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grado6o
Enseñanza de las
Matemáticascon Tecnologíapara la Educación PrimariaPROPUESTA HIDALGO
Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz
2
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Básica, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCIT- Hidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo, y sobre todo del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa, del cual surge la Propuesta Nacional.
Autores de EMAT-Hidalgo:Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díazeu_ma_gu@yahoo.com.mx an_ri_di@yahoo.com.mx
Este material fue puesto a prueba en escuelas primarias del Estado de Hidalgo, equipadas por el Programa UNETE-Hidalgo.
Revisión: Ramón GuerreroDiagramación: Lucero CárdenasFormación y diseño: Ana Garza
© EMAT Hidalgo 2012© Ángeles Editores, S.A. de C.V.Campanario 26San Pedro Mártir, TlalpanMéxico, D. F., 14650e-mail angeleseditores@yahoo.comwww.angeleseditores.com
Primera edición: agosto de 2012
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria EditorialReg. Núm. 2608
Impreso en México
Frida Kahlo
Juan A. Hernández
Efrén Rebolledo
Profr. Arnulfo Islas
Once de Julio
Vasco de Quiroga
Melchor Ocampo
Balderrama Soto Oliveria
Chargoy Azuara Yariela
Corona García Humberto
Flores Frías Jorge Arturo
Francisco Olvera María del Carmen
García Alvarado Ma. Guadalupe
García Rivera Yanet
González Bautista Neidy Edith
González Juárez Luz María
Gutiérrez Villar Marusia
Hernández Téllez Marco Antonio
López López Martha Patricia
López Mata Rocío
Profesores ante grupo y Directivos
Escuelas Primarias
Márquez Islas Juanita
Pérez Aráoz Guillermina
Pérez Aráoz José Leopoldo
Pérez Hernández Violeta
Rivera Hernández María
Rivera Oropeza Lucía
Sánchez Fernández Estela
Sánchez Montaño María Araceli
Sánchez Ramírez Humberto Daniel
Sánchez Ruiz Daniel
Torres Sánchez María de Lourdes
Tzuc Yvarra Carlos Ygnacio
Velázquez Arriaga Ericka
Julián Carrillo
Cuauhtémoc
Gral. Felipe Ángeles
Odón Zaragoza Ruiz
Ignacio Zaragoza
Nicolás Bravo
Enseñanza de lasMatemáticascon Tecnologíapara la Educación PrimariaPROPUESTA HIDALGO6o. grado
3
ContenidoContenido
IntroducciónOrganización del texto EMAT-HidalgoProgramación del Sexto Grado de Primaria, EMAT-Hidalgo
SEPTIEMBRELectura, escritura y comparación de números 7División como fracción 10Comparación, orden y encuadre de números decimales 12Operaciones mentales con números naturales 14Clasificación de cuadriláteros 20
OCTUBRECírculo y circunferencia 21Rectas y ángulos 22Rutas y distancias 23Perímetros y áreas 26Porcentajes 27Tablas de datos 27
NOVIEMBREValor posicional 30Recta numérica 32División 35Desarrollos planos 36Área y volumen de prismas 44
DICIEMBREInterpretación de la información matemática 46Factor constante 49Medidas de tendencia central 51
4
Contenido
ENEROMúltiplos de naturales 55Orden en los números fraccionarios y decimales 57Problemas de conteo 59Cociente de números naturales 59
FEBRERORepresentación de puntos en el plano 62Sistema Internacional de Unidades y Sistema Inglés 68Noción de porcentaje 70Gráficas a distinta escala 80
MARZO Y ABRILDivisores de un número 84Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa 86División de fraccionarios entre enteros 89Polígonos regulares inscritos en una circunferencia 91Longitud de una circunferencia 96Experimentos aleatorios 100Problemas de comparación de razones 106
MAYODivisores y múltiplos comunes 111Problemas con divisores o múltiplos comunes 113Producto de fraccionarios, decimales y enteros 115Volumen de Prismas 117
JUNIODiferentes unidades 120Constantes de proporcionalidad 121Situaciones de proporcionalidad 123Probabilidad teórica y frecuencial 125Organizar información 125
BIBLIOGRAFÍA
5
Introducción
Las Herramientas Computacionales (HC) suponen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas.
Mantenernos expectantes o tomar las riendas de emergentes procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.
En el ámbito educativo, las HC constituyen una importantísima ayuda para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.
En definitiva podemos preguntarnos, ¿qué aspectos caracterizan a las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las pueden caracterizar:1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste
tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las actividades que realizarán los estudiantes.
2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo.
3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte de una educación integral.
4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno.Este último, de sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso.
5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues desarrollarán sus actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía.
6
Además de estas ventajas que proporcionan las Tecnologías de la Información en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar el contenido matemático con el de otras asignaturas, contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes hidalguenses.
Por lo anterior, la Subsecretaría de Educación Básica del Estado de Hidalgo, ha implementado el programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller programado, un día al mes durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, de cada modalidad de Educación Primaria, para que a su vez ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores de sus zonas correspondientes.
Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre las dos herramientas tecnológicas: Hoja electrónica de cálculo y Geometría dinámica, las cuales son propuestas originales de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han diseñado y compilado lostextos EMAT-Hidalgo, para quinto y sexto grado escolar de educación primaria.
Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, utilizaremos este Libro de Sexto Grado, EMAT-Hidalgo, para beneficio de nuestros alumnos hidalguenses.
Profr. Joel Guerrero JuárezSecretario de Educación Pública
SEP, Estado de Hidalgo
7
Organización del Libro EMAT-Hidalgo
PRESENTACIÓN
El Libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades didácticas que contemplan el uso de dos piezas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una con los ejes temáticos Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Con lo anterior se cubren las áreas específicas de aritmética, pre-álgebra, geometría, resolución de problemas y modelación matemática. El libro cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas, para las modalidades de Educación Primaria.
En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas dos herramientas computacionales cuentan con un sustento teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico.
La propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.
En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana, al igual que la hoja electrónica de cálculo, para la enseñanza de pre-álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información.
En el espacio para desarrollar el proyecto EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades didácticas programadas semanalmente en el libro.
8
Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello su programación se hace de la siguiente manera:
En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:
Explorar. Formular y validar hipótesis. Expresar y debatir ideas. Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores.
Las sesiones EMAT-Hidalgo, se organizan a partir de actividades didácticas en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la computadora, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.
Finalmente, una reflexión:
La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.
Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera DíazCoordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo
SEPTIEMBRE
Semana Eje BLOQUE UNO Herramienta Pág
1SNPA
Lectura, escritura y comparación de números de diferente cantidad de cifras Hoja de cálculo 13
2 División como fracción GeoGebra 15
9
Programación Sexto Grado
SEPTIEMBRE
Semana Eje BLOQUE UNO Herramienta Pág
1
SNPA
Lectura, escritura y comparación de números Hoja de cálculo 13
2 División como fracción GeoGebra 15
3Comparación, orden y encuadre de números decimales GeoGebra 18
Operaciones mentales con números naturales Hoja de cálculo 21
4 FEM Clasificación de cuadriláteros GeoGebra 22
OCTUBRE
Semana Eje BLOQUE UNO Herramienta Pág
1
FEM
Círculo y circunferencia GeoGebra 24
2 Rectas y ángulos GeoGebra 25
3Rutas y distancias GeoGebra 27
Perímetros y áreas GeoGebra 29
4 MIPorcentajes Hoja de cálculo 31
Tablas de datos Hoja de cálculo 34
NOVIEMBRE
Semana Eje BLOQUE DOS Herramienta Pág
1SNPA
Valor posicional GeoGebra 35
Recta numérica GeoGebra 37
2 División Hoja de cálculo 38
3FEM
Desarrollos planos GeoGebra 40
4 Área y volumen de prismas GeoGebra 42
10
Programación Sexto Grado
DICIEMBRE
Semana Eje BLOQUE DOS Herramienta Pág
1
MI
Interpretación de la información matemática Hoja de cálculo 45
2 Factor constante Hoja de cálculo 47
3 Medidas de tendencia central Hoja de cálculo 50
ENERO
Semana Eje BLOQUE TRES Herramienta Pág
1
SNPA
Múltiplos de naturales GeoGebra 52
2Orden en los números fraccionarios y decimales GeoGebra 54
Problemas de conteo Hoja de cálculo 56
3 Cociente de números naturales Hoja de cálculo 58
FEBRERO
Semana Eje BLOQUE TRES Herramienta Pág
1FEM
Representación de puntos en el plano GeoGebra 59
2 Sistema Internacional de Unidades y Sistema Inglés Hoja de cálculo 61
3MI
Noción de porcentaje Hoja de cálculo 63
4 Gráficas a distinta escala Hoja de cálculo 65
11
Programación Sexto Grado
MARZO Y ABRIL
Semana Eje BLOQUE CUATRO Herramienta Pág
1SNPA
Divisores de un número Hoja de cálculo 67
Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa GeoGebra 70
2 División de fracciones entre enteros Hoja de cálculo 73
3FEM
Polígonos regulares inscritos en una circunferencia GeoGebra 74
4 Longitud de una circunferencia GeoGebra 76
5MI
Experimentos aleatorios Hoja de cálculo 77
6 Problemas de comparación de razones Hoja de cálculo 79
MAYO
Semana Eje BLOQUE CINCO Herramienta Pág
1
SNPA
Divisores y múltiplos comunes Hoja de cálculo 81
2 Problemas con divisores o múltiplos comunes Hoja de cálculo 85
3 Producto de fracciones, decimales y enteros Hoja de cálculo 87
4 FEM Volumen de prismas GeoGebra 90
JUNIO
Semana Eje BLOQUE CINCO Herramienta Pág
1 FEM Diferentes unidades GeoGebra 92
2
MI
Constantes de proporcionalidad GeoGebra 94
Situaciones de proporcionalidad GeoGebra 97
3 Probabilidad teórica y frecuencial Hoja de cálculo 99
4 Organizar información Hoja de cálculo 101
12
Iconos
Al inicio de cada lección aparece un conjunto de elementos mostrando el número de lección, el nombre del archivo a utilizar y el icono que indica qué recurso tecnológico debe usarse para su realización. Éstos son los siguientes.
