View
229
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
PENGOPTIMUMAN ALIGNMENT STRUKTUR PROTEIN
MENGGUNAKAN CLIQUE MAKSIMUM
DIAN NUGRAHA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
2
ABSTRAK
DIAN NUGRAHA. Pengoptimuman Alignment Struktur Protein Menggunakan Clique
Maksimum. Dibimbing oleh SISWANDI dan NUR ALIATININGTYAS.
Alignment struktur protein menjelaskan hubungan kesamaan fungsi dari dua jenis protein.
Permasalahan alignment struktur protein dapat dilihat melalui masalah Contact Map Overlap
(CMO). Masalah CMO dapat diselesaikan dengan mencari clique maksimum pada suatu graf,
dimana verteks dan sisi merepresentasikan asam-asam amino dan hubungan antar asam-asam
amino secara berurutan. Pada karya ilmiah ini, permasalahan mencari clique maksimum
menggunakan dua langkah utama, yaitu menyusun beberapa verteks dan sisi berdasar pada sifat
khusus graf dan preprocessing verteks. Implementasi model dilakukan dengan menggunakan
struktur protein hipotetik.
Kata kunci: Contact Map Overlap, alignment, protein, clique maksimum
3
ABSTRACT
DIAN NUGRAHA. Optimization of Protein Structure Alignments Using Maximum Cliques.
Supervised by SISWANDI and NUR ALIATININGTYAS.
An alignment of protein structures describes the relationship of two types of proteins similarity
function. The problems of the protein structure alignments can be identified through the problems
of the Contact Map Overlap (CMO). The problems of CMO can be solved by finding a maximum
clique in a graph, where vertices and edges represent the amino acids and contacts between any
two amino acids respectively. In this paper, the problem of finding maximum cliques is using two
main steps, the arranging vertices and edges based on the special properties of the graph and
preprocessing vertices. Implementation of the model is done by using the structure of a
hypothetical protein.
Keywords: Contact Map Overlap, alignments, protein, maximum cliques
4
PENGOPTIMUMAN ALIGNMENT STRUKTUR PROTEIN
MENGGUNAKAN CLIQUE MAKSIMUM
DIAN NUGRAHA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
5
Judul Skripsi : Pengoptimuman Alignment Struktur Protein Menggunakan
Clique Maksimum
Nama : Dian Nugraha
NIM : G54070045
Menyetujui
Tanggal Lulus:
Pembimbing I,
Drs. Siswandi, M.Si.
NIP: 19640629 199103 1 001
Pembimbing II,
Dra. Nur Aliatiningtyas, MS.
NIP: 19610104 198803 2 002
Mengetahui:
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP: 19650505 198903 2 004
6
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya
sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis
sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah
ini. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. keluarga tercinta: Ibu dan Bapakku (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran,
kepercayaan, kasih sayang, dan motivasinya), Adik-adikku (terima kasih atas doa,
semangat, motivasi dan dukungannya), dan keluarga besar baik dari Ibu dan Bapak
(terima kasih atas doanya),
2. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan
pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,
3. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu,
kritik dan saran, motivasi serta doanya,
4. Muhammad Ilyas. S.Si, M.Sc selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran
dan doanya,
5. segenap dosen Departemen Matematika IPB, terima kasih atas semua ilmu yang telah
diberikan,
6. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Bapak
Deni, Mas Hery, Ibu Yanti atas semangat dan doanya,
7. sahabat terbaik saya, Aulia Retnoningtyas, Pandi, Della Azizah, Mirna Sari Dewi, Wenti
Ismayulia, Eka Nurhasannudin, sahabat-sahabat saya di Pondok Handayani, sahabat-
sahabat saya di DR C30, Komunitas Author of The Dream dan teman-teman Botit yang
tidak bisa saya sebutkan satu persatu (terima kasih atas semangat, motivasi dan doanya),
8. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44: Rizqy, Denda, Imam, Mutia, Masayu,
Sri, Rachma, Fajar, Rofi, Ayung, Lina, Siska, dan teman-teman lainnya atas doa,
dukungan semangatnya serta kebersamaannya selama 4 tahun,
9. kakak-kakak Matematika angkatan 42 dan 43 yang menjadi cermin untuk menjadi pribadi
yang lebih baik,
10. adik-adik Matematika angkatan 45 dan 46 yang terus mendukung agar berkembang,
11. Gumatika yang menunjukkan sebuah hal yang baru,
12. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang
matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, September 2013
Dian Nugraha
7
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 13 Januari 1989 dari bapak Engking Sukiman dan
ibu Ipah Tasripah. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara.
Penulis menyelesaikan pendidikan dasar dan menengah di SD Negeri Benda Baru II pada
tahun 2001, SMP Negeri 2 Pamulang pada tahun 2004, dan tahun 2007 penulis lulus dari SMA
Negeri 1 Kota Tangerang Selatan. Pada tahun 2007 pula penulis diterima sebagai mahasiswa IPB
melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika pada
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi
Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika)
sebagai Staf Divisi Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa (PSDM) tahun 2009-2010. Penulis
pernah menjadi ketua Komisi Disiplin dalam acara Masa Perkenalan Departemen untuk angkatan
2008 dan 2009 atau angkatan 45 dan 46, serta penulis juga pernah menjadi anggota panitia dan
koordinator di berbagai acara kemahasiswaan. Penulis juga aktif dalam organisasi non
kemahasiswaan, yaitu komunitas penulis muda di IPB bernama Author of The Dream dan telah
menerbitkan kumpulan cerpen bersama berjudul SAM! Sinema Akhir Mahasiswa.
8
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ........................................................................................................................ ix
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ x
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................................................. 1
1.2 Tujuan Penulisan .............................................................................................................. 1
II LANDASAN TEORI
2.1 Graf ................................................................................................................................... 1
2.2 Protein .............................................................................................................................. 3
III MASALAH CONTACT MAP OVERLAP
3.1 Contact Map Protein ......................................................................................................... 4
3.2 Contact Map Overlap ....................................................................................................... 4
IV PEMODELAN MASALAH CONTACT MAP OVERLAP
4.1 Relasi Masalah CMO dalam Masalah Clique Maksimum ................................................ 6
4.2 Sifat Khusus Graf ........................................................................................................ 8
4.2.1 Susunan Verteks dalam Graf .............................................................................. 8
4.2.2 Preprocessing Berdasarkan Verteks Tetangga ........................................................ 9
V STUDI KASUS
5.1 Penentuan Graf ............................................................................................................ 12
5.2 Penentuan Batas Bawah Graf ...................................................................................... 13
5.3 Preprocessing Penyelesaian Masalah Contact Map Overlap ........................................... 15
VI SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan ........................................................................................................................... 17
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 18
LAMPIRAN ........................................................................................................................... 19
viii
9
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Derajat setiap verteks di graf ................................................................................ 26
2 Posisi (baris dan kolom) setiap verteks tetangga di graf .................................................. 26
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Graf ................................................................................................................. 1
2 Adjacent dan incident ........................................................................................................ 2
3 Ilustrasi derajat pada graf ................................................................................................... 2
4 Clique-4 ............................................................................................................................. 2
5 Tingkatan struktur protein ................................................................................................. 3
6 Contact map protein A dan B ............................................................................................ 4
7 Contact map overlap pada protein A dan B ....................................................................... 4
8 Masalah CMO takfisibel pada protein A dan B ................................................................. 5
9 Contoh masalah CMO pada protein A dan B .................................................................... 6
10 Contoh solusi fisibel graf berdasar Gambar 9 .............................................................. 7
