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T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 1
Der Abgabetermin der neuen Übungsblätter ist:Montag, 14:00 Uhr
Fehlerrechnungsbriefkasten
Der Abgabetermin der verbesserten Übungsblätter ist:Freitag, 16:00 Uhr
Übungsaufgaben - Organisatorisches
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 2
Güteklassen elektrischer Messinstrumente
Aber wie genau messen jetzt meine Instrumente?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 3
Güteklassen elektrischer MessinstrumenteDie zulässigen Fehler elektrischer Messinstrumente werden durch das Klassenzeichen angegeben.
Die Klassenangabe entspricht dem zulässigen Anzeigefehler in %:
z.B. 1,5% Fehler bei einem Gerät der Klasse 1,5
Dieser Fehler ist bezogen auf den Endwert oder auf die Summe der Skalenlänge, wenn der Nullpunkt innerhalb der Skala liegt.
Dies ist der Fehler, der auftreten darf !!
Endwert Skalenlänge
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 4
Vollausschlag 150,0 V
Ablesung 118,8 V
Ablesegenauigkeit: Vorlesung 4 (Letzte Stelle ist geschätzt).Schätzwert: Bestmögliche Schätzung (Messung) der Ablesung.
Annahme 1: Feinmessgerät der Klasse 1 1% von 150 V entspricht 1,5V
U = (118,8 ± 1,5) V
Annahme 2: Betriebsmessgerät der Klasse 5 5% von 150 V entspricht 7,5V
U = (118,8 ± 7,5) V
Ablesen bei analogen Messinstrumenten
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 5
Fehler bei Digitalvoltmetern
Beispiel: 1V MessbereichAnzeige 1,624 V0,1% von rdg = 0,0016 V0,1% von rng = 0,001 VInsgesamt 0,0026 V(1,624 0,003) V
Auszug aus der Praktikums-Geräteanleitung
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 6
Messbereich 10 V
Anzeige: 0,16 V
0,1 % range = 0,01 V
0,1 % reading = 0,00016 V
U = (1,6 0,1 )*10-1V
Anzeige: 0,162 V
0,1 % range = 0,001 V
0,1 % reading = 0,00016 V
U = (1,62 0,01 ) *10-1V
Messbereich 1 V
Anzeige: 0,1624 V
0,1 % range = 0,0001 V
0,1 % reading = 0,0002 V
U = (1,624 0,003 ) *10-1V
Messbereich 0,1 V
Messung einer Spannung von 0,1624 V
Ablesen bei digitalen Messinstrumenten
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 7
Anmerkung wissenschaftliche Notation:
Zahlen zwischen 10‐3 und 103 kann man ausschreiben, wie in Aufgabe 3 und 6
Übungsaufgaben
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 8
Güteklasse 5 bedeutet 5 % von 12,50 V.
5 % von 12,50 V sind 0,625V.
Gerundet auf zwei signifikante Stellen ergibt 0,63 V.
Somit lautet das Endergebnis:
U = (9,83 ± 0,63) V
Übungsaufgaben
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 9
Übungsaufgaben
= 134,7 oC ‐99,9 oC bis 999,9 oC
0,2 % der Ablesung (rdg = reading) plus 0,7 oC
0,2 % (134,7 oC) = 0,269 oC
a) (0,269 + 0,7) oC = 0,969 oC
= ( 134,7 ± 1,0 ) o C
b) (0,3 + 0,7) oC = 1,0 oC
= 0,97 oC
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 10
Übungsaufgaben
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 11
6 5 4 3 2 1 nicht abgegeben
Erstabgabe Übung 1
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 12
Übungsaufgaben - OrganisatorischesFalls es zur Erstkorrektur Fragen/Unklarheiten gibt:
Fragen Sie Ihren Betreuer!
Studentenbüro: Mo - Fr besetzt von 10:45 Uhr bis 12:15 Uhr
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 13
Messreihen
Wie bestimme ichdie Messunsicherheit
in Messreihen?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 14
Begriffe
Modalwert
Median Mittelwert
Spannweite der Verteilung: Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert.
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 15
Der MedianDer Median teilt die Grundgesamtheit in zwei Hälften gleicher Größe
Messung der Länge eines Stabes
252425242326262426L/cm
987654321Nummer der Messung
Sortiert nach Größe:23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 16
Der Median
MedianEin Wert m ist Median einer Stichprobe, wenn höchstens die Hälfte der Beobachtungen einen Wert < m und höchstens die Hälfte einen Wert > m hat. Der Median m einer geordneten Stichprobe von nWerten ist dann:
12
12 2
ungerade
1 gerade2
n
n n
x n
mx x n
Der Median teilt die Grundgesamtheit in zwei Hälften gleicher Größe
Messung der Länge eines Stabes
28252425242326262426L/cm
10987654321Nummer der Messung
Sortiert nach Größe:23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26,28
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 17
Begriffe
Modalwert
Median Mittelwert
Spannweite der Verteilung: Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert.