Este significa que para esta actividad se requiere el uso de la hoja de cálculo.
Número de lección
Nombre del archivo
Icono, el cual, si es:
Este significa que en esta actividad se requiere el uso de geogebra.
LECCIÓN
LECCIÓN
13
1Lectura, escritura y comparación de números
BLOQUE UNO
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, podemos escribir cualquier número. Se recomienda que al escribir cantidades de más de tres cifras, se separen en grupos de tres, de derecha a izquierda; el primer grupo representa las unidades, decenas y centenas; el segundo, los millares, y el tercero los millones.
Los censos nos ofrecen información por entidad federativa y municipios. La siguiente tabla muestra datos sobre la población del estado de Hidalgo, examínala y realiza lo que se indica.
Lecescom
Escribe con palabras los números de la columna Hidalgo
Población
Total 2,665,018 112,336,538
Hombres 1,285,222 54,855,231
Mujeres 1,379,796 57,481,307
Hogares 662,651 28,159,373
Hogares con jefe hombre 504,119 21,243,167
Hogares con jefe mujer 158,532 6,916,206
Promedio de personas por hogar 4.3 3.9
Nacimientos 64,237 2,628,885
Estadística 2010 Hidalgo Estados Unidos Mexicanos
14 BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Resuelve los siguientes ejercicios.1. Anota en el paréntesis la letra que corresponde.
2. Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor.
a) 3.35 0.58 2.36 2.05 4.86
b) 3.5 3.476 4.37 4.672 1.43
3. En las siguientes columnas de números compara las cantidades utilizando los símbolos > (mayor que) o < (menor que) en la columna del centro.
7 563 245 7 324 245
123 098 341 654 938 210
65 327 23 248
9 354.2 9 354.1
2 387 491 322 53 971 233 001
45 29
0.002 0.08
345 554
( ) 92 512 600
( ) 92 500 126
( ) 925 000 126
( ) 925 126
( ) 9 025 126
a) Novecientos veinticinco mil ciento veintiséis.
b) Nueve millones veinticinco mil ciento veintiséis.
c) Noventa y dos millones quinientos doce mil seiscientos.
d) Novecientos veinticinco millones ciento veintiséis.
e) Noventa y dos millones quinientos mil ciento veintiséis.
LECCIÓN
15
2La división como fracción
Divfrac
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Nombramos fracciones impropias a aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador.Ejemplos:
A la derecha de cada figura escribe la fracción que representa su parte iluminada.
Los números fraccionarios (F), son aquellos de la forma ab
tal que a y b son números enteros, y b es diferente de cero.
Las partes de los números fraccionarios son numerador y denominador.Ejemplo:
Dentro de los números F existen los propios y los impropios.Llamamos fracciones propias a aquellas en las que el numerador es menor que el denominador.Ejemplos:
El denominador representa las partes en que se divide un todo, mientras que el numerador indica las partes que tomamos. 1
4
34
, 57
, 810
, 123200
43
, 62
, 458
, 300100
numeradordenominador
14
16 BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Las fracciones representan un cociente en el cual el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.
84
= 28 = dividendo = numerador4 = divisor = denominador2 = cociente
De los ejercicios anteriores se concluye que de las fracciones impropias se generan números mixtos, que son los constituidos por un número entero más una fracción propia.
Para convertir una fracción impropia en un número mixto, dividimos el numerador entre el denominador. El cociente será la parte entera del número mixto y la fracción propia se forma con el residuo como numerador y como denominador el mismo de la fracción impropia.
En las dos tablas siguientes, transforma las fracciones a divisiones en la columna dos y en la tres anota el cociente.
El cociente es el resultado de una división, por lo que ésta representa la misma idea de fracción.
428
Ejemplo: 185
= 3.6 185
= 3 35
3185
3
18530
0
3.6
uno dos tres
185
34
25
196
uno dos tres
174
58
376
610
17Sentido numérico y pensamiento algebraico
196
=
174
=
376
=
185
=
434
=
143
=
Transforma las siguientes fracciones impropias en números mixtos.
¿qué parte le toca a cada niño?
¿qué parte le toca a cada niño?
¿qué parte le toca a cada niño?
¿qué parte le toca a cada niño?
entre
entre
entre
entre
Realiza las siguientes reparticiones y escribe el resultado como fracción.
23
LECCIÓN
18
3
Comorden
Comparación y encuadre de números decimales
BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Si queremos comparar números decimales, una forma de hacerlo es transformar la parte decimal en una suma de fracciones. De esta forma comparamos cantidades. Otra forma es por medio de la recta numérica.Ejemplo:
En los siguientes números, transforma la parte decimal en una suma de fracciones y luego compáralos, escribiendo los símbolos > o < (mayor que y menor que) en la columna del centro.
= 13.21 13.012 =
= 4.018 5.59 =
= 18.39 19.218 =
= 3.109 2.037 =
= 60.01 60.1 =
2 + 210 + 6
100 = 2.26 > 1.75 = 1 + 710 + 5
100
Gráficamente los decimales se expresan de la siguiente manera:1.25 = 1 entero + 2 décimos + 5 centésimos.
