КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАpgsha.ru:8008/books/study/%C4%E5%EC%E5%ED%E5%E2%E0%20%C… ·...

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия

имени академика Д. Н. Прянишникова»

Н. В. Деменева

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Сборник задач

Пермь ИПЦ «Прокростъ»

УДК 511.11

ББК 22.141

Рецензенты:

В. В. Аюпов − кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой

высшей математики ФГБОУ ВО «Пермская государственная сельскохозяйствен-

ная академия им. академика Д.Н. Прянишникова»;

В. И. Карпова – кандидат педагогических наук, доцент, заведующая кафед-

рой математических и естественнонаучных дисциплин Пермского института же-

лезнодорожного транспорта – филиала ФГБОУ ВПО «Уральский государствен-

ный университет путей сообщения» в г. Перми.

Д 30 Деменева, Н. В.

Комплексные числа : сборник задач / Н. В. Деменева; М-во с.-х. РФ, феде-

ральное гос. бюджетное образов. учреждение высшего. образов. «Пермская

гос. с.-х. акад. им. акад. Д.Н. Прянишникова». – Пермь : ИПЦ «Прокростъ»,

2016. – 32 с.

ISBN 978-5-94279-294-7

Сборник содержит индивидуальные задания, направленные на формирова-

ние и проверку умения выполнять действия над комплексными числами в алгеб-

раической и тригонометрической форме, решать алгебраические уравнения на

множестве комплексных чисел и строить области в комплексной плоскости.

Каждому заданию предшествует справочный материал теоретического ха-

рактера и образец решения. Задания дифференцированы по трѐм уровням слож-

ности.

Сборник задач предназначен для организации самостоятельной работы

студентов направлений подготовки: экономика, менеджмент, торговое дело, агро-

инженерия, эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов,

техносферная безопасность, землеустройство и кадастры, строительство, инфор-

мационные системы и технологии, прикладная информатика и другие.

УДК 511.11

ББК 22.141

Печатается по решению методической комиссии инженерного факультета

ФГБОУ ВО «Пермская государственная сельскохозяйственная академия». (Про-

токол № 01 от 20 октября 2015 г.).

ISBN 978-5-94279-294-7

Содержание

Введение ................................................................................................. 4

Часть I .................................................................................................... 6

Сумма, разность, произведение и частное комплексных

чисел в алгебраической форме ........................................................... 6

Тригонометрическая и показательная формы комплексного

числа ..................................................................................................... 8

Решение квадратных уравнений на множестве комплексных

чисел ................................................................................................... 10

Часть II................................................................................................. 12

Произведение и частное комплексных чисел в

тригонометрической форме ............................................................. 12

Возведение комплексного числа в степень ..................................... 15

Извлечение корня из комплексного числа ...................................... 17

Решение алгебраических уравнений на множестве

комплексных чисел ........................................................................... 19

Часть III ............................................................................................... 21

Действия над комплексными числами в алгебраической

форме .................................................................................................. 21

Действия над комплексными числами в

тригонометрической форме ............................................................. 23

Решение биквадратных уравнений на множестве

комплексных чисел ........................................................................... 27

Построение областей в комплексной плоскости ............................ 30

Список литературы ........................................................................... 32

Введение

Термин «комплексные числа» появился в 19 веке благо-

даря К. Гауссу. В переводе с латинского complexus обознача-

ет связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явле-

ний. Ранее существовал термин «мнимые числа», предло-

женный в 17 веке французским математиком и философом Р.

Декартом. Позднее в 18 веке для обозначения числа

(мнимая единица) Л. Эйлер предложил использовать первую

букву французского слова imaginaire.

В настоящее время комплексные числа имеют широкое

применение в науке и технике. Достаточно перечислить та-

кие области как электротехника, радиотехника, самолѐто-

строение, теория упругости, квантовая теория, компьютерное

программирование, картография, экономика, фракталы, по-

требности самой математики.

Данный сборник представляет математический аппарат

комплексных чисел: содержит задания на выполнение дей-

ствий над комплексными числами в алгебраической и триго-

нометрической форме, решение алгебраических уравнений на

множестве комплексных чисел и построение областей в ком-

плексной плоскости. Сборник состоит из трѐх частей, разли-

чающихся по уровню сложности.

Первая часть содержит стандартные задания на выпол-

нение отдельных действий над комплексными числами в ал-

гебраической форме, на представление комплексных чисел в

тригонометрической и показательной формах и на решение

квадратных уравнений с привлечением понятия мнимой еди-

ницы.