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 18
Mittelwert 1 – Arithmetischer MittelwertMessung der Länge eines Stabes
123 24 24 24 25 .... 28 25,1010
n
ii
xx
n
Summation über alle Messwerte:
Arithmetischer MittelwertSeien n (einfach linear zusammenhängende) Werte xi (i ϵ {1; ...; n}) einer gemessenen Größe gegeben. Die Größe xa , die aus
berechnet wird, wird arithmetisches Mittel oder arithmetischer Mittelwert genannt.
n
iia x
nx
1
1
28252425242326262426L/cm
10987654321Nummer der Messung
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 19
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Anz
ahl d
er A
bsol
vent
en
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Studiendauer / Semestern
Semester Anzahl
10 29
11 38
12 33
13 24
14 20
15 17
16 12
17 10
18 6
19 6
20 5
Die meisten der Studenten machen die Diplomprüfung nach 11 Semestern (Modus).Die mittlere Studiendauer ist 12,5 Semester (Median). Liegt der Median zwischen zwei ganzen Zahlen, wird gemittelt, z.B. 12,5 Semester (Es gibt detailliertere Regeln).
Der Mittelwert der Studiendauer ist 13,2 Semester (Mittelwert – Mean)
Beispiel: Studiendauer Diplom
Spannweite der Verteilung: Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert.
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 20
1. Jahr Wir kaufen Aktien für 1000 €
2. Jahr Aktienkurs steigt auf 1200 €
3. Jahr Aktienkurs steigt auf 1500 €
4. Jahr Aktienkurs fällt auf 1000 €Wir verkaufen
Annahme, es gab weder Zinsen noch Dividenden
Trivialrechnung:
1. 2. Jahr +20 %
2. 3.Jahr +25 %
3. 4. Jahr ‐33 %
20 25 33.33 3,89 %3
x
3,89 % pro Jahr bedeuten ca. 1121 € nach 3 Jahren
Mittelwert 2 – Geometrischer Mittelwert
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 21
33 1, 200 1,250 0,667 1,0005 1,00geox
Wachstumsfaktoren:
1. 2. Jahr 1200/1000 = 1,200
2. 3.Jahr 1500/1200 = 1,250
3. 4. Jahr 1000/1500 = 0,667
Wichtigste Anwendung des geometrischen Mittelwertes bei durchschnittliche Wachstumsfaktoren.
Wachstumsfaktor: Neuer Wert dividiert durch alten Wert
Mittelwert 2 – Geometrischer Mittelwert
Geometrischer MittelwertSeien n exponentiell zusammenhängende Werte xi (i ϵ {1; 2; ...; n}) einer gemessenen Größe gegeben. Die Größe xg , die aus
berechnet wird, wird geometrisches Mittel oder geometrischer Mittelwert genannt.
nn
iig xx
1
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 22
n
iix
nx
1
1
nnxxxx 21
n
iix
nx
1
21
Weitere Möglichkeiten der Angabe von mittleren Werten
Der häufigste Wert (Modus oder Modalwert)!!!Bimodale Verteilung !!!
Das arithmetische Mittel aus dem kleinsten und größten vorkommenden Wert
Der arithmetische Mittelwert
Der geometrische Mittelwert
Der quadratische Mittelwert
Der MedianDerjenige Wert, der in der Mitte steht, wenn man die xi der Größe nach sortiert
Zusammenfassung Mittelwerte
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 23
Messung der Länge eines Stabes
Wie bestimmt man den Fehler einer Messung aus einer Messreihe?
