en parte el diseño del test que presentamos.
Palabras clave Asíntotas-Test-Software Mathematica-Imágenes mentales y conceptuales
Title Test about mental and conceptual images with the use of software about asymptotes
of functions
Abstract In the current article we present a Test applied to first-year students, which objective is to
determine the mental and conceptual images about straight asymptotes of functions when
working with Mathematica software. We will explain how we implemented it in the
Mathematical Analysis I course in the engineering careers of the Universidad Nacional
de La Matanza (UNLaM). This test was developed and used as an input for a Master's
Thesis about Teaching of Exact Sciences. We also explain the previous experience that
inspired this activity and the results obtained in it, which in part boosted the design of the
test that we presented.
Keywords Asymptotes-Test-Mathematica Software-Mental and conceptual images
1. Introducción
En el presente artículo presentamos un Test para determinar las imágenes mentales y
conceptuales sobre rectas asíntotas de funciones cuando se trabaja con el software “Mathematica”.
Haremos referencia a las líneas teóricas en las cuales nos apoyamos para comprender y explicitar
dicho concepto a partir de la aplicación del Test. Explicitaremos también la forma de implementación
del mismo. La aplicación del Test tiene por objetivo recabar información para un trabajo de
investigación vinculado con el trabajo final de tesis de quien suscribe, para obtener título de Magister
en Enseñanza de las Ciencias Exactas.
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo
8 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Para fundamentar la comprensión y explicitación del concepto de rectas asíntotas a una función,
cuando se usa software específico, nos basamos en una teoría cognitivista que versa sobre imágenes
conceptuales, cuyos referentes principales son Tall y Vinner, para lo cual hemos realizado una
exhaustiva indagación bibliográfica. El mismo fue aplicado a la totalidad de un curso de primer año de
carreras de Ingeniería de la cátedra Análisis Matemático I de la Universidad Nacional de La Matanza.
Vinner (1983) define imagen mental relacionada con un concepto matemático como el conjunto
de todas las imágenes que están asociadas al mismo y que puede incluir cualquier representación
visual del concepto, incluso símbolos, gráficos o palabras. El diseño de la primera parte del test fue
inspirado en un trabajo del autor que versa sobre funciones y en el cual, a partir de una pregunta
abierta, categoriza las imágenes mentales que los estudiantes tienen del concepto antes de definirlo
formalmente.
Con respecto a las imágenes conceptuales, Vinner (1983) las define como el conjunto de
propiedades asociadas con el concepto junto con la imagen mental. Tall y Vinner (1981) desarrollaron
el concepto de imagen conceptual o imagen del concepto, contrastándolo con la definición de los
conceptos. La imagen del concepto se define como la estructura cognitiva que se asocia con el
concepto, que incluye todas las imágenes mentales, las propiedades y procesos asociados. Cambia a
medida que el individuo experimenta nuevos estímulos, y las imágenes mentales desarrolladas pueden
producir conflictos futuros.
Por otra parte, se verá en el Test que los ejercicios se presentan en diferentes registros de
representación ya que como lo expresa Duval (1993) los pasajes de un registro a otro enriquecen las
imágenes conceptuales que un sujeto tiene sobre un determinado concepto.
Como planteamos anteriormente este Test se aplicó en un curso de la materia Análisis
Matemático I, a cargo de quien suscribe este artículo. La asignatura se cursa en forma cuatrimestral,
con dos parciales y un trabajo práctico obligatorio para acreditar la materia, que los estudiantes
realizan usando el software “Mathematica”. El contenido de este trabajo práctico abarca los siguientes
temas: funciones, límites, asíntotas y continuidad. Es decir, los estudiantes conocen la herramienta
informática, cuentan con tutoriales de libre acceso, realizados por los docentes de la cátedra, donde se
explicitan los principales comandos del software.
La experiencia se llevó a cabo tres semanas después de haber comenzado el dictado de la
materia, y no habiéndose enseñado el tema de rectas asíntotas a gráficos de funciones en los
laboratorios de la Universidad. Los alumnos trabajaron en forma grupal y fueron observados y
orientados por tres docentes.
El Test se dividió en dos partes que denominamos Actividad 1 y 2 respectivamente. La primera
actividad se resolvió antes de la enseñanza del concepto de asíntotas siendo el objetivo de la misma
obtener imágenes mentales acerca del tema y la segunda, luego de explicarlo, para describir las
imágenes conceptuales vinculadas al uso de la herramienta informática. Ambas instancias se
desarrollaron en las computadoras del laboratorio donde está instalado el software “Mathematica®”.
que utilizaron para realizarlas. Ambas actividades se llevaron a cabo en forma grupal, participaron de
la experiencia 57 alumnos divididos en 20 grupos.
La Actividad 1 fue igual para todos los grupos, en cambio la segunda se presentó en cuatro
grupos denominados A, B, C y D en cada uno de ellos había cuatro ejercicios en diferentes registros de
representación: algebraico, gráfico, verbal y combinando los dos primeros. Esto se decidió dada la
gran cantidad de alumnos y además porque no hubieran podido analizar las dieciséis funciones
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo
9 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
seleccionadas, fundamentadas a la luz de nuestro marco teórico y en virtud de experiencias previas
llevadas a cabo con actividades vinculadas con asíntotas y uso de software.
2. Experiencia previa
Un trabajo previo al diseño del instrumento que presentamos en este artículo fue una actividad
sobre funciones racionales realizada con elsoftware matemático “Mathematica®”. Dicha actividad
formó parte de un trabajo práctico del denominado taller de informática de la cátedra Análisis
Matemático I, del Departamento de Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas de la Universidad
Nacional de la Matanza. En la misma indagamoslas ideas que tienen los alumnos sobre las raíces de
funciones racionales y las intersecciones de la asíntota oblicua y la función, como así también el
desempeño de los mismos al resolver la actividad con el software mencionado. Nos planteamos como
objetivos de dicha actividad:
Conocer la postura de los alumnos de Análisis Matemático I, ante una proposición falsa con
respecto a las raíces de una función racional.
Analizar el desempeño de los alumnos de Análisis Matemático I, al calcular dominio y raíces
de una función racional usando software “Mathematica®”.
Establecer la incidencia que tiene la resolución anterior realizada con el software en la
revisión de la postura dada por el alumno ante la proposición falsa con respecto a las raíces
de una función racional.
Identificar la opinión de los alumnos de Análisis Matemático I, con respecto a una
proposición falsa con respecto a la intersección de asíntotas oblicuas a funciones racionales y
la propiafunción.
Describir las resoluciones hechas por los alumnos de Análisis Matemático I al calcular las
asíntotas verticales y oblicuas de una función racional y la intersección con dicha función
usando software “Mathematica®”
Examinar la incidencia que tiene la resolución anterior realizada con el software en la
revisión de la postura dada por el alumno ante la proposición falsa con respecto a la
intersección de asíntotas oblicuas a funciones racionales y la función.
2.1 Actividad propuesta
Describimos a continuación el enunciado de la actividad, para cumplir con los objetivos antes
enumerados, que los alumnos resolvieron utilizando el software Mathematica®.
Responder V ó F. Justificando tus respuestas.
1. Las raíces de una función racional son siempre los valores que anulan el numerador.
2. La intersección entre una asíntota oblicua y la función siempre es vacía.
Resuelve el siguiente ejercicio:
Dada la función: 6
7
43
2)(
xx
xxxf
Determinar:
a. Dominio. Raíces.
b. Vuelve a analizar lo respondido en el ítem 1 y explicar si mantienes o no tu respuesta.
c. Ecuaciones de las asíntotas
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo
10 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
d. Determinar si existe punto de intersección entre la asíntota oblicua y la función en forma
analítica usando el software.
e. Vuelve a analizar lo respondido en el ítem 2 y determinar si sostienes o no tu respuesta dada
previamente.
2.2 Algunos resultados de la experiencia
Analizamos 209 trabajos, de los cuáles a modo de ejemplo, mostramos una producción y
algunas conclusiones que pudimos obtener a partir de dicha experiencia. Nos parece importante
describir esta experiencia ya que fue el antecedente que nos inspiró para profundizar el tema y diseñar
el instrumento que haremos explícito en el presente artículo.
2.2.1.Ejemplo de producciones
Se muestra una imagen de una de las producciones de los estudiantes, aclaramos que éstos
intercambiaron la numeración de los ejercicios el 1 corresponde al 2 y viceversa.
Figura 1. Imagen de una producción
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo
11 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
2.2.2 Conclusiones de esta experiencia
La idea que las raíces de una función racional son iguales a las raíces del polinomio del
numerador persistió en un 20% de los alumnos a pesar de toda la actividad propuesta.
El software por más poderoso que sea no suple la falta de conocimiento matemático puesto
de manifiesto a la hora de plantear el sistema de ecuaciones para determinar la intersección
de la asíntota oblicua con la función.
El software propició mejorar las respuestas de los estudiantes, con respecto a la intersección
de la asíntota oblicua y la función racional propuesta en el ejercicio.
Contradicciones en la rectificación o ratificación de los valores de verdad que le asignaron a
las dos primeras proposiciones dadas.
Dificultad para justificar respuestas, si bien plantearon contraejemplos las explicaciones
brindadas fueron incompletas a pesar de contar con la herramienta informática que facilita el
cálculo algebraico.
Esto nos motivó a seguir profundizando el tema asíntotas de funciones y uso de software
matemático a la luz de un Enfoque Cognitivista que explicitaremos en el marco teórico. Por otra parte,
nos vimos en la necesidad de diseñar un test propio ya que de acuerdo a la indagación bibliográfica no
hemos encontrado un modelo que verse sobre el tema en cuestión, con el uso de la herramienta
informática elegida y a la luz de nuestro enfoque teórico que se apoya en tres pilares: imágenes
mentales y conceptuales, registros de representación y uso de tecnología en los procesos de
aprendizaje.
Este Test, será insumo de un trabajo de investigación para una tesis de Maestría de quien
suscribe, motivo por el cual consideramos pertinente la elección de este marco teórico y poder aportar
nuevas consideraciones acerca de imágenes conceptuales sobre asíntotas de funciones cuando se usa
software específico, en nuestro caso “Mathematica” y cuando los ejercicios se presentan en diferentes
registros de representación.
3. Marco teórico
3.1.Imágenes mentales y conceptuales
Tall y Vinner (1981) sostienen que la matemática, a diferencia de otras disciplinas, la definición
de sus conceptos requiere de una gran precisión ya que toda la teoría se desarrolla a partir de estos.
Muchos conceptos matemáticos tienen denominaciones similares a las ya conocidas por el alumno en
su vida cotidiana antes de ser definidos formalmente en la disciplina, estas ideas previas a la
enseñanza formal de un concepto las denominan imágenes mentales. Dado que la estructura cognitiva
de cada individuo es compleja, es posible que se generen diferentes imágenes mentales al evocar un
concepto que se pretende aprender, definir o indagar. Estos autores acuñaron el término imagen
conceptual para describir la estructura cognitiva que se asocia con un concepto matemático, que
incluye todas las imágenes mentales, propiedades, concepciones espontáneas y procesos asociados en
la elaboración del mismo. Esta imagen conceptual se construye a lo largo de los años, a través de
experiencias de todo tipo, y la misma se va modificando a medida que la persona recibe nuevos
estímulos y afina el concepto. Diferencian las imágenes conceptuales de las definiciones conceptuales,
cuando hacen referencia a éstas últimas expresan que se trata de un conjunto de términos o palabras
que son usadas para especificar cierto concepto que puede ser aprendido de memoria o en forma
significativa por parte de la persona. Los autores también señalan que en las imágenes conceptuales
hay un claro predominio de la representación visual de un concepto sobre la verbal, ya que sostienen
que en la mente de un individuo primero aparece la imagen o representación del objeto y luego lo
verbalización.
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo
12 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Otros conceptos que usan los autores es el de imágenes evocadas, estas son las que aparecen
más visibles en la mente del sujeto cuando piensa en un determinado concepto. Pueden ser
contradictorias o erróneas y esto es lo que genera lo que Tall y Vinner (1981) llaman conflicto. Así,
señalan que ciertas imágenes mentales que un sujeto tiene acerca de un concepto, elaborada en su
primera infancia, se transforman en obstáculos a la hora de definir un concepto de manera formal.
Tall (1995) distingue dos clases de pensamiento matemático: el Pensamiento Matemático
Elemental (PME) y el Pensamiento Matemático Avanzado (PMA). El primero se refiere al
pensamiento matemático vinculado con la escuela primaria y secundaria, que incluye aritmética,
álgebra y geometría. El segundo se refiere a la definición de los conceptos de manera más formal,
incluyendo deducciones lógicas, propias del nivel universitario. Afirma que el paso del PME al PMA
requiere una reconstrucción cognitiva que supone una transición que consiste por un lado describir un
objeto matemático y por otro definirlo.
3.2 Registros de representación
Desde las teorías cognitivistas las representaciones son consideradas como cualquier signo,
conjunto de símbolos del mundo exterior o bien del interior, que tienen algún significado para un
sujeto. Cualquier elemento que percibamos a través de cualquiera de nuestros sentidos, la mente lo
transforma en una representación. Mapas, diagramas, dibujos, palabras, símbolos son considerados
representaciones externas que el sujeto produce en forma intencional para cumplir un determinado
propósito. A estas representaciones externas se las denomina representaciones semióticas. En cambio,
las representaciones internas están en la mente del sujeto, pueden ser conceptos, nociones, imágenes
mentales, entre otras, que nos permiten, a pesar de no tener la presencia tangible del objeto, verlo
(Tamayo,2006).
Duval (1998) asegura que en la formación de un concepto matemático con uso de tecnología,
ésta no es el elemento central sino que las representaciones semióticas son el medio para actuar sobre
los objetos matemáticos y poder de esta forma romper con la paradoja cognitiva del pensamiento
matemático donde por un lado se encuentra la comprensión conceptual del objeto matemático y por el
otro la representación de dicho objeto.
Por otra parte, Duval (1993) marca la importancia del pasaje de un registro de representación
semiótica a otro en la construcción de un concepto matemático, sin darle primacía a uno por encima de
otro, especialmente cuando se refiere al lenguaje algebraico.
Prieto y Vicente (2006) dan una clasificación de registros de representación:
Registro verbal: El lenguaje coloquial es el utilizado para representar situaciones
que pueden ser modeladas en cualquiera de los otros registros.
Registro analítico: Se expresa analíticamente un concepto recurriendo a
notaciones matemáticas adecuadas utilizando símbolos acordados.
Registro gráfico: Es la representación en el plano cartesiano o eje real o espacio de
acuerdo a qué objeto se está tratando.
Registro figural: Implica el uso de esquemas o dibujos simplificados de una
situación problemática.(Prieto, Vicente, 2006, pp. 205-206)
En nuestro test solo usamos los tres primeros registros mencionados.
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo
13 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
3.3 Uso de tecnología en la enseñanza universitaria
Codes y Sierra (2005) señalan que existen dos líneas teóricas principales que orientan las
investigaciones sobre el uso de sistemas algebraicos computarizados: el constructivista y el
instrumental. Ambos tienen un objetivo común que es mejorar los procesos de enseñanza y
aprendizaje, pero coincidentemente con Goldenberg (2003) la discrepancia entre ambos es el modo de
llevar a cabo la mejora. El enfoque instrumental, basado en la Teoría Antropológica de lo Didáctico de
Chevallard (1999), sostiene que la forma de interactuar con los objetos matemáticos es a través de las
actividades y técnicas como mediadores del conocimiento matemático. Los autores explican que el
elemento central de este paradigma es el denominado “Génesis Instrumental” que Trouche (2003,
citado en Codes y Sierra 2005, p. 4) define como “un proceso complejo, que requiere tiempo y
conexiona las características dela herramienta (sus potencialidades y sus restricciones) con la actividad
del individuo (su conocimiento), formando un método de trabajo” (p.4). En cambio, el enfoque
constructivista no otorga el mismo valor a las técnicas ya que centra su atención en el aspecto
cognitivo del aprendizaje, es decir en la comprensión del objeto de estudio y no a la automatización
del conocimiento. Por otra parte, algunos autores señalan algunas condiciones previas necesarias para
que la incorporación de la tecnología influya favorablemente en el proceso de aprendizaje, Martinez
(2003) enumera cinco necesidades básicas que las llama acceso práctico, técnico, operativo,
relacionado con lo científico tecnológico y criterial. El primero de ellos se refiere al tiempo de
preparación tanto del docente como del estudiante para incorporar el medio tecnológico al aprendizaje,
el acceso técnico es disponer de esos medios en los ámbitos de enseñanza, el operativo al
conocimiento de la herramienta que se va a usar, el acceso científico es el conocimiento del tema
académico a tratar y finalmente el criterial es el que responde a la pregunta por qué es importante la
incorporación de cierta tecnología en el proceso de enseñanzapara que nos permita ser criteriosos en
su elección.
4. Test y Fundamentación
4.1. Organización del trabajo
A fines operativos se decidió trabajar con un blog. Muchos autores señalan la importancia de esta
herramienta tecnológica gratuita y de fácil acceso para realizar tareas en la enseñanza en general y en
particular en la universitaria (Salinas y Viticcioli, 2008). En el mismo se encontraba todo el material
que era necesario para el trabajo en el laboratorio de informática de la Universidad. Estaba dividido en
dos partes. La primera entrada del blog tenía el texto completo de la Actividad 1 y por último un
enlace a un formulario online en el cual los alumnos podían ingresar sus datos personales, nombre y
apellido y subir el archivo generado con el software, por cada uno de los grupos que intervinieron en
la experiencia.
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo
14 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Figura 2. Imagen de la primera entrada al Blog
En la segunda entrada del Blog figuraba un documento con la explicación de asíntotas que se realizó
inmediatamente después de concluida la Actividad 1.Otro archivo con los comandos básicos del
software: definir funciones, resolver ecuaciones e inecuaciones, calcular límites y graficar. El mismo
se encontraba disponible en dos formatos: pdf y nb y finalmente los cuatro grupos de actividades. Los
grupos los designamos con las letras A, B, C y D respectivamente. En cada grupo había 4 ejercicios
para resolver cada uno de ellos en distintos registros de representación: uno en registro gráfico, otro en
algebraico, otro en verbal y finalmente uno donde se combinaban los registros gráficos con algebraico.
También en esta entrada los alumnos contaban con un enlace para poder enviar sus producciones.
Cada grupo enviaba una sola producción, en total se formaron 20 grupos de trabajo y participaron de
la experiencia 57 alumnos. Todas las producciones de los alumnos eran recolectadas en una carpeta
virtual de Google Drive, servicio gratuito que permite desarrollar tareas grupales, facilita la gestión de
la clase, la entrega de las producciones y economiza papeles (Barrios y Casadei, 2014).Los grupos de
trabajo los formaron los propios alumnos según sus preferencias por lo que hubo grupos con dos, tres
o cuatro integrantes.
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo
15 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
Figura 3. Imagen de la segunda entrada al Blog
4.2.Actividad 1del Test
Para justificar esta actividad evocamos una experiencia de Vinner (1983) donde el autor realiza con un
grupo de estudiantes una pregunta abierta para indagar acerca del concepto de función y donde
describe cuáles son las imágenes que manifiestan y las agrupa en cuatro categorías. También
pretendemos nosotros, a partir de una pregunta abierta, describir qué imágenes mentales surgen sobre
rectas asíntotas de funciones usando un software específico. Queremos establecer también categorías
como lo hizo Vinner mostrando como evidencia con el software las imágenes del concepto antes de
ser enseñado y qué registros de representación utiliza. El texto de la pregunta de la Actividad 1 es:
¿Podrían explicar, haciendo uso del software, quées para ustedes una recta ASÍNTOTA a una función?
¿Qué tipo de asíntotas conocen? En este ejercicio tiene la libertad de explicar con palabras sueltas,
frases o párrafos, con gráficos, con expresiones con símbolos o números o cualquier otra forma que
consideren apropiada para exponer sus ideas. Nos interesa saber cómo representanen sus cabezas las
rectas asíntotas a una función y siempre usando el software.
Nota: es importante que para responder a esta actividad no usen libros, apuntes, o sitios web, sólo
expliciten en detalle lo que conocen ustedes.
4.3. Actividad 2 del Test
Como hemos explicitado anteriormente esta actividad la dividimos en cuatro grupos con el mismo
encabezado como se observa en la Figura 3. Las razones por las cuales hemos dividido el trabajo de
esta forma son:
La gran cantidad de alumnos que participaron de la experiencia.
El tiempo de duración de la clase: no hubieran podido analizar las 16 funciones propuestas
en detalle y discutiendo en los grupos de trabajo.
Consideramos importante repetir los mismos registros de representación en cada grupo, pero
plantear funciones con diferentes características que fundamentamos para cada una en
función de experiencias previas como la descripta en el presente artículo.
Test sobre imágenes mentales y conceptuales con uso de software sobre asíntotas de funciones R. Scorzo
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Figura 4. Encabezado de la Actividad 2
4.4. Consideraciones acerca del software “Mathematica” y conocimientos previos de los
estudiantes
Nos parece importante señalar que si bien “Mathematica” es un software que requiere licencia y la
Universidad al momento de realizar la experiencia contaba con la misma, también existe una
plataforma libre, que solo requiere un correo electrónico para acceder a la misma, que los estudiantes
utilizan para realizar las prácticas obligatorias que tienen en la cátedra para acreditar la materia. Al
momento de realizar la experiencia los alumnos ya conocían y usaban el software, no obstante,
consideramos importante incorporar un pequeño tutorial en la Actividad.
El acceso a la misma se puede realizar a través del siguiente enlace:
http://develop.open.wolframcloud.com/app/. Los comandos que se deben utilizar para dar respuesta a
los ejercicios propuestos en el Test que presentamos, están disponibles en la plataforma de manera
igual a como se encuentran en el software cargado en las computadoras de los laboratorios de la
Universidad.
Realizamos una breve descripción de los alcances del software:
Permite determinar dominio e imagen de funciones a través de comandos específicos
(Comando Function Domain, Function Range)
Resuelve ecuaciones e inecuaciones en cualquier campo numérico, pudiendo elegir en cuál
trabajar, en nuestro caso en Reales (Comando Reduce).
Resuelve límites de cualquier tipo, para variables finitas e infinitas, sólo que se tiene que tener
en cuenta qué si no se especifica la lateralidad del límite, sólo calcula por derecha. En caso de
variables infinita: el símbolo ∞ lo toma sólo como +∞, si se quiere el cálculo en el otro sentido
hay que especificarlo usando: -∞ (Comando Limit).
Realiza gráficas de funciones expresadas en forma analítica (Comando Plot) con algunas
particularidades: no muestra las discontinuidades evitables en caso que la función la posea.
Suele graficar una línea vertical que une los saltos finitos o infinitos que presenta.
Se pueden graficar rectas verticales con diversos comandos, pero no el Plot ya que solo grafica
funciones, incluso todas las gráficas se pueden realizar en forma punteada, con color
(Comando List Line Plot).
En cuanto a los conocimientos previos de los estudiantes, en clases anteriores se desarrolló en forma
detallada las diferentes definiciones de límites, tanto finitos como infinitos. El tema de asíntotas se
trabaja en el curso de admisión, pero no vinculado con el cálculo de límites, sino que se estudian
funciones prototipo como las exponenciales y logarítmicas y se nombran sus asíntotas. En la escuela
secundaria es un tema que pocos desarrollan, y en caso de hacerlo en general con la misma modalidad
del curso de admisión, es decir a partir del estudio de funciones prototípicas agregándose las de tipo
homográficas.
4.5. Detalle de la Actividad 2 del Test
Vamos a mostrar los cuatro grupos que formaron parte de la Actividad 2, con la justificación
correspondiente de la elección de cada una de las funciones elegidas, con la mirada puesta en el marco
teórico al cual referenciamos anteriormente.
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GRUPO A
¿Podrías determinar, haciendo uso del software, las ecuaciones de las asíntotas de las
siguientes funciones que te mostramos a continuación? Para dar las respuestas puedes usar el
software libremente es decir graficando, calculando, con palabras entre otras formas que se
te ocurra.
Ejercicio 1
Objetivos del ejercicio:
Reconocer a los ejes de abscisa como asíntotas
Analizar si en todos los puntos que se anula el denominador existe AV.
Escribir correctamente las ecuaciones de las asíntotas
Observar diferencias entre el gráfico propuesto y el que arroja la herramienta
informática.
Esta función racional pero no homográfica (función prototipo) la presentamos en un doble
registro gráfico y algebraico. El registro gráfico facilita la visualización de la discontinuidad
evitable en x=1 y, el registro algebraico permite determinar el dominio de la función y
analizar los puntos en los cuales hay asíntotas verticales. El fin de este ejercicio es poner en
evidencia si el alumno reconoce el eje de abscisas como asíntota horizontal y escribe
correctamente su ecuación. También pretende revelar si el alumno asocia los valores que
anulan el denominador como puntos por los que podrían pasar asíntotas verticales. Se suma
a esto el uso del software, que tiene como característica no mostrar las discontinuidades
evitables, es decir esos agujeros blancos no los realiza y si dibujan la gráfica pueden notar la
diferencia con la que presentamos nosotros en donde ponemos en evidencia dicha
discontinuidad.
Ejercicio 2
1
1)(
2
3
x
xxg
Objetivos del ejercicio:
Observar si realizan análisis desde el registro gráfico o analítico al usar el software.
Determinar dominio de la función para iniciar el análisis.
Calcular los límites para determinar la única AV y la AO que posee la función y no
sólo dar respuesta a partir de lo que se observa en el gráfico que incurriría en errores.
Esta función racional la presentamos en registro algebraico con el fin de evaluar el
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comportamiento del alumno con el software, si determina el dominio, realiza la gráfica,
reconoce que tiene asíntota oblicua. Ponemos el acento en esta última cuestión ya que, si
solo observa el gráfico obtenido con el software no presenta la asíntota oblicua, para que
ésta aparezca, es preciso calcularla e incorporarla en el comando para graficar, por esta
razón se podría poner en duda la existencia de dicha asíntota. Por otro lado, existen dos
valores que anulan el denominador y sólo en uno de ellos existe asíntota; pretendemos
observar si calculan el límite verificando que no cumple la definición de asíntota vertical o si
solo se quedan con la representación gráfica obtenida con el software.
Ejercicio 3
Responder V o F Justificando la respuesta.
Si y=b es asíntota de f (x) entonces existe x=c perteneciente al dominio de la función tal que
f(c) =b.
Objetivos del ejercicio:
Explorar diferentes posibilidades para f(x), que pueden transformar a la proposición
en falsa o verdadera.
Reconocer a y=b como ecuación de una AH.
Observar si sólo recurren a ejemplos que ratifican la idea que una función no puede
intersecar las asíntotas.
Esta proposición a justificar su certeza o falsedad en registro es verbal, tiene por objetivo
analizar si subyacen imágenes conceptual erróneas como las siguientes: la no existencia de
puntos de intersección entre la función y las asíntotas, en este caso con la asíntota horizontal;
y otra, si en el conjunto imagen de la función siempre está excluido el valor de la asíntota
horizontal.
Ejercicio 4
Objetivos del ejercicio:
Reconocer asíntotas, aunque no figuren punteadas (AV) o si existe intersección entre
la asíntota y la función (AO).
Escribir ecuaciones de las asíntotas sin contar con la expresión analítica de la función.
A través de esta función presentada en registro gráfico, pretendemos poner en evidencia
varios aspectos, si los alumnos:
Consideran a y=x como asíntota oblicua a pesar que existe un punto de intersección
con la función.
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Son capaces de determinar la ecuación de dicha asíntota, aunque no cuenten con la
expresión analítica de la función.
Advierten la existencia de la asíntota vertical, aunque no esté graficada en línea
punteada.
Logran aproximar un valor para escribir la ecuación de dicha asíntota, ya que no es un
número entero y los alumnos suelen asociar las ecuaciones de asíntotas verticales con
números enteros.
GRUPO B
Ejercicio 1
)3ln()( xxh
Objetivos del ejercicio:
Reconocer AV en función prototípica, sólo por un lateral.
Esta función es un prototipo de función logarítmica con dos transformaciones, un
desplazamiento horizontal y una reflexión vertical. De acuerdo a la experiencia docente de
quien suscribe, los alumnos encuentran dificultades en reconocer este tipo de funciones,
aunque hayan trabajados con funciones logarítmicas desde el curso de admisión a la carrera.
La particularidad presentada en este caso es que la asíntota vertical x= -3 es sólo por
izquierda y pensamos escenarios posibles de resolución usando el software que podrían
devenir en imágenes conceptuales erróneas o diferentes a las que suelen ser frecuentes en
clases tradicionales de tiza y pizarrón. Uno de ellos está relacionado con la utilización del
software sólo para graficar pues, en el resultado obtenido la asíntota vertical no se hace
evidente como sucede con los gráficos que tiene asíntotas verticales cuyos límites laterales
son infinitos de diferentes signos. Otro escenario posible es que los alumnos pretendan
graficar dicha asíntota, y esto requiere mayor conocimiento de comandos del software ya
que para ello necesitarían recurrir a la gráfica de curvas paramétricas o comandos de recta
que pase por dos puntos y dichos comandos no se explican durante la experiencia de clase.
Pensando en escenarios más amplios que la simple obtención de gráficos, está el relacionado
con el cálculo de límites. Por defecto el software sólo los calcula por derecha y en este caso
en particular es preciso calcularlo por izquierda. Esta distinción debe estar incluida en el
comando, aspecto que fue explicado, y pretendemos observar si lo hacen pues estaría
indicando que están aplicando las definiciones de asíntotas.
Ejercicio 2
Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada
población de una especie protegida viene dado, durante los próximos años, por la función:
1
50007500)(
t
ttf
, siendo t el número de años transcurridos. Se pide:
a) Dominio e imagen bajo el contexto del problema. Tamaño actual de la población.
b) ¿Cómo evoluciona la población entre los años 4 y 9?
c) Si esta función fuese válida indefinidamente ¿se estabilizaría el tamaño de la
población? Justificar la respuesta.
La asíntota vertical en el contexto del problema ¿tiene algún significado?
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Objetivos del ejercicio:
Identificar asíntotas en funciones que responden a un contexto.
Trabajar con variables con otras denominaciones diferentes a las tradicionales.
Presentamos un problema en registro verbal y simbólico, con un modelo con prototipo de
función homográfica y de variable independiente t, con la intención de saber si el alumno la
reconoce y la analiza en el contexto del problema, reconociendo la validez de la asíntota
horizontal sólo por derecha y la no pertinencia de la asíntota vertical. Creemos que este
problema resuelto con el software nos aportaría información fundamental para identificar
imágenes conceptuales de funciones con asíntotas contextualizadas en un problema, y el
comportamiento del alumno al enfrentarse con una variable independiente diferente a “x”.
Ejercicio 3
Objetivos del ejercicio:
Estudiar la existencia de AV en puntos que pertenecen al dominio de la función.
En esta oportunidad presentamos una función en dos registros, algebraico y gráfico, con el
fin de poner al alumno ante una situación no trivial, la existencia de una asíntota vertical en
un punto perteneciente al dominio. La utilización del software en este tipo de funciones
definidas por intervalos, agiliza los cálculos de los límites laterales en x=0 y para más y
menos infinito. Nos interesa observar el uso del software ante esta situación, si sólo
responden a partir del gráfico presentado, si confirman las asíntotas a través del cálculo de
límites, teniendo en cuenta los aspectos antes mencionados.
Ejercicio 4
Tener en cuenta que el dominio de esta función es el conjunto de todos los Reales
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Objetivos del ejercicio:
Reconocer AV de un solo lateral
Expresar la ecuación x=0 como AV a pesar que el gráfico no se aproxime al eje “y”,
ya que el dato del dominio contribuye a dar la respuesta correcta.
Esta función en registro gráfico tiene asíntota vertical x=0 solo por derecha y asíntota
horizontal y=0 y este gráfico presenta características particulares: no puede precisarse si el
punto x=0 pertenece o no al dominio, y si la asíntota vertical por derecha es en x=0 o no, ya
que la distancia al eje de ordenadas no se muestra como infinitesimal. Las respuestas dadas
por los alumnos utilizando el software en esta situación nos ayudarán a entender las
imágenes conceptuales sobre asíntotas verticales y horizontales con utilización de software,
contando solo con un gráfico. Si pretenden reproducirlo, deberán explorar alguna expresión
analítica de una función que le permita reproducirlo o bien responder sólo a partir de lo que
observa, teniendo en cuenta el dato del dominio.
GRUPO C
Ejercicio 1
Responder Vo F justificando la respuesta
Si p(x) es un polinomio, entonces la función dada por 2
)()(
x
xpxf posee una asíntota
vertical cuya ecuación es x=2.
Objetivos del ejercicio:
Explorar posibilidades para p(x) que permita romper con la idea que siempre que se
anula un denominador para algún valor de x, existe AV en dicho valor.
A través de esta proposición pretendemos poner en evidencia la imagen conceptual errónea
que en todo punto que anula el denominador de una función racional existe una asíntota
vertical. El no ofrecer expresión algebraica explicita para el polinomio p(x) tiene por
objetivo analizar el comportamiento del alumno al utilizar el software, es decir ver qué tipo
de ejemplos exploran para justificar su razonamiento al argumentar si la proposición es
verdadera o falsa.
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Ejercicio 2
Objetivos del ejercicio:
Trabajar con funciones definidas por trozos que presentan dos AH
Observar el uso que realizan del software si trabajan en forma analítica, cuando
plantean los límites para verificar las diferentes asíntotas.
Este ejercicio está presentado en dos registros, algebraico y gráfico, pues la función
presenta dos asíntotas horizontales diferentes, y=2 por el lado izquierdo, y=0 por el
derecho, una de ellas con intersección con la curva y una asíntota vertical. El fin del mismo
es observar la conducta de los alumnos al utilizar el software, si buscan las asíntotas
horizontales utilizando límites para más y menos infinito, cómo trabajan con una función
definida por intervalos, y si en esta actividad se perciben imágenes conceptuales nuevas,
propias del uso del software, o persisten las imágenes que se presentan al trabajar con lápiz
y papel.
Ejercicio 3
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Objetivos del ejercicio:
Reconocer AH que son atravesadas por la función.
Poner en duda la existencia de AV, y suponer que se trata de un punto de tipo cúspide
en dicho valor de x.
Esta función presentada en registro gráfico está pensada para poner en evidencia si existe o
no la imagen conceptual errónea relacionada con la no intersección entre la asíntota y la
curva, imagen resaltada en varios libros o páginas webs, como mencionamos previamente.
Otro aspecto destacado de esta función es que la asíntota vertical no está graficada y ambas
ramas se encuentran muy próximas, con el propósito de observar la interacción de los
alumnos con el software ante esta situación, es decir pretendemos ver si buscan alguna
expresión analítica que ejemplifique la función dada, o si bien responden solo a partir de lo
observado, poniendo en duda la existencia de la AV
Ejercicio 4
xxxxg )3.()(
Objetivos del ejercicio:
Romper con la idea errónea que si una función tiene AH entonces no se analiza la
existencia de AO.
La función seleccionada en esta ocasión tiene un comportamiento distinto para más infinito
y para menos infinito, por derecha presenta una asíntota horizontal y por izquierda una
oblicua. Fue elegida para enfrentar a los alumnos a una imagen conceptual que prevalece en
algunos libros y/o páginas web que sostiene que si una función tiene asíntota horizontal
anula la posibilidad de existencia de asíntota oblicua. Al tener disponible el software nos
interesa analizar qué acciones llevan a cabo los alumnos ante esta función; si sólo grafican,
si analizan los límites correspondientes, si lo hacen de manera minuciosa, analizando para
más y menos infinito o sólo se limitan a más infinito.
GRUPO D
Ejercicio 1
Objetivos del ejercicio:
Reconocer AV donde de ambos lados se acerca a menos infinitos.
Reconocer al eje de abscisas como AH y al eje de ordenadas como AV.
La función en registro gráfico tiene a los ejes cartesianos como asíntotas y en el caso de la
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vertical la tendencia de ambos lados del cero es a menos infinito. El objetivo es analizar si
los alumnos son capaces de reconocer dichas asíntotas y escribir sus ecuaciones. También
nos interesa estudiar lo realizado con el software por los alumnos, es decir ver si buscan
un ejemplo de función en forma analítica con el mismo comportamiento que la dada en el
gráfico o si sólo responden a partir de lo observado.
Ejercicio 2
5
1004)(
2
x
xxf
Objetivos del ejercicio:
Analizar casos extremos donde la función coincide con la AO
Esta función es una recta con una discontinuidad evitable en x=5. El foco de este ejercicio
está puesto en analizar las imágenes conceptuales que surgirían al hacer uso del software,
ya que, si sólo realiza la gráfica, la discontinuidad evitable no se evidencia, muestra una
recta y se podría concluir entonces que la función no tiene AO y que su dominio son los
reales. Por otro lado, la gráfica de la función coincide con su asíntota oblicua; a pesar de
ser un caso extremo de asíntotas cumple con la definición. A través de este ejercicio
pretendemos analizar si el alumno utiliza las definiciones de asíntotas o sólo se contenta
con realizar los gráficos. Pensamos que la rapidez y facilidad de realizar visualizaciones
con el software podrían influir en la determinación de las ecuaciones de las asíntotas.
Ejercicio 3
Determinar una función que tenga como asíntotas las siguientes rectas x=3, x=1,
y=-4
Objetivos del ejercicio:
Explorar la búsqueda de funciones con el software y observar si salen de los
ejemplos prototípicos de funciones racionales
Este ejercicio en registro verbal fue seleccionado para saber cómo operan los alumnos con
el software para cumplir con lo pedido en el enunciado. Pensamos que el software podría
añadir una dificultad superior a la que se presenta si el contexto de trabajo fuera el lápiz y
papel. Esto es porque, en lápiz y papel podrían esbozar una gráfica que cumpla con las
condiciones exigidas sin necesidad de pensar en la expresión algebraica de la función. Sin
embargo, al utilizar el software es necesario buscar una fórmula de alguna función que
tenga esas asíntotas. Esto nos permitiría determinar si la imagen conceptual que prevalece
en la búsqueda es la de funciones racionales o surgen otras diferentes.
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Ejercicio 4
)1ln()( 2xexp
Objetivos del ejercicio:
Analizar una función, qué sin estar definida por trozos, posee AH y AO en forma
simultánea
Observar si sólo responden por lo que observan en el gráfico o realizan cálculos de
límites con el software.
En esta oportunidad la función se presenta en registro gráfico y algebraico y un
comportamiento distinto para más infinito y para menos infinito, por derecha presenta una
asíntota horizontal y por izquierda una oblicua. Con esta función ponemos a los alumnos
ante la imagen conceptual relacionada con la imposibilidad de coexistencia de estos tipos
de asíntotas. Al contar con la expresión algebraica de la función creemos que el
comportamiento de los alumnos al usar el software sería diferente al caso similar
presentado previamente que sólo estaba en registro gráfico. Pretendemos ver la incidencia
de los registros en el comportamiento de los alumnos con el software.
Tabla 2. Grupos A, B,C,D de la Actividad 2
Reflexiones finales
Goldenberg (2003) señala que la incorporación de tecnología en la clase de
matemática tiene importancia y que los estudiantes pueden encontrarse con diferentes
formas de presentación de actividades: aquellas que sólo requieren dar una respuesta a
un problema, sin manipular la herramienta, como por ejemplo responder un
formulario de autoevaluación. Otras en cambio, para resolver la actividad propuesta,
se necesita que el estudiante, explore, grafique, opere, entre otras cosas con el
software elegido. Nuestro Test responde a esta última característica.
Cuando uno diseña actividades para trabajar con software específico, la herramienta
condiciona dicho diseño, por este motivo explicitamos el alcance del software elegido
para llevar adelante el Test.
Las secuencias didácticas optimizan la labor docente, fomentan el trabajo
colaborativo entre los estudiantes y permiten un mejor desempeño en cuanto a la
exploración, conjetura, análisis y justificación que realizan los estudiantes al resolver
los problemas propuestos (Ortega-Arcega, M. I., Pantoja-Rangel, R., Ulloa-Ibarra, J.
T., & Zamora-Caloca, D., 2015)
También es importante señalar que hemos sometido el Test, antes de su aplicación, a
una consulta tipo encuesta, para recabar opiniones a partir de otras miradas diferentes
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a los que lo diseñamos. A partir de ello, realizamos algunos ajustes de acuerdo a
algunas consideraciones que se repetían en varios colegas.
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Roxana Scorzo. Universidad Nacional de La Matanza, Argentina. Licenciada en Gestión Educativa.
Profesora de Matemática y Astronomía. Profesora adjunta, coordinadora del curso de ingreso a carreras
de ingeniería de la asignatura matemática de la UNLaM, docente investigadora (categoría III). Profesora
adjunta de la UTN Regional Haedo. Líneas de investigación: uso de software en la enseñanza de la
matemática, hipertextos para enseñar matemática y habilidades digitales y matemáticas.
Email: rscorzo@unlam.edu.ar .
Adriana Favieri. Profesora de Matemática y Astronomía, Licenciada en Administración de la Educación
Superior y Magister en Docencia Universitaria. Actualmente es profesora asociada de la asignatura
Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica, en la Facultad Regional Haedo de la Universidad Tecnológica
Nacional y profesora adjunta de la asignatura Análisis Matemático I del Departamento de Ingeniería e
Investigaciones Tecnológicas de la Universidad Nacional de la Matanza. Docente investigadora UNLaM
(Categoría III). Participa en grupos de investigación sobre Educación Matemática y uso de TIC desde el
año 2007. Email: rscorzo@unlam.edu.ar .
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 29-41
La caricatura y los memes como herramienta de divulgación matemática.
Una experiencia en el aula.
Paola Balda Alvarez
(Institución Educativa General de Sandander. Colombia)
Fecha de recepción: 26 de febrero de 2019
Fecha de aceptación: 27 de mayo de 2019
Resumen Este trabajo presenta una experiencia de divulgación de las matemáticas a través
de los recursos comunicativos de memes y caricaturas. Se fundamenta en las
bondades que proporcionan los elementos ilustrativos para abordar diversas
temáticas, y en particular para divulgar lo aprendido en clase de matemáticas.
Los resultados de la experiencia llevada a cabo durante dos años escolares con
187 estudiantes de grados décimo y once de una institución pública en Colombia
revelan cómo el empleo de este tipo de recursos aporta a la motivación hacia las
matemáticas, desarrolla la creatividad y capacidad de síntesis, al tiempo que
contribuye una actividad dinámica e interdisciplinar.
Palabras clave Caricaturas, memes, Matemática Educativa, divulgación.
Title Caricature and memes as a tool for mathematical disclosure.An experience
in the classroom.
Abstract This work presents an experience of dissemination of mathematics through the
communicative resources of memes and cartoons; It is based on the benefits
provided by the illustrative elements to address various issues, and in particular
to disseminate what was learned in math class. The results of the experience
carried out during two school years with 187 students of grades ten and eleven of
a public institution in Colombia, reveal how the use of this type of resources
contributes to the motivation towards mathematics, develop creativity and ability
to synthesis, while contributing a dynamic and interdisciplinary entertainment.
Keywords Cartoons, Memes, Education Mathematics, divulgation.
1. Introducción
El manifiesto emitido por la red de divulgación de las matemáticas (DiMa) afirma que “La
divulgación de las matemáticas es una necesidad y una demanda social que debe ser fomentada y
reconocida, no solo por el conjunto de las personas de nuestro país interesadas en el tema, sino además
por las instituciones públicas, los medios de comunicación y la sociedad en general” (2018). Esta
postura junto con la necesidad actual de incorporar medios de comunicación y recursos tecnológicos al
aula, así como el deber de incluir la y las realidades de nuestros estudiantes en el aula nos permite a
La caricatura y los memes como herramienta de divulgación matemática.
Una experiencia en el aula. P. Balda Álvarez
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los docentes formular escenarios de divulgación a la luz de novedosas estrategias didácticas que
aporten al impulso de la creatividad, desarrollen habilidades de comunicación y síntesis, y permitan
que lo que se aprende en la escuela trascienda.
Como propuesta de divulgación, se incorporó en el aula el uso de dos herramientas
comunicativas: los memes y las caricaturas, las cuales permitieron llevar a cabo una serie de
momentos en un ejercicio donde el saber ingreso y salió del aula en un tránsito continuo y reflexivo.
Los resultados de la propuesta ponen en evidencia cómo estos recursos sirven como estrategia de
motivación, comunicación y permiten incorporar al aula de matemáticas conocimientos de otras áreas
del saber, lo cual aporta a la construcción de significados en torno a un saber.
2. Aspectos Teóricos
2.1.La divulgación matemática
La divulgación consiste en un conjunto de actividades que hacen asequible el conocimiento
científico a un público no necesariamente especializado, a personas interesadas o no en informarse
sobre un tipo particular de conocimiento. La divulgación centra su interés en descubrimientos
científicos, teorías o campos del saber. En la actualidad la divulgación científica ha adquirido una gran
importancia, toda vez que se constituye en una forma de democratizar un conocimiento haciendo uso
de diversos formatos. Los medios de comunicación son usualmente empleados para la realización de
este tipo de actividades, y se han constituido en herramientas fundamentales para que el conocimiento
especializado llegue a toda la población. Las revistas de divulgación científica, los artículos en
periódicos, los programas de televisión especializados, los escenarios de interacción con el público en
general y las páginas de internet son algunos de los medios reconocidos para el desarrollo de esta
actividad que garantizan una eficiente y certera canalización de la información.
En el caso particular de las matemáticas, su divulgación busca ser complemento del trabajo
científico al tener como finalidad que el lector conozca los resultados de un proceso investigativo o
simplemente lograr que la población en general tenga acceso de un modo más amigable a aquellos
conocimientos específicos del área que no han podido ser adquiridos a través de los procesos
académicos al interior de instituciones educativas, generando un gusto particular por las matemáticas.
