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24/02/2004 Bases Físicas y Químicas del Medio Ambiente. Tema 14
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Tema 14
Mecánica Cuántica
24/02/2004 Bases Físicas y Químicas del Medio Ambiente. Tema 14
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14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica
14.2 La ecuación de Schrödinger
14.3 Significado físico de la función de onda
14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger
para el átomo de hidrógeno
14.5 Números cuánticos
14.6 Orbitales atómicos
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14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica
Nacimiento de la mecánica cuántica
Planck, Einstein, Bohr, De Broglie, Schrödinger,
Heisenberg ...
A finales del siglo XIX se habían acumulado una serie
de resultados experimentales que no era posible explicar
con la teoría existente (Mecánica clásica)
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Se sabe que los objetos calientes emiten luz de diferentes
colores, por ej.
Rojo oscuro: Elemento calefactor de un horno eléctrico. Blanco: Filamento de una bombilla eléctrica.
La luz emitida por un objeto radiante caliente puede ser
dispersada por un prisma produciendo un ESPECTRO DE
COLOR CONTINUO.
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Longitud de onda
Inte
nsid
ad
7000 K
5000 KComo puede verse en la Figura,
la intensidad de la luz varía
ligeramente con la longitud de
onda, con un máximo a una cierta
λ determinada por la temperatura
de la fuente.
Espectro de la radiación emitida por un cuerpo caliente
Cuanto mayor es T, menor
es λλλλmáxima.
Resultado experimental:
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La RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO es la que emite un cuerpo cuando se calienta.
Como en el caso de los espectros atómicos, la física
clásica no podía proporcionar una completa explicación
de la emisión de la luz por los sólidos calientes, conocida
como la radiación del cuerpo negro.
El Sol se comporta muy aproximadamente como un
cuerpo negro
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Longitud de onda
Inte
nsid
ad 7000 K
5000 K
Predicciones de la
mecánica clásica
La teoría clásica predice que la intensidad de la radiación emitida
debería aumentar indefinidamente (ver líneas discontinuas en la figura).
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En 1900, Planck, para explicar que la intensidad no aumenta
indefinidamente al disminuir la frecuencia, hizo una propuesta revolucionaria:
la energía como la materia, es discontinua.
Esta es la diferencia esencial entre la FÍSICA CLÁSICA
y la nueva TEORÍA CUÁNTICA.
La física clásica no limita la cantidad de energía que un
sistema puede tener, mientras que la teoría cuántica
limita esta energía a un conjunto discreto de valores
específicos.
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El postulado de Planck puede resumirse por la ecuación:
E = h ννννE =energía de un cuanto de radiación electromagnética
h= constante de Planck
νννν = frecuencia
La diferencia entre dos de las energías permitidas de un
sistema también tiene un valor específico llamado CUANTO
de energía.
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•Los espectros de emisión de los elementos (H, He ...)
•El efecto fotoeléctrico
•La radiación de cuerpo negro
Ni la materia ni la radiación son continuas, están
divididas en “partículas” de materia (partículas
subatómicas) o de energía (fotones).
Esta hipótesis explica:
En resumen:
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Principio de Incertidumbre (Heisenberg, 1927)
La mecánica cuántica establece límites a la información
que podemos tener de un sistema.
∆∆∆∆x ∆∆∆∆p ≥≥≥≥ h/ 4ππππ
Error en la medida
de la posición
Error en la medida
del momento
Es una limitación
de la naturaleza
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14.2 La ecuación de Schrödinger
Sabemos que la radiación se puede comportar como
partículas o como ondas, y lo mismo ocurre con la
materia (difracción de electrones)
Las ondas de materia son ONDAS ESTACIONARIAS
La ecuación de propagación de las
ondas de la materia es la
ecuación de Schrödinger
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Un e- o cualquier otra partícula que posea propiedades
de onda podría ser descrita mediante una función
matemática denominada FUNCIÓN DE ONDAFUNCIÓN DE ONDA ψψψψψψψψ. .
Las funciones de onda son las soluciones de la Las funciones de onda son las soluciones de la
ecuaciecuacióón de n de SchrSchröödingerdinger
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)()()( xExxH Ψ=ΨOperador hamiltoniano (equivalente cuántico a la suma
de las energías cinética y potencial clásicas).
La ecuación de Schrödinger es el equivalente
a la conservación de la energía en la mecánica clásica
Función de onda Energía total del sistema
E es lo que hay que comparar con la energía
experimental del sistema. En Mecánica Cuántica
a las magnitudes mensurables experimentalmente
se les llama OBSERVABLES
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)()()()(2 2
22
xExxVxd
xdm
Ψ=Ψ+Ψ− �
= π2
h�
Energía cinética Energía potencial
2
22
2)(
xdd
mxT �−=
Operador energía
cinética
V(x) Operador energía potencial
En una dimensión (x) la ec Schrödinger se escribe
)()()( xExxH Ψ=Ψ
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En principio nosotros sabemos (o suponemos) como son los
operadores energía cinética y energía potencial
(interacciones eléctricas entre las partículas,
ley de Coulomb) y RESOLVIENDO la ecuación de Schrödingerse obtienen E y ψψψψ.
La ec de Schrödinger es una ecuación diferencial que se puede resolver en algunos casos aplicando métodos matemáticos.