11 Contoh solusi takfisibel graf berdasar Gambar 8 .......................................................... 7
12 Graf berdasarkan contoh pada Gambar 6 ..................................................................... 7
13 Penomoran diagonal tenggara graf ............................................................................... 8
14 Hipotetis protein A dan B .................................................................................................. 12
15 Verteks yang terbentuk ................................................................................................. 12
16 Overlap , ( } ...................................................................... 12
17 Sisi fisibel .......................................................................................................................... 12
18 Overlap , ..................................................................... 13
19 Sisi fisibel .......................................................................................................................... 13
20 Overlap , ..................................................................... 13
21 Sisi fisibel .......................................................................................................................... 12
22 Graf Gp berdasar Gambar 14 ............................................................................................. 13
23 Penyederhanaan notasi graf .......................................................................................... 13
24 Verteks sebagai awal .............................................................................................. 14
25 ...................................................................................................................... 14
26 ......................................................................................................... 14
27 .............................................................................................. 14
28 Clique-4 dengan ..................................................... 14
29 Penomoran diagonal tenggara graf ................................................................................ 15
30 Diagonal tenggara (5) dan (6) graf ............................................................................... 15
31 Subgraf berisi verteks diagonal tenggara (5) dan (6) dari graf ..................................... 15
32 Graf hasil Langkah 2 ......................................................................................................... 15
33 Graf hasil Langkah 3 ......................................................................................................... 16
34 Verteks awal .......................................................................................................... 16
35 Pewarnaan verteks merah dan biru .................................................................................... 16
36 Pewarnaan verteks merah, biru dan kuning ........................................................................ 16
37 Hasil pewarnaan graf .................................................................................................... 16
38 Clique maksimum graf ................................................................................................. 17
39 Solusi optimal graf ....................................................................................................... 17
40 Overlap optimal masalah CMO berdasar Gambar 14 ........................................................ 17
41 Posibilitas pasangan overlap fisibel berdasar Gambar 14 .................................................. 22
ix
10
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Pembuktian Lemma 2 ........................................................................................................ 20
2 Pembuktian Teorema 1 ...................................................................................................... 20
3 Pembuktian Lemma 3 ........................................................................................................ 21
4 Pembuktian Lemma 4 ........................................................................................................ 21
5 Posibilitas CMO fisibel untuk mencari jumlah berdasarkan Gambar 12 ................ 22
6 Penentuan banyaknya derajat setiap verteks di graf ..................................................... 26
7 Penentuan posisi baris atau kolom verteks tetangga untuk setiap verteks di graf ......... 26
x
11
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Protein merupakan salah satu bio-
makromolekul yang penting peranannya
dalam makhluk hidup. Protein terbentuk dari
rangkaian asam-asam amino yang terikat satu
sama lain dalam ikatan peptida. Urutan asam
amino yang khas dan berbeda akan
memengaruhi konformasi tiga dimensi (3D)
dalam struktur tersier pada setiap jenis protein.
Ketika suatu polipeptida dalam protein
melipat, asam amino yang tidak berturutan di
dalam rangkaian aslinya dapat juga sangat
dekat dan membentuk suatu hubungan contact
antara satu sama lain yang diakibatkan oleh
pengaruh fisik dan kimiawi protein tersebut.
Hubungan contact yang terjadi dalam struktur
tersier tersebut dapat direpresentasikan secara
simetri sebagai contact map.
Contact map dalam protein dapat
dinyatakan sebagai suatu graf takberarah yang
merepresentasikan secara singkat struktur tiga
dimensi dari protein dengan verteks
menyatakan asam amino dan sisi antara dua
verteks menyatakan keadaan dua asam amino
yang mengalami contact. Pada contact map
yang ekuivalen dalam dua protein, akan
terdapat suatu alignment yang menunjukkan
suatu ikatan antara contact-contact dalam
protein pertama dengan contact-contact dalam
protein kedua. Setiap pasangan contact
tersebut dinamakan overlap.
Masalah Contact Map Overlap (CMO)
bertujuan mengukur kesamaan antara dua
struktur tersier protein dengan
membandingkan kedekatan asam amino yang
tidak berturutan. Solusinya adalah dengan
menentukan jumlah overlap maksimum yang
dapat terbentuk. Model masalah Contact Map
Overlap dari alignment struktur protein dapat
digambarkan sebagai masalah maksimum
clique dalam suatu kasus pendefinisian graf.
Sebuah clique dalam graf adalah subgraf
dengan sifat bahwa setiap pasang verteksnya
terhubung oleh sisi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
masalah Contact Map Overlap yang optimal
pada protein dengan menggunakan metode
maksimum clique. Sumber utama karya ilmiah
ini diambil dari jurnal yang berjudul Optimal
Protein Structure Alignment Using Maximum
Cliques (Dawn M Strickland et al. 2005).
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah
sebagai berikut :
1. Menyelesaikan masalah CMO pada protein
dengan cara mencari clique maksimum
dalam suatu masalah graf.
2. Memberikan studi kasus untuk mencari
solusi yang optimal dalam masalah CMO.
II LANDASAN TEORI
2.1 Graf
Definisi 1 (Graf)
Suatu graf adalah pasangan terurut
dengan atau adalah himpunan
berhingga dan takkosong dari elemen graf
yang disebut verteks (node, point), sedangkan
atau adalah himpunan pasangan yang
menghubungkan dua verteks dalam graf
disebut sisi (edge, line). Setiap sisi pada
dapat dinotasikan dengan atau .
Banyaknya verteks dari suatu graf disebut
order dan banyaknya sisi pada suatu graf
disebut size.
(Chartrand & Zhang 2009)
Graf :
vu y
xw
Gambar 1 Graf .
Pada Gambar 1 diperlihatkan graf dengan
dan
Order dari graf pada Gambar 1 adalah 5 dan
size-nya adalah 4.
12
Definisi 2 (Adjacent dan incident)
Misalkan dan verteks pada graf .
Verteks dikatakan tetangga (adjacent) dari
jika ada sisi yang menghubungkan verteks
dan , yaitu . Himpunan semua
tetangga dari verteks dinotasikan dengan
. Jika adalah sisi pada graf
maka dikatakan incident dengan verteks
dan .
(Chartrand & Zhang 2009)
Graf :
u v
wx
e1
e2e3 e4
e5
Gambar 2 Adjacent dan incident.
Ilustrasi adjacent dan incident
diperlihatkan pada Gambar 2. Verteks
adjacent dengan verteks dan tetapi
verteks tidak adjacent dengan verteks .
Verteks incident dengan sisi , tetapi
verteks tidak incident dengan sisi .
Definisi 3 (Derajat/degree)
Derajat suatu verteks adalah banyaknya
sisi yang incident dengan verteks , dan
dinotasikan dengan atau atau
.
(Vasudev 2007)
Graf :
uv
w
x
y
z
Gambar 3 Ilustrasi derajat pada graf.
Pada Gambar 3 diperlihatkan bahwa
, , dan
.
Definisi 4 (Subgraf)
Suatu graf dikatakan subgraf dari graf
jika dan .
(Chartrand & Oellermann 1995)
Graf merupakan subgraf dari graf .
Definisi 5 (Neighbour/neighbor)
Neighbour/neighbor dari himpunan
verteks dalam graf adalah himpunan dari
semua verteks yang adjacent dengan verteks
dalam dan dinotasikan dengan .
(Chartrand & Oellermann 1995)
Definisi 6 (Clique)
Clique dalam graf adalah subgraf dari
dimana untuk setiap pasang verteks dan
dalam , . Clique dikatakan
maksimum (clique maksimum) jika tidak ada
clique lain yang dapat dibentuk dan memuat
order lebih besar daripada clique tersebut di
graf . Banyaknya order maksimum dalam
suatu clique disebut clique number dari graf
dan dinotasikan oleh . Clique dapat
dituliskan sebagai clique-k adalah clique yang
dibentuk oleh verteks.
(Chartrand & Oellermann 1995)
Sebagai ilustrasi, graf pada Gambar 4
merupakan clique maksimum berdasarkan
graf dengan clique-4.
Graf :
v
w
x
y
Gambar 4 Clique-4.
Definisi 7 (Pewarnaan/coloring)
Pewarnaan dari graf merupakan
pemberian warna verteks dari , sehingga
verteks yang adjacent mempunyai warna yang
berbeda. Jika ada warna yang digunakan,
maka pewarnaan disebut sebagai n-coloring.