Experiencias como la de Matetíteres (Ferrari, 2010), en la cual un grupo de teatro guiñol
buscó acercar a las matemáticas a los transeúntes de la plaza principal de la ciudad diseñando obras de
teatro imbricadas en lo matemático con el objetivo de compartir saberes a una comunidad, ponen en
evidencia cómo la creación de un contexto de divulgación permite robustecer la interacción entre las
matemáticas y la comunidad. Una interacción que este caso en particular se generó en un escenario
lejos del aula, carente de un profesor, y que según lo reportado en los resultados logró construir
nuevos conocimientos y gusto por las matemáticas.
Por tanto, como el ejercicio de divulgación se constituye en un camino que más allá de la
familiarización con las matemáticas permite que la sociedad reconozca que estas forman parte de
nuestras vidas y se constituyen en pilares básicos y fundamentales de la cultura humana (García,
2016). Al respecto, Miguel de Guzmán, afirma: “sería muy deseable que todos los miembros de la
comunidad matemática y científica nos esforzáramos muy intensamente por hacer patente ante la
sociedad la presencia influyente de la matemática y de la ciencia en la cultura” (de Guzmán, 2007), de
ahí que la divulgación más que una actividad aislada se constituya en una tarea primordial de quienes
conocemos y trabajamos en torno a este saber. Entre tanto, el manifiesto emitido por la red de
divulgación de las matemáticas (DiMa) ratifica lo mencionado por Guzmán y afirma que “La
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de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
divulgación de las matemáticas es una necesidad y una demanda social que debe ser fomentada y
reconocida, no solo por el conjunto de las personas de nuestro país interesadas en el tema, sino además
por las instituciones públicas, los medios de comunicación y la sociedad en general” (DiMa, 2018);
esta afirmación se fundamenta en el hecho de reconocer el derecho de toda persona a participar en el
progreso científico y en los beneficios que de él resulten Declaración de los Derechos Humanos (1948,
Artículo 27).
Por lo anterior, se reconoce a la divulgación matemática como un ejercicio que tiene como
propósitos:
Eliminar los prejuicios posibles de la sociedad respecto de las matemáticas.
Mejorar los conocimientos culturales de las personas, ayudándoles a mejorar su vida al
disponer de más y mejores recursos para su día a día.
Desarrollar el gusto por las matemáticas, evitando el miedo a fracasar y librándose de los
bloqueos mentales (García, 2016).
Otorgar a la matemática un estatus de herramienta de transformación de nuestra calidad de
vida.
2.2. La caricatura
También denominada viñeta o cartón, la caricatura es un instrumento ilustrativo capaz de
recrear una idea sin hacer mayor uso de palabras, y esto es precisamente lo que le confiere gran
atractivo. La caricatura es una representación animada de un acontecimiento, el cual de forma
exagerada encierra un mensaje que busca ser comunicado. Por tanto, la caricatura más allá de abordar
un personaje retrata una realidad, un contexto, un hecho, una institución y tiene propósito producir un
efecto cómico y una reflexión al lector a través de frases, símiles, hipérboles y metáforas. “La
caricatura reúne varios atributos: es una representación artística, un recurso periodístico y también
vehículo de humor. Lo fascinante del asunto está en que a menudo reúne dos de ellas o todas estas
condiciones en conjunto” (Borregales, 2017, p.113).
La caricatura como medio de divulgación: “Ha sido utilizada en los periódicos desde finales
del siglo XVII, cuando comenzaron a surgir los periódicos ilustrados, en los que pronto aventajó al
dibujo serio” (Martínez, 1992, p. 74) y poco a poco dentro del rango humorístico ha alcanzado altos
niveles de aceptación y reconocimiento en la sociedad toda vez que se constituye en un fiel
representante de tipo gráfico, una mofa, sátira y exageración graciosa de rasgos y conductas que, por
su simpleza y creatividad, provoca sonrisas en su observador (Torres,1982). Es precisamente el
conjunto de estas características la que dota a la caricatura del estatus de recurso didáctico adecuado a
todas las edades, el cual según investigadores como Flores (2003) sobrepasa la intención puramente
lúdica, pues las propuestas que sugieren emplear el humor con alguna intención “barren desde la
función curativa fisiológica a la curativa psicológica, pasando a la creación de puentes de
comunicación y confort”(Flores, 2003, p.7).
Autores como Abreu (2001) y Pérez Vila (1979) coinciden en afirmar que un elemento
importante a destacar es la presencia de caricaturas escritas en diferentes medios de comunicación,
caricaturas que logran acercarse a los usuarios con el fin de entretener de forma creativa y llamativa
proporcionando una información particular y de interés del autor dotada de trazos, palabras, ingenio,
gracia y capacidad de síntesis, tal y como se observa en la Figura 1.
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Figura 1. Caricatura educativa
Fuente: @DonPardino y Flores (2003)
2.3. Los memes
Un meme es una unidad de información digital que se difunde a través de medios
virtuales. El término meme, viene del griego “mimema”, que significa “algo imitado” y
representa una forma masiva de propagación cultural. Debido a su comportamiento viral se
constituye en un recurso importante de divulgación el cual se caracteriza por ser reconocible
después de múltiples procesos de transmisión, por su capacidad expresiva para ser transmitido,
y por su perdurabilidad en el tiempo (Dawkins, 1979).
Los memes en el campo educativo han sido empleados como herramientas de expresión y de
crítica social, grupal o personal que desarrollan nuevas formas de leer y escribir la realidad (Arango ,
2014).Su creación implica poner a la disposición del autor un sinnúmero de recursos electrónicos, pues
tal y como lo afirma Beltrán (2016) no en vano, los memes son un producto de la generalización de las
nuevas tecnologías. Así su creación demanda de:
1. Tener una idea de lo que se quiere transmitir.
2. Elegir una imagen acorde con esa idea.
3. Escribir el texto. Cuanto más corto y directo, mejor.
4. Integrar texto e imagen, cosa que hacen automáticamente los memes y caricaturas.
5. Publicar o enviar dicha imagen(Beltrán, 2016, p.130)
Desde nuestra experiencia la estrategia intelectual intencional que tiene como objetivo despertar
la sonrisa de los lectores, a través de los significados de los objetos que aparecen en ella es otra de las
demandas de este recurso. Además del aporte que otorga la implementación de la tecnología como
instrumento para su elaboración. Todo lo mencionado permite dar un paso importante al abandono del
paradigma educativo en el cual enseñar se centra única y exclusivamente en transmitir, contrario a
ellos busca establecer un diálogo continuo entre el docente, el estudiante, el saber en el contexto en el
cual se está inmerso que permita: liberar la tensión ,facilitar la realización de las funciones del yo y
mejorar la comunicación (Buckman, 1994, referenciado en Flores, 2003).
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Figura 2. Meme para reforzar la ley de signos
Fuente: Beltrán (2016)
2.4. La caricatura y los memes como herramienta de divulgación matemática
Sin lugar a dudas los medios de comunicación visuales y digitales son cada día más accesible
en todo el mundo, la aparición del internet rompió las fronteras y se constituyó en una herramienta
potencializadora de la divulgación de la ciencia. Los medios de comunicación escritos cuentan con el
mayor y el más variado número de lectores y ofrecen un contenido amplio de interés para todo tipo de
lectores, los cuales dada la cantidad de información a la que pueden acceder buscan día a día
herramientas que aporten a la construcción de su conocimiento de forma fácil, simple y de amplia
recordación.
Por tanto, tanto la caricatura como los memes se constituyen en un buen canal de transmisión
de conocimiento, toda vez que al trasladar el mensaje del comunicador al receptor permite producir en
él la reacción que completa el ciclo de la comunicación sintetizando ideas concretas y complejas que
difícilmente son recordadas después de un proceso académico. Además, este tipo de recursos son una
herramienta de gran y rápida difusión que aporta a la memorización, la creatividad, el uso de síntesis,
la comprensión de un tema, la inventiva para construir y transmitir conocimiento (ver Figuras 3 y 4).
Dada la facilidad de transmisión de estos recursos, éstos han ingresado a las aulas de clase
convirtiéndose en estrategias pedagógicas que favorecen el aprendizaje. Al respecto, universidades
como la Universidad Pedagógica Nacional de México, a través de la Subdirección de Comunicación
Audiovisual, han optado por el uso de memes como un material de refuerzo de sus contenidos
educativos obteniendo resultados destacables.
Figura 3. Caricaturas matemáticas
Fuente: https://www.saladeestudio.org/memes-y-chistes-matematicos/
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Figura 4. Memes matemáticas
Fuente: smbc-comics.com
Adicional a lo mencionado, estos recursos visuales y digitales al ser un medio jocoso de
información han sido un recurso que permite para extender la educación a escenarios más allá del aula,
toda vez que su legado llega a un gran número de personas, haciendo comprensible aquello que en
muchas ocasiones fue incomprendido en la escuela o incluso olvidado, pues tal y como afirma Flores
(2003, p.6):
El humor refleja la sociedad
En la sociedad hay matemáticas
Las matemáticas aparecen en el humor
Podemos reírnos con las matemáticas
Podemos hacer matemáticas riendo
La enseñanza es una actividad social
Conclusión final: La enseñanza de las matemáticas debe hacerse de manera seria,
pero no tiene que ser aburrida.
2.5. Socioepistemología como marco teórico
La socioepistemología, como marco teórico que enmarca la propuesta, sostiene que el saber
matemático no se limita a una serie de definiciones o formulas a ser aplicadas, contrario a esto centra
su interés en el hacer, en lo humano del saber. La Teoría Socioepistemológica se ocupa
específicamente del problema que plantea la construcción social del conocimiento matemático y el de
su difusión institucional (Cantoral, 2013). Este interés del enfoque permite conocer y construir
significados y estructurar sus sistemas conceptuales. Desde esta postura se reconoce que el saber
emerge de prácticas sociales que no se centran en caracterizar lo realizado por lo que el humano hace,
sino aquello que los hace hacer lo que hacen (Covian, 2005). Estas prácticas sociales se caracterizan
por ser normativas, determinan el hacer; pragmáticas, orientan las acciones en la actividad humana;
identitaria, dotan de identidad a aquel que usa el conocimiento; y la discursiva, práctica más recurrente
e influyente en los actos de entendimiento y consenso, constituyendo un discurso reflexivo (Cantoral,
2013). Así el hombre cultural, histórico y socialmente situado quien construye explicaciones sobre la
realidad que emerge de su cotidianidad, de la historicidad, del contexto, de ese entrelace de convivir,
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propiciando el desarrollo de complejos procesos de construcción de significados compartidos (Ferrari,
2010).
Desde esta postura se reconoce que “dado que este conocimiento se ha constituido
socialmente, en ámbitos no escolares, su difusión hacia y desde el sistema de enseñanza le obliga a
una serie de modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento, de manera
que afectan también a las relaciones que se establecen entre los estudiantes y profesores” (Cantoral,
2013, p.62).
Las caricaturas y los memes, al igual que otros recursos comunicativos hacen parte de los
temas trabajados en el aula, y poco a poco con la aparición de construcciones informativas de textos
con elementos gráficos que describen ideas, conceptos, situaciones, o pensamiento, han alcanzado una
amplia difusión. Estos recursos están presentes y constituyen de cierta manera la cotidianidad de las
personas, y en particular de los jóvenes quienes hacen parte de una cultura digital, dentro y fuera del
ámbito escolar. Hacen parte de sus racionalidades contextuales diversas, toda vez que reconocen
privilegian y potencias las diversas formas de pensamiento relativas a la realidad de los individuos en
el momento y lugar donde se significa el saber (aula extendida).
Así el uso de este tipo de recursos informativos convoca la participación en la construcción
explícita y crítica de saberes, poniendo el acento en el desarrollo de la creatividad y comunicación
gráfica, para aportar en la alfabetización científica, dotando a los niños de diversos tipos de lenguaje
incluso uno complejo que le permita insertarse en un mundo de las matemáticas para comunicarlas al
mundo. En nuestro trabajo nos interesa hacer el uso delos memes y caricaturas como herramienta de
divulgación de saberes matemáticos, iniciando la reflexión de cómo este tipo de recursos ingresan al
aula y salen de ella a aportan a la difusión del saber y a nuestro trabajo en la comunidad de
matemáticos educativos.
3. Aspectos Metodológicos
Esta es una experiencia que se viene desarrollando con 187 estudiantes de la Institución Educativa
General Santander del municipio de Soacha en Colombia, desde el segundo semestre del año 2018,
fecha en la cual inició el proceso de construcción de caricaturas y que se continúa llevando a cabo. Los
estudiantes se encuentran en grado noveno y décimo de educación básica y media, sus edades oscilan
entre 14 y 16 años. La experiencia he ha desarrollado a través de cinco momentos a saber:
Figura 5. Momentos de la experiencia
Momento 1. Creación del personaje de la caricatura. Para la creación del personaje se
ha acudido a las profesoras de Artes de la institución, quienes desde sus clases han
Creación del personaje de la
caricatura
Creación de las caricaturas y
memes y divulgación al interior de la institución educativa a través de recursos
impresos.
Creación de las
caricaturas y memes con
medios tecnológicos
Publicación de caricaturas y
memes en escenarios virtuales locales.
Publicación de libro.
Divulgación en medios locales informativos.
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orientado la construcción de un personaje autentico de cada estudiante. El personaje en
esta etapa adquiere un nombre y características particulares.
Momento 2. Primera etapa de divulgación al interior de la Institución Educativa. En
esta etapa en las clases de Álgebra y Trigonometría los estudiantes dan vida a su
caricatura y a los memes otorgando a estos un estatus de medio informativo de los
aprendizajes de la asignatura. Los estudiantes con el apoyo de su profesor de lenguaje
crean las viñetas de la caricatura y pulen la presentación gráfica de esta y del meme con
el apoyo del docente de artes.
Momento3. Una vez consolidado el proyecto, se amplía la versión gráfica incorporando
recursos virtuales para dar vida a las caricaturas y difusión de memes en medios
virtuales. En esta etapa se incorpora el apoyo de la profesora de tecnología de la
institución y el uso de herramientas encontradas en la web.
Momento 4. La selección de las mejores caricaturas da paso al primer momento de
publicación en carteleras institucionales y en medios de comunicación local, como lo es
la página de Facebook Soy Soachuno de la alcaldía de Municipio de Soacha.
Momento 5. En este momento se gestiona la publicación e los resultados en escenarios
de comunicación locales.
En la actualidad la experiencia se encuentra en el momento 3, se están creando memes y
caricaturas de los temas construidos en clase de matemáticas, se han incorporado poco a poco el uso
de recursos tecnológicos y se han afinando las acciones comunicativas y artísticas de sus propuestas
iniciales.
4. Caracterizando el impacto
El trabajo llevado a cabo con relación a los memes y las caricaturas tuvo por objeto más allá de
presentar a los estudiantes estos recursos, motivarlos para su construcción fusionando aprendizajes de
otras áreas del conocimiento y poniendo a prueba todas las habilidades que su creación demanda.
Desde esta perspectiva se reconoce como diferencia entre estos dos recursos el hecho de que la
caricatura es una representación animada de un acontecimiento mediante los rostros y personajes que
comparten cierta información con el menor uso de palabras posibles, mientras que el meme es una
herramienta de expresión y de crítica social, grupal o personal que busca la parodia mediante la
fotografía. Los puntos en común que emergen de ambos recursos permiten reconocer que el trabajo
que se está llevando a cabo la construcción de memes y caricaturas va más allá del aula de clase, pues
ambos se constituyen en medios divulgadores de lo aprendido y son los estudiantes los encargados de
su creación y difusión. Atendiendo a los planteamientos anteriores, se presentan los avances y
hallazgos de cada uno de los momentos llevados a cabo hasta ahora.
4.1. Momento 1. Creación del personaje de la caricatura
En una primera fase se propuso el diseño de caricaturas como acercamiento a la construcción
gráfica. Las orientaciones iniciales estuvieron centradas en crear un personaje, darle vida y forma. Este
personaje se buscaba fuera representativo de cada uno de los estudiantes. Se mostraron ejemplos de
caricaturas en otros escenarios académicos como el caso de @DonPardino (ver Figura 6), dando a
conocer cómo este recurso puede ser empleado en escenarios no académicos para enseñar.
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Figura 6. @DonPardino
Fuente: https://twitter.com/profedonpardino?lang=es
Así como este personaje ficticio que se dedica a enseñar ortografía a través de viñetas cómicas
se propuso crear su personaje para enseñar matemáticas a la comunidad. Aquellas matemáticas que
ellos saben y construyen en el aula.
La parte creativa fue todo un reto y contó con el apoyo de las profesoras de artes de la
institución, quienes en sus clases aportaron a la creación del personaje a través de técnicas gráficas de
diseño (ver Figura 7).
Figura 7. Niños en el proceso creativo del meme
4.2. Momento 2. Primera etapa de divulgación al interior de la Institución Educativa.
Luego del diseño del personaje, se presentó el reto de construir las primeras caricaturas y con
ello la necesidad de tener claridad en el uso de viñetas y signos ortográficos, para ello se pidió la
asesoría de los docentes del área de lenguaje quienes orientaron a los estudiantes sobre el correcto uso
de expresiones, signos de aclamación e interrogación e incluso la redacción correcta de las frases.
Los resultados en un primer momento no fueron los esperados, no se logró que los niños crearan
personajes autónomos. Esta situación condujo a que fuera necesario el trabajo en torno a los derechos
de autor, lo cual fue una reflexión bastante interesante.
Una vez los estudiantes crearon sus personajes, se dieron a la tarea de pensar cuál de los temas
vistos en clase podían ser sintetizado por el mismo. Fue un reto de reflexión en el cual en un par de
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clases y en escenarios fuera de la clase de matemáticas, los niños consultaban con su maestra si el
tema a trabajar estaba bien comprendido, pues ellos reconocían la responsabilidad de comunicación
que tenían. Crearon diferentes tipos de ideas, unas muy directas de comunicación de conocimientos y
otras que a través del humor llevaban al lector a inferir lo planteado.
Cuando los estudiantes ya tuvieron clara la idea de la caricatura se amplió la posibilidad creativa
al uso de memes. Lo primero que se hizo fue explicar qué era un meme y cuál era su objetivo. Dado
que todos los niños habían visto y compartido memes alguna vez en su vida por medio de las
diferentes redes sociales en las cuales estaban inmersos, la clase donde estos se explicaron fue muy
dinámica y participativa. Se pidió que contarán sobre los últimos memes recibidos, los más graciosos,
y los de mayor recordación, de hecho, en los cursos donde se contó con recursos audiovisuales se
buscaron memes en web para discutir sobre ellos. Un segundo momento de la clase consistió en
identificar las partes de los memes, qué debe tener un recurso para ser un meme, los niños dieron
respuestas como:
“debe tener una imagen”
“debe ser chistoso”
“se debe compartir con muchas personas”
La tarea para la siguiente sesión fue buscar un meme que tuviera alguna relación con las
matemáticas y llevarlo impreso. Ya en la clase, varios niños llevaron memes y los explicaron.
Teniendo en cuenta la reflexión, surgió la idea que como no todas las personas iban a reconocer el
mensaje de un meme creado en la clase de matemáticas era necesario en la parte inferior del mismo
hacer la explicación del tema, lo cual fue aceptado por la docente. Este ejercicio se asumió además
para las caricaturas llegando a creaciones como las presentadas en la Figura 8.
Figura 8. Memes creados por los niños de grado décimo
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Una vez creados al menos cinco diseños por estudiante se realizó la primera exposición en la
institución. Esta se llevó a cabo con la presencia de estudiantes, docentes y padres de familia. Una vez
finalizada la presentación, en clase se reflexionó sobre el impacto de esta, sobre las apreciaciones de
los padres al ejercicio llevado a cabo.
4.3. Momentos 3. Creación de caricaturas y memes con recursos tecnológicos
Durante la discusión del impacto de la exposición uno de los niños manifestó que los memes
podrían crearse con recursos tecnológicos sin necesidad de dibujar imágenes. Así surgió la necesidad
de incorporar a la clase el uso de generadores de memes que se encuentran en la web como:
http://www.memegenerator.es/crear
http://www.taringa.net/post/info/12100359/La-mejor-Pagina-para-crearMemes.html
http://www.xtremeaddictions.com.ar/foro/showthread.php?77352-P%E1gina-para-crear-quot-
memes-quot
Ya en clase de tecnología y en sus hogares, se ha propuesto a los niños hacer uso de estos
recursos para la creación de sus memes ver Figura 9.
Figura 9. Meme creado por una estudiante de grado décimo con el prográmame generator
En la actualidad la creación de los memes y caricaturas se sigue dando, los niños saben que cada
15 días deben presentar lo aprendido a través de estos recursos.
5. Conclusiones
Los resultados aquí registrados muestran el impacto del trabajo en el aula que incorpora el uso y
en particular la construcción de caricaturas y memes a la clase de matemáticas. Esta construcción se
viene desarrollando con estudiantes de grado noveno y décimo en el marco de la clase de
trigonometría y geometría, en la cual se han trabajado temáticas en torno a: rectas, ángulos,
clasificación de triángulos , Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras, Razones Trigonométricas,
Teorema del Seno, Teorema del Coseno, entre otros.
La experiencia ha permitido que los estudiantes realicen diferentes tipos de razonamiento en
torno a las matemáticas, pues ya no se trata solo de entender para ellos sino de entender para
resignificar y comunicar. Esto se resume en palabras de los niños como:
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“me gusta hacer las caricaturas porque me gusta dibujar y pues así le enseño lo que aprendo
de forma chistosa a mis amigos”
“me gusta las clases de caricaturas matemáticas porque me rio mucho en clase”
“ en el grupo de whatsapp del colegio, ahora compartimos caricaturas de la clase”
“me pongo muy feliz cuando la profe pone las caricaturas que hacemos en su Instagram”
Lo expuesto pone en evidencia la factibilidad de estos recursos visuales para desarrollar
habilidades comunicativas, humor, capacidad de síntesis y reflexión en torno a los significados
atribuidos a un saber matemático. A través de la experiencia se ha logrado además vincular otros
actores de la comunidad educativa al proceso de aprendizaje, pues los niños a través de sus
producciones son capaces de llevar a escenarios más allá de la escuela los aprendizajes del aula. Así
mismo la experiencia ha permitido resignificar el uso de recursos tecnológicos al darle un uso
pedagógico a medios comunicativos que en muchas ocasiones se trivializan y se desconocen como
herramientas didácticas potentes.
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Paola Balda Álvarez. Institución Educativa General Santander, Soacha. Doctora en Educación de la
Universidad Santo Tomas de Colombia, Magíster en Docencia de las Matemáticas de la Universidad
Pedagógica Nacional de Colombia, Licenciada en Matemáticas de la Universidad Distrital de Colombia.
Docente de Matemáticas desde hace 16 años, participante activa de eventos académicos y escritora de
artículos de investigación. Email: pbalda20@hotmail.com
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 43-65
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
¿Hay diferencias en competencia matemática entre alumnos
de un mismo curso? Un estudio con futuros maestros
Rosa Nortes Martínez-Artero (Universidad de Murcia)
Andrés Nortes Checa (Universidad de Murcia)
Fecha de recepción: 7 de marzo de 2019
Fecha de aceptación: 27 de octubre de 2019
Resumen Para averiguar si hay diferencias en competencia matemática de los alumnos
matriculados en los siete grupos de 2.º del Grado de Maestro de Primaria en la
Universidad de Murcia se les pasa una prueba de 30 preguntas de Competencia
Matemática de 6.º de Primaria. Los alumnos del grupo bilingüe de inglés obtienen
mejores resultados que el resto, los estudiantes del turno de mañana y de tarde no tienen
diferencias significativas entre ellos, mejores resultados en hombres que en mujeres y por
grupos el número de respuestas correctas difiere en tres. Hay diferencias significativas
entre grupos en Números, Medida y Geometría, pero no en Incertidumbre. De las tres
preguntas que no alcanzan el 50% de respuestas correctas en todos los grupos una es de
fracciones, otra de figuras geométricas y otra de medida de tiempo.
Palabras clave Competencia matemática, futuros maestros, proceso cognitivo, educación primaria.
Title Are there differences in mathematical competence among students in the same
course? A study with future teachers
Abstract To find out if there are differences in mathematical competence of the students enrolled
in the seven groups of 2nd of the Primary Teacher's Degree at the University of Murcia,
they pass a test of 30 questions of Mathematical Competency of the 6th grade. The
students of the bilingual group of English obtain better results than the rest, the students
of the morning and afternoon shift do not have significant differences among them, better
results in men than in women and by groups the correct answers differ in three. There are
significant differences between them in Numbers, Measurement and Geometry, but not in
Uncertainty. About the three questions that do not reach 50% of correct answers in all the
groups, one of them is referred to fractions, another referred to geometric figures and a
third one of measure of time.
Keywords Mathematical competence, future teachers, cognitive process, primary education.
1. Introducción
En Matemáticas muchas veces los alumnos se limitan a reproducir de memoria los contenidos
que han aprendido, pero la competencia matemática va más allá de poseer un conocimiento
matemático, se centra en ver si los estudiantes pueden aplicar lo que han aprendido a situaciones de la
vida cotidiana poniendo en práctica procesos de razonamiento y habilidades.
¿Hay diferencias en competencia matemática entre alumnos de un mismo curso?
Un estudio con futuros maestros R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa
44 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Los alumnos que inician los estudios del Grado de Maestro de Primaria (GMP) deben tener
unos conocimientos de matemática elemental que les permitan iniciarse en los aspectos didácticos de
la materia. Y deben poseer, al menos, el nivel de competencia matemática correspondiente a la etapa
de la Educación Primaria que les permita aplicar los conocimientos y los razonamientos matemáticos
que incluyan el conocimiento de elementos básicos, la puesta en práctica de procesos de razonamiento,
la búsqueda de soluciones y la reflexión y argumentación sobre el contexto y la solución alcanzada
(MECD, 2016).
Un alumno que se enfrenta a tareas matemáticas debe tener un conocimiento matemático del
contenido para resolver un problema, establecer la situación donde se localiza el problema y conocer
los procesos que debe aplicarse para conectar el mundo real donde surge el problema con las
matemáticas (Rico, 2007).
En este contexto, es necesario conocer realmente si los alumnos que acceden al GMP tienen
adquirido el nivel de competencia matemática correspondiente a 6.º de Educación Primaria y, para
ello, es preciso aplicar alguna prueba estandarizada de evaluación, siendo de gran utilidad la Prueba de
evaluación final de Educación Primaria que el Instituto Nacional de Evaluación Educativa del
Ministerio de Educación y Formación Profesional pone a disposición de todos aquellos que la quieran
utilizar a través de su página Web (INEE, 2018).
2. Antecedentes y Marco teórico
Competencia matemática, según la Comisión Europea, es “la habilidad para desarrollar y aplicar
el razonamiento matemático con el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas” (D.G.
Educación y Cultura. Comisión Europea, 2007, p. 6).
Un alumno en función del currículo escolar estudiado en Primaria tiene conocimientos de
contenidos matemáticos sobre números, medida, geometría e incertidumbre. A su vez se encuentra en
situaciones donde se le puede presentar un problema relacionado con sus compañeros del aula o de ir a
comprar al supermercado o de comprender las instrucciones de un juego tecnológico. Y es en ese
contexto cuando tiene que aunar su conocimiento matemático y sus destrezas y habilidades
matemáticas entre las que se encuentran pensar, razonar, argumentar, comunicar, representar… y la
puesta en funcionamiento de cada una de estas tareas tiene distinto grado de complejidad que da lugar
a distintos niveles de competencia matemática que van desde reproducción y procedimientos rutinarios
hasta razonamientos con argumentación y generalización. “Cada nivel de competencia se caracteriza
por los procesos o competencias empleados y por el grado de complejidad con que los alumnos los
ejecutan al abordar tareas de dificultad creciente” (Rico, 2007, p. 62).
En el Real Decreto 126/2014 en el que se establece el currículo de Primaria se menciona que los
alumnos al terminar la etapa de Educación Primaria deben estar en disposición de iniciarse en la
resolución de problemas que requieran conocimientos tanto de números, como de medida, geometría,
tratamientos de datos e incertidumbre, por lo que “al finalizar el sexto curso de Educación Primaria se
realizará una evaluación final individualizada a todos los alumnos y alumnas, en la que se comprobará
el grado de adquisición de la competencia en comunicación lingüística, de la competencia
matemática…” (RD 126/2014, p. 19358).
Los seis niveles de competencia matemática en PISA, para alumnos de 15 años, recogidos por
Rico (2007) son: 1) Los alumnos saben responder a preguntas planteadas en contextos conocidos; 2)
Los alumnos saben interpretar y reconocer situaciones en contextos que solo requieren una inferencia
¿Hay diferencias en competencia matemática entre alumnos de un mismo curso?
Un estudio con futuros maestros R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa
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de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
directa; 3) Los alumnos saben ejecutar procedimientos descritos con claridad; 4) Los alumnos pueden
trabajar con eficacia con modelos explícitos en condiciones complejas y concretas que puedan llevar
condicionantes; 5) Los alumnos saben desarrollar modelos y trabajar con ellos en situaciones
complejas y 6) Los alumnos saben formar conceptos, generalizar y utilizar información basada en
investigaciones y modelos de situación de problemas complejos, que reflejan el paso de las
operaciones concretas a las operaciones formales de la teoría de Piaget. Y los seis niveles de
competencia matemática en Educación Primaria, recogidos en INEE (2016) son: 1) Acceso e
Identificación (conocimiento del lenguaje básico matemático, propiedades y hechos matemáticos
esenciales); 2) Comprensión (repetición de los algoritmos relacionándolos con procesos y problemas
matemáticos que incluyen operaciones básicas); 3) Aplicación (saber utilizar distintas herramientas
matemáticas con cierto grado de abstracción); 4) Análisis (examinar y fragmentar la información en
partes y establecer relaciones entre situaciones diversas en contextos relativamente conocidos); 5)
Síntesis y Creación (capacidad de pensamiento lógico y sistemático) y 6) Juicio y Valoración
(Capacidad para formular juicios con criterio propio), que se encuentran dentro del periodo de las
operaciones concretas, con un progresivo avance del razonamiento matemático.
La prueba de evaluación de la competencia matemática (INEE, 2016), se viene realizando desde
el curso 2015/16 y Arce, Marbán y Palop (2017) aplican la prueba de 2015/16 a una muestra de 298
estudiantes para maestro de 1.º de la Universidad de Valladolid, resultando en el bloque de contenidos
un promedio de 7,7 en Números, de 7,2 en Medida, de 7,7 en Geometría y de 8,7 en Incertidumbre,
mientras que en proceso cognitivo: 8,6 en Acceso e Identificación, 8,3 en Comprensión, 7,5 en
Aplicación, 8,4 en Análisis, 6,7 en Síntesis y Creación y 8,0 en Juicio y Valoración. Las preguntas con
menor porcentaje de respuestas correctas son una cuestión de expresar en horas y minutos un tiempo
que previamente tenían que calcular, con el 47% de respuestas erróneas, y otra cuestión en la que se
pedía expresar una fracción en forma de fracción irreducible, con un 45,6% de respuestas erróneas,
para terminar diciendo que “la aproximación realizada en este estudio (…) no nos permite concluir si
un estudiante para maestro tiene al comenzar su formación inicial un conocimiento matemático
fundamental suficiente; pero sí detectar carencias y limitaciones en conocimientos básicos propios de
este nivel” (p. 127) y concluyen “consideramos imprescindible diseñar y establecer medidas de apoyo
complementario al trabajo en el aula, medidas que les permitan avanzar en su conocimiento común”
(p. 127). Esta misma prueba la aplican Nortes y Nortes (2017) a una muestra de 174 estudiantes del
Grado de Maestro de Primaria de la Universidad de XXX de 2.º (N=59), 3.º (N=75) y 4.º (N=40),
obteniendo como resultados 6,2 en Números, 5,8 en Medida, 5,3 en Geometría y 6,7 en Incertidumbre,
siendo más bajas las medias de los de estudiantes de 2.º, en Números de 5,7, en Medida de 5,3, en
Geometría de 4,2 y en Incertidumbre de 6,1, particularizando en 2.º que uno de cada cinco estudiantes
suspende los cuatro bloques y el 44% suspende la prueba completa. Los resultados por sexo indican
diferencias significativas con mejor puntuación en hombres en todos los bloques de contenidos
excepto en Números.
Gutiérrez-Rubio, Gutiérrez-Rubio, Maz-Machado, León-Mantero y Jiménez-Fanjul (2018)
realizan un estudio descriptivo-exploratorio de la percepción de la utilidad de la geometría en futuros
profesores de Educación Primaria. Para ello utilizan una muestra de 152 estudiantes de 3.º del Grado
de Educación Primaria en la asignatura de Didáctica de la Geometría y la Estadística de la Universidad
de Córdoba y les aplican, entre otras, la pregunta abierta “en cuatro o cinco líneas explique por qué es
importante el estudio de la Geometría en Educación Primaria” clasificando sus respuestas en razones
de carácter procedimental, instrumental y otras. La razón que más se utiliza dentro del carácter
procedimental es “identificar las figuras geométricas” con un 40,13%, en la de carácter instrumental
“desarrollo de la capacidad espacial” con un 32,24% y en otras consideran que la geometría no es
importante en la educación del niño con 1,32%. Existe un 45% de alumnos que se pronuncian por
utilizar enfoques procedimentales para justificar la enseñanza de la Geometría.
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46 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Nortes y Nortes (2019) a una muestra de 233 estudiantes del GMP matriculados en la
Universidad de Murcia el curso 17/18 aplican la prueba de competencia matemática de sexto de
primaria como prueba de diagnóstico obteniendo que de 32 ítems de que consta la prueba ocho no son
superados y que el 20% de los alumnos participantes habrían sido declarados no aptos para realizar los
estudio que acceden al GPM si esta prueba hubiera sido aplicada para su admisión.
Con estas pruebas, se pretende conocer el nivel de competencia matemática de los alumnos que
acceden al GMP y las dificultades que encuentran y los errores que cometen. Un estudio de Pañellas
(2016) indica que las dificultades en conocimientos básicos aparecen en los trabajos de los futuros
maestros, siendo uno de los motivos de los errores la falta de comprensión de los contenidos, debidos
en muchos casos a la metodología que utilizaron sus profesores basada en la memorización, sin
experimentar, sin formular debates, ni aplicar estrategias, ni generalizar los resultados. Eso ha dado
lugar a que muchos alumnos no sepan argumentar las decisiones que toman cuando resuelven
problemas, por lo que detectar, diagnosticar y estudiar los errores que cometen ayudará a solucionar
sus carencias. En otro estudio Alguacil, Boqué y Pañellas (2016) analizan en 226 estudiantes de 3.º y
4.º del Grado de Maestro de Primaria, desde el curso 12/13 al 15/16 los errores cometidos en los
contenidos básicos de matemáticas utilizando dos pruebas de conocimientos básicos en matemáticas
para determinar las concepciones correctas y erróneas de los estudiantes, y lo hicieron en cuatro
etapas: detección de errores, elaboración de las categorías de análisis, agrupación de las respuestas
erróneas e interpretación de los datos obtenidos. Presentan dos tablas, una con errores básicos en
numeración y cálculo y otra en medida, encabezadas por cuatro columnas: contenidos, concepto en el
que muestra la dificultad, ejemplos del error y carencias que evidencian, porque “descubrir las
carencias en conceptos matemáticos ayuda al estudiante a construir conocimiento” (p. 427).
Otras investigaciones van referidas a analizar el conocimiento matemático fundamental en el
Grado de Educación Primaria. Así, Castro, Mengual, Prat, Albarracín y Gorgorió (2014) efectúan una
primera aproximación revisando los estudios de TEDS-M y TIMSS, entre otros, pasando por el
conocimiento del profesor y el conocimiento matemático fundamental. Comparan el conocimiento de
los estudiantes para maestro y el conocimiento matemático fundamental en donde el conocimiento de
los estudiantes al inicio de su formación suele estar caracterizado por la memorización y la resolución
de problemas bien definidos y concluyen “parece razonable asumir que la formación de maestros en la
universidad no es suficiente por ella misma para dotar a los futuros docentes de las competencias y
conocimientos necesarios para enseñar matemáticas” (p. 235).
Se pretende en todos estos estudios conocer la situación con que empiezan el Grado de Maestro
de Primaria los futuros maestros, ver sus conocimientos en contenidos, sus errores y dificultades, sus
carencias y si tienen adquirida la competencia matemática correspondiente al nivel que van a impartir
de manera profesional.
3. Objetivo
Cuando los alumnos matriculados en un curso del GMP se dividen en grupos y esos grupos
están en turnos de mañana y tarde y además hay un grupo bilingüe, surge la pregunta sobre cómo se ha
llevado a cabo el reparto y a qué parámetros se ha atendido. En el caso del grupo bilingüe de inglés se
accede mediante una selección y los alumnos tienen que justificar su conocimiento del idioma,
mientras que el resto de grupos se confeccionan con un reparto al azar y atendiendo, en el caso de los
turnos, la compatibilidad de los horarios académicos y laborales para los estudiantes que justifican tal
necesidad.
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Se quiere conocer si en el reparto de los alumnos en grupos existen diferencias en competencia
matemática entre ellos y qué procesos cognitivos dominan para posteriormente en otros estudios ver si
los resultados que obtengan en la asignatura Matemáticas y su didáctica pueden depender de la
competencia matemática con que llegan al GMP. Aquí nos hacemos eco del primero, de medir la
competencia matemática de sexto de primaria con que llegan los alumnos, si hay diferencias entre
grupos, si hay diferencias por sexo, si hay diferencias entre el grupo bilingüe y el resto y si hay
diferencias por turno.
La prueba de competencia matemática se pasa en todos los grupos de 2.º y también se pasa a un
grupo de alumnos de 3.º para completar el estudio y ver si estos alumnos que ya han cursados 12
créditos de Matemáticas y su didáctica obtienen mejores resultados en competencia matemática que
los alumnos de 2.º del GMP y analizar si los errores y dificultades se siguen manteniendo.
Para conocer todos estos interrogantes se plantean las siguientes preguntas de investigación:
PI1. Los alumnos que acceden al Grado de Maestro de Primaria, ¿tienen adquirida la
competencia matemática correspondiente a sexto de Primaria?
PI2. Los alumnos de 2.º curso, en el que tienen la primera asignatura de matemáticas,
¿muestran diferencias en procesos cognitivos entre grupos?, ¿y por contenido?
PI3. Habiéndose establecido un grupo bilingüe de inglés, ¿son mejores los resultados en
procesos cognitivos en este grupo que en el resto de grupos?, ¿y por contenido?
PI4. Teniendo en cuenta que tres de cada cuatro estudiantes del Grado de Maestro de
Primaria son mujeres, ¿tienen mejores resultados que sus compañeros hombres?
PI5. Siendo dos los turnos, mañana y tarde, en que se distribuyen los siete grupos, ¿hay
diferencia entre dichos turnos?
PI6. El proceso cognitivo alcanzado por los alumnos del Grado de Maestro de Primaria, ¿es
el nivel más alto de los establecidos para sexto de primaria?
PI7. ¿Se mantienen los errores tras cursar una asignatura de Matemáticas y su didáctica de
12 créditos?
4. Método
4.1. Participantes
Son 344 alumnos de 2.º del Grado de Maestro de Primaria de la Universidad de Murcia
pertenecientes a siete grupos, uno de ellos bilingüe, los que contestan a esta prueba. De ellos 84 son
hombres y 260 mujeres, 44 pertenecen al grupo bilingüe y el resto no, 232 asisten al turno de mañana
y 112 al turno de tarde. Las edades de los alumnos están comprendidas entre 18 y 46 años y media
aritmética 19,9 años. El grupo bilingüe inglés es el A, los grupos de mañana son A, B, C y D y los de
tarde E, F y G. Y son 28 alumnos de un grupo de 3.º los que contestan a la misma prueba para
contrastar los resultados. Se trata de una muestra no probabilística.
4.2. Instrumento
Prueba de evaluación de la Competencia Matemática de Educación Primaria de 6.º curso
2017/18 (INEE, 2018) que consta de 30 preguntas o ítems de contenidos correspondientes a Números
(NUM), Medida (MED), Geometría (GEO) e Incertidumbre y datos (INC) y a tres grupos de procesos
cognitivos: Conocer y Reproducir, Aplicar y Analizar, y Razonar y Reflexionar, cada uno con dos
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niveles, resultando seis niveles de progresión de los procesos cognitivos: 1) Acceso e Identificación
(AEI), 2) Comprensión (COM), 3) Aplicación (APL), 4) Análisis (ANA), 5) Síntesis y Creación
(SYC) y 6) Juicio y Valoración (JYV). La fiabilidad del instrumento se mide con el alfa de Cronbach
que es de 0,768, considerado como aceptable. En la tabla 1 se presentan las preguntas de la prueba
clasificadas por contenido y proceso cognitivo.
En MECD (2014, p. 68), se describen los niveles de proceso cognitivo de la siguiente manera:
Acceso e Identificación (AEI): acciones de recordar y reconocer los términos,
los hechos, los conceptos elementales del conocimiento y de reproducir
algoritmos.
Comprensión (COM): acciones para captar el sentido y la intencionalidad de
textos de lenguaje matemático y de códigos relacionales e interpretarlos para
resolver problemas.
Aplicación (APL): aptitud para seleccionar, transferir y aplicar información
para resolver problemas con cierto grado de abstracción y la de intervenir con
acierto en situaciones nuevas.
Análisis (ANA): posibilidad de examinar y fragmentar la información en
partes, encontrar causas y motivos, realizar inferencias y encontrar evidencias
que apoyen generalizaciones.
Síntesis y Creación (SYC): acciones de recoger información y relacionarla de
distintas formas, establecer nuevos patrones y descubrir soluciones
alternativas.
Juicio y Valoración (JYV): capacidades para formular juicios con criterio
propio, cuestionar tópicos y exponer y sustentar opiniones fundamentadas.
ÍTEMS 1. AEI 2. COM 3.APL 4.ANA 5. SYC 6. JYV TOTAL
NÚMEROS 1 3-27 7-13-15 19-22 9-21 10
MEDIDA 2 17 6 10 24-26 6
GEOMETR. 11 5-23 14-18 29 6
INCERTID. 28-30 16 4-8 12 20-25 8
TOTAL 5 4 5 7 4 5 30
Tabla 1. Clasificación de todos los ítems atendiendo a contenido y proceso cognitivo
4.3. Procedimiento
Se pasa la prueba a todos los alumnos asistentes un día a clase en la primera semana del curso
2018/19 para realizarla de forma individual dando 60 minutos para cumplimentarla, el mismo tiempo
que el establecido para alumnos de 6.º de Primaria. En cada grupo su profesor de matemáticas es el
encargado de materializarlo y la prueba es corregida por un profesor distinto de los anteriores,
atendiendo a los criterios establecidos por los diseñadores de la prueba, dando 1 punto si la respuesta
es correcta y 0 cuando es errónea o queda sin contestar.
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5. Resultados
5.1. Resultados globales
Los estudiantes de 2.º del Grado de Maestro de Primaria que contestan a la Prueba de
Evaluación para 6.º de Primaria, considerando el número de respuestas correctas a las 30 cuestiones
del cuestionario, tienen como resultados los siguientes valores representativos: rango [9, 30], media
21,55, desviación típica 4,38, moda 23 con 34 alumnos, mediana 22, cuartil inferior 18,5, cuartil
superior 25 y recorrido intercuartílico 6,5. Es decir que con 19, 20, 21, 22, 23, 24 y 25 respuestas
correctas se encuentran el 50% de estudiantes.
Hay 45 alumnos, el 13,08%, con 27 o más respuestas bien, que obtienen sobresaliente, y 26
alumnos, el 7,56%, con 14 o menos respuestas bien, que no superan la prueba. El mínimo de
respuestas correctas es de 9 con dos estudiantes y el máximo de 30 con tres.
En una puntuación de 0 a 10 la media es 7,19, la desviación típica 1,46, la moda 7,67, la
mediana 7,33, el cuartil inferior 6,17, el superior 8,33 y el recorrido intercuartílico de 2,17.
Por bloques de contenidos el que mayor puntuación tiene es Incertidumbre y datos (INC) con
8,52, seguido de Medida (MED) con 7,87, Geometría (GEO) con 7,40 y Números (NUM) con 6,50.
Por proceso cognitivo las puntuaciones están en consonancia con los seis niveles de progresión de los
procesos cognitivos que permiten el dominio de la competencia matemática: Nivel 1) Acceso e
Identificación (AEI) con una media de 8,71, Nivel 2) Comprensión (COM) con 8,21; Nivel 3) Aplicar
(APL) con 7,06, Nivel 4) Analizar (ANA) con 6,94; Nivel 5) Síntesis y Creación (SYC) con 6,34 y
Nivel 6) Juicio y Valoración (JYV) con 6,01. Van de mayor a menor puntuación conforme aumenta el
nivel de proceso cognitivo.
Por bloques de contenidos, el 2,03% tiene máxima calificación en Números, el 14,24% en
Medida, el 10,76% en Geometría y el 36,34% en Incertidumbre. Mientras que por proceso cognitivo
tienen máxima puntuación el 53,49% en Acceso e Identificación, el 48,55% en Comprensión, el
19,48% en Aplicación, el 16,86% en Análisis, el 18,02% en Síntesis y Creación y el 6,40% en Juicio y
Valoración.