28252425242326262426L/cm
10987654321Nummer der Messung
Sortieren der Werte nach Klassen
Werte xk 23 24 25 26 27 28Anzahl der Messwerte 1 3 2 3 0 1
Messreihen
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 24
Messung der Länge eines Stabes
Werte xk 23 24 25 26 27 28Anzahl der Messwerte 1 3 2 3 0 1
23 24 24 24 25 .... 28 25,1010
ii
xx
n
23 1 (24 3) (25 2) .... 28 110
k kk
x nx
n
n
nxx k
kk
nnFwobeixFx k
kkk , 1k
kFnnk
n
iix
nx
1
1
Summation über alle Messwerte:
Summation über alle Klassen:
Mittelwertbildung
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 25
Beispielhaftes Histogramm zu einer Messreihe:Messung der Länge eines Stabes
21 22 23 24 25 26 27 28 290
1
2
3
Anz
ahl d
er M
essw
erte
Länge/cm
Werte xk 23 24 25 26 27 28Anzahl der Messwerte
1 3 1 3 0 2
Histogramm / Stabdiagramm
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 26
Weitere Messreihe: Messung der Länge eines Stabes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
L/cm 26,4 23,9 25,1 24,6 22,7 23,8 25,2 23,8 25,3 25,4
In diesem Beispiel ist das Zeichnen eines Stabdiagramms wenig sinnvoll
Zusammenfassung der Messwerte zu Klassen
Klasse 22 bis 23
23 bis 24
24 bis 25
25 bis 26
26 bis 27
27 bis 28
Anzahl der Messungen 1 3 1 4 1 0
Faustregel für die Anzahl der Klassen k 5 * lg (n).Häufig reicht auch n
Einschub: Wie fasse ich Werte sinnvoll zu Klassen zusammen ?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 27
Einschub: Wie fasse ich Werte sinnvoll zu Klassen zusammen ?
Klasse 22 bis 23
23 bis 24
24 bis 25
25 bis 26
26 bis 27
27 bis 28
Anzahl der Messungen 1 3 1 4 1 0
20 21 22 23 24 25 26 27 280
1
2
3
4
Anz
ahl d
er M
essw
erte
Länge /cm
Das Zusammenfassen von Messwerten zu Klassen ist ein wichtiger Vorgang in
der Statistik und wird in den Vorlesungen zu Verteilungsfunktionen
und Signifikanztest ausführlich diskutiert.
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 28
Einschub: Betrug mit graphischen Darstellungen
Typisches Wahlvolk:18 bis 81 Jahre
Aufteilen in:18 bis 49: 51 %50 bis 81: 49 %
Ist das jetzt die Dominanz der Jungen ?
Realistisches Wahlvolk:18 bis 101 Jahre
Aufteilen in:18 bis 59: 68 %60 bis 101: 32 %
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 29
Bedeutung des MittelwertesWir erinnern uns: Für zufällige Fehler gilt:
Positive und negative Abweichungen sind gleich häufig
Die Häufigkeit des Vorkommens nimmt mit dem Absolutbetrag des Fehlers ab
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers Null besitzt ein Maximum
Interpretation von Nikolaus Bernoulli (1709):Das mit ihren Wahrscheinlichkeiten gewichtete arithmetische Mittel der Werte einer Zufallsgröße ist der Erwartungswert der Zufallsgröße.
Erwartungswert E(X)Seien die Ergebnisse bei einem (Wahrscheinlichkeits‐)Experiment aus der Gesamtheit aller Ergebnisse, dem Ergebnisraum . Sei X() eine reelle Zahl, die dem Ergebnis zugeordnet ist, und P({}) eine gegebene Wahrscheinlichkeit zu dem einzelnen Ereignis . So bezeichnet man die Zahl E(X), die aus
berechnet wird, als Erwartungswert der Zufallsgröße X().
})({)(:)( PXXE
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 30
Wie bestimmt man den Fehler einer Messung aus einer Messreihe?
21 22 23 24 25 26 27 28 290
1
2
3
Anz
ahl d
er M
essw
erte
Länge/cm
Messreihen
Wie verlässlich kennen wir den Erwartungswert?
Wie sehr streuen die Daten?Wie breit ist die Verteilung der Daten?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 31
Wir müssen den Erwartungswertschätzen
Die StichprobeUm den mathematisch exakten Erwartungswert zu bestimmen, müssen wir die Grundgesamtheit kennen. Es gibt aber unendlich viele mögliche Messwerte!
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 32
2995
2996
2997
2998
2999
3000
3001
3002
3003
3004
3005
0
1
2
3
Häu
figke
it
Länge / mm
2995
2996
2997
2998
2999
3000
3001
3002
3003
3004
3005
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
Häu
figke
it
Länge / mm
2995
2996
2997
2998
2999
3000
3001
3002
3003
3004
3005
0
20
40
Häu
figke
it
2995
2996
2997
2998
2999
3000
3001
3002
3003
3004
3005
0
5
10
15
20
Länge /mm
g
Mit zunehmender Anzahl der Messungen wird ein Histogramm glatter und regelmäßiger.Die Breite der Kurve ändert sich nicht.Mit zunehmender Zahl der Messungen kann die Breite und der Mittelwert verlässlicher angegeben werden.Wenn die Anzahl der Messungen gegen unendlich geht, nähert sich die Verteilung einer stetigen Kurve.Eine solche Verteilung heißt Grenzverteilung oder Grundgesamtheit.