(Chartrand & Oellermann 1995)
13
Definisi 8 (Chromatic number)
Chromatic number dari suatu graf
adalah banyaknya warna minimum yang dapat
digunakan dalam pewarnaan graf dan
dinotasikan dengan .
(Vasudev 2007)
Definisi 9 (Graf Perfect)
Graf perfect adalah suatu graf yang
mempunyai clique number dan chromatic
number yang sama .
(Chartrand & Oellermann 1995)
2.2 Protein
Protein merupakan polimer yang dibentuk
dari rangkaian asam-asam amino, yaitu
molekul organik yang memiliki gugus
karboksil (COOH) dan gugus amino (NH2)
(Campbell et al. 2004). Dua asam amino yang
diposisikan sedemikian rupa sehingga gugus
karboksil dari satu asam amino berdekatan
dengan gugus amino dari asam amino yang
lain akan membentuk suatu ikatan kovalen
yang disebut ikatan peptida. Jika proses itu
dilakukan berulang-ulang, maka akan
menghasilkan polipeptida, suatu polimer yang
terdiri dari banyak asam amino yang berikatan
melalui ikatan peptida.
Jenis protein sangat beragam, tetapi semua
molekulnya dibangun dari kumpulan 20 asam
amino yang sama dengan urutan asam amino
yang khas dan berbeda. Hal ini disebabkan
karena kondisi fisik dan kimiawi lingkungan
protein tersebut. Perbedaan urutan asam
amino yang unik di sepanjang rantai
polipeptida menentukan konformasi (bentuk-
bentuk molekul) tiga dimensi apa yang akan
diambil oleh protein tersebut. Banyak protein
berbentuk globuler (secara kasar agak bulat),
sementara yang lain bentuknya seperti serat.
Protein adalah makromolekul yang
mempunyai struktur paling kompleks. Bentuk
arsitektur kompleks protein terdiri dari tiga
tingkatan struktur yang saling berimpitan
yaitu struktur primer, sekunder dan tersier.
Struktur primer terdiri dari asam-asam amino
yang dihubungkan oleh ikatan peptida dan
mempunyai urutan yang spesifik. Struktur
sekunder adalah pelipatan atau pelilitan
polipeptida dalam konfigurasi berulang,
seperti α-heliks dan lembaran berlipat-lipat
(β-sheet) yang dihasilkan dari pembentukan
ikatan hidrogennya. Struktur tersier adalah
keseluruhan bentuk tiga dimensi suatu
polipeptida dan dihasilkan dari interaksi
antara rantai-rantai samping asam amino.
Tingkatan keempat, yaitu struktur kuartener
yang terjadi ketika suatu protein terdiri atas
dua atau lebih rantai polipeptida (Campbell et
al. 2004).
Protein dapat mengalami pelipatan
(folding). Pelipatan protein memengaruhi
konformasi tiga dimensi dalam rangkaian
polipeptida yang mengakibatkan adanya
hubungan contact asam-asam amino antara
satu protein ke protein lain. Hubungan contact
ini disebabkan adanya kesamaan sifat fisik
dan kimiawi antara asam-asam aminonya.
Gambar 5 Tingkatan struktur protein (primer
(atas) sampai dengan kuartener (bawah))
14
III MASALAH CONTACT MAP OVERLAP
3.1 Contact Map Protein
Struktur tersier protein menggambarkan
konformasi tiga dimensi (3D) yang dapat
disederhanakan menjadi dua dimensi melalui
contact map antar asam amino. Ahli biologi
mendefinisikan contact map dalam protein
sebagai graf takberarah yang berisi satu
verteks untuk satu asam amino dan sisi antara
dua verteks menyatakan bila antara dua asam
amino yang tidak berturutan dalam keadaan
“in contact”, yaitu jika karbon alfa dari dua
asam amino yang tidak berturutan sangat
dekat satu sama lain dalam struktur tersier
protein.
Ketika protein melipat, ikatan peptida
memaksa asam-asam amino yang berturutan
dalam rangkaian aslinya pun dapat juga sangat
dekat antara satu sama lain dalam struktur
tersier. Dikarenakan asam amino dan
berturutan, mereka saling berbagi ikatan
peptida dan secara otomatis mengalami
contact. Namun contact yang demikian tidak
dianggap dan tidak dibahas dalam
permasalahan ini.
Secara matematika, Erik Bernstein (2008)
mendefinisikan contact map dari suatu
rangkaian polipeptida yang
mengandung asam amino dapat
direpresentasikan sebagai suatu graf
takberarah dengan himpunan
verteks dan sebagai
himpunan sisi , dengan syarat:
Misalkan diberikan dua protein, yaitu
protein A dan protein B yang masing-masing
memiliki 6 asam amino. Pada protein A, asam
amino 1 mengalami contact dengan asam
amino 3 dan 4, tetapi tidak dengan asam
amino 2, 5 dan 6. Selanjutnya contact lain
terjadi pada asam amino 2 dengan 6, asam
amino 3 dengan 1 dan 5, serta asam amino 4
dengan 1 dan 6.
Pada protein B, asam amino 1 mengalami
contact dengan asam amino 2 dan 4, tetapi
tidak dengan asam amino 3, 5 dan 6.
Selanjutnya contact lain terjadi pada asam
amino 2 dengan 1 dan 5, asam amino 3
dengan 6, serta asam amino 4 dengan 1 dan 6.
Sehingga didapatkan protein A dan protein B
sama-sama memiliki 5 contact map yang
dapat dilihat pada Gambar 6 berikut.
Protein A
1 2 3 4 5 6
Protein B
1 2 3 4 5 6
Gambar 6 Contact map protein A dan B.
3.2 Contact Map Overlap
Masalah Contact Map Overlap (CMO)
merupakan permasalahan dalam pencarian
overlap terbanyak yang dapat dibentuk dari
asam-asam amino yang berikatan antara dua
jenis protein. Tujuannya adalah memetakan
kesamaan antara dua struktur tersier protein
dengan membandingkan kedekatan dari asam
amino yang tidak berturutan dan memberikan
suatu alignment antara contact map di protein
pertama dengan contact map di protein
kedua. Setiap pasangan contact antara dua
protein yang dihubungkan oleh suatu
alignment tersebut dinamakan “overlap”.
Misalkan diberikan suatu masalah CMO
pada protein A dan protein B sebagai berikut:
Protein A
1 2 3 4 5 6
Protein B
1 2 3 4 5 6
Gambar 7 Contact map overlap pada protein
A dan B.
15
Pada Gambar 7, garis putus-putus antara
asam-asam amino pada protein A dan protein
B merepresentasikan alignment. Diketahui
bahwa terdapat alignment dari asam amino 1
pada protein A dengan asam amino 1
pada protein B , dengan ,
dengan , dengan dan dengan .
Suatu overlap
adalah suatu pasangan terurut dimana contact
A dan contact B dihubungkan oleh alignment.
Berdasarkan hal tersebut, hubungan antara
contact dengan contact ,
contact dengan contact , dan
contact dengan contact adalah
overlap, yaitu ,
dan .
Suatu alignment akan fisibel jika telah
memenuhi dua pembatasan sebagai berikut:
1) Tidak ada asam amino dari satu protein
dapat diberi alignment dengan lebih dari
satu asam amino pada protein lain. Asumsi
ini disebut pembatasan eksklusifitas.
2) Urutan asam amino dapat dipertahankan
secara baik dalam alignment. Artinya
alignment tidak boleh saling bersilangan,
yaitu jika asam amino i dan j dalam satu
protein diberi alignment dengan asam
amino dan dalam protein lain,
maka harus berlaku jika dan hanya
jika . Asumsi ini disebut
sebagai pembatasan pengurutan.
Pada Gambar 7, alignment yang terbentuk
adalah alignment fisibel karena telah
memenuhi pembatasan eksklusifitas (1) dan
pembatasan pengurutan (2), sehingga masalah
masalah CMO yang terbentuk akan fisibel.