El 28,78% tiene máxima calificación en Incertidumbre y en AEI, mientras que solo el 4,07% en
Incertidumbre y JYV. En el otro extremo estos porcentajes son en Números y AEI del 1,74% y en
Números y JYV del 1,45%. Y entre estos dos Medida-AEI con 12,5% y Medida-JYV con 1,74% y
Geometría-AEI con 9,30% y Geometría-JYV del 2,33%.
Por preguntas, las dos puntuaciones extremas, la mejor contestada (PR20) con media 0,98 (entre
0 y 1) y la peor contestada (PR21) con media 0,24, pertenecen al nivel 6 de proceso cognitivo Juicio y
Valoración, la primera es de Incertidumbre y datos y la segunda de Números. Las preguntas con
menos del 50% de respuestas correctas por grupo se recogen en la tabla 2 y sus enunciados vienen en
el apartado 6.
ÍTEMS CON MENOS DEL 50% DE RESPUESTAS CORRECTAS
Grupo PR7 PR9 PR14 PR15 PR21 PR23 PR24 PR29
A X X X
B X X X X X X
C X X X X
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D X X X X X X X
E X X X X
F X X X X X
G X X X X X
Tabla 2. Preguntas con menos del 50% de respuestas correctas por grupo
Los tres ítems PR21, PR23 y PR24 se suspenden en los siete grupos de 2.º, siendo el grupo C el
que tiene las puntuaciones más bajas no llegando al 20% de respuestas correctas en los tres casos, el
grupo E tiene dos puntuaciones por debajo del 20% de aciertos y el grupo G solo uno.
En los ítems PR7, PR9, PR14, PR15 y PR29 que tienen puntuaciones bajas pero con más del
50% de aciertos en los participantes, el grupo D tiene cuatro ítems que no llegan al 50% de aciertos, El
B tiene tres, el F y el G tiene dos y los grupos C y E solo tiene uno. Tan solo el grupo A tiene los cinco
ítems por encima del 50% de aciertos.
Por niveles de proceso cognitivo, por debajo del 50% de aciertos están PR23 (Geometría) que es
una de las cinco de Aplicación (Nivel 3); PR24 (Medida) que es una de las cuatro de Síntesis y
Creación (Nivel 5) y PR21 (Números) que es una de las cinco de Juicio y Valoración (Nivel 6). En los
demás niveles no hay preguntas que globalmente estén por debajo del 50% de aciertos.
5.2. Resultados por grupo
Los resultados por grupo vienen en la Tabla 3, tanto por número de respuestas (sobre un total de
30), como por puntuación de 0 a 10. En negrita se destaca la puntuación más alta y en amarillo la más
baja.
POR NÚMERO DE RESPUESTAS
A B C D E F G TOT
Número 44 72 58 58 30 43 39 344
Mínimo 14 9 14 9 13 13 11 9
Máximo 30 30 29 28 28 29 27 30
Media 22,93 21,36 21,81 20,41 22,13 22,88 19,72 21,55
DT 3,97 4,71 3,74 4,22 4,78 4,28 4,32 4,38
POR PUNTUACIÓN DE 0 A 10
Mínimo 4,67 3,00 4,67 3,00 4,33 4,33 3,67 3,00
Máximo 10 10 9,67 9,33 9,33 9,67 9,00 10,00
Media 7,64 7,12 7,27 6,81 7,40 7,63 6,57 7,19
DT 1,32 1,57 1,25 1,41 1,59 1,43 1,44 1,46
Tabla 3. Estadísticos por número de respuestas en cada grupo
Las medias varían de 7,64 (Grupo A) hasta 6,57 (Grupo G).
Las desviaciones típicas varían entre 1,25 (Grupo C) y 1,59 (Grupo E).
Solo en dos grupos (A y B) hay alumnos que obtienen la puntuación máxima.
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Las puntuaciones medias por bloques de contenido y proceso cognitivo en los siete grupos
vienen en las tablas 4 y 5, resaltando en negrita la más alta y en amarillo la más baja.
GRUPOS NUM MED GEO INC PR
Grupo A 7,00 7,50 7,31 8,86 7,64
Grupo B 6,51 6,95 6,41 8,63 7,12
Grupo C 6,83 7,16 6,26 8,66 7,27
Grupo D 5,74 6,72 6,52 8,45 6,81
Grupo E 7,23 7,28 6,78 8,04 7,40
Grupo F 6,91 7,87 7,40 8,55 7,63
Grupo G 5,54 6,11 6,54 8,27 6,57
TOTAL 6,50 7,07 6,69 8,52 7,19
Tabla 4. Medias por contenido y grupo
El contenido con mayor puntuación es Incertidumbre y Datos (INC) que en todos los grupos
tiene puntuación superior a 8, no llegando a un punto de diferencia entre los valores más
extremos.
Le sigue Medida (MED) con diferencia de puntuaciones de más de 1,5 puntos, habiendo cinco
grupos que alcanzan el notable. Mejor puntuación en el grupo F y peor en el grupo G.
Detrás Geometría (GEO) con dos grupos con notable y diferencia de puntuaciones de algo
más de un punto. Mejor puntuación en el grupo F y peor en el grupo C.
Por último Números (NUM) en donde dos grupos tienen notable y la diferencia de
puntuaciones es de más de 1,5 puntos. Mejor puntuación en el grupo E y peor en el grupo G.
Por totales hay cinco grupos con puntuación superior a 7.
GRUPOS AEI COM APL ANA SYC JYV
Grupo A 9,50 8,75 7,55 7,14 7,05 6,18
Grupo B 8,44 8,33 6,81 6,85 6,60 5,97
Grupo C 8,90 8,97 7,35 7,12 5,65 5,72
Grupo D 8,76 7,54 6,83 6,23 6,08 5,62
Grupo E 8,67 8,08 7,07 7,71 6,08 6,40
Grupo F 8,93 7,91 7,35 7,81 7,21 6,51
Grupo G 7,74 7,63 6,56 6,08 5,71 6,00
TOTAL 8,71 8,21 7,06 6,94 6,34 6,01
Tabla 5. Medias por proceso cognitivo y grupo
El proceso cognitivo Acceso e Identificación (AEI) tiene una media de 8,71, alcanzando una
puntuación de sobresaliente en un grupo y en el resto de notable. Mejor puntuación en el
grupo A y peor en el grupo G.
En Comprensión (COM) todos los grupos están en notable con una diferencia de cerca de 1,5
puntos. Mejor puntuación en el grupo C y peor en el grupo D.
En Aplicación (APL) hay cuatro grupos con notable y tres con aprobado con una diferencia
entre los extremos inferior a un punto. No hay diferencias destacables entre los grupos.
En Análisis (ANA) más de 1,5 puntos entre los grupos extremos. Mejor puntuación en los
grupos E y F y peor en los grupos D y G.
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En Síntesis y Creación (SYC) solo hay dos grupos con media de notable y el resto de
aprobado. Más de 1,5 puntos de diferencia. Mejor puntuación en el grupo F y peor en los
grupos C y G.
En Juicio y Valoración (JYV) no llega a un punto la diferencia máxima entre grupos, todos
están con media de aprobado y no hay diferencias destacables entre los grupos.
De los siete grupos hay uno que destaca favorablemente que es el grupo F que tiene la mejor
puntuación en MED, GEO, ANA, SYC y JYV, por el contrario, el G, que destaca con la peor
puntuación, en NUM, MED, AEI, APL y ANA. Sobre el resto de grupos, el A tiene la mejor
puntuación en INC, AEI y APL, el grupo C tiene la mejor puntuación en COM y la peor en GEO y
SYC, el grupo D tiene la peor puntuación en COM y JYV, y el grupo E la mejor en NUM y la peor en
INC.
5.3. Resultados comparativos por género, idioma y turno
Se analiza por género para establecer comparaciones con otros estudios y se analiza por idioma
y por turno de mañana o de tarde. Los resultados vienen en las tablas 6, 7 y 8, destacando en negrita el
más alto cuando la diferencia es superior a 0,5 puntos.
GÉNERO NUM MED GEO INC PR N
HOMBRE 7,17 7,55 7,06 8,84 7,68 84
MUJER 6,29 6,91 6,57 8,43 7,03 260
AEI COM APL ANA SYC JYV
HOMBRE 9,00 8,33 7,60 7,72 7,35 6,02
MUJER 8,62 8,16 6,89 6,68 6,01 6,00
Tabla 6. Comparativa por género
Hay diferencias superiores a 0,5 a favor de hombres en Números, Medida y en el total de la
prueba.
Hay diferencias superiores a 0,5 en tres niveles centrales (Aplicación, Análisis y Síntesis y
Creación), favorable a hombres, siendo más reducidas en los otros tres, destacando la similitud
en los resultados por género en el nivel 6 de Juicio y Valoración.
IDIOMA NUM MED GEO INC PR N
INGLÉS 7,00 7,50 7,31 8,86 7,64 44
ESPAÑOL 6,43 7,00 6,60 8,48 7,12 300
AEI COM APL ANA SYC JYV
INGLÉS 9,50 8,75 7,55 7,14 7,05 6,18
ESPAÑOL 8,59 8,13 6,99 6,91 6,23 5,98
Tabla 7. Comparativa por idioma
Los estudiantes del grupo bilingüe obtienen mejor puntuación respecto al resto, en particular
en Geometría.
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En procesos cognitivos, son notables las diferencias superiores en 0,5 en los niveles 1 (Acceso
e Identificación), 2 (Comprensión), 3 (Aplicación) y 5 (Síntesis y Creación), favorables al
grupo bilingüe.
TURNO NUM MED GEO INC PR N
MAÑANA 6,49 7,05 6,57 8,64 7,18 232
TARDE 6,52 7,10 6,93 8,32 7,20 112
AEI COM APL ANA SYC JYV
MAÑANA 8,84 8,37 7,09 6,82 6,32 5,86
TARDE 8,45 7,86 7,00 7,18 6,38 6,30
Tabla 8. Comparativa por turno
No hay diferencias destacables por turno en ningún bloque de contenidos matemáticos, siendo
mejores los resultados en el turno de tarde, excepto en Incertidumbre que es superior el turno
de mañana.
En procesos cognitivos, tan solo en Comprensión hay diferencia destacable próxima a 0,5 a
favor del turno de mañana.
5.4. Comparación resultados con 3.º
Se pasó la Prueba de evaluación a un grupo de 3.º para ver si los alumnos recién llegados a 2.º y
los de 3.º que llevaban 12 créditos realizados de Matemáticas y su didáctica tenían resultados
parecidos en la prueba de Competencia Matemática. La muestra de 3.º la constituyen 28 alumnos, que
obtienen en preguntas correctas un rango [13, 28], de media 23,79, desviación típica 3,97 y
calificaciones de 0 a 10 entre 4,33 y 9,33, con media 7,93 y desviación típica 1,32. Comparando con
los resultados de 2.º hay una diferencia de 0,74 significativa a favor de 3.º.
Posteriormente, se seleccionan los ocho ítems que peores resultados se han obtenido en 2.º
(tabla 2) para ver su resultado en 3.º, obteniendo los resultados de la tabla 9.
TOT PR7 PR9 PR14 PR15 PR21 PR23 PR24 PR29
2.º 0,54 0,55 0,56 0,64 0,24 0,31 0,26 0,51
3.º 0,43 0,61 0,86 0,68 0,21 0,43 0,54 0,79
Tabla 9. Puntuación preguntas peor contestadas (valores entre 0 y 1)
Hay tres ítems (PR14, PR24 y PR29) en donde los resultados en 3.º son muy superiores a
los de 2.º y las diferencias son destacables.
Hay dos ítems (PR7 y PR21) con resultados más bajos en 3.º.
Hay en 3.º tres ítems (PR7, PR21 y PR23) que no llegan al 50% de respuestas correctas.
Seleccionadas las respuestas erróneas a estos ocho ítems en 3.º y en un grupo de 2.º elegido al
azar, que resultó el grupo B, se efectúa un análisis descriptivo de los errores.
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6. Análisis descriptivo de los errores
Se seleccionan las preguntas con mayor porcentaje de respuestas incorrectas (PR7, PR9, PR14,
PR15, PR21, PR23, PR24 y PR29) y se analizan algunas contestaciones de estudiantes del grupo B de
2.º y del grupo de 3.º. El utilizar solamente un grupo de alumnos de 2.º es debido a la alta variedad de
respuestas y que por su extensión será objeto de un estudio posterior. En la interpretación de los
errores se utiliza el consenso de los autores. A continuación se presentan en las figuras de 1 a 156
enunciados de las preguntas, algunas respuestas de los alumnos y comentarios generales.
PR7. La temperatura en la Tierra varía en los distintos lugares a lo largo del año. En la isla
de Tarinkag, en el año 2016, se registraron las siguientes temperaturas:
Ordena los meses sombreados en azul de mayor a menor temperatura
__________ > __________ > __________ > __________
Figura 1. Enunciado PR7.
En el grupo B de 2.º el 48,61%, es decir 1 de cada 2 alumnos, no lee bien el enunciado y pone
números en lugar de meses en su respuesta, no contestando a lo que pide el enunciado. Pero en
3.º, en el grupo de contraste, es el 57,14% de los participantes que comenten el mismo error.
PR9. El circo Maravillas ha llegado a la ciudad. Todos los niños esperan
impacientes el día del estreno.
El circo dispone de varios tipos de entradas dependiendo del lugar desde donde
se vea el espectáculo. A continuación, puedes ver los precios de las diferentes zonas.
Cada zona se diferencia por el color.
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Pablo y su pandilla quieren ir el día del estreno porque hacen un descuento. En
total son 8 niños de 12 años y 2 de 13 años, y quieren sentarse en la zona de “Tribuna
A”.
¿Cuánto les costarán, en total, las entradas de todos?
A. 97,6 € B. 105,6 € C. 132 € D. 144 €
Figura 2. Enunciado PR9.
En el grupo B de 2.º el 34,72% de los estudiantes no aplica el descuento del 20% por ir el día
del estreno, por lo que señalan la respuesta C en lugar de la B y un 14% señalan la A o la D.
En 3.º cometen el mismo error el 35,71%. Lo que sugiere una incorrecta interpretación del
enunciado. En el grupo B de 2.º uno de cada dos estudiantes y en 3.º uno de cada tres, comete
error.
PR14. Llega el siguiente espectáculo. Cuatro payasos trapecistas hacen
acrobacia a la vez, cada uno sobre un triángulo suspendido del techo
El payaso que está sobre un triángulo suspendido del techo.
El payaso que está sobre un triángulo rectángulo es el número…
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Figura 3. Enunciado PR14.
En el grupo B de 2.º señalan el 29,17% la respuesta A y entre las otras dos incorrectas el
18,05% lo que indica que uno de cada dos estudiantes se dejan llevar por el dibujo en lugar de
comprobar que la suma de los ángulos del triángulo ha de ser 180º. En 3.º el 14,28% sigue
cometiendo el mismo error al señalar A, C o D. En la figura 4 un alumno de 2.º señala la
respuesta C obtiene 185º y 190º como suma de los ángulos de los triángulos 3 y 4, olvidándose
de que la suma de los tres ángulos debe ser 180º.
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Figura 4. Respuesta alumno de 2.º GMP a PR14.
PR15. Toca el turno a los equilibristas. Un payaso mantiene el equilibrio
mientras asciende por los peldaños de una escalera. De pronto, cuando está en el
peldaño más alto, un balón se suelta de una red, bota en el suelo y pasa rozando entre
el pie del payaso y la guirnalda de banderines que decora la pista.
La altura del balón es el 10 % de la suma de las alturas de la escalera y el
payaso.
¿A qué altura, desde el suelo, está colocada la guirnalda de banderines?
A. 4,05 m B. 4,70 m C. 4,75 m D. 4,95 m
Figura 5. Enunciado PR15.
La solución correcta es la D, mientras que en la A se calcula la suma de las alturas del payaso
y la escalera y le resta el 10%, en la B se calcula el 10% de la altura del payaso y en la C el
10% de la altura de la escalera. En el grupo B de 2.º el error A lo comete el 11,11% y en 3.º el
17,86%; el error B en 2.º es del 8,33% y en 3.º del 3,57% y el error C en 2.º es del 5,56% y en
3.º del 10,71%, lo que indica que el error en el grupo B de 2.º lo comete uno de cada cuatro
alumnos y en 3.º uno de cada tres alumnos, aumentando el error en 3.º. La figura 6 muestra la
respuesta de un alumno que contiene varios errores en la notación y expresión numérica.
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Figura 6. Respuesta alumno de 2.º GMP a PR15.
PR21. David le dice a Álvaro que se ha comprado una Tablet y una funda por
620 €. Por la funda ha pagado ¼ de lo que había pagado por la Tablet. Quiere saber lo
que ha pagado por cada uno, por ello, ha decidido hacer el siguiente planteamiento:
Planteamiento: El precio de la funda más el de la Tablet son 5 partes, por lo
tanto, la funda es 1/5 y la Tablet son 4/5. Entonces la funda cuesta 124 € y la Tablet
son 4/5. Entonces la funda cuesta 124 € y la Tablet 496 €.
¿Es correcto el planteamiento que ha hecho David?
A. Es incorrecto porque la funda cuesta 200 €.
B. Es incorrecto porque el precio de la funda es ¼ de 620.
C. Es correcto el planteamiento pero la solución es incorrecta.
D. Es correcto tanto el planteamiento como la representación y la solución.
Figura 7. Enunciado PR21.
En el grupo B de 2.º el 41,67% se decanta por señalar la respuesta B y no se dan cuenta que
dice el enunciado que son cinco partes y una corresponde a la funda, por tanto es correcto el
planteamiento, la representación y la solución y deberían haber señalado D como respuesta.
En 3.º el 32,14% señala también la respuesta B. La respuesta C la señalan en el grupo B de 2.º
el 11,11% y el 14,29% en 3.º. Se presenta en la figura 8 la respuesta de un alumno con errores
de notación en la regla de tres, de cálculo señalando ¼ como 0,4 y en la división señalando la
respuesta B.
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Figura 8. Respuesta alumno de 2.º GMP a PR21.
PR23. Han cambiado la dirección del lugar donde habían quedado, así que
Andrés envía con su móvil una imagen. Clasifica en la siguiente tabla las figuras
geométricas según el criterio establecido.
Coloca el número en el lugar correcto:
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CRITERIO Número
Polígono de tres lados…………………..…… ___
Cuadrilátero no paralelogramo…………..….. ___
Paralelogramo cuyos lados son iguales…..…. ___
Superficie plana limitada por una línea curva. ___
Figura 9. Enunciado PR23.
En el grupo B de 2.º hay 17 tipos de respuestas erróneas, desde señalar (6-2-5-3) o (6-2-4-3)
hasta señalar (6-1-2, 5, 4-3) o (6–1, 4, 2–5-3), con un porcentaje de error del 72,22% en el
grupo B de 2.º, pero en 3.º el porcentaje de error es del 53,57%, manteniéndose los errores de
señalar (6-2-4-3) o (6-4-5-3) y (6-1-5,2-4-3) o (6-1-5, 2, 4-3). Otros de los señalamientos en
2.º B son: (6-1-2-3), (6-1-5-3), (6-2-4-2), (6-5-4-3), (6-4-2-3), (6-1-4-3), (6-4-5-3). Una
respuesta se representa en la figura 10 en donde el alumno señala como “paralelogramo cuyos
lados son iguales” figuras que no se corresponden, como son la 2 y la 5.
Figura 10. Respuesta alumno de 2.º GMP a PR23
PR24. Laura, la hija de Manuela, ha estado cronometrando con el móvil de su
madre, lo que han tardado Clara y Álvaro en llegar a la nueva dirección.
Clara… 336 segundos.
Álvaro… 20 minutos 25 segundos.
Andrés… ¿?
Si Andrés ha llegado 2 minutos y 44 segundos después del que llegó el primero,
¿cuánto tiempo ha tardado Andrés en llegar? Calcula y escribe en el recuadro la
solución: _____minutos _____segundos.
Figura 11. Enunciado PR24.
Esta pregunta en el grupo B de 2.º tiene una gran variedad de respuestas, con 35 errores
diferentes, que van desde considerar 8 minutos 4 segundos hasta considerar 22 minutos 405
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segundos. Ponemos como (minutos: segundos) algunas respuestas de los estudiantes de 2.º B:
(24: 69), (7: 50), (29: 0), (38: 49) (23: 09), (8: 1), (22: 69), (0: 500), (18: 19), (7: 80), (22:
60)… En muchos casos los errores están en confundir el sistema sexagesimal con el
centesimal, el considerar en una división la parte entera como minutos y la parte decimal
como segundos… y los errores del grupo B de 2.º suponen el 66,67%. En 3.º los errores se
sitúan en el 32,14%, la mitad y algunos resultados son: (8: 10), (3: 16), (23: 9), (6: 40), (6: 20),
(8: 44), (23:13) en donde al menos el número de segundos es inferior a 60 y los errores
diferentes son de 7 tipos. Se presentan en las figuras 12, 13 y 14 tres respuestas dadas por los
alumnos de entre las muchas erróneas encontradas.
Figura 12. Respuesta alumno de 2.º GMP a PR24.
Figuras 13 y 14. Respuesta de dos alumnos de 2.º GMP a PR24
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PR29. Matías ha confeccionado una mantita cuadrada para que su padre se
proteja del frío en los momentos de descanso. Ha utilizado trozos de tejido térmico que
ha recortado de prendas que tenía en casa.
¿Qué superficie en dm2, cubre la manta?
A. 60 B. 117 C. 144 D. 225
Figura 15. Enunciado PR29.
Se pide hallar la superficie del cuadrado mayor y en el grupo B de 2.º el 27,78% calcula el
perímetro, señalando la respuesta A. La respuesta C, calculando como si fuera un cuadrado de
lado 9+3=12 dm lo señala el 13,89% y la tercera B que es la suma de la superficie de los cinco
cuadrados que aparecen en el dibujo la anota el 5,56%. En 3.º la suma de estos errores se
reduce al 7,14%.
7. Discusión y Conclusiones
De las treinta preguntas de la prueba de competencia matemática la media es de 21,55 que
equivale a 7,19 en una puntuación de cero a diez, resultando cinco grupos con notable y dos con
aprobado, siendo el bloque de Incertidumbre el de puntuaciones más altas entre 8,04 y 8,86, con media
global de 8,52 y el más bajo el de Números con puntuaciones entre 5,54 y 7,23, y media global de
6,50. (PI1). Los alumnos participantes tienen adquirida la competencia matemática de sexto de
primaria en un nivel de notable bajo.
Por niveles de progresión de los procesos cognitivos, todos los grupos tienen medias por encima
de 5. El más alto el de Acceso e Identificación (Nivel 1) con medias entre 7,74 y 9,50 y media global
de 8,71, y el más bajo de Juicio y Valoración (Nivel 6) que tiene medias entre 5,62 y 6,51 y media
global de 6,01. Conforme se va avanzando en el nivel de progresión de los procesos cognitivos va
disminuyendo la puntuación obtenida, pasando de 8,71 en el primer nivel al 6,01 del último, bajando
2,7 puntos.
El grupo bilingüe se diferencia de los otros seis, obteniendo mejores puntuaciones en todos los
bloques de contenidos y en el resultado global, siendo esas diferencias destacables en Geometría y en
el global de la Prueba. También por niveles de progresión de los procesos cognitivos en todos ellos
obtienen mejores resultados que los grupos no bilingües y esas diferencias son destacables en Acceso
e Identificación (N1), Comprensión (N2), Aplicación (N3) y Síntesis y Creación (N5). Aunque la
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selección de los alumnos del grupo bilingüe ha sido hecha por sus conocimientos de inglés, denotan
mejor preparación en general que el resto de sus compañeros. (PI3)
Por género, los hombres obtienen mejores resultados en todos los bloques de contenidos, siendo
esas diferencias destacables en Números, Medida y el total de la prueba y en todos los niveles de
procesos cognitivos, siendo esas diferencias destacables en Aplicación (N3), Análisis (N4) y Síntesis y
Creación (N5). (PI4)
Por turno de mañana o tarde no hay diferencias destacables en ninguno de los cuatro bloques de
contenidos ni en el global de la Prueba, mientras que en procesos cognitivos hay diferencias
destacables en los dos primeros a favor de mañana, en el tercer nivel están muy igualados y en los
niveles 4, 5 y 6 las puntuaciones son superiores en el turno de la tarde. (PI5)
De las ocho preguntas peor contestadas, cuatro corresponden a Números, tres a Geometría y una
a Medida, siendo tres de proceso cognitivo Análisis (N4), una de Aplicación (N3), una de Síntesis y
Creación (N5) y tres de Juicio y Valoración (N6), y las tres con menos del 50% de aciertos en todos
los grupos una de es Números-N6, una de Geometría-N3 y una de Medida-N6.
En cuanto a errores, se mantiene la confusión entre Área y Perímetro, ya detectada en Nortes y
Nortes (2013), el trabajar con minutos y segundos en el sistema sexagesimal, destacada por Arce et al.
(2017), el no reconocimiento correcto de las figuras geométricas, visto en Nortes y Nortes (2017) y la
reiterada falta de comprensión de los enunciados, que lleva a dar respuestas no apropiadas a las
preguntas formuladas y en muchos casos respuestas absurdas. Además los errores se mantienen tras
haber cursado 12 créditos de Matemáticas y su didáctica los alumnos participantes del grupo de 3.º.
(PI7)
Se confirman los resultados de otros estudios (Nortes y Nortes, 2017, 2019), de que los hombres
tienen mejores resultados en contenidos matemáticos y se coincide con Arce et al. (2017) que en la
parte de Incertidumbre obtienen mejores resultados, siendo por bloques de contenidos los resultados
del presente estudio inferiores a los de Arce et al. (2017).
¿Se puede decir que los alumnos que acceden al GMP conocen los contenidos matemáticos y
tienen adquiridos los procesos cognitivos de la competencia matemática de sexto de primaria?
De los siete grupos, el grupo F destaca favorablemente en cinco de las diez comparaciones
efectuadas y por el contrario el grupo G destaca desfavorablemente, en cinco. (PI2). Evidentemente
hay diferencias entre grupos. Además, entre los grupos, por contenidos hay diferencias destacables en
Números, Medida y Geometría, y por proceso cognitivo en Acceso e Identificación, Comprensión,
Análisis, y Síntesis y Creación.
Del estudio comparativo de la tabla 1 de contenidos y procesos cognitivos se nota la ausencia de
no haber preguntas dentro de todos los niveles, denotando la ausencia en (NÚM, N3), (MED, N6),
(GEO, N2), (GEO, N5) e (INC, N5), con lo que la prueba queda incompleta y debería haber sido
revisada por los autores de la misma antes de haberla aplicado. Por el contrario, hay repeticiones como
el caso de NÚM que tiene tres preguntas en N4. También se encuentra un resultado llamativo y es que
la pregunta mejor contestada y con mayor puntuación pertenece al nivel más alto de proceso cognitivo
(INC, N6) con una media de 0,98, y eso puede ser debido a que los estudiantes del GMP han tenido en
la prueba de acceso a la Universidad problemas de este contenido y lo tienen más reciente, o quizás
que esa clasificación no sea la adecuada. (PI6).
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Si en Nortes y Nortes (2019) los tres ítems con menor número de aciertos corresponden a
calcular una distancia aplicando la longitud de la circunferencia (28% de aciertos), una superficie
sumando superficies parciales con diferentes unidades de medida (42% de aciertos) y buscar
semejanzas y diferencias entre una cometa, un romboide, un trapecio y un cuadrado (32% de aciertos)
en el presente estudio son un planteamiento con fracciones (24% de aciertos), una clasificación de
figuras geométricas según un criterio (31% de aciertos) y un cambio de unidades de tiempo (26% de
aciertos) lo que da a entender que especialmente en Medida y Geometría se tienen olvidados los
conceptos elementales y que no van en la línea de los resultados de Gutiérrez-Rubio et al. (2018) que
indica que el 40,13% de los estudiantes del GMP consideran que la principal razón procedimental para
que los alumnos estudien geometría en primaria “sepan identificar las distintas figuras geométricas”
(p. 264) y el 28,29% consideren como principal razón instrumental “porque con la geometría se
desarrolla la visión espacial” (p. 264), opiniones que no se corresponden con los conocimientos que
demuestran conocer los futuros maestros en geometría y que tendrán que desarrollar en su actividad
profesional.
La falta de comprensión de los conceptos geométricos hace que los alumnos no asuman que una
misma figura geométrica pueda poseer definiciones diferentes y no distingan entre propiedades
necesarias y suficientes (Escudero-Domingo y Carrillo, 2014), puesto de manifiesto en la pregunta de
clasificación de figuras geométricas, o que los alumnos señalen el perímetro cuando tienen que
calcular una superficie o que identifiquen un triángulo rectángulo cuya suma de ángulos es superior a
180º.
En otros casos cometen errores como los indicados por Alguacil et al. (2016) en su lista de
errores básicos más frecuentes en cálculo que señalaban en las operaciones con fracciones no
comprender el concepto de fracción ni de fracción equivalente, y también con el cambio de unidades,
puesto de manifiesto en los ítems anteriores.
En Nortes y Nortes (2019) se analizaron las diferencias entre las puntuaciones en los cursos 2.º,
3.º y 4.º, mientras que en la presente investigación se ha efectuado un estudio con todos los grupos de
2.º, habiendo mayor diferencia entre grupos de un mismo curso que entre cursos del GMP lo que da a
entender la gran heterogeneidad en su formación matemática de los alumnos que acceden al grado, lo
que lleva a la necesidad de programar un curso cero antes de iniciar la primera asignatura de
matemáticas en donde se recuerden los contenidos de matemática elemental.
El reaprender y aprender de nuevo lo que ya fue aprendido y en parte olvidado, ayudará, como
indica Pañellas (2016) a familiarizar al futuro maestro con los contenidos elementales para construir
un conocimiento básico de matemáticas para adquirir la competencia matemática de un maestro de
primaria porque para poder desarrollar el conocimiento pedagógico del contenido requiere el
conocimiento del contenido matemático y su competencia.
Se puede concluir diciendo que en la distribución por grupos el número de respuestas correctas
entre grupos extremos difiere en tres, siendo el 7,56% los alumnos que suspenden, que el reparto por
turnos no señala peor al grupo de tarde y que en todos los grupos los alumnos conocen los contenidos
de primaria, con una serie de lagunas en fracciones, figuras geométricas y medidas de tiempo , estando
el proceso cognitivo adquirido en Comprensión, lejos del nivel más alto de Juicio y Valoración, que en
principio deberían estar situados la mayoría de los futuros maestros.
Bibliografía
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Rico, L. (2007). La competencia matemática en PISA. PNA, 1(2), 47-66.
¿Hay diferencias en competencia matemática entre alumnos de un mismo curso?
Un estudio con futuros maestros R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa
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de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
Andrés Nortes Checa. Facultad de Educación. Universidad de Murcia. Líneas de investigación sobre
enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria. Email: anortes@um.es.
Rosa Nortes Martínez-Artero. Facultad de Educación, Universidad de Murcia. Líneas de investigación
relacionadas con la formación inicial de profesores de primaria.
Email: mrosa.nortes@um.es.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 79, marzo de 2012, páginas 67-81
Estrategias de cálculo mental empleadas por una alumna
de segundo grado de primaria: El caso de Luisa
Tzindejeh Rodríguez Quintero
José Antonio Juárez López
(Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. México)
Fecha de recepción: 9 de mayo de 2019
Fecha de aceptación: 30 de octubre de 2019
Resumen Este trabajo contiene el análisis detallado de las estrategias de cálculo mental utilizadas
por una alumna de segundo grado de una escuela primaria federal ubicada en la Ciudad
de Puebla en México. Dichas estrategias fueron obtenidas a través de una entrevista
clínica la cual se elaboró con el objetivo de observar y analizar las estrategias de cálculo
mental que la alumna emplearía para resolver ejercicios de suma y resta de números
naturales. Mediante el presente trabajo se logró observar que la estudiante raramente
emplea los algoritmos que la educación primaria promueve ya que en su lugar ha
demostrado un claro apego a la creación de sus propias estrategias las cuales no dudó en
utilizar aun durante los momentos en los que se le mostraron operaciones escritas.
Palabras clave Estrategias, cálculo mental, suma, resta, educación primaria.
Title Mental calculation strategies used by a second grade elementary school student:
Luisa's case
Abstract This work contains a detailed analysis of the mental calculation strategies used by a
second grade student of a federal elementary school located in the City of Puebla in
Mexico. These strategies were obtained through a clinical interview which was
developed with the objective of observing and analyzing the mental calculation
strategies that the student would use to solve exercises of addition and subtraction of
natural numbers. Through this work it was possible to observe that the student rarely
uses the algorithms that primary education promotes since instead she has demonstrated
a clear attachment to the creation of her own strategies which she did not hesitate to use
even during the moments when They showed him written operations.
Keywords Strategies, mental calculation, addition, subtraction, primary education.
1. Introducción
En la actualidad existen bastantes recursos que permiten realizar cálculos más fácilmente. El
cálculo mental es un componente necesario que debe formar parte de las competencias que son
empleadas en la cotidianeidad de la vida y es algo a lo que todos pueden acceder, ya que, como
menciona Martínez (2011) “No existe un «gen» matemático que sea poseído por algunos alumnos y no
por otros, y que dicho gen predisponga al aprendizaje. No hay personas «negadas» para la matemática,
y ante las cuales cualquier esfuerzo es inútil” (p. 98), entonces es posible que los alumnos puedan
desarrollar este tipo de habilidades o bien perfeccionar las que ya poseen.
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El caso de Luisa. T. Rodríguez Quintero, J. A. Juárez López
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Antes de continuar es necesario definir al protagonista de este escrito, el cálculo mental. Por una
parte, se puede decir que:
El cálculo mental es el cálculo hecho mentalmente y usando estrategias. Este
produce una respuesta precisa. Usualmente tiene lugar sin el uso de medios
externos tales como el lápiz y el papel, aunque puede realizarse con papel y
lápiz, para hacer ‘apuntes’ que apoyen a la memoria. (Lemonidis, 2016, p. 7).
Por otro lado, Parra (1994) lo describe como un conjunto de procedimientos que se encargan de
obtener resultados sin la necesidad de emplear un algoritmo que ya se encuentre preestablecido, por lo
que, en palabras de Cortés, Backhoff y Organista (2004) “de hecho, los procedimientos propiamente
mentales que el alumno lleva a cabo en este tipo de cálculos son diferentes a los que se aplican cuando
se recurre a los algoritmos de lápiz y papel, tradicionalmente enseñados en el aula” (p. 150). Es muy
probable que resulte confuso y tal vez algo desalentador comprender que en efecto cuando se ha
realizado un cálculo en la mente, sin apoyo alguno del lápiz y papel, y se ha utilizado el algoritmo que
tan eficazmente ha sido incrustado desde la escuela primaria, en realidad no se ha recurrido a ninguna
estrategia de cálculo mental y en su lugar únicamente se ha repetido un proceso previamente
establecido, que en muchas ocasiones no se vincula con uno de los propósitos de hacer cálculos en la
mente que es el de facilitar mediante otras vías la realización de alguna operación sin emplear los
medios convencionales.
Con lo mencionado anteriormente se podría argumentar que existen, para fines de este
documento, dos vertientes. La primera conformada por el cálculo mental y la segunda el cálculo
algorítmico como a continuación se describe:
Aquí puede observarse que la distinción entre cálculo algorítmico y cálculo
mental no reside en que el primero sea escrito y el segundo no se apoye en el
uso de lápiz y papel. Como mencionamos anteriormente, el cálculo
algorítmico utiliza siempre la misma técnica para una operación dada,
cualesquiera sean los números. En cambio, cuando se propone un trabajo de
cálculo mental no se espera una única manera de proceder. (Secretaría de
Educación, 2006, p. 14).
Entonces, no se debe anteponer uno sobre el otro ya que ambos convergen para permitir a los
estudiantes una amplia gama de recursos de los cuales puedan elegir el que más les convenga, ahí
reside su importancia.
Otro de los objetivos del cálculo mental es que los alumnos memoricen ciertos resultados o
puedan recuperarlos fácilmente, archivándolos en su repertorio personal al cual podrán acudir siempre
que lo necesiten. Pero como se menciona en la Secretaría de Educación (2006), dicha memorización
debe ser adquirida por una “construcción e identificación previa de relaciones que tejan una red desde
la cual sostenerla y darle sentido” (p. 16), así que es necesario que esta red sea elaborada bajo un
proceso reflexivo sin tratar de automatizarlo ya que involucra la toma de decisiones por parte de los
alumnos las cuales no siempre serán las más convencionales a los ojos de los maestros.
En la educación primaria se puede observar que en ocasiones el cálculo algorítmico ha sido
privilegiado sobre el cálculo mental, pero, aunque en el perfil de egreso no se especifica que los
alumnos deben conocer y mucho menos dominar estrategias de cálculo mental, uno de los propósitos
de la Educación Primaria en México establecidos por la Secretaría de Educación Pública (2017) es
“Utilizar de manera flexible la estimación, el cálculo mental y el cálculo escrito en las operaciones con
números naturales, fraccionarios y decimales” (p. 226). Además, dentro de los aprendizajes esperados
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en segundo grado de educación primaria hay un pequeño segmento el cual señala que además de usar
el algoritmo convencional para sumar, el alumno también “calcula mentalmente sumas y restas de
números de dos cifras, dobles de números de dos cifras y mitades de números pares menores que 100”
(p. 236).
En el mismo documento existe un apartado llamado orientaciones didácticas y sugerencias de
evaluaciones específicas el cual describe algunas sugerencias acerca de cómo se debe trabajar el
cálculo mental.
a) Número mayor a 10 menos un dígito, con resultado múltiplo de 10. Ejemplo: 56 – 6 = 50.
b) Sumas de la forma a + b = 100. Ejemplo: 75 + 25 = 100.
c) Sumas de la forma 100 + a = ___. Ejemplo: 100 + 20, 100 + 45.
d) Restas de la forma: 100 – a = ___con a múltiplo de 10. Ejemplo: 100 – 30 =
e) Complementos del tipo a + ___= 100. Ejemplo: 28 +___ = 100
El trabajo sugerido en el apartado anterior permite pensar que los alumnos que están cursando el
segundo grado podrían emplear ese repertorio ya que es uno de los aprendizajes esperados, pero
también podría ser posible que los alumnos desarrollen algunas estrategias sin que se les haya guiado
previamente, tal es el caso que se describirá a continuación. Buscar atajos siempre parece ser más
atractivo para la mente que desgastarse en un camino largo y problemático, y es durante esa búsqueda
de atajos en donde se perfeccionan las estrategias, se fortalecen las que resultaron de mayor utilidad y
se descartan las que durante el camino no ayudaron del todo a llegar a la meta.
2. Antecedentes
El cálculo mental es una actividad de valiosa importancia, es por eso que distintos autores se
han dedicado a investigarlo, tal es el caso de Parra (1994), quien menciona que el cálculo mental en la
escuela primaria debe ser parte de un trabajo colaborativo. Para que este trabajo se lleve a cabo el
profesor debe proponer un ambiente en el que los alumnos puedan tener la facilidad de compartir y
justificar sus ideas. Esos argumentos llevarán a los alumnos no solamente a visualizar las demás
estrategias propuestas por sus compañeros, sino que también les permitirán llegar a una introspección
que les permita identificar si sus propias estrategias son válidas o es que pueden ser mejoradas o tomar
alguna que otro alumno haya propuesto.
En el mismo sentido, Mochón y Vázquez (1995) realizaron un trabajo en el que abordaron los
temas de cálculo mental y cálculo estimativo. El estudio fue realizado con niños de primaria y
secundaria en México. Uno de sus propósitos consistió en investigar estrategias de cálculo mental.
Esta investigación reveló que la mayoría de los estudiantes no poseen estrategias de cálculo mental
diversas, además de observar que, al contestar con lápiz y papel, usando el algoritmo convencional,
existía un mayor número de errores que cuando lo hacían mentalmente.
En el mismo trabajo le adjudican al cálculo mental las siguientes características: flexible,
holístico, variable y constructivo, y es notable por qué lo describen así, ya que tiene relación con el
modo de pensar de cada individuo, el cual funciona de distintas maneras. No todos resolverán de la
misma forma los cálculos propuestos, además da la oportunidad de desglosar las operaciones y formas
nuevos resultados.
Por otro lado, Chemello (1997) describe algunas diferencias y características entre la resolución
de operaciones a través del cálculo mental, escrito y con calculadora, además, plantea la necesidad de
trabajarlo en las escuelas. También hace gran énfasis ante el hecho de no memorizar las estrategias, ya
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que propone que es mejor invitar a los alumnos a verificar sus procedimientos y realizar un análisis de
las estrategias que ellos mismos sugieran.
Cortés et al. (2004), discuten en su estudio acerca del cálculo mental y estimativo y como estos
son importantes aun para los estudiantes de secundaria. Este trabajo fue realizado con 248 alumnos de
secundaria de escuelas públicas y privadas en México. La ardua labor realizada consistió en analizar
las estrategias empleadas por dichos estudiantes para posteriormente clasificarlas. Los estudiantes que
participaron en el estudio fueron seleccionados por ser considerados como buenos estimadores. Las
estrategias mentales que usaron fueron pocas y en realidad en el estudio mencionan que los alumnos
no dominan el cálculo mental, así que debería ser atendido con más atención en las escuelas.
Ávila (2005), por otra parte, decidió investigar fuera del ámbito escolar, realizando su trabajo
con adultos analfabetos a quienes entrevistó mediante diferentes problemas y con grados de dificultad
mayor conforme la entrevista transcurrió. Los sujetos entrevistados demostraron tener conocimiento
de distintas estrategias de cálculo mental, las cuales estaban en su mayoría basadas en la
descomposición de números para realizar las operaciones. Al no ser personas que tenían
escolarización, su cercanía provenía del uso práctico del dinero.
Más recientemente Formoso, Injoque-Ricle, Jacubovich y Barreyro (2017), realizaron un trabajo
con 70 niños de 6 años en el cual se ven implicados diferentes factores que afectan al cálculo mental,
algunos de ellos son la memoria de trabajo, velocidad de pensamiento y hasta las habilidades verbales
que los niños tienen al momento de realizar problemas aritméticos.
3. Método
El presente trabajo es de tipo cualitativo. Para recolectar la información se recurrió a una
entrevista clínica realizada a una alumna de segundo grado de educación primaria de una escuela
federal ubicada en la Ciudad de Puebla, México. La entrevistada a quien posteriormente se podrá
distinguir en los fragmentos de entrevista como “S” tiene 7 años y posee gran facilidad para expresarse
verbalmente, además no demuestra desagrado ante la asignatura de matemáticas.
A través de la entrevista se pretendió dar respuesta a la siguiente pregunta de investigación:
¿Cuáles son las estrategias de cálculo mental que emplea una alumna de segundo grado de primaria al
resolver ejercicios de suma y resta de números naturales? Como objetivo de esta investigación, se
pretendió observar las estrategias de cálculo mental que la alumna emplearía para resolver ejercicios
de suma y resta con números naturales, además de analizar dichas estrategias.
Las tareas propuestas tuvieron como objetivo brindar las condiciones para que la alumna
empleara y explicara sus estrategias para resolver sumas y restas con números naturales a través del
cálculo mental.
4. Análisis de la entrevista
La entrevista comenzó con el saludo y presentación acostumbradas, posteriormente se preguntó
si sabía que era el cálculo mental a lo cual ella respondió:
S: Es algo que te dice que, pues te dicen sumas o multiplicaciones y tú tienes que… o
restas y tú tienes que ir diciendo, el resultado, pero nada más pensándolo en la
mente.
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Su respuesta evidencia una suposición que se tenía prevista, en la cual se llegó a considerar que
únicamente se referiría al cálculo mental como una manera de resolver operaciones aritméticas en la
mente. Para ahondar un poco más sobre su pensamiento acerca del tema se decidió preguntarle acerca
del momento en que podría ser utilizado, esto con la esperanza de que lograra vincularlo con el
ambiente exterior y no únicamente que lo percibiera como una cuestión meramente escolar. Aunque la
alumna es consciente que puede ser empleado como medio para realizar cuentas, esas mismas cuentas
no lograron ser visualizadas como parte de lo que se puede presentar en la vida diaria como al
momento de comprar alguna mercancía.
E: Cuando no estás en la escuela, ¿también lo has utilizado alguna vez?
S: Sí.
E: ¿Te acuerdas de algún momento en el que hayas utilizado el cálculo mental fuera
de la escuela?
S: Sí.
E: Me podrías platicar cuándo fue eso, o de qué te acuerdas.
S: Pues es que ayer o antier (refiriéndose al día anterior de ayer) mi mamá me estaba
haciendo cálculo mental.
Lo anterior podría sugerir que el cálculo mental para ella aun no es visto como una herramienta
que facilite hacer cuentas en otros ámbitos más que en los referentes al estudio, no lo está relacionado
con alguna situación real que haya vivido en su entorno, simplemente es percibido como una práctica
rutinaria.
Para comenzar, se le propuso a la alumna una suma bastante sencilla, con el afán de reforzar su
confianza, además de analizar si emplearía el repertorio mental con el que se supone debería contar al
haber cursado ya el primer año de escolaridad en la educación primaria.
E: Bueno, vamos a comenzar con una operación sencilla, ¿cuánto es 3+2?
S: 5.
E: 5, cómo supiste que era 5.
S: Porque le voy sumando (suelta una pequeña risa).
Con esa pequeña risa acompañada de algo de obviedad en su tono de voz, pareció ser cierta la
suposición previamente hecha ya que la primera suma le resultó bastante simple. Nótese que la
segunda suma también posee un grado de dificultad menor y es bastante probable que al igual que la
anterior formara parte del repertorio mental de la alumna, pero en este caso la diferencia radica en el
hecho de que los números no se le dijeron como generalmente aparecen en un algoritmo, o sea el
mayor seguido del menor. Para esta suma y las posteriores se planeó proponer la cantidad menor al
inicio, seguida de la mayor con el único fin de analizar si en efecto la alumna seguiría este mismo
acomodo o movería a conveniencia las cantidades.