Вторая часть содержит более сложные задания на вы-

полнение отдельных действий над комплексными числами в

тригонометрической форме и на решение алгебраических

уравнений с привлечением операции извлечения корня из

комплексного числа.

Третья часть содержит сложные задания на преобразо-

вание выражений в алгебраической и тригонометрической

формах, требующих одновременного выполнения нескольких

действий; задания на решение биквадратных уравнений на

множестве комплексных чисел и построение областей в ком-

плексной области по заданным условиям.

Трѐхуровневая структура сборника позволяет препода-

вателю использовать данный сборник при обучении студен-

тов различной степени математической подготовки. Напри-

мер, при работе со студентами небольшой степени подготов-

ки можно ограничиться заданиями только первого уровня, с

более высокой подготовкой – заданиями первого и второго

уровней, с высокой подготовкой – можно использовать зада-

ния всех трѐх уровней.

Сборник содержит 11 заданий, каждое из которых рас-

считано на 36 типовых варианта. В помощь студенту каждо-

му заданию предшествует справочный материал теоретиче-

ского характера и подробное решение примера.

Сборник задач предназначен для организации самостоя-

тельной работы студентов направлений подготовки: экономи-

ка, менеджмент, торговое дело, агроинженерия, эксплуатация

транспортно-технологических машин и комплексов, техносфер-

ная безопасность, землеустройство и кадастры, строительство,

информационные системы и технологии, прикладная информати-

ка и другие.

Часть I

Сумма, разность, произведение и частное

комплексных чисел в алгебраической форме

Справочный материал.

Комплексным числом z называется выражение вида

, где и – действительные числа; – мнимая

единица, определяемая как и соответственно

. Число называется действительной частью ком-

плексного числа, – мнимой частью. Обозначение: ,

. Запись называется алгебраической.

Над комплексными числами в алгебраической форме

можно выполнять следующие действия: сложение, вычита-

ние, умножение, деление.

Сложение. Суммой двух комплексных чисел

и называется комплексное число

, то есть при сложении ком-

плексных чисел в алгебраической форме складывают дей-

ствительные и мнимые части.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел

, то есть при вычитании ком-

плексных чисел в алгебраической форме вычитают действи-

тельные и мнимые части.

Произведение. Произведением двух комплексных чисел

, то есть при умноже-

нии комплексных чисел в алгебраической форме скобки рас-

крывают как при обычном умножении.

Частное. Частным двух комплексных чисел

, то есть

при делении комплексных чисел в алгебраической форме

числитель и знаменатель умножают на число, сопряжѐнное

знаменателю.

Пример. Найти сумму, разность, произведение и част-

ное двух комплексных чисел и в

алгебраической форме.

Решение.

Сумма:

Разность: —

Произведение:

Частное:

Ответ: , ,

Задание 1. Найти сумму, разность, произведение и

частное двух комплексных чисел в алгебраической форме.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. , .

30. , .

31. , .

32. , .

33. , .

34. , .

35. , .

36. , .

Тригонометрическая и показательная формы

комплексного числа

Геометрическое представление комплексного числа. В

координатной плоскости комплексному числу

соответствует точка или вектор (рис. 1). Модуль

вектора называется модулем комплексного числа:

Угол между вектором и осью называется аргументом

комплексного числа:

где

Рис. 1

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Показательная форма комплексного числа: .

Пример. Представить комплексное число

в тригонометрической и показательной фор-

мах.

Решение.

Найдѐм модуль комплексного числа:

Данному числу в координатной плоскости соответству-

ет точка (рис. 2):

Рис. 2

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что

точка лежит в III четверти:

Тогда тригонометрическая форма комплексного числа:

, показательная форма:

Ответ:

– тригонометрическая

форма комплексного числа;

– показательная форма комплексного числа.

Задание 2. Представить комплексное число в тригоно-

метрической и показательной формах.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31. . 32. .

33. . 34. .

35. . 36. .

Решение квадратных уравнений

на множестве комплексных чисел

Справочный материал. Уравнения решаются как

обычные квадратные уравнения с учѐтом понятия мнимой

единицы: .

Пример. Решить уравнения на множестве комплексных

чисел: а) ; б) .

Решение.

а) . Выразим , учитывая, что :

б) . Найдѐм корни квадратного уравне-

ния, учитывая, что :

Ответ: а) ; б) .

Задание 3. Решить уравнения на множестве комплекс-

ных чисел.

1.а) . б) .

2. а) . б) .

3. а) . б) .

4. а) . б) .

5. а) . б) .

6. а) . б) .

7. а) . б) .

8. а) . б) .