Jika terbentuk suatu alignment yang tidak
memenuhi pembatasan eksklusifitas (1) dan
pembatasan pengurutan (2), maka alignment
akan takfisibel. Sehingga masalah CMO yang
terbentuk juga akan takfisibel. Gambar 8
berikut akan menunjukkan contoh masalah
CMO yang takfisibel.
Protein A
1 2 3 4 5 6
Protein B
1 2 3 4 5 6
Gambar 8 Masalah CMO takfisibel pada
protein A dan B.
Pada Gambar 8, diketahui bahwa asam
amino memiliki dua alignment yang
menghubungkan asam amino ( ) dan asam
amino ( ). Kemudian terdapat alignment
yang saling bersilangan ketika overlap yang
dibentuk adalah pada dan
. Berdasarkan hal tersebut,
pembatasan eksklusifitas (1) dan pembatasan
pengurutan (2) dilanggar, sehingga masalah
CMO tersebut takfisibel.
16
IV PEMODELAN MASALAH CONTACT MAP OVERLAP
4.1 Relasi Masalah CMO dalam Masalah
Clique Maksimum
Dalam menentukan banyaknya overlap
maksimum yang terjadi di antara dua protein,
masalah CMO dapat ditransformasikan
menjadi suatu masalah maksimum clique pada
graf khusus dengan verteks
dimana menyatakan himpunan contact
protein A dan menyatakan himpunan
contact protein B.
Verteks dinyatakan dalam grid baris
dan kolom, dengan verteks baris untuk setiap
contact di dan verteks kolom untuk setiap
contact di . Oleh karena itu setiap verteks
bersesuaian dengan overlap pada contact
dalam protein A dan contact
dalam protein B. Secara implisit, suatu
verteks yang demikian merepresentasikan
suatu alignment dari asam amino dengan
asam amino dan alignment dari asam
amino dengan asam amino . Sisi ada
antara dua verteks jika pasangan verteks
tersebut overlap dan juga merupakan solusi
fisibel dari contact map overlap yang terjadi.
Solusi dari masalah CMO akan fisibel
(solusi fisibel) jika telah memenuhi syarat
kefisibelan alignment, yaitu memenuhi
pembatasan eksklusifitas (1) dan pembatasan
pengurutan (2).
Lemma berikut akan menunjukkan bahwa
setiap verteks merepresentasikan solusi
fisibel untuk CMO.
Lemma 1
Diberikan protein A dengan contact
dan protein B dengan contact , setiap
verteks dari adalah solusi
fisibel untuk CMO.
Bukti:
Anggap suatu verteks sembarang
bersesuaian dengan contact dan
. Tanpa menghilangkan sifat
umumnya, asumsikan bahwa dan
. Selanjutnya jika asam amino
dengan asam amino dan dengan
diberikan suatu alignment, maka terdapat
order-preserving alignment yaitu tidak ada
asam amino yang dapat diberi alignment
dengan lebih dari satu asam amino. Sehingga
memenuhi syarat kefisibelan alignment.
Misalkan diberikan suatu contoh masalah
CMO sebagai berikut:
Protein A
1 2 3 4 5 6
Protein B
1 2 3 4 5 6
Gambar 9 Contoh masalah CMO pada
protein A dan B.
Pada Gambar 9, dapat diketahui bahwa
overlap yang terbentuk antara protein A dan
protein B, yaitu overlap ,
dan ,
memiliki alignment yang fisibel karena telah
memenuhi pembatasan eksklusifitas dan
pembatasan pengurutan. Berdasarkan masalah
CMO pada Gambar 9, akan ditunjukkan cara
menentukan verteks dan sisi yang merupakan
solusi fisibel.
Misalkan diberikan:
1. Verteks dengan
dan .
2. Verteks dengan
dan .
3. Verteks dengan
dan .
Sehingga sisi yang terbentuk adalah:
1.
2.
3.
Selanjutnya graf yang didapatkan juga
merupakan suatu solusi fisibel bagi masalah
CMO dan dapat dilihat pada Gambar 10.
17
B1B2 B1B4 B2B5 B3B6 B4B6
A1A3
A1A4
A2A6
A3A5
A4A6
Protein B
Pro
tein
A
Gambar 10 Contoh solusi fisibel graf
berdasar Gambar 9.
Kemudian, berdasarkan Gambar 8,
verteks dan sisi yang terbentuk juga
merupakan solusi takfisibel dalam graf dan
dilihat pada Gambar 11.
B1B2 B1B4 B2B5 B3B6 B4B6
A1A3
A1A4
A2A6
A3A5
A4A6
Protein B
Pro
tein
A
Gambar 11 Contoh solusi takfisibel graf
berdasar Gambar 8.
Untuk mendapatkan suatu graf
berdasar pada Gambar 6, terlebih dahulu
dicari semua kemungkinan contact map
overlap yang dapat terbentuk dan merupakan
solusi fisibel. Sehingga berdasar pada
kemungkinan yang telah didapatkan,
selanjutnya sisi dalam graf-graf tersebut
digabungkan menjadi satu graf yang utuh
yaitu graf .
B1B2 B1B4 B2B5 B3B6 B4B6
A1A3
A1A4
A2A6
A3A5
A4A6
Protein B
Pro
tein
A
Gambar 12 Graf berdasarkan contoh pada
Gambar 6.
Gambar 12 menunjukkan graf untuk
masalah Contact Map Overlap berdasar pada
Gambar 6. Graf tersebut dibentuk oleh 25
verteks dan 24 sisi.
Setelah didapatkan suatu graf ,
selanjutnya akan dicari solusi optimal dengan
cara mencari clique maksimum yang
terbentuk dalam graf .
Misalkan diketahui himpunan verteks
. Untuk setiap himpunan verteks
dalam , jika masing-masing pasangan
verteks bersesuaian dengan suatu solusi
fisibel CMO, maka semua himpunan verteks
juga bersesuaian dengan solusi fisibel CMO.
Hal itu merupakan relasi jika dan hanya jika,
sehingga pasangan fisibel ini merupakan
syarat perlu dan syarat cukup untuk
kefisibelan seluruh himpunan seperti
ditunjukkan pada Lemma 2 berikut.
Lemma 2
Diberikan protein A dan protein B,
himpunan verteks bersesuaian dengan
solusi fisibel CMO jika dan hanya jika setiap
pasangan verteks , bersesuaian
dengan solusi fisibel CMO.
(pembuktian Lemma 2 dapat dilihat pada
Lampiran 1)
18
Selanjutnya akan ditunjukkan suatu solusi
optimal untuk masalah CMO akan bersesuaian
dengan suatu clique maksimum dalam . Hal
ini dijelaskan dalam Corollary 1 sebagai
berikut:
Corollary 1
Diberikan protein A dan protein B,
terdapat korespondensi satu-satu antara clique
di dengan solusi yang fisibel untuk CMO
dan clique maksimum di bersesuaian
dengan solusi optimal untuk CMO.
Bukti:
Hasil dari Corollary 1 merupakan akibat
langsung dari Lemma 2 dan dari definisi
bahwa solusi optimal bagi CMO adalah
jumlah maksimum verteks yang fisibel secara
bersamaan di .
Berdasarkan Lemma 2 dan Corollary 1,
didapatkan suatu transformasi dari masalah
CMO ke masalah maksimum clique dan
menunjukkan bahwa suatu clique maksimum
di bersesuaian dengan solusi optimal dari
CMO.
4.2 Sifat Khusus Graf
Berikut akan dijelaskan beberapa sifat
khusus graf yang berguna dalam
preprocessing step untuk mencari solusi
optimal dalam graf . Preprocessing step
adalah langkah untuk mencari clique
maksimum dan pewarnaan minimum dalam
graf sehingga didapatkan suatu graf perfect
yang merupakan solusi
optimal dari graf .
4.2.1 Susunan Verteks dalam Graf
Verteks dari graf disusun menjadi dua
dimensi grid, yaitu baris untuk setiap contact
pada protein A dan kolom untuk setiap
contact pada protein B. Selanjutnya semua
sisi dalam graf diatur agar mempunyai
orientasi (arah) yang sama. Hal tersebut dapat
dilihat pada Teorema 1 berikut.
