Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc

Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc

Matematicko-počítačové

modelovanie

4. semester

6. prednáška

Lineárna parciálna diferenciálna rovnica 2. rádu

• Rovnica

- koeficienty rovnice

- pravá strana

- riešenie rovnice

- klasické riešenie rovnice

fcux

ub

xx

ua

i

n

1ii

n

1i

n

1j ji

2

ij

c,ba i,ij

f)x,...,x,x(u n21

Klasifikácia PDR

• eliptické PDR

problém potenciálu, stacionárne difúzne problémy

• parabolické PDR

nestacionárne problémy, difúzia, vedenie tepla

• hyperbolické PDR

vlnové rovnice, rovnice prúdenia tekutiny

Príklady PDR

• Laplaceova rovnica:

• Poissonova rovnica

• Funkciu u, definovanú a spojitú až do druhého rádu včítane na nejakej oblasti

ktorá spĺňa Laplaceovu rovnicu nazývame

harmonická funkcia

0u

nR

fu

Príklady PDR

• Stacionárne vedenie tepla:

x),x(f)x(u)x(q)u)x(k.(

s),s(g

)s(u)s()s(u)s(n

Príklady PDR

• Ustálené prúdenie podzemnej vody

)x(f)u)x(D.(

s),s(g

)s(u)s()s(u)s(n

Eliptická úloha

nafu

nagu

je dvojdimenzionálna oblasť

hranica oblasti

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť

• Nech

• Oblasť rozdelíme na štvorcové podoblasti: delenie n dielov na vodorovnej hrane, m dielov na hrane zvislej, budeme mat (n-1)x(m-1) vnútorných uzlov a 2m +2n hraničných uzlov

0k,0l)k,0(x)l,0(

Diskretizácia oblasti

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť

• V hraničných uzloch je predpísaná Dirichletova podmienka, vo vnútorných uzloch treba vypočítať riešenie.

• Zostavíme systém (n-1)x(m-1) lineárnych algebraických rovníc, ktoré dostaneme použitím diferencie miesto derivácie v PDR.

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť

• Máme rovnicu:

• Druhé derivácie nahradíme diferenciami v každom uzle siete:

nafu

ME

N

W

S

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť

• Aproximácia x-ovej derivácie v bode M

• Aproximácia y-ovej derivácie v bode M

22

2

h

)W(u)M(u2)E(u

x

u

22

2

h

)S(u)M(u2)N(u

y

u

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť

• Dohromady:

• S chybou O(h2)

• Ak je jeden z bodov aproximácie hraničný, využijeme okrajovú podmienku

2h

)S(u)W(u)M(u4)N(u)E(u)M(u

Príklad

• Riešte metódou sietí problém:

• Okrajová podmienka:

• Presné riešenie:

na2x6u )4,0(x)4,0(

33 xx816)4,x(u,x)0,x(u

22 yy864)y,4(u,y)y,0(u

23 2),( yxyxyxu

Príklad

• Zvolíme krok rovnaký pre delenie v smere x-ovom aj y-ovom.

• h=1, to znamená budeme mať 9 vnútorných uzlov, teda 9 rovníc o 9 neznámych. Uzly očíslujeme po stĺpcoch počnúc ľavým dolným uzlom.Pre každý uzol zostavíme rovnicu:

Diskretizácia oblasti

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Rovnice

• 1. rovnica: spája body:• okrajové podmienky:

spodný bod: ľavý bod:• pravá strana:

rovnica: 118*14 421 uuu

1

2

4

OP

OP

11)0,1(uteda,x)0,x(u 33

11)1,0(u,y)y,0(u 22 88*1)1,1(fh,8)1,1(f,2x6)y,x(f 2

Rovnice

• 2. rovnica (body 1,2,3,5):

• Okrajové podmienky:

• Ľavý bod u(0,y)=y2 ,

teda u(0,2)=4

• Pravá strana

• rovnica

88*1)2,1(,8)2,1(,26),( 2 fhfxyxf

48*14 5321 uuuu

25

3

1

OP

Rovnice

• 3. rovnica (body 2,3,6):• Okrajové podmienky:• Ľavý bod u(0,y)=y2 , teda u(0,3)=9• Horný bod u(x,4)=16+8x+x3 , teda u(1,4)=25• Pravá strana

• rovnica

88*1)3,1(,8)3,1(,26),( 2 fhfxyxf

9258*14 632 uuu

36

OP

2

OP

Rovnice

• 4. rovnica (body 1,4,5,7):

• Okrajové podmienky:

• Dolný bod u(x,0)=x3 , teda u(2,0)=8

• Pravá strana

• rovnica

1414*1)1,2(,14)1,2(,26),( 2 fhfxyxf

814*14 7541 uuuu

47

5

OP

1

Rovnice

• 5. rovnica (body 2,4,5,6,8):