Solo algunas de esas soluciones tienen sentido físico
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14.3 Significado físico de la función de onda
En una onda convencional el cuadrado de la función
de onda es proporcional a la intensidad de la
radiación.
En una onda de materia el cuadrado de la función
de onda da la probabilidad de encontrar materia
en ese determinado punto.
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y
z
x
r
=Ψ Vdr 2)( �Probabilidad de encontrar la partícula en un pequeño volumen dV
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14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno
+M
m
p
e-
xy
z
(x, y ,z)
El átomo de hidrógeno
consta de un protón en el
centro y un electrón girando
a su alrededor
Las funciones de onda se
analizan en función de las
3 coordenadas (x, y, z)
necesarias para definir
un punto con respecto
al núcleo.
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Las soluciones de la ecuación de Schrodinger para el
átomo de H proporcionan las funciones de onda para
el e- en el átomo de H. Estas funciones de onda se
llaman ORBITALESORBITALES. Es decir, un orbital es la función
de ondas de un solo electrón.
El átomo de H es uno de los pocos sistemas para el cual se puede resolver la ec. de Schrödinger EXACTAMENTE
(…pero podemos resolverla para otros muchos átomos de
una manera aproximada).
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Ψ=Ψ+
∂Ψ∂+
∂Ψ∂+
∂Ψ∂− ErV
zyxm)(
2 2
2
2
2
2
22�
),,()( zyxΨ=Ψ=Ψ r
reZrV0
2
4)( πε
−=
Depende de r(x,y,z)
Función de onda para el átomo de hidrógeno
Interacción Coulombica
electrón-núcleo
masa del electrón
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14.5 Números cuánticos
Cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger para el
átomo de H vemos que solo tiene solución para posibles
valores de energía.
E = -R
n2
Constante de
Rydberg
n es un número entero (1,2,3 ...) que llamamos
número cuántico.
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Cada valor de n caracteriza un nivel de energía
del átomo de hidrógeno. n se denomina número
cuántico principal
EN EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO la energía depende
SOLAMENTE de n
En los demás átomos la energía depende de otros
números cuánticos
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El valor de la energía para n = 1 es el estado
fundamental del sistema
El resto de los estados (n ≠≠≠≠ 1) se llaman estados
excitados
Se puede pasar de un estado excitado a otro o
al estado fundamental liberando energía
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n2
n1
∆∆∆∆ E ∆∆∆∆ E = R 1 1
n12 n2
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La fórmula que explica qué líneas aparecen en
los espectros de emisión es una consecuencia
de cómo son las soluciones de la ecuación de
Schrödinger
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Al resolver la ec de Schrödinger no solo obtenemos
las energías sino las funciones de onda ψψψψ.
Esas ψψψψ son los ORBITALES ATÓMICOS que
están definidos por TRES números cuánticos.
•n (número cuántico principal) n = 1,2,3 ...
•l (número cuántico secundario) l = 0,1,2 ... n-1Determina las regiones de máxima probabilidad
de encontrar al electrón y está relacionado con el momento angular
•ml (número cuántico magnético) ml = -l,...0...,+lDetermina la orientación en el espacio de un orbital.
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14.6 Orbitales atómicos
Todos los orbitales con el mismo valor de n se
encuentran en la MISMA CAPA
Todos los orbitales con los mismos valores de n y
l pertenecen a la MISMA SUBCAPA
Las capas se numeran de acuerdo a n
Las subcapas se definen mediante letras
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Orbitales atómicos
CAPA SUBCAPA ORBITAL
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CAPA n = 4
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Nº cuánticos posibles para n =4Nº cuánticos posibles para n =4
n = 4 l = 0l = 1
l = 2
l = 3
ml = 0ml = 1ml = 0ml = -1ml = 2ml = 1ml = 0ml = -1ml = -2
n l =n-1 ml = -l ...+l Tipo de orbital
ml = 3ml = 2ml = 1ml = 0ml = -1ml = -2ml = -3
4 s4 px4 py4 pz4 dxy4 dxz4 dyz4 dx2-y24 dz24 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f
2 e-
6 e-
10 e-
14 e-
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Orbitales s
ProbabilidadNube
electrónicaPoseen simetría
esférica
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Orbitales p
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Orbitales d
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Para definir EL ELECTRÓN DENTRO DE LOS
ORBITALES se necesita un cuarto número cuántico
s =ms= +1/2
ms = -1/2
Está relacionado con las propiedades magnéticas
intrínsecas del electrón
Número cuántico de espín
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El experimento de Stern-Gerlach
Sirvió para detectar el espín del electrón
N
S
ms = +1/2
ms = -1/2
Haz de átomos de Ag
IMÁN
rendija
El haz se desdobla en 2
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Número cuántico de spin
El experimento de Stern y Gerlach en
1920 reveló la necesidad de un cuarto
número cuántico, asociado a un momento
Angular intrínseco al electrón
S=1/2Dos estados posibles
ms=+1/2 ms=-1/2
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Spin del electrón
• Las funciones de onda de un solo electrón al considerar el spin se llaman spin orbitales.
• Podemos relacionar el spin con un momento angular intrínseco del electrón
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2s2p
1s
PRO
BAB
ILID
AD
Distancia a0
Funciones de distribución radial
Proporcionan la probabilidad de encontrar al electrón en función de la distancia electrón-núcleo:
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