Teorema 1
Diberikan suatu protein dengan
menyatakan
contact map dengan dan
menotasikan
asam amino dari protein . Untuk setiap
protein , didefinisikan suatu lexicographic
ordering yaitu contact
dalam
diurutkan berdasarkan urutan menaik dan
urutan menaik . Jika graf disusun dengan
cara tersebut, maka semua sisi dalam akan
berorientasi menuju ke kanan bawah ( ) atau
arah ini dinamakan “diagonal tenggara”.
(pembuktian Teorema 1 dapat dilihat pada
Lampiran 2).
Berdasar pada Teorema 1, diberikan suatu
cara untuk memberikan penomoran himpunan
diagonal tenggara dari graf , dengan
mengawali penomoran dari baris paling akhir
kolom pertama sampai baris awal kolom
terakhir. Dengan kata lain himpunan diagonal
tenggara dari graf adalah himpunan semua
verteks pada graf sepanjang semua garis
dengan slope -1 (lihat Gambar 13).
B1B2 B1B4 B2B5 B3B6 B4B6
A1A3
A1A4
A2A6
A3A5
A4A6
(1) (2) (3) (4) (5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Protein B
Pro
tein
A
Gambar 13 Penomoran diagonal tenggara
graf .
Verteks graf yang terletak pada baris
kolom (verteks ) dan pada baris
kolom (verteks ) berada pada diagonal
tenggara yang sama jika .
Selanjutnya berikan penomoran diagonal
tenggara dari kiri bawah menuju kanan atas
graf , sehingga verteks adalah salah
satu dari verteks pada diagonal tenggara ke
dengan adalah banyaknya
baris. Pada diagonal tenggara ke
19
terdapat verteks sebanyak
verteks, dengan adalah banyaknya kolom.
Misalkan akan ditunjukkan letak dan
banyaknya verteks yang berada sepanjang
diagonal tenggara dari verteks
atau verteks pada baris kedua dan kolom
ketiga (verteks ) pada Gambar 12.
Diketahui jumlah baris , dan jumlah
kolom . Nilai dari
dan
= = 4.
Disimpulkan bahwa verteks adalah
bagian dari diagonal tenggara bernomor 6 dan
memiliki 4 verteks sepanjang diagonal
tenggaranya.
Selanjutnya penomoran diagonal tenggara
akan digunakan sebagai alat untuk mereduksi
graf dengan menggunakan Lemma 3
sebagai berikut:
Lemma 3
Tidak ada clique yang lebih besar dari
clique- dapat memiliki verteks yang berada
pada diagonal tenggara yang berisikan
verteks atau kurang.
(pembuktian Lemma 3 dapat dilihat pada
Lampiran 3).
Berdasar hasil Lemma 3, jika diberikan
suatu batas bawah (lower bound) di graf
, maka semua diagonal tenggara di graf
yang mempunyai verteks atau kurang akan
dapat dihapus. Hal itu bertujuan mereduksi
graf dan menunjukkan bahwa suatu clique
maksimum terdapat pada himpunan diagonal
tenggara tersebut.
Untuk mencari batas bawah dalam
menentukan clique maksimum di graf ,
akan digunakan suatu metode berdasarkan
(Strickland, DM. 2008) sebagai berikut:
Misalkan diberikan graf ,
1. Ambil .
2. Pilih sebagai verteks di graf yang
berderajat maksimum. Tambahkan ke .
3. Pilih verteks berderajat terbesar yang
adjacent dengan , tambahkan ke . Lalu
hapus semua verteks yang tidak adjacent
dengan dari .
4. Jika kosong, maka berhenti. Jika tidak,
kembali ke langkah 2.
Pada dasarnya, akan memuat verteks
dengan derajat terbesar yang terhubung satu
sama lain membentuk clique. Order dari
himpunan yang dihasilkan adalah suatu
clique- dalam graf dan juga merupakan
batas bawah dari clique maksimum di
( ).
Dari penjelasan Lemma 3 di atas, jika
diberikan suatu nilai atau clique-3,
maka diagonal tenggara yang memuat verteks
kurang dari atau sama dengan tiga ,
maka akan dapat dihapus. Pada Gambar 13,
diagonal tenggara yang memiliki nomor (1),
(2), (3), (7), (8) dan (9) akan dapat dihapus.
4.2.2 Preprocessing Berdasarkan Verteks
Tetangga
Untuk menghapus beberapa bagian
diagonal tenggara graf , verteks dapat
dihilangkan berdasarkan sifat tetangga
mereka. Tetangga dari verteks adalah semua
verteks sedemikian , yaitu semua
verteks yang saling berbagi sisi dengan .
Kedua sifat berikut ini harus diketahui
untuk memberikan akses dalam penghapusan
suatu verteks di .
Sifat 1
Tidak ada clique yang lebih besar dari
clique- dapat memuat verteks yang memiliki
tetangga kurang dari .
Sifat 1 menjelaskan bahwa jika diberikan
suatu batas bawah pada graf , maka
semua verteks yang memiliki tetangga kurang
dari akan dapat dihapus.
Misalkan diberikan suatu nilai .
Maka verteks yang memiliki derajat kurang
dari empat (verteks tetangga ) dapat
dihapus. Sebagai contoh, misalkan pilih salah
satu verteks dalam graf (lihat Gambar 11),
yaitu verteks atau verteks .
Diketahui bahwa verteks bertetangga
dengan tiga verteks, yaitu verteks ,
verteks dan verteks . Dengan kata
lain, verteks memiliki derajat ,
maka verteks dapat dihapus.
20
Selanjutnya, Sifat 2 berikut akan
menjelaskan suatu pewarnaan berdasarkan
verteks tetangganya.
Sifat 2
Tidak ada clique yang lebih besar dari
clique- dapat memuat verteks yang
tetangganya dapat diwarnai kurang dari
warna.
Bukti:
Dikarenakan tidak ada dua verteks
berwarna sama dapat mempunyai sisi, maka
tidak ada clique yang dapat memuat
keduanya. Oleh karena itu, semua verteks dari
clique harus mempunyai warna yang berbeda,
sehingga tidak ada verteks yang tetangganya
diwarnai dengan warna atau kurang,
dapat berada dalam clique yang lebih besar
dari .
Berdasarkan Sifat 2, digunakan suatu
definisi pewarnaan, yaitu setiap verteks harus
secara pasti ditetapkan satu warna dan tidak
ada dua verteks dan yang terhubung oleh
sisi dapat mempunyai warna yang sama. Hal
ini berarti, warna ( ) ≠ warna ( ).
Namun terdapat dua kesulitan dalam
mengaplikasikan Sifat 2 secara langsung.
Pertama, menemukan jumlah warna minimum
yang diperlukan untuk mewarnai tetangga
verteks adalah permasalahan yang sulit.
Kedua, mewarnai tetangga setiap verteks akan
sangat memakan waktu. Oleh karena itu,
Corollary 2 berikut diberikan untuk mereduksi
verteks dan sisi dalam graf sehingga akan
mempermudah dalam pencarian clique
maksimum dengan menggunakan metode
pewarnaan.
Corollary 2
Ketika graf disusun berdasar pada
Teorema 1, tidak ada clique yang lebih besar
dari clique- dapat memiliki verteks yang
tetangganya berada kurang dari baris atau
kurang dari kolom di graf .
Bukti:
Dikarenakan semua sisi dalam adalah
tenggara, maka tidak ada dua verteks dan
dalam baris yang sama dapat dihubungkan
oleh sisi (sebab sisi akan menjadi timur-
barat, tetapi sisi tersebut tidak ada). Sehingga,
tidak ada clique yang dapat memuat dua
verteks dari baris yang sama.
Akibatnya verteks dengan tetangga yang
berada dalam paling banyak baris tidak
dapat ada dalam clique dengan lebih dari
verteks lain dan demikian tidak dapat
ada dalam clique yang lebih besar dari .
