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17 mars 2011 Régulation numérique � 1 / 20
Régulation numérique (REN)Chapitre 3 : Transformée en z
Prof. Mi hel ETIQUEmi hel.etique�heig-vd. hHaute E ole d'Ingénierie et de Gestion du anton de Vaud (HEIG-VD)Département des Te hnologies Industrielles (TIN)http://www.heig-vd. h/tin17 mars 2011
Les béné� es apportés par la transformée de Lapla e
17 mars 2011 Régulation numérique � 2 / 20
Gain en e� a ité dans l'analyse mathématique des systèmes dynamiques, les al uls étant allégés :
■ résolution d'équations di�érentielles
■ al ul des régimes transitoires
■ analyse de la stabilité des systèmes■ inter onne tion de systèmes analogiques dynamiques
La transformée en est un outil équivalent, adapté aux signaux et systèmesdis rets.
Les béné� es apportés par la transformée de Lapla e
17 mars 2011 Régulation numérique � 2 / 20
Gain en e� a ité dans l'analyse mathématique des systèmes dynamiques, les al uls étant allégés :
■ résolution d'équations di�érentielles
■ al ul des régimes transitoires
■ analyse de la stabilité des systèmes■ inter onne tion de systèmes analogiques dynamiques
La transformée en est un outil équivalent, adapté aux signaux et systèmesdis rets.
Les béné� es apportés par la transformée de Lapla e
17 mars 2011 Régulation numérique � 2 / 20
Gain en e� a ité dans l'analyse mathématique des systèmes dynamiques, les al uls étant allégés :
■ résolution d'équations di�érentielles
■ al ul des régimes transitoires
■ analyse de la stabilité des systèmes■ inter onne tion de systèmes analogiques dynamiques
La transformée en est un outil équivalent, adapté aux signaux et systèmesdis rets.
Les béné� es apportés par la transformée de Lapla e
17 mars 2011 Régulation numérique � 2 / 20
Gain en e� a ité dans l'analyse mathématique des systèmes dynamiques, les al uls étant allégés :
■ résolution d'équations di�érentielles
■ al ul des régimes transitoires
■ analyse de la stabilité des systèmes■ inter onne tion de systèmes analogiques dynamiques
La transformée en est un outil équivalent, adapté aux signaux et systèmesdis rets.
Les béné� es apportés par la transformée de Lapla e
17 mars 2011 Régulation numérique � 2 / 20
Gain en e� a ité dans l'analyse mathématique des systèmes dynamiques, les al uls étant allégés :
■ résolution d'équations di�érentielles
■ al ul des régimes transitoires
■ analyse de la stabilité des systèmes■ inter onne tion de systèmes analogiques dynamiques
La transformée en z est un outil équivalent, adapté aux signaux et systèmesdis rets.
Transformée en z : a priori obs ure . . .
17 mars 2011 Régulation numérique � 3 / 20■ Lien entre la transformée de Lapla e
Xa (s) =1
s−s1
Transformée en z : a priori obs ure . . .
17 mars 2011 Régulation numérique � 3 / 20■ Lien entre la transformée de Lapla e
Xa (s) =1
s−s1■ . . . et le signal
xa (t) = ǫ(t) · es1·t
Transformée en z : a priori obs ure . . .
17 mars 2011 Régulation numérique � 3 / 20■ Lien entre la transformée de Lapla e
Xa (s) =1
s−s1■ . . . et le signal
xa (t) = ǫ(t) · es1·t
x a ( t )
t0
f _ 0 3 _ 0 5 . e p s
s1 étant un p�le de Xa(s)
Transformée en z : a priori obs ure . . .
17 mars 2011 Régulation numérique � 3 / 20■ Lien entre la transformée de Lapla e
Xa (s) =1
s−s1■ . . . et le signal
xa (t) = ǫ(t) · es1·t
■ Lien entre la transformée en z
X (z) = zz−p1
Transformée en z : a priori obs ure . . .
17 mars 2011 Régulation numérique � 3 / 20■ Lien entre la transformée de Lapla e
Xa (s) =1
s−s1■ . . . et le signal
xa (t) = ǫ(t) · es1·t
■ Lien entre la transformée en z
X (z) = zz−p1
■ . . . et le signal
x [k] = ǫ[k] · pk1
Transformée en z : a priori obs ure . . .