E: Ahora, ¿5+6?
S: 11.
E: ¿Hiciste algo diferente para este el cálculo? ¿o utilizaste lo mismo?
S: Utilicé lo mismo.
E: ¿Si?, a ver, ¿qué fue eso mismo que utilizaste?
S: La suma.
E: Explícame cómo fue en tu mente, me gustaría saber cómo lo hiciste en tu mente.
S: Bueno para, primero sumé el número más grande y después el más chico.
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Operación
propuesta
Operación
realizada por la
alumna
Estrategia
empleada
5+6= 6+5 = -Contar desde el
sumando mayor *
Tabla 1. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)
En este caso, como se esperaba, la alumna comenzó a mostrar una primera estrategia, el conteo
desde el sumando mayor, mencionada por López (2014), ya que decidió no realizar la suma de los
números en el orden mencionado porque le resultaba más sencillo acomodar y retener en su mente el
más grande para luego añadirle el menor.
E: Ok, entonces, ¿primero sumaste el 6 y luego el 5?
S: Sí.
E: ¿Y, porque sumaste el número más grande primero?
S: Para que se me haga más fácil.
Posteriormente se le propuso otra suma y cuando se le preguntó sobre si sería lo mismo hacerlo
con lápiz y papel ella contestó que hubiera sido igual porque tendría que hacer las mismas cuentas.
Al continuar se le propuso sumar 8+12 con la finalidad de comprobar que no descompondría las
cifras para reacomodarlas haciendo una nueva y así resolver con mayor facilidad las operaciones.
Cuando se le preguntó acerca de su procedimiento contestó lo siguiente:
S: Pues se me hizo un poquito difícil, pero, así como que fui… fui…como contando los
de 8 y diciendo a pues 12, 13, 14 y así.
E: ¿A ok, entonces tú, empezaste desde 8 y le fuiste sumando?
S: No, empecé desde el 12.
E: ¿Tenías doce en la mente o cómo?
S: Sí.
E: ¿Y luego qué fuiste haciendo?
S: Fui poniendo un número y otro hasta llegar al 8.
E: Ah, hasta completar ya los 8 que se les iban sumando de más.
S: Sí.
En esta suma la alumna demuestra una segunda estrategia de cálculo mental la cual no se
pensaba que podría utilizar. Decidió optar por colocar en su mente el número mayor, como había
hecho previamente, y posteriormente sumar de uno en uno hasta juntar los ocho que debían sumarse,
en este caso, se pudo percibir que la alumna empleó sus dedos, aunque de manera automática los
colocó debajo de la mesa, como queriendo esconder lo que hacía. Para este caso empleó las estrategias
descritas por López (2014), es decir, representación de los sumandos mediante objetos o empleando
los dedos y conteo desde el sumando mayor.
Para poner a prueba lo que antes había mencionado la alumna acerca de que resolver a través de
cálculo mental y de manera escrita era lo mismo, se decidió pedirle que lo contestara en una hoja.
E: ¿Aquí hiciste lo mismo?
S: No.
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E: ¿Aquí qué fue lo que hiciste, me podrías explicar?
S: La suma que usted me dijo, igual yendo contando, o sea primero puse el 8, o
también luego yo para los números mayores, por ejemplo, si es 150 como le quito
así los 50, asumiendo y si es el 8 le pongo 158.
E: Ah, ok como que le vas a agregando ahí y en este caso cómo le hiciste para sumar
estos dos, por ejemplo.
S: Por ejemplo, aquí le puse el 1, bueno el 10 más 8, 18, 19, 20 así lo hice.
Al pedirle que explicara con detalle cómo había realizado el cálculo de la suma con lápiz y
papel, en realidad no empleó el algoritmo que se enseña en la escuela, en lugar de eso salió a relucir
otra estrategia de cálculo mental, que en efecto rompió el supuesto que se tenía previsto, el cual
declaraba que no usaría una descomposición de los números. La alumna descompuso el número
mayor, en este caso el 12, dejándolo como 10 y 2, luego, decidió sumar la decena con el 8, formando
un número nuevo, después de eso recurrió a lo que ya había realizado antes, o sea colocar ese 18 en su
mente y contar de uno en uno hasta juntar las dos unidades que le quedaban por añadir.
Operación propuesta Operación realizada por la
alumna Estrategia empleada
8+12=
12+8 =
-Representar los sumandos
mediante objetos o dedos*
-Contar desde el sumando
mayor*
10+8+2=
-Contar a partir de uno de los
sumandos*
-Descomponer el sumando
mayor en decena y unidades*
Tabla 2. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)
Aunque para muchos otros lo más usual sería el hecho de descomponer el 12 y agregar el dos de
las unidades al 8 para formar un 10 y posteriormente sumarlo al 10 que quedó del primer número
descompuesto, ella optó por una solución alternativa y a sus ojos bastante eficiente, demostrando
también que empleó la estrategia de descomposición de los problemas en problemas más simples
mencionada por López (2014).
Para la siguiente suma sucedió lo mismo, al pedirle que sumara 31+ 9 en su mente colocó
primero el número mayor y luego le fue sumando los 9. Al pedirle que lo resolviera en una hoja y lo
explicara reflejó lo familiarizada que estaba con ese método además de que se sintió confiada al
usarlo.
S: Primero al 31 por decir, le quité el 1 como si lo hubiera apartado y le puse el 9 o
sea me da 39 más 1, 40.
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Operación propuesta Operación realizada por la
alumna Estrategia empleada
31+9=
30+9=39
39+1=40
-Descomponer el sumando
mayor en decena y
unidades*
-Contar desde el sumando
mayor*
Tabla 3. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)
Descomponer los números para elaborar uno nuevo y posteriormente añadir la cantidad más
pequeña es una estrategia interesante, la cual parece dominar a la perfección. La tercera hipótesis
estableció que la alumna propondría otras estrategias de cálculo mental después de ayudarle a
reflexionar mediante un conflicto cognitivo. Este conflicto supuestamente surgiría de la respuesta que
ella proporcionó al preguntarle nuevamente si realizaba lo mismo en la mente que en el papel, otra vez
respondió que hacía lo mismo, entonces se le hizo la pregunta si es lo mismo hacerlo escrito que en la
mente ¿para qué sirve el cálculo mental? a lo que ella respondió:
S: Pues yo diría que pues para alguna gente o para alguien se le dificulta el cálculo
mental entonces lo tiene que hacer en papel así se le dificulta menos.
Para tratar de averiguar si en efecto existían otras estrategias en su repertorio, se prosiguió con
la entrevista y para colocarla en el papel del experto como sugiere Ginsburg (1997), se le preguntó por
alguna recomendación que ella daría a los demás al momento de resolver 35+15. Su respuesta fue 41 y
al pedirle una explicación describió lo siguiente:
S: Pues lo que yo hago, que es quitarle el número que le sigue.
E: ¿O sea en este caso el quitaste el 5?
S: Sí, (se ríe nerviosamente) y le puse el otro 5.
E: Ajá.
S: Pero después le puse este 5 y luego le puse el 1.
E: ¿A ver en este caso quitaste este 5?
S: Sí.
E: Ese es el primero consejo, y luego quitaste este otro 5 de las unidades, ¿sí?
S: Ajá.
E: ¿Y qué pasó con estos cincos cuando los quitaste?
S: Aquí quedo 31.
E: ¿Quedó 31? Ok, bien.
S: Y les puse los cincos y me dio 41.
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Operación propuesta Operación realizada por
la alumna Estrategia empleada
35+15=
5+5=10
3+1=31
31+10=41
-Descomponer el sumando
mayor en decena y
unidades*
-Contar desde el sumando
mayor*
Tabla 4. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)
En este caso fue muy evidente que Luisa descompuso los números para formar nuevos. Lo
anterior pudo apreciarse porque al sumar las dos unidades, que resultan una suma sencilla para ella al
formar parte de su repertorio mental, pudo deducir que se formaría un 10, pero al momento de sumar
las decenas, no hizo lo mismo que con las unidades, simplemente decidió agrupar el 3 que
representaría tres decenas y el 1 que representaría una decena, al momento de agrupar tales números
sin mantener su estatus de decenas consiguió obtener el 31, es ahí cuando a través de esa confusión
decide sumarle los 10 que tenía de las unidades logrando obtener como resultado el 41. Su estrategia,
de hecho, parece prometedora, lo único que no logró contemplar fue la diferencia entre el valor que
poseen las unidades y decenas.
Durante la resolución de la suma escrita se pensó que acudiría al algoritmo escrito empleado
convencionalmente, pero en efecto la alumna empleó el cálculo mental, ya que en la escuela no se le
había hablado de ello y mucho menos discutido sobre el repertorio de estrategias ya existentes.
Durante la entrevista mencionó que hay que estudiar los cálculos, seguramente adjudica a su estudio el
hecho de que pueda resolverlos, pero en realidad no ha logrado aún reflexionar que ha diseñado sin
ayuda de algún agente externo al menos dos estrategias que le han facilitado realizar cálculos de una
manera distinta a la que le han enseñado en la primaria.
Para comenzar con las restas se contempló una cuarta hipótesis en la cual se consideró que la
alumna recurriría a su repertorio de resultados de sumas y restas, pero esta vez con números mayores.
Esta suposición fue errada ya que no contempló el hecho de conocer el resultado de restar 5 menos 2 y
agregarle únicamente el cero.
E: Bien, pasemos a las restas ¿50-20?
S: 30.
E: ¿Cómo hiciste para resolverla en tu mente?
S: Pues en mi mente yo lo único que hice fue poner el 20 e ir contando, ahora si
cuántos dieces me faltaron para llegar al 50.
Operación propuesta Operación realizada por la
alumna Estrategia empleada
50-20=
20+10+10+10= 50
-Contar a partir de uno de los
sumandos*
Tabla 5. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)
Estrategias de cálculo mental empleadas por una alumna de segundo grado de primaria:
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Para este apartado vuelve a emplear la estrategia ya usada en las sumas, aunque en esta ocasión
en lugar de ir contando de uno en uno decidió contar de diez en diez, partiendo desde el número más
pequeño.
La segunda resta 60-35 no fue tan sencilla para ella ya que no implicaba únicamente ir de 10 en
10 y al ser números más grandes accedió a que se le mostraran en una hoja. Respondió que le
quedaban 35 y lo explicó de la siguiente manera:
S: Le pongo los 35 y luego le pongo 35, 40, 50, 60 le faltan 35.
E: Ok, ¿por qué dices que le faltan 35?
S: Porque lo que fui haciendo fue lo mismo, nada más que aquí tuve que hacer esto, o
sea que me pase al 40, del 35 me pase al 40, le sumé lo que le faltaban a este y
después le puse el 5 y ahí me dio el 35.
E: A ver entonces vamos a hacerlo aquí. De aquí (señalando el número 35) te pasaste
al 40 verdad, entonces, ¿cuánto nos faltaban para el 40?
S: ¿Para el 40?, 5.
E: Va, si quieres ese lo puedes anotar aquí.
S: Pues entonces lo que hice fue esto, haz de cuenta está el 35, me pasé al 40 y
después lo que hice fue 40, luego me fui al 50 y después 60 y le puse el 5, entonces
una, dos, tres, 10, 20, 30 más los 5 que me quedaron nos da el 35.
Operación propuesta Operación realizada por la
alumna Estrategia empleada
60-35=
35+5+10+10+10= 60
60-35=35
-Contar a partir de uno de los
sumandos*
Tabla 6. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)
En este caso empleó lo mismo que en la resta anterior, pero trató de realizar algo así como el
conteo de uno en uno, aunque en este caso sumó una decena de más. Cuando se le pidió que
propusiera otra solución con la finalidad de explorar otras posibles estrategias y con el afán de que
verificara su resultado y tal vez modificarlo si es que se daba cuenta de su error, ella explicó lo
siguiente:
S: Sí, que fuera así como que de regreso.
E: ¿A ver cómo sería de regreso?
S: Sería aquí el 60, y le vas restando, así, menos, 60 menos 10, menos 10, menos 10,
menos 5.
E: Te parece si la resolvemos con el lápiz para comprobar.
S: Si, luego 60 menos 35, lo que haría aquí es que al 60 igual le fuera restando o
yendo para allá (se queda viendo al entrevistador en búsqueda de aprobación).
E: Sí, está bien.
S: Si, entonces 60 menos 35 es... (escribe 35)
E: Ok, está bien. ¿Esto qué hiciste en el papel y con el lápiz es lo mismo que haces en
la escuela?
S: Sí.
E: ¿Así los resuelves?
S: Sí.
Estrategias de cálculo mental empleadas por una alumna de segundo grado de primaria:
El caso de Luisa. T. Rodríguez Quintero, J. A. Juárez López
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Después de escuchar la segunda explicación, se le pidió que contestara en la hoja la misma resta
tratando de que se diera cuenta del error en el que estaba, ya que se pensó que resolvería la resta como
usualmente lo hace en clases, es decir a través del algoritmo. Al ver su respuesta y escuchar su
explicación se confirmó que en efecto para resolver las sumas o restas no emplea los algoritmos
convencionales que son enseñados en la escuela primaria. Como siguiente actividad se le propuso el
un problema.
E: “Supongamos que hoy te dieron $43 pero mañana te vas a gastar 17, ¿cuánto
dinero te quedaría?”
Sujeto: Ajá (se queda pensando un rato)
E: ¿Gustas que anotemos las cantidades?
S: Si por favor, (después de pensar un rato responde 34).
E: ¿Podrías explicarme cómo hiciste esto en tu mente?
S: Pues, primero es lo que luego hago en las sumas que es lo que pongo los números
así (anota los números acomodándolos para realizar el algoritmo convencional)
43 menos 17. O sea yo me imaginé esto, e irle quitando así ahora si fue en mi
mente como ponerlo para acá, como que le di vuelta (refiriéndose a intercambiar
los números) y 7 menos 3 me dio 4, entonces después me dio 3 (refiriéndose a
restar 4 menos 1).
E: Entonces esa fue tu cantidad.
S: Si, esto le di vuelta (las unidades) y esto no (las decenas).
E: ¿Y por qué a esto si le diste vuelta?
S: Para, mmm porque, se me hace más fácil restarle al mayor.
E: ¿Restarle al mayor?
S: Restarle al mayor para que me quedé el número exacto.
Operación propuesta Operación realizada por la
alumna Estrategia empleada
43-17=
1) 43
-17
2) 47
-13
-Descomponer el sumando
mayor en decena y
unidades*
-Algoritmo escrito
Tabla 7. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)
Este fue el primer cálculo que anotó de una manera distinta a los demás. Además, para este
único caso decidió emplear el algoritmo convencional de la resta salvo por algunas modificaciones que
ella incorporó a conveniencia, como la de intercambiar la posición de las unidades para que pudiera
efectuarse la resta sin mayor problema. En este caso fue posible apreciar que Luisa no pudo llevar a
cabo alguna de las técnicas para la resta como el algoritmo de resta con llevada escrita, que es el
comúnmente enseñando en la primaria.
Mencionó que en su mente también había hecho lo mismo, optando por intercambiar los
números de las unidades. En el caso de las decenas no fueron intercambiadas de lugar porque la
decena del minuendo era mayor que la del sustraendo y no le representó ninguna dificultad. En este
caso, llama la atención el vocabulario que empleó para justificar su decisión, al mencionar que decidió
restarle al mayor para que le quedara el “número exacto”, lo cual quiere decir que en realidad tiene en
cuenta que sería inconveniente sustraer de un número menor una cantidad que lo rebase.
Posteriormente se le propuso el siguiente problema:
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“Si vas a la tienda y compras tres chocolates que cuestan 13 pesos cada uno ¿Cuánto tendrías
que pagar?”
S: 39 (no demora en contestar).
E: ¿Cómo hiciste eso tan rápido?
S: Pues es que está fácil porque, eh pues nada más lo que hice fue sumar los primeros
10 y luego como yo ya sé que 3+3+3 es igual a 9 entonces le puse 39.
Operación propuesta Operación realizada por la
alumna Estrategia empleada
13+13+13=
10+10+10= 30
30+9= 39
-Descomponer el sumando
mayor en decena y unidades*
-Recuperación (memoria de
largo plazo)*
Tabla 8. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)
Al mencionar que ya conoce el resultado de esa suma reiterada se hace presente lo mencionado
según Siegler (1984) citado por López (2014), el cual describe que la información sobre los hechos
aritméticos básicos se almacena en la memoria en forma de “nodos”. Estos nodos fueron de bastante
utilidad ya que en este caso la alumna sin saber multiplicar, empleó su repertorio de sumas para saber
rápidamente el resultado de sumar las decenas y unidades, nótese que para esta operación nuevamente
deja a un lado el algoritmo y comienza por desintegrar el número separando las decenas y unidades,
sumando primeramente las decenas, por que como lo hizo notar anteriormente empezar por los
números más grandes le resulta conveniente.
Para colocarla nuevamente en el papel de experta como menciona Ginsburg (1997), se le pidió
que inventara un problema y que lo resolviera empleando cálculo mental.
S: Juan fue a la tienda a comprar un kilo de limón que cuesta 20 pesos y un chocolate
de 10 pesos, y un litro de leche que cuesta 37 ¿cuánto pagó?
E: Me podrías decir sin hacer las operaciones con lápiz y papel ¿cuánto pagó?
S: Pagó, pues… 67.
E: Es verdad. ¿Y cómo supiste que pagó 67?
S: Lo que fui haciendo fue primero poner el 30, bueno al 37 le quité los 7, le puse los
20, luego los 10.
Operación propuesta Operación realizada por la
alumna Estrategia empleada
20+10+37=
30+20+10= 60
60+7=67
-Descomponer el sumando
mayor en decena y unidades*
-Contar desde el sumando
mayor*
Tabla 9. Ejemplo de estrategia utilizada por Luisa y clasificada por * (López, 2014, p. 176)
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Para este último caso se nota nuevamente la descomposición el único número que no formaba
parte de los múltiplos de 10 para que resultará más sencilla la suma, ya que al tener los siguientes
sumandos: 20+10+37, descompone el 37, obteniendo 30 y 7, quedándole lo siguiente: 30+20+10 = 60,
por último, solo añadió el 7 que tenía “apartado” como en otra situación había mencionado.
En este caso y como menciona Chemello (1997), la alumna ya ha logrado descubrir que existe
una regularidad entre ciertas series numéricas entre las cuales hay relación y por ende será más
sencillo sumarlas. Para este caso en específico los múltiplos de diez, o bien si no los ha identificado
como tales, aquellos números que terminen en cero.
Aunque las estrategias empleadas por la alumna encajan en las descritas por López (2014),
también resulta interesante hablar de una estrategia descrita por Ávila (2005), llamada procedimiento
indoarábigo, ya que describe con mayor detalle los pasos que se llevan a cabo durante el cálculo
mental. Este procedimiento consiste en:
1. Descomponer los números en unidades, decenas, centenas, etc.
2. Realizar la suma comenzando por las de orden superior obteniendo una suma parcial.
3. Seguir con el procedimiento obteniendo otras sumas parciales.
4. Sumar las sumas parciales para obtener una suma total.
Un ejemplo de esta estrategia al sumar 250+ 310 resultaría de la siguiente forma:
1. 200+50 y 300+10
2. 200+300= 500
3. 50+10= 60
4. 500+60=560
El procedimiento anteriormente descrito es totalmente diferente al que se emplea en la
escolarización habitual ya que en el caso de la educación primaria se les pide a los alumnos comenzar
por la suma de las unidades, decenas, centenas y así sucesivamente. Se pudo apreciar claramente que
para el sujeto entrevistado no resultó conveniente acudir a la estrategia enseñada en la escuela, en su
lugar y sin habérselo mostrado previamente empleó el procedimiento indoarábigo en casi todas las
operaciones propuestas, es posible apreciarlo en las tablas 2,3,8 y 9 aunque con menor grado de
dificultad porque solo descompuso unidades y decenas ya que así lo demandaban las operaciones.
5. Conclusiones
Cortés et al. (2004) proponen que “El cálculo mental debe ser aceptado en los currículos
escolares por su contribución al desarrollo del pensamiento aritmético y como medio para el
diagnóstico y reorientación del proceso de enseñanza” (p. 57). En el caso del currículo mexicano se
puede apreciar que se percibe al cálculo mental como “una práctica que debe realizarse
permanentemente, pues el desarrollo de esta habilidad permite agilizar los cálculos e identificar un
resultado incorrecto” (p. 245). Aunque en verdad debería ser incorporada como una actividad
permanente, en muchas ocasiones suele verse como un tema más y se prosigue con lo que resta del
programa, lo cual no beneficia al progreso y reforzamiento de esta parte importante del currículo y que
en realidad, como mencionan Formoso et al. (2017) se trata de algo que no puede ser percibido como
simple, su complejidad radica en la codificación de los datos y al mismo tiempo su almacenamiento
temporal o a largo plazo que le permitirá recuperar y utilizar datos o procedimientos que resulten
necesarios. Esa complejidad se puede percibir también en la gama de habilidades mencionadas por
Chemello (1997) como conteos, recolocaciones, descomposiciones, redistribuciones y
compensaciones.
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Las habilidades de cálculo mental de Luisa son notables. A pesar de contar con la escolarización
estándar a la que la mayoría de los niños mexicanos tienen acceso, no demostró tener un fuerte apego
hacia los métodos enseñados en la escuela para resolver sumas y restas. Como menciona Martínez
(2011) “Las matemáticas no deben ser una asignatura a transmitir, sino una oportunidad guiada que
deben tener los alumnos para reinventarlas” (p. 98). La pequeña entrevistada se permitió reinventar la
manera de realizar los cálculos, olvidándose casi por completo de emplear el algoritmo convencional,
haciendo uso de sus propias estrategias aun a la hora resolver de manera escrita las operaciones. Por
otro lado, demostró que ha descubierto algo que le resulta más conveniente y ha decidido emplearlo,
aunque no sea parte de la convencionalidad esperada por los profesores y que sin un análisis como el
realizado resultaría imposible enterarse del repertorio que posee.
Como se mencionó anteriormente, algunos autores como Geary y Brown (1991), Siegler (1987)
y Siegler y Shrager (1984); citados por López (2014), han planteado la existencia de cinco estrategias
básicas con respecto a la resolución de operaciones aritméticas simples efectuadas por los niños.
a) Representación de los sumandos mediante objetos o empleando los mismos.
b) Conteo a partir de uno de los sumandos, en el cual está implicado el principio de
cardinalidad al tener en cuenta que el cardinal final será equivalente al total de elementos
del conjunto.
c) Conteo desde el sumando mayor.
d) Descomposición de los problemas en problemas más simples, o bien, para este caso en
específico, descomposición del sumando mayor en decena y unidades.
e) Recuperación de la respuesta empleando la memoria de largo plazo.
De las estrategias anteriores la alumna empleó en la mayoría de los casos la tercera, ya que no
utilizaba cualquier sumando para su conteo, en lugar de ello y para agilizar el trabajo, comenzaba con
el mayor. La estrategia anteriormente mencionada fue sustituida por la segunda en dos de las tres
restas propuestas, como se logró apreciar en esos casos Luisa decidió sumar partiendo de uno de los
dígitos para llegar al otro, de esta manera ahorró tiempo y a su vez evadió realizar las restas. Esta
decisión resultó interesante porque en realidad se esperaba que llevara a cabo una descomposición de
las unidades y decenas, que tal vez recurriera a su memoria a largo plazo, pero con múltiplos de 10, o
bien, como en la última resta que acudiera al algoritmo escrito.
El sujeto entrevistado no ha tenido acceso previo a estrategias de cálculo mental al igual que los
sujetos que participaron en la investigación de Ávila (2005), las únicas diferencias entre ellos son la
edad y que los segundos son analfabetos, pero ambos han logrado construir sus propias estrategias,
quizás más convenientes, dejando a un lado a los algoritmos escolarizados.
Mochón y Vázquez (1995) mencionan que en la escuela deben desarrollarse estrategias que no
sean memorísticas analizando las que los niños han desarrollado, que sea en un trabajo grupal, una
colaboración entre ellos para que puedan compartir lo que realizan, por lo que es posible que los
alumnos en la escuela sean capaces, al igual que Luisa, de cambiar las reglas y desarrollar sus propias
estrategias con base en sus propias necesidades y experiencias, sin apoyo de recursos que podrían estar
a su alcance y que son proporcionados por sus docentes. Ahora bien, si se piensa con detenimiento, se
podrían abrir ante los estudiantes otros posibles senderos si es que el cálculo mental formase parte del
repertorio cotidiano, no sistematizado, sino entendido como un proceso de intercambio entre las
propuestas de los estudiantes y las que ya se han establecido.
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6. Referencias
Ávila, A. (2005). El saber matemático de los analfabetos. Origen y desarrollo de sus estrategias de
cálculo. Revista Latinoamericana de Estudios Educativos, XXXV(3-4), 179-219.
Chemello, G. (1997). El cálculo en la escuela: las cuentas, ¿son un problema? En G. Iaies (comp.), Los
CBC y la enseñanza de la matemática, 81-107. Buenos Aires: A-Z Editora.
Cortés, J., Backhoff, E., y Organista, J. (2004). Estrategias de cálculo mental utilizadas por estudiantes
del nivel secundaria de Baja California. Educación Matemática, 16(1), 149-168.
Formoso, J., Injoque-Ricle, I., Jacubovich, S. yBarreyro J. (2017) Cálculo mental en niños y su
relación con habilidades cognitivas. Acta de Investigación Psicológica 7, 2766–2774.
Ginsburg, H. P. (1997). Entering the Child's Mind. The clinical interview in Psychological Research
and Practice. USA: Cambridge University Press.
Lemonidis, C. (2016). Mental computation and estimation. Implications for mathematics education
research, teaching and learning. New York, USA: Routledge.
López, M. (2014). Desarrollo de la memoria de trabajo y desempeño en el cálculo aritmético: un
estudio longitudinal en niños. Electronic Journal of Research in Educational Psychology, 12.
Recuperado el 1 de abril de 2014, de http://dx.doi.org/10.14204/ejrep.32.13103
Martínez, J. (2011). El método de cálculo abierto basado en números (abn) como alternativa de futuro
respecto a los métodos tradicionales cerrados basados en cifras (cbc). Bordón, 63(4), 95-110.
Mochón, S. y Vázquez, J. (1995). Cálculo mental y estimación: Métodos, resultados de una
investigación y sugerencias para su enseñanza. Educación Matemática, 7(3), 93-105.
Parra, C. (1994). El cálculo mental en la escuela primaria. En C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de
la matemática. Aportes y reflexiones, 219-272. Buenos Aires: Paidós.
Secretaría de Educación Pública. (2017). Aprendizajes Clave para la Educación Integral. Educación
primaria 2°. Plan y programas de estudio, orientaciones didácticas y sugerencias de evaluación.
México: Autor.
Secretaría de Educación. (2006). Matemática. Cálculo mental con números naturales. Apuntes para la
enseñanza. Buenos Aires: Autor.
Tzindejeh Rodriguez Quintero. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla. Nació el 22 de
febrero de 1989 en Lerdo, Durango. Es Licenciada en Educación Primaria por la Escuela Normal de
Torreón, Coahuila, actualmente estudiando la Maestría en Educación Matemática en la Facultad de
Ciencias Físico Matemáticas de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. kinndeh@hotmail.com
José Antonio Juárez López. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla, México. Nació en la Ciudad de Puebla, Puebla, México, el 15 de agosto de 1969.
Es Licenciado en Educación Media en el Área de Matemáticas por la Escuela Normal Superior del Estado
de Puebla. Obtuvo los grados de Maestro y Doctor en Ciencias en la Especialidad de Matemática
Educativa por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. Ha
publicado tres libros, varios artículos en revistas, así como memorias en congresos internacionales.
jajul@fcfm.buap.mx
Sociedad Canaria Isaac Newton
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 83-96
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El trabajo cooperativo en Matemáticas
Isabel García Esteban (Colegio San Vicente de Paúl. Benavente)
Resumen Desarrollar el trabajo cooperativo en Matemáticas potencia el pensamiento lógico entre
compañeros, desarrolla la abstracción y mejora los resultados académicos de los
alumnos.
Palabras clave Trabajo cooperativo. Aprendizaje competencial. Personalización del aprendizaje.
Estructuras cooperativas. Metodología.
Abstract Developing cooperative work in Math increases logical thinking among students, builds
up abstraction and improves the students´ academical results.
Cooperative work is one of the fundamental bases in an inclusive and skill-based
learning.
Keywords Cooperative work. Skill-based learning. Personal learning. Cooperative structures.
Methodology.
1. Introducción
Distintas investigaciones avalan el trabajo cooperativo como una metodología idónea para el
aprendizaje de las Matemáticas.
El trabajo cooperativo (en adelante TC) contribuye a que los estudiantes reduzcan esa
inseguridad ante la asignatura; hace que les guste más la materia y sientan menos rechazo, lo que
incrementa la motivación y por tanto, una mejor disposición para aprender.
En las Matemáticas debemos “enseñar a aprender” (María Antonia Canals, 2008, págs. 13-16),
fomentar el aprender haciendo, permitir que el alumno se equivoque, que busque soluciones, que
verbalice razonamientos, etc. Todo esto se desarrolla mejor si se trabaja en cooperativo.
Es importante destacar que el aprendizaje cooperativo no es un objetivo en sí mismo. El
objetivo que siempre perseguimos es que el alumnado aprenda y desarrolle sus habilidades
matemáticas, y el TC es una herramienta potentísima para lograrlo. Debemos conseguir que los
alumnos “aprendan juntos a hacer las cosas solos” (Zariquiey, 2018, págs. 12-17).
Para que un grupo cooperativo sea efectivo, Spencer Kagan y Johnson & Johnson (Johnson &
Johnson, 1990, pág. 8), coinciden en que deben cumplirse dos principios básicos: la interdependencia
positiva y la responsabilidad individual. Esta tarea no se consigue de manera automática, sino que
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debemos construir ese “clima cooperativo” para que se cumplan los dos principios básicos, en los que
la configuración de los miembros del equipo base es fundamental. No podemos olvidarnos del trabajo
individual del alumno, por lo que debemos combinar momentos de trabajo individual con momentos
de trabajo cooperativo.
También el TC es un modelo inclusivo (Pujolàs, 1994, págs. 24-25.), una solución fantástica
para afrontar la heterogeneidad de las aulas. El hecho de que los alumnos con dificultades sean
ayudados por sus compañeros además de por el profesor, contribuye a mejorar los resultados
académicos; esto es un hecho evidente y ventajoso para estos alumnos.
Más complicado es ver las ventajas desde el otro lado: los alumnos que no tienen dificultades y
que se ven “obligados” a prestar ayuda a sus compañeros. Para ellos, inicialmente sienten que ayudar
frena su avance y progreso personal, por eso, nuestra labor como docentes es evidenciar que el trabajo
con otros compañeros, no sólo los enriquece, sino que también les permite alcanzar cotas de éxito
mayor a las que sólo puede llegar con la ayuda de los demás. Convencer de ello a estos alumnos es un
factor clave.
En mi caso personal, tratándose de alumnos de Secundaria, lo he conseguido explicándoles la
Taxonomía de Bloom (Bloom.1971. págs. 13-19) Cuando un alumno ofrece ayuda a un compañero,
explica, aplica e incluso es capaz de poner ejemplos diferentes, está alcanzando los niveles superiores
de dicha Taxonomía.
Figura 1. Representación de la Taxonomía de Bloom.
2. ¿Por qué trabajar de forma cooperativa en Matemáticas?
El alumno construye su aprendizaje a través de interacciones, teniendo especial importancia la
interacción social. Al establecerse distintos grados de interacción el alumno accede al conocimiento de
maneras diferentes y en situaciones diferentes. Puede descubrir conceptos, contrastar o resolver dudas
con los demás, descubrir sus puntos fuertes y débiles, modificar sus estrategias a partir de las de los
compañeros, además, compartir conocimiento, discriminar, en definitiva, ver las distintas alternativas.
En la siguiente infografía, se muestran las distintas interacciones. Este esquema lo explico en
clase a los alumnos con dos objetivos claros:
Fomentar y convencer a los alumnos de las ventajas del trabajo cooperativo.
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Aclarar que pedir ayuda a un compañero o al grupo cooperativo no es dar la repuesta o hacer
la tarea, sino dar pistas y orientar a la realización de la misma.
Figura 2. Tipos de interacciones en el trabajo cooperativo.
3. Estructuras de TC idóneas para el aprendizaje de Matemáticas.
Las tareas académicas que deben realizar los alumnos se concretan en las estructuras
cooperativas. Cada una de ellas definen un modo concreto de trabajo, garantizando la participación
equitativa y la interacción simultánea.
3.1. Para la orientación hacia la tarea.
Entrevista simultánea: Por ejemplo, al comenzar un tema: ¿Qué sabemos de…? Se trabaja
por parejas. El alumno A entrevista al alumno B, y anota sus respuestas. Posteriormente, el
alumno B entrevista al alumno A, y anota sus respuestas. Se realiza una puesta en común, y
la lluvia de ideas nos da una visión general del tema y se van añadiendo, corrigiendo o
enfatizando las ideas clave.
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Rutina de pensamiento: veo- pienso- me pregunto. ¿Qué veo? ¿Qué pienso? ¿Qué me
pregunto?
Cuestionario inicial. El profesor realiza un cuestionario inicial en grupos cooperativos, o
bien, de forma individual y después los alumnos comparan sus respuestas para llegar a un
acuerdo.
Saco de dudas. Esta estructura puede realizarse en cualquier momento del aprendizaje.
Consiste en recopilar dudas surgidas tras un vídeo Flipped, una explicación, una actividad,
etc. Se resuelven o aportan estrategias en grupo y se ponen en común en el grupo- clase.
3.2. Para la presentación de contenidos
Parada de tres minutos: en una explicación el profesor introduce una parada de tres
minutos, en los que los grupos tratan de resumir con una frase los contenidos explicados y
redactan dos preguntas sobre ese tema. Posteriormente, los equipos plantean las preguntas al
resto de grupos y se resuelven.
El aprendizaje parte de una pregunta: funciona muy bien si los alumnos son más
participativos que receptivos. Esta simple estrategia genera nuevas preguntas de los alumnos,
investigar, demostrar o querer profundizar más en el tema.
Rompecabezas cooperativo. Muy útil cuando la información puede dividirse en partes. Se
distribuyen materiales al grupo cooperativo base y cada uno de los miembros del grupo se
encarga de una parte. Analizan y aprenden la información hasta volverse expertos en ella.
Después se reunirán los expertos de cada parte, creando el comité de expertos, y se realiza
una puesta en común, se resuelven dudas, practican, completan la información, etc.
Finalmente, se disuelven los comités de expertos y llevan la información a su grupo. Cada
uno debe enseñar su parte a los otros miembros del equipo y deben aprender lo que otros le
enseñan. Ejemplo: rompecabezas con decimales puede verse en
https://www.conectadosalasmates.com/2018/02/rompecabezas-cooperativo-para-los.html
3.3. Para el procesamiento de nueva información
Materiales manipulativos: cartas, fichas, regletas, etc.
Lápices al centro: idónea para los problemas matemáticos. Se lee en voz alta el enunciado,
cada miembro del equipo expresa su opinión, se acuerda una respuesta o estrategia. Después
se termina de manera individual.
1-2-4: se marcan 3 tiempos de trabajo. 1 para el trabajo individual, 2 cuando se trabaja por
parejas, para terminar en 4, donde se realiza la puesta en común.
3.4. Para la metacognición
Folio giratorio: se realiza un inventario, ideas clave o contenidos trabajados. El folio se
coloca en el centro de la mesa y va rotando, para que, cada miembro del equipo escriba una
idea. Se pueden después intercambiar los folios con los de otros grupos y añadir lo que no
esté recogido.
4. Actividades diseñadas para trabajar en cooperativo.
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A continuación, expongo algunas de las actividades que realizamos en clase pensadas para
trabajar de forma cooperativa.
4.1. Dados algebraicos.
Utilizamos dados algebraicos para repasar las operaciones con monomios, a modo de concurso
en grupos cooperativos.
Figura 3. Dados algebraicos creados por alumnos de 2º de ESO
Materiales:
Desarrollo plano de un cubo. Necesitaremos realizar dos dados, un dado algebraico y un dado
de operaciones aritméticas.
Preparación del juego:
1. Cada alumno dispondrá del desarrollo plano de un cubo que rellenará con monomios.
2. Se dispondrá de dados de operaciones, en las que tendremos: suma, resta, producto,
cociente y potenciación.
3. Completamos las caras del cubo con monomios. Fijamos 3 partes literales comunes para
todos (de esta forma tendremos monomios semejantes en todos los dados de la clase) que
escribirán en tres caras, con el coeficiente que ellos elijan. En las otras 3 caras restantes, el
alumno escribirá los monomios que él quiera.
Desarrollo del juego:
1. Se juega por parejas, cada alumno con su dado algebraico y un dado de operaciones.
2. Comienza la ronda el alumno que saque el monomio de mayor grado, en caso de tener el
mismo grado, comenzará el que tenga mayor coeficiente.
3. Se tiran los dados algebraicos y el de las operaciones, los jugadores resuelven la operación y
el primero que responda correctamente ganará el duelo.
4. El ganador se apunta el tanto en la tabla siguiente:
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S
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nombre Á L G E B R A
5. El ganador será el que antes complete la palabra ÁLGEBRA.
6. Se realizarán rondas con los distintos compañeros. Una posibilidad es:
7. 1º ronda: con mi compañero de hombro de mi grupo cooperativo.
8. 2º ronda: con mi compañero de frente de mi grupo cooperativo.
9. 3º y rondas sucesivas: con el compañero de cada grupo cooperativo que tenga el mismo rol.
10. De esta manera, el alumno practica con operaciones de monomios y en cada ronda distintos,
e intercambia resultados e impresiones con compañeros diferentes.
4.2. Creamos ecuaciones de 2º grado.
Los alumnos toman contacto por primera vez con las ecuaciones de 2º grado en Matemáticas
de 2º de ESO. Lo habitual es comenzar a resolver ecuaciones de 2º grado identificando los tipos de
ecuaciones, completas e incompletas. En su lugar, iniciamos el tema con los alumnos creando la
ecuación de 2º grado a partir de las de primer grado. Uniendo factores y soluciones.
Objetivos:
Identificar identidades notables, cuadrado de un binomio y suma por diferencia, y asociar
resultados a la ecuación de 2º grado de un tipo en concreto (ecuación completa o
incompleta).
Utilizar operaciones algebraicas básicas: despejar incógnita y multiplicación, para crear las
ecuaciones de 2º grado.
Comprobar con los factores y con la ecuación de 2º grado las soluciones.
Utilizar estrategias (por ejemplo la relación entre el término independiente y los factores) y
procesos de razonamiento para formar las ecuaciones, profundizando en el proceso y
llegando a una generalización.
Profundizar y discriminar ecuaciones completas e incompletas.
Crear ecuaciones de 2º grado con las soluciones que ellos quieran.
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Figura 4. Fichas de la dinámica creando ecuaciones de segundo grado.
Material:
Para cada grupo cooperativo fichas de factores, soluciones y ecuaciones de 2º grado.
Dinámica:
Los alumnos deben asociar las tarjetas de factores con las tarjetas de soluciones o raíces y
posteriormente multiplicar dos factores para obtener una ecuación de segundo grado, y encontrar dicha
tarjeta de solución.
Figura 5. Soluciones del grupo cooperativo 2 de la dinámica creando ecuaciones de segundo grado.
4.3. Trabajando con funciones utilizando la inteligencia cinestésica- corporal.
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Figura 6. Imagen de la dinámica Funcionando en cooperativo.
Objetivos:
A través del trabajo cooperativo repasar los distintos tipos de funciones y sus características.
Autoevaluación y coevaluación del trabajo cooperativo, mediante rúbrica.
Aprendizaje activo.
Alumnos que se organizan y trabajan juntos, de manera eficiente y creativa, utilizando los
roles.
Motivación de los alumnos.
Material:
Manta de juegos cuadriculada (plástico, mantel o similar)
Cartas de retos.
Cuerdas para representar las funciones.
Chapas, tapones o similar para representar puntos.
Rúbrica de autoevaluación y coevaluación del trabajo cooperativo.
Dinámica:
Grupos base de cooperativo: 4- 5 alumnos. Se reparten las rúbricas para la evaluación y
coevaluación a los grupos cooperativos, dejando claro lo que tienen que evaluar y lo que el
profesor va a valorar.
La dinámica se desarrolla por turnos.
El equipo que sale a jugar elige una carta, la lee en voz alta y planifican el reto en 30
segundos, discutiendo qué tipo de función es y que material han de utilizar (su propio
cuerpo, las chapas o las cuerdas). A continuación, disponen de 1 minuto para dibujar o
representar la función de la carta. El resto de los grupos opinan al final del tiempo si es
correcto o no y el motivo.
Participan los distintos grupos y se realizan varias rondas.
Al final de la clase se rellenan las rúbricas de evaluación (auto y coevaluación)
Tiempo para la dinámica completa: 1 sesión de clase.
5. ¿Y la atención a la diversidad?
Además del trabajo ordinario utilizando las técnicas expuestas anteriormente con el TC,
podemos consolidar y atender a la diversidad teniendo en cuenta lo siguiente:
5.1. Presentando los contenidos en distintos formatos.
Vídeos flipped, materiales manipulativos, visual thinking, etc. Teniendo en cuenta las
Inteligencias Múltiples. Desarrollando y facilitando la comprensión matemática.
5.2. Planteando actividades multinivel.
Nuestras aulas son heterogéneas, y nuestro reto es enganchar a todos. Debemos tener especial
atención en los alumnos que tienen interés, pero tienen dificultades de aprendizaje y no pueden
alcanzar metas extraordinarias, por consiguiente, se estructuran actividades multinivel, en las que
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inicialmente se presentan las actividades comunes, en las que todos participan y éstas van derivando
en otras de distintos niveles. De forma que todos alcanzan la meta.
Este proceso se explica en la siguiente infografía:
Figura 7. Infografía que explica la secuencia de las actividades multinivel.
6. Cómo calificar el trabajo cooperativo.
Para que un equipo funcione y trabaje bien, además de la interdependencia positiva y la
responsabilidad individual, es importante que exista un reflejo de este trabajo en las calificaciones. Los
alumnos tienen que ser conscientes de que la actuación de cada miembro del equipo va a afectar en la
nota del compañero.
En la calificación del trabajo cooperativo hay que valorar no sólo el rendimiento académico,
sino también el esfuerzo realizado y lo que el alumno es capaz de aportar a su grupo cooperativo.
En mi caso, integrar la calificación del trabajo cooperativo en la asignatura de Matemáticas ha
sido más fácil gracias a la realización de los exámenes cooperativos.
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6.1. Exámenes cooperativos.
El examen cooperativo, es una herramienta más en el proceso de evaluación, que se realiza al
menos una vez al trimestre.
¿Por qué realizar un examen cooperativo?
Porque son una forma efectiva de integrar la formación en el proceso de aprendizaje.
Durante el examen cooperativo los alumnos no sólo demuestran lo que saben, sino que lo
ponen en práctica. Esta actividad exige dialogar, discutir, consensuar y argumentar
respuestas. Es una práctica que genera por tanto, aprendizaje.
Porque se evalúan distintas competencias: lingüística, matemática, aprender a aprender,
competencia social y cívica y sentido de iniciativa y espíritu emprendedor.
porque un cambio metodológico implica necesariamente un cambio en la manera de evaluar.
Porque implica llegar al máximo nivel de conocimiento de la Taxonomía de Bloom, ya que
exige crear un producto resultado de una reflexión, comprensión y análisis de la tarea.
Porque el esfuerzo individual beneficia al equipo. Y por ello, se refuerza la interdependencia
positiva entre los miembros del grupo cooperativo.
Porque los exámenes cooperativos son una herramienta integradora. Implica un compromiso
con los miembros del equipo para un fin común.
Porque es un “simulacro” de la vida real. Actualmente, los entornos laborales, exigen saber
trabajar de forma coordinada, en grupos de trabajo y teniendo en cuenta las opiniones de los
demás.
Porque atiende a la diversidad. Si los grupos base son heterogéneos, los alumnos con
dificultades leves de aprendizaje son ayudados y conducidos por sus compañeros. Esta ayuda
es bidireccional, ya que, mientras un alumno ayuda a otro, uno se beneficia por obtener una
explicación, más contextualizada, y el otro, refuerza y asienta sus conocimientos, por lo
tanto, consigue un aprendizaje significativo. En el caso de niveles más heterogéneos, se
puede hacer un grupo homogéneo y adecuar las pruebas al nivel de cada equipo.
Figura 8. Alumnos realizando un examen cooperativo.
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Cómo se realiza el examen cooperativo:
En grupos base de cooperativo formados por 4 o 5 alumnos.
Es importante señalar que la prueba no deber ser ejercicios rutinarios pero en cooperativo. Debe
ser una tarea más competencial, es decir, en la que los alumnos deben aplicar lo aprendido, con una
tarea más cercana a la realidad, contextualizando el aprendizaje. De ahí, los exámenes cooperativos
que se realizan en la asignatura de matemáticas suelen ser con materiales manipulativos, o actividades
relacionadas con el entorno más cotidiano, o bien, un caso práctico de aplicación.
La dinámica se puede realizar en grupos migratorios, es decir, cada rincón una tarea, teniendo
un tiempo limitado en cada rincón. El equipo resuelve las actividades planteadas, manipulando
materiales y realizando cálculos en su hoja.
