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Problemas planteados de Análisis matricial de pórticos con cargas en barras
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DIPLOMADO EN CÁLCULO Y DISEÑO ESTRUCTRUAL APLICADO A EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO Y ALBAÑILERÍA
Análisis matricial de pórticos con cargas en barras
Resolver los siguientes problemas del texto: 7.2, 7.6, 7.9, 7.15,
7.16 (carga uniforme parcial), 7.26 y 7.28. En todos los casos,
verificar manualmente algunos resultados clave y luego verificar
todos los resultados usando Matlab o MASTAN2.
Resolver detalladamente el ejemplo 7.12, con I = 300x106 mm4, R
= 10 m, P = 100 kN. Verificar los resultados obtenidos usando
MASTAN2.
Problema 7.2
Formular la función de forma para el elemento axial de 4 nudos
usando:
Solución
La función de forma del elemento mostrado se define como:
tal que: ...(a)
o expresado matricialmente:
M.I. José Velásquez Vargas – jvelasquez@uptrujillo.edu.pe
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donde:
La función que define el desplazamiento axial de cualquier punto
debe satisfacer las condiciones de borde.
Es decir,
Pa
ra ... (1)
Pa
ra ... (2)
Pa
ra
... (3)
Pa
ra
... (4)
Combinando las ecuaciones (2) y (3) se tiene:
... (2)
... (3)
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...(5)
Combinando las ecuaciones (2) y (4) se tiene:
... (2)
... (4)
...(6)
Ahora bien, combinamos las ecuaciones (5) y (6) para despejar
...(5)
...(6)
Reemplazando en (5), se tiene:
Asimismo reemplazando y en (2), se tiene:
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Entonces el desplazamiento axial del elemento viene expresado
como:
Agrupando en forma conveniente se tiene:
De acuerdo a la expresión (a), se tiene que las funciones de forma
para este elemento axial son:
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Problema 7.6
Formular la matriz de rigidez del elemento sometido a flexión
mostrado, ensamblando la función de forma a partir del polinomio
cuártico siguiente:
Solución
(a) Funciones de forma
La función de forma del elemento mostrado se define como:
tal que: ...(a)
o expresado matricialmente:
donde:
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Se tiene por definición que el desplazamiento vertical y la rotación
de cualquier punto dentro del elemento están dados por:
...(b)
... (c)
Las condiciones de borde a satisfacer son las siguientes:
Pa
ra ... (1)
... (2)
Pa
ra ... (3)
... (4)
Pa
ra
... (5)
Combinando las ecuaciones (3) y (4) se tiene:
... (3)
... (4)
... (6)
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Combinando las ecuaciones (3) y si (5) se tiene:
... (3)
... (5)
... (7)
Ahora bien, combinamos las ecuaciones (6) y (7) para despejar
... (6)
... (7)
Reemplazando en (6), se tiene:
Reemplazando y en (3), se tiene:
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Luego de calcular las constantes, reemplazando en (b) se tiene:
Y agrupando en forma conveniente se tendrá:
De acuerdo a la expresión (a) se tiene que las funciones de forma y
sus segundas derivadas son:
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(b) Matriz de Rigidez
Según el Principio de Desplazamientos Virtuales se tiene que la
matriz de rigidez de un elemento está definido como:
O si se quiere se tiene que cada coeficiente de la matriz de rigidez
está dado por:
Aprovechando la simetría de la matriz de rigidez, calculamos los
coeficientes de la triangular inferior, de la sgte. manera:
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Finalmente, la matriz de rigidez de la viga viene dada en la
siguiente expresión:
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Problema 7.9
La ecuación diferencial que gobierna la flexión en una viga, que
representa la condición de equilibrio vertical, es .
Verificar la función de forma y la variación del momento de inercia
usado en el ejemplo 7.3 del texto si satisface esta condición.
Solución
Según el ejemplo 7.3 del texto, se tiene que la variación del
momento de inercia está dada por:
... (1)
El ejemplo 7.3 calcula el desplazamiento vertical del nudo usando
una formulación aproximada basada en las funciones de forma de
viga de sección uniforme (considerando que el miembro está
empotrado en el nudo 2).