17 mars 2011 Régulation numérique � 3 / 20■ Lien entre la transformée de Lapla e
Xa (s) =1
s−s1■ . . . et le signal
xa (t) = ǫ(t) · es1·t
■ Lien entre la transformée en z
X (z) = zz−p1
■ . . . et le signal
x [k] = ǫ[k] · pk1
x ( k )
k0
f _ 0 3 _ 0 6 . e p s
p1 étant un p�le de X(z)
Signaux
17 mars 2011 Régulation numérique � 4 / 20
Temps Amplitude
Continu 0 t 0 t
Dis ret 0 t 0 t
Amplitude Temps1 signal analogique ontinue ontinu2 signal quanti�é dis rète ontinu3 signal dis ret ontinue dis ret4 signal numérique dis rète dis ret
Système de régulation numérique
17 mars 2011 Régulation numérique � 5 / 20
A
w ( k h )
y ( k h )
u ( t ) x ( t )u ( k h )
A N A L O G I Q U EN U M E R I Q U E
A L G O R I T H M E
S Y S T E M EA
R E G L E R
H O R L O G E
y ( k h )
k h
t
w ( k h )
k h t
h
t
y ( t )
v ( t )
n ( t )
c o n s i g n e
b r u i t s u r l a m e s u r e
g r a n d e u r r é g l é e
c o m m a n d ec o m m a n d e
p e r t u r b a t i o n
f _ 0 1 _ 0 1 . e p s
D
D
AS
u ( k h )
k h
Signaux dis rets
17 mars 2011 Régulation numérique � 6 / 20■ Conditions :
x(t) = 0 pour t < 0
x[k] = 0 pour k < 0
Signaux dis rets
17 mars 2011 Régulation numérique � 6 / 20■ Impulsion unité dis rète
∆[k] =
{
1 pour k = 00 pour k 6= 0
−1 0 1 2 3 4 5
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
k
delta
[k]
Impulsion unité discrète
f_03_03_1.eps
Signaux dis rets
17 mars 2011 Régulation numérique � 6 / 20■ Saut unité dis ret
ǫ[k] =
{
1 pour k ≥ 00 pour k < 0
−1 0 1 2 3 4 5
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Saut unité discret
k
epsi
lon[
k]
f_03_03_2.eps
Transformée en z
Les béné� esapportés par latransformée deLapla eTransformée en z:a priori obs ure
. . .SignauxSystème derégulationnumériqueSignaux dis retsTransformée en zTransformée en zTransformée en z: ommentaireExemple:transformée en zde l'impulsionunité dis rète ∆[k]Exemple:transformée en zd'un signalexponentielExemple: signal dedurée �niePropriétés de latransformation en
zExemple:estimateurnumérique de ladérivéeMéthodes de al ul de latransformée enExempleInversion de latransformée enDé omposition enéléments simples:exempleInversion pardivisionpolyn�mialeInversion pardivisionpolyn�miale:exemple17 mars 2011 Régulation numérique � 7 / 20
Transformée en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 8 / 20■ Transformée en z bilatérale
X (z) =+∞∑
k=−∞
x [k] · z−k
Transformée en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 8 / 20■ Transformée en z unilatérale
X (z) =
+∞∑
k=0
x [k] · z−k |z| > r0
■ Evaluation de la somme :
X (z) = x [0] + x [1] · z−1 + x [2] · z−2 + x [3] · z−3 + . . .
Transformée en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 8 / 20■ Rayon de onvergen e r0 tel que |z| > r0
X (z) = x [0] + x [1] · z−1 + x [2] · z−2 + x [3] · z−3 + . . .