5 centésimos
5 centésimos
+ +
+ = 25 centésimos
2 décimos
2 décimos
Un entero
19Sentido numérico y pensamiento algebraico
En la recta numérica:
Entre cualquier par de números decimales o fraccionarios, siempre va a existir otro número en medio.
Para encontrar un número entre dos números decimales, se suman los dos números y se dividen entre 2; también la recta numérica es muy útil, ya que podemos hacer subdivisiones de los números y localizarlos fácilmente.
Por ejemplo, para encontrar el número decimal que está entre 0.4 y 0.5, se suma 0.4 + 0.5 = 0.9 y este resultado se divide entre 2.
Por lo tanto, el número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45
Cada uno de los siguientes rectángulos representa un entero. Escribe cuántos décimos están coloreados en cada uno y anota también el número decimal.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.45
Ubica en la recta numérica los siguientes números:0.9 2.50 5.20 1.70 0.5 3
410
0.4
0 1 2 3 4 5 6
20 BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Si ubicamos un número entre otros dos, decimos que estamos encuadrando un número.
Encuadra cada uno de los siguientes números en el renglón de la tabla que le corresponda.
a) 10.475 b) 2.78 c) 99.945 d) 0.41 e) 13.155f) 12.35 g) 3.425 h) 7.35 i) 11.026 j) 1.325
3.4 < < 3.45
12.30 < < 12.40
7.3 < < 7.4
1.3 < < 1.35
11.05 < < 11.002
10.4 < < 10.55
99.9 < < 99.99
2.76 < < 2.80
0.31 < < 0.51
13.11 < < 13.20
a) 1.5 y 1.6
b) 2.7 y 2.8
c) 3.24 y 3.25
Encuentra el número que está enmedio de las siguientes parejas de números; usa el procedimiento numérico y ubícalos en la recta.
LECCIÓN
21
4
Opermental
Operaciones mentales con números naturales
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Calcula mentalmente lo que se pide.
a) Elige dos números que, al dividirlos, se obtenga como resultado la quinta parte de mil. 500 2000 800 2 4 5
b) Escoge dos números cuya suma se aproxime más al doble de mil. 599 495 597 1203 1500 1403
c) Selecciona dos números que al multiplicarlos den como resultado el triple de mil.30 10 50 600 500 60
Realiza mentalmente los siguientes ejercicios.
1. Si la población de India es de 1 189 173 000 habitantes y la tercera parte son menores de 15 años, ¿cuántos niños menores de 15 años hay en ese país?
2. Si el precio del barril de petróleo crudo es de 108 dólares, ¿cuánto se debe pagar por la compra de 542 mil barriles?
3. Si un buque petrolero carga en promedio 542 mil barriles de petróleo crudo por embarque, ¿cuántos barriles, en promedio, llevará en 4 embarques?
Operación Resultado
Operación Resultado
Operación Resultado
5001800 60
101403
LECCIÓN
22
5
Clascuadri
Clasificación de cuadriláteros
BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
A los polígonos limitados por cuatro rectas se les conoce como cuadriláteros.El punto donde se unen dos rectas se llama vértice.Se llama diagonal a toda recta que une dos vértices no consecutivos.La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º. Los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos, trapecios y trapezoides, según el paralelismo de sus lados.
Paralelogramos. Sus lados opuestos son paralelos.
Trapecios. Sólo tienen un par de lados opuestos paralelos.
Trapezoides. Ninguno de sus lados es paralelo a otro.
De acuerdo a las figuras anteriores, agrega las características básicas faltantes de los siguientes cuadriláteros.
Cuadrado y rectángulo Cuadrado y rombo Rombo y romboide Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno
Cuadrado Rectángulo
Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
RomboideRombo
23Forma, espacio y medida
Relaciona ambas columnas anotando en la última la letra que corresponda, de acuerdo a la descripción dada.
Señala con color los cuadriláteros descritos.
Con azul los que tienen sus cuatro ángulos rectos. Con verde los que tienen solamente dos ángulos rectos. Con rojo los que tienen ángulos opuestos agudos y obtusos de igual
medida.
Descripción Figura
a) Polígono de cuatro lados Trapecio rectángulo
b) Lados opuestos paralelos con dos ángulos rectos
Rombo
c) Cuatro lados y cuatro ángulos desiguales
Romboide
d) Iguales cada dos ángulos opuestos y cuatro lados iguales.
Rectángulo
e) Cuatro ángulos iguales y lados opuestos iguales
Trapezoide
f) Iguales cada dos ángulos opuestos y cada dos lados opuestos
Cuadrilátero
LECCIÓN
24
6
Circircunf
Círculo y circunferencia
BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
El círculo es una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro. La circunferencia de un círculo es la curva que lo limita.
El radio es la recta que va del centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos, y el diámetro es una recta que pasa por el centro de la circunferencia y termina en dos puntos de ella. La medida del diámetro es el doble que la del radio.
Con tu compás, traza una circunferencia abriéndolo a 5 cm.
¿Cuánto mide el diámetro? ¿y el radio?
Traza la circunferencia a partir del centro y el radio indicados a la izquierda.
¿Cuánto mide el diámetro? ¿y el radio?
