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Essa apresentação destina-se a alunos que queiram aprender trigonometria (Razões Trigonométricas) de forma criativa e contextualizada.
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Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Observando o triângulo ABC (Â = 90º), temos:
BC = hipotenusa, BC = a
AC = cateto, AC = b
AB = cateto, AB = c
90ºCB ˆˆ
AC = cateto oposto ao ângulo
AB = cateto adjacente ao ângulo
AC = cateto adjacente ao ângulo
AB = cateto oposto ao ângulo
B
B
C
C
Então:
ab
B senhipotenusa
B a oposto cateto
BCAC
B sen ˆˆ
ˆ
ac
B cos hipotenusa
B a adjacente catetoBCAB
B cos ˆˆ
ˆ
cb
B tgB a adjacente cateto
B a oposto catetoABAC
B tg ˆˆ
ˆˆ
Observando o triângulo ABC (Â = 90º), temos:
BC = hipotenusa, BC = a
AC = cateto, AC = b
AB = cateto, AB = c
90ºCB ˆˆ
AC = cateto oposto ao ângulo
AB = cateto adjacente ao ângulo
AC = cateto adjacente ao ângulo
AB = cateto oposto ao ângulo
B
B
C
C
E também:
ac
C senhipotenusa
C a oposto cateto
BCAB
C sen ˆˆ
ˆ
ab
C cos hipotenusa
C a adjacente catetoBCAC
C cos ˆˆ
ˆ
bc
C tgC a adjacente cateto
C a oposto catetoACAB
C tg ˆˆ
ˆˆ
Apresentaremos agora alguns exemplos de
Problemas e Aplicaçõesque demonstram a importância dessas
razões trigonométricas em nosso dia a dia
Problemas resolvidos
Problema 1
Uma pessoa está distante 80 m de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16º em relação à horizontal. Qual é a altura do prédio? Dado: tg 16º = 0,28.
x = cateto oposto ao ângulo de 16º
80 = cateto adjacente ao ângulo de 16º
m 22,40x80x
0,2880x
16º tg
Resposta: A altura do prédio é aproximadamente 22,40 m.
Problema 2
Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida?
Dados: sem 15º = 0,26 e tg 15º = 0,27.
• Cálculo da altura x em relação ao solo:
m 540x000 2x
0,27000 2x
15º tg
• Cálculo da distância percorrida y:
m 076,9 2y0,26540
yy
5400,26
yx
15º sen
Resposta: A altura é de 540 m e a distância percorrida é de 2 076,9 m
Problema 3 Dois observadores, A e B, vêem um balão, respectivamente, sob
ângulos visuais de 20º e 40º, conforme indica a figura. Sabendo que a distância entre A e B é de 200 m, calcule h.
Dados: tg 20º=0,364 e tg 40º= 0,839.
Indicaremos a distância BH como y, portanto AH = 200 - y
• Cálculo pelo ângulo de 20º:
h0,364y72,8y200
h0,364
y200h
20º tg
• Cálculo pelo ângulo de 40º:
h0,839yyh
0,839yh
40º tg • Cálculo de y:
0,839y = 72,8 – 0,364y
1,203y = 72,8
y = 60,515
• Cálculo de h:
h = 72,8 – 0,364 . 60,515 ou h = 0,839 . 60,515
h = 50,77 m
Resposta: O balão está a uma altura (h) de aproximadamente 50,77 m.
Aplicações
Situações reais, que devem ser resolvidas com base nos problemas resolvidos já apresentados.
Tabela importante:
Aplicação 1
O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo que ligue o pé da árvore ao topo da encosta?
Aplicação 2
Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45 m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60º. A que distância o barco está da plataforma?
Aplicação 3
Do alto de uma torre de 50 m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45º em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$ 0,20 por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte que faz?
Mais Aplicações:Será importante a consulta à tabela abaixo
Bibliografia:
• GIOVANNI, J.R., BONJORNO, J.R., GIOVANNI Jr., J.R. Matemática Completa: Ensino Médio – Volume Único. São Paulo: FTD, 2002.
• DANTE, L.R. Matemática, volume único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2005.
• http://trigonometriaemfoco.blogspot.com/2009/04/atividades-envolvendo-as-razoes.html
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