View
51
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
Primijenjena matematika. Damir Krstinic damir.krstinic@fesb.hr. Diskretna statistička obilježja. Neka je zadan niz statističkih podataka x 1 ,x 2 ,...,x n i neka su a 1 ,a 2 ,...,a r međusobno različite vrijednosti tog statističkog niza. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Primijenjena matematika
Damir Krstinic
damir.krstinic@fesb.hr
Diskretna statistička obilježja
Neka je zadan niz statističkih podataka x1,x2,...,xn i neka su a1,a2,...,ar međusobno različite vrijednosti tog statističkog niza.
Svaka od vrijednosti a1,a2,...,ar se u nizu pojavljuje s frekvencijom f1,f2,...,fr
Ovako organizirani podaci lako se prikazuju tablično i grafički.
Relativne frekvencije
Za različite vrijednosti a1,a2,...,an s pripadnim frekvencijama f1,f2,...,fn, relativne frekvencije definiramo kao f1/n,f2/n,...,fn/n.
Ukupan broj podataka u nizu jednak je
r
kkfn
1
Aritmetička sredina i varijanca
Aritmetičku sredinu niza definiramo sa
Disprezija ili varijanca statističkog niza je
Standardna devijacija statističkog niza je
k
r
kk fan
xsv
1
1
2
1
22 1svfa
nd k
r
kk
dsd
Primjer 1
Broj glavica kupusa po beraču kupusa dan je nizom statističkih podataka: 3, 5, 3, 0, 3, 0, 5, 4, 6, 3, 4, 6, 3, 5, 3, 4, 1, 0, 3, 4, 5, 6, 3, 0, 3, 0, 4, 1, 2, 0, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 2, 1, 5
Tabličnim prikazom podataka olakšavamo računanje numeričkih karakteristika niza
Tablični prikaz
ak fk akfk ak2fk
0 6 0 0
1 4 4 4
2 5 10 20
3 16 48 144
4 12 48 192
5 8 40 200
6 5 30 180
n=56 180 740
Proračuna parametara stat. niza
Iz tablice računamo:
2143.318056
11
1
k
r
kk fan
xsv
8827.22143.374056
11 22
1
22
svfan
d k
r
kk
6987.1 dsd
Proračun korištenjem Matlaba
Podatke unosimo u Matlab.
Za obradu podataka pišemo funkciju koja računa pripadne frekvencije za međusobno različite vrijednosti statističkog niza
ak, fk
function [a,f]=af(x)x=sort(x); j=1; a(1)=x(1); f(1)=1;for k=2:size(x,2) if x(k)==x(k-1) f(j)=f(j)+1; else j=j+1; a(j)=x(k); f(j)=1; endend
Parametri niza
Nakon proračuna frekvencija, računamo parametre niza
x=[3 5 3 0 3 0 5 4 6 3 4 6 3 5 3 4 1 ... 0 3 4 5 6 3 0 3 0 4 1 2 0 3 4 5 3 ... 3 2 3 4 5 6 4 3 2 4 2 1 3 4 5 6 4 ... 3 4 2 1 5 ];
[a,f]=af(x);n=sum(f)sv=a*f’/nd=(a.^2)*f’/N-sv^2sd=sqrt(d)
Grafički prikaz
Izračunate podatke moguće je grafički prikazati:
plot(a,f)
Kontinuirana statistička obilježja
Neka je zadan niz od n statističkih podataka x1,...,xn kontinuiranog statističkog obilježja.
Podatke svrstavamo u razrede [a0,a1),...,[ar-1,ar] širina c, sa ritmetičkim sredinama razreda s1,...,sn.