Circun
fere
ncia
CentroRadio
Diámetro
LECCIÓN
25
7
Rectasangu
Rectas y ángulos
Forma, espacio y medida
A
B
C
La línea recta es toda línea tal que, si una parte cualquiera de ella se coloca de cualquier modo con sus extremos sobre otra parte cualquiera, las dos partes coinciden en todos sus puntos.
Ángulo es la abertura entre dos rectas que se encuentran. El punto donde se encuentran se llama vértice y las dos rectas se llaman lados del ángulo. Para medir un ángulo siempre se cuenta de derecha a izquierda. Por ejemplo, el ángulo formado entre BAC mide 40o.
Ángulo recto. Cuando una recta se cruza con otra formando con ella un ángulo de 90º.
Ángulo agudo. El que es menor que un recto (más de 0º y menos de 90º).
Ángulo obtuso. El que es mayor que un ángulo recto pero menor que dos ángulos rectos (mayor de 90º y menor de 180º).
Ángulo llano. El que está en línea recta. Este ángulo se le conoce también como ángulo de lados colineales. Mide 180º.
Ángulo entrante. El que es mayor de dos ángulos rectos pero menor que cuatro ángulos rectos (mayor de 180º y menor de 360º).
Ángulos adyacentes. Aquellos que tienen un mismo vértice y un lado común.
Ángulos oblicuos. Son ángulos desiguales que se forman cuando se cortan dos rectas. Pueden ser agudos u obtusos.
Ángulos complementarios. Aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto, es decir, la suma de los dos ángulos debe ser igual a 90º.
Ángulos suplementarios. Aquellos cuya suma es igual a un ángulo llano, es decir, la suma de los dos ángulos debe ser igual a 180º.
1A
2 D
CB
Ángulo oblícuo agudo
Ángulo oblícuo obtusoA
DC
B
40º50º
80º 100º
26 BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Traza un par de ángulos según el tipo que se pide y anota sus medidas.
Agudos
Medidas:
Obtusos
Medidas:
Entrantes
Medidas:
Adyacentes
Medidas:
Complementarios
Medidas:
Suplementarios
Medidas:
LECCIÓN
27
8
Rutadist
Rutas y distancias
Forma, espacio y medida
Los mapas son la representación gráfica de una parte de la superficie terrestre, nos ayudan a localizar lugares, ubicar distancias y trazar rutas para ir de un lugar a otro.
La escala es la razón que existe entre las medidas de un mapa o dibujo y las medidas reales del objeto que representa. Ella nos ayuda a inter-pretar mejor los mapas.El mapa de arriba muestra una región del estado de Hidalgo que se co-noce como la zona económica más importante del estado. Su escala es 1: 860 000, lo cual significa que 1 cm del mapa representa 860 000 cm en el terreno.En efecto,
cm
Para convertir 860 000 cm a km, recorre el punto decimal cinco posicio-nes a la izquierda; que corresponden cada una a la unidad inmediata su-perior, dm-m-dam-hm-km. Por lo que 860 000 cm equivalen a 8.6 km, es decir, 1 cm en el mapa corresponde a 8.6 km en el terreno.
28 BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Ejemplo: en el mapa, la distancia de Pachuca a Tulancingo es de 5.05 cm,para calcular la distancia real entre estos lugares, multiplica la distancia en el mapa por la escala, 5.05 × 860 000.
Para convertir 4 343 000 cm a km, recorres el punto decimal cinco po-siciones a la izquierda; que corresponden cada una a la unidad inme-diata superior, dm-m-dam-hm-km. Por lo que 4 343 000 cm equivalen a 43.43 km.
Encuentra una forma más rápida de calcular la distancia en el terreno, a partir de la distancia en el mapa.
5.05 : 1860 000
= 5.05 × 860 0001
= 4 343 000 cm
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Con una regla mide en el mapa la distancia de Actopan a Pachuca, después calcula la distancia real entre esas dos ciudades. Escribe todas las operaciones, como en el ejemplo anterior.
2. Con una regla mide en el mapa la distancia de Zempoala a Pachuca, después calcula la distancia real entre esas dos ciudades. Escribe todas las operaciones.
LECCIÓN
29
9
Periarea
Perímetros y áreas
Forma, espacio y medida
El perímetro de una figura se obtiene sumando las medidas de sus lados.
La siguiente expresión aritmética nos permite obtener el perímetro de un polígono regular
P = n × l
Donde l representa la longitud de un lado y n el número de lados.
Completa los datos de la tabla y calcula el perímetro de los siguientes polígonos regulares.
El área de una figura se define como la medida de la porción de superficie delimitada por su contorno, también llamado perímetro. El contorno puede ser recto o curvo.
Área del triángulo (At) At = b × h2
Donde b = base del triángulo y h = altura.
Área del cuadrado (Ac) Ac = l × l Donde l = lado del cuadrado
Área de un polígono regular (Apr) Apr = P × a2
P = Perímetro y a = apotema. Donde apotema se define como el segmento que va del centro del polígono al punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.
Polígono l n P
Triángulo equilátero 2.5 dm
Cuadrado 4.1 cm
Pentágono 3.7 cm
Hexágono 11.3 mm
30 BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
22.5 cm
Se tienen también las siguientes fórmulas.
Calcula el área de los siguientes polígonos.