R e
I m
0
C o n v e r g e n c e
D i v e r g e n c e
r 0
Z
f _ 0 3 _ 0 2 . e p s
Transformée en z : ommentaire
17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Transformée de Lapla e
X(s) = L{x(t)} =
∫ +∞
0x (t) · e−s·t · dt |s| ≥ s0
■ Transformée en z
X (z) =
+∞∑
k=0
x [k] · z−k |z| > r0
Transformée en z : ommentaire
17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Transformée de Lapla e : la fon tion x(t) objet de la transformation estmultipliée dans l'espa e temps par une fon tion de type exponentiel
X(s) = L{x(t)} =
∫ +∞
0x (t) · e−s·t · dt s ≥ s0
Transformée en z : ommentaire
17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Transformée de Lapla e : la fon tion x(t) objet de la transformation estmultipliée dans l'espa e temps par une fon tion de type exponentiel
X(s) = L{x(t)} =
∫ +∞
0x (t) · e−s·t · dt s ≥ s0
■ −→ pour autant que la variable omplexe s ait une valeur assurant la onvergen e, la surfa e omprise entre l'axe du temps t et la fon tion
x (t) · e−s·test �nie et l'intégrale existe.
Transformée en z : ommentaire
17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Il en va exa tement de même pour la transformée en z :
X (z) =+∞∑
k=0
x [k] · z−k
Transformée en z : ommentaire
17 mars 2011 Régulation numérique � 9 / 20■ Il en va exa tement de même pour la transformée en z :
X (z) =+∞∑
k=0
x [k] · z−k
■ On multiplie, i.e. on pondère la fon tion x[k] par une fon tion de typeexponentiel
z−kqui pourrait être (
es·h)
−k et l'on somme ("intègre") le produit
x[k] · z−ksur tous les k, ette somme ne onvergeant que pour un ensemble devaleurs de z telles que |z| > r0 :X (z) =
+∞∑
k=0
x [k] · z−k = x [0] + x [1] · z−1 + x [2] · z−2 + x [3] · z−3 + . . .
Exemple : transformée en z de l'impulsion unitédis rète ∆[k]
17 mars 2011 Régulation numérique � 10 / 20∆[k] =
{
1 pour k = 00 pour k 6= 0
X (z) =+∞∑
k=0
x [k] · z−k
= x [0] + x [1] · z−1 + x [2] · z−2 + . . .
= 1 ∀z
Exemple : transformée en z d'un signal exponentiel
17 mars 2011 Régulation numérique � 11 / 20x [k] = ak·h a ∈ C a 6= 0
X (z) =+∞∑
k=0
ak·h · z−k
=+∞∑
k=0
(
ah · z−1)k
=1
1− ah · z−1
=z
z − ah
|z| >∣
∣
∣ah
∣
∣
∣= r0
Exemple : signal de durée �nie
17 mars 2011 Régulation numérique � 12 / 20
−1 0 1 2 3 4 5
−2
−1
0
1
2
3
Signal discret de durée finie
k
x[k]
f_03_03_3.eps
Z {x[k]} = X(z) =∑+∞
k=0x (k] · z−k = 1 + 3 · z−1 − 2 · z−2
Propriétés de la transformation en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Linéarité :
Z{a · x[k] + b · y[k]}
= a · Z{x[k]}+ b · Z{y[k]}
= a ·X(z) + b · Y (z)
Propriétés de la transformation en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Translation avant (signal retardé)
Z{x [k − d]} = z−d · Z{x [k]} = z−d ·X [z]
z - 1u ( k ) y ( k ) = u ( k - 1 )f _ 0 3 _ 0 7 . e p sExemple
Propriétés de la transformation en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Translation arrière (signal avan é)
Z{x [k + d]}
= z+d · Z{x [k]} −d−1∑
i=0
x [i] · zd−i
= zd ·X [z]−d−1∑
i=0
x [i] · zd−i
Propriétés de la transformation en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Produit de onvolution
Z{g [k] ∗ u [k]}
= Z
{
k∑
l=0
g[l − k] · u[l]
}
= G (z) · U (z)
Propriétés de la transformation en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Théorème de la valeur �nale
x∞ = x [∞] = limk→∞
x [k] = limz→1
((z−1) ·X (z))
Propriétés de la transformation en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 13 / 20■ Théorème de la valeur �nale
x∞ = x [∞] = limk→∞
x [k] = limz→1
((z−1) ·X (z))