Argumen yang serupa dapat diaplikasikan
untuk kolom.
Sebagai konsekuensi dari Corollary 2,
didapatkan cara sederhana untuk menghapus
verteks yang derajatnya kurang dari , yaitu
dengan menghapus semua verteks yang
derajat baris atau kolomnya (jumlah baris atau
kolom yang tetangganya berada dalam baris
atau kolom tersebut) kurang dari .
Setelah graf direduksi berdasar pada
Corollary 2, selanjutnya Sifat 2 akan
digunakan sebagai langkah akhir untuk
mencari clique maksimum. Dari penjelasan
sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dalam
metode preprocessing terdapat empat tipe
verteks yang dapat dihapus berdasarkan batas
bawah , sebagai berikut:
(1) = verteks yang berada pada diagonal
tenggara pertama atau terakhir di .
(Lemma 3)
(2) = verteks yang memiliki tetangga
atau kurang di . (Sifat 1)
(3) = verteks yang tetangganya berada
pada baris/kolom atau kurang di
. (Corollary 2)
(4) = verteks yang tetangganya dapat
diberi warna atau kurang di .
(Sifat 2)
Diketahui bahwa metode (4)
menyamaratakan metode (1)-(4). Lemma
selanjutnya memformulasikan ide ini.
21
Lemma 4
Diberikan sebuah graf CMO dan
dengan menggunakan definisi dari , ...,
dari (1)-(4) diatas, hubungan berikut adalah
benar : (a) , (b) , dan (c)
.
(pembuktian Lemma 5 dapat dilihat pada
Lampiran 5)
Selanjutnya untuk menentukan suatu
metode pewarnaan dalam graf dan
mengaplikasikan Sifat 2 secara langsung,
Observasi berikut dibutuhkan untuk
memberikan penjelasan mengenai graf CMO.
Observasi
Ketika graf Gp disusun berdasar pada
Teorema 1, dua verteks dari baris yang sama
dan kolom berurutan (atau kolom yang sama
dan baris berurutan) biasanya memiliki sifat
yang sama dengan tetangganya.
Mengacu pada dua verteks dalam baris
yang sama dan kolom berurutan (atau kolom
yang sama dan baris berurutan) sebagai
verteks adjoining. Diketahui bahwa sebagian
besar tetangga dari dua verteks adjoining
dan adalah berbagi. Sehingga dapat
digunakan kembali pewarnaan tetangga
verteks ketika mencari pewarnaan tetangga
dari verteks .
Ambil menjadi warna penetapan
untuk verteks ketika mewarnai tetangga dari
verteks . Kemudian berikan suatu pewarnaan
dari tetangga , partisi tetangga dari verteks
adjoining menjadi dua himpunan :
(1) . Karena verteks adalah
tetangga dari , maka dapat digunakan
kembali warnanya;
.
(2) . Karena verteks adalah
bukan tetangga dari , tidak ada warna
penetapan awal untuk .
Dari keterangan di atas didapatkan suatu
cara pewarnaan dengan menetapkan warna
verteks dalam himpunan (1) dan kemudian
menentukan warna minimum untuk verteks
dalam himpunan (2). Selanjutnya akan
digunakan metode urutan derajat warna
pertama untuk mencari batas atas dalam
menentukan suatu clique maksimum di graf
berdasarkan (Strickland, DM. 2008)
sebagai berikut:
Misalkan diberikan graf ,
1. Warnai verteks dengan warna .
2. Warnai verteks yang adjacent dengan
dengan warna dan verteks yang tidak
adjacent dengan dapat diberi dengan
warna sebelumnya ( ).
3. Kemudian untuk setiap verteks berturut-
turut, pilih warna berbeda dan minimum
yaitu tidak ada warna verteks yang
adjacent dengan berbagi dengan warna
yang sama.
Hasil dari metode pewarnaan ini
memberikan suatu batas atas graf ( )
yang akan digunakan untuk memeriksa
apakah clique maksimum yang didapatkan
merupakan solusi optimal bagi masalah CMO
dengan syarat batas bawah graf sama
dengan batas atas graf .
22
V STUDI KASUS
Misalkan diberikan dua hipotetik protein
yaitu, protein A yang memiliki 8 asam amino
dan protein B yang memiliki 7 asam amino.
Contact map antara asam-asam amino dalam
protein A dan protein B adalah sebagai
berikut:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
Gambar 14 Hipotetik protein A dan B.
Pada Gambar 14, terlihat bahwa terdapat
5 contact pada protein A dengan =
{ , , , , }
dan 6 contact pada protein B dengan =
{ , , , , ,
}. Sehingga didapatkan banyaknya
verteks ={ , ,
, , ,
, , ,
..., } yang terbentuk berjumlah
30 verteks sebagai berikut:
Pro
tein
A
Protein B
B1B3 B1B5 B1B6 B3B5 B3B6
A1A3
A1A6
A2A6
A3A6
A6A8
B5B7
Gambar 15 Verteks yang terbentuk.
5.1 Penentuan Graf .
Untuk menentukan suatu graf , terlebih
dahulu dicari sisi yang dapat dibentuk dari
banyaknya kemungkinan overlap yang terjadi
berdasar Gambar 14. Berikut adalah beberapa
contoh kemungkinan overlap yang dapat
dibentuk dan merupakan fisibel:
1. Misalkan overlap ,
( } seperti pada Gambar 16.
Sehingga didapatkan sisi yang fisibel
seperti pada Gambar 17.
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
8
Protein A
Protein B Gambar 16 Overlap ,
( }
B1B3 B1B5 B1B6 B3B5 B3B6
A1A3
A1A6
A2A6
A3A6
A6A8
B5B7
Protein B
Pro
tein
A
Gambar 17 Sisi fisibel.
2. Misalkan overlap ,
seperti pada Gambar 18.
Sehingga didapatkan sisi yang fisibel
seperti pada Gambar 19.
23
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
Gambar 18 Overlap ,
.
B1B3 B1B5 B1B6 B3B5 B3B6
A1A3
A1A6
A2A6
A3A6
A6A8
B5B7
Protein B
Pro
tein
A
Gambar 19 Sisi fisibel.
3. Misalkan overlap ,
seperti pada Gambar 20.
Sehingga didapatkan sisi yang fisibel
seperti pada Gambar 21.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
Gambar 20 Overlap ,
.
B1B3 B1B5 B1B6 B3B5 B3B6
A1A3
A1A6
A2A6
A3A6
A6A8
B5B7
Protein B
Pro
tein
A
Gambar 21 Sisi fisibel.
Beberapa kemungkinan overlap lain yang
fisibel dapat dilihat pada Lampiran 5.
Berdasar pada hal tersebut, maka didapatkan
suatu graf yang terdiri dari 30 verteks dan
30 sisi sebagai berikut:
B1B3 B1B5 B1B6 B3B5 B3B6 B5B7
A1A3
A1A6
A2A6
A3A6
A6A8
Protein B
Pro
tein
A
Gambar 22 Graf Gp berdasar Gambar 14.
5.2 Penentuan Batas Bawah Graf .
Untuk mempermudah notasi dalam
mencari suatu batas bawah pada graf ,
dilakukan penyederhanaan terhadap Gambar
17 sebagai berikut:
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 23 Penyederhanaan notasi graf .
24
Penentuan batas bawah atau nilai dari
suatu clique maksimum yang terdapat dalam
graf , digunakan metode heuristik
(Strickland, DM. 2008), sebagai berikut :
Langkah 1. Misalkan .
Langkah 2. Pilih verteks dengan derajat
terbesar di sebagai verteks awal dalam
mencari clique yaitu verteks atau
yang berderajat 7, sehingga .
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 24 Verteks sebagai awal.
Langkah 3. Hapus semua verteks yang
tidak adjacent dengan , yaitu dengan
menghapus 23 verteks lainnya, yaitu verteks
{ , , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
, , , ,
, } dan .
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Protein B
Gambar 25 .
