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Resistncia dos Materiais I
Esttica Conceitos ePrincpios Fundamentais
Fbio Blas Masuela
O que a Mecnica?
Cincia que descreve e prediz as condies de repousoou movimento de corpos sob a ao de foras.
Conceitos e PrincpiosFundamentais
A Esttica a parte da Fsica que estuda sistemas (partculas oucorpos rgidos) sob a ao de foras que se equilibram.
De acordo com a primeira lei de Newton, todas as partes de umsistema em equilbrio tambm esto em equilbrio.
De acordo com a segunda lei de Newton, a acelerao destessistemas nula.
Espao: Conceito associado a noo de posio de um ponto P,relativamente a origem de um determinado referencial decoordenadas.
Tempo: A posio de um ponto P pode modificar-se com o tempo. Massa: Conceito associado quantidade de matria. Fora: Representa a ao de um corpo sobre outro, podendo
exercer-se por contato direto ou distncia. Uma fora caracterizada pelo ponto de aplicao, intensidade, direo esentido; representa-se por um vetor.
O estudo da Mecnica Newtoniana repousa em seis princpiosfundamentais, com base em evidncias experimentais:
1 Regra do Paralelogramo para Adio de Foras: Estabeleceque duas foras atuando numa partcula podem ser substitudas poruma nica fora, chamada resultante, obtida traando a diagonal doparalelogramo que tem por lados as duas foras dadas.
2 Primeira Lei de Newton: Se a resultante das foras que atuamnuma partcula nula, esta permanecer em repouso (se estavainicialmente em repouso) ou mover-se- com velocidade constantesegundo uma linha reta (se estava inicialmente em movimento).
EXEMPLO: Um elevador de um prdio de apartamentos encontra-se, durante um certo tempo, sob a ao exclusiva de duas forasopostas: o peso e a trao do cabo, ambas de intensidade iguala 2000 N. O elevador est parado?
3 Segunda Lei de Newton: Se a resultante que atua sobre umponto material no zero, este ter uma acelerao proporcional intensidade da resultante e na direo desta, com o mesmo sentido.
4 Terceira Lei de Newton: As foras de ao e reao entrecorpos interagindo tm as mesmas intensidades, mesmas linhas deao e sentidos opostos.
5 Princpio da Transmissibilidade: Estabelece que as condiesde equilbrio ou de movimento de um corpo rgido no se alteram sesubstituirmos uma fora atuando num ponto do corpo por outrafora com a mesma intensidade, direo e sentido, mas atuando emum outro ponto do corpo, desde que ambas as foras possuam amesma linha de ao.
6 Lei da Gravitao de Newton: Estabelece que dois pontosmateriais de massas M e m so mutuamente atrados com forasiguais e opostas F e F de intensidade F dada por:
Sorocaba 2sem / 2011
Exemplo: 1dm = 0,1m = 10-1 m 1cm = 0,01m = 10-2 m 1mm = 0,001m = 10-3m
1dm = (1 dm) = (10-1m) = 10-2m 1cm = (1cm) = (10-2m) = 10-4 m 1mm = (1mm) = (10-3m) = 10-6m
1dm = (1 dm) = (10-1m) = 10-3m 1cm = (1cm) = (10-2m) = 10-6 m 1mm = (1mm) = (10-3m) = 10-9m
Resistncia dos Materiais I
VetoresFbio Blas Masuela
Vetores As grandezas vetoriais so representadas por um ente matemtico
denominado vetor.
Um vetor rene, em si, o mdulo, representando o valor numrico ou intensidade da grandeza, e a direo e sentido, representando a orientao da grandeza.
importante salientarmos as diferenas entre direo e sentido: um conjunto de retas paralelas tem a mesma direo.
Vetores e, a cada direo, podemos associar uma orientao.
Vetores A figura abaixo representa uma grandeza vetorial qualquer: um
segmento de reta orientado (direo e sentido) com uma determinada medida (mdulo).
Vetores Para indicar um vetor, podemos usar qualquer uma das formas
indicadas abaixo:
Vetores Iguais e Vetores Opostos Dois vetores so iguais quando possuem o mesmo mdulo, a
mesma direo e o mesmo sentido.
Vetores Iguais e Vetores Opostos Dois vetores so opostos quando possuem o mesmo mdulo, a
mesma direo e sentidos contrrios.
Multiplicao de um vetor por um escalar.
Podemos multiplicar um vetor por um escalar n (nmero real), obtendo um novo vetor .