Todos los miembros del grupo cooperativo deben tener los mismos resultados. Es por ello que
cada alumno debe discutir, analizar y justificar sus respuestas, para llegar juntos al consenso. Se
coordinan estrategias, resoluciones, se gestionan tiempos y funciones de los roles del equipo. Al final
de la clase se recoge uno de los trabajos de cada grupo, asignados previamente con números del 1 al
5, eligiendo un número al azar.
Tiempo para la dinámica completa: una sesión de clase.
Durante los exámenes cooperativos el papel del profesor es meramente observador.
El profesor pasea por la clase. Observa cómo trabaja cada equipo.
Revisa que no exista un reparto de tareas. Todos los miembros del equipo deben estar
trabajando en la misma tarea.
Ejemplos prácticos pueden ser:
6.1.1. Examen cooperativo en grupos migratorios.
Durante el mismo, los grupos cooperativos resolvían retos en distintos rincones de la clase en el
que tenían que aplicar la proporcionalidad con fotografías, mapas, figuras geométricas, etc. Esta
actividad es una actividad además de cooperativa, formativa y evaluable.
El desarrollo es el siguiente:
Grupos base de cooperativo: 4- 5 alumnos.
La dinámica en grupos migratorios. Cada rincón una tarea. 8 minutos en cada rincón.
El equipo resuelve la actividad planteada de cada rincón, manipulando materiales y
realizando cálculos en su hoja.
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Todos los miembros del grupo cooperativo deben tener los mismos resultados. Es por ello
que cada alumno debe discutir, analizar y justificar sus respuestas, para llegar juntos al
consenso.
Al final de la clase se recoge uno de los trabajos de cada grupo, asignados previamente con
números del 1 al 5, eligiendo un número al azar.
Tiempo para la dinámica completa: 1 sesión de clase.
Rincón 1: calcular la escala de una foto.
Rincón 2: calcular la razón de proporcionalidad o semejanza.
Figura 9. Actividad del examen cooperativo rincón 2.
Rincón 3: calcular la distancia entre dos ciudades en un mapa.
Figura 10. Actividad del examen cooperativo rincón 3.
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Rincón 4: Aplicación de proporcionalidad inversa
Rincón 5: Aplicación de proporcionalidad directa.
Rincón 6: visualización del porcentaje con cartas.
6.1.2. Examen cooperativo de parejas de funciones, en la que los alumnos deben asociar una
gráfica a un enunciado de un problema.
Analizamos funciones en 1º de ESO utilizando el formato de examen cooperativo. Para cada
grupo cooperativo se reparten por separado 6 enunciados y 5 gráficas. Los alumnos analizan, deciden
y completan las gráficas asociándolas a los enunciados. Queda un enunciado sin gráfica y deben
dibujar la gráfica.
Hay más ejemplos de exámenes cooperativos publicados en www.conectadosalasmates.com
7. Nuestro papel como profesores.
Provocar conflictos cognitivos, discusiones matemáticas, justificación de respuestas, análisis
de resultados, etc.
Detectar el avance del grupo. Intervenir sólo si es necesario.
Observar si existen dificultades en las interacciones y resolverlas.
Darles autonomía.
Confiar en ellos y en sus capacidades.
No permitir que ningún estudiante domine las tareas, excluyendo o limitando las
contribuciones de los demás.
Motivar hacia el aprendizaje.
8. Conclusiones.
El trabajo cooperativo mejora la enseñanza de las matemáticas, ya que se presentan escenarios
en los que los alumnos interactúan, confrontando ideas, estimulando el pensamiento. Se les ofrece un
espacio y un tiempo para que hablen de Matemáticas, fomentando discusiones, favoreciendo el
aprendizaje con metodologías activas. Se les da la oportunidad de hacer ver a los alumnos como
auténticos resolutores de problemas, y lo que decimos los docentes cuando hablamos de innovación
educativa: damos a los alumnos el papel de protagonistas de su propio aprendizaje.
Bibliografía
Paloma Gavilán Bouzas. (2004) Álgebra en Secundaria. Madrid. Narcea Ediciones.
Pere Pujolás y José Ramón Lago (1994) El programa AC/CA (“Cooperar para Aprender/Aprender a
Cooperar”) para Enseñar a aprender en equipo. Vic. Universidad Vic.
David W Johnson - Roger T. Johnson. (1999). El aprendizaje cooperativo en el aula. Buenos Aires.
Paidós SAICF
Benjamin S. Bloom (1972). Taxonomía de los objetivos de la educación. Buenos Aires. El ateneo.
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P. Biniés Lanceta (2008) Conversaciones matemáticas con Maria Antònia Canals. Barcelona.
Editorial Grao.
Francisco Zariquiey (2016) Cooperar para aprender. Madrid: SM
Isabel García Esteban. Colegio San Vicente de Paúl, Benavente (Zamora). Licenciada en Biología
(2000) por la Universidad de León. Desde 2003 profesora de Matemáticas de Secundaria. Miembro de
Innoducation (asociación de Innovación Educativa) y formadora externa de Ieducando.
Email: mariaisabel.garcia@sanvicentebenavente.es
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 97-106
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Explorando relaciones geométricas en GeoGebra
Carlos Ueno Jacue,
Pécsi Kodály Zoltán Gimnázium. Hungría
Resumen En el presente artículo se describen las características principales de la herramienta
“Relación” que aparece en las últimas versiones de GeoGebra, y que permite investigar
diversas relaciones entre dos o más elementos de una construcción geométrica,
comparando sus medidas o sus posiciones relativas. Estas comparaciones están
respaldadas por herramientas de razonamiento automáticas que dan validez matemática a
las inferencias establecidas.
Palabras clave relaciones geométricas, herramientas de razonamiento automático, GeoGebra
Title Exploring geometric relationships in GeoGebra
Abstract In the present article we describe the main properties of the tool “Relation” appearing in
the latest versions of GeoGebra. This tool allows the exploration of diverse relationships
among two or more elements in a geometric construction, comparing their measures or
relative positions. These comparisons are backed by automatic reasoning tools, which
give complete mathematical certainty to the established inferences.
Keywords Geometric relations, automatic reasoning tools, GeoGebra
1. Introducción
Durante los últimos años el software de matemática dinámica GeoGebra ha ido incorporando
nuevas herramientas y comandos cuyo objetivo va más allá de servir tan solo como instrumento
dinámico e interactivo de cálculo y representación gráfica y geométrica; su intención es acompañar a
los estudiantes y aficionados a las Matemáticas en sus procesos de razonamiento, tanto desde el punto
de vista deductivo como inductivo. En particular, siendo la Geometría una de las áreas del
conocimiento matemático en la que los procesos demostrativos cobran especial relevancia por su
belleza y complejidad, se ha dedicado especial esfuerzo en comprender los mecanismos de deducción
e inducción en esta área, y se ha intentado facilitar el contacto de los alumnos con estos
procedimientos, que inicialmente suelen resultar de difícil asimilación.
Estas nuevas herramientas se basan en la combinación de las características de los ya
consolidados programas de geometría y matemática dinámica con las así denominadas “herramientas
de razonamiento automático” (“Automated Reasoning Tools”- ART), que actualmente son menos
conocidas en el ámbito de la educación primaria y secundaria.
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En (Ueno Jacue, C. 2016, 2017) presentamos una introducción básica a los fundamentos
algebraicos en los que se basan estas herramientas, y a cómo se han implementado en GeoGebra
mediante los comandos “Demuestra()” y “DemuestraDetalles()”. Sin embargo, estos comandos no
aparecen en las barras de herramientas que por defecto incorpora GeoGebra, y se encuentran un tanto
ocultos en la interfaz de usuario. Además, su uso no es lo suficientemente accesible o amigable si
estamos pensando en estudiantes de niveles no universitarios. Pensando en estas dificultades, los
desarrolladores de GeoGebra incluyeron en la herramienta “Relación”, ya presente en versiones
anteriores de GeoGebra y visible en la barra de herramientas geométricas, algunas funcionalidades
basadas en las ART para acercarlas al usuario común del software, con el propósito de asistirle en la
búsqueda de relaciones geométricas en una construcción y estimular así sus capacidades de
observación y descubrimiento.
Este artículo puede considerarse una ejemplificación de la información presentada en el reciente
artículo (Hohenwarten, M., Kovács Z. y Recio, T. 2019) de esta misma revista, y se recomienda su
lectura para tener información de primera mano por parte de los creadores de estas herramientas. Para
su elaboración nos hemos apoyado fundamentalmente en los trabajos (Kovács, Z. 2014, 2017), (Hauer,
B. et al. 2018) y (Kovács Z. et al. 2017, 2018b).
Las construcciones que aquí se presentan han sido realizadas utilizando la versión on-line de
GeoGebra Clásico, disponible en el enlace https://www.geogebra.org/classic.
2. La herramienta “Relación”
La herramienta “Relación” puede encontrarse en un desplegable de la barra de herramientas que
aparece en la parte superior de la pantalla inicial de GeoGebra, encabezado por la opción “Ángulo”. El
icono correspondiente contiene un signo de igualdad, sobre el que aparece un símbolo de interrogación
(ver Figura 1).
Figura 1. Localización de la herramienta “Relación” en GeoGebra Clásico.
El funcionamiento de esta herramienta es sencillo: Supongamos que al inspeccionar una
construcción geométrica sospechamos que dos de sus elementos (dos longitudes de segmentos, dos
áreas, dos amplitudes de ángulos, etc.) son iguales. ¿Cómo podemos comprobarlo de manera rápida y
sencilla? La respuesta a esta pregunta viene dada por la herramienta en estudio. Basta hacer clic
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sucesivamente sobre los dos objetos que queremos comparar y GeoGebra nos dirá si hay alguna
relación interesante entre los objetos, fundamentalmente relacionada con conceptos como los de
igualdad, paralelismo y perpendicularidad (en caso de rectas o segmentos) u otras propiedades
geométricas relevantes.
A la hora de ejecutar la herramienta, GeoGebra realiza internamente la comparación de estos
elementos en dos fases bien diferenciadas.
En una primera fase, GeoGebra hace una comprobación numérica para verificar si existe alguna
relación reseñable. Esta comprobación puede hacerse muy rápidamente, con el inconveniente de que
es tan solo aproximada y puede generar resultados erróneos si la diferencia entre las magnitudes a
comparar es muy pequeña, de modo que puede inferir una igualdad cuando en realidad ese no es el
caso.
Cuando GeoGebra obtiene un resultado interesante tras realizar esta comparación numérica,
ofrece la posibilidad de refinar el estudio de la relación descubierta, y en este momento es cuando
entra en juego la potencia de las herramientas de razonamiento automático, que pasan a tomar el
relevo en los cálculos internos del software y pueden establecer de manera matemáticamente fiable la
veracidad de la inferencia establecida previamente. No solo eso, sino que además GeoGebra aportará
información sobre las condiciones bajo las que dicha inferencia deja de ser válida (a estas condiciones
se las suele llamar condiciones de degeneración). Esta segunda fase puede ser muy exigente desde el
punto de vista computacional y no siempre devuelve un resultado concluyente.
Vamos a ilustrar el funcionamiento básico con un ejemplo muy sencillo. Supongamos que
hemos trazado un segmento AB junto con su mediatriz, y elegimos un punto C sobre la misma. Ahora
construimos los segmentos AC y BC (ver Figura 2).
Figura 2. Mediatriz de un segmento.
En esta situación debemos tener AC=BC, pero tal vez la cosa no está tan clara para un alumno
que se inicia en el mundo de la Geometría. Para comprobar que, efectivamente, es así, seleccionamos
la herramienta “Relación” y posteriormente hacemos clic sobre los segmentos AC y BC (ver Figura 3).
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Figura 3. Fase numérica de la herramienta “Relación”
El primer mensaje que obtenemos confirma numéricamente nuestra sospecha. Pero al lado del
mensaje “h tiene igual longitud que i (comprobado numéricamente)” veremos que aparece un botón
“Más”, que será el que nos lleve a la segunda fase de ejecución de la herramienta. Pulsando ese botón
obtenemos una información “certificada” por las herramientas de demostración automática internas
contenidas en GeoGebra (ver Figura 4).
Figura 4. Fase ART de la herramienta “Relación”
Ahora GeoGebra nos informa de que, efectivamente, la afirmación “las longitudes de los
segmentos h e i son iguales” es geométricamente cierta, siempre que en nuestra construcción los
puntos iniciales A y B no coincidan.
A continuación, vamos a enumerar las distintas relaciones que GeoGebra es capaz de detectar
entre dos elementos geométricos (ver (Kovács, Z. et al. 2017) para más detalles):
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Perpendicularidad entre dos rectas o segmentos
Paralelismo entre dos rectas o segmentos
Igualdad entre dos puntos, longitudes, o áreas de polígonos
Pertenencia de un punto a un segmento, recta o cónica
Tangencia entre una recta y una cónica
En cuanto a establecer relaciones entre más de dos elementos, la herramienta “Relación”
también puede utilizarse para verificar si:
Tres líneas son concurrentes
Tres puntos son colineales
Cuatro puntos son cocíclicos.
Por desgracia, la forma de seleccionar más de dos elementos es menos directa que para el caso
de dos elementos. En efecto, tras elegir la herramienta “Relación” debemos, usando el botón derecho
del ratón, crear un cuadro de selección que incluya los elementos geométricos en estudio. Sin
embargo, a menudo nos veremos con el problema de que en el cuadro de selección aparecen también
otros elementos que debemos descartar. Para resolver esta situación abrimos, antes de utilizar la
herramienta, el menú contextual de cada elemento que queremos desechar y, en la pestaña
“Avanzado” que aparece dentro de “Configuración”, deseleccionamos la opción “Permitir
seleccionar”. Esto impedirá que al crear el cuadro de selección esos elementos indeseados que están en
su interior sean tenidos en consideración. Este problema a la hora de elegir más de dos objetos hace
preferible utilizar el comando “Relación()”, que puede introducirse en la línea de entrada de la ventana
algebraica. La sintaxis de este comando admite las siguientes formas:
Relación(Objeto1, Objeto2)
Relación({Objeto1, Objeto2, Objeto3})
Relación({Objeto1, Objeto2, Objeto3, Objeto4})
Como puede observarse, para relacionar tres o cuatro objetos en realidad introducimos los
elementos en forma de lista, de modo que son necesarias las llaves {} al enumerarlos (ver Figuras 5 y
6).
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Figura 5. Uso del comando “Relación” en la vista algebraica
Figura 6. Las dos fases del comando “Relación” para cuatro puntos
En la segunda fase que ejecuta el comando “Relación”, y según la complejidad y características
de la construcción, podemos recibir varios tipos de respuesta, entre las que destacamos las siguientes:
Los elementos son distintos (no existe relación entre ellos).
La relación …. es siempre cierta.
La relación …. es generalmente cierta bajo la condición ….
La relación …. es parcialmente verdadera, parcialmente falsa.
En particular, este último mensaje refleja una situación peculiar en nuestra construcción
geométrica, que ilustraremos en la próxima sección (para una explicación en profundidad consultar
(Kovács, Z. et al. 2018a)).
3. Un ejemplo de uso en geometría elemental
Es un hecho bien conocido en geometría elemental que, si tenemos un paralelogramo ABCD
como se muestra en la Figura 7, entonces los lados AB y CD son congruentes, así como los lados BC y
DA. Vamos a comprobar esto utilizando el comando “Relación”. En esta construcción hemos creado
tres puntos libres A, B, D, y a continuación hemos trazado paralelas a los segmentos AB y AD, cuyo
punto de intersección es C.
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Figura 7. Construcción estándar de un paralelogramo
Si ahora seleccionamos “Relación” y hacemos clic en los segmentos a y c, obtenemos la
primera información, basada en cálculos numéricos, que muestra el comando (ver Figura 8):
Figura 8. Fase numérica de “Relación” al comparar dos lados.
Pero no queremos una comprobación que sea tan solo numéricamente aproximada, sino que
queremos una comprobación matemáticamente válida. Pulsemos pues el botón “Más” que aparece al
lado de la expresión “c tiene igual longitud que a” (ver Figura 9):
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Figura 9. Fase ART de “Relación” al comparar dos lados.
Ahora GeoGebra nos comunica que los lados a y c tienen la misma longitud siempre que A y B
no sean puntos coincidentes y, además, el triángulo ABD no sea degenerado (lo que equivale a afirmar
que no deben estar alineados). Y esta información añadida invita a reflexionar de manera más
profunda sobre la construcción realizada. Efectivamente, si A y B son iguales es imposible trazar de
forma única la recta AB, y si, salvado este obstáculo, D se encuentra en la recta AB, entonces es
imposible determinar el punto C de intersección de las rectas AB y AD, puesto que ambas coinciden.
Exploremos ahora la afirmación recíproca. Supongamos que tenemos un cuadrilátero ABCD en
el que los lados AB y CD son congruentes, así como los lados BC y DA. ¿Será siempre dicho
cuadrilátero un paralelogramo? En primera instancia, posiblemente más de un profesor de
Matemáticas se inclinaría a afirmar que, efectivamente, es así. Vamos a investigar la situación con
GeoGebra. Construimos los tres puntos libres A, B, D, y a continuación dos circunferencias: una con
centro en B y radio AD, y otra con centro en D y radio AB. Estas circunferencias se intersecan en dos
puntos C y E, uno de los cuales (el que nombramos C) permite construir un cuadrilátero que parece
claramente un paralelogramo. Por construcción, tenemos que AD=BC, y AB=CD, y el paralelismo de
los lados opuestos parece conservarse, aunque desplacemos ligeramente los puntos libres A, B, D. Así,
parece deducirse que los lados opuestos deben ser siempre paralelos, pero… ¡Cuidado! En un
momento dado de la construcción hemos realizado una elección algo arbitraria, porque del mismo
modo que elegimos el punto C para formar el cuadrilátero ABCD podríamos haber elegido el punto E
para construir el cuadrilátero ABED, que también satisface AD=BE y AB=ED. ¡Y en este cuadrilátero
es falso que los lados opuestos son paralelos! (ver Figura 10)
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Figura 10. Dos construcciones con cuadriláteros de lados opuestos iguales.
Si utilizamos ahora nuestra herramienta “Relación” en esta construcción para comparar los
lados a y c, obtenemos sucesivamente los resultados que se muestran en la Figura 11.
:
Figura 11. Fases numérica y ART del comando “Relación”
Si nos centramos ahora en la segunda fase ART, podemos observar que la relación de igualdad
de los lados a y c, que ha sido la base de nuestra construcción, será siempre cierta (incluyendo
situaciones que podemos considerar degeneradas). Sin embargo, GeoGebra establece que la relación
de paralelismo es “parcialmente verdadera, parcialmente falsa”, puesto que en una de nuestras
construcciones sí es una afirmación verdadera (cuando elegíamos el punto C como cuarto vértice del
cuadrilátero), mientras que existe una construcción “paralela” (cuando tomamos E como cuarto
vértice) que desmiente la afirmación. Este tipo de situaciones “parcialmente verdaderas, parcialmente
falsas” aparece a menudo cuando tenemos dos alternativas al elegir el punto de intersección de un par
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de circunferencias o de una recta y una circunferencia, porque el sistema no puede determinar cuál de
los puntos estamos seleccionando efectivamente para realizar nuestra construcción.
4. Conclusiones
Las últimas versiones de GeoGebra incluyen nuevas herramientas que nos ayudan a explorar
nuestros modelos geométricos y encontrar nuevas relaciones entre sus distintos elementos, con la
ventaja de poder “certificarlos” matemáticamente. En particular, estas nuevas herramientas
incorporadas al comando “Relación” se han implementado para que su utilización esté al alcance,
tanto de estudiantes que dan sus primeros pasos en Geometría, como de entusiastas de esta disciplina
que quieran descubrir resultados originales mediante la exploración de construcciones geométricas
más complejas. Este comando también incluye información sobre las condiciones que han de
satisfacerse para la completa veracidad de las inferencias realizadas, lo que permite reflexionar de
manera más precisa sobre las características de esas construcciones, y sobre sus ventajas o
limitaciones.
Bibliografía
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Hohenwarten, M., Kovács Z. y Recio, T. (2019) Determinando propiedades geométricas
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Kovács, Z. (2014). The relation tool in GeoGebra 5. In Proceedings ADG 2014 Revised Selected
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Kovács Z., Recio, T. y Vélez, M. P. (2018a). Detecting truth, just on parts. Revista Matemática
Complutense, Volume 32, Issue 2, 451–474
Kovács Z., Recio, T. y Vélez, M. P. (2018b) Using Automated Reasoning Tools in GeoGebra in the
Teaching and Learning of Proving in Geometry. International Journal of Technology in
Mathematics Education Vol 25, No 2
Ueno Jacue, C. (2016). Demostraciones geométricas automáticas en GeoGebra. Revista Números, Nº.
93, 141-150.
Ueno Jacue, C. (2017). Demostraciones geométricas automáticas en GeoGebra: Casos prácticos.
Revista Números, Nº. 94, 107-115.
Carlos Ueno Jacue. Pécsi Kodály Zoltán Gimnázium. Doctor en Matemáticas, participa en la actualidad
en el Programa de Secciones Bilingües del Ministerio de Educación y Formación Profesional, enseñando
matemáticas a alumnos de secundaria en el Pécsi Kodály Zoltán Gimnázium (Pécs, Hungría).
Email: cuenjac@gmail.com
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, octubre de 2019, páginas 107-121
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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Hablemos de Paenza
(Problemas Comentados LII)
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Resumen Soluciones de los problemas planteados en artículo anterior. Estrategias para
resolución de problemas de organización de la información, ensayo y error,
búsqueda sistemática y simplificación, tablas de doble entrada o diagramas.
Hacemos una semblanza de Adrián Paenza, sus publicaciones y actuaciones, con
citas pedagógicas y reflexiones extraídas de sus libros.
Palabras clave Resolución de problemas. Estrategias de organización de información, ensayo y
error, tablas de doble entrada, diagramas y simplificación de situaciones.
Semblanza de Adrián Paenza, con bibliografía y citas sacadas de sus
publicaciones.
Abstract Solutions to the problems raised in the previous article. Strategies for solving
problems of information organization, trial and error, systematic search and
simplification, double entry tables or diagrams. We make a semblance of Adrián
Paenza, his publications and showing, with pedagogical quotes and reflections
extracted from his books.
Keywords Problem resolution. Strategies for organizing information, trial and error, double
entry tables, diagrams and simplification of situations. Semblanza by Adrián
Paenza, with bibliography and citations taken from his publications.
Siempre hay la posibilidad de cometer un error en nuestros artículos. En ocasiones,
intencionados, para premiar al que encuentre el gazapo. Pero en esta ocasión fue, más que un error, un
olvido: la dirección web de los problemas del Torneo.
Aquí está:
http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/torneo-2o-
eso-mainmenu-45/347-torneo-35
Y los del Torneo de Primaria están en:
http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/torneo-6o-
primaria-mainmenu-141/351-10-tp-4
1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, jubilados del IES de Canarias-
Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com /
mgarciadeniz@gmail.com
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Y un error ortográfico en el apellido de Adrián Paenza, que aparecía como “Paeza”. Nuestras
disculpas.
Siguen pendientes los problemas INTERVENCIÓN QUIRÚRGICA y LA PARCELA
TRIANGULAR
También quedaron nuevos retos en el último artículo. Aquí están nuestras soluciones.
PRIMER RETO
UNA CALCULADORA PARA LOS MÁS JÓVENES
Para facilitar su uso a los jóvenes, un fabricante de calculadoras ha puesto
en el mercado un modelo que sólo tiene una tecla de operación: Δ.
𝑎 ∆ 𝑏 = 1 − 𝑎
𝑏
Pero, ¿cómo vas a hacer las cuatro operaciones elementales básicas
ahora? Por supuesto, se pueden utilizar todas las teclas de la calculadora.
PROCESO DE RESOLUCIÓN
Comprender
Datos
Una calculadora especial.
Teclas para cada dígito del 0 al 1.
Tecla para encender y apagar.
Tecla IGUAL (=).
Tecla de segunda opción.
Teclas con dos opciones: encender/apagar (ON/OFF), 3/cambio de signo (+/-), única operación
DELTA (Δ), borrar pantalla (CE).
Objetivo
Cómo hacer las cuatro operaciones elementales básicas con esta calculadora.
Relación
La operación DELTA (Δ) está definida como: 𝑎 ∆ 𝑏 = 1 − 𝑎
𝑏
Pensar
Estrategias
Simplificar (casos más sencillos)
Ensayo y Error
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Organizar la Información mediante técnica algebraica
Ejecutar
Al tratarse de un problema complejo, es necesario ver qué sucede con los elementos singulares
(neutros) de las operaciones habituales.
Representaremos con n cualquier número. Utilizando la tecla de cambio de signo podemos
siempre representar -n.
Puesto que cualquier operación del tipo x Δ 0 dará un resultado con cero en el denominador, no
las consideramos.
Y entresacamos los siguientes resultados para posibles composiciones de operaciones:
0 Δ n = 1
n Δ 1 = 1 – n
1 Δ n = 1 – 1/n
-n Δ 1 = 1 + n
1 Δ -n = 1 + 1/n
-1 Δ n = 1 + 1/n
-n Δ -1 = 1 – n
-1 Δ -n = 1 – 1/n
El siguiente paso será ver qué pasa con dos números cualesquiera:
Nos quedamos con los siguientes resultados:
a Δ b = 1 – a/b = (b – a)/b
b Δ a = (a – b)/a
-a Δ b = (b + a)/b
b Δ -a = (a + b)/a
a Δ -b = (b + a)/b
-b Δ a = (a + b)/a
-a Δ -b = (b – a)/b
-b Δ -a = (a – b)/a
b
Δ 1 -1 n -n
a
0 1 1 1 1
1 0 2 1 – 1/n 1 + 1/n
-1 2 0 1 + 1/n 1 – 1/n
n 1 – n 1 + n 0 2
-n 1 + n 1 – n 2 0
b
Δ a -a b -b
a
a 0 2 (b – a)/b (a + b)/b
-a 2 0 (b + a)/b (b – a)/b
b (a – b)/a (a + b)/a 0 2
-b (a + b)/a (a – b)/a 2 0
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Aquí se observan ya algunas propiedades curiosas, especialmente en los signos.
Se aprecia que aparecen expresiones de sumas y de restas, pero siempre con denominadores. Para
que queden solas las sumas y restas será necesario eliminar esos denominadores. Nos hará falta, pues,
introducir un término inverso 1/n.
Después de varios ensayos, combinando las expresiones simples que hemos investigado, se llega a la
siguiente expresión:
(1 Δ n) Δ 1 = (1 – 1/n) Δ 1 = 1 – [(1 – 1/n) / 1] = 1 – 1 + 1/n = 1/n
Haciendo ensayos con esta expresión y las anteriores llegamos al cálculo de la suma:
{[(-b Δ a)] Δ [(1 Δ a) Δ 1]} Δ 1 =
= {[(a + b)/a] Δ [ (1 – 1/a) Δ 1]} Δ 1 =
= {[(a + b)/a] Δ [ 1 - (1 – 1/a)]} Δ 1 =
= {[(a + b)/a] Δ [ (1/a)]} Δ 1 =
= {1 – {[(a + b)/a]/(1/a)}} Δ 1 =
= {1 – (a + b)} Δ 1 =
= 1 – [1 – (a + b)] =
= 1 – 1 + (a + b) =
= a + b
De análoga manera, llegamos a la expresión para el cálculo del producto:
{a Δ [ (1 Δ b) Δ 1]} Δ 1 =
= {a Δ [ (1 – 1/b) Δ 1]} Δ 1 =
= {a Δ [ 1 - (1 – 1/b)]} Δ 1 =
= {a Δ (1/b)} Δ 1 =
= {1 - ab} Δ 1 =
= 1 – (1 – ab) =
= ab
Las expresiones de la resta y la división serán más sencillas a partir de las expresiones inversas de
las ya encontradas. Quedan como tarea para casa.
Responder
Comprobar
Utilizaremos las expresiones anteriores para calcular la suma 3 + 5 y el producto 3 x 5.
3 + 5:
{[(-5 Δ 3)] Δ [ (1 Δ 3) Δ 1]} Δ 1 = {[(1 + 5/3)] Δ [ (1 Δ 3) Δ 1]} Δ 1 =
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= {[(8/3)] Δ [ (1 – 1/3) Δ 1]} Δ 1 = {8/3 Δ [2/3 Δ 1]} Δ 1 = {8/3 Δ (1 – 2/3)} Δ 1 =
= {8/3 Δ 1/3} Δ 1 = (1 – 8) Δ 1 = -7 Δ 1 = 1 – (-7) = 1 + 7 = 8
3 x 5:
{3 Δ [ (1 Δ 5) Δ 1]} Δ 1 = {3 Δ [ (1 – 1/5) Δ 1]} Δ 1 = {3 Δ [1 – (1 – 1/5)]} Δ 1 =
= {3 Δ [1/5]} Δ 1 = {1 – 15} Δ 1 = (- 14) Δ 1 = 1 – (-14) = 1 + 14 = 15
Análisis
No se descartan otras posibles expresiones para los cálculos pedidos por el problema.
Respuesta
La suma y la multiplicación con la extraña calculadora deberán hacerse presionando las teclas
en la secuencia indicada en las siguientes expresiones:
Para la suma {[(-b Δ a)] Δ [ (1 Δ a) Δ 1]} Δ 1 = a + b
Para la multiplicación {a Δ [ (1 Δ b) Δ 1]} Δ 1 = a · b
SEGUNDO RETO
VACACIONES EN SILDAVIA
En Sildavia tienen un sistema monetario un poco extraño. Tiene
monedas de tres tipos, que valen uno, cinco y doce sildares.
En las vacaciones, Víctor y Mario fueron hasta allí. En el último día,
fueron a una tienda comprar una camiseta con la bandera del país.
Víctor pagó la suya con diez monedas, unas de "12 sildares" y otras
de "1 sildar".
Mario utilizó sus últimas once monedas, siendo unas de "5 sildares"
y las restantes de "1 sildar" para comprar la suya.
¿Cuál es el precio de una camiseta?
PROCESO DE RESOLUCIÓN
Comprender
Datos Un sistema monetario con monedas de tres tipos: 1, 5 y 12 sildares. Víctor y Mario compran,
cada uno, una camiseta.
Objetivo El precio de una camiseta.
Relación Víctor pagó la suya con 10 monedas, unas de "12" y otras de "1". Mario utilizó sus
últimas 11 monedas, siendo unas de "5" y las restantes de "1" para comprar la suya.
Diagrama Tabla. Lenguaje algebraico.
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Pensar
Estrategias ORGANIZAR LA INFORMACIÓN de manera exhaustiva o utilizando una codificación
algebraica. MODELIZACIÓN de la situación a través de GEOGEBRA, partiendo de la
representación algebraica.
Ejecutar
Mediante un procedimiento exhaustivo:
Establecemos una tabla simple con todas las variables del problema.
Nº Monedas 1 sildar 5 sildares 12 sildares Total Resultado
Víctor
10 9 1 21
8 2 32
7 3 43 Coincide
6 4 54
5 5 65
4 6 76
3 7 87
2 8 98
1 9 109
Mario
11 10 1 15
9 2 19
8 3 23
7 4 27
6 5 31
5 6 35
4 7 39
3 8 43 Coincide
2 9 47
1 10 51
Podemos verlo gráficamente representando los totales de cada uno frente a la cantidad de monedas
de 1 sildar que emplean:
1 sildar Victor Mario
1 21 51
2 32 47
3 43 43
4 54 39
5 65 35
6 76 31
7 87 27
8 98 23
9 109 19
10
15
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12
Victor
Mario
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En realidad, aunque aparenta ser un ensayo y error, se trata de organizar la información de manera
exhaustiva. Contemplar todas las posibilidades de la compra para cada uno de los dos amigos y buscar las
coincidencias. En este caso sólo hay una coincidencia y, por tanto, solución única.
Mediante un proceso algebraico:
Comenzamos identificando las variables del problema:
P = precio de una camiseta
x = nº de monedas de un sildar usadas por Mario
11 – x = nº de monedas de 5 sildares usadas por Mario
y = nº de monedas de un sildar usadas por Víctor
10 – y = nº de monedas de 12 sildares usadas por Víctor
Las relaciones del problema quedan expresadas de la siguiente manera:
P = 5 (11 – x) + x P = 55 – 4 x
P = 12 (10 – y) + y P = 120 – 11 y
Y entonces, 55 – 4 x = 120 – 11 y, es decir: 4x = 11y – 65.
Pero además, por el propio enunciado, cada uno de ellos tiene al menos dos monedas de cada tipo, y
el problema debe tener solución única, pues no cabe el que la camiseta tenga dos o más precios diferentes.
y no puede ser inferior a 6 porque eso haría que x tomara un valor negativo, y 11y – 65 debe ser un
múltiplo de 4.
Contemplemos ahora la ecuación de esta manera: 11y = 65 + 4x.
x ha de tomar valores igual o mayor que 2 y el segundo miembro de la ecuación ha de ser un
múltiplo de 11.
Esta ecuación con dos incógnitas debe tener soluciones enteras según las condiciones estipuladas.
Por tanto, se trata de una ecuación diofántica: y = (65 + 4 x) / 11 ʌ “y es entero”.
Una manera de afrontar el problema puede ser usando esta propiedad para este tipo de ecuaciones
diofánticas:
“Dada la ecuación ax + by = c, para que ésta ecuación tenga solución, c tiene que ser divisible por el
máximo común divisor de a y b”.
En nuestro caso la ecuación queda así: – 4x + 11y = 65
Y al ser 4 y 11 primos ente si, el MCD (4, 11) = 1. Y c = 65 es divisible por 1, por lo que la
ecuación admite solución
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Con estos antecedentes elaboramos la siguiente tabla:
y 11x – 65 x 65 + 4x
6 66 – 65 = 1 2 65 + 8 = 73
7 77 – 65 = 12 3 65 + 12 = 77
8 88 – 65 = 23 4 65 + 16 = 81
Y la solución es x = 3 e y = 7.
Aunque también se puede resolver actuando sistemáticamente buscando esos valores, x e y, sin
olvidar que han de ser inferiores a 11, y sin aplicar las restricciones vistas en las relaciones. Obtenemos:
x 4x 65 + 4x (65 + 4x) / 11 y
1 4 69 69 no es múltiplo de 11
2 8 73 73 no es múltiplo de 11
3 12 77 77 / 11 7
4 16 81 81 no es múltiplo de 11
5 20 85 85 no es múltiplo de 11
6 24 89 89 no es múltiplo de 11
7 28 93 93 no es múltiplo de 11
8 32 97 97 no es múltiplo de 11
9 36 101 101 no es múltiplo de 11
10 40 105 105 no es múltiplo de 11
Sólo encontramos una solución que concuerde con las condiciones del problema: x = 3.
Es decir, Mario compró la camiseta con x = 3 monedas de 1 sildar y, por tanto, con 11 – 3 = 8
monedas de 5 sildares, para un total de 43 sildares como precio de la camiseta.
Víctor compró la camiseta con y = 7 monedas de 1 sildar y, por tanto, con 10 – 7 = 3 monedas de 12
sildares, para un total, también, de 43 sildares como precio de la camiseta.
Mediante modelización con Geogebra:
Dejamos a nuestros lectores expertos en Geogebra que investiguen, descubran y nos envíen la forma
de utilizar esa aplicación didáctica para resolver este problema.
Solución 3 monedas de doce y 7 monedas de uno para Víctor. 8 monedas de cinco y 3 monedas de
uno para Mario. La camiseta costó 43 sildares.
Responder
Comprobación
Víctor pagó la camiseta con 10 monedas, 3 monedas de doce y 7 monedas de uno
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3·12 + 7·1 = 36 + 7 = 43
Mario pagó la camiseta con 11 monedas, 8 monedas de cinco y 3 monedas de uno
8·5 + 3·1 = 40 + 3 = 43
En ambos casos, la camiseta costó 43 sildares.
Análisis: Solución única.
Respuesta:
Víctor pagó la camiseta con 3 monedas de doce y 7 monedas de uno.
Mario pagó la camiseta con 8 monedas de cinco y 3 monedas de uno.
La camiseta costó 43 sildares.
TERCER RETO
UN SENCILLO PROBLEMA DE COMBINATORIA.
(Adaptado de Adrián Paenza; Matemagia)
Con las letras de la palabra BECAD (dad una beca), se forman todos los anagramas posibles
permutando sus cinco letras. Si colocamos las permutaciones ordenadas alfabéticamente, es decir:
ABCDE, ABCED, ACBDE, ACBED, ACDBE, ACDEB, etc. ¿Qué lugar ocupará la palabra
CEBAD? ¿Cuántas permutaciones son posibles con las cinco letras?
PROCESO DE RESOLUCIÓN
Comprender:
Datos: La palabra formada por las cinco primeras letras del alfabeto BECAD
Objetivos: (I) Calcular cuántos anagramas diferentes de cinco letras pueden formarse a partir de A-
B-C-D-E. (II) Encontrar el lugar que ocupa la palabra CEBAD una vez ordenados
alfabéticamente todos los anagramas.
Relación: Siempre son las mismas letras, pero colocadas en un orden diferente.
Pensar:
Estrategias: Organizar la Información.
Ejecutar:
Formar los anagramas y ordenarlos alfabéticamente. Cada anagrama es una permutación. Se utiliza
el orden alfabético. Se puede utilizar como técnica la conversión de las letras en cifras y ordenar los
números resultantes.
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Hay 5! = 5·4·3·2·1 = 120 anagramas distintos que se pueden formar con las cinco letras de BECAD.
La palabra CEBAD está más cerca del final del conjunto que del principio, puesto que los que
empiezan por A son 1·4·3·2·1 = 24, que son también los que empiezan por cada una de las otras cuatro
letras. Así pues, las que comienzan por A y por B suman 48 y las que comienzan por D y por E otras 48.
De las 24 que empiezan por C, la cuarta parte -6-, continúan con A (CA---) otra cuarta parte con B
(CB---), mientras que el tercer cuarto lo hace con CD--- y el último cuarto corresponde a CE---. Así
vemos que CEBAD estará en el último cuarto, es decir, más cerca del último anagrama que del primero.
Por ello vamos a calcular los anagramas posteriores a CEBAD en la ordenación.
1. Anagramas que empiezan por E: 4! = 24
2. Anagramas que empiezan por D: 4! = 24
3. Los que están después de CEBAD y antes de DABCE: CEDAB, CEDBA y CEBDA. Tres
anagramas.
En total son 24 + 24 + 3 = 51, que hemos de restar del total de 120 calculado al principio:
120 – 51 = 69, y este es el lugar que ocupa CEBAD.
Solución:
120 anagramas. CEBAD ocupa el lugar 69.
Responder.
Comprobar:
Otra forma de enfocar la solución consiste en asignar una cifra a cada letra: A = 1, B = 2, C = 3, D =
4 y D = 5. Entonces a ABCDE le corresponde 12345, y CEBAD sería 35214; siendo DABCE el número
41235
Puede resultar más sencilla la ordenación trabajando con números y más fácil ver que entre 35214 y
41235 están 35241, 35412 y 35421.
Análisis:
La solución es única.
Respuesta:
Hay 120 anagramas que comprenden algunos con significado (vocablos o palabras). El
vocablo CEBAD ocupa el lugar 69 del total de 120 que tenemos.
Es sabido por todos nuestros lectores y aquellos que nos conocen personalmente nuestra rendida
admiración por Martin Gardner. Nunca le dejaremos de estar agradecidos por todo lo que nos enseñó a
través de sus artículos primero y con sus libros después. Añoramos su presencia, pero el material que nos
dejó es tan rico que aún seguiremos utilizándolo durante mucho tiempo.
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Pero, al hilo de este último problema, tenemos que hacer mención especial de ese otro monstruo de
la divulgación matemática que es Adrián Paenza.
Este porteño, hombre de nuestra generación (la de los autores),
Adrián Arnoldo Paenza nació en Buenos Aires (Argentina) hace 70 años.
Matemático y profesor de matemáticas por la Facultad de Ciencias Exactas
y Naturales (UBA), es también un periodista y divulgador.
Su familia, de clase media, fomentó siempre su interés para que
realizara actividades diversas: deportivas (patinar sobre hielo) o artísticas
(tocar el piano). Con 14 años comenzó sus estudios en la Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, donde se
doctoró en Matemáticas y fue profesor asociado. A los 16 años tuvo su
primer trabajo como periodista. La pasión por el deporte lo acercó al
periodismo deportivo y su pasión por las matemáticas lo acercó a la
ciencia.
Sus libros han sido un éxito de ventas en la Argentina, en otros países de Latinoamérica y también en
Alemania y España, donde se han editado algunos títulos. Asimismo, sus libros han sido publicados (o lo
serán próximamente) en Rusia, Italia, República Checa, Brasil y Portugal.
Como periodista, se inició en 1966 en La Oral Deportiva de Radio Rivadavia. Entre 1986 y 1997 fue
profesor asociado del departamento de matemáticas de esa institución. Ganador del Premio Konex en la
categoría Periodismo Deportivo Audiovisual en 1997, ejerce el periodismo en diversos medios, y es
conductor del programa Científicos Industria Argentina, galardonado con el Premio Martín Fierro en 2007,
2009 y 2011. Trabajó en las radios más importantes del país y en los cinco canales de aire de la Argentina.
Fue redactor especial de varias revistas y colabora con tres diarios nacionales: Clarín, Página/12 y La
Nación. Actualmente es columnista especial de Página/12. En 1997 recibió el Diploma al Mérito Konex a
Deportiva Audiovisual. En 2007 recibió el premio Konex de platino en la categoría «Divulgación
científica».
Ha recibido otros muchos premios como divulgador matemático y periodista deportivo.
A la vista de sus extensos agradecimientos en la introducción de sus obras, hemos de considerar que
mantiene una excelente relación con su familia, compañeros y amigos.
Desde hace 35 años, reside la mayor parte del tiempo en la ciudad de Chicago,
Estados Unidos.
Adrián Paenza como destacado matemático, periodista y divulgador de las
Matemáticas, autor de libros maravillosos como la serie "Matemáticas... ¿Estás ahí?",
expresa alguna de sus ideas sobre las Matemáticas y su docencia, recogidas de la
obras citadas, dignas de ser difundidas y aplicadas en nuestro quehacer diario. (Datos
obtenidos de wikipedia)
Como muestra reflejamos algunas referencias como las siguientes:
Mi experiencia como docente me permite decir que nuestra responsabilidad es la de
transmitir ideas en forma clara y gradual.
Uno necesita encontrar complicidades en el alumnado, mostrar que nos
importan. Que, en todo caso, sin ellos, sin alumnado, no hay docencia, ni
profesorado.
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Estimulemos al alumnado a preguntar todo el tiempo. No todos tenemos los mismos tiempos
para entender. Ni siquiera hay garantías de que lo que entendimos hoy lo entendamos
mañana. Nuestra tarea, la de los docentes, es prioritariamente la de generar preguntas, o
sea, motivar a los alumnos a que ellos se hagan preguntas. Nuestro desempeño no será
satisfactorio si sólo colaboramos en mostrar respuestas.
Es posible que parte de la matemática que se produce hoy no resuelva situaciones del
presente, pero podría resolver las del futuro. Hay muchos ejemplos en ese sentido.
En cualquier caso, el placer pasa por pensar, por dudar, por “entretener” en la cabeza un
problema que no sale y aprender a coexistir con algo no resuelto.
Debemos quebrar las competencias estériles. Nadie es mejor persona
porque entienda algo, ni porque lo haya entendido más rápido. Ni peor,
si no entiende. Estimulemos el esfuerzo que cada uno pone para
comprender.
La teoría tiene que estar al servicio de la práctica. Primero están los
problemas y mucho después la teoría, que (en todo caso) se supone que
ayuda a resolverlos. La idea es aprender a pensar, a plantear y a
resolver problemas.
No hemos de someter a alumnado a la supuesta autoridad académica del
docente. Si el alumno no entiende, el docente debe motivarlo a
preguntar, a porfiar, a discutir hasta que o bien entienda, o bien nos
haga advertir que ¡quienes no entendemos somos nosotros!"
Sus libros son un diálogo con el lector, donde frecuentemente pide (¿exige?) pausas de
reflexión, de análisis, dando la oportunidad de que el lector recapacite sobre lo planteado antes de
seguir leyendo. Aquí tenemos alguna de las reflexiones que expone en su libro “LA PUERTA
EQUIVOCADA”:
“(Para resolver este problema de frases verdaderas y falsas) no hizo falta
tener ningún tipo de conocimiento previo. Sólo se trató de hacer un análisis
exhaustivo de todas las posibilidades, y con eso fue suficiente para deducir la
respuesta. La vida está llena de problemas de este tipo en los que uno debe
plantearse diferentes escenarios y luego determinar cuáles son posibles y cuáles
no. La matemática llega en auxilio para dar un soporte lógico/técnico que
muchas veces permite decidir qué es lo que está bien y qué es lo que está mal.”