Langkah 4. Pilih verteks berderajat
terbesar yang adjacent dengan , yaitu
atau . Misalkan pilih dan
tambahkan ke dalam , sehingga
dan selanjutnya hapus
verteks yang tidak adjacent dengan ,
yaitu , dan .
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 26 .
Langkah 5. Pilih verteks berderajat
terbesar yang adjacent dengan , yaitu
. Tambahkan ke dalam ,
sehingga dan
selanjutnya hapus verteks yang tidak adjacent
dengan , yaitu .
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 27 .
Langkah 6. Tambahkan ke dalam
. Kemudian berhenti, maka yang terbentuk
merupakan clique maksimum dari graf Gp
dengan
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 28 Clique-4 dengan
25
Berdasarkan hasil tersebut didapatkan
batas bawah atau clique maksimum
dengan clique-4.
5.3 Preprocessing Penyelesaian Masalah
Contact Map Overlap.
Diketahui nilai atau clique-4
sebagai batas bawah. Untuk mencari solusi
optimal pada graf digunakan langkah-
langkah sebagai berikut :
Langkah 1. Hapus semua himpunan
diagonal tenggara yang berisi 4 verteks atau
kurang (Lemma 3). Susun graf sesuai
dengan Teorema 1. Berikan penomoran
diagonal tenggara mulai dari baris lima kolom
satu ( ), sampai baris satu kolom enam
( ) sebagai berikut:
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Protein B
Pro
tein
A
2 3 4 5 61
1
2
3
4
5
Gambar 29 Penomoran diagonal tenggara
graf .
Selanjutnya, hapus semua diagonal tenggara
yang memuat verteks 4, yaitu hapus
diagonal tenggara bernomor (1), (2), (3), (4),
(7), (8), (9) dan (10).
(5) (6)
Protein B
Pro
tein
A
2 3 4 5 61
1
2
3
4
5
Gambar 30 Diagonal tenggara (5) dan (6)
graf .
Berdasar hal tersebut, suatu clique maksimum
akan terdapat pada graf yang tersusun oleh
verteks: , , , ,
, , , , dan
, sebagai berikut:
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
(5) (6)
Gambar 31 Subgraf berisi verteks diagonal
tenggara (5) dan (6) dari graf .
Langkah 2. Hapus semua verteks yang
memiliki tetangga verteks . (Sifat 1).
Dengan kata lain, verteks berderajat
pada graf dapat dihapus. Maka, suatu
clique maksimum pada graf dimungkinkan
akan terbentuk oleh verteks: , ,
, , dan .
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 32 Graf hasil Langkah 2.
Keterangan ,
, dan . Derajat setiap
verteks dapat dilihat pada Tabel 1 Lampiran 6.
Langkah 3. Hapus semua verteks yang
memiliki tetangga berada pada baris atau
kolom (Corollary 2). Cukup pilih salah
satu diantara baris atau kolom yang
memenuhi. Verteks yang memenuhi adalah
26
, , dan . Posisi
baris atau kolom setiap verteks tetangga dapat
dilihat pada Tabel 2 Lampiran 7.
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 33 Graf hasil Langkah 3.
Langkah 4. Hapus semua verteks yang
tetangganya dapat diwarnai dengan warna
(Sifat 2). Berdasar pada Langkah 1, diketahui
bahwa suatu clique yang maksimum akan
terdapat pada diagonal tenggara (5) dan (6).
Selanjutnya graf hasil dari Langkah 3 akan
digunakan untuk mencari pewarnaan
minimum dengan metode heuristik sederhana,
sebagai berikut:
1. Misal dijadikan sebagai verteks
awal dan beri warna merah.
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 34 Verteks awal .
2. Pilih verteks berderajat terbesar yang
adjacent dengan , yaitu dan
beri warna biru. Selanjutnya verteks yang
tidak adjacent dengan , yaitu
, dan dapat diberi
warna merah. Verteks yang tidak adjacent
dengan , yaitu dapat diberi
warna biru.
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 35 Pewarnaan verteks merah dan
biru.
3. Pilih verteks yang adjacent dengan
dan , yaitu dan beri warna
kuning. Selanjutnya dan
dapat diberi warna kuning juga.
Protein BP
rote
in A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 36 Pewarnaan verteks merah, biru
dan kuning.
4. Pilih sebagai dan beri warna hijau.
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 37 Hasil pewarnaan graf .
27
Sehingga didapatkan suatu pewarnaan
minimum dengan 4 warna ( ) dan
clique yang disusun oleh , ,
dan .
Protein B
Pro
tein
A
1
2
3
4
5
2 3 4 5 61
Gambar 38 Clique maksimum graf .
Berdasar hasil tersebut, diketahui bahwa
clique-4 ( ) adalah clique
yang maksimum pada graf dan merupakan
solusi optimal bagi masalah CMO dengan
overlap = { , ,
, }.
Pro
tein
A
Protein B
B1B3 B1B5 B1B6 B3B5 B3B6
A1A3
A1A6
A2A6
A3A6
A6A8
B5B7
Gambar 39 Solusi optimal graf .
Jika ditranformasikan kedalam bentuk graf
CMO, maka didapatkan gambar overlap yang
optimal sebagai berikut:
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
8
Protein A
Protein B
Gambar 40 Overlap optimal masalah CMO
berdasar Gambar 14.
VI SIMPULAN
Masalah Contact Map Overlap (CMO)
pada protein dapat direpresentasikan ke dalam
suatu kasus pendefinisian graf dengan
menggunakan masalah clique maksimum
untuk mencari solusi optimalnya. Diawali
dengan mengurutkan susunan graf sesuai
dengan sifat khusus graf CMO dan verteks
tetangga. Selanjutnya dengan beberapa
langkah dicari clique maksimum yang
terbentuk dan optimal bagi masalah CMO.
Masalah Contact Map Overlap (CMO)
pada karya ilmiah ini diterapkan pada dua
hipotetik protein, yaitu protein A dengan 8
asam amino dan protein B dengan 7 asam
amino. Solusi optimal yang didapatkan adalah
clique-4 yaitu graf yang terdiri atas verteks:
, , dan , atau
dengan overlap = { ,
, , }.
28
DAFTAR PUSTAKA
Campbell, J. B. Reece, L. G dan Mitchell.
2004. Biologi. Edisi kelima. Jilid 1.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
Chartrand G, Oellermann OR. 1995. Applied
and Algorithmic Graph Theory. New
York: McGraw-Hill.
Chartrand G, Zhang P. 2009. Chromatic
Graph Theory. London: CRC Pr.
Pardalos, P. M., J. Xue. 1994. The Maximum
Clique Problem. Global Optim. 4(3) 301–
328.
Strickland D.M. 2008. Teaching Note – Using
the Maximum Clique Problem to Motivate
Branch-and-Bound. INFORMS pp. 96-99.
Strickland D.M, Barnes E, Sokol J.S. 2005.
Optimal Protein Structure Alignment
Using Maximum Cliques. ABI/INFORM
Global pg. 389-402.
Vasudev C. 2006. Graph Theory with
Applications. New Delhi: New Age
International.
29
LAMPIRAN
30
Lampiran 1
Pembuktian Lemma 2
Diberikan protein A dan protein B, himpunan verteks bersesuaian dengan solusi fisibel
CMO jika dan hanya jika setiap pasangan verteks , bersesuaian dengan solusi fisibel
CMO.
Bukti :
→ Misalkan S adalah himpunan verteks di Np. Anggap bahwa terdapat dua verteks dan
sebagai pasangan yang takfisibel. Selanjutnya pembatasan ekslusifitas dan pembatasan
pengurutan dilanggar. Dengan kata lain, baik itu (1) dan menyaratkan asam amino pada
satu protein untuk diberikan alignment dengan lebih dari satu asam amino dalam protein lain,
(2) alignment yang terbentuk melanggar sifat pembatasan; yaitu dan . Dalam
kedua kasus, penambahan sisa verteks di tidak akan mengganti sifat ini, sehingga seluruh
himpunan juga akan takfisibel.