Esse novo vetor tem as seguintes caractersticas:
Adio de Vetores . Para a determinao do vetor resultante, ou seja, para efetuarmos a
adio vetorial de dois ou mais vetores, podemos utilizar trs mtodos, denominados:
a) regra do polgonob) regra do paralelogramoc) regra dos componentes vetoriais
Adio de Vetores . a) Regra do Polgono (qualquer nmero de vetores)
Adio de Vetores . a) Regra do Polgono (qualquer nmero de vetores) Exemplo: Dados trs vetores , sendo:
Determine o valor resultante:
Adio de Vetores . a) Regra do Polgono (qualquer nmero de vetores) Resoluo
Adio de Vetores . b) Mtodo do paralelogramo
(somente para dois vetores)
Adio de Vetores . b) Mtodo do paralelogramo
Exemplo: Dados os vetores e com a = b = 20, obter o vetor
Adio de Vetores . b) Mtodo do paralelogramo
Resoluo:
Adio de Vetores . c) Componentes vetoriais
Adio de Vetores . c) Componentes vetoriais
Exemplo: Dados os vetores abaixo, obter o vetor resultante
a = 20 ub = 42 uc = 38 ud = 30 u
sen 37= cos 53= 0,6cos 37= sen 53= 0,8
Adio de Vetores . c) Componentes vetoriais
Resoluo:
ax = a cos 37= 20 . 0,80 = 16 u ay = a sen 37= 20 . 0,60 = 12 u dx = d cos 53= 30 . 0,60 = 18 u dy = a sen 53= 30 . 0,80 = 24 i>u Rx = + ax + bx cx dx = 16 + 0 38 18 Rx = 40 u Ry = ay + by + cy dy = 12 + 42 + 0 24 Ry = 30 u
Adio de Vetores . c) Componentes vetoriais
Resoluo:
Resistncia dos Materiais I
Vetores cartesianoFbio Blas Masuela
Componentes retangulares de um vetor
Vetor Unitrio
Representao de um Vetor Cartesiano
ngulos Diretores Coordenados
Determinao dos ngulosDiretores Coordenados
Sistemas de Foras concorrentes
Exemplo
Exemplo 2
Resistncia dos Materiais I
Equilbrio de uma partculaFbio Blas Masuela
Condio de Equilbrio do Ponto Material
Diagrama de Corpo Livre
Molas
Cabos e Polias
Equaes de Equilbrio
Formulao Matemtica para oEquilbrio em Trs Dimenses
Exerccio
Exerccio
Exerccio
Exerccio
Resistncia dos Materiais I
Momento de uma foraFbio Blas Masuela
Definio
Definio
Exemplo
Formulao escalar para momento
Momento resultante de um sistema de foras coplanares
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Resistncia dos Materiais I
Momento de uma foraFbio Blas Masuela
Momento de uma Fora Anlise Vetorial
Princpio dos Momentos
Regras do Produto Vetorial
Formulao Vetorial Cartesiana
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Resistncia dos Materiais I
Equilbrio de um corpo rgidoFbio Blas Masuela
Equaes de Equilbrio da EstticaSistema Bidimensional
Tipos de apoio
Tipos de apoio
Tipos de apoio
Exemplos de apoio
Diagrama de Corpo Livre AnalogiaPrtica/Terica
Diagrama de Corpo Livre AnalogiaPrtica/Terica
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Problemas que Envolvem oEquilbrio de um Corpo Rgido
Exemplo:Uma estrutura em arco treliado fixa ao suportearticulado no ponto A, e sobre roletes em B num plano de 30 com ahorizontal. O vo AB mede 20 m. O peso prprio da estrutura de100 kN. A fora resultante dos ventos de 20 kN, e situa-se a 4 macima de A, horizontalmente, da direita para a esquerda. Determineas reaes nos suportes A e B.
Problemas que Envolvem oEquilbrio de um Corpo Rgido
Exemplo (continuao):Diagrama de Corpo Livre
Problemas que Envolvem oEquilbrio de um Corpo Rgido
Exemplo (continuao):
Problemas que Envolvem oEquilbrio de um Corpo Rgido
Exemplo: Um letreiro pendurado por duas correntes no mastroAB. O mastro articulado em A e sustentado pelo cabo BC.Sabendo que os pesos do mastro e do letreiro so 1000 N e 800 N,respectivamente, determine a trao no cabo BC e a reao naarticulao em A.