(página 273)
“…La satisfacción que yo siento cuando descubro cómo resolver un
problema nunca surge de leer lo que hizo otro. No quiere decir que muchísimas
veces no me haya quedado otra alternativa, pero prefiero aprender a coexistir
con la frustración durante un tiempo y pagar ese precio si al final logro que se
me ocurra a mí. Ese instante en donde es uno quien encuentra el camino que
lleva a la solución, ese momento en donde uno pasa de no entender a sí entender,
es impagable, y es por eso que no me canso de escribirlo y de compartirlo para
invitar a quien tiene un problema de cualquier tipo a que no se dé por vencido en
el intento. Hágalo hasta donde pueda. La recompensa intelectual y lo que aporta
a la autoestima merecen su dedicación y esfuerzo.” (página 280)
“(En algunos problemas) el objetivo no es otro que entrenar nuestra
capacidad lógica para elaborar estrategias. … La satisfacción que produce
compararse a uno mismo desde el momento en el que toma el primer contacto con
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la situación hasta que advierte qué es lo que hay que hacer para resolverlo es incomparable. De
hecho, es una buena forma de conocer nuestras propias capacidades que permanecen dormidas,
latentes, escondidas... elija el adjetivo que prefiera. Por eso, más que la solución propiamente dicha,
lo que vale la pena es el trayecto, la ruta y el descubrimiento que implica cada paso.” (página 287)
“No sé qué pasó a usted, pero créame que a mí me fascina la capacidad que
tenemos los humanos de encontrar un hecho escondido, oculto y que parecía
inalcanzable, usando simplemente la herramienta más poderosa que tenemos: el
cerebro.” (página 290)
“…Muchas veces nos embarcamos en establecer fronteras artificiales que
en la vida real no existen. Me explico: uno aprende en el colegio/escuela a resolver
problemas de matemática, de física, de química, de biología, de geología, etc., pero
los problemas en la vida cotidiana no vienen con una etiqueta que los separa o
distingue. Entonces, cuando llega el momento de enfrentar una situación cualquiera en donde se
requiere pensar, no sirve –en general– tratar de recordar lo que uno estudió, sino de crear y buscar
alternativas de solución desde cualquier ángulo posible.” (página 302)
“¿Qué le pasó a usted?, ¿se le ocurrió enseguida?, ¿hubo algo que le hizo sospechar que esas
áreas tenían que ser iguales?, ¿cómo pensó el problema? No sabe cómo me gustaría poder estar junto
a usted para escuchar sus reflexiones. Seguro que eso me ayudaría muchísimo para educar mi
percepción.” (página 320)
“La única gracia que tiene este tipo de problemas (análisis de un juego) es motivarlo para
bucear en algún otro lugar de su cerebro, llevarlo/la –eventualmente – por sitios que usted no
exploró… La idea final debería ser: mejorar su capacidad para razonar y elaborar estrategias.
(página 324)
“Una vez más, es muy poco probable, por no decir imposible, que aparezca alguna razón por la
cual uno tenga que (hacer estas cosas), pero esa no es la idea.
La idea es mostrar cómo somos capaces de elaborar diferentes
tipos de estrategias para resolver problemas. Puede que éste
no surja nunca en la vida cotidiana de ninguna persona que
usted y yo conozcamos, pero sí estoy seguro de que tanto
entrenarse y pensar en problemas que requieran la elaboración
de estrategias, uno desarrolla capacidades para la vida
cotidiana que no tendría si no las practicara.” (página 336)
Un par de enlaces a sus actuaciones divulgativas publicadas en “youtube”. A partir de estos se
pueden ver otros vídeos.
https://www.youtube.com/watch?v=V33U1OsFVnQ
https://www.youtube.com/watch?v=C342mLcbcd4
Libros del autor Adrián Paenza:
Matemática… ¿Estás ahí? (2005)
Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 2
(2006)
Matemática… ¿Estás ahí? Episodio
3,14 (2007)
Matemática… ¿Estás ahí? Episodio
100 (2008)
na calculadora muy, muy extraña. Problemas Comentados LI
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NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Estrategias (2016) Matemática…
¿Estás ahí? La vuelta al mundo en 34
problemas y 8 historias (2010)
¿Cómo, esto también es matemática?
(2011)
Matemáticas para todos (2012)
Matemagia (2013)
La puerta equivocada (2014)
Detectives (2015)
En Robotilandia pasan cosas raras. 10
desafíos matemáticos para chicos
(2016)
La matemática del futuro (2017)
El que pierde gana. 10 desafíos
matemáticos para chicos (2017)
Matemática maravillosa. 15 desafíos
asombrosos para pensar distinto (2017)
¡Un Matemático Ahí, Por Favor!
(2018)
Festival matemático (2018)
Los libros de matemática recreativa publicados por Adrián Paenza se encuentran disponibles
para su descarga gratuita en la web del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias
Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires:
http://cms.dm.uba.ar/material/paenza.
Pero no olvide que esa disponibilidad por parte de Paenza debe ser contrapesada por la compra
de alguno de esos libros en formato papel. Descargue aquellos que no pueda encontrar en la librería.
Compre aquellos que encuentre, léalos, disfrútelos y trabájelos. No se arrepentirá.
Y un par de retos (de Paenza, ¡faltaría más!) que proponemos para que ustedes practiquen y nos
envíen sus razonamientos y soluciones.
Los dos primeros problemas los hemos adaptado un poco, más como juego que para enmendar
la plana al maestro. Esperamos nos disculpe por ello. El tercero es un clásico:
1. Las guardias de recreo
Un centro escolar a principios de los años setenta del siglo pasado. Un grupo de cuatro
profesores, a quienes voy a llamar A, B, C y D, decidieron encargarse de las guardias en los recreos
del colegio. El encargo se hacía de manera semanal, pero con algunas condiciones que establecieron
entre ellos.
Estas son las cuatro condiciones que decidieron cumplir:
Los días en los que hacía guardia A, no la hacía B.
Los días en los que hacía guardia B también la hacía D, pero no la hacía C.
Los días en los que hacía guardia D, también la hacían A o B (o incluso los dos).
Nunca hubo dos días iguales, es decir en donde se repitieran los profesores que
salieron al patio de recreo para hacer la guardia.
En los siete días de la semana, ¿cuántos días estuvo de guardia D y con quién (o quienes)?
2. Inicio de curso
Existe la costumbre al principio de curso de pedir al alumnado que aporte el material suficiente
para trabajar durante el curso. Se deposita en la clase y, a medida que se va gastando, se surten de él
los alumnos que lo han aportado. El profesor a veces, previendo que habrá alumnos que no puedan
aportar todo el necesario, pone de su bolsillo o del presupuesto escolar de aula una cierta cantidad de
material básico. Supongamos que usted, profesor entró en un kiosco y compró tres tipos de materiales:
lápices, bolígrafos y gomas de borrar. Juntando todo lo que compró, se llevó 30 cajas por las que pagó
30 euros. Se sabe, además, que compró por lo menos una caja de cada producto.
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Cada uno de los productos venía envasado en su propio paquete y los precios por unidad
estaban distribuidos de la siguiente forma:
a) Cada caja de bolígrafos costaba tres euros,
b) Cada caja de lápices costaba dos euros, y finalmente,
c) Cada caja de gomas de borrar costaba 50 céntimos.
¿Es posible determinar cuál fue la distribución de lo que compró? Es decir, ¿es posible
determinar cuántas cajas de cada producto se llevó a su aula?
El que sigue es un problema clásico, que en la forma que Adrián Paenza lo presenta o en la que
dando z se tiene como incógnita una de las alturas, se encuentra en muchos libros de geometría. Por
ello lo trasladamos tal cual lo presenta su autor, solicitando de nuestros lectores que nos hagan llegar
las variantes que conozcan. ¡Colabore hombre! ¡o mujer!
3. Torres de telefonía celular
Suponga usted que hay dos torres de telefonía celular.
Estas torres se erigen en forma vertical. No importa la distancia
que hay entre una y otra, pero lo que sí se sabe es que una mide
seis metros y la otra cuatro.
Del extremo superior de cada una, sale un cable que llega
hasta la base de la otra. Obviamente, esos cables tienen que
cruzarse en alguna parte (ver Figura 1):
¿Puede deducir usted a qué altura del piso se cruzan? Mirando la figura, el problema consiste
en determinar cuánto mide “z”.
Y hasta aquí llegamos. Terminamos con nuestro mantra particular: resuelvan los problemas,
singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus
comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo
sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras
propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Nos
repetimos: vamos, anímense… ¡Si es divertido!
Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista
.
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
N Ú M E R O S
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 123-138
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Juegos de alineamiento: variantes del tres en raya
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Resumen Hacemos una descripción de más de 25 variantes del 3 en raya o relacionadas con
el juego, algunas conocidas y populares como el ta-te-ti, Nine Men’s Morris, Molino,
Quarto, Go-Moku, Conecta 4; y otros menos conocidos o que comercialmente ya no se
producen: Tri-Ex, Sampan, Imagic, Pentago, etc. De muchos de ellos hacemos un
análisis con mayor profundidad que de otros, haciendo hincapié en su uso en el aula.
Palabras clave Variantes del tres en raya. Conocidas como el Ta-te-ti y más extrañas como el
Sampan. Aplicación de los juegos en el aula. Variantes de tableros, fichas y reglas.
Abstract We describe more than 25 variants of the 3 in a row or related to the game, some
known and popular as ta-te-ti, Nine Men’s Morris, Molino, Quarto, Go-Moku, Conecta 4;
and others less known or commercially no longer produced: Tri-Ex, Sampan, Imagic,
Pentago, etc. Many of them make an analysis in greater depth than others, emphasizing
their use in the classroom.
Keywords Variants of the three in a row. Known as Ta-te-ti and more strange as Sampan.
Application of games in the classroom. Variants of boards, chips and rules.
Está claro que los juegos de alineamiento, de la familia del Tres en Raya, merecen un segundo
artículo (ya se ha hecho una costumbre en nosotros) en el que haremos una descripción de la mayor
parte de ellos, los más interesantes, y un análisis un poco más profundo de alguno.
De las posibles variantes vamos a dejar un poco de lado aquellas más sencillas que se limitan a
modificar el tres en raya propiamente dicho y nos dedicaremos a los más comerciales. Es evidente que
a las casas fabricantes de juegos de mesa no les interesan juegos que necesiten poco material. Están
más por diseñar juegos con variantes que necesiten un tablero más espectacular con unas reglas de
juego que ofrezcan más posibilidades a los jugadores. O, también, aquellos que requieren una
presentación más artesana, fabricados en madera con decoraciones más vistosas.
Las variantes del Tres en Raya, como ya sabemos, buscan un atractivo suplementario
cambiando el objetivo del juego, las fichas del mismo, introduciendo reglas algo diferentes e, incluso,
elementos materiales o efectos físicos (gravedad, imanes, cartas, etc.). Varios de esos cambios son
posibles simultáneamente para dar una mayor espectacularidad al juego. En algunos casos tales
variantes son juegos con una entidad propia muy relevante.
1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com / mgarciadeniz@gmail.com
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Empezaremos viendo un par de variantes sencillas, por lo general no comerciales, pero poco
conocidas para, después, presentar algunos de los juegos de este tipo de nuestra colección particular.
Tres en Raya numérico o alfabético.
Son variantes donde las piezas del juego se sustituyen por números o letras para logra formar
determinadas sumas o palabras. En algunos de ellos, las piezas tienen sus dos caras distintas y es
preciso darles la vuelta según determinadas reglas complementarias.
Con números: Suma 15
Cada jugador, en su turno, coloca una ficha (números de 1 a 9) sobre una casilla vacía del
tablero.
Gana el primer jugador que consigue sumar con sus tres fichas (no vale sólo con dos) un total de
15.
Si tras colocar las seis fichas ningún jugador consigue sumar 15, cada jugador, por turno, puede
levantar una de sus fichas y colocarla en cualquier otra casilla que esté libre. Continúa la partida hasta
que algún jugador consiga 15 o los dos decidan dejar la partida en tablas.
Con letras: S.O.S. y OXO
En un tablero rectangular cuadriculado que suele ser delimitado
en una hoja de papel cuadriculado, los jugadores, alternándose, van
dibujando en cada cuadrícula una de las letras “S” u “O”. Cada vez que
un jugador logra completar la serie “SOS” en cualquier dirección, se lo
anota como suya. Lógicamente gana el que logra anotarse más cadenas
“SOS”.
La misma idea pero con las letras X y O sirvieron para crear una
simulación electrónica en 1952, que se denominó “OXO” y se
considera el primer videojuego de la historia.
Con palabras: HOT
Se trata de colocar en los nueve cuadros del tablero las palabras “SPIT, NOT, SO, FAT, FOP,
AS, IF, IN, PAN”, de tal manera que en cada línea aparezca cada vocal una sola vez. Se puede jugar
como un solitario también.
Existen varias versiones españolas con nueve tarjetas. Una de ellas contiene las siguientes
palabras: CURA DON LIS MAS POR SECO TIRE VENA ZINC. Se colocan las nuevas tarjetas
boca arriba sobre la mesa y cada jugador, por turno, va eligiendo una tarjeta del montón y colocándola
junto a él también boca arriba. Gana el primer jugador que consigue tres palabras que tengan una letra
en común. Si nadie lo consigue la partida se considera en tablas.
Tri-Ex, Tres en raya triangular o Tres en raya áureo
También se le puede encontrar con el nombre de TRIHEX.
Requiere un tablero como el de la figura y dos juegos de tres fichas de
dos colores diferentes.
Los dos jugadores, por turno, van colocando una ficha en una
casilla que este vacía. Si después de colocar sus tres fichas ninguno de
los dos jugadores ha conseguido poner sus tres fichas en línea recta, los
jugadores van desplazando, por turno, una de sus fichas a lo largo de una
línea a otra casilla vacía. Gana quien consiga colocar sus tres fichas en
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línea recta.
El tablero sobre el que se juega a las tres en raya está formado por
nueve casillas dispuestas en ocho líneas de tres casillas cada una (filas,
columnas y diagonales. Thomas O’Beirne, de Glasgow, autor de Puzzles and
Paradoxes (Oxford, 1965), diseñó este tablero. En cada una de las
alineaciones de tres puntos, el central corresponde a la sección áurea del
segmento definido por los puntos extremos.
Tatetí
Cada jugador dispone de 5 piezas distinguibles de las de su rival, que van colocando sobre el
tablero alternándose. También se conoce esta modalidad sin movimientos de las fichas con los
nombres de Tic-Tac-Toe o “Noughts and Crosses” (ceros y cruces). Dan lugar a una serie de
subvariantes como el “Ta-Te-Tí Loco”, en el que cada jugador coloca una pieza del color que quiera o,
en su versión sobre papel, dibuja una cruz o un círculo según le parezca. O el “Titatá Loco” donde en
cada jugada los contendientes pueden elegir entre el “0” y la “+”, y el primero en hacer tres en raya
pierde.
Sampan
Los dos jugadores necesitan 8 fichas de 2 colores (4 de cada) y un tablero de 3x3. Los jugadores
eligen su color de fichas o quién va primero. Las fichas se colocan alternadas en el tablero y se deja
vacío el centro. Los jugadores por turno mueven una de sus fichas un espacio en cualquier dirección
hacia una celdilla vacía. Los jugadores pueden saltar las fichas contrarias (no las propias), pero no hay
captura. El ganador es el primero en tener tres de sus propias fichas: (i) en línea en una fila, columna
o diagonal, o (ii) juntas de tal forma que cada una de las tres fichas toque las otras dos.
El Tatetí de Harary
Sobre un tablero cuadriculado se van coloreando casillas, cada jugador con un color. El objetivo
es construir un “animal” determinado de entre los que son posibles con poliminos.
Evitando tres en raya
Sobre un tablero de 8x8 se van colocando alternativamente las
piezas y pierde el jugador que se ve obligado a alinear una tercera ficha
con otras dos, formando una línea de tres.
Muchas variantes del tres en raya, jugadas en tableros superiores
a 3x3 piden alineamientos de cuatro fichas o de cinco para poder ganar.
Aquí les mostramos algunas.
Cuatro en raya, totalmente semejante al tres en raya, pero
tratando de alinear cuatro fichas en un tablero de 4x4.
Coloca cuatro (Score Four) o Conecta cuatro
Es una versión comercializada y muy difundida que podemos denominar “Gravitatoria” puesto
que las fichas se dejan deslizar por unas columnas paralelas, que pueden ser más de cuatro,
permitiendo también, más de cuatro fichas en cada columna.
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Ambos jugadores sitúan sus fichas (una por movimiento) en el tablero.
La regla para colocarlas consiste en que la estas siempre "caen hasta abajo".
Es decir, una ficha puede ser colocada bien en la parte inferior de una
columna o bien sobre otra de alguna otra columna. La siguiente imagen
muestra un ejemplo de la posición de una partida en curso donde las cruces
verdes señalan las casillas donde el jugador puede colocar una nueva ficha.
La partida termina si una de las siguientes condiciones se cumple:
Uno de los jugadores coloca cuatro o más fichas en una línea
continua vertical, horizontal o diagonalmente. Este jugador gana la partida.
Todas las casillas del tablero están ocupadas y ningún jugador cumple la condición
anterior para ganar. En este caso la partida finaliza en empate.
Aquí se muestran las distintas posiciones de la próxima jugada a realizar sobre
el tablero.
Cinco en raya, de manera similar al anterior pero con un par de variantes
orientales que resultan muy interesantes.
Go-moku.
Básicamente consiste en formar cinco en raya sobre las
intersecciones de un tablero de “Go”. Se conoce también como go-bang
o cinco en línea.
Se juega sobre el tablero de Go con cien fichas blancas y cien
negras. El objetivo es intentar colocar cinco de nuestras fichas en línea
una detrás de otra en horizontal, vertical o diagonal.
El juego comienza con el tablero completamente vacío, en él se van
colocando las fichas por turnos y de una en una sobre las intersecciones
de las líneas intentando alinear cinco de nuestras fichas de forma consecutiva en horizontal, vertical o
diagonal y a la vez evitando que el contrario logre hacer lo mismo.
Coloca la primera ficha el jugador que maneja las negras.
Si se han colocado todas las fichas sin que nadie haya logrado el
objetivo del juego (difícil que esto pase) se puede elegir entre
proclamar tablas o continuar el juego desplazando las fichas por
turno horizontal o verticalmente de una intersección a otra libre
adyacente hasta que un jugador logre el alineamiento. El
primero en conseguir alinear sus cinco fichas gana la partida.
Si se quieren hacer más cortas las partidas puede usarse ,
en lugar de un tablero 19 x 19, uno más sencillo de 13 x 13 o de
8 x 8 casillas, con menos cantidad de fichas y algunos cambios
en las reglas.
Pente
El “Pente” es una variante que combina el Go con el Go-
moku, inventada por Gary Gabel (USA); las reglas que se emplean
son: Se colocan alternativamente por cada jugador una de sus
piezas en alguna de las 19x19 intersecciones del tablero. La
primera pieza se ha de colocar en el centro. Si al colocar una pieza
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se encierran dos del contrario entre dos propias, se retiran del tablero las así encerradas. Gana quien
tenga más fichas propias en el tablero al tener este todas sus intersecciones cubiertas.
Variantes más alejadas del Tres en raya
Morris o Molino
Cada jugador dispone de nueve piezas, u "hombres", que se mueven en el
tablero entre veinticuatro intersecciones. El objetivo del juego es dejar al
oponente con menos de tres piezas o sin movimiento posible.
El juego comienza con un tablero vacío. Los jugadores se turnan para
colocar sus piezas en las intersecciones vacías. Si un jugador es capaz de formar
una fila de tres piezas a lo largo de una de las líneas del tablero, tiene un
"molino" y puede eliminar una de las piezas de su oponente en el tablero; las
piezas quitadas no podrán ser colocadas de nuevo. Los jugadores deben eliminar
cualquier otra pieza antes de eliminar una pieza de un molino formado. Una vez
que todas las dieciocho piezas se han colocado, los jugadores se turnan
moviendo. Para moverse, el jugador desliza una de sus piezas a lo largo de una
línea en el tablero a una intersección vacía adyacente. Si no puede hacerlo, ha
perdido el juego. Todos los estudiosos del juego dan por buena la teoría de que
los juegos de Morris son herederos directos del Alquerque.
Hay versiones para tres fichas (Three Men’s Morris), para seis fichas
(Three Men’s Morris), para nueve y para doce. Estos últimos son los más
interesantes.
Nine Men’s Morris
El tablero tiene tres cuadrados concéntricos unidos por caminos rectos en los puntos medios de
los lados. Eso da un total de 24 intersecciones para posicionar las fichas.
Twelve Men’s Morris.
Con el tablero modificado de tal manera que ahora aparecen unidos los vértices de los
cuadrados concéntricos entre si con cuatro nuevos segmentos. Las intersecciones son las mismas pero
ahora hay más caminos por donde deslizar las fichas.
Calypso
Calypso es un juego para viaje diseñado en 1987 por Philip
Shoptaugh (US patent nº 3.603.591) para la empresa Shoptaugh Games
Incorporated. Incorpora los colores a los juegos del Tres en Raya.
Gana el primero en hacer tres en una fila del mismo color superior
en cualquier fila, columna o diagonal. Los jugadores alternan turnos
colocando nuevas piezas en el tablero, cambiando el color de sus piezas
ya jugadas invirtiéndolas o reposicionando cualquiera de sus piezas sin
invertirlas.
El juego se presenta en un estuche de viaje de bolsillo, con tablero
de juego, 14 piezas y las instrucciones detalladas.
Cronet
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Cronet es un juego de cálculo y estrategia para dos jugadores
a partir de 7 años. Es de la casa Borrás (Ref. 8612), diseñado en
1986 por Jim Winslow, bajo licencia de The Michael Kohner
Corporation.
El jugador deberá obtener un tres en raya doble, alineando en
cualquier dirección sus tres fichas grandes y sus tres fichas
pequeñas.
Cada jugador tomará seis fichas de un mismo color (tres
grandes y tres pequeñas) y seguidamente las colocará sobre el
tablero con estas posiciones: las tres fichas grandes sobre los
círculos grandes de su mismo color y las tres fichas pequeñas
también sobre los círculos pequeños del mismo color.
Se decide por cualquier sistema quién moverá primero.
Cada jugador en su turno puede mover una ficha grande o una pequeña sucesivamente, hasta
que uno de ambos jugadores gane, al tener sus tres fichas grandes y las tres pequeñas todas en raya.
Un tres en raya, puede ser: horizontal, vertical o diagonal.
Ver cuatro ejemplos de las múltiples combinaciones posibles.
Una ficha grande puede moverse en cualquier dirección tantos espacios como unidades de
energía tenga, ocupando siempre el centro de los cuadros.
Por cada ficha pequeña, propia o del contrario que estén situadas en los ángulos de los
cuadrados, la ficha grande recibe de una a cuatro unidades de energía (según fichas pequeñas tenga
alrededor) que le permitan avanzar de uno a cuatro espacios. La ficha grande puede disponer de un
máximo de cuatro unidades de energía.
Las fichas pequeñas siempre se moverán ocupando los ángulos de los cuadros del tablero.
Una ficha pequeña puede moverse en cualquier dirección tantos ángulos como unidades de
energía tenga.
Las fichas pequeñas se desplazarán sobre las líneas amarillas ocupando siempre los ángulos
formados por el cruce de líneas, recibiendo a su vez la energía de las fichas grandes que estén situadas
en los cuadrados de su alrededor. Una ficha pequeña puede disponer de un máximo de cuatro unidades
de energía.
Una ficha grande o pequeña puede moverse de uno a cuatro espacios según unidades de energía
tenga, pero es opcional el efectuar todos los movimientos ya que el jugador puede interesarle en un
momento dado el efectuar uno o más movimientos.
Cuando una ficha (grande o pequeña) queda bloqueada porque no tiene energía a su alrededor
puede ser recuperada si el propio jugador efectúa un movimiento de retroceso con otra ficha para que
la ficha bloqueada pueda moverse.
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Imagic
Imagic es un juego ideado por Oded Berman para la
empresa © AMCOR AMHAD. Se avanza comparando los
dibujos. Para ganar en el juego, hay que bajar las cartas.
Incluye 8 fichas de madera, 4 claras y 4 oscuras, 34
cartas y un tablero de fieltro con 9 perforaciones.
Cada uno de los jugadores recibe 4 fichas del mismo
color. Se mezclan las cartas. Cada uno de los jugadores recibe
5 cartas, que colocará en el lugar previsto al borde del tablero.
Los demás jugadores no podrán mostrar sus cartas. El resto del fajo será colocado boca abajo sobre la
mesa.
El jugador que tenga las fichas claras comenzará el juego. Colocará una de las fichas en el hoyo
vacío en el centro del tablero. Su contrincante colocará una ficha en el hoyo que ha quedado
desocupado.
Cada uno de los jugadores deberá
utilizar sus fichas a fin de reproducir uno
de los esquemas de sus cartas. En caso
de lograrlo, colocará la carta apropiada
boca arriba sobre la mesa, y cogerá otra
del fajo. El primer jugador que logre
colocar 5 cartas boca arriba será el ganador.
La partida podrá jugarse también con 10 cartas. En ese caso, el primer jugador que pueda
alinear 10 cartas boca arriba será el ganador.
Asimismo, podrá jugarse también con todas las cartas. En este caso, el ganador será el jugador
que logre alinear el mayor número de cartas boca arriba sobre la mesa.
Interplay
Interplay es un clásico juego de habilidad para dos jugadores. Su
objetivo es ser el Primero en hacer "5 en una fila" con piezas de su color en una
línea recta en cualquier dirección, horizontal, vertical o diagonal. Es un juego de
viaje (serie nº 745), diseñado en 1986 por Philip Shoptaugh (US patent nº
4.239.230) para Shoptaugh Games Incorporated.
El diseño único del tablero permite a los jugadores
jugar dentro o alrededor de las piezas de los demás para
construir un patrón ganador. El juego se vuelve más
complejo a medida que mejora el nivel de habilidad del jugador. Interplay fue
elegido como uno de los mejores 100 juegos por la revista Games y ganó el
premio a la elección de los padres.
Contiene un tablero de juego de tamaño estándar e incluye 36 piezas de
juego con instrucciones detalladas.
Magic 4
Magic 4 es una oferta de juego de DISET INTERNATIONAL. Su promoción indica: “Usted
puede luchar contra su oponente, pero… ¿Podrá vencer a la “fuerza oculta”?”
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El tablero tiene debajo una serie de imanes que han de ser
colocados aleatoriamente antes de comenzar el juego. Programable
magnéticamente con 245.760 combinaciones.
Las piezas son cilindros o prismas transparentes que contienen
en su interio una ficha con una cara blanca y la otra roja, con distinta
polaridad, lo que hace que al colocarla sobre el tablero permanezca o
cambie su color dependiendo del polo del imán que está debajo.
Las instrucciones indican:
El blanco siempre inicia el juego. Se coloca cualquier ficha
redonda en cualquier especio de la fila Base Blanca.
Una vez entrada al tablero, cualquier ficha puede ser movida por ambos jugadores, sin importar
la forma o el color.
Si alinea usted cuatro fichas consecutivas (cuadradas y/o redondas) con su color a la vista, sea
cual fuere la dirección de la hilera, ¡ha ganado!
Es muy sorprendente y divertido. Uno piensa que va a colocar la pieza ganadora para finalizar el
juego y, de repente, al colocarla en el sitio elegido, el imán hace voltear la ficha y resultar que ha
jugado para el contrario.
Pentago
Pentago es un juego abstracto de estrategia creado por Tomas
Flodén y comercializado por la compañía sueca Mindtwister. Un
cinco en línea para partidas con muchos giros.
El pentago se juega sobre un tablero de 6x6 dividido en cuatro
partes de 3x3. Cada jugador, por turnos, debe colocar una de sus
fichas en una casilla vacía y a
continuación, girar 90 grados
uno de los cuadrantes.
El tablero se divide en cuatro partes móviles.
Además del tablero, el juego contiene 2 juegos de 18
piezas de distinto color.
Gana el jugador que consigue alinear cinco de sus fichas
(en diagonal, vertical u horizontalmente), independientemente de
si lo consigue antes o después de la rotación.
Si se llega a ocupar todo el tablero sin haber conseguido el
objetivo, el juego queda en tablas.
Pirámides
Es un juego de la casa comercial GEYPER. Su
slogan es: “Dos estrategias frente a frente. Sencillo como
el A-B-C. ¡Divierte! ¡Apasiona!”
El juego contiene 12 pirámides doradas y 12
pirámides negras. El objetivo del juego es colocar 5 de tus
Pirámides en línea, tanto vertical, horizontal como
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diagonal.
Primero se determina quién comienza.
Al jugador que le corresponde salir (A), colocará una
Pirámide en la superficie de juego (no hay tablero). El 2º jugador
(B), colocará una suya de forma que toque en una esquina o en uno
de los lados de la Pirámide que colocó el jugador (A). (Ver
gráficos)
Los jugadores alternativamente irán situando sus Pirámides en la superficie de juego hasta que
alguno de ellos logre colocar 5 Pirámides en línea.
Si después de colocar todas las Pirámides en la
superficie de juego, ninguno de los dos jugadores ha
conseguido ganar, el juego continuará, para ello y
manteniendo el turno, cada jugador irá retirando de la
superficie una de sus Pirámides y colocándola en otro
lugar pero no podrá mover ninguna Pirámide que deje a
otra Pirámide o a un grupo de ellas aislada o separada de
la formación principal. (Ver diagrama)
Hay dos juegos casi idénticos en el formato, sólo
con una pequeña diferencia sobre cómo se pone cada
ficha del juego y que, por razones comerciales, se han
difundido con dos nombres diferentes: Quarto y Gobblet!.
Gobblet!
Es un juego original de Thierry Dénoual para la empresa estadounidense Blue Orange Games y
ahora, en el año 2001, para Gigamic.
Reglamento sencillo, apto para todo tipo de edades,
partidas rápidas y con un aspecto decorativo significativo. El
material para el juego consiste en un tablero de tamaño 4x4 y
de 12 piezas de color natural y otras 12 de color oscuro. Las
piezas, no obstante, tienen 4 tamaños distintos, y por lo tanto,
cada jugador tiene 3 piezas muy pequeñas, 3 piezas pequeñas,
3 piezas grandes y 3 piezas muy grandes. Lo divertido de todo
esto, es que las piezas grandes pueden tapar a las que son más
pequeñas que ellas. Esto da un cierto parecido con las
muñecas rusas que se introducen unas dentro de otras.
Al iniciar la partida, el tablero está vacío y cada jugador tiene tres pilas de cuatro piezas con las
más grandes englobando a las más pequeñas. Un turno consiste en introducir una de las piezas que
tengamos en la parte superior de nuestras pilas en cualquier casilla libre del tablero o mover una pieza
ya jugada sobre el tablero a otra casilla cualquiera vacía o bien a una casilla en la que se encuentre una
pieza de cualquier color de menor tamaño que la que está moviendo y en este caso la pieza movida
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taparía la que estaba anteriormente. La segunda regla consiste en que, si un jugador forma tres piezas
en línea, ya sea en diagonal, vertical u horizontal el otro jugador puede jugar una pieza no introducida
en el tablero directamente sobre una de las tres piezas que forman la línea. El ganador del juego es el
primero en conseguir una formación de cuatro piezas en línea, ya sea en diagonal, horizontal o
vertical.
Si un jugador mueve una pieza que tapaba a otra, el jugador solo puede mover la pieza superior,
la pieza que se encontrase debajo pasaría ahora a estar libre. Se puede tapar una pieza propia. Si un
jugador mueve dando un cuatro en raya al otro jugador, el jugador que hizo 4 en raya gana. El
reglamento prohíbe levantar una pieza para ver lo que hay debajo.
Quarto
Es un diseño del suizo Blaise Müller en 1991 para
la empresa francesa de juegos GiGamic S.A.
El juego contiene un tablero de 16 casillas, 16
piezas diferentes con 4 características cada una: clara u
oscura, redonda o cuadrada, alta o baja, maciza o hueca.
Al inicio de la partida, las piezas se colocarán al
lado del tablero. Y el objetivo es formar en el tablero un
alineamiento de 4 piezas, que tengan como mínimo una
característica en común. Este alineamiento puede ser
horizontal, vertical o diagonal.
El primer jugador será elegido por sorteo. Éste elegirá una de las 16 piezas y la entregará a su
adversario, el cual deberá colocarla en una de las casillas del tablero y elegir, seguidamente, una de las
15 piezas restantes para entregarla a su adversario. A su vez, éste la coloca en una casilla libre, y así
sucesivamente... La partida es ganada por el primer jugador que anuncia “QUARTO!”
1 – Un jugador hace “QUARTO!” y gana la partida cuando, colocando la pieza entregada:
crea el alineamiento de 4 piezas claras o 4 oscuras o 4 piezas redondas o 4 cuadradas o 4
piezas altas o 4 bajas o 4 piezas llenas o 4 huecas.
Se pueden acumular varias características.
No está obligado a haber colocado él mismo las otras 3 piezas.
Debe cantar su victoria anunciando “QUARTO!”.
2 – Si dicho jugador no se ha dado cuenta del alineamiento y entrega una pieza a su adversario:
Este último puede “en ese momento”, anunciar “QUARTO!” y mostrar el alineamiento,
quedando por lo tanto, vencedor de la partida.
3 – Si ninguno de los jugadores se da cuenta del alineamiento durante el turno de juego en el
cual se crea, éste pierde su valor y la partida continúa.
Puede haber empate si todas las piezas han sido colocadas sin vencedor. La duración de la
partida es de 10 a 20 minutos.
En un torneo, es posible asignar a cada jugador un tiempo límite de un minuto por jugada.
Para iniciarse progresivamente, se puede jugar tomando únicamente 1, 2 o 3 características
como criterios de alineamiento. Ejemplo: Formar en el tablero un alineamiento de 4 piezas que tengan
el mismo color (Una sola característica elegida).
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El objetivo del juego es crear un alineamiento o un cuadrado de 4 piezas que tengan, como
mínimo una característica en común.
De esta manera, existirían 9 posibilidades suplementarias de hacer “QUARTO!”.
Las piezas de juego tienen la forma de pequeños prismas o cilindros de madera, cada una de las
cuales forma una de las combinaciones posibles de cuatro características: clara u oscura, redonda o
cuadrada, alta o baja, llena o hueca. Por ejemplo, una pieza puede ser clara + cuadrada + alta + hueca.
Premios: Dé d’Or (FRANCE); Toy Award (BELGIQUE); Super As d’Or (CANNES); Oscar du
Jouet (FRANCE); Jeu de l’année (BRUSSELS); Parents choice award (USA); Mensa’s top five best
games (USA); Speelgoed van’t Jaar (NETHERLANDS); Selezionato al Gioco dell’anno (ITALY);
Games magazine top 100 games (USA); Best bet of the toy testing council (CANADA); Prix
d’excellence des consommateurs (QUÉBEC); Auf der Auswahiliste des Jähres (DEUTSCHLAND);
International Awards.
Este juego fue muy difundido por la Sociedad Francesa de Profesores de Matemáticas, a través
de un artículo de François Jaquet, publicado en la revista MATH-ECOLE, nº 154, pp. 27 a 29, de
Septiembre de 1992. Hace falta mucha atención, lógica, anticipación, creatividad estratégica para
ganar. Como esas cualidades no son siempre tenidas en cuenta por la escuela, un eterno “cangrejo”
puede derrotar a un licenciado en matemáticas porque la valía (en el Quatro) no atiende al número de
años.
En los planes de estudio de la escuela primaria, en el capítulo de conjuntos y relaciones, se
hallan las nociones de complementario, de negación, de unión, de intersección, etc. Los medios de
enseñanza se fundan bien a menudo en ejercicios artificiales o formales.
¿Un juego como Quarto permitiría trabajar todas estas nociones, de manera natural, sin hacer
llamadas a formalismos o a una terminología que nuestros alumnos son incapaces de asimilar?
El modo de empleo, por ejemplo, presenta las dieciséis piezas bien arregladas, sin hacer
llamadas a un diagrama: están simplemente dispuestas según cuatro rangos, los subconjuntos aparecen
claramente, y la dicotomía de los criterios está señalada por las simetrías de la disposición.
Cuando un jugador se prepara para elegir la pieza que va a ofrecer a su adversario, no necesita
anotaciones o términos especiales, se contenta con formar sus conjuntos de piezas reagrupándolas
espacialmente. Si, por ejemplo, debe evitar dar una pieza cuadrada o una pieza clara, las guarda. El
complementario de “cuadrada o clara” se impone a la evidencia, ¡sin diagrama y sin haber estudiado
las leyes de de Morgan!
Y, sobre todo, en este juego, no se constituyen los conjuntos para agradar al maestro o para
cumplir con su programa de matemáticas, sino simplemente para ganar.
Alguno se sirve todavía de los bloques lógicos de Dienes, material inseparable de la reforma de
las “matemáticas modernas”. Con dieciséis de ellos, se construye fácilmente un juego de Quarto. Se
podría entonces volver a sacarlos de los armarios, presentarlos y ofrecer un nuevo porvenir en las
actividades que realizan, esta vez, ¡con sentido para el alumno y para el maestro!
También hay variantes que exploran las tres dimensiones del espacio, apareciendo los llamados
Tres o Cuatro en raya 3-D
Qubic
Es el nombre comercial de un juego de cuatro en línea jugado en una matriz de 4×4×4, vendido
por Parker Brothers en la década de 1960. La caja original, y la reedición de 1972, describía el juego
como "un juego de cuatro en línea 3D de Parker Brothers".
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Los jugadores, por turnos, colocan sus piezas para intentar lograr una línea de 4 horizontalmente
o diagonalmente en uno de los niveles, o verticalmente en una columna o una línea diagonal a través
de los cuatro niveles.
Los cuatro niveles del tablero están hechos de plástico transparente (con un diseño simple para
los escaques en la versión original y con un diseño más original para la reedición 1972) y las piezas
son circulares, parecidas a las pequeñas fichas de póquer, color rojo, azul y amarillo. Cada jugador
utiliza un solo color. Las piezas pueden ser colocadas en cualquier espacio desocupado, en lugar de ser
apiladas en un lugar como en cuatro en línea tridimensional.
El juego ya no se fabrica.
Dos o tres jugadores pueden participar en el juego. En una partida de dos personas, el primer
jugador ganará, si hay dos jugadores óptimos. Hay 76 líneas ganadoras. Fue débilmente resuelto por
Eugene Mahalko en 1976, Oren Patashnik en 1980 y luego vuelto a resolver por Victor Allis usando la
búsqueda de prueba-número. Un juego de computadora 3D basado en un plóter fue escrito por Arthur
Hu y Carl Hu en 1975 en una HP-9830 en Lindbergh High School. Usaba 4 trapezoides apilados.
Más tarde fue portado a la cinta demo de HP 2647 con una interfaz gráfica, usando una simple
transformación matemática para resolver la posición de entrada 3D. También fue incluido en el
Microsoft Windows Entertainment Pack en la década de 1990 como parte de TicTactics .
Cuatro en raya tridimensional
Es otra variante muy conocida donde se trata de hacer cuatro en
raya en cualquiera de las tres dimensiones del espacio, pero con
intervención del efecto gravitatorio.
Este es uno de los juegos de inteligencia que ayuda al desarrollo de
la visión espacial. Es un juego para dos jugadores, fácil de aprender a
jugar, pero es muy difícil jugarlo verdaderamente bien.
Cuanto más se juega mejor se aprende a planear los movimientos y
a enfrentarse al adversario.
Se comienza jugando sobre un tablero vacío. Cada jugador elige su color. Cuando le llega el
turno, cada jugador coloca una bolita en el palo que desee. El jugador que logre colocar cuatro bolitas
en línea vertical, horizontal o diagonal, gana el juego. Si el jugador que ha logrado colocar cuatro
bolitas en línea no se ha declarado ganador antes de que el adversario lo haga, pierde el juego. Si todos
los dieciséis palos están llenos de bolitas sin que nadie se haya declarado ganador, el juego se
considera empatado.
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Tres en línea 3D
Es una creación de la española
CEFA Toys (NR. 04006). El juego se
compone de una bandeja, dos plataformas
transparentes, cuatro columnas y doce
bolas (cuatro colores). Es un juego de
lógica para dos, tres y cuatro jugadores de
siete a noventa años.
Antes de comenzar a jugar hay que
preparar el tablero. Coger una columna
roja e introducirla en la ranura de la
bandeja; a continuación, colocar las dos bandejas transparentes en la
misma columna en diferentes alturas. Realizar las mismas operaciones con las columnas restantes.
Una vez el juego montado girar las cuatro barras a 180º para que no se desmonte.
Cada jugador elegirá tres bolas del mismo color; el primer jugador colocará una de sus bolas en
el centro de cualesquiera de las bandejas; a continuación, y por turno,
cada jugador intentará formar tres en raya del mismo color en cualquiera
de los tres niveles. También se puede jugar a conseguir montar tres bolas
del mismo color en vertical o diagonal.
Ganará la partida el jugador que consiga colocar sus 3 bolas
formando tres en raya, tanto en vertical, horizontal o diagonal en
cualquiera de sus tres niveles, o vertical y diagonal si se juega al otro
nivel.
En estas otras variantes, el tablero toma forma de pirámide
escalonada.
Quixo
El juego del Quixo se realiza sobre un tablero en el que
se colocan 25 cubos (5 filas por 5 columnas). Cada cubo
presenta una cara con cruz, otra con círculo y otra sin figura o
neutra (de color claro, siendo las otras tres restantes de un
color oscuro).
Cada cubo se caracteriza por su cara superior, una vez
colocado en el tablero; al principio se colocan todos los cubos
con una cara neutra hacia arriba.
El objetivo del juego es crear una línea horizontal, vertical
o diagonal de 5 cubos con su marca.
Por sorteo se determina quien inicia y quien juega con las
cruces o con los círculos. Por turnos, cada jugador elige un cubo
y lo desplaza según las siguientes reglas:
Elección y retirada del cubo: El jugador elige y
retira un cubo neutro o con su marca de la
periferia del tablero. En la primera vuelta es
obligatorio retirar un cubo neutro. Nunca se
puede retirar un cubo con la marca del contrario.
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Cambio de marca del cubo: Ya se trate de un cubo neutro o con la marca del jugador,
siempre se colocará con la marca del jugador en la cara superior.
Colocación del cubo: El jugador coloca el cubo en uno de los extremos que elija de
las filas incompletas creadas al retirar los cubos: empuja el extremo y coloca el cubo.
Nunca se puede colocar el cubo en el lugar del que fue retirado.
El ganador es el jugador que crea y anuncia una línea de cubos con su marca.
Super Cuatro
Es un juego de la casa Borrás (Ref. 8971). Su lema
publicitario es: “Bloquea a tu adversario y consigue un
cuatro en fila.”
Es un intrigante juego de estrategia para dos
jugadores o equipos. Tiene como novedoso la aparición de
tarjetas o cartas y un tablero con coordenadas. El tablero
tiene 36 casillas ordenadas en seis filas (A, B, C, D, E, F) y
en seis columnas (1, 2, 3, 4, 5, 6). Contiene también 12
tarjetas, conteniendo cada una de ellas una letra o un
número de los indicados y 18 fichas rojas y 18 fichas
negras..
Los contrincantes pondrán a prueba su ingenio,
compitiendo con tarjetas de letras y tarjetas de números para ver
quién es el primero en conseguir con sus fichas un cuatro en fila
en posición horizontal, vertical o diagonal.
Super Cuatro es un juego dinámico, de fácil comprensión y
de alta participación por parte de los jugadores.
Cada jugador tomará un color de fichas y se decidirá
mediante el azar (con las tarjetas boca abajo) quién jugará con las
tarjetas de letras y quién utilizará las de números.
Loa colocación de las fichas sobre el tablero
será el resultado de la decisión secreta de ambos
jugadores, quienes simultáneamente mostrarán una de
sus tarjetas.
Una vez repartidas las fichas y las tarjetas, por
suerte (moneda o dado, pares o nones), se decide qué
jugador empezará la partida.
A continuación, cada jugador elegirá una de sus
tarjetas en secreto. Una del 1 a 6 para quien tenga las
de números, y una entre la A y la F para quien tenga las de letras. Seguidamente, se mostrarán ambas
tarjetas al mismo tiempo, situándolas cerca del tablero. El jugador en turno leerá ambos conceptos y
colocará su ficha en el cuadro correspondiente (A2, D3, F6, etc.).
Una vez colocada la ficha, los jugadores volverán a guardar sus cartas y elegirán en secreto la
carta para el próximo turno.
El juego finaliza cuando uno de los jugadores ha conseguido situar en línea de cuatro sus fichas,
obteniendo así un cuatro en fila. Puede darse el caso de que el juego termine en tablas, cuando
habiéndose ocupado todas las casillas del tablero, no se ha conseguido una línea de cuatro.
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Es un juego de coordenadas. Las cartas indicarán dónde debe ser jugada cada ficha. Como hay
dos grupos de cartas, sus combinaciones indicarán todas las casillas posibles en que jugar. Se elegirá
una pareja de ellas para realizar una jugada. Podría ser al azar o (las dos simultáneamente, estando en
dos montones boca abajo sobre la mesa) o con estrategia (las cartas se reparten y el que acaba de jugar
saca una carta que debe ser completada por otra carta del que le toca jugar).
Tac-Tic-Turn
Es un juego de 1987, original de Ned Strongin para Irwin
Games. Se juega en un tablero de 6 x 6, dividido en nueve piezas de 2 x
2. Además del tablero trae fichas de dos colores.
El objetivo es ser el primer jugador en poner 4, 5 o 6 fichas de su
color en una línea vertical, horizontal o diagonal. Hay tres versiones del
juego: poner 4 en una línea es bastante fácil, poner 5 es bastante difícil
y poner 6 es muy difícil.
La publicidad del juego indica: “Concéntrese en el
desplazamiento del adversario, ponga atención, él no tiene medio de
sostener la situación; si el adversario está ganando, usted se inclina sobre el tablero y con un pequeño
movimiento rápido de muñeca, gira el cuadro 90º y la partida es suya.”
Los jugadores colocan las fichas coloreadas sobre el tablero de juego por turno. Cada jugador,
durante su turno, a su elección, coloca una ficha o gira el cuadro 90º (solamente 90º) en el sentido de
las agujas del reloj, o al contrario, sin olvidar que el objetivo es el de poner 4, 5 o 6 de sus fichas en
línea.