9. а) . б) .

10. а) . б) .

11. а) . б) .

12. а) . б) .

13. а) . б) .

14. а) . б) .

15. а) . б) .

16. а) . б) .

17. а) . б) .

18. а) . б) .

19. а) . б) .

20. а) . б) .

21. а) . б) .

22. а) . б) .

23. а) . б) .

24. а) . б) .

25. а) . б) .

26. а) . б) .

27. а) . б) .

28. а) . б) .

29. а) . б) .

30. а) . б) .

31. а) . б) .

32. а) . б) .

33. а) . б) .

34. а) . б) .

35. а) . б) .

36. а) . б) .

Часть II.

Произведение и частное комплексных чисел

в тригонометрической форме

Произведением двух комплексных чисел

и называ-

ется комплексное число:

то есть при умножении комплексных чисел в тригонометри-

ческой форме их модули умножают, а аргументы складыва-

Частным двух комплексных чисел

и назы-

вается комплексное число:

то есть при делении комплексных чисел в тригонометриче-

ской форме их модули делят, а аргументы вычитают.

Пример. Найти произведение и частное двух комплекс-

ных чисел и в тригонометриче-

ской форме.

Решение. Представим каждое число в тригонометриче-

ской форме.

Найдѐм модуль первого числа:

Первому числу в координатной плоскости соответствует

точка (рис. 2):

Рис. 3

Найдѐм аргумент первого числа, учитывая, что точка

лежит во II четверти:

Тогда тригонометрическая форма первого числа:

Найдѐм модуль второго числа:

Второму числу в координатной плоскости соответствует

Рис. 4

Найдѐм аргумент второго числа, учитывая, что точка

лежит в IV четверти:

Тогда тригонометрическая форма второго числа:

Найдѐм произведение чисел:

Найдѐм частное чисел:

Ответ:

Задание 4. Найти произведение и частное двух ком-

плексных чисел в тригонометрической форме.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. , .

30. , .

31. , .

32. , .

33. , .

34. , .

35. , .

36. , .

Возведение комплексного числа в степень

Справочный материал. Степенью n комплексного

числа называется комплексное число

, то есть при возведении ком-

плексного числа в степень модуль возводится в показатель

степени, а аргумент умножается на показатель степени (фор-

мула Муавра).

Пример. Выполнить возведение комплексного числа в

степень по формуле Муавра: .

Решение. Для возведения комплексного числа

в степень 3 необходимо представить его в три-

гонометрической форме. Для этого найдѐм модуль и аргу-

мент числа.

Найдѐм модуль числа:

Числу в координатной плоскости соответствует точка

(рис. 5):

Рис. 5

точка лежит в Ш четверти:

Тогда тригонометрическая форма числа:

Выполним возведение в степень по формуле Муавра:

Ответ: .

Задание 5. Выполнить возведение комплексного числа в

степень по формуле Муавра.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. . 26. . 27. .

28. . 29. . 30. .

31. . 32. . 33. .

34. . 35. . 36. .

Извлечение корня из комплексного числа

Справочный материал. Корнем степени n из ком-

плексного числа называется комплекс-

ное число:

Пример. Найти все значения корня из комплексного

числа: .

Решение. Для извлечения корня из комплексного числа

необходимо представить его в тригонометриче-

ской форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.

(рис. 6):

Рис. 6

точка лежит в IV четверти:

Выполним извлечение корня:

Распишем все значения корня:

при : ;

при : .

Ответ:

Задание 6. Найти все значения корня из комплексного

числа.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. . 26. . 27. .

28. . 29. . 30. .

31. . 32. . 33. .

34. . 35. . 36. .

Решение алгебраических уравнений

обычные алгебраические уравнения с привлечением опера-

ции извлечения корня из комплексного числа.

Пример. Решить уравнение на множестве комплексных

чисел: .

Решение. Выразим из уравнения : и найдѐм

все значения корня. Представим число в тригономет-

рической форме. Найдѐм модуль и аргумент числа.

(рис. 7):

Рис. 7

Аргумент числа .

По формуле извлечения корня из комплексного числа,

получаем:

Распишем все значения корня:

при :

Ответ: , ;

ных чисел.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31. . 32. .

33. . 34. .

35. . 36. .

Часть III

Действия над комплексными числами

в алгебраической форме

Справочный материал. В данном пункте используют-

ся действия сложения, вычитания, произведения и частного

комплексных чисел в алгебраической форме.

Пример. Выполнить действия над комплексными чис-

лами в алгебраической форме: .

Решение.