Problemas que Envolvem oEquilbrio de um Corpo Rgido
Exemplo (continuao):Diagrama de Corpo Livre
Exemplo (continuao):
Resistncia dos Materiais I
TreliaFbio Blas Masuela
Trelia simples
Trelia Plana
Trelia de uma ponte
Elementos de duas foras
Mtodo dos ns
Mtodo das sees
Mtodo das sees
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Resistncia dos Materiais I
Centro de gravidadeFbio Blas Masuela
INTRODUO Os conceitos de CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE
MASSA e CENTRIDE, muitas vezes so utilizados comose fossem a mesma coisa, pois, na prtica so originriosde um mesmo princpio, o desenvolvimento do primeiro,leva aos outros dois, com algumas particularidades.
Antes, porm, vamos retomar o TEOREMA DE VARIGON,utilizado para desenvolver o conceito de centro degravidade.
TEOREMA DE VARIGNON O momento da resultante de um sistema de foras
coplanares, em relao a um ponto qualquer de seuplano, igual a soma algbrica dos momentos parciaisdas foras constituintes do sistema em relao aomesmo ponto. 2
TEOREMA DE VARIGNONEXEMPLO
O sistema abaixo, compem-se de uma viga com as trs foras
indicadas (F1, F2, F3), tendo como resultantes: FR = - 14 N eMRO = - 33 N.m (sentido horrio) + M0 = (3x1) (12x3)
M0 = 3 36
MRo = - 33 N.m
Determinao do ponto (XG) onde se
pode colocar a FR que ter o mesmoefeito de translao e rotao.
MR0 = FR . XG
-33 = -14N . XGXG = -33/14 = 2,4m
3
CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE UMA FIGURA PLANA
BARRA PRISMTICA Seco longitudinal
Seco transversal
4
CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE UMA FIGURA PLANA
1. rea2. Momento Esttico de rea3. Centro de Gravidade; Centro de Massa,
Centride 4. Momento de Inrcia
5
1 - REA de uma figura plana a superfcie limitada pelo seu contorno.
b
h
Unidade de rea: [L2] unidade decomprimento ao quadrado
Sistema Internacional [m2] outrasunidades: in2 ; cm2; mm2
A rea utilizada para adeterminao das tenses normais
de trao e compresso () e dastenses de cisalhamento ou corte ()
A = b.h
A = b.h/2
A = (b+B)/2 . hA = a2
A = (R2 r2)
A = R2
a
a
6
2 MOMENTO ESTTICO DE READefini-se o Momento Esttico de umelemento de superfcie como o produtoda rea deste elemento pela distncia queo separa de um eixo de referncia.
Mx = y. dA e My = x . dA
Momento Esttico de rea (superfcie plana)
a somatria de todos os momentos estticos doselementos de superfcie que formam a superfcietotal
( 01 )
( 02)
7
3 CENTRO DE GRAVIDADE, BARICENTRO, CENTRIDE
Um slido constitudo por grande nmero de partculas, cada uma
delas atradas para a Terra, devido seu prprio peso. Ao somarmos todas
as foras-pesos de cada uma das partculas, temos o peso total do slido.
Assim, a atrao exercida pela Terra num corpo rgido pode ser
representada por uma nica fora P, chamada de Peso do corpo, que
aplicada em um ponto denominado centro de gravidade (ou baricentro)
O centro de gravidade de uma superfcie plana , por definio, o ponto
de coordenadas:
Onde, My e Mx so, respectivamente, o Momento Esttico de rea
em relao aos eixos X e Y.
( 04)( 03 )
8
3.1 CENTRO DE GRAVIDADESeja sistema trs partculas de pesos P1,P2 e P3, conforme mostrado na figura aolado.
- P. XG = - P1.x1 - P2.x2 - P3.x3
P. XG = P1.x1 +P2.x2 + P3.x3
Aplicando o Teorema de Varignon ponto O:
XG = P1.x1 + P2.x2 + P3.x3P
XG = m1.g.x1 + m2.g.x2 + m3. g.x3m.g
Como m = m1 + m2 + m3
XG = m1.x1 + m2.x2 + m3.x3
m1+ m2.+ m3
( 05 )
( 06 )
Tambm denominada de centro de massa
9
3.1 CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRO DE MASSA
Girando-se o sistema de partculas de90 e no sentido horrio, mantm-se amesma relao das foras-pesosdestas partculas.
