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4.1 - 1Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
DISTRIBUCION NORMALProbabilidad – Cap 6
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La distribución de probabilidad normal ó distribución normal es
una, sino la más importante de todas las distribuciones de probabilidad.
El histograma de frecuencias relativas de una variable aleatoria
continua que se distribuye normalmente es simétrica y tiene forma
acampanada.
Una distribución de probabilidad como a siguiente se llama una curva
normal.
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La distribución normal
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Si el histograma de frecuencias relativas de una
variable aleatoria continua tiene forma de curva
normal entonces
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1. La distribución de
probabilidad es simétrica
alrededor de su media.
2. Debido a que moda = media
= mediana, existe un solo
pico y el punto más alto se
produce en 𝑥 = 𝜇.3. Tiene puntos de inflexión en
𝑥 = 𝜇 + 𝜎 𝑦 𝑥 = 𝜇 − 𝜎4. El área bajo la curva es igual
a 1.
5. El área bajo la curva a la
derecha de 𝜇 es igual al área
bajo la curva a la izquierda 𝜇
y es igual a 1
2.
Area total debajo de la curva = 1
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EJEMPLO Identificar 𝜇 𝑦 𝜎 en los histogramas
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Cada histograma que se presenta es simétrica alrededor
de su media. Identifique 𝜇 𝑦 𝜎 para la variable aleatoria
X.
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Area bajo la curva normal
Supongamos que un variable aleatoria, X, tiene una
distribución normal con media 𝜇 y desviación estándar
𝜎.
El área bajo la curva normal para cualquier intervalo de
valores de la variable aleatoria X representa la
probabilidad de que un individuo seleccionado al azar
de la población tenga la característica que describe el
intervalo de valores.
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EJEMPLO Interpretar el área bajo la curva normal
Los pesos de jirafas siguen, aproximadamente, una
distribución normal con μ = 2,200 libras y σ = 200 libras.
(a)Dibuje una curva normal con los parámetros marcados.
Sombree el área bajo la curva normal a la izquierda de x =
2100.
(b)Supongamos que el área bajo la curva normal a la izquierda
de x = 2100 libras es 0.3085. Interprete este resultado.• La probabilidad de que una jirafa
seleccionada al azar pese menos
de 2100 libras es 0.3085.
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• Nota: Este ejemplo lo pudimos
trabajar por que nos dijeron cuanto era
el área.
• De 100 jirafas que se seleccionan al azar de esta población, se esperaque cerca de 31 pesen 2100 libras. libras es 0.3085.
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DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
Probabilidad – Cap 6
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La distribución normal estándar
Para calcular la probabilidad de variables aleatoriascontinuas como el anterior estandarizamos la variable y usamos tablas.
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Variable aleatoria normal estandarizada
Podemos determinar el área bajo la curva normal primeramente estandarizando la variable. Determinamos el valor Z para cada valor de la variable usando la transformación
Luego usamos la tabla conocida como la tabla para la curva normal para determinar el área bajo la curva.
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Propiedades de la curva de normal estándar
1. Es simétrica alrededor de su media, 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 1. 2. La moda = media = mediana =0, y el punto más alto
se produce en 𝑥 = 0.3. Tiene puntos de inflexión en 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 14. El área bajo la curva es igual a 1. 5. El área bajo la curva a la derecha de 𝜇 es igual al
área bajo la curva a la izquierda 𝜇 y es igual a 1
2.
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Se muestra una tabla para la distribución normal estándarque da el área bajo la curva normal estándar para valores a la izquierda de alguna Z. Esto es, nos da P(Z≤ 𝑧)
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Determinar el área bajo una curva normal
estándar usando tablas.
P(Z ≤ z) = Area
bajo la curva
normal hacia la
izquierda de z
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Determinar P(Z ≤ -0.38).
Solución: P(Z ≤ -0.38). área bajo la curva normal
estándar a la izquierda de Z = -0.38.
EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar
Área hacia la izquierda de z = -0.38 es________ P(Z ≤ -0.38) = _______
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Determinar P(z ≤ -0.84).
EJEMPLO Determinar probabilidad para una variable estandarizada
Área hacia la izquierda de z = -0.84 es _____. P(Z ≤ -0.84) = _______7-13
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Área bajo la curva normal estándar a
la derecha de zo es igual a 1 – Area
to the left of zo
7-14
Area bajo una curva normal estándar
Determinar P(Z > 1.25).
Solución: P(Z > 1.25) es el área bajo la curva normal estándar a la derecha de Z = 1.25
Área a la derecha 1.25 = 1 – área a la izquierda de 1.25= 1 – 0.8944 = 0.1056 P(Z > 1.25) = 0.1056
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EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar
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Area bajo una curva normal estándar
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Práctica
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La tabla normal
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La tabla normal (cont)
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MATERIAL PARA BONO 2DO EXAMEN PARCIAL
Determinar P(-1.02 < Z < 2.94)
Solución: P(-1.02 < Z < 2.94) es el área bajo la curva normal estándar entre z = -1.02 y z = 2.94.
Área entre -1.02 y 2.94
= (Área a la izquierda de z = 2.94) – (área a la izquierda de z = -1.02)
Buscando en la tabla de curva normal estándar tenemos
= 0.9984 – 0.1539
= 0.8445
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EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar
P(-1.02 < Z < 2.94) = 0.8445
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EJEMPLO Estandarizar una variable aleatoria
Los pesos de jirafas siguen una distribución normal con media, μ = 2,200 libras y desviación estándar, σ = 200 libras. • Determine el área bajo la curva normal estándar para X entre
los valores de Z correspondientes a x=2000 y x = 2300.
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𝑧 =𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑧 =2000 − 2200
200
𝑧 =−200
200
𝑧 = −1
𝑧 =2300 − 2200
200
𝑧 =100
200
𝑧 =1
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EJEMPLO (cont.) Estandarizar una variable aleatoria
Si comparamos el área bajo la curva de los pesos entre x=2000 y
x=2300
Con la curva normal estándar entre los valores para Z entre z=-1
y z = ½ Notamos que son iguales.
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P(-1 < z < ½ ) = Área bajo la curva entre -1 y ½
= (Área a la izquierda de z = ½ ) – (área a la izquierda de z = -1)
Buscando en la tabla de curva normal estándar tenemos
= 0.6915 – 0.1587
= 0.5328
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Práctica
Determinar el área bajo la curva normal estándar que
está a la derecha de z.
Determinar el área bajo la curva normal estándar que
está entre:
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Probabilidad para una variable aleatorianormal estándar
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P(a < Z < b) representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar está entre a y b
P(Z > a) representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es mayor que a.
P(Z < a) representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es menor que a.
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Determinar las siguientes probabilidades:
(a) P(Z < -0.23)
(b) P(Z > 1.93)
(c) P(0.65 < Z < 2.10)
EJEMPLO Determinar la probabilidad una variable aleatoria normal estándar.
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= 0.4090
= 0.0268
= 0.2399
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NOTA:
Para cualquier variable aleatoria continua, la probabilidad de observar
un valor específico de la variable aleatoria es 0.
Por ejemplo, para una variable aleatoria normal estándar, P (a) = 0,
para cualquier valor de a.
Esto es debido a que no hay área bajo la curva normal estándar en
un sólo valor, por lo que la probabilidad es 0.
Por lo tanto, las siguientes probabilidades son equivalentes:
P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b)
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P(Z=z)
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