Considerando , se tiene que la función de forma utilizada
es:
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Y por lo tanto la curvatura estará dada por:
... (2)
La ecuación diferencial que representa el equilibrio vertical está
dada por:
...(3)
En este caso podemos ver que “q” se refiere a la carga repartida
sobre la viga, que por hipótesis del problema debe ser nula,
entonces evaluemos el primer miembro de la ecuación (3).
Reemplazando (1) y (2) en el miembro izquierdo de la ecuación (3)
se tendrá:
Se observa que la función entre llaves corresponde a la
multiplicación 2 polinomios, uno de grado 3º y otro de grado 1º
cuyo producto es un polinomio de grado 4º. En forma simplificada
se tiene que:
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donde: son valores constantes.
Se concluye que la función de forma asumida y la variación del
momento de inercia no satisfacen la condición de equilibrio vertical
en la viga, ya que ésta está únicamente sometida a cargas en sus
extremos, y sin embargo, al plantear la ecuación diferencial de
equilibrio vemos que la viga está sometida a una carga distribuida
que corresponde a una función de grado 2º de la forma:
Por lo tanto, no se satisface la condición de equilibrio vertical,
debido a que “q” no siempre es igual a cero tratándose de una
función cuadrática. Sin embargo, siempre y cuando las longitudes
de estos elementos tiendan a ser menores, debido a la división que
se hace en una análisis más refinado, el error en el equilibrio se
hace más pequeño y nos acercamos más a la solución exacta.
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Problema 7.15
Un elemento axial está sometido a las cargas distribuidas que se
ilustran. Las funciones de forma para el Caso (a) son las
expresiones lineales y ; y para el Caso (b) son ,
y . Discutir la relación entre los resultados
obtenidos y aquellos que se calculan por simple prorrateo de las
fuerzas en los nudos.
(a) (b)
Solución
(a) Carga axial distribuida q1
Como el desplazamiento horizontal viene dado por:
Entonces las funciones de forma son:
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Para calcular las fuerzas nodales equivalente, consideramos que
éstas producen el mismo trabajo virtual que las cargas en las
barras durante un desplazamiento virtual arbitrario. Esto nos lleva
a la sgte. formulación:
de donde se tiene que:
Asimismo, se tiene que:
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Se verifica que la suma de las fuerzas nodales debe ser
estáticamente equivalente a la fuerza total en la barra.
(b) Carga axial distribuida q2
Como el desplazamiento horizontal viene dado por:
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Entonces las funciones de forma son:
Las fuerzas equivalentes se calculan con:
de donde se tiene que:
Observando la expresión anterior podemos notar que todas las
fuerzas equivalentes tienen integrales de la forma:
tratándose de funciones periódicas. Por lo
tanto todas las fuerzas equivalentes son nulas, y en consecuencia
la resultante de la carga distribuida también es nula.
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Ejemplo 7.12
Para el arco circular mostrado, resolver detalladamente usando
I=300x106 mm4, R=10m, P = 100 kN. Verificar los resultados
obtenidos usando MASTAN2.
Solución
Aprovechando la simetría, podemos simplificar el problema
trabajando con la mitad de la estructura, de la sgte. manera:
Por el principio de los trabajos virtuales se sabe que la matriz de
flexibilidad viene dada por:
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O también:
Se sabe entonces que para un sección genérica, el momento flector
estará dado por:
Entonces la matriz de flexibilidad será:
Desarrollando se tiene que:
...(1)
Para hallar la matriz de rigidez ampliamos los grados de libertad y
determinamos la matriz de equilibrio:
Por lo tanto se tiene que la matriz de equilibrio está dada por:
...(2)
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Y la matriz de rigidez, finalmente será:
...(3)
Reemplazando y reordenando los grados de libertad se tiene que la
matriz de rigidez es :
257250185 -236226925 -257250185 56907100 236226925 -77930361-236226925 257250185 236226925 -77930361 -257250185 56907100
k = -257250185 236226925 257250185 -56907100 -236226925 7793036156907100 -77930361 -56907100 32752812 77930361 -11729551236226925 -257250185 -236226925 77930361 257250185 -56907100-77930361 56907100 77930361 -11729551 -56907100 32752812
Teniendo en cuenta que las fuerzas y los desplazamientos tienen la
forma:
Particionando se obtiene el desplazamiento vertical en el punto c.
vc = -19.44mm
Y las reacciones, finalmente serán:
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