24 cm
22.4 cm
12.9 cm
7.4 cm
12.7 cm
Calcula el área de los siguientes polígonos.
21.2 cm
14 cm
10.7 cm
10.8 cm
20.1 cm
Área del trapecio (Atr) Atr = (B + b) h2
Donde B = base mayor, b = base menor.
Área del rombo (Ar) Ar = D × d2
Donde D = diagonal mayor, d = diagonal menor.
Con a = 11.5 cm
a
13.8 cm
LECCIÓN
31
10
Porcentajes
Porcentaje
Manejo de la información
El porcentaje también recibe el nombre de tanto por ciento, y se puede expresar como fracción o como decimal. Enseguida se muestran tres maneras de obtener el tanto por ciento; en este caso el 25% de 300.
a) 25% de 300 = 25 × 300100
= 75
b) 25% = 25100
= 0.25 0.25 × 300 = 75
c) 25% = 25100
= 520
= 14
300 × 14
= 75
Relaciona los valores de las cuatro columnas uniéndolos con una línea de color diferente para cada porcentaje. Sigue el ejemplo.
20100 10% 0.75 3
4
50100 15% 0.25 1
5
10100 20% 0.50 1
4
75100 25% 0.15 1
2
15100 50% 0.10 1
10
25100 75% 0.20 3
20
En México muchos productos están gravados con el Impuesto al Valor Agregado (IVA), que corresponde al 16% de su precio. Eso significa que por cada $100 se deben pagar $16 más.Calcula el IVA de los siguientes productos y escribe su precio total. Utiliza el método que mejor te funcione.
$100 + 16% IVA $200 + 16% IVA $500 + 16% IVA
$100
$200
$500
32 BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Por otra parte, si un artículo cuesta $80, y tiene un descuento de 15%, ¿cuánto cuesta el artículo si se aplica el descuento?
Un procedimiento para calcular el precio con descuento de un artículo es el siguiente:
Otro procedimiento para calcular el precio con descuento de un artículo es este:
1Se divide el porcentaje entre 100.
0. 1 51 0 0 1 5
1 5 05 0 0
0
2Se multiplica el precio del artículo por el resultado anterior.
8 0× 0. 1 5
4 0 08 0
1 2. 0 0
3Al precio original se le resta el resultado del producto anterior.
$80 menos 15% = $68
8 0− 1 2
6 8
1Al 100% del valor total que teníamos le restamos el 15%.
1 0 0− 1 5
8 5
3Se multiplica el precio original por el resultado anterior.
$80 menos 15% = $68
8 0× 0. 8 5
4 0 06 4 06 8. 0 0
2El porcentaje restante se divide entre 100.
0. 8 51 0 0 8 5
8 5 05 0 0
0
33Manejo de la información
Otro procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo es este:
Calcula el precio de los siguientes artículos al aplicarles diferentes porcentajes de descuento.
Ahora bien, si tenemos el caso que un artículo cuesta $60 de contado, y si es a crédito aumenta un 25%, ¿cuánto cuesta el artículo con el aumento?
Un procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo es el siguiente:
Artículo Precio original 50% 25% 10% 15% 5%
Reloj $100
Mochila $200
Calculadora $600
Reproductor MP3 $1 000
1Se divide el porcentaje entre 100.
0. 2 51 0 0 2 5
2 5 05 0 0
0
2Se multiplica el precio del artículo por el resultado anterior.
6 0× 0. 2 5
3 0 01 2 01 5. 0 0
3Se suma el precio original más el resultado del producto anterior.
$60 más 25% = $75
6 0+ 1 5
7 5
1Al 100% del valor total que teníamos le sumamos el 25%.
1 0 0+ 2 51 2 5
3Se multiplica el precio original por el resultado anterior.
$60 más 25% = $75
6 0× 1. 2 5
3 0 01 2 06 07 5. 0 0
2El porcentaje restante se divide entre 100.
1. 2 51 0 0 1 2 5
2 5 05 0 0
0
LECCIÓN
34
11
Tabladatos
Tablas de datos
BLOQUE UNO Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Los datos que se obtienen como resultado de una investigación pueden registrarse en tablas; las tablas son instrumentos que presentan la información en forma agrupada y ordenada para llegar a conclusiones.
Observa las siguientes tablas y menciona las conclusiones a las que puedes llegar.
Conclusiones:
Conclusiones:
Datos de educación y cultura en el estado de Hidalgo, 2009
Escuelas de primaria 4 757
Escuelas de secundaria 1 633
Alumnos egresados de primaria 115 389
Alumnos egresados de secundaria 84 090
Personal docente en primaria 20 076
Personal docente en secundaria 11 110
Bibliotecas públicas 34
Datos sobre el trabajo en el estado de Hidalgo, 2010
Población de 14 y más años de edad 3 623 977
Población económicamente activa 2 034 449
Población económicamente activa ocupada 1 926 312
Población económicamente activa desocupada 108 137
Población no económicamente activa 1 589 528
LECCIÓN
35
1
Valorposi
Valor posicional
BLOQUE DOS
Sentido numérico y pensamiento algebraico
El sistema de numeración decimal y notación posicional tuvo su origen en la India, y fue difundido en Europa por los árabes en el siglo XI. Decimal significa que su base es 10.