Analogamente, a ordenada YG dalinha de ao da resultante ser dadapor:
CENTRO DE GRAVIDADE: quando se utiliza as foras-pesos
CENTRO DE MASSA: quando se utiliza as massas
Mas ambos so conceitos semelhantes, na prtica se diz Centro de Gravidade, ou ainda o termo CG
( 07 )
10
3.2 CENTRIDE DE UMA SUPERFCIE Quando consideramos uma superfcie (figura
no plano XY) ao invs de um corpo slido
(volume), a expresso centro de gravidade
denominada por alguns autores de
CENTRIDE, ou ainda de BARICENTRO de uma
superfcie.
Utilizando o conceito de densidade (d)
d = m / V m = d . V = d . A. h
Para casos de densidade homognea (mesmo
material) e superfcies de mesma espessura
(h), as expresses ( 06) e (07) desenvolvidas
para o centro de gravidade:
XCG = d h (A1 X1 . A1 + X2 A2 + X3 A3)
d. h. (A1 + A2 + A3)
YCG = Y1 . A1 + Y2 A2 + .Y3 A3
A1 + A2 + A3
XCG = X1 . A1 + X2 A2 + X3 A3
A1 + A2 + An ( 08 )
ANALOGAMENTE,
( 09 )11
3.2 CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRIDE DE UMA SUPERFCIE
Se ao invs de trs elementos em que a rea dividida,aumentarmos para n elementos, as equaes (8) e (9) ficam:
Considerando a totalidade das partculas, temos:
XCG = x dA YCG = Y dA
XCG = X1 . A1 + X2 A2 + ... Xn An
A1 + A2 + ... An
YCG = Y1 . A1 + Y2 A2 + ... Yn An
A1 + A2 + ... An( 10 ) ( 11)
( 12 ) ( 13)A A
Na prtica usamos as equaes (10) e (11) que tambm so expressas por
( 14 )( 15 )
12
CENTRO GRAVIDADE composio de figuras
13
No exemplo abaixo, desmembramos a figura (a) em duas formas:
Fig (a)
Fig (a)
X1 A1 + X2 A2 + X3 A3
A1 + A2 + A3
XCG =
XCG =X1 A1 + X4 A4 - X5 A5
A1 + A4 - A5
5
1
23
1
4
Analogamente
para YCG
CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRIDESAlgumas observaes
1. Para este curso, utilizaremos a expresso centro de gravidade com mesmo significado de centride de uma superfcie plana, ou ainda baricentro.
2. trabalharemos no plano XY3. existem diversas notaes para expressar o
centro de gravidade: XG; XCG e analogamente YG; YCG e
14
CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRIDES) DE SUPERFCIES PLANAS
Retngulo Quadrado Tringulo
15
CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRIDES) DE SUPERFCIES PLANAS
Crculo Crculo Semicrculo
16
EXEMPLO 1: Localize o CG da figura abaixo
17
EXEMPLO 1 - Soluo
18
EXEMPLO 2: Localizar e calcular o centride da pea abaixo.
19
EXEMPLO 2 Soluo
20
EXEMPLO 3 Localizar o centride da figura abaixo
EXEMPLO 3 Soluo
22
EXEMPLO 4 Determinar o centro de gravidade da figura, utilizando o Momento Esttico de rea
1 Clculo das reas:
SOLUO
2 Clculo dos Momentos Estticos de cada rea:
3- Clculo do CG
YCG = 7,36 cm23
EXEMPLO 5 Determinar o Centro de Gravidade utilizando Momento Esttico de
rea
A Figura hachurada pode ser o resul-tado de um retngulo (126) cm do qual foram retirados um tringulo e um semicrculo.
SOLUO1- REA
2- MOMENTO ESTTICO
3- COORDENADA YCG DO CENTRO GRAV.
24
EXEMPLO 5 (continuao) analogamente determina-se a coordenada XCG do centro de gravidade
25
EXERCCIOS Calcular o CG das figuras abaixo:
A1 = a2; x1 = a/2; y1 = a/2
A2= a2/2 ; x2=4a/3; y2=a/3
XG = 0,777a; YG = 0,444a
Ex. 01 Ex. 02 Ex. 03
26
Ex. 04 Ex. 05
EXERCCIOS CENTRO DE GRAVIDADE
27
EXERCCIOS CENTRO GRAVIDADEEX. 06 Calcule o centro de gravidade da figura abaixo (repare que a figura pode ser expressa pela composio de duas outras)
-= 28
Momento de Inrcia
Flexo em vigas Consumindo-se um mesmo volume de material, possvel modificar
a rigidez flexo da estrutura.
MOMENTO DE INRCIA
30
O momento de inrcia de uma superfcie
plana em relao a um eixo de referncia
definido como sendo a integral de rea dos
produtos dos elementos de rea que
compem a superfcie pelas suas respectivas
distncias ao eixo de referncia, elevadas ao
quadrado.