Después de que un jugador ha girado un cuadro 90º, el otro jugador no puede volverlo a hacer.
Sin embargo, el adversario puede girar el cuadro otros 90º.
Cada vez que gire un cuadro, puede perder la ocasión de añadir otra de sus fichas en el tablero
de juego. En general, sólo hay que girar un cuadro para ganar o impedir que el adversario gane.
El primer jugador que pone (4, 5 o 6) fichas en una fila vertical horizontal o diagonal durante su
turno, gana.
Este juego es para personas de 5 años en adelante.
Tria
El juego consta de un tablero de 3 x 3 y seis cubos, 3 por
cada jugador. Las caras de cada cubo están marcadas con 6
símbolos.
Gana el juego quien consiga tres símbolos idénticos en fila
(horizontal, vertical o diagonal) independientemente del color
(claro, oscuro o mezcla).
Movimientos:
1.- Mover un cubo cualquiera (propio o del contrario) a un espacio libre, en cualquier dirección,
(incluso en diagonal) sin saltar sobre otro cubo ni cambiar la cara a la vista.
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2.- Girar un cubo propio en su sitio para obtener otro símbolo. No
puede girar el cubo del contrario.
Ningún jugador puede mover o girar el cubo que ha sido movido o
girado por el contrario en el turno anterior.
Y posiblemente (¡seguro!) existen más variantes de este tipo de juego.
Nosotros nos hemos limitado a presentar aquellos que conocemos de manera
directa. A tal fin, tal y como habíamos escrito en nuestro anterior artículo, ya
está disponible para visitar la exposición temporal de nuestra colección de juegos “Juegos de
alineamiento. Tres en raya y variantes” en el Aula de Juegos que la Sociedad “Isaac Newton” de
Profesores de Matemáticas posee en sus instalaciones de la Casa-Museo de la Matemática Educativa
en la ciudad de San Cristóbal de La Laguna. Es probable que en un corto tiempo esté disponible un
reportaje fotográfico de la exposición en la página de sinewton.org.
De esa forma, nuestros lectores que vivan en las cercanías podrán ver en vivo todo aquello que
exponemos en nuestros artículos. Dichas exposiciones irán cambiando de acuerdo con el contenido de
nuestros futuros artículos, de manera que siempre haya la posibilidad de ver juegos que, de otra
manera, sería casi imposible conocer de primera mano. Además de la exposición del Tres en raya, en
estos momentos también están disponibles para visitar tres pequeñas exposiciones temporales: “El
Dominó y sus variantes”, “Los solitarios de saltar y comer” y “los puzles secuenciales del tipo Rubik”.
Los juegos que hemos comentado en este artículo se pueden conseguir de muy diferentes
maneras. Algunos podremos fabricarlos fácilmente; requieren un tablero sencillo y fichas de cualquier
tipo. Otros pueden encontrarse en las jugueterías a módicos precios y algunos no tan módicos. Pero
hay muchos que ya están descatalogados y resultan prácticamente imposibles de encontrar, salvo que
busquen en tiendas virtuales de segunda mano como puedan ser Amazon o Ebay. Los que tenemos
nosotros fueron rastreados a lo largo de años en tiendas en trance de desaparecer o rebuscando restos
en almacenes a punto de cerrar. Debemos decir aquí que seguimos añorando la juguetería “La
Partidita”, en Santa Cruz de Tenerife, donde tantas novedades encontrábamos. Una pena su
desaparición.
En cuanto a la bibliografía existe una abundante cantidad de libros sobre estos juegos. Basta con
acercarse a Internet para encontrar artículos y tesis sobre Tres en Raya y sus variantes. Nosotros
hemos utilizado de manera primordial las propias instrucciones de los juegos. Y, claro está, todo el
material que a lo largo de los años hemos ido acumulando sobre los juegos de Alineamiento.
Como ven, un amplio mundo a partir de un juego simple. Esperamos que les haya gustado este
repaso sobre uno de los juegos más antiguos del mundo y su continua evolución.
Hasta el próximo
pues. Un saludo.
Club Matemático
N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 139-159
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales
Neus Muñoz Capitán
Pablo Vicente Monserrat
Gabriel Mateu García
Fco. Javier Prado Bayarri (Universitat Jaume I. España)
Fecha de recepción: 14 de marzo de 2019
Fecha de aceptación: 30 de octubre de 2019
Resumen Una de las áreas de las Matemáticas en la que los alumnos de secundaria tienen un menor
conocimiento y encuentran más dificultades para su aprendizaje es la estadística. En el
presente artículo se propone mejorar el conocimiento de la estadística mediante la
realización de actividades en las que el alumnado identifica su utilidad de forma práctica
y sencilla utilizando datos extraídos de situaciones cotidianas. En las diversas actividades
propuestas se trabajan aspectos tales como la toma de datos de varios tipos de variables
estadísticas, la elaboración de sus respectivas tablas de frecuencias y la representación de
los resultados. Además, se incluye el uso del R-Commander para la comprobación de los
cálculos y su representación estadística, así como el uso de la técnica de aprendizaje
cooperativo 1-2-4.
Palabras clave Actividades, aprendizaje cooperativo, estadística, secundaria, R-Commander.
Title Statistical activities for 4.º of ESO using actual data
Abstract One of the areas of Mathematics in which high school students have less knowledge and
find it more difficult to learn is statistics. This article proposes to improve the knowledge
of statistics by carrying out activities in which students identify their usefulness in a
practical and simple way using data extracted from everyday situations. In the various
activities proposed, aspects such as the collection of data from various types of statistical
variables, the elaboration of their respective frequency tables and the representation of
the results are worked on. In addition, it includes the use of the R-Commander for
checking the calculations and their statistical representation, as well as the use of the 1-2-
4 cooperative learning technique.
Keywords Activities, cooperative learning, statistics, high school, R-Commander.
1. Introducción
La estadística es una ciencia muy útil en el día a día y su conocimiento resulta esencial para
entender algunas situaciones cotidianas. Además, se aplica en profesiones de ámbito científico,
económico y social, entre otros.
Debido a su utilidad, la estadística se incluye en el temario de matemáticas durante toda la
educación secundaria con la finalidad de dar al alumnado una formación básica en esta materia.
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García, F. J. Prado Bayarri
140 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Una de las dificultades que se ha observado para su comprensión es que el alumnado en
ocasiones no entiende ni su utilidad ni su razonamiento y, además, se encuentra con mucha simbología
nueva. Asimismo, cabe destacar que habitualmente forma parte del último bloque de la programación
temporal, por lo que en muchas ocasiones se omite por la falta de tiempo.
Por todo ello, el presente trabajo tratar de potenciar la comprensión de la estadística mediante la
realización de actividades en las que el alumnado puede identificar su utilidad de forma muy sencilla
con datos extraídos de situaciones cotidianas. La resolución de los ejercicios se plantea de dos
maneras, tanto de forma tradicional como utilizando un software informático.
2. Descripción de la problemática
En primer lugar, cabe destacar que uno de los objetivos principales de la educación es formar a
los ciudadanos para que tengan una perspectiva crítica —que se cuestionen las cosas y, en la medida
de lo posible, que sean poco o nada manipulables— para lo cual la competencia matemática es muy
útil y, principalmente, la estadística, puesto que ayuda a que en la sociedad de la información en la que
vivimos el alumnado sea capaz de discernir si los datos que recibe están bien analizados, si las
conclusiones sobre los mismos que le son transmitidas son veraces y si las inferencias o previsiones
realizadas se pueden llevar a cabo. En este sentido, Batenero y Godino (2005) afirmaron que la
estadística ha sido un elemento relevante en el progreso de la sociedad, ya que dota de herramientas
para resolver problemas reales, tratar la información, diseñar óptimamente experimentos y estudios,
poder tomar decisiones más adecuadamente, fomentar la capacidad de comunicación y el trabajo en
equipo, etc. Asimismo, también señalan que su enseñanza se ha introducido cada vez en mayor medida
en los centros docentes tanto por su valor instrumental como por la importancia que tiene en la
sociedad de la información que está llena de situaciones de incertidumbre en las que hay que decidir
entre varias opciones.
En general, las matemáticas para los estudiantes de la Educación Secundaria Obligatoria (ESO)
resulta ser una asignatura difícil de comprender y muchos de ellos ya la comienzan con carencias en
esta área, llegando incluso a 4.º de la ESO con deficiencias en algún estándar de aprendizaje.
Habitualmente estas carencias se dan en los contenidos de las unidades didácticas programadas para
impartir en los últimos meses del curso. En muchas ocasiones se omite la explicación de estas por falta
de tiempo.
En cuanto a la estadística, se incluye dentro de los contenidos que el alumnado debe asimilar
desde el primer curso hasta el cuarto curso de la ESO. Además, para aquellos estudiantes que después
quieran cursar la asignatura de matemáticas en el Bachillerato, ya sea como optativa u obligatoria,
también es importante que adquieran unos buenos conocimientos de este bloque. Dicha importancia se
debe a que los conocimientos de estadística en este nivel educativo son bastante relevantes y requiere
de una base consolidada de los estándares de aprendizaje. Tal y como se puede corroborar en el Real
Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación
Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.
Ahora bien, uno de los problemas que se observa en el aprendizaje de la estadística es que
habitualmente cuando se organizan cronológicamente los estándares de aprendizaje a desarrollar con
el alumnado, este se deja para impartirlo al final del curso y, en numerosas ocasiones, no se suele
hacer por falta de tiempo o, en el caso en que se trabaje, se realiza de forma muy breve. Por lo tanto,
muchos estudiantes llegan al 4.º curso de la ESO con pocos conocimientos de estadística y,
obviamente, de su simbología —obstáculo didáctico—.
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García y F. J. Prado Bayarri
141 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
Al problema descrito en los párrafos anteriores se une también que generalmente al alumnado
de la ESO le cuesta comprender determinados conceptos estadísticos —obstáculo epistemológico—,
ya que no son capaces de vislumbrar su aplicación práctica en el momento en el que se les enseña
estadística porque se suele realizar de manera muy abstracta, sobre todo en edades tempranas; tal y
como señalaron Batanero, Godino, Green, Holmes y Vallecillos (1994).
Por otro lado, decir que el alumnado de secundaria, en la mayoría de los casos, no tienen claro
la utilidad que podrá tener la estadística en su futuro académico, profesional o personal. Aunque
conocerla, evidentemente, podría ser un elemento motivador en el aprendizaje de la misma. En ese
sentido cabe mencionar Batanero, Díaz, Contreras y Roa (2005) indicaron que: “(…) la enseñanza
actual transmite una estadística sin sentido para los estudiantes”. Además, Batanero (2000)
expuso que es importante tratar que el alumnado llegue a comprender y valorar el método estadístico
de manera que desarrolle una actitud favorable hacia su aprendizaje.
Finalmente, siguiendo a Batenero y Godino (2005), poner de relieve la importancia que tiene
como metodología de enseñanza de la estadística la experimentación con fenómenos aleatorios (real o
simuladamente). Aparte de ello, queremos indicar que usar el software estadístico R para el
aprendizaje de la estadística puede ser un elemento motivador, a lo que hay que añadir que es un
programa de código abierto y gratuito.
3. Objetivos del trabajo
Conocido el problema que presenta la estadística en la educación secundaria, el objetivo del
trabajo es facilitar el aprendizaje teórico de la estadística para que entiendan su utilidad aplicando los
conocimientos y conceptos vistos en clase mediante la realización de diversas actividades y ejercicios
por el alumnado.
Para alcanzar el objetivo general del trabajo se deben desarrollar los objetivos específicos que se
definen a continuación:
1. Acercar las matemáticas al entorno del alumnado.
2. Aprender estadística mediante la aplicación de la teoría a datos obtenidos por los alumnos.
3. Interpretar los resultados en gráficos estadísticos.
4. Comprender la manera en que funcionan los estudios estadísticos.
5. Aprender el manejo de un programa estadístico.
6. Comprobar los resultados estadísticos obtenidos mediante los cálculos realizados por los
alumnos con los que se consiguen con un programa informático.
7. Ser capaces de extraer conclusiones e inferir los datos de un estudio estadístico.
8. Acercar a la vida cotidiana los conceptos teóricos que estudian en clase de matemáticas.
9. Fomentar la adquisición de hábitos de trabajo en equipo cooperativo.
4. Competencias
Las competencias didácticas están definidas como las capacidades humanas que constan de
diferentes conocimientos, habilidades, pensamientos, carácter y valores de manera integral en las
distintas interacciones que tienen las personas para la vida en los ámbitos personal, social y laboral.
Se identifican claramente siete competencias clave según la Ley 8/2013, de 9 de diciembre, para
la mejora de la calidad educativas (LOMCE).
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142 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
4.1. Comunicación lingüística (CL).
Se refiere a la habilidad para utilizar la lengua, expresar ideas e interactuar con otras personas
de manera oral o escrita.
4.2. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT).
La primera alude a las capacidades para aplicar el razonamiento matemático para resolver
cuestiones de la vida cotidiana; la competencia en ciencia se centra en las habilidades para utilizar los
conocimientos y métodos científicos para explicar la realidad que nos rodea; y la competencia
tecnológica, en cómo aplicar estos conocimiento y métodos para dar respuesta a los deseos y
necesidades humanas.
4.3. Competencia digital (CDIG).
Implica el uso seguro y crítico de las TIC para obtener, analizar, producir e intercambiar
información.
4.4. Competencias sociales y cívicas (CSC).
Hacen referencia a las capacidades para relacionarse con las personas y participar de manera
activa, participativa y democrática en la vida social y cívica.
4.5. Conciencia y expresiones culturales (CEC).
Hace referencia a la capacidad para apreciar la importancia de la expresión a través de la
música, las artes plásticas y escénicas o la literatura.
4.6. Aprender a aprender (AA).
Es una de las principales competencias, ya que implica que el alumno desarrolle su capacidad
para iniciar el aprendizaje y persistir en él, organizar sus tareas y tiempo, y trabajar de manera
individual o colaborativa para conseguir un objetivo.
4.7. Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEE).
Implica las habilidades necesarias para convertir las ideas en actos, como la creatividad o las
capacidades para asumir riesgos y planificar y gestionar proyectos.
4.8. Aplicación en las actividades descritas en el presente trabajo de las 7 competencias clave.
En las actividades que se describen en el presente trabajo se intenta desarrollar las 7
competencias clave como se muestra en la tabla siguiente:
Aplicación en las actividades descritas en el presente trabajo de las7 competencias clave:
Comunicación lingüística
Comunicación escrita.
Utilizar la terminología estadística.
Vocabulario.
Competencia matemática y
competencias básicas en
ciencia y tecnología
Cálculos estadísticos.
Interpretar resultados y gráficos
Programa estadístico.
Analizar y extraer conclusiones a partir de unos datos estadísticos.
Competencia digital
Ordenador.
Calculadora.
Fuentes de información.
Competencias sociales y
cívicas
Códigos de conducta en clase.
Dominar los conceptos como media para analizar críticamente la
información recibida por la sociedad.
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143 Sociedad Canaria Isaac Newton
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Conciencia y expresiones
culturales
Manifestación artística.
Imaginación y creatividad.
Aprender a aprender
Interés y motivación.
Planteamiento de hipótesis.
Conocimiento sobre lo que sabe.
Evaluación del trabajo.
Sentirse protagonista del proceso.
Sentido de iniciativa y
espíritu emprendedor
Recogida de datos.
Tener iniciativa.
Pensamiento crítico.
Hacer evaluación y autoevaluación.
Tabla 1.
5. Destinatarios
Las actividades y ejercicios que se incluyen en el presente trabajo están destinada para el
alumnado de 4.º de la ESO de matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas.
Dicho alumnado ha superado los anteriores cursos de la ESO, por lo que se considera que tienen
unas nociones mínimas de las diferentes asignaturas, entre ellas la de matemáticas, aunque puede
ocurrir que algún alumno/a no haya superado las matemáticas de 3.º de la ESO. No obstante, en el
caso de haber alumnado con la asignatura de matemáticas suspendida del curso anterior, las
actividades se han diseñado para que puedan ser realizadas por todo el alumnado independientemente
de las dificultades que puedan tener en matemáticas.
Adicionalmente a lo anterior, comentar que los resultados se comprobarán en un programa
informático, por lo que es necesario que los alumnos posean unas nociones básicas en el manejo de
ordenadores. Estas nociones seguramente hayan sido adquiridas en la asignatura de informática o por
el propio alumnado fuera del centro educativo. En caso de que el alumnado no tenga adquiridas estas
nociones básicas, se dedicará una sesión adicional para trabajarlas.
6. Actividades
En este apartado se describen las actividades, se concretan los objetivos, se planifica su
temporalización y su evaluación.
Inicialmente, es necesario aclarar para el correcto desarrollo de las actividades, la necesidad del
alumnado de poseer unas nociones mínimas sobre la estadística. Por ello, el profesorado explicará la
unidad didáctica de estadística con anterioridad a la realización de las mismas y, asimismo, explicará
el criterio de evaluación de este bloque temático.
La estadística tiene por objeto el desarrollo de técnicas para el conocimiento numérico de un
conjunto de datos empíricos (recogidos mediante experimentos o encuestas). Según el colectivo a
partir del cual se obtenga la información y el objetivo que se persiga a la hora de analizar esos datos, la
estadística se llama descriptiva o inferencial.
La estadística descriptiva trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un
grupo dado (población) sin extraer conclusiones para un grupo mayor.
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144 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
La estadística inferencial trabaja con muestras y pretende, a partir de ellas “inferir”
características de toda la población. Es decir, pretende tomar como generales propiedades que solo se
han verificado para casos particulares.
En este trabajo se incluyen diferentes actividades que el alumnado debe realizar distribuidas en
diferentes sesiones tal y como se muestra en la tabla siguiente:
Actividad Número de sesiones
1. Toma de datos. 1
2. Análisis de datos. 2
3. Explicación y análisis de los datos mediante programa
informático. 2
4. Técnica 1, 2, 4. 1
5. Evaluación final de la actividad. 2
TOTAL SESIONES 8
Tabla 2.
6.1. Actividad 1: Toma de datos
6.1.1. Descripción
Esta actividad consistirá en recoger muestras representativas. Se toman datos de diferentes
variables. A continuación se detalla la manera de realizar la recogida de datos.
Variable cualitativa: El alumnado deberá de realizar una toma de datos de campo. Para ello todo
el alumnado sale del aula. Si fuese posible tener acceso visual desde el patio del centro sobre el tráfico,
se tomarán como datos el número de vehículos de cada color que pasen por una determinada calle
durante un tiempo determinado. Si no fuese posible, el alumnado realizará una salida.
Variable cuantitativa continua y discreta: Para la toma de datos de este tipo de variable, será
necesario realizar una salida del centro. El alumnado deberá medir la longitud de los bancos del
pueblo. Luego deberán estimar el aforo del banco. También pondrán en común con el resto de sus
compañeros el número de libros que han leído en el último mes. Con estos datos habrán de estimar si
son aficionados a la lectura.
El alumnado, al final de la clase, comparará y comprobará que todos disponen de los mismos
datos plasmándolos en la pizarra. De esta forma, podrán verificar entre ellos los resultados
posteriormente.
6.1.2. Objetivos
Como objetivos de esta actividad cabe destacar:
Motivar al alumnado utilizando situaciones reales y cercanas.
Acercar y conocer la estadística.
Interactuar con los compañeros.
Fomentar la adquisición de hábitos de trabajo en equipo.
6.1.3. Planificación temporal
Esta actividad se realizará durante una sesión (55 minutos).
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145 Sociedad Canaria Isaac Newton
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6.1.4. Evaluación
El profesorado se asegurará del correcto desarrollo de la actividad mediante observación.
Prestará atención a la actitud y participación del alumnado.
6.2. Actividad 2: Análisis de datos
6.2.1. Descripción
En esta sesión el alumnado realizará una tabla de frecuencias con los datos recopilados en la
sesión anterior, teniendo en cuenta los diferentes tipos de variables estadísticas. Además, se realizará
una representación mediante gráficos estadísticos de los diferentes tipos de variables.
A continuación se muestran los tres ejercicios planteados con los datos obtenidos y su solución.
6.2.1.1. Ejercicio resuelto para variable cualitativa.
Enunciado
Una conocida marca de coches ha elaborado un nuevo modelo que va a poner a la venta durante
el próximo año. Se requiere saber cuál es el color más demandado por la población para poder llegar al
consumidor y ganar cuota de mercado. Por tanto, se habrá realizado un estudio de campo para
determinar este dato (ver apartado 6.1), obteniéndose los siguientes datos:
Color Amarillo Azul Blanco Gris Negro Otros Plata Rojo
Coches 3 5 25 9 11 6 7 4
Tabla 3.
1. Elabora la tabla de frecuencias completa.
2. Calcula el porcentaje de cada color.
3. Di cuál es la moda.
4. Calcula la media y la varianza. Razona la respuesta.
5. Construye el diagrama de barras de frecuencias absolutas.
6. Construye el diagrama de sectores de frecuencias absolutas.
Solución:
𝒙𝒊 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝑵𝒊 𝑭𝒊 % Grados
Amarillo 3 0’043 3 0’043 4’3 15’5
Azul 5 0’071 8 0’114 7’1 25’56
Blanco 25 0’357 33 0’471 35’7 128’52
Gris 9 0’129 42 0’600 12’9 46’44
Negro 11 0’157 53 0’757 15’7 56’52
Otros 6 0’086 59 0’843 8’6 30’96
Plata 7 0’100 66 0’943 10’0 36
Rojo 4 0’057 70 1’00 5’7 20’52
TOTAL 70 1 - - 100 360
Tabla 4.
La moda es el color más repetido, por tanto, será el que mayor frecuencia absoluta tenga:
𝑛𝑖 𝑚á𝑥 → 𝑛𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜 = 25 → 𝑀𝑜 = 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜
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En este caso no se puede calcular la media y la varianza, ya que se trata de una variable
cualitativa.
Figura 1.
6.2.1.2. Ejercicio resuelto para variable cuantitativa continua.
Enunciado
La alcaldesa de nuestro municipio ha lanzado una iniciativa en la cual se quiere instalar unos
bancos nuevos para uso y disfrute de todo el pueblo. Para asegurarse que no malgastan el dinero en
asientos nada útiles por su poco aforo, deciden realizar un estudio. En él se determinará la longitud de
los bancos existentes y el aforo que estos tienen. Se obteniéndose los siguientes datos:
Longitud de los bancos de la localidad en cm:
157 160 163 173 156
174 159 163 154 168
160 150 161 157 155
162 155 156 157 170
160 157 165 150 180
Tabla 5.
1. Elabora la tabla de frecuencias.
2. Añade a la tabla de frecuencias una columna en la que se indiquen los porcentajes.
3. Halla la media aritmética.
4. Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
5. Construye el histograma de frecuencias absolutas.
6. Construye el diagrama de sectores de frecuencias absolutas.
Solución:
𝑳𝒊−𝟏 − 𝑳𝒊 𝑪𝒊 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝑵𝒊 𝑭𝒊 % 𝑪𝒊 ⋅ 𝒏𝒊 𝒏𝒊 ⋅ 𝑪𝒊𝟐 Grados
(150, 156] 153 5 0’20 5 0’20 20 765 117045 72
(156, 162] 159 11 0’44 16 0’64 44 1749 278091 158’4
(162, 168] 165 4 0’16 20 0’80 16 660 108900 57’6
(168, 174] 171 3 0’12 23 0’92 12 513 87723 43’2
(174, 180] 177 2 0’08 25 1’00 8 354 62658 28’8
Total - 25 1’00 - - 100 4041 654417 360
Tabla 6.
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147 Sociedad Canaria Isaac Newton
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Media aritmética:
�̅� =∑ ni
𝑛𝑖=1 × 𝐶𝑖
𝑛=
4041
25= 161,64
Varianza:
𝑉𝑎𝑟 =∑ ni
𝑛𝑖=1 × Ci
2
𝑛− �̅�2 =
654417
25− 161,642 = 49,19
Desviación típica: σ = √Var = 7,01
Coeficiente de variación: C. V. =σ
�̅�=
7′01
161′64= 0′043
Figura 2.
6.2.1.3. Ejercicio resuelto para variable cuantitativa discreta.
Enunciado:
Actualmente las nuevas teconogías ocupan buena parte de nuestro tiempo de ocio, desplazando
a un segundo plano otras actividades más beneficiosas como puede ser la lectura. En el instituto se está
debatiendo si aplicar un proyecto que fomente la lectura o no es necesario. Para ello, se realiza un
estudio en una clase de 4º de Eso sobre la cantidad de libros leídos en el último mes:
Cantidad de libros leídos en el último mes por el alumnado de 4º
de ESO:
4 3 3 4 4 3
2 4 3 4 3 3
5 4 4 5 3 6
2 4 4 4 3 4
Tabla 7.
1. Obtener la tabla de frecuencias completa.
2. ¿Qué porcentaje existe en la muestra?
3. Indica el porcentaje del alumnado cuya lectura ha sido inferior a 5 libros.
4. Calcula la mediana, la moda y la media.
5. Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
6. Representa las frecuencias en un diagrama de barras.
7. Representa las frecuencias en un diagrama de sectores.
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Solución:
𝐱𝐢 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝑵𝒊 𝑭𝒊 % 𝑪𝒊 ⋅ 𝒏𝒊 𝒏𝒊 ⋅ 𝑪𝒊𝟐 Grados
2 2 0’08 2 0’08 8,3 4 8 30
3 8 0’33 10 0’41 33,33 24 72 120
4 11 0’46 21 0’87 45,83 44 176 165
5 2 0’08 23 0’95 8,3 10 50 30
6 1 0’04 24 0’99 4,16 6 36 15
Total 24 0’99 - - - 88 342 360
Tabla 8.
Figura 3.
Porcentaje del alumnado cuya lectura ha sido inferior a 5 libros.
(𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3) × 100 = 87%
Mediana 24
2= 12.
Buscamos el valor que ocupa la posición número 12 en la tabla de frecuencias
𝐹4 = 12 → 𝑥𝑖 = 4 → 𝑀𝑒 = 4
Moda
Es el valor más repetido en el muestreo:
ni máx → n4 = 4 → M0 = 4
Media
�̅� =∑ ni
𝑛𝑖=1 × 𝐶𝑖
𝑛=
88
24= 3,67
Varianza
𝑉𝑎𝑟 =∑ ni
𝑛𝑖=1 × Ci
2
𝑛− �̅�2 =
342
24− 3,672 = 0,81
Desviación típica
σ = √Var = 0,9
Coeficiente de variación C. V. =σ
�̅�=
0,9
3,67= 0,24
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6.2.2. Objetivos
Los objetivos para esta sesión son:
Realizar un análisis estadístico.
Aprender estadística mediante la aplicación de la teoría a datos obtenidos por los alumnos.
Interpretar los resultados en gráficos estadísticos.
Comprender de la manera en que funcionan los estudios estadísticos.
Ser capaces de extraer conclusiones e inferir los datos de un estudio estadístico.
Acercar conceptos teóricos que estudian en clase a la vida cotidiana.
6.2.3. Planificación temporal
Se utilizarán un total de dos sesiones para la realización de los diferentes estudios estadísticos
de las variables. Se realizará íntegramente en clase. En caso de no terminar la actividad en las dos
sesiones previstas el alumnado tendrá la opción de terminar o repasar la actividad en horario fuera de
clase. En la siguiente sesión se dedicaría una parte a verificar que los resultados obtenidos son
correctos.
6.2.4. Evaluación
En este caso no se realizará ninguna evaluación de los resultados. La evaluación realizada por
parte del profesorado consistirá en observación directa.
6.3. Actividad 3: Análisis de datos mediante R-Commander
6.3.1. Descripción
En esta actividad se pretenden comparar los resultados obtenidos en los cálculos de la actividad
anterior con los resultados que nos daría el programa R-Commander.
El programa R tiene una doble naturaleza: es un programa y también un lenguaje de
programación. También es de los más utilizados en la investigación científica. R-Commander es una
interfaz gráfica para la programación en R, especialmente utilizado en estadística.
Antes de resolver los casos propuestos, el profesorado utilizará una sesión para explicar el
funcionamiento y las herramientas de R-Commander con la resolución de ejemplos sencillos.
A continuación, se muestran los ejercicios planteados y resueltos anteriormente —con alguna
pequeña variación— con el programa R-Commander.
6.3.1.1. Ejercicio resuelto para variable cualitativa.
Enunciado:
Una conocida marca de coches ha elaborado un nuevo modelo que va a poner a la venta durante
el próximo año. Se requiere saber cuál es el color más demandado por la población para poder llegar al
consumidor y ganar cuota de mercado. Por tanto, se habrá realizado un estudio de campo para
determinar este dato (ver apartado 6.1), obteniéndose los siguientes datos:
Color Amarillo Azul Blanco Gris Negro Otros Plata Rojo
Coches 3 5 25 9 11 6 7 4
Tabla 9.
1. Elabora la tabla de frecuencias completa.
2. Calcula el porcentaje de cada color.
3. Di cuál es la moda.
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García, F. J. Prado Bayarri
150 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
4. Calcula la media y la varianza. Razona la respuesta.
5. Construye el diagrama de barras de frecuencias absolutas.
6. Construye el diagrama de sectores de frecuencias absolutas.
Solución:
El primer dato que vamos a obtener es la tabla de frecuencias. En R-Commander se obtiene la
frecuencia absoluta y la frecuencia relativa multiplicada por cien.
Figura 4.
Como el dato que nos da el programa es la frecuencia absoluta, de aquí podemos sacar la moda
que es el color que más se repite. El color Blanco.
Variable Amarillo Azul Blanco Gris Negro Otros Plata Rojo
𝒏𝒊 3 5 25 9 11 6 7 4
Tabla 10.
El programa nos da el dato del porcentaje. Para sacar la frecuencia relativa, dividiremos el dato
obtenido en el programa entre 100. Así pues, obtenemos que las frecuencias relativas son:
Variable Amarillo Azul Blanco Gris Negro Otros Plata Rojo
% 4,29% 7,14% 35,71% 12,86% 15,71% 8,57 % 10% 5,71%
𝒇𝒊 0,0429 0,0715 0,3571 0,1286 0,1571 0,0857 0,1 0,0571
Tabla 11.
Puesto que se trata de una variable cualitativa el programa no permite el cálculo de la media y la
mediana ya que no tiene.
Por último elaboramos los gráficos:
Figura 5.
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García y F. J. Prado Bayarri
151 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
6.3.1.2. Ejercicio resuelto para variable cuantitativa continua.
Enunciado
La alcaldesa de nuestro municipio ha lanzado una iniciativa en la cual se quiere instalar unos
bancos nuevos para uso y disfrute de todo el pueblo. Para asegurarse que no malgastan el dinero en
asientos nada útiles por su poco aforo, deciden realizar un estudio. En él se determinará la longitud de
los bancos existentes y el aforo que estos tienen. Se obteniéndose los siguientes datos:
Longitud de los bancos de la localidad en cm:
157 160 163 173 156
174 159 163 154 168
160 150 161 157 155
162 155 156 157 170
160 157 165 150 180
Tabla 12.
1. Elabora la tabla de frecuencias.
2. Añade a la tabla de frecuencias una columna en la que se indiquen los porcentajes.
3. Halla la media aritmética.
4. Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
5. Construye el histograma de frecuencias absolutas.
6. Construye el diagrama de sectores de frecuencias absolutas.
Solución:
Obtenemos la tabla de frecuencias. R-Commander solo realiza tablas de frecuencias para datos
cualitativos o categóricos. Puesto que en este caso se tratan de grupos numéricos, tenemos que
agruparlos en intervalos. Hacemos cinco intervalos.
Figura 6.
El dato que nos da el programa es la frecuencia absoluta, de aquí podemos sacar la moda que es
la longitud que más se repite. El intervalo (156, 162].
Variable (152 , 158] (158 , 164] (164 , 170] (170 , 176] (176 , 182]
𝒏𝒊 5 11 4 3 2
Tabla 13.
La frecuencia relativa nos la da multiplicada por cien, por lo tanto la hallamos dividiendo los
valores que nos da por 100. Obtenemos que las frecuencias relativas son:
Variable (152 , 158] (158 , 164] (164 , 170] (170 , 176] (176 , 182]
% 20% 44% 16% 12% 8%
𝒇𝒊 0,20 0,44 0,16 0,12 0,08
Tabla 14.
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García, F. J. Prado Bayarri
152 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
A continuación, calcularemos la media, la mediana y la desviación típica. Para ello debemos
obtener un resumen de todos estos datos.
Figura 7.
El valor denominado “mean” corresponde a la media aritmética:
�̅� = 161,64 𝑐𝑚
Para calcular la mediana hay que fijarse en el percentil 50%, ya que este coincide con la
medianaMediana = 160 cm
La desviación típica viene dada por sd
σ = 7,05
Para sacar la varianza únicamente deberemos elevar al cuadrado la desviación típica:
𝜎2= 49,7025
Por último elaboramos los gráficos:
Figura 8.
6.3.1.3. Ejercicio resuelto para variable cuantitativa discreta.
Enunciado:
Actualmente las nuevas teconogías ocupan buena parte de nuestro tiempo de ocio, desplazando
a un segundo plano otras actividades más beneficiosas como puede ser la lectura. En el instituto se está
debatiendo si aplicar un proyecto que fomente la lectura o no es necesario. Para ello, se realiza un
estudio en una clase de 4º de Eso sobre la cantidad de libros leídos en el íltimo mes:
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García y F. J. Prado Bayarri
153 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
Cantidad de libros leídos en el último mes por el alumnado de 4º
de ESO:
4 3 3 4 4 3
2 4 3 4 3 3
5 4 4 5 3 6
2 4 4 4 3 4
Tabla 15.
1. Obtener la tabla de frecuencias completa.
2. ¿Qué porcentaje existe en la muestra?
3. Indica el porcentaje del alumnado cuya lectura ha sido inferior a 5 libros.
4. Calcula la mediana, la moda y la media.
5. Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
6. Representa las frecuencias en un diagrama de barras.
7. Representa las frecuencias en un diagrama de sectores.
Resolución:
El primer dato que vamos a obtener es la tabla de frecuencias. R-Commander solo realiza tablas
de frecuencias para datos cualitativos o categóricos. Puesto que en este caso se tratan de grupos
numéricos, tenemos que definir los grupos. De hacemos cinco grupos, lectura de dos, tres, cuatro,
cinco o seis libros. El programa, nos da la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa multiplicada por
cien.
Figura 9.
El dato que nos da el programa es la frecuencia absoluta, de aquí podemos sacar la moda que es
número de libros leidos que más se repite. El en este caso, la moda es que el alumnado lea cuatro
libros.
Nº miembros 2 3 4 5 6
𝒏𝒊 2 8 11 2 1
Tabla 16.
La frecuencia relativa nos la da multiplicada por cien, por lo tanto vale con dividirla para sacar
el valor. Obtenemos que las frecuencias relativas son:
Nº miembros 2 3 4 5 6
% 8% 33% 46% 8% 4%
𝒇𝒊 0,8 0,33 0,46 0,8 0,4
Tabla 17.
A continuación, calcularemos la media, la mediana y la desviación típica. Para ello debemos
obtener un resumen de todos estos datos.
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García, F. J. Prado Bayarri
154 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Figura 10.
El valor denominado “mean” corresponde a la media aritmética:
�̅� = 3,67
Para calcular la mediana hay que fijarse en el percentil 50%, ya que este coincide con la
medianaMediana = 4
La desviación típica viene dada por sd
σ = 0,91
Para sacar la varianza únicamente deberemos elevar al cuadrado la desviación típica:
𝜎2 = 0,8281
Por último elaboramos los gráficos:
Figura 11.
6.3.2. Objetivos
Los objetivos para las actividades propuestas son:
Interpretar los resultados en gráficos estadísticos.
Comprender de la manera en que funcionan los estudios estadísticos.
Aprender el manejo de un programa estadístico.
Comprobar los resultados estadísticos obtenidos mediante los cálculos realizados por los
alumnos con los que se consiguen con un programa informático.
Ser capaces de extraer conclusiones e inferir los datos de un estudio estadístico.
Acercar conceptos teóricos que estudian en clase a la vida cotidiana.
6.3.3. Planificación temporal
Se utilizarán un total de 3 sesiones (55 minutos por sesión), incluyendo una sesión para que el
alumnado conozca la programación en R.
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García y F. J. Prado Bayarri
155 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
6.3.4. Evaluación
La evaluación del correcto funcionamiento de la actividad será realizada por el propio alumnado
mediante la comparación de los resultados obtenidos en las actividades 2 y 3. Posteriormente, también
se realiza esta evaluación a través de los diferentes grupos cooperativos con la técnica 1-2-4.
6.4. Actividad 4: Técnica 1, 2, 4
6.4.1. Descripción
Una vez comparados los resultados de las dos actividades anteriores individualmente. El
alumnado trabajará en equipo cooperativamente de la forma 1-2-4 para contrastar los resultados
obtenidos entre los compañeros.
La técnica de aprendizaje cooperativo 1-2-4 es aconsejable a la hora de proyectar un trabajo
práctico realizado en el aula. En primer lugar, un alumno trabaja de forma individual hasta alcanzar la
solución. En segundo lugar, se colocan en grupo de dos. Estos dos alumnos intercambian sus
respuestas y comentan las diferencias entre ellos hasta alcanzar un acuerdo y resolver las posibles
dudas aparecidas entre ellos. Finalmente, en tercer lugar se forma un equipo de cuatro alumnos, es
decir, la unión de un grupo de dos con otro grupo de dos, que comentan los resultados entre ellos hasta
consensuar los resultados a los ejercicios propuestos.
A esta actividad dedicaremos 10 minutos de las sesiones anteriores con la intención que el
alumnado lleve a cabo un aprendizaje cooperativo desde la primera sesión y pueda debatir los
resultados a medida que los va obteniendo.
6.4.2. Objetivos
Los objetivos para esta actividad son:
Fomentar la adquisición de hábitos de trabajo en equipo.
Trabajar de forma cooperativa y tomar decisiones conjuntas.
6.4.3. Planificación temporal
Se utilizará parte de las sesiones destinadas a elaborar las actividades anteriores (10 minutos)
para poner en práctica esta técnica.
6.4.4. Evaluación
La evaluación del correcto funcionamiento de la actividad será realizada por el propio alumnado
mediante la comparación de los resultados obtenidos en las actividades 2 y 3, a su vez el profesorado
observará el funcionamiento de cada uno de los grupos.
6.5. Actividad 5: Prueba final
6.5.1. Descripción
Se realizará una prueba final individual al alumnado en el que se evaluarán las destrezas
adquiridas durante el proyecto. Para la prueba final el alumnado dispondrá de todo tipo de material
que considere necesario (libros, apuntes, calculadoras, etc.). El profesorado distribuirá al alumnado en
el aula de forma individual para la realización de la prueba que deberán entregar al final de la sesión
con los ejercicios resueltos.
A continuación se muestran los ejercicios propuestos para la prueba final:
Ejercicio 1
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156 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Los alumnos de 3.º ESO quieren participar en un concurso en el cual pueden ganar un viaje de
fin de curso. El concurso está propuesto por una conocida marca de material escolar y los alumnos
participantes deberán diseñar un nuevo modelo de mochila.
Para establecer el color predominante de la mochila han realizado una encuesta en su instituto
entre los alumnos de su mismo nivel académico. En ella se les preguntaba el color de su mochila,
obteniéndose los siguientes datos:
Color Verde Azul Marrón Gris Negro Otros Granate Rojo
Coches 5 21 19 8 15 6 4 7
Tabla 18.
1. Elabora la tabla de frecuencias completa.
2. Añade a la tabla de frecuencias una columna en la que se indiquen los porcentajes de cada
color.
3. Di cuál es la moda.
4. Construye el diagrama de barras de frecuencias absolutas.
5. Construye el diagrama de sectores de frecuencias absolutas.
6. Atendiendo a los cálculos realizados, ¿qué color será el elegido como predominante?
Ejercicio 2
Se ha preguntado los pesos propios al alumnado de un curso de 4.º de la ESO, siendo estos los
que figuran en la siguiente tabla en kilogramos:
Peso del alumnado en Kg de un curso de 4º de ESO:
59 65 52 57 58
64 61 65 60 55
52 53 63 59 64
53 57 58 59 72
62 51 67 62 75
Tabla 19.
1. Elabora la tabla de frecuencias, incluyendo la marca de clase y el porcentaje para cada
intervalo.
2. Calcula la media aritmética.
3. Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
4. Construye el histograma de frecuencias absolutas.
5. Construye el diagrama de sectores de frecuencias absolutas.
Ejercicio 3
En la jornada de la liga de fútbol del pasado fin de semana en primera y segunda división se han
marcado en cada uno de los partidos los goles que se reflejan en la siguiente tabla:
Goles de los partidos de primera y segunda división
2 4 3 3 1 1 3
2 2 1 1 1 2 1
2 3 3 2 2 3 4
Tabla 20.
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1. Elabora la tabla de frecuencias, incluyendo la marca de clase y el porcentaje para cada
intervalo.
2. Indica el porcentaje de partidos en los que se metieron 2 goles.
3. Di el porcentaje de partidos en los que se metieron 3 o menos goles.
4. Calcula la media aritmética.
5. Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
6. Construye el histograma de frecuencias absolutas.
7. Construye el diagrama de sectores de frecuencias absolutas.
6.5.2. Objetivos
Los objetivos para esta sesión son:
Comprobar que el alumno ha comprendido el funcionamiento de los análisis estadísticos.
Determinar la capacidad del alumnado de utilizar el conocimiento y aplicar procedimientos.
Trabajar de forma individual.
6.5.3. Planificación temporal
Se realizará la prueba durante 1 sesión (55 minutos).
6.5.4. Evaluación
El profesor corregirá y calificará de 0 a 10 la prueba final y se asignará esta nota obtenida al
tema de estadística del curso académico.
7. Evaluación de las actividades
La evaluación de todo el conjunto de actividades propuestas consistirá en una evaluación inicial
que se llevará a cabo por observación durante las sesiones previas a las actividades. Durante estas
sesiones, el profesorado verá el nivel del alumnado antes de realizar las actividades descritas en el
presente trabajo. Estos conocimientos iniciales, se compararán con una prueba final. Con su
evaluación se determinará el grado de aprovechamiento de las actividades.
También se evaluará mediante una evaluación formativa la progresión de los estudiantes. Para
la realización de la evaluación formativa, el profesorado observará el trabajo del alumnado para ver
cómo toma los datos y realiza los cálculos, a la vez que evalúa su comportamiento y participación en
la tarea.
De ambas evaluaciones se obtendrá una nota final, será la correspondiente a la unida didáctica y
mediará con las demás notas obtenidas de las unidades didácticas desarrolladas en la tercera
evaluación.
Además se evaluará internamente el conjunto de actividades con un cuestionario al alumnado
participante con el fin de saber sus impresiones y su grado de satisfacción (Anexo 1).
Bibliografía
Batanero, C. (2000). ¿Hacia dónde va la educación estadística? Blaix, 15(2), 13.
Batanero C., Díaz C., Contreras J. M., Roa R. (2013). El sentido estadístico y su desarrollo. Números.
Revista de Didáctica de las Matemáticas, 83, pp. 7-12.
Batanero, C. y Godino, J. D. (2005). Perspectivas de la educación estadística como área de
investigación. En R. Luengo (Ed.). Líneas de investigación en Didáctica de las Matemáticas (pp.
203-226). Badajoz: Universidad de Extremadura.
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158 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Batanero, C., Godino, J. D., Green, D. R., Holmes, P., & Vallecillos, A. (1994). Errores y dificultades
en la comprensión de los conceptos estadísticos elementales. International Journal of Mathematics
Education in Science and Technology, 25(4), 527-547.
Fragueiro Barreiro, M., Muñoz Prieto, M., & Soto Fernández, J. (2013). «1-2-4». Una técnica de
aprendizaje cooperativo sencilla aplicada al área de Conocimiento del medio natural, social y
cultural. Innovación educativa, 0(22).
Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejor de la calidad educativa (LOMCE) (de 10 de
diciembre). Boletín oficial del estado. Núm. 295 (97585-97924). Madrid.
Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE) (de 4 de mayo). Boletín oficial del estado.
Núm. 103. (17158-17207). Madrid.
Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la
Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato (de 3 de enero de 2015). Boletín Oficial del
Estado. Núm. 3 (169-546). Madrid.
Anexo 1
CUESTIONARIO / ENCUESTA ALUMNADO
ACTIVIDADES ESTADÍSTICAS PARA 4.º ESO UTILIZANDO DATOS REALES
Por favor, indica el grado de acuerdo con cada una de las preguntas.
1 (Totalmente en desacuerdo) – 2 – 3 – 4 – 5 (Totalmente de acuerdo)
AFIRMACIONES 1 2 3 4 5
Las actividades realizadas me han servido para consolidar los
conocimientos de estadística.
Comprobar/ Resolver los ejercicios a través del R-
Commander me ha resultado interesante.
Gracias a la realización de las actividades me he dado cuenta
de que la estadística tiene importantes aplicaciones prácticas
en la vida real.
Considero que los conocimientos adquiridos de estadística y
R-Commander me pueden ser de utilidad en un futuro
(estudios, vida profesional, etc.).
El profesor ha resuelto mis dudas para poder finalizar las
actividades adecuadamente.
Pienso que trabajar en equipo ha sido útil para que la tarea se
haya llevado a cabo adecuadamente.
Me siento satisfecho de las relaciones con mis compañeros
durante la realización de las actividades.
En general, me ha gustado realizar las actividades.
Tabla 21.