Diez unidades de un orden constituyen una unidad del orden superior inmediato, que se coloca a la izquierda de la anterior.
Los números, cifras o dígitos básicos del sistema decimal son 0, 1, 2, 3, …, 9 y tienen un valor absoluto. Sin embargo, al combinarse en una cantidad de dos o más cifras adquieren un valor posicional o relativo, según el lugar que ocupen en dicha cantidad y que aumenta de derecha a izquierda.Determina el valor posicional o relativo de la cifra 3 en las siguientes cantidades.
Uni
dade
s de
mill
ón
Cen
tena
s de
mill
ar
Dec
enas
de
mill
ar
Uni
dade
s de
mill
ar
Cen
tena
s
Dec
enas
Uni
dade
s
7o
orden6o
orden5o
orden4o
orden3er
orden2o
orden1er
orden3ª clase Millones
2ª clase Millares
1ª clase Unidades
131 Tres decenas 3 741
1 345 002 32 109
319 3 140 378
Escribe los nombres de los órdenes de unidades a partir del 8o hasta el 13o.
8o
9o
10o
11o
12o
13o
Decenas de millón
36 BLOQUE DOS Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Establece el valor posicional de cada una de las cifras de las siguientes cantidades:
Determina con los signos >, <, = la relación de orden de las cantidades en cada renglón.
Escribe los siguientes números en forma decimal.
Ejemplo: 27 + 136100
= 28.36 46 + 9810
=
71 + 2301 000
= 62 + 510
+ 73100
=
36 + 3 912100
= 7 + 2 382100
=
2 137 405 2 137 504
328 186 328 681
1 304 177 1 304 717
739 973
926 304 926 304
1 304
45
749
13 502
709 135
65 56
33 043 126 34 043 621
768 541 768 541
67 024 65 420
635 635
LECCIÓN
37
2
Rectanumer
Recta numérica
Sentido numérico y pensamiento algebraico
La recta numérica permite establecer una correspondencia entre los números y los puntos de la recta, en la que se marca una distancia arbitraria como unidad. En la recta numérica se puede verificar la relación de orden de los números, es decir, cuando un número es mayor, menor o igual que otro. El orden es creciente de izquierda a derecha.Ubica y señala con una flecha en la recta numérica, el número que se indica.Ejemplo:
Elige y marca la distancia unidad en la recta numérica para ubicar y señalar, con una flecha, el número que se muestra.
15
55
0 1
45
18
88
0 1
38
−1 0
1
44
0 1
24
0
0.25
0
95
0
47
0
2 23
LECCIÓN
38
3
Division
División
BLOQUE DOS Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Los problemas de reparto y de saber cuántas veces cabe una cantidad en otra, se solucionan con la operación de división. Ésta tiene por objeto, dados dos números, llamados dividendo y divisor, encontrar un tercero llamado cociente, que multiplicado por el divisor, dé como resultado el dividendo; por esta razón, la división es considerada la operación inversa de la multiplicación.
Efectúa las siguientes operaciones.
Ejemplos: 12 ÷ 6 = 2 60 ÷ 5 = 12 260 ÷ 4 = 65 800 ÷ 100 = 8
357
= 5 1089
= 12
Propiedades de la división
Cero dividido entre cualquier número da cero.
No se puede dividir entre cero.
En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.
En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el residuo.
1 3 6 75 6 8 3 5
1 83 3
3 50
51 6 0 0 8 4 0 0
4
8 1 1 0 6 4a)
9 1 7 1 5 4d)
2 6 7 2 8 5b)
8 6 6 4 7 0 1e)
4 5 0 6 0 2 0c)
9 5 0 0 4 0 6 0 0f)
39Sentido numérico y pensamiento algebraico
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Si una persona gana al día $160, ¿cuántos días tiene que trabajar para ganar $2 400?
2. Por 176 carros de juguete se pagaron $4 400, ¿cuánto se pagó por cada uno?
3. En 46 vagones de ferrocarril se cargaron en partes iguales un total de 19 320 sacos de sorgo, ¿cuántos sacos se cargaron en cada vagón?
4. En una fábrica se consumieron 392 000 litros de gas en 280 días laborables. Suponiendo que el consumo diario haya sido constante, ¿cuántos litros de gas se consumieron por día?
3 1 0 9 0 2 3g)
7 7 7 4 4 8j) 7 8 3 5 0 2 1k) 2 0 0 0 0 8 5 0 0 0 0l)
4 0 6 0 7 0 5h) 3 6 0 0 0 7 3 0 6 0 0i)
LECCIÓN
40
4
Desaplanos
Desarrollos planos
BLOQUE DOS Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
Al proceso de generación o construcción de cuerpos geométricos a partir de superficies planas se le conoce como desarrollo plano.Los poliedros son sólidos limitados por planos; éstos se llaman caras, sus intersecciones aristas y las intersecciones de éstas, vértices.
Existen dos categorías de poliedros: los regulares y los irregulares.Los regulares tienen todas las caras iguales y los irregulares tienen por lo menos una de sus caras diferente a las demás. Hay dos tipos de poliedros irregulares, los prismas y las pirámides.Las aristas, vértices y caras se consideran elementos de los poliedros.Identifica y registra el nombre de los siguientes poliedros y señala sus elementos con la inicial correspondiente.