Mehr zur Normalverteilung folgt in den späteren Vorlesungen
10 Messungen 100 Messungen 250 Messungen 1000 Messungen
Übergang zur Grenzverteilung
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 33
Wenn wir wirklich nur zufällige Fehler haben können wir den Erwartungswert über das arithmetische Mittel schätzen.
Diese Schätzung wird besser sein, je mehr Messwerte wir haben.
Aber wie gut ist sie wirklich?
Wir benötigen ein Streuungsmaß!
Unsere Messung ist eine Stichprobe
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 34
xDieser ist aber nicht bekannt.
Daher wird durch den gemessenen Mittelwert ersetzt.
Die Varianz ist ein Maß für die "Breite" der Verteilung der Messwerte
n
iix x
n 1
22 1
Bei obiger Definition ist der wahre Mittelwert der Verteilung.
Dieser ist jedoch nur mit einer Unsicherheit bekannt.
Der Mittelwert muss aus der Datenmenge berechnet werden.
Dies zwingt zur Einführung der Stichprobenvarianz.
Die Varianz
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 35
n
iix x
n 1
22 1 Varianz:
22
1
1 n
x x ii
xn
Standardabweichung:
Die Messgrößen besitzen eine Einheit.In unserem Beispiel waren das mm.
Somit hat die Varianz die Einheit mm2 .
Sinnvoll ist eine Größe mit der gleichen Dimension wie der Messwert.
Die Standardabweichung
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 36
Die StichprobenvarianzKönnen wir einfach durch den Mittelwert ersetzen?
22
1
1 n
x ii
Z x xn
Schauen wir uns den Erwartungswert von Zx2 an:
2 22
1 1
1 1( )n n
x i ii i
E Z E x x E x xn n
2 2
1
1 2 )(n
i ii
E x x x xn
a ‐b
2 2
1 1
1 2 )(n n
i ii i
E x x x n xn
2 2
1
1 2 )(n
ii
E x n x x n xn
n
iix
nx
1
1Erinnerung:
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 37
Die Stichprobenvarianz 2 22
1
1( ) 2 )(n
x ii
E Z E x n x x n xn
2 2
1
1 n
ii
E x n xn
22 2 2
1 ( ) ( )
1( ) ( ) xx x x
nVar x nVar xn
nVar x Var xn n
2
1
2
1( )n
ii
Var x xn
E x
Erinnerung:
2 2
1
1 n
ii
E x nE xn
2
1
1 ( )n
i
Var x nE xn
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 38
Kurze ZwischenrechnungWie groß ist ( )?Var X
2 21 1 1
1 1 1 ( )n n n
i i ii i i
Var X Var X Var Xn n n
Die Zufallsgrößen Xi seien unabhängig. Dann gilt:
1 21
1 , mit identisch verteilten Zufallsgrößen , ,..., .n
i ni
X X X X Xn
22
2 21
1 1( ) .n
ii
Var X nn n n
Weiter:
Erinnerung:
n
iix
nxVar
1
21)(
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 39
Die Stichprobenvarianz 2 22
1
1( ) 2 )(n
x ii
E Z E x n x x n xn
2 2
1
1 n
ii
E x n xn
22 2 2
1 ( ) ( )
1( ) ( ) xx x x
nVar x nVar xn
nVar x Var xn n
2
1
2
1( )n
ii
Var x xn
E x
Erinnerung:
2 2
1
1 n
ii
E x nE xn
2
1
1 ( )n
i
Var x nE xn
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 40
Die Stichprobenvarianz2
2 2 2 21( ) ( ) ( ) xx x x x
nE Z Var x Var xn n
Die Varianz ist nicht erwartungstreu!
ABER: Diesen Vorfaktor können wir einfach berücksichtigen!
Wir wählen statt Zx2 einfach:
2
1112
n
ix
ix
nsx
Es ergibt sich dann sofort:2 2( )x xE s
Kleine Hausaufgabe falls nicht offensichtlich: Prüfen Sie das!
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 41
2
1
1 11
n
x ii
s x x nn
(mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung).Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz
sx wird auch als Stichproben-Standardabweichung bezeichnet.