■ Théorème de la valeur initiale
x [0] = limk→0
x [k] = limz→∞
X (z)
Exemple : estimateur numérique de la dérivée
17 mars 2011 Régulation numérique � 14 / 20u̇ =
du
dt≈
u (k)− u [k − 1]
h= y [k]
z - 1
u ( k ) S 1 / h y ( k )
-f _ 0 3 _ 0 8 . e p s
Méthodes de al ul de la transformée en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 15 / 20■ Il est rare qu'il soit né essaire de al uler la transformée en z selon
X (z) =+∞∑
k=0
x [k] · z−k
■ −→ tables
■ Un signal ne �gurant pas dans la table peut souvent s'exprimer par une ombinaison linéaire de signaux élémentaires dont les transformées sont alorsdans la table
■ Ces dernières, ombinées linéairement, permettent, en faisant usage de lapropriété de linéarité, d'obtenir la transformée en z re her hée
Exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Transformée en z du signal résultant de l'é hantillonnage de
x (t) = ǫ(t) ·(
1− e−t
T
)
Exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Transformée en z du signal résultant de l'é hantillonnage de
x (t) = ǫ(t) ·(
1− e−t
T
)
■ Dis rétisation :
x [k] = ǫ [k] ·(
1− e−h
T·k)
x ( k )
k0
f _ 0 3 _ 0 9 . e p s
Exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Par linéarité :
X (z) = Z{x [k]}
= Z{
ǫ [k] ·(
1− e−h
T·k)}
= Z{ǫ [k]} − Z{
ǫ (k) · e−h
T·k}
=z
z − 1−
z
z − e−h
T
=z ·
(
1− e−h
T
)
(z − 1) ·(
z − e−h
T
)
Exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Appli ation du théorème de la valeur �nale
x∞ = limk→∞
x [k]
= limz→1
(z − 1) ·X (z)
= limz→1
(z − 1) ·z ·
(
1− e−h
T
)
(z − 1) ·(
z − e−h
T
)
= 1
Exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 16 / 20■ Appli ation du théorème de la valeur initiale
limk→0
x [k] = limz→∞
X (z)
= limz→∞
z ·(
1− e−h
T
)
(z − 1) ·(
z − e−h
T
)
= 0
Inversion de la transformée en z
17 mars 2011 Régulation numérique � 17 / 20■ Dé omposition en éléments simples
■ Inversion par division polyn�miale
Dé omposition en éléments simples : exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 18 / 20■ X (z) = 0.1·z·(z+1)
(z−1)2·(z−0.6)
ave h = 1 [s]
Dé omposition en éléments simples : exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 18 / 20■ X (z) = 0.1·z·(z+1)
(z−1)2·(z−0.6)
ave h = 1 [s]
■ Dé omposition manuelle en éléments simples (table des transformées)X (z) =
a · z
z − 1+
b · z
(z − 1)2+
c · z
z − 0.6
= . . .
=−z
z − 1+
0.5 · z
(z − 1)2+
z
z − 0.6
Dé omposition en éléments simples : exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 18 / 20■ Transformées en z inverses des éléments
X (z) =−z
z − 1+
0.5 · z
(z − 1)2+
z
z − 0.6
x [k] = Z−1{X (z)}
=(
−1 + 0.5 · k · h+ 0.6k)
· ǫ[k]
Dé omposition en éléments simples : exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 18 / 20■ Les premiers é hantillons de x[k] sont :
x [k] = Z−1{X (z)}
=(
−1 + 0.5 · k · h+ 0.6k)
· ǫ[k]
x [0] = −1 + 0 + 1 = 0
x [1] = −1 + 0.5 + 0.6 = 0.1
x [2] = −1 + 0.5 · 2 + 0.62 = 0.36
. . .
Inversion par division polyn�miale
17 mars 2011 Régulation numérique � 19 / 20b0 · z
−d + b1 · z−1−d + ... + bm−1 · z
1−n + bm · z−n 1 + a1 · z
−1 + . . . + an−1
x [0] · z−d + x [1] · z−1−d + . . . + x [n] · z−n−d + x [n +
Inversion par division polyn�miale : exemple
17 mars 2011 Régulation numérique � 20 / 200.1 · z
2 +0.1 · z z3− 2.6 · z
2 + 2.2 · z − 0.6
0.1 · z2
−0.26 · z +0.22 −0.06 · z−1
0.36 · z −0.22 +0.06 · z−1 0.1 · z
−1 + 0.36 · z−2 + 0.716 · z
−3 + . . .
0.36 · z −0.936 +0.792 · z−1
−0.216 · z−2
0.716 + . . .
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