Найдѐм значение первой дроби, выполнив действие де-

ления комплексных чисел. Для этого умножим числитель и

знаменатель на выражение, сопряжѐнное знаменателю:

Найдѐм значение числителя второй дроби, выполнив

умножение комплексных чисел:

Найдѐм значение второй дроби, выполнив действие де-

ления комплексных чисел. Для этого умножим числитель и

знаменатель на выражение, сопряжѐнное знаменателю:

Найдѐм значение данного выражения, выполнив дей-

ствие вычитания комплексных чисел:

Ответ: .

Задание 8. Выполнить действия над комплексными

числами в алгебраической форме.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31. . 32. .

33. . 34. .

35. . 36. .

Действия над комплексными числами

в тригонометрической форме

Справочный материал. В данном пункте используют-

ся действия сложения, вычитания, произведения и частного

комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пример. Выполнить действия над комплексными чис-

лами в тригонометрической форме: .

Решение. В данном примере используются операции

возведения в степень, умножения и деления над четырьмя

комплексными числами: , ,

и . Для выполнения операций представим

каждое число в тригонометрической форме.

Найдѐм модуль первого числа:

Первому числу в координатной плоскости соответствует

Рис. 8

Найдѐм аргумент первого числа, учитывая, что точка

лежит в VI четверти:

Тогда тригонометрическая форма первого числа:

Найдѐм модуль второго числа:

Второму числу в координатной плоскости соответствует

Рис. 9

Аргумент второго числа .

Тогда тригонометрическая форма второго числа:

Найдѐм модуль третьего числа:

Третьему числу в координатной плоскости соответству-

ет точка (рис. 10):

Рис. 10

Найдѐм аргумент третьего числа, учитывая, что точка

лежит в III четверти:

Тогда тригонометрическая форма третьего числа:

Найдѐм модуль четвѐртого числа:

Четвѐртому числу в координатной плоскости соответ-

ствует точка (рис. 11):

Рис. 11

Найдѐм аргумент четвѐртого числа, учитывая, что точка

лежит во II четверти:

Тогда тригонометрическая форма четвѐртого числа:

Далее выполним возведение в степень по формуле Муа-

вра:

Затем по правилу умножения комплексных чисел в три-

гонометрической форме найдѐм значения числителя и знаме-

нателя данного выражения:

Затем выполним деление комплексных чисел в триго-

нометрической форме:

Ответ: .

Задание 9. Выполнить действия над комплексными

числами в тригонометрической форме.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31. . 32. .

33. . 34. .

35. . 36. .

Решение биквадратных уравнений

обычные алгебраические уравнения с учѐтом понятия мни-

мой единицы: и равенства комплексных чисел.

Пример. Решить биквадратное уравнение на множестве

комплексных чисел: .

Решение.

Обозначим через . Получаем квадратное уравнение:

. Корни уравнения:

или .

Решим уравнение , учитывая, что ком-

плексное число , где и – действительные числа:

. Отсюда .

Учитывая, что комплексные числа равны, если равны их

действительные и мнимые части, получаем систему уравне-

ний: Отсюда Тогда:

. Корни уравнения: . Отсюда

. Учитывая, что – действительное число, остав-

ляем положительное значение: и, следовательно,

Соответственно корни уравнения:

После преобразования:

Решим уравнение , учитывая, что ком-

плексное число , где и – действительные числа:

. Отсюда

Далее Отсюда Тогда:

. Корни уравнения: . Отсюда

. Учитывая, что – действительное число, остав-

ляем положительное значение: и, следовательно,

Соответственно корни уравнения:

После преобразования:

Ответ:

ных чисел.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31. . 32. .

33. . 34. .

35. . 36. .

Построение областей в комплексной плоскости

Справочный материал. В данном пункте при построе-

нии областей используются понятия модуля и аргумента

комплексного числа.

Пример. В комплексной плоскости построить область,

заданную условиями: , .

Решение. Для построения области, заданной первым

неравенством, используем геометрическое свойство модуля.

С учѐтом этого первое условие определяет множество точек,

удалѐнных от точки на расстояние, не большее 3, то

есть первое неравенство определяет круг радиуса 3 с центром

в точке . Второе условие определяет множество то-

чек, ординаты которых не превосходят число , то есть

второе неравенство определяет полуплоскость, расположен-

ную ниже прямой . Искомая область представляет по-

лукруг радиуса 3 с центром в точке (рис. 3).

Рис. 3

Задание 11. В комплексной плоскости построить об-

ласть, заданную условиями.

1. . 2. , .

3. . 4. , .

5. . 6. , .

7. , . 8. .