Die (Stichproben)Standardabweichung ist ein Maß für die Genauigkeit der Messmethode
Die Stichprobenstandardabweichung
Unsere eigentliche Frage war aber eine andere: Wie verlässlich kennen wir den Erwartungswert?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 42
Standardfehler des arithmetischen Mittelwertes
Wir haben eine Grundgesamtheit, deren genaue Verteilung unbekannt ist, mit Mittelwert und Standardabweichung
Wir machen eine Stichprobe von n Messungen und erhalten einen Mittelwert x und eine Stichprobenstandardabweichung s.
1
1 n
ii
x xn
Unser Mittelwert ist gegeben durch:
1 21
1 , mit identisch verteilten Zufallsgrößen , ,..., .n
i ni
X X X X Xn
Wir betrachten nun die Schätzfunktion:
Wie sieht die Verteilung der X aus?
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Messreihe (Standardfehler, Standardabweichung) 07.11.2019 Vorlesung 02- 43
Standardfehler des arithmetischen MittelwertesWie groß ist ( )?Var X
2 21 1 1
1 1 1 ( )n n n
i i ii i i
Var X Var X Var Xn n n
Die Zufallsgrößen Xi seien unabhängig. Dann gilt:
1 21
1 , mit identisch verteilten Zufallsgrößen , ,..., .n
i ni
X X X X Xn
22
2 21
1 1( ) .n
ii
Var X nn n n
Weiter:
( ) .Xn
Damit:
Der Standardfehler ist ein Maß für die Genauigkeit der Angabe des Mittelwertes.
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Neben der Standardabweichung, die ein Maß
für die Genauigkeit der Messmethode ist,
gibt es den Standardfehler, der ein Maß für
die Verlässlichkeit der Angabe des Mittelwertes ist.
nss x
x
Der Standardfehler
Dies ist also der entscheidende Wert für die Angabe von Messgenauigkeiten!
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Wie groß ist der Fehler des Fehlers ?
Für den relativen Fehler der Standardabweichung gilt (Siehe Squires):
1
2 1x
x
ss n
Die Standardabweichung (Genauigkeit einer Messmethode)ist umso genauer angebbar, je mehr Messungen man durchführt.
Zur Standardabweichung
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Annahme: Der rechnerische Wert der Standardabweichung bei einer Messung seisx = 6,2431754
Wie genau soll ich diesen Wert angeben ?
Beispiel a: Es sind 5 Messungen durchgeführt worden.
1
2 1x
x
ss n
sx/sx = 0,354 , d.h. sx ist auf 35,4% genau bekannt
Daher macht es eigentlich nur Sinn, sx = 6 auf eine signifikante Stelle anzugeben.
35,4% von sx sind 2,2
sx = 6,2 2,2
Der Fehler der Standardabweichung liegt in der ersten Stelle.
Zur Stellenzahl
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Beispiel b: Es sind 50 Messungen durchgeführt worden.
1
2 1x
x
ss n
sx/sx = 0,101 , d.h. sx ist auf 10,1% genau bekannt
Erst bei mehr als 21 Messungen macht es in diesem Beispiel Sinn, sx = 6,2 auf mehr als eine signifikante Stelle anzugeben.
10,1% von sx sind 0,63
sx = 6,24 0,63
Annahme: Der rechnerische Wert der Standardabweichung bei einer Messung seisx = 6,2431754
Wie genau soll ich diesen Wert angeben ?
Zur Stellenzahl
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Mit zunehmender Anzahl von Messungen wird somit die Angabe des Mittelwertes der Stichprobe immer verlässlicher.
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Genauigkeit der Meßmethode.
Der Standardfehler ist ein Maß für die Verlässlichkeit der Angabe des Mittelwertes.
nss x
x
Das bedeutet nicht, dass das Messverfahren genauer wird !
Man kann lediglich bei dieser Messmethode (Standardabweichung) den Mittelwert verlässlicher angeben.
Der Standardfehler - Zusammenfassung
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Aufwändige Messreihen sind bisweilen sinnvoll:1. Um die Genauigkeit der Messmethode zu bestimmen.2. Um systematische Fehler zu erkennen.
Präzise und richtig
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Standardfehler – Konkretes Beispiel
Nummer Zeit/s
1 10,1
2 10,1
3 10,2
4 10,2
5 10,1
6 10,1
7 10,2
8 10,2
9 10,1
10 10,1
1
1 10,140sn
ii
t tn
0, 0163299 stt
ssn
2
1
1 0,05163978s1
n
t ii
s t tn
Ist das jetzt Unsinn?
10,140 0,016 st
Nein: Wir berechnen den Erwartungswert!
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