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7.- Use el teorema de Green, para calcular el área de la región acotada por la curva
ζ :( xa )2
+( yb )2
=1.
Solución:
x=au , y=bv⇒ ∂(x , y)∂(u , v)
=ab
um+vn=1
u=(cos (t ))2 ∕ m v=(sen (t))2/n
Por el teorema de green sabemos:
∫ p xⅆ +Q yⅆ =∬(∂Q∂ x − ∂P∂ y ) Aⅆ
∂Q∂x
−∂ P∂ y
=1
⇒Q=au2y P=−bv
2
d x=ad u ,d y=bd v
Q= x2y P=− y
2
En el problema:
∫ ∫ Aⅆ =ab2 ∫−v uⅆ +u vⅆ ………(I )
u=(cos (t ))2 ∕ m v=(sen (t))2/n
du=−2m
(cos (t ) )2m−1sen (t )dt d v= 2
n(sen (t ) )
2n−1 cos ( t)dt
Reemplazando en (I):
A=12∫ v uⅆ −μ vⅆ
A=ab [∫ 1m
(cos ( t ) )2m−1
( sen ( t ) )2n+1dt+∫ 1n (sen (t ) )
2n−1(cos (t))
2m+1dt ]
A=ab [∫ 1m
(cos ( t ) )2m−1
( sen ( t ) )2n+1dt+∫ 1n (sen (t ) )
2n−1(cos (t))
2m+1dt ]
A=ab2
¿
Por función beta :
A=ab2
¿
A=ab2
[ 1m
Γ ( 1m )Γ ( 1n+1)Γ ( 1m+ 1
n+1)
+ 1n
Γ ( 1m+1)Γ ( 1n )Γ ( 1m+ 1
n+1)
]
A= ab2Γ ( 1m +1
n+1)[
n Γ ( 1m )Γ ( 1n +1)+mΓ ( 1m+1)Γ ( 1n )m+n
]
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