9. . 10. .

–1 x

11. . 12. , .

13. , . 14. .

15. , . 16. , .

17. , . 18. , .

19. , . 20. , .

21. , . 22. , .

23. , . 24. , .

25. , . 26. , .

27. . 28. , .

29. , . 30. , .

31. , . 32. , .

33. , . 34. , .

35. , . 36. , .

Список литературы

1. Баврин, И. И. Высшая математика: Учеб. для студ.

естественно-научных специальностей педагогических вузов.

– 3-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия»,

2003.– 616 с.

2. Высшая математика для экономистов: учебник для

студентов вузов, обучающихся по экономическим специаль-

ностям / [Н. Ш. Кремер и др.]; под ред. Н. Ш. Кремера. – 3-е

изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 479 с.

3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и за-

дачах: Учеб. Пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т.

Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 7-е изд., испр.– Москва: АСТ:

Мир и Образование, 2014.– 816 с.: ил.

4. Красс, М. С., Чупрынов, Б. П. Основы математики и

еѐ приложения в экономическом образовании: Учеб. / М. С.

Красс, Б. П. Чупрынов – М.: Дело, 2000. – 688 с.

5. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономиче-

ского бакалавриата: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б.

А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; под ред Н. Ш. Кре-

менра. – 4-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство Юрайт,

2013.– 909 с.– Серия: Бакалавр. Углублѐнный курс.

6. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры: Учебник. 17-е

изд., стер. / А. Г. Курош – СПб.: Издательство «Лань», 2008.

– 432 с.

7. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1

курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А.

Шевченко. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 576 с.

8. Практикум по высшей математике для экономистов:

Учеб. пособие для вузов / Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Пут-

ко Б. А. и др.; Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,

2004. – 423 с.

9. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей мате-

матике: [в 2 ч.]. Ч.1 / Д. Т. Письменный. – 12-е изд. – М.: Ай-

рис-пресс, 2013.– 288 с.

10. Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной ал-

гебре. Учебное пособие. / И. В. Проскуряков. – 13-е изд.,

стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2010 – 480 с. – (Учебники для

вузов. Специальная литература).

Учебное издание

Деменева Надежда Валерьевна

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Сборник задач

Подписано в печать 11.02.2016 г. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. 2,0. Тираж 130 экз. Заказ № 28

ИПЦ «Прокростъ»

Пермской государственной сельскохозяйственной академии

имени академика Д.Н. Прянишникова

614990, г. Пермь, ул. Петропавловская, 23, тел. (342) 210-35-34

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАpgsha.ru:8008/books/study/%C4%E5%EC%E5%ED%E5%E2%E0%20%C… ·...

Documents

CONTECHIN КАТАЛОГ РУС 2017 · copyright law - 0/2017 R комплексные решение комплексные решение Современные технологии

Рекламная Служба Спасения - комплексные проекты

КОМПЛЕКСНЫЕ СОЕДИНЕНИЯpnu.edu.ru/media/filer_public/2013/04/08/chem_complex-soed.pdf · Комплексные соединения : методические

Комплексные соединения

Комплексные маркетинговые решения. Tashir Media

ГЕРОЙ МЕСЯЦА МАРИЯ ГОНТАРЕВАsev.msu.ru/wp-content/uploads/2017/02/Pervaya_Universitetskaya_M… · тоннами закупали валентинки, даря

КОМПЛЕКСНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ2 ООО «IGC» - компания, выполняющая комплексные решения по системам

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ · 2015-11-28 · числа, квадрат которого равен 1). Для решения такого ... КОМПЛЕКСНЫЕ

РСС комплексные проекты 2015

Тема 11: Комплексные числаkadm.kmath.ru/files/angfiz_ovs_11.pdf · 2019. 8. 17. · Тема 11: Комплексные числа А.Я.Овсянников Уральский

Комплексные решения сименс для гостиниц

CompuTel КОМПЛЕКСНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ QTECH О ...šомплексное... · КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ QTECH qtech.ru 3 Штат компании более 200 высококвалифицированных

Комплексные числа и цвета - TU Bergakademie Freiberg · 2019. 1. 22. · Комплексные числа и цвета Вэтомдевятомизданиикалендаря«ComplexBeauties

комплексные работы иду в 4 кл

Комплексные соединения

КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ИНЖЕНЕРНЫХ СЕТЕЙ ЗДАНИЯ

КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ QTECH · КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ qtech - gpon qtech.ru 10 История Возникновения Технологий gpon/gepon

Тема 10. Комплексные соединения

лек. 1 4 комплексные соединения