O Momento de Inrcia tambm denominado de Momento deSegunda Ordem, em contraposio ao Momento Esttico derea (momento de primeira ordem)
MOMENTO DE INRCIA SECO RETANGULAR
31
Seja a seco retangular mostrada na figura
ao lado. Determinar o momento de inrcia do
retngulo em relao aos seguintes eixos:
a) x, passando pela base inferior.
b) CG x , passando pelo CG.
dA = b dy
Se girarmos a pea, invertendo as posies, temos Iy = h.b
3/3
Soluo a)
b) Em relao ao eixo que passa pelo CG
MOMENTOS DE INRCIA
32
x
Y
PROPRIEDADES MOMENTO DE INRCIA
33
O momento de inrcia total de uma superfcie a somatriados momentos de inrcia das figuras que a compe.
Exemplo 01:Determinar o momento de inrcia dasuperfcie hachurada em relao ao eixo x quepassa pelo CG. (medidas em centmetros)
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOSTEOREMA DE STEINER
Translao de eixosO momento de inrcia de uma superfcie em relao a um eixo
qualquer igual ao momento de inrcia em relao ao eixo quepassa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto darea (A) pelo quadrado da distncia que separa os dois eixos.
34
Ix = momento de inrcia da figura em relao ao eixo x.
Iy= momento de inrcia da figura em relao ao eixo Y.
IxCG = momento de inrcia da figura em relao ao eixo
XCG que passa pelo CG da figura.
IyCG = momento de inrcia da figura em relao ao eixo
YCG que passa pelo CG da figura.
xCG = distncia do eixo y at o eixo YCG .
yCG = distncia do eixo x at o eixo XCG .
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS TEOREMA DE STEINER
35
EXEMPLO 02: Calcular o momento de inrcia da seco U abaixo em relao ao seu centro
de gravidade.
Temos que calcular o momento de inrcia de cada rea em relao ao prprio CG. Apesar
das reas A1, A2 e A3 serem retngulos, no podemos simplesmente calcul-los pela
expresso Ix = b.h/12, pois a mesma para o clculo do momento de inrcia em relao
ao prprio centro de gravidade (CG1, CG2 e CG3) e no em relao ao centro de gravidade
da seco toda utilizamos o TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS TEOREMA DE STENER
36
O Teorema dos Eixos Paralelos ou ainda Teorema de Steiner para o casotratado, dado pela frmula abaixo:
Obs.: O momento de inrcia calculado em relao a um eixo e no
em relao um ponto. O correto aqui, quando dizemos clculo do
momento de inrcia em relao ao centro de gravidade : em relao
linha neutra que passa pelo centro de gravidade.
MOMENTO DE INRCIA Algumas consideraes
O MOMENTO DE INRCIA utilizado para a determinao das tenses normais a que esto sujeitas as peas submetidas flexo.O MOMENTO DE INRCIA importante para o dimensionamento doselementos estruturais, pois fornece, em valores numricos, a resistncia dapea. Quanto maior for o momento de inrcia da seo transversal de uma pea,maior a sua resistncia mede sua rigidez, ou a sua resistncia flexo.
O MOMENTO DE INRCIA mede a distribuio da massa de um corpo em tornode um eixo de rotao quanto maior for o momento de inrcia de um corpo,mais difcil ser faz-lo girar ou fletir.
Contribui mais para a elevao do momento de inrcia a poro de massa queest tanto mais afastada do possvel eixo de giro ou do centro de gravidade dapea.
Por depender do quadrado das distncias ao eixo um valor sempre positivo.
A unidade de MOMENTO DE INRCIA L4 no sistema internacional deunidades dada por m4, mas muitas vezes mais conveniente express-lo nosmltiplos cm4 ou mm4 . 37
EXEMPLO 06 Determinar o Momento de Inrcia figura abaixo
1 Clculo das reas:
SOLUO
3 Teorema dos Eixos Paralelos
2- Clculo do CG
YCG = 7,36 cm
38
d1 = cm; d2 = cmd3 = cm
=
=
=
=
EXEMPLO 07: Determinar o momento de inrcia em relao
ao eixo x do perfil abaixo:
39
Pelo Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de STEINER:
O momento de inrcia da seco a soma de
I1 = 8.23 + (1,345) 2.16 I1 = 34,313 in
4
I2 = 2.53 + (2,154) 2 . 10 I2 = 66,843 in
4
12
12
Recommended