Ako frekvencije razreda označimo redom sa f1,..,fn, a pripadne relativne frekvencije sa r1,...rn, podatke možemo pregledno prikazati
Primjer 2
Mjerena je težina glavica kupusa, pri čemu su dobiveni sljedeći podaci: 5.22, 3.03, 2.81, 4.23, 2.67, 1.90, 3.97, 5.65, 5.44, 4.57, 3.89, 3.60, 3.85, 2.52, 2.14, 3.97, 4.98, 2.70, 2.09, 4.22, 2.54, 5.06, 4.33, 2.94, 3.47, 4.24, 3.59, 2.83, 4.58, 3.15
Podatke organiziramo u r=5 razreda i računamo numeričke karakteristike niza
Parametri niza
Uočavamo da je najmanja vrijednost u nizu 1.90, a najveća 5.65
Kako imamo 5 razreda, njihova širina je
c=(5.65-1.90)/5=0.75
Računanje korištenjem Matlaba
Definiramo funkciju sfc(x,r) koja podatke svrstava u zadani broj razreda
x=[5.22 3.03 2.81 4.23 2.67 1.90 3.97 5.65 ... 5.44 4.57 3.89 3.60 3.85 2.52 2.14 3.97 ... 4.98 2.70 2.09 4.22 2.54 5.06 4.33 2.94 ... 3.47 4.24 3.59 2.83 4.58 3.15];
[s,f,c] = sfc(x,5);n=sum(f)sv=s*f’/nd=(s.^2)*f’/n-sv^2sd=sqrt(d)
Grafički prikaz
Podatke prikazujemo grafičkiplot(s,f) bar(s,f)
Binomna razdioba
Za binomnu razdiobu s parametrimakarakteristično je da su
vrijednosti ak-ova 0,1,...,n. Ako je X slučajna varijabla distribuirana po binomnoj
razdiobi, onda je vjerojatnost da ona poprimi određenu vrijednost k (k=0,1,2,...,n):
1,0, pNn
,1 knk ppk
nkXP
nsvp /
Primjer 3
Rezultati natjecanja u ispijanju piva dani su u tablici. Zbog sigurnosti natjecatelja, maksimalan broj ispijenih piva ograničen je na 10. Rezultate prilagodite binomnoj razdiobi.
Broj piva ak=k Pripadne frekvencije fk
0 2
1 3
2 5
3 15
4 18
5 10
6 11
7 4
8 3
Rešenje:
a=0:8
f=[2 3 5 15 18 10 11 4 3]
N=sum(f)
n=10
sv=a*f’/N
p=sv/n
ft=round(N*binomna(n,p,a))
Poissonova razdioba
Kod Poissonove razdiobe, vrijednosti ak su svi prirodni brojevi i nula.
Ako je X slučajna varijabla distribuirana po Poissonovoj razdiobi s parametrom >0 sv), onda je vjerojatnost da ona poprimi vrijednost k dana sa:
ek
kXPk
!
Primjer 4
Skupina iračkih gerilaca natječe se u gađanju Američkih vojnika. Rezltate natjecanja u broju pogođenih Amerikanaca, dane u tablici, prilagodi Poissonovoj razdiobi.
ak=k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
fk 36 101 150 221 312 236 151 88 32 14 6 3 1 1
Rješenje
a=0:13
f=[36 101 150 221 312 236 151 88 32 14 6 3 1 1]
N=sum(f)
sv=a*f '/N
ft=round(N*poisson(sv,a))
Rezultat:
ft = 23 93 190 259 264 215 146 85 43 20 8 3 1 0
0 2 4 6 8 10 12 140
50
100
150
200
250
300
350
Grafički prikaz rezultata
plot(a,f,a,ft,’--’)
Normalna razdioba
Kod normalne razdiobe podaci mogu poprimiti bilo koju realnu vrijednost.
Ako je X slučajna varijabla distribuirana po normaalnoj razdiobi s parametrima i, onda je njeno očekivanje EX= , a disperzija (varijanca) DX=VarX=
Primjer 5
Mjerenjem pogreške serije dubinomjera, ustanovljeno je da greška varira između –2 i 0.5m. Podatke grupirane u 5 razreda, dane u tablici, prilagodi normalnoj razdiobi.
razredi frekvencije fk
-2, -1.5 5
-1.5, -1 10
-1, -0.5 20
-0.5, 0 8
0, 0.5 3
Rješenje – parametri razdiobe
c=0.5dg=-2:c:0gg=dg+cf=[5 10 20 8 3]s=(dg+gg)/2N=sum(f)sv=s*f’/Nd=(s.^2)*f’/N-sv^2sd=sqrt(d)
Teorijske frekvencije
Aritmetičku sredinu sv interpretiramo kao očekivanje , a sd kao standardnu devijaciju .
Teorijske frekvencije računaju se prema:
2
2
1
2
1
sd
svs
k
k
esd
cNft
Računanje teoretskih frekvencija
Jednorenu matricu (vektor) teoretskih frekvencija u matlabu računamo naredbom:
ft=N*c/sd/sqrt(2*pi)*exp(-((s-sv)/sd).^2 /2)
ft=round(ft)
Recommended