← Misalkan adalah himpunan verteks yang takfisibel. Selanjutnya pembatasan ekslusifitas
dan pembatasan pengurutan harus dilanggar. Sehingga himpunan tersebut harus berisi baik itu
(1) asam amino dalam satu protein yang diberi alignment dengan dua asam amino dan
dalam protein lain, atau (2) asam amino dalam satu protein yang diberikan
alignment dengan asam amino dalam protein lain. Pada kasus (1), dua verteks
dalam yang diberikan alignment pada dengan dan dengan adalah pasangan
yang takfisibel, dan pada kasus (2), verteks yang diberi alignment pada dengan dan
dengan adalah pasangan yang takfisibel.
Lampiran 2
Pembuktian Teorema 1
Diberikan suatu protein dengan
menyatakan contact map
dengan dan
menotasikan asam amino dari protein . Untuk setiap protein , didefinisikan
suatu lexicographic ordering yaitu contact
dalam diurutkan berdasarkan urutan
menaik dan urutan menaik . Jika graf disusun dengan cara tersebut, maka semua sisi
dalam akan berorientasi menuju ke kanan bawah ( ) atau arah ini dinamakan “diagonal
tenggara”.
Bukti :
Diketahui bahwa istilah berikut adalah setara: tenggara dan baratlaut, timurlaut dan baratdaya,
utara dan selatan, serta timur dan barat. Berdasarkan hal tersebut terdapat empat kemungkinan arah
untuk sisi dalam : utara, timur, tenggara dan timur laut.
Suatu verteks dalam diwakili oleh
yang mengindikasikan bahwa
contact dalam protein A dipetakan ke contact dalam protein B (dan dengan demikian titik
akhir mereka sejajar :
). Untuk memudahkan, verteks ini dinotasikan dengan
. Suatu sisi dalam menunjukkan pemetaan serempak dari contact dan
dalam protein A ke contact dan dalam protein B. Sehingga tiap sisi dan akan
menjadi sisi tenggara. Kemudian akan ditunjukkan tidak ada sisi yang dapat mempunyai arah lain
ketika contact disusun berdasar teorema.
(1) Anggap bahwa adalah sisi utara. Selanjutnya dan mewakili contact yang
sama dalam protein B. Dikarenakan dan tidak dapat menjadi contact yang sama (selain itu
), baik itu
atau
. Pada kedua kasus, hal ini akan melanggar
pembatasan bahwa tidak ada asam amino di protein B dapat diberi alignment dengan dua asam
amino di protein A dalam solusi yang fisibel. Oleh karena itu, tidak ada sisi utara di .
31
(2) Anggap bahwa adalah sisi timur. Selanjutnya dan mewakili contact yang
sama dalam protein A. Dikarenakan dan tidak dapat menjadi contact yang sama (selain itu
), baik itu
. Pada kedua kasus, hal ini akan melanggar
pembatasan bahwa tidak ada asam amino di protein A dapat diberi alignment dengan dua asam
amino di protein B dalam solusi yang fisibel. Oleh karena itu, tidak ada sisi timur di .
(3) Anggap bahwa adalah sisi timurlaut. Kemudian pengurutan membutuhkan
dan . Sehingga baik itu
, atau
dan
. Sama halnya, baik itu
, atau
dan
. Sekarang pertimbangkan bahwa alignment tersirat oleh sisi
berikut:
(a) Jika
dan
, selanjutnya alignment di dengan
dan dengan
melanggar persyaratan pengurutan dari solusi yang fisibel. Persyaratan yang sama dilanggar
jika
,
,
dan
.
(b) Jika
,
dan
, selanjutnya alignment di dengan
dan dengan
melanggar persyaratan eksklusivitas dari solusi yang fisibel (baik itu
dan diberi
algnment dengan
). Persyaratan yang sama dilanggar jika
,
dan
.
Lampiran 3
Pembuktian Lemma 3
Tidak ada clique yang lebih besar dari clique- dapat memiliki verteks yang berada pada
diagonal tenggara yang berisikan verteks atau kurang.
Bukti :
Pertimbangkan tiap verteks dalam sebuah graf . Verteks dapat mempunyai sisi
yang menghubungkan hanya pada verteks strictly tenggara dan strictly baratlaut, yaitu verteks
dalam himpunan (tenggara) dan dalam himpunan
(baratlaut). Catat bahwa jika atau , himpunan tenggara akan
menjadi kosong dan jika atau , himpunan barat laut akan menjadi kosong.
Dikarenakan tidak terdapat sisi horizontal atau vertikal dalam , clique dapat berisikan paling
banyak satu verteks dari tiap baris atau kolom. Oleh karena itu, size dari clique yang berisikan
verteks adalah , yang bersesuaian dengan
kemungkinan verteks baratlaut terbanyak ditambah kemungkinan verteks baratdaya terbanyak,
ditambah verteks itu sendiri.
Penghitungan untuk setiap kemungkinan minimize, memberikan batas atas dalam size clique
sebagai berikut:
. Setelah disederhanakan, batas atas dalam clique terbesar berisikan
verteks dapat mempunyai paling banyak verteks,
yang secara pasti jumlah verteks dalam tenggara diagonal dari itu mengandung verteks .
Lampiran 4
Pembuktian Lemma 4
Diberikan sebuah graf CMO dan dengan menggunakan definisi dari , ..., dari (1)-(4)
diatas, hubungan berikut adalah benar : (a) , (b) , dan (c) .
Bukti :
a) Anggap bahwa verteks berada di tenggara diagonal dari , dengan demikian
berada di kiri bawah (tenggara) segitiga dari graf. Selanjutnya dan
dapat mempunyai tetangga hanya dalam kolom pertama dan baris terakhir.
Dikarenakan tidak ada sisi horizontal dan vertikal, warnai tetangga dari dalam
– – warna. Oleh karena itu, . Argumen yang sama
adalah benar untuk verteks dalam tenggara diagonal terakhir.
32
b) Anggap bahwa verteks . Selanjutnya, verteks memiliki tetangga atau
kurang. Walaupun setiap tetangga ditetapkan dengan warna berbeda, semua tetangga dapat
diwarnai menggunakan warna atau kurang. Oleh karena itu, .
c) Anggap bahwa verteks . Selanjutnya, tetangga verteks terletak pada
baris/kolom atau kurang. Dikarenakan tidak ada sisi horizontal dan vertikal di , warnai
tetangga dalam warna atau kurang dengan menggunakan satu warna untuk setiap baris
(atau kolom). Oleh karena itu, .
Lampiran 5
Posibilitas pasangan overlap fisibel untuk mencari jumlah berdasarkan Gambar 14.
1. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
2. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
3. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
4. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
5. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
6. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
33
7. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
8. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
9. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
10. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
11. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
12. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
13. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
14. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
34
15. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
16. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
17. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
18. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
19. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
20. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
21. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
22. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
35
23. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
24. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
25. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
26. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
27. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
28. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
29. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
30. = { , }.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
Protein B
Protein A
36
Berdasarkan beberapa posibilitas di atas,
maka didapatkan suatu graf penuh (graf )
yang disusun dari 30 verteks dan 30 sisi.
B1B3 B1B5 B1B6 B3B5 B3B6 B5B7
A1A3
A1A6
A2A6
A3A6
A6A8
Protein B
Pro
tein
A
Lampiran 6
Penentuan banyaknya derajat setiap verteks di graf .
Tabel 1 Derajat setiap verteks di graf .
Derajat Verteks
0 , , , , , 1 , , , , , 2 , , , , , , ,
, , 3 , , 4 , , 5 6 -
7
Lampiran 7
Penentuan posisi baris atau kolom verteks tetangga untuk setiap verteks di graf .
Tabel 2 Posisi (baris dan kolom) setiap verteks tetangga di graf .
Baris Kolom Verteks
0 0 , , , , , 1 1 , , , , , 1 2 , , , , 2 1 2 2 , , , , 3 1 3 2 , 3 3 3 4 4 3 , ,
Recommended