• Okrajové podmienky:nie sú

• Pravá strana

• rovnica

1414*1)2,2(,14)2,2(,26),( 2 fhfxyxf

14*14 86542 uuuuu

58

6

4

2

Rovnice

• 6. rovnica (body 3,5,6,9):

• Okrajové podmienky:

• Horný bod u(x,4)= 16+8x+x3 , teda u(2,4)=40

• Pravá strana

• rovnica

1414*1)3,2(,14)3,2(,26),( 2 fhfxyxf

4014*14 9653 uuuu

69

OP

5

3

Rovnice

• 7. rovnica (body 4,7,8):

• Okrajové podmienky:

• Dolný bod u(x,0)= x3 , teda u(3,0)=27

• Pravý bod u(4,y)=64+8y+y2 , u(4,1)=73

• Pravá strana

• rovnica

2020*1)1,3(,20)1,3(,26),( 2 fhfxyxf

732720*14 874 uuu

7OP

8

OP

4

Rovnice

• 8. rovnica (body 5,7,8,9):

• Okrajové podmienky:

Pravý bod u(4,y)= 64+8y+y2, teda u(4,2)=84

• Pravá strana

• rovnica

2020*1)2,3(,20)2,3(,26),( 2 fhfxyxf

8420*14 9875 uuuu

8

9

7

5 OP

Rovnice

• 9. rovnica (body 6,8,9):

• Okrajové podmienky:

• Horný bod u(x,4)= 16+8x+x3 , u(3,4)=67

• Pravý bod u(4,y)= 64+8y+y2, teda u(4,3)=97

• Pravá strana

• rovnica

2020*1)3,3(,20)3,3(,26),( 2 fhfxyxf

976720*14 986 uuu

9OP

OP

8

6

Výsledná matica

410100000

141010000

014001000

100410100

010141010

001014001

000100410

000010141

000001014

Pravá strana

144

64

80

26

14

6

26

4

6

Vektor pravej strany

Príklad

Riesenie Poissonovej rovnice metodou sieti

x0 0 y0 0hranice oblasti ( stvorcova oblast)

x1 4 y1 4

p x( ) x3 okrajova podmienka na dolnej hrane

n 3 pocet deleni hrany stvorcaq x( ) 16 8 x x

3 okrajova podmienka na hornej hrane

hx1 x0

n 1( )Deliaci krok r y( ) y

2 okrajova podmienka na lavej hrane

s y( ) 64 8 y y2 okrajova podmienka na pravej hrane

h 1

f x y( ) 6 x 2 hodnota pravej strany

Grafický výstup výsledkov - Mathcad

PRES

01

23

4

0 1 2 3 40

50

100

Grafický výstup výsledkov - Mathematica

1

1.5

2

2.5

3 1

1.5

2

2.5

3

0

20

40

1

1.5

2

2.5

3

1

1.5

2

2.5

3 1

1.5

2

2.5

3

20

40

1

1.5

2

2.5

3

Presné riešenie Numerické riešenie

Grafický výstup výsledkov - Mathematica

1

2

3

1

2

3

0

20

40

1

2

3

1

2

3

Výsledky

4.0000 4.0000 8.8818 1016

9.0000 9.0000 1.7764 1015

16.0000 16.0000 0.0000

13.0000 13.0000 1.7764 1015

20.0000 20.0000 3.5527 1015

29.0000 29.0000 3.5527 1015

34.0000 34.0000 7.1054 1015

43.0000 43.0000 7.1054 1015

54.0000 54.0000 7.1054 1015

Neumanova okrajová podmienka

• Predpísaná:

• Na časti hranice –

pri obdĺžnikovej oblasti

celá strana alebo viac strán

časť strany

Pozor na úlohu len s Neumanovou okrajovou podmienkou na celej hranici

Trojuholníková oblasť

6 vnútorných uzlov

Trojuholníková oblasť

• Matica stratí „peknú“ štruktúru matice vzniknutej pri štvorcovej oblasti očíslovanej podľa stĺpcov

• Matica zostane pásová

Trojdimenzionálne úlohy

• Poissonova rovnica:

• Okrajová podmienka Dirichletova alebo Neumannova

• Oblasť: kváder, okrajovú podmienku treba zadať na všetkých 6 stenách kvádra

),,,(),,( zyxfzyxu

Trojdimenzionálne úlohy

• Diskretizácia Laplaceovho operátora:

• 7 bodová schéma: uzly M, S, N, W, E, F B:

• Matica zostane pásová, šírka pásu - väčšia

2

)()()()(6)()()(

h

EuNuBuMuFuWuSuu

Všeobecnejší operátor

• Rovnica

• Okrajové podmienky: DP, Neumann, zmiešané

• Postup: diskretizácia ako pri jednodimenzionálnej úlohe

),()),(),(.( yxfyxuyxk