Actividades estadísticas para 4.º de la ESO utilizando datos reales N. Muñoz Capitán, P. Vicente Monserrat, G. Mateu García y F. J. Prado Bayarri
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Neus Muñoz Capitán. Nacida el 15/06/1990 en Valencia. Grado en Arquitectura Técnica. Máster
Universitario en Eficiencia Energética y Sostenibilidad por la Universidad Jaume I. Email:
neuscapi@gmail.com
Pablo Vicente Monserrat. Nacido el 28/03/1991 en Castellón. Ingeniero Industrial por la Universidad
Jaume I. Email: pvicentemon@gmail.com
Gabriel Mateu García. Nacido el 08/06/1984 en la Vall d’Uixó (Castellón). Licenciado en Ingeniería
Industrial (Universidad Jaume I). En la actualidad es director y profesor en AcadèmiaTecniCiència en la
Vall d’Uixó. Email: academiatecniciencia@gmail.com
Fco. Javier Prado Bayarri. Ingeniero Técnico Industrial (Especialidad: Mecánica) e Ingeniero Industrial
(Bloque intensificación: Medio Ambiente) por la Universidad Politécnica de Valencia.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 161-184
Aproximación didáctica a las matemáticas
a través de la programación en R
Javier Calahorra Tovar
Teresa Aguilar Ávila
Samuel Diciembre Sanahuja
Daniel Sanchiz Rubert
(Universidad Jaume I)
Fecha de recepción: 14 de marzo de 2019
Fecha de aceptación: 30 de octubre de 2019
Resumen Distintas fuentes bibliográficas consultadas nos aportan evidencias sobre la falta de
reflexión y las deficiencias en el aprendizaje de determinados conceptos matemáticos, así
como de la falta de formación académica sobre la programación informática. El objetivo
de este artículo de innovación educativa es mejorar el aprendizaje de las matemáticas de
una forma visual e intuitiva mediante el uso del lenguaje de programación R, al mismo
tiempo que también se inicia al alumnado en el mundo de la programación informática.
El destinatario del proyecto formativo es el alumnado de primero de Bachillerato en la
asignatura Matemáticas I. Se ha diseñado un seminario por cada trimestre: posición
relativa entre 2 rectas, concepto de límite y concepto de integral.
Palabras clave innovación, comprensión, programación, R, matemáticas, posición relativa entre rectas,
concepto de límite, cálculo integral.
Title Didactic approach to mathematics through programming in R
Abstract Several bibliographic sources have provided us with strong evidence about the lack of
real learning in certain abstract mathematic concepts and in the field of computer
programming. The final goal of this educative innovation project is to improve the
mathematics apprenticeship in an intuitive and visual way by using the programming
software R, while initiating the students in the field of mathematics programming. Our
project is aimed to the students at 1.0 Bachillerato level and the Matemáticas I subject.
We have designed a group of three different seminars for the subject: Relative position of
two lines in the plane, concept of limit and concept of integral calculus.
Keywords innovation, understanding, programming, R, mathematics, position of two lines in the
plane, concept of limit, integral calculus.
1. Descripción de la problemática
Con este trabajo pretendemos abordar cuatro problemáticas que se han detectado por los autores
en la asignatura de Matemáticas I de primero de Bachillerato en los centros de la provincia de
Castellón IES El Caminàs (Castellón de la Plana), IES Almenara (Almenara) y Centro Privado de
Enseñamiento Illes Columbretes y IES Jaume I (Burriana):
Aproximación didáctica a las matemáticas a través de la programación en R J. Calahorra Tovar, T. Aguilar Ávila, S. Diciembre Sanahuja, D. Sanchiz Rubert
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1. Una parte del alumnado no es capaz de asimilar conceptos complejos como el de límite,
derivada, integral… Limitándose a superar la asignatura sin entender de una forma intuitiva
dichos conceptos:
“no todo el alumnado es capaz de identificar algunas imágenes mentales
sobre el concepto de límite (aproximación gráfica, aproximación estimada, el
límite como valor de la función en un punto y el límite considerado como un
algoritmo de cálculo)”. (Contreras, García y Font, 2012).
La investigación que se presenta pretende explicar de qué forma se puede llegar a la
presencia de este tipo de imágenes mentales en los alumnos y alumnas como resultado del
proceso de instrucción.
2. La mayor parte del alumnado inicia carreras universitarias de índole científica sin ningún
tipo de formación académica sobre la programación informática. Además:
“los sistemas educativos deben preparar a nuestros jóvenes para vivir en el
mundo digital, para lo cual deben de dominar un nuevo lenguaje sin el que se
convertirían en analfabetos digitales. Por tanto, en la escuela no debemos
formar únicamente en alfabetismo lingüístico y numérico, sino también en
alfabetización digital”. (Llorens, José, Molero y Vendrell, 2017).
No obstante, en dicho artículo se afirma que se confunde el objetivo de alfabetización
digital y, a la hora de realizar el cambio necesario en los niveles educativos, se intenta hacer
hueco a la informática como asignatura para enseñar a programar con el fin de que el resto
de las asignaturas no cambien. Además, los viejos contenidos se ven más constreñidos por
los nuevos contenidos curriculares
3. También se puede detectar, en parte del alumnado, una deficiencia en la capacidad del
pensamiento abstracto que limita un aprendizaje profundo de las matemáticas:
“aunque no sea posible establecer una distinción clara entre las Matemáticas
elementales y avanzadas, sí se pueden señalar algunos rasgos definitivos, uno
de los cuales es la complejidad de los contenidos y la forma de controlarla;
los procesos más potentes son aquellos que permiten este control, en
particular la representación y abstracción. Además, el éxito en Matemáticas
se puede relacionar con la riqueza y la flexibilidad de las representaciones
mentales de los conceptos matemáticos”. (Azcárate, Camacho y Sierra,
1999).
4. Por último, también existe una necesidad de fomentar la reflexión sobre los ejercicios a
realizar y la creatividad reforzando, de esta forma, el concepto de autoformación:
“Estimular la formación de preguntas abiertas es esencial para desarrollar la
creatividad y la capacidad de investigación. (…) Algunas innovaciones
institucionales: diseño de planes de estudios considerando el aprendizaje de
las matemáticas más allá de los contenidos: procesos de pensamiento
matemático, creatividad, conexiones intramatemáticas e interdisciplinares y
contribución a la capacidad de autoaprendizaje”. (Malaspina, 2013).
2. Objetivos del proyecto
El objetivo a alcanzar en este artículo de investigación es mejorar el aprendizaje de las
matemáticas, especialmente de aquellos conceptos complejos como el de límite, integral, … que
requieren para su profunda comprensión de una capacidad de abstracción que muchos alumnos y
alumnas de secundaria no poseen. Así mismo pretendemos que este proyecto sirva como estrategia
Aproximación didáctica a las matemáticas a través de la programación en R J. Calahorra Tovar, T. Aguilar Ávila, S. Diciembre Sanahuja, D. Sanchiz Rubert
163 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
para avanzar en más de una de las competencias definidas como clave por la actual ley educativa. Se
pretende con ello:
que el alumnado, mediante la representación gráfica, convierta complejos conceptos
matemáticos en otros más intuitivos y sencillos;
introducir a los alumnos en el mundo de la programación;
que el alumnado mejore su creatividad en la resolución de problemas.
Ya se han realizado algunas aproximaciones al cálculo integral mediante Derive obteniendo
grandes resultados. Algunas opiniones del alumnado tras la realización de los seminarios fueron:
“El contenido fue el mismo visto teóricamente y por lo tanto se hizo fácil
manejar dicho contenido.
Las gráficas ayudan a visualizar los resultados, los hacen más palpables.
Se trabaja mucho más rápido con DERIVE que hacerlo sin el programa.
Facilita la comprensión.
Es una clase muy interesante y dinámica. Nos gusta porque nunca
habíamos trabajado en una práctica con computadora”. (Rivero, 2015).
2.1. Competencias
De las 7 competencias clave que define la LOMCE y que el alumnado debería alcanzar durante
su etapa educativa, en este artículo se pretenden trabajar las siguientes:
La competencia matemática requiere de conocimientos sobre los números, las medidas y las
estructuras, así como de las operaciones y las representaciones matemáticas, y la comprensión
de los términos y conceptos matemáticos.
La competencia digital es aquella que implica el uso creativo, crítico y seguro de las
tecnologías de la información y la comunicación. Adecuación a los cambios que introducen
las nuevas tecnologías en la alfabetización, la lectura y la escritura, un conjunto nuevo de
conocimientos, habilidades y actitudes necesarias hoy en día para ser competente en un
entorno digital.
Aprender a aprender incluye conocimientos sobre los procesos mentales implicados en el
aprendizaje (cómo se aprende): el conocimiento que tiene acerca de lo que sabe y desconoce,
de lo que es capaz de aprender, de lo que le interesa, …; el conocimiento de la disciplina en la
que se localiza la tarea de aprendizaje y el conocimiento del contenido concreto y de las
demandas de la tarea misma y el conocimiento sobre las distintas estrategias posibles para
afrontar la tarea.
2.2. Innovación
En primer lugar, en este artículo se presenta una innovación a nivel pedagógico ya que se
implementa una nueva estrategia referida a cómo enseñar las matemáticas atendiendo a los nuevos
conocimientos sobre cómo aprende el alumnado. Además, implica una innovación curricular
mejorando de esta forma el currículo que ofrecen los institutos al introducir la programación
informática dentro de la formación académica. Finalmente, es una Innovación TIC, basada en el uso
de nuevos recursos tecnológicos y de programación.
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164 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
3. Destinatarios
Los seminarios están dirigidos a aquel alumnado que se encuentre cursando Matemáticas I, es
decir, aquellos alumnos y alumnas que a priori desean desarrollar su actividad laboral en el ámbito
científico. Además:
Los conocimientos matemáticos que se explican en primero de Bachillerato son
suficientemente complejos como para que tenga sentido la aplicación de técnicas informáticas
para la visualización y aplicación de estos.
Según el decreto 87/2015 de 5 de junio, del Consell de la Generalitat, por el cual se establece
el currículo y se desarrolla la ordenación general de la Educación Secundaria, uno de los fines
a los que se debería orientar la concreción curricular en Bachillerato es:
“Desarrollar metodologías didácticas activas e innovadoras que incluyan el
uso de métodos y técnicas de investigación por parte del alumnado para
aprender por sí mismo, el trabajo autónomo y en equipo, la aplicación de los
aprendizajes en contextos reales, y el uso sistemático de las tecnologías de la
información y la comunicación”.
Por tanto, el alumnado de primero de Bachillerato tiene la necesidad de aprender conceptos
matemáticos abstractos y la capacidad de hacer uso de la programación informática para
representarlos de forma gráfica e intuitiva y que de otra forma no sería posible visualizar,
facilitando el aprendizaje de éstos.
No se considera al alumnado de segundo de Bachillerato como susceptible de recibir este
seminario ya que dicho curso está orientado a superar las Pruebas de Acceso a la Universidad que se
realizan al terminar dicho curso.
4. Justificación del uso de R en Bachillerato
El software R es un entorno de programación, análisis estadístico y generación de gráficos
distribuido bajo licencia GNU. 'Es un poderoso aliado para la investigación y una excepcional
herramienta de trabajo para la docencia. Mediante R es posible ejecutar simples análisis descriptivos o
aplicar los más complejos y novedosos modelos formales. Además, la incorporación a R de interfaces
gráficas como Rcommander que crean entornos de trabajo amigables muy similares al entorno del
SPSS permiten saltar la barrera de la accesibilidad, y utilizarlo sin ningún tipo de reparo en la
docencia: libre, gratuito, asequible, accesible y siempre a la vanguardia' (Elosua, 2009).
R posee una estructura versátil, fácilmente adaptable a las necesidades del usuario básico,
medio o avanzado y, por tanto, del estudiante o del profesor. Tiene una gran capacidad de análisis y
además se enmarca en la filosofía de software libre, abierto y dispone de versiones para distintas
plataformas -Microsoft Windows, Linux/UNIX o Macintosh-. Desde su creación, R crece gracias a las
aportaciones de funciones y librerías de la comunidad científica, que convierte a R 'en un entorno
dinámico formado por una comunidad en movimiento continuo y acelerado que se inscribe dentro de
la filosofía del software libre' (Elosua, 2009).
En definitiva, R es asequible, accesible además de fiable y eficaz. Además, el entorno de
programación es amigable y el software puede adaptarse al nivel del alumnado en cualquiera de sus
etapas educativas.
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165 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
5. Contexto de los seminarios
5.1. Temporalización
En este artículo se han programado tres seminarios, uno en cada trimestre. Los seminarios se
realizarán una vez ya se hayan impartido las unidades didácticas a las que complementan. El objetivo,
pues, no es tanto enseñar desde cero sino consolidar y mejorar el entendimiento de los conceptos más
abstractos.
La duración de cada uno de los seminarios constará de dos clases de 55 minutos distribuidos de
la siguiente forma:
Primera sesión
8:55 - 9:00 Llegar al aula de informática y encender los ordenadores.
9:00 - 9:15 Realización del test inicial.
9:15 - 9:25 Explicación de los comandos R a utilizar.
9:25 - 9:35 Lectura común del trabajo a realizar y resolución de las
dudas que puedan surgir al alumnado respecto al seminario.
9:35 - 9:50 Tiempo de trabajo individual.
Tabla 1. Temporalización de la primera sesión
Segunda sesión
8:55 - 9:00 Llegar al aula de informática y encender los ordenadores.
9:00 - 9:30 Tiempo de trabajo individual.
9:30 - 9:45 Segunda realización del test.
9:45 - 9:50 Realización de la encuesta
Tabla 2. Temporalización de la segunda sesión
La temporalización y programación de los seminarios será la comentada anteriormente ya que
consideramos que es la duración suficiente para reforzar los conceptos matemáticos y seguir
motivando al alumnado mediante la innovación y mejora didáctica.
5.2. Aula de trabajo
Los seminarios se impartirán en el aula de informática del centro educativo ya que
necesitaremos al menos tener acceso a un ordenador cada dos personas. La situación didáctica ideal
sería que cada alumno o alumna pudiera trabajar de forma individual.
6. Seminarios
6.1. Comandos R
seq (from, to, length, ...). Genera secuencias regulares desde from hasta to -[from, to]- de
longitud length donde lenght-1 es el número de partes en las que divide el intervalo [from, to].
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166 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
vector. En programación se denomina vector a una zona de almacenamiento contiguo que
contiene una serie de elementos del mismo tipo.
Figura 1. Matriz unidimensional con 10 elementos.
plot(x, y, …, xlim, ylim, ... ). Es el comando más habitual de R para hacer gráficas donde x e y
representan las coordenadas de la función.
○ lines (…). Añade una nueva función en la gráfica actual.
○ abline (h, ...). Este comando añade una o más funciones constantes horizontales sobre
la gráfica actual, por ejemplo, y=1.
○ abline (v, ...). Este comando añade una o más funciones constantes verticales sobre la
gráfica actual, por ejemplo, x=3.
○ xlim = c (min, max). Define el intervalo del eje X que utilizaremos en la ventana
gráfica.
○ ylim = c (min, max). Define el intervalo del eje Y que utilizaremos en la ventana
gráfica.
○ legend (…) Crea una leyenda configurable para acompañar a la representación.
rbind (A, b). Añade la fila b al vector o matriz A.
solve (…). Obtiene la solución analítica del sistema.
for (i in vector) {secuencia de comandos;}
Veamos este ejemplo extraído de Algunas estructuras de programación. Creación de
funciones en R.
“for (i in 1:5) {print(i);}
[1] 1
[1] 2
[1] 3
[1] 4
[1] 5”.
(Algunas estructuras de programación. Creación de funciones en R).
Para pensar un poco más. Intenta dibujar en el recuadro inferior la ventana gráfica resultante de
ejecutar el siguiente código:
plot(1,1, ylim = c(0,6))
for(i in 1:5) {abline(h=i)}
6.2. Cálculo de la posición relativa de dos rectas
6.2.1. Problema 1
Estudia la posición relativa de las rectas y .
Cálculo de la solución gráfica
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167 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
El alumnado debe expresar ambas rectas de forma explícita con el objetivo de averiguar la
solución gráfica.
r: y = 3 – x,
s: y = 2x – 2.
x = seq(0 ,20, length = 100 ); # Donde [0,20] define el intervalo en el eje de abscisas en el cual
se van a representar las funciones y length es el número de puntos en el que interpolaremos la función.
y1 = 3 – x;
y2 = 2*x-2;
plot( x, y1, type="l", col="red" ) # Empleamos el patrón type=”l” para unir los puntos
previamente definidos obteniendo la representación de la recta.
lines( x, y2, col="blue" ) # Utilizamos el comando lines ya que, si usáramos plot de nuevo, se
reiniciaría la ventana gráfica.
abline( h = 0 )
legend( "bottomleft", col = c("blue","red"), legend = c("s: y = 2x-2","r: y = 3-x"), lwd=2 ) #
Podemos añadir una leyenda mediante el comando legend() donde “bottomleft” representa la posición
de la leyenda.
Figura 2.
Se le podría proponer al alumnado readaptar la ventana gráfica ajustándola a las características
del problema. Existen varias alternativas para lograrlo, una de ellas sería mediante el comando x =
seq( 0, 20, length = 100 ).
Aproximación didáctica a las matemáticas a través de la programación en R J. Calahorra Tovar, T. Aguilar Ávila, S. Diciembre Sanahuja, D. Sanchiz Rubert
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Figura 3. Ambas rectas se intersecan y, además, dicha intersección se produce con x, y є [1,2].
Cálculo de la solución analítica
Puede resultar interesante reflexionar con los alumnos y alumnas que el método gráfico permite
aproximarnos a la solución, pero no obtenerla. Seguidamente, se calculará la solución analítica
mediante R. Algunas librerías de R tienen implementadas funciones capaces de resolver sistemas de 2,
3, 4 o más variables.
# Sea el sistema matricial AX = B, donde
A = rbind( c(1, 1), c(2, -1) )
B = c(3, 2 )
# Obtenemos X = BA-1
de la siguiente forma:
solve( A, B )
# Solución analítica en forma decimal.
[1] 1.666667 1.333333
# Solución analítica en forma fraccionaria.
fractions(solve( A, B ))
[1] 5/3 4/3
6.2.2. Problema 2
Estudia la posición relativa de las rectas y .
Cálculo de la solución gráfica
Se procedería de la misma forma que en el primer ejercicio, escribiendo ambas rectas de forma
explícita.
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Figura 4.
Al ver el gráfico, el alumnado podría interpretar que ambas rectas son coincidentes existiendo
infinitas soluciones. Se podría proponer un debate al respecto, recordando que
1. debemos ajustar la ventana gráfica a la naturaleza del problema;
2. el método gráfico no es válido para obtener soluciones; 3. se podría razonar que, como las rectas r y s no son iguales ni proporcionales, las rectas
nunca serán coincidentes.
x = seq( 0, 20, length = 100 )
y1 = 3*x-4
y2 = 3*x-8
plot( x, y1, type = "l", col = "red" )
lines(x, y2, col="blue" )
abline( h = 0 )
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Figura 5. Como cabía esperar, las rectas son paralelas.
Cálculo de la solución analítica
A = rbind( c(1, -3), c(1, -3) )
b = c(-4, -8)
solve(A, b)
Error in solve.default(A, b) : Lapack routine dgesv: system is exactly singular: U[2,2] = 0
Concluyendo que el sistema no tiene solución.
6.3. Límites. Representación de una asíntota
6.3.1. Problema 1
Estudia la continuidad de la función f en el punto x=3 siendo
.
Cálculo de la solución gráfica
Dibujamos la función siguiendo el procedimiento de la primera actividad del seminario.
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x1 = seq( -20, 3, length=100 )
x2 = seq( 3, 20, length=100 )
y1 = (x1)^2-1
y2 = 3/(x2+5)
plot( x1, y1, type="l", col="blue", ylim = c( -10, 30 ), xlim = c( -10, 20 ), lwd = 2 )
lines( x2, y2, col="red", lwd=2 )
abline( h=0 )
abline( v=0 )
abline( v=3, col=”grey”)
Figura 6.
El alumnado puede comprobar gráficamente que existe una discontinuidad en x=3, tomando
valores distintos la función en f(3+) y f(3
-).
Cálculo de la solución analítica
El alumnado ya ha descubierto a lo largo de la unidad didáctica que, por definición, una función
es continua en un punto si
.
Por tanto, en primer lugar, deberá evaluar la función en x=3:
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En segundo lugar, el alumnado debería averiguar qué valores toma la función a medida que se
aproxima a 3 por la izquierda y la derecha
x = c( 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, 2.99999)
for( i in x ) { y = (x^2)-1; }
x Valor de x2-1
2.9 7.41
2.99 7.9401
2.999 7.994001
2.9999 7.9994
2.99999 7.99994
2.999999 7.999994
Tabla 3.
x = c( 3.1, 3.01, 3.001, 3.0001, 3.00001)
for ( i in x ) { y=3/(x+5); }
x Valor de 3/(x+5)
3.1 0.3703704
3.01 0.3745318
3.001 0.3749531
3.0001 0.3749953
3.00001 0.3749995
3.000001 0.375
Tabla 4.
Por último, quedaría reforzar la justificación gráfica concluyendo que la función es
discontinua en x=3 ya que:
,
.
6.3.2. Problema 2
Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto x=-2.
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Cálculo de la solución gráfica
x = seq( -10, 10, length =10000 )
y = (x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)
plot( x, y, type = "l", col = "blue", ylim = c( -100, 100 ) )
abline( h = 0 )
abline( v = 0 )
Figura 7.
Al representar la función, el alumnado descubrirá que tiene dos asíntotas verticales en algún
punto de los intervalos [-5,0] y [0,5], centrando el estudio entorno a x=-2.
X = seq( -5, 0, length =10000 )
y = (x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)
plot( x, y, type = "l", col = "blue", ylim = c( -100, 100 ) )
abline( h = 0 )
abline ( v = 0 )
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174 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Figura 8.
El alumnado debería reflexionar que, pese a que sí existe una asíntota entorno a x=-2, el método
gráfico no permite aseverar que la discontinuidad se presente exactamente en x=-2.
x1 = seq( -5, -2, length = 10000 )
x2 = seq( -2, 1, length = 10000 )
y1 = (x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)
y2 = (x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)
plot (x1, y1, type = "l", col = "blue", ylim = c( -50, 50 ), xlim = c( -5, 0 ) )
lines( x2, y2, type = "l", col = "blue")
legend( "bottomleft", col = "blue", legend = c("(x^3+5*x^2+6*x)/(x^3+x^2-8*x-12)"), lwd=2)
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Figura 9.
Cálculo de la solución analítica
En primer lugar, el alumnado deberá evaluar la función en x=-2.
No existe
La función no está definida en x=-2, por lo tanto, ya se puede afirmar que no es continua en
dicho punto. No obstante, el alumnado podría replicar el análisis anterior.
x Valor de f(x)
-2.1 -3.705882
-2.01 -39.71856
-2.001 -399.7199
-2.0001 -3999.72
-2.00001 -39999.65
-2.000001 -3999640.2
Tabla 5.
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x Valor de f(x)
-1.9 4.265306
-1.99 40.27856
-1.999 400.2799
-1.9999 4000.28
-1.99999 40000.34
Tabla 6.
Por último, quedaría reforzar la justificación gráfica concluyendo que sí hay una asíntota
vertical en x=-2 y, por tanto, la función es discontinua en x=3, verificándose que:
,
.
6.4. Cálculo y representación de una integral
6.4.1. Problema 1
Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas en el intervalo
.
Cálculo de la solución gráfica
# Primer paso: dibujar f(x) en [0,π]
x = seq( from = 0, to = pi, length =100 )
plot( x, cos(x) )
plot( x, cos(x), type = "l" )
# Segundo paso: dibujar el eje de abscisas
abline( h = 0 )
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Figura 10.
Después de esta observar esta gráfica el alumnado ya debería intuir el resultado de la integral en
. Se les puede hacer preguntas tales como: ¿podríais decirme cuál es el resultado de la integral
después de ver la gráfica?
Cálculo de la solución analítica
.
Con este ejercicio se busca que el alumnado visualice una aproximación intuitiva al concepto
abstracto de integral y que pueda comprobar que tanto la parte gráfica como la analítica coinciden.
6.4.2. Problema 2
Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas en el intervalo
.
Cálculo de la solución gráfica
# Primer paso: dibujar f(x) en [0,π/2]
x = seq( from = 0, to = pi/2, length = 100 )
plot( x, cos(x) )
plot( x, cos(x), type = "l" )
# Segundo paso: dibujar el eje de abscisas
abline( h=0 )
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abline( v=0 )
Figura 11.
Cálculo de una primera aproximación
Aproximamos el resultado de la integral mediante la partición formada por 10 puntos que definen 9
intervalos regulares e idénticamente distribuidos en el intervalo .
# Creamos la partición
P = seq( from = 0, to = pi/2, length=10 )
# Calculamos la base de los rectángulos
IncX = ((pi/2)-0) / (length(P)-1);
areaRectangulos = c() # Vector auxiliar
for (i in P) { areaRectangulos = c(areaRectangulos, IncX*cos(i)) }
# El resultado de la aproximación es la suma de las áreas de todos los rectángulos
ResultadoAprox1Integral = sum(areaRectangulos)
ResultadoAprox1Integral = 1.084727
Cálculo de una segunda aproximación
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Aproximamos el resultado de la integral mediante la partición formada por 100.000 puntos que
definen 99.999 intervalos regulares e idénticamente distribuidos en el intervalo .
P = seq( from = 0, to = pi/2, length=100000 )
IncX = ((pi/2)-0) / (length(P)-1);
areaRectangulos = c()
for (i in P) { areaRectangulos = c(areaRectangulos, IncX*cos(i)) }
ResultadoAprox1Integral = sum(areaRectangulos)
ResultadoAprox1Integral = 1.000008
¿Cuál crees que es la solución que más se aproxima al resultado analítico? Justifica tu respuesta
El alumnado debería ser capaz de intuir que la mejor aproximación es la segunda ya que la
partición es más fina. Posteriormente, les mostraríamos la siguiente imagen para consolidar la idea
intuitiva que hay detrás de la demostración del Teorema de Integración de Riemann.
Figura 12.
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Cálculo de la solución analítica
.
Por último, ¿de qué formas se puede mejorar las aproximaciones obtenidas?
Tras la realización del ejercicio, el alumnado debería ser capaz de razonar que alguna de las
formas de mejorar las aproximaciones obtenidas podría ser:
1. hacer una partición más fina. Enfatizar con el alumnado que el concepto de integral nace de la
suma de infinitos rectángulos de base infinitesimal;
2. evaluar la función en el punto medio del intervalo y no en el extremo.
7. Evaluación
7.1. Evaluación del proyecto
La evaluación del proyecto se basará en dos ítems:
1. Test. El seminario se iniciará y finalizará con la realización de una prueba de conocimientos.
La comparación entre ambas pruebas nos servirá para evaluar el grado de mejora derivado de
la realización del seminario.
2. Encuestas. La última actividad del seminario consistirá en la realización de una encuesta al
alumnado para valorar su grado de satisfacción, su percepción acerca de la necesidad de este y
posibles aspectos de mejora. Se trata de obtener un feedback para poder reorientar o reforzar
aquellos puntos débiles de cara a proyectos futuros.
7.2. Evaluación del alumnado
Con el objetivo de motivar e incentivar la participación del alumnado en el seminario, la nota
final de la unidad didáctica se compondrá de:
80%, evaluación habitual de la unidad didáctica,
20%, evaluación del seminario.
Por su parte, la evaluación del seminario considerará:
1. la resolución de los problemas realizados durante el tiempo de trabajo individual,
2. la nota obtenida en el segundo test,
donde cada uno de dichos ítems supondrá el 50% de la nota final del seminario.
Bibliografía
Azcárate, C.; Camacho, M. y Sierra, M. (1999). Perspectivas de investigación en didáctica de las
matemáticas. Investigación en didáctica del análisis. Actas del III SEIEM.
Contreras, A.; García, M. y Font, V. (2012). Análisis de un proceso de estudio sobre la enseñanza del
límite de una función. Boletim de educação matemática, 26 (42).
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Depool, R. (2005). La enseñanza y aprendizaje del Cálculo Integral en un entorno computacional.
Actitudes de los estudiantes hacia el uso de un Programa de Cálculo Simbólico. Números. Revista
de Didáctica de las Matemáticas, 62, 3-31.
Elosua, P. (2009). ¿Existe vida más allá del SPSS? Descubre R. Psicothema, 21 (4).
Llorens, F.; José, F.; Molero, X. y Vendrell, E. (2017). La enseñanza de la informática, la
programación y el pensamiento computacional en los estudios preuniversitarios. Education in the
knowledge society, 18 (2).
Malaspina, U. (2013). La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad. Uno. Revista de
Didáctica de las Matemáticas, 63.
Javier Calahorra Tovar. Grado en Matemática Computacional por la Universidad Jaume I. Máster en
Matemática Computacional por la Universidad Jaume I. Estudiante del Máster Universitario en Profesor/a
de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas.
Grupo de alto rendimiento 145 de la Universidad Jaume I. Email1: al259583@uji.es. Email2:
calahorr@uji.es.
Teresa Aguilar Ávila. Arquitecta. Estudiante del Máster Universitario en Profesor/a de Educación
Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas.
Samuel Diciembre Sanahuja. Graduado en Matemática Computacional por la Universidad Jaume I.
Estudiante del Máster de Profesorado en Educación Secundaria, Bachillerato, FP y enseñanza de Idiomas.
Lugar de residencia: Castellón. Email: samdiciembre@gmail.com.
Daniel Sanchiz Rubert. Unbuilt Architecture, Valencia. Arquitecto por la universidad politécnica de
Valencia (España). Proyecto final de carrera realizado en la Hokkaido University de Sapporo (Japón). 3D
Artist. Nacido en Burriana en 1990.
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Anexo I. Test. Concepto de integral
1. ¿Para qué se usa el cálculo integral?
a. para calcular el área encerrada entre la gráfica de la función y el eje de abscisas.
b. para calcular el área encerrada entre dos curvas.
c. para calcular la pendiente de la recta tangente en cada punto.
d. a y b son correctas.
2. Sombrea la región que representa .
3. Calcula a partir de la gráfica de la función. Justifica en el recuadro inferior los
resultados obtenidos.
4. Dibuja y calcula una aproximación al resultado de la integral . Justifica en el
recuadro inferior los resultados obtenidos.
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Anexo II. Encuesta
Valora del 1 al 5 las siguientes cuestiones siendo 1 - nada de acuerdo y 5 - totalmente de
acuerdo. 1. ¿Consideras que era necesario repasar el concepto de integral?
1 2 3 4 5
2. Después de realizar la tarea, ¿entiendes mejor el concepto de integral?
1 2 3 4 5
3. ¿Te ha gustado usar R para repasar el concepto de integral?
1 2 3 4 5
4. ¿Te ha resultado sencillo el manejo de R durante la realización de la actividad?
1 2 3 4 5
5. ¿Consideras que la duración de la actividad ha sido adecuada?
1 2 3 4 5
6. En general, ¿estás satisfecho con la actividad?
1 2 3 4 5
7. Sugerencias de mejora
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184 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
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de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 185-187
Las matemáticas de la luz
Manuel de León
Ágata A. Timón
EDITORIAL CATARATA
Colección: ¿Qué sabemos de?
ISBN: 978-84-00-10249-4
126 páginas
2017
En este libro los autores nos describen el avance de las investigaciones sobre la luz, los colores
y la forma en los que el ser humano las capta a través de la vista. Se narran los avances de diferentes
científicos relevantes desde la edad antigua hasta la actualidad. Se trata de un libro de divulgación
recomendable para los profanos en esta temática, pero también resultará interesante para los mas
iniciados. Utiliza un lenguaje sencillo, en alguna ocasión apoyado en el leguaje matemático empleado
por los investigadores y científicos citados en el libro, introduciendo al lector en los teoremas y
demostraciones más relevantes de cada época.
¿Qué sabemos de? Las matemáticas de la luz Reseña: J.F. Balsa González – M.E. Segade Pampín
186 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
Los autores comienzan el desarrollo del libro en la Grecia clásica para terminar en la edad
moderna. A través de los 7 primeros capítulos van recorriendo los avances y descubrimientos
científicos más importantes de cada época acerca de la luz y la visión. Los dos últimos capítulos se
salen de este recorrido: en el penúltimo capítulo se entra en detalle sobre la composición y
funcionamiento del ojo y la visión humana y en el último capítulo se trata de como a lo largo de la
historia se fue discutiendo acerca de la composición de los colores.
El primer capítulo comienza en la Grecia clásica tratando acerca de las primeras aproximaciones
del funcionamiento de la visión humana; los grandes filósofos y científicos de la época dudaban entre
si los ojos emitían o captaban los rayos, así como la trayectoria que seguía la luz. En el siguiente
capítulo le toca el turno a la Edad de Oro del islam y como los grandes científicos árabes
fundamentaban su conocimiento en la experimentación; a diferencia de la Grecia clásica, más teórica y
filosófica. En esta etapa se parte de los trabajos de los grandes filósofos griegos como Aristóteles y
Euclides, se empieza a estudiar el ojo humano, la composición del color y la velocidad de la luz. Se
detallan los grandes trabajos de Alhacén en óptica.
Durante los siguientes capítulos se trata de la revolución científica en la edad moderna. Los
científicos producen notables avances durante esta época en contraste con los siglos anteriores. En los
siglos XVI y XVII aparecen grandes personajes que desarrollan la óptica geométrica: Kepler,
Descartes, Fermat, etc. Kepler construye el primer telescopio refractante que permite una observación
más precisa de los objetos astronómicos, lo que conlleva a los siguientes descubrimientos sobre los
astros y el comportamiento de la luz. La ley de refracción o de Snell y el principio de Fermat son
algunos de los conocimientos más relevantes de esta época.
A medida que avanzan la complejidad de las teorías, experimentos y demostraciones científicas
los autores emplean figuras para ayudarse en la explicación de los conceptos, como por ejemplo en el
capítulo de corpúsculos y ondas donde los autores hacen un inciso sobre los elementos de una onda y
se relaciona la longitud de onda y su velocidad de transmisión con la frecuencia.
Siguiendo el desarrollo del libro llegamos al punto en el que los científicos aún no tienen clara
la naturaleza de la luz, Newton y Huygens se contraponen, el primero tiene la idea de que la luz tiene
una naturaleza corpuscular y su comportamiento puede modelarse por la teoría de la gravitación, el
segundo científico que la luz tiene una naturaleza ondulatoria, por lo que la define como una distorsión
de la materia. No será hasta siglos después se resuelva esta discusión.
En el libro se detallan los experimentos y demostraciones de Fresnel y el experimento propuesto
por Poisson acerca de las interferencias provocadas por la difracción de las ondas provenientes de un
punto luminoso y también se detalla el experimento de la rendija de Young que demuestra la teoría
ondulatoria de Huygens. La revolución empieza con la relación del campo eléctrico y el magnético de
Faraday y posteriormente las ecuaciones de Maxwell que definen esta relación.
En el siguiente capítulo se entra en la época de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad.
En esta etapa se trata el papel primordial de Einstein junto con otros grandes científicos coetáneos en
la que se desarrolla el modelo del espacio-tiempo, en el cual el tiempo pasa a ser una dimensión más
junto con el espacio. Con la mecánica cuántica la naturaleza de la luz quedará definida como una
dualidad onda-corpúsculo. En este momento quedan definidas y sin relación entre si la mecánica
clásica y la mecánica cuántica, Einstein trató de encontrar alguna relación sin resultados.
Los dos últimos capítulos del libro se salen de la línea cronológica y tratan sobre dos puntos: la
visión humana y la teoría de los colores. En el primero se explican y detallan los componentes y el
¿Qué sabemos de? Las matemáticas de la luz Reseña: J.F. Balsa González – M.E. Segade Pampín
187 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 102 noviembre de 2019
funcionamiento del ojo además del papel que juega el cerebro en la visión, el segundo trata sobre los
colores y como se compone toda la gama de colores visibles por el ojo humano.
Se puede decir que es un libro de divulgación ya que trata de forma somera los contenidos
científicos y se centra en la historia de las investigaciones sobre cómo funciona la luz, los colores y el
ojo humano. Es de destacar el detalle sobre la vida y obra de los científicos más relevantes en cada
etapa, estas aclaraciones ayudan al lector a contextualizar el momento histórico como otros trabajos de
los científicos.
J.F. Balsa González (Universidade da Coruña)
M.E. Segade Pampín (Universidade da Coruña)
José Francisco Balsa González Facultad de Ingeniería Informática. Universidade da Coruña
Email: j.balsa@udc.es
María Elena Segade Pampín. Facultad de Ciencias de la Educación. Universidade da Coruña.
Email: elena.segade.pampin@udc.es
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 189-190
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
M. C. Escher Calidociclos
Doris Schattschneider
Wallace Walker
EDITORIAL TASCHEN
ISBN 10: 3822806757
ISBN 13: 9783822806753
96 páginas
Año 2015
Un calidociclo es un objeto tridimensional construido con tetraedros (6, 8, 10 o cualquier otro número
par superior) y tiene la curiosa propiedad de que se puede girar de dentro a fuera mediante un giro
anular. Combinando su peculiar forma con algunas de las más bellas imágenes de M.C. Escher, los
autores consiguieron ingeniosamente trasladar a la tridimensionalidad los maravillosos diseños de
Escher.
Creado por la matemática Doris Schattschneider y el diseñador gráfico Wallace Walker, este libro
explora las implicaciones espaciales de los diseños bidimensionales de Escher. Cada ejemplar cuenta
con reproducciones y diagramas para hacer las figuras, instrucciones de ensamblaje y una fascinante
lectura de unas 30 páginas sobre los principios geométricos y los desafíos artísticos que subyacen a la
transformación de los diseños de Escher en los modelos tridimensionales. El kit proporciona las
M. C. Escher Calidociclos Reseña: M. Sagasti Escalona
190 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
cartulinas de papel troquelado necesarias para que, al desplegarse, a lo largo de los bordes perforados,
los diseños del artista se transformen en complejos objetos intrincados y entrelazados con los patrones
de flores, mariposas, lagartos y conchas marinas propios de M.C. Escher. Contiene materiales para
hacer 17 modelos tridimensionales diferentes.
Los patrones intrincados, geometrías elegantes y fantásticos gráficos son el distintivo del mágico
mundo visual del artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Misteriosas y matemáticas a
la vez, sus obras han cautivado a científicos, académicos y también a una gran parte de la cultura
popular, inspirando videojuegos, portadas de libros, películas, dibujos animados, carteles, carátulas,
rompecabezas y hasta construcciones de LEGO como “Escher's "Relativity" in LEGO®”.
Este libro pone las sorprendentes creaciones teseladas de Escher en tus propias manos, para que
puedas formar curiosas figuras geométricas con ellas. Para que vayas practicando, aquí encontrarás la
plantilla (polyhedra.net) para hacer un caleidociclo octogonal:
https://www.polyhedra.net/en/model.php?name-en=octagonal-kaleidocycle
María Sagasti Escalona (Universidad de Almería)
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 191-192
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Etnomatemáticas
Entre las tradiciones y la modernidad
Ubiratan D’Ambrosio
EDITORIAL DÍAZ DE SANTOS
ISBN 978-84-9969-457-3
118 páginas
Año 2013
El autor en este libro hace una serie de reflexiones sobre la Etnomatemática, que es una
corriente de educación matemática que tiene especial importancia en América, y nos presenta un
análisis de la matemática en la cultura occidental y su contribución a la conformación de la identidad
latinoamericana. El objetivo de este libro cuya reseña presentamos es plasmar la importancia de la
matemática en las diversas culturas, y mostrar cómo las especificidades de cada grupo cultural pueden
modificar la concepción de la matemática.
En el capítulo 1, el autor argumenta la importancia de la Etnomatemática. El imaginario
europeo se vio estimulado por el descubrimiento del continente americano, donde se encuentran otras
formas de pensar y entender el conocimiento del medio. En pleno apogeo del colonialismo aumenta el
interés de las naciones europeas, por conocer otros pueblos y tierras del planeta. Surgen grandes
Etnomatemáticas. Entre las tradiciones y la modernidad Reseña: L. López Martín
192 NÚMEROS Vol. 102 noviembre de 2019
expediciones científicas en los siglos XVIII y XIX, entre las de Alexander von Humboldt que defiende
un racionalismo eurocéntrico, reconociendo en los demás pueblos algo fundamental que diferencia sus
conocimientos. Al finalizar la Primera Guerra Mundial, el filósofo alemán Spengler entiende la
matemática como una manifestación cultural viva, que se ve reflejada en catedrales y templos, en
plena integración con otros elementos de la cultura, que hoy en día entenderíamos como
contextualización de la matemática con todos los ámbitos de la vida. Por todo ello, podemos entender
la Etnomatemática como un programa de investigación cuyo objetivo es entender el saber y el hacer
matemático a lo largo de la historia de la humanidad, contextualizado en diversos grupos de interés, ya
sean comunidades, pueblos o naciones. Las diversas formas de hacer y de saber que caracterizan una
cultura forman parte del conocimiento y del comportamiento de estas comunidades. Estas maneras de
saber y de hacer están fuertemente interrelacionadas.
La geometría y los calendarios son excelentes ejemplos también de Etnomatemática asociada al
sistema de producción y de respuesta a primeras necesidades de las sociedades organizadas. La
geometría es el resultado de la práctica de los faraones para distribuir la alimentación al pueblo en los
años de baja productividad, y distribuir y medir las tierras después de las inundaciones. Los
calendarios, a su vez, sintetizan el conocimiento y comportamiento que se necesitan para el éxito de
las etapas de cultivo, cosecha y almacenamiento.
En el capítulo 2 el autor nos muestra su visión de las diversas dimensiones de la
Etnomatemática. La respuesta a los impulsos de supervivencia y de trascendencia en la cuestión
existencial de la especie humana nos marca la dimensión conceptual. En cuanto a la dimensión
histórica encontramos en la modernidad una incorporación del raciocinio cuantitativo gracias a la
aritmética y culminado con las computadoras. Encontramos la dimensión cognitiva en las ideas
matemáticas en los procesos de comparar, clasificar, cuantificar, medir, explicar, generalizar y evaluar,
que están presentes en toda la especie humana. Respecto a la dimensión educativa podemos aclarar
que la propuesta de la Etnomatemática no significa el rechazo de la matemática académica; hoy en día
esos conocimientos y comportamientos que están incorporados en la modernidad sintetizan una ética
del respeto, solidaridad y cooperación. El razonamiento cualitativo, también llamado analítico, gana
importancia en el mundo moderno y se usa en áreas de investigación contextualizada como la
estadística, probabilidad, programación, modelización, fractales y la inteligencia artificial.
Finalmente en el capítulo 4 el autor hace un análisis del cambio del sistema educativo. Para
organizar los conocimientos se ha propuesto recientemente un trivium a partir de los conceptos de
literacia, materacia y tecnoracia. Podríamos definir la literacia como la capacidad de procesar la
información escrita y hablada en cualquier medio comunicativo (instrumentos comunicativos). La
materacia sería la capacidad de interpretar y analizar señales y códigos y elaborar abstracciones sobre
representaciones de lo real (instrumentos analíticos). Finalmente, define la tecnoracia como la
capacidad de usar y combinar instrumentos, evaluando sus posibilidades y limitaciones en situaciones
diversas (instrumentos materiales).
El carácter holístico de la educación implica que el alumnado sea un individuo que sea capaz de
conseguir sus aspiraciones y responder a sus inquietudes, insertándose en la sociedad utilizando
estrategias de ella para cumplir las expectativas, que incluyen los agentes y los instrumentos para
ejecutarlas y siendo el contenido parte de la estrategia.
Se trata pues, de un libro dirigido a lectores que tengan interés en tener visión general de la
etnomatemática, centrada sobre todo en los aspectos teóricos.
Luis López Martín
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 193-196
Sociedad Canaria Isaac Newton
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Congresos
Fecha: 11 al 14 de Diciembre de 2019.
Lugar: Mexicali. Baja California. México.
Organiza: Univeridad Autónoma de Baja Califonia.
Convoca: Red de Centros de Investigación en Matemáticas Educativa.
Información: http://eime.org/
Fecha: 12 y 13 de Diciembre de 2019.
Lugar: Puerto Montt. Chile.
Convoca: Sociedad Chilena de Educación Matemática.
Información: http://www.jornadasmatematica.cl/
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The 8th European
Congress of Mathematics
Fecha: Del 5 al 11 d Julio del 2020.
Lugar: Eslovenia.
Convoca: European Mathematical Society.
Información: https://www.8ecm.si/
Fecha: Del 12 al 19 de Julio del 2020.
Lugar: Shanghai, China.
Convoca: The International Mathematical Union (IMU)
Información: https://www.icme14.org/
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Fecha: Del 20 al 24 de Julio de 2020.
Lugar: Montevideo. Uruguay.
Convoca: Unión Matemática de América Latina y el Caribe.
Información: https://www.clam2020.cmat.edu.uy/
Fecha: Del 7 al 9 de Julio de 2021.
Lugar: Cracovia. Polonia.
Convoca: Red de Investigación de Aprendizaje.
Información: https://sobreaprendizaje.com/congreso-2021
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Fecha: 8 al 12 de Julio de 2021.
Lugar: Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologias da Pontifícia Universidade Católica de Sao
Paulo (PUC-SP). Brasil.
Organiza: Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)
Convoca: Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática (FISEM)
Información: https://www.pucsp.br/es.cibem2021/
Sociedad Canaria Isaac Newton
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ISSN: 1887-1984
Volumen 102, noviembre de 2019, páginas 197-197
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o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los
niños. Madrid: Morata.
o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole number
addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and
Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.
o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain.
Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.
o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del
talento precoz en matemáticas.Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de
http://www.sinewton.org/numeros/
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