Poliedros Nombre Elementos
TetraedroArista ACara CVértice V
Arista ACara CVértice V
Arista ACara CVértice V
Arista ACara CVértice V
Arista ACara CVértice V
Poliedros Nombre Elementos
Prisma triangular
Arista ACara CVértice V
Arista ACara CVértice V
Arista ACara CVértice V
Arista ACara CVértice V
Arista ACara CVértice V
A
AV
V
C
41Forma, espacio y medida
En una hoja de cartulina, dibuja en un tamaño más grande los desarrollos de cada poliedro; recórtalos y pégalos convenientemente para formar los cuerpos. Identifica su nombre.
LECCIÓN
42
5
Areavolum
Área y volumen de prismas
BLOQUE DOS Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
El volumen de un cuerpo es la medida que se le asocia al espacio del cuerpo.
El área de los cuerpos geométricos está relacionada con la superficie del desarrollo de los planos.
El área lateral de un prisma recto es igual al perímetro de la base por la altura.El área total de un prisma recto es igual al área lateral más el área de las dos bases.El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura.
Calcula el área total y el volumen de los siguientes cubos.
a) Fórmula Sustitución Operación Resultado
a = 8.3 cm
a = 3.7 cm
b) Fórmula Sustitución Operación Resultado
El área total de un cubo es igual a seis veces el cuadrado de la arista.El volumen del cubo es igual a elevar a la tercera potencia la arista; es decir, el cubo de la arista.
Aquí, a significa la arista
Al = P × h
At = Al + 2 (área B)
At = 6a2
a
V = área B × h
V = a3
43Forma, espacio y medida
c) Encuentra el área lateral, el área total y el volumen de un prisma regular hexagonal de las siguientes medidas: 8 cm de altura, 4 cm de lado de la base y 3.5 cm de apotema. Es importante recordar la definición de apotema.
Fórmula Sustitución Operación Resultado
d) Encuentra el área lateral, el área total y el volumen de un prisma octagonal regular de las siguientes medidas: 12 cm de altura, 5.2 cm de lado de la base y 6.1 cm de apotema.
Fórmula Sustitución Operación Resultado
El área lateral de una pirámide regular es igual al perímetro de la base por el apotema de la pirámide (apotema lateral, la recta que va del vértice al punto medio de la base de la cara triangular) entre dos.El área total de una pirámide regular es igual al área lateral más el área de la base.El volumen de una pirámide es igual al área de la base por la altura entre 3.
d) Halla el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular que tiene las siguientes medidas: altura 12 m, apotema 15 m, lado de la base 18 m.
Fórmula Sustitución Operación Resultado
Al = 12
(P × a)
At = Al + área β
V = 13
(área β × h)
Aquí,P = perímetro de la basea = apotema.
44 BLOQUE DOS Enseñanza de las matemáticas con tecnología 6o grado
f) Halla el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide pentagonal regular que tiene las siguientes medidas: 18 m de altura y 16.5 m de apotema; la base tiene 12.4 m de lado y 10 m de apotema.
Fórmula Sustitución Operación Resultado
Las unidades de medida del volumen de un cuerpo pueden ser:
metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3), centímetro cubico (cm3) o milímetro cúbico (mm3),
entre otras.
Resuelve los siguientes ejercicios, determinando el volumen de los cuerpos.
Al ver un prisma rectangular metido en una caja rectangular de 6 cm de altura sólo se observa lo siguiente:
De acuerdo con la figura, ¿cuál es la cantidad de cubos que conforman dicho prisma si cada cubito mide 1 cm por lado?
Observa el siguiente dibujo que representa un mue-ble para acomodar cajas de zapatos y donde cada prisma que se forma es un espacio para una caja.
Si al empleado de la zapatería le dijeron que acomo-dara un pedido de zapatos de 295 cajas, ¿cuántas cajas sobraron para acomodarlas en otro mueble?
12
34
56
78
9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 cm
LECCIÓN
45
6
Intinfmate
Interpretación de la información matemática
Competitividad es la
capacidad de una entidad para atraer
y retener inversiones y
talento.
Manejo de la información
Para interpretar la información, es de suma importancia comprenderla y organizarla.
¿Cómo se encuentra Hidalgo en cuanto al índice de competitividad?En base a los datos de la siguiente gráfica, contesta lo que se pide.
¿Cuánto tiempo se registra la competitividad? De las 32 entidades federativas, ¿qué posición ocupa Hidalgo en
competitividad en el año 2008?
Según esta gráfica, ¿en qué año está mejor posicionado?
La competitividad se mide por diez factores:
Sistema de derecho Manejo sustentable del medio ambiente Sociedad incluyente, preparada y sana Economía estable y dinámica Sistema político estable y funcional Mercado de factores eficientes Sectores precursores de clase mundial Gobiernos eficientes y eficaces Aprovechamiento de las relaciones internacionales Sectores económicos en vigorosa competencia.
Posición competitiva del estado de Hidalgo
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
27 27
29 29 28